基于流动性的限价订单随机模拟框架

2022-5-11 16:41:46

它们还产生了LOB模拟框架，这些框架具有相同的属性，例如Christensen等人[2013]，Daniels等人[2003]。在本文中，我们提出了第三种混合方法，基于从每种方法中选择属性。特别是，我们开发了一种新形式的基于代理的限价订单簿模型，该模型基于流动性激励代理，其中LOB价格和交易量动态是现实市场参与者冲突之间相互作用的涌现特征。在我们的框架中，我们开发了两种类型的此类代理，即流动性提供者（做市商）和流动性需求者，后者形成了算法交易者、噪音交易者、趋势跟踪者和其他类型投机者的风格化代表。它们的活动在随机模型框架中表示，这比典型的简单代理模型更详细。这使我们的模型介于传统的基于代理的模型和纯粹的限价订单随机模型之间。该模型的结构允许在严格的统计估计框架下进行有效校准。我们介绍了一种基于间接推理和多目标优化相结合的新的基于仿真的估计方法。我们将我们的代表性代理随机模型校准为来自Chi-X的2级限额订单数据的真实高频数据。我们展示了如何使用这样的程序来估计模型，从而得到的模拟在多个方面接近真实数据，在我们的例子中是日内价格和交易量过程的行为。我们开发的基于代理的建模方法的一个实际好处是，可以利用它来估计监管干预的效果。

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2022-5-11 16:41:49

在现代LOB中，有人提议引入监管，以便在高频交易被视为对市场质量有害的情况下，抑制高频交易。在基于随机因素的建模框架下，我们能够评估“报价与交易比率”征收的影响，本文对此进行了讨论。该模型的实证预测表明，在其他条件相同的情况下，实施此类调整足以限制价格过程中的极端日内波动。我们的工作在多个方面为LOB建模领域做出了贡献：首先，我们的模型具有结构组件，这些组件可以直接解释，并且很容易理解市场参与者的行为。与传统的基于代理人的模型相比，我们根据流动性动机进行的划分更能反映当前的市场行为。传统模型将代理人群体划分为与价格基本面有关的要素和与近期价格波动有关的要素。其次，可以捕捉观察到的LOB过程的关键属性，如资产价格演变的动力学、流动性动力学和交易量过程属性。此外，该模型能够在LOB的不同级别上捕获限制订单、市场订单和取消活动强度的依赖性，这在以前的模型中没有考虑到。最后，作为对一般仿真模型校准的贡献，本文为仿真模型提供了一个新的统计估计框架，该框架既严格又高效。论文的其余部分组织如下。第2节概述了基于代理的LOB建模和随机LOB建模文献，这两种文献都是本文的研究来源。第3节给出了我们的随机代表性基于代理的模型的每个组成部分的正式数学描述。

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能者818

2022-5-11 16:41:51

第4节介绍了本文采用的估计程序，以及我们在校准模型时感兴趣的真实数据的特征。第5节介绍了评估复杂度不断增加的模型的各种版本的结果。第6节介绍了在模拟市场中引入报价与交易比率的案例研究。第7节结束。2相关文献2。1 LOB模拟动力学背景：基于代理的模型在金融市场模拟的基于代理的建模文献中，通常将交易人群分为原教旨主义者和图表主义者。早期的研究，如泰勒和艾伦[1992]的研究，对伦敦的一些交易商进行了调查，以描述当时普遍存在的交易行为。这类调查指的是原教旨主义交易者通过对交易资产的经济分析得出自己的观点。在基于代理的模型背景下，原教旨主义者和交易者将他们的经济分析提炼成一个单一的图形，即资产的基本价格，并据此进行交易。另一方面，作为一名图表交易商，需要“在很大程度上目视检查过去价格的基础上提供预测或交易建议，而不考虑任何潜在的经济或基本面分析”。在基于代理的模型中，常见的图表师行为包括根据资产价格与特定时期的移动平均值进行比较做出决策，或者假设在不久的将来某个方向上的短期变动将继续（动量策略）。基于代理的建模中的图表主义和原教旨主义文学始于Frankel和Froot[1988]和Kirman[1993]的作品，然后由Farmer和Joshi[2002]、Westerhoff和Reitz[2003]Youssefmir等人[1998]和Vigfuson[1997]等进一步发展。

