定义路径修改映射an，ωby an，ω：=aωn（ω，·），其中aωn（ω，·）在（14）中给出。注意，an，ω是满足an，ω=（an，ω）的双射-1.我们现在取{γn}n，a（G，[T，T]）中的一组策略，使得eξ（ωn）+ZTTγnu（S）dSu≥ ξ - δ在Bn上。（19） 让我们考虑eγn：Ohm → 定义为eγn（ω）=0，如果ω6∈eBn（D）和ω∈eBn（D）eγn（ω）：=ωnTωTγno an，ω+DωT[T，τωn，ω）如果ωnT≥ δ,δ-1/2[T，σ（ω））如果ωnT<δ，其中σ（ω）：=inf{T>T:ωT- ωT≥ δ1/4}. 从上面可以看出，存在一个常数（D，δ），它依赖于D，δ与（D，δ）→ 0为D，δ→ 0，使得eξ（S）+ZTTeγnu（S）dSu≥ ξ（S）- （D，δ）。策略eγ显然是可测量的。我们还注意到，它适用于[T，T]上的F，因为对于任何ω，Γ，都可以直接看到∈ Ohm 使得ωu=Γuf对于任何u≤ [t，t]带着≥ T、 eγnu（ω）=eγu（Γ）在[T，T]上。因此，eγn∈ （[T，T]）。此外，我们知道对于任何n，t∈ [T，T]和S∈ Bn，存在这样的情况：ESU=SUF≤ t andeSu=Stfor anyu≥ t、 因此ZTTγnu（S）dSu=ZTTγnu（~S）d ~Su≥ ξ（eS）- δ -eξ（ωn）≥ fω中的2∈Ohmξ(ω) - 1.（20）现在让我们定义eγεbyeγε（ω）：=XnCn（ω）eγn（ω），其中Cn:=eBn\\n-1[k=1eBk。然后很容易看出，eγε是渐进可测的，并且满足（2）中的容许条件。命题refdpP的证明：在pro中，我们表示bξ：=PG[T，T]Ohm(ξ).（i） 设v:=（v，…，vd）∈ Ohm 和ev:=（ev，…，evd）∈ Ohm. 注意bξ（（v，…，vd））-bξ（（ev，…，evd））≤dXk=1bξ（（ev，…，evk）-1，vk。。，vd）-bξ（（ev，…，evk，vk+1，…，vd））.因此，为了证明eξ的一致连续性，只考虑在一个坐标上不同的v和ev就足够了，并且在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设d=1。支持| | v- ev | |[0，T]≤ δ和| vT-evT |=D≥ 0.足以证明bξ（ev）≤bξ（v）+ε，仅取决于ξ和δ。

