仔细检查弧长延拓的副产品BVP（25）的线性化，然后得出关于解路径行为的重要信息。此外，这些中间解路径可用于确定差异阈值等。A.2.1不满足SPP的平衡的稳定流形在上一节中，我们假设^X满足SPP，即dim es（^J）=n。接下来，我们将BVP（25）用于dim es（^J）=ns<n的情况。因此，我们假设^X是双曲线，dim Eu（^J）=n，因此2n=ns+nu。此外，状态空间中的两点x（n）iI是固定的，而n- nsvectorsvi∈ 我们被选中了。然后，计算收敛到^Xbecomes˙X（t）=tf（X（t），u），t的稳定路径的相应BVP∈ [0,1]（29a）X（n）（0）=X（n）+（1）- κ） （x（n）- x（n））+n-nsXi=1κivi（29b）Ohm>（^X）- X（1））=0∈ Rnu（29c）带等级（x（n）- x（n））v··vn-ns= N- ns+1（29d）Ohm⊥ Es（^J）=0和Ohm ∈ R2n×nu。假设κj=0，j=0，…，的解Y（·），N- nsis是已知的。那么等式（29b）可以解释为我们沿着x（n）方向寻找解的条件- x（n）。此外，我们必须小心，让足够的自由，由29d保证，从稳定的歧管开始。A.2.2差异阈值点的延续对于ρ>0且目标值有限的模型（1），给出了哈密顿量和目标值之间的有用关系[cf.Michel，1982]。然后，我们找到正则系统方程（3）J（x）=ρH（x（0），λ（0））（30）的任何解x（·），λ（·），其中H根据方程（3d）定义，并且省略了条。设^Yi，i=1，2是等式（3）的两个CSS，而xIand xIbe是模型（1）的两个不同阈值点。此外，设Z1,2（·）是对应于xind的两个解，Z3,4（·）是对应于xI的两个解。

为了从xIto xi继续差异阈值点，我们解决了以下同伦问题˙X（t）=TF（X（t）），t∈ [0,1]（31a）˙X（t）=TF（X（t）），t∈ [0,1]（31b）X（n）（0）=X（n）（0）∈ Rn（31c）H（X（0））- H（X（0））=0∈ R（31d）Ohm>（^Y）- X（1））=0∈ 注册护士（31e）Ohm>（^Y）- X（1））=0∈ Rn（31f）X（n）（0）=xI+（1）- κ） （十一）- xI）+κV∈ Rn（31g）带AV+a（xI）- xI）=0和|a |+|a | 6=0Ohm我⊥ Es（^Ji），i=1,2。方程（31a）和（31b）表示从相同初始状态开始的两条不同路径的动力学，方程（31c）。截断时间T>0和T>0可以不同地选择。两条路径sx（·）和X（·）产生相同的目标值，根据等式（30）可以表示为等式（31d）。方程（31e）和（31f）分别表示路径X（·）收敛到^和X（·）收敛到^Y的渐近边界条件。最后，等式（31g）规定了状态空间中的延续，其中第一部分xI+（1- κ） （十一）- xI）描述了向目标方向的变化。dκV是一个修正项，因为稳定流形的一维小于状态空间。计算未知数和方程的数量，我们发现4n+2个未知数，是状态和共状态Xi（·）的两倍，以及两个自由参数κi，i=1，2和4n+1方程。此外，对于（Z1,2（·）、0,0）和（Z3,4（·）、1,0）方程（31）求解。因此，我们可以从这些之前检测到的解决方案开始一个延续过程。本节详细说明了模型（20）数值分析的基本步骤。这使用户能够重现呈现的结果，并学习CMAT的基本命令和结构。B.1初始化为了得到在空间维度上与Grassand Uecker[2015]中使用的离散化相当平滑的结果，我们选择N=51。

在OCMat的语法逻辑中，我们必须提供一个由N+1个ODE、N+1个状态项和控制变量Pi、ui、i=0等组成的初始化文件，N和适当的目标函数。