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2022-5-11 16:41:54

作为捕获交易行为异质性的第一步，交易行为的这种区别很重要，并表明在零情报代理类型的方法和完美理性模型之间有一个有用的中间地带可以探索。然而，市场已经发生了变化，参与者的行为也发生了相应的变化。现代市场中交易行为的一个更相关的划分是买卖双方，后者为前者提供流动性。基于代理的LOB活动的最新模型将流动性规定视为区分不同类型代理的一种方式（例如，参见Preis等人[2007]的示例和LeBaron[2006]的相关工作回顾）。一方面，我们有流动性提供者，第2.1节详细介绍了基于代理建模的图表主义和原教旨主义方法。可能有报价义务（即他们是指定的做市商），或者没有报价义务（高频交易者通常是这样）。另一方面，我们有流动性需求者（或流动性交易者），他们的交易需求与模型或价格无关。这些例子包括被动指数基金的基金经理。我们的模型还假设存在这两种类型的代理，但它与大多数ABM不同，因为我们没有明确地为单个代理建模。我们不能声称对任何类型的交易者所采用的策略有确切的了解，而且在任何情况下，由于各种高频交易公司策略的近期性质和复杂性，实施哪怕是此类策略的一小部分都将是一项非常困难的任务。然而，我们预计，来自一类代理的订单流的聚合将更适合于建模。

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2022-5-11 16:41:57

这为在随机建模框架中考虑这种代理活动提供了动机。2.2 LOB模拟动力学背景：随机（非基于代理）这类随机模型更多地是从统计角度出发，其中市场结构的几个组成部分，以及市场参与者策略的细节，被一组风格化的统计假设抽象出来。目标通常是通过随机模型对LOB过程的特定特征进行建模，例如价格或体积过程。尤其是在对描述市场结构随时间变化的实证研究做出回应时，此类模型被用来帮助在更短的时间间隔内理解股价动态[Cartea and Jaimungal，2013]。就本文中使用的方法而言，几位作者将LOB视为每种价格下的订单队列，并将其视为任何一方（出价和出价），因此，采用队列类型的随机结构来执行LOB模拟。这些例子包括Cont等人[2010]提出的排队系统，以及Cont和De Larrard[2013]提出的更简单的规范。在该模型下，LOB被视为连续时间马尔可夫链，其中所有事件类型（每一级别的限额订单、取消、市场订单）都是相互独立的。他们表明，当一个人从最佳出价或出价移动时，描述极限顺序强度函数的幂律假设与经验观察结果非常吻合。他们还获得了算法交易中可能感兴趣的各种LOB事件的条件概率。在作为LOB模拟器的马尔可夫排队系统的一个重要扩展中，Huang等人[2013]考虑了参考价格（本例中的中间价格）恒定的不均匀间隔内的交易活动。

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2022-5-11 16:42:00

它们还引入了不同LOB水平的活动之间的一些微不足道的相关性，以解释在第一个LOB水平之外的流动性消耗，当第一个LOB水平没有静止量时。纯粹使用事件过程对模型进行的模拟无法紧密反映真实市场的宏观层面特征，因此需要对前几个层面以外的静息交易量分布进行一些假设。限额订单、市场订单和取消订单的到达过程是最常见的LOB建模方面之一。例如，为了解释交叉股票观察到的价格影响函数的凹性，Smith等人[2003]将买卖双方的限价订单到达率视为独立的泊松过程，并将相对于现有出价和卖价定价的订单。他们的简化涉及pricingon有限的网格、恒定的订单规模和恒定的取消率。然而，后来的模型[Bowsher，2007，Large，2007]观察到交易活动中存在集群，这是LOB的一个特征，无法通过将订单到达建模为独立的泊松过程来捕捉。相反，Bowsher[2007]和Large[2007]提出使用单变量和多变量Hawkes过程，分别解释交易集群和交易后限制订单到达（即订单补充）。最近，Huang等人[2013]还提出了一个简单的马尔科夫排队系统，以捕捉LOB前两个级别流动性消耗的依赖性。https://www.nyse.com/market-model/dmm-case-studiesHasbrouck以及Saar[2013]和Hendershott等人。