以P为例∈ MG，[T，T]Bev，即：P（Bev）=1，其中Bev:={ω：ωT=evt∈ [0，T]}，P（ST=evT）=1和EP[StG]=EP[SsG]表示每个≤ s≤ T≤ T和G∈ Gs。将测量值“P”定义为“P=P”o a带有（14）中给出的路径修改a。那么P是MG[T，T]Bv的一个元素，因为P（Bv）=P（a（Bv））=P（Bev）=1，它是[T，T]上作为f或T的鞅测度≤ s≤ T≤ T和G∈ GsE’P[StG]=EP[（S）o a） ta（G）]=EP[（So a） sa（G）]=E’P[SsG]，其中第二个等式后跟a（G）∈ Gs。后者是正确的，因为对于任何Borel集B，都有a（{Z∈ B}∩ Bv）=Bev∩ {Z∈ A} )；σ-场FSF与P-零集和P-零集的平凡σ-场一致；一般情况来自单调类论证。因此，对于（17）中定义的eτ，|EP[ξ]- E|P[ξ]|=|EP[ξ]- EP[ξo a] |=EP[（ξ）- ξ o a） {eτ=T}]+EP[（ξ）- ξ o a） {eτ<T}]≤ eξ（2δ1/2）+2 | |ξ| | DD+D1/2，（21）在上一个不等式中，我们使用了（18），Doob不等式和p（eτ<T）=Psupt的事实∈[T，T]街≥ evT（1+D）-1/2)!≤evTevT（1+D）-1/2）=DD+D1/2。（ii）证明PG[0，T]Ohm(ξ) ≤ PF[0，T]Ohm（PG[T，T]Ohm（ξ） ）请注意：supP∈MG[0，T]OhmEP[ξ]=supP∈MG[0，T]OhmEP[EPω[ξ]]≤ 晚餐∈MG[0，T]OhmEP苏普∈MG[T，T]BωE′P[ξ]其中{Pω}是关于fta的正则条件分布，在最后一步中，我们使用了断言（i）所暗示的可测性。现在我们将展示剩余的不平等。设{ωn}nbe是Ohm|[0，T]和Bn:=Bωn。定义路径修改映射an，ω，ω：=aωn（ω，·），其中aωn（ω，·）在（14）中给出。注意，an，ω是满足an，ω=（an，ω）的双射-1.任何Pn∈ MG，[T，T]bN测量Pno an，ω属于MG，[T，T]Bω。此外，与（21）类似，我们得到| EPn[ξ]- EPnoan，ω[ξ]|≤ eξ（2δ1/2）+2 | |ξ| |δ+δ1/2无论何时| |ωn- ω| |[0，T]≤ δ. 让我们考虑一下概率核Nn：Ohm → 由Nn（ω）定义的MG，[T，T]：=Pno an，ω。

核Nnis FT可测量，即Nn（ω，F）=Pno ω（F）对任何F都是可测的∈ FT，因为（ω，eω）→ 11Fo an，ω（eω）是FT FT可测量且有界于EPn[11Foan，ω]是可测量的（见[10，第3.3节]）。引理5.1显示了an（eω，ω）的可测性。然后，由于FT原子上的Nnis常数，我们从Blackwell定理（见[14，定理8.6.7]和/或[18，Ch III，§26，p.80-81]）推导出Nnis FT可测概率核。用ebn（δ）表示围绕ωnof半径δ的封闭球：={ω：su pt∈[0，T]|ωT- ωnt|≤ δ} ，我们注意到这一点∈MG[T，T]eBn（δ）EP[ξ]=supω∈eBn（δ）supP∈MG[T，T]BωEP[ξ]=supω∈eBn（δ）bξ（ω）≤bξ（ωn）+ε（δ），其中第二个等式来自bξ的一致连续性。固定ε>0。然后我们可以选择δ>0和测度族Pεn∈ MG，[T，T]bN每nε/2+EPεn[ξ]≥bξ（ω）ω ∈eBn（δ）和eξ（2δ1/2）+2 | |ξ|δ/（δ+δ1/2）≤ ε/2.现在让我们定义FT可测概率核NεasNε（ω）：=XnCn（ω）PεNo an，ω，其中Cn:=eBn\\n-1[k=1eBk.构造概率核Nε，使其满足ε+ENε（ω）[ξ]≥bξ（ω）ω ∈ Ohm Nε（ω）∈ MG，[0，T]Bω。还有一个测度Pε∈ MF[0，T]Ohmε+EPε[bξ]≥ 晚餐∈MF[0，T]OhmEP[bξ]。度量值的集合‘Pε：=Pε Nε（见[29]中的第3.1节），定义为每个F∈ FT，作为Pε（F）=EPεhXnCnNε（F）是一种概率度量。请注意，\'Pεw.r.t fte的规则条件概率等于Nε，d\'Pε| FT=dpε| FT。因此≤ t和Gs∈ Gs，我们有E’Pε（圣- Ss）11Gs= εPεENε[（St- Ss）11Gs]= εPεENε[（Ss∨T- Ss）11Gs]= εPε（Ss）∨T- Ss）11Gs= ε（Ss）∨T- Ss）11Gs= 这表明S是一个（`Pε，G）-鞅。此外，“Pε满足”Pε[ξ]=EPεENε[ξ]≥ EPε[bξ]- ε ≥ 晚餐∈MF[0，T]OhmEP[bξ]- 2ε.证据已经完成。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学

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