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2022-5-11 16:42:03

[2011]提供了高频交易公司在市场中越来越多的代表性的证据，尽管[Brogaard等人，2014]没有发现这会增加机构执行成本。为LOB模拟提出的其他随机模型包括Ro,su【2009】提出的模型，他引入了一个LOB模型，旨在与市场微观结构理论支持的逆向选择风险相比，为在不同LOB水平提交订单提供另一种解释。相反，假设交易者在以更有利的价格进行交易时具有更高的预期效用，但在通过限价指令进行交易时，其效用与等待时间成正比。该模型预测，流动性提供者之间的竞争可能会导致竞购askspread，大市场订单的可能性可能会导致驼峰形LOB。虽然我们在模型中考虑的代理人行为的总体动机来自其流动性脉冲，但我们为其交易活动考虑的随机模型与本节中描述的模型系列有关。极限订单到达的独立齐次泊松过程的假设是非常简单的，因此，我们将极限订单到达强度的依赖性纳入不同水平的极限订单到达强度，作为我们在下一节描述的灵活参数模型的一部分。3新视角：基于随机代理的LOB模型在本节中，我们为基于随机代理的模型的每个组成部分提供正式的数学规范。这包括流动性提供者代理机构的限价订单安排和取消的随机模型，以及流动性需求代表机构的市场订单安排的随机模型。

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2022-5-11 16:42:07

随机ABM框架可以对日内LOB活动的非线性依赖性进行建模，这种依赖性既考虑了不同类型的事件（如限价和市场订单）之间的依赖性，也考虑了相同类型的事件，但水平不同（如LOB ask端的2级和5级取消）。我们广泛使用灵活的多元斜-t分布，该分布在对波动性的重尾、尾依赖、倾斜和聚集进行建模方面是独一无二的[Demarta和McNeil，2005年，Fung和Seneta，2010年]。3.1限额订单模拟框架我们考虑固定时间间隔内的日间LOB活动，[t]- 1，t），[t，t+1]，……对于每个区间[t，t+1]，我们允许随着模拟的发展动态调整LOB的出价或要求方的总级别。这些LOB级别根据两个参考价格定义，等于pb，1t-1和pa，1吨-1，即区间开始时的最高出价和最低要价。我们认为这些参考值在整个时间间隔[t]内是恒定的-1，t），因此，书中投标方的水平定义为距离pa，1t的整数刻度-1，而书中ask端的级别定义为pb的整数倍，1t-1.这并不意味着我们期望最佳出价和要价保持不变，只是我们根据这段时间内与这些参考价格之间的距离（以滴答为单位）对活动进行建模（即限制订单到达、取消和执行）。我们注意到，当然有可能在这段时间内，以最佳投标价格的成交量被消耗掉，并且限价订单以该价格发布，这将被视为与参考价格相差0点。为了考虑到这种可能性，我们在-ld+1，0, . . .

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2022-5-11 16:42:10

，从每个参考价格中扣除。这里，p下标将指被动订单，即如果参考价格保持不变，不会导致立即执行的订单。d指直接订单或激进订单，在此情况下，我们再次理解，这些订单是相对于期初的参考价格而言的激进订单。因此，如图1所示，我们在bid和SK上以总lt=lp+LDL水平对活动进行积极建模。我们假设发生在更远的地方的活动与接近书籍顶部的活动不相关（如图2所示），因此不太可能对价格演变和成交量过程的性质产生太大影响。因此，处于主动建模LOB级别之外的卷(-ld+1，0, . . . , 在代理交互将这些级别带入主动建模级别的范围内之前，假设买卖中的lp）保持不变。为了展示模拟框架的细节，包括每个代理的随机模型组件，即流动性提供者和流动性需求者，我们首先定义以下符号：1。增值税=（Va，-ld+1t，Va，lpt）-时间t时askside上每个层级上的订单数量的随机向量，时间t2时LOB的活动建模层级上的订单数量。NLO，at=（NLO，a，-ld+1t，NLO，a，lpt）-在区间[t]的每一级，进入ask端limitorder book的限制订单数量的随机向量- 1，t）3。NC，at=（NC，a，1t，…，NC，a，ltt）-区间[t]内ask侧取消的限制指令数量的随机向量- 1，t）4。

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2022-5-11 16:42:13

NMO，at——流动性需求方在区间提交的市场订单数量的随机变量[t]- 1，t）我们认为限额订单和市场订单以及取消的流程与LOB中实际市场参与者的行为有关。在下文中，我们对两类流动性激励代理人的活动进行了建模，即流动性提供者和流动性需求者。当我们在离散时间间隔中建模LOB活动时，我们在每个时间间隔结束时按以下顺序处理聚合活动：1。流动性提供商代理2限制订单到达-被动。限制流动性供应商代理3的订单到达（主动或直接）。由流动性提供机构4取消。市场指令由流动性需求方代理。这种指令的基本原理是，绝大多数提交和取消的限价指令通常是由高频交易者的活动引起的，许多剩余指令在较慢的交易者可以执行之前被取消。此外，这样的订单允许我们根据LOB的状态设置条件，这样我们在特定级别上的取消不会比在该级别上的订单多。我们不认为这是一个限制，因为对于给定的模拟，我们考虑的时间间隔可以尽可能小。3.2随机代理表示：流动性提供者和需求者我们假设流动性提供者对所有做市行为负责（即LOB的买卖双方提交的限价单和取消限价单）。在将流动性过账到LOB后，寻求流动性的市场参与者，例如使用某种执行算法的共同基金，可以利用市场订单的剩余量。

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2022-5-11 16:42:15

对于做市商而言，在出价方和要求方执行的交易量之间实现平衡是有利的；然而，也存在逆向选择的风险，即针对具有更高信息的贸易商进行交易，这可能会导致损失，例如，如果贸易商发布的多个市场订单消耗了LOB多个级别的交易量。信息不对称导致的逆向选择风险是市场微观结构理论的基本原则之一[O\'hara，1995]。为了降低这种风险，做市商以不同的价格和/或不同的规模取消并重新提交订单。定义1（流动性提供方代理的限额订单提交流程）。考虑流动性提供方代理的limitorder提交流程，在账簿的买卖双方都包括被动和主动的limitorder，假设其具有以下随机模型结构：1。让多元路径空间随机矩阵NLO，k1:T∈ Nlt×T+可以由随机向量构造，用于极限顺序放置的数量NLO，k1:T=NLO，k，NLO，k，NLO，kT. 此外，假设在时间t时，每个级别的阶数的随机向量都有条件地依赖于极限阶数达到的强度的随机过程，由随机矩阵∧LO，k1:t给出∈ Rlt×T+和路径空间上的∧LO，k1:T=∧LO，k，∧LO，k，∧LO，kT. 在下面，k∈ {a，b}表示买卖双方各自的流程。2.假设随机向量具有条件独立性NLO，ks |∧LO，ks⊥⊥hNLO，kt |∧LO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(1)3. 对于每个时间间隔[t- 1，t）从当日交易开始，让随机向量表示在限价指令簿的每个主动建模级别中新下的限价指令数量，即对应于滴答声的价格点(-ld+1，0, 1, . . .

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2022-5-11 16:42:18

，lp），如图1所示，用NLO，kt=（NLO，k，-ld+1t，NLO，k，lpt），并假设这些随机向量满足条件独立性质hno，k，st |∧LO，k，sti⊥⊥hNLO，k，qt∧LO，k，qti，s6=q，s，q∈ {-ld+1，0, 1, . . . , lp}。(2)4. 假设随机向量NLO，kt∈ Nlt+按照多元广义Cox过程分布，条件分布为NLO，kt~ GCPλLO，kt由公共关系部提供NLO，k，-ld+1t=n，NLO，k，lpt=nlt∧LO，kt=λLO，kt=Qlps=-ld+1（λLO，k，st）NSN！扩展-λLO，k，sti（3）5。根据∧LO，ks，无条件假设潜在强度的随机向量的独立性⊥⊥ ∧LO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(4)6. 假设强度随机向量∧LO，kt∈ Rlt+是通过随机向量ΓLO，kt的元素转换获得的∈ Rlt，其中对于每个元素，我们有∧LO，k，st=uLO，k，sF的映射ΓLO，k，st（5）我们这里有∈ {-ld+1，lp}，基线强度参数nuLO，k，so∈ R+和严格单调映射F:r7→ [0, 1].7. 假设随机向量ΓLO，kt∈ R根据多元斜t分布ΓLO，kt分布~带位置参数向量mk的MSt（mk，βk，νk，∑k）∈ Rlt，偏度参数向量βk∈ Rlt，自由度参数νk∈ N+和lt×ltcoveriance矩阵∑k。因此，ΓLO，kt有密度函数fΓLO，ktγt；mk，βk，νk，∑k=cKνk+lt√（νk+Q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βkexp（γt）-mk）T[∑k]-1βk√（νk+Q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βk-νk+lt1+Q（γt，mk）νkνk+lt（6），其中Kv（z）是由Kv（z）=z给出的第二类修正贝塞尔函数∞伊夫-1e-z（y+y）-1） dy（7）和c是归一化常数。我们还将函数Q（·，·）定义如下：Q（γt，mk）=（γt- mk）T∑k-1（γt- mk）（8）该模型还允许使用skew-t边缘和skew-t copula，详情见Smith等人[2012]。

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2022-5-11 16:42:21

重要的是，该随机模型允许以下比例混合表示，ΓLO，ktd=mk+βkW+√W Z（9）与反伽马随机变量W~ IGaνk，νk和独立的高斯随机向量Z~N0，∑k.8.假设对于来自随机向量NLO，kt的每个元素NLO，k，stof阶数，存在对应的随机向量OLO，k，st∈ 订单大小为NNLO、k、st+。我们假设元素OLO，k，si，t，i∈n1，NLO，k，STOI以OLO，k，si，t的形式分布~ H（·）。此外，我们假设订单大小是无条件独立的OLO，k，si，t⊥⊥ OLO、k、si、tfor i 6=i、s 6=sand t 6=t。我们现在定义了流动性提供者代理的第二个组成部分，即取消流程。取消过程与上述限购单提交过程具有相同的随机过程模型规范，包括投标和询价中每个LOB级别的随机强度之间的斜t依赖结构。因此，为了避免重复，我们仅在以下规范中规定了取消流程与订单安排模型定义之间的差异。定义2（流动性提供方代理的限额订单取消流程）。考虑流动性提供方代理的限额订单取消流程，使其具有与限额订单提交相同的特定随机模型结构。例外情况是，假设在每一级别的每个时间间隔内，取消的订单数量正好被该级别的订单总数截断。1.至于提交，我们假设取消是一个多元路径空间随机矩阵NC，k1:T∈ Nlt×T+由NC给出的取消订单数的随机向量构成，k1:T=NC，k，NC，k。

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2022-5-11 16:42:24

，北卡罗来纳州，kT.此外，假设这些随机向量在每个LTL水平上的取消顺序数，强度的潜在随机过程由随机矩阵∧C，k1:T给出∈ Rlt×T+，在路径空间中由∧C，k1:T给出=∧C，k，∧C，k，∧C，kT.2.假设对于随机向量Vkt，对于放置限制顺序后位于LOB中的体积，我们有Vkt=Vkt-1+NLO，kt，随机向量NC，kt∈ Nlt+按照截断的多变量广义Cox过程分布，条件分布为NC，kt |Vkt=v~ GCPλC，ktI（NC，kt<v）（带v=（v-ld+1，vlp）由PR提供NC，k，-ld+1t=n-ld+1，NC，k，lpt=nlp∧C，kt=λC，kt，~Vkt=v=lpYs=-ld+1（λC，k，st）NSN！Pvsj=0（λC，k，st）jj！。(10)3. 假设对于取消计数NC、k、st，具有最高优先级的订单从级别s（也是其各自队列中最早的订单）取消。还假设取消总是完全取消订单，即没有部分取消。我们通过考虑流动性需求代理人的规格来完成代表代理人的规格。定义3（流动性需求方代理的市场订单提交流程）。假设流动性提供者的代表代理人由市场订单组成，其具有以下随机结构：1。假设一个路径空间随机向量NMO，k1:T∈ N1×T+表示根据随机变量构造的市场订单数量，表示每个时间间隔内的市场订单数量，k1:T=NMO，k，NMO，k，NMO，kT.此外，假设对于这些随机变量，强度的潜在随机过程由随机变量∧MO，k1:T给出∈ Rlt×T+，在路径空间上由∧MO，k1:T给出=∧MO，k，∧MO，k，∧MO，kT.2.

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2022-5-11 16:42:33

假设随机变量具有条件独立性NMO，ks∧MO，ks⊥⊥hNMO，kt∧MO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(11)3. 假设对于随机变量Rkt，在下达限制指令和取消限制后，位于LOB另一侧的容积，我们有?Rkt=∑lps=1h?Vk，st-T- NC，k，sti，其中k=a，如果k=b，反之亦然，随机变量NMO，kt∈ N+根据截断的广义DCOX过程分布，条件分布为NMO，kt |Rkt=r~ GCPλMO，ktpr给出的I（NMO，kt<r）NMO，kt=nλMO，kt=λMO，kt，~Rkt=r=（λMO，kt）nn！Prj=0（λMO，kt）jj！。(12)4. 根据∧MO，ks，无条件假设潜在强度的随机向量的独立性⊥⊥ ∧MO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(13)5. 假设每个强度随机变量∧MO，kt∈ R+有一个相应的转换强度变量ΓMO，kt∈ R和每个元素的关系由∧MO，kt=uMO，kF的映射给出ΓMO，kt（14）对于某些基线强度参数uMO，k∈ R+与严格单调映射F:r7→ [0, 1].6. 假设随机变量ΓMO，kt∈ R、表征广义Cox过程变换前的强度，分布在区间[t]- 1，t）根据一元斜t分布ΓMO，kt~ St（mMO，kt，βMO，k，νMO，k，σMO，k）。假设对于市场订单计数的每个元素NMO，kT，都有一个对应的随机向量k，st∈ NNMO，kt+订单大小。我们假设元素OMO，ki，t，i∈n1，NMO、ktois根据OMO、ki、t进行分配~ H（·）。还假设市场订单大小是无条件独立的OMO、ki、t⊥⊥OMO，ki，tfor i 6=ior t 6=t。我们用随机向量Lt表示给定日期时间t的真实数据集的LOB状态，这对应于出价和要价的每个级别的价格和数量。

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2022-5-11 16:42:36

利用上述基于随机代理的模型规范，并给定一个参数向量θ（通常代表流动性提供和流动性需求代理类型的所有参数），还可以生成日内LOB活动的模拟，并得出合成状态L*t（θ）。模拟LOB在时间t的状态从时间t的状态中获得- 1和一组随机分量，通常用Xt表示，它们是从基于代理的模型的以下分量的单个随机实现中获得的：o限制订单提交强度∧LO，bt，∧LO，at，订单号NLO，bt，NLO，at和订单大小OLO，a，si，t，OLO，b，sj，t，其中s=-ld+1。lp，i=1。NLO，a，st，j=1。NLO，b，sto限额订单取消强度∧C，bt，C，A和取消数量NC，bt，NC，ato市场订单强度∧MO，bt，MO，at，市场订单数量NMO，bt，NMO，at，VMO，bt，VMO，A和市场订单大小OMO，ai，t，OMO，bj，t，i=1。NMO，at，j=1。NMO，bt这些随机特征与LOB，L的先前状态相结合*T-1（θ），产生新的状态*对于给定的一组参数θ，给定的byL*t（θ）=G（L）*T-1（θ），Xt）（15）G（·）是一种转换，它将LOB的先前状态和当前步骤中生成的活动映射到一个新步骤，与匹配引擎在每个事件后更新LOB的方式大致相同。然而，由于我们在离散的时间间隔内对活动进行建模，LOB仅在每个时间间隔结束时更新，而输入事件（限价订单、市场订单和取消）在第3节规定的订单中进行处理。1.

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2022-5-11 16:42:38

然后，在实现这些参数θ的条件下，LOB中的交易活动可以根据算法1.4基于模拟的可能性校准中描述的程序进行模拟。所有基于代理的建模框架的一个共同属性是，它们能够生成它们所代表的随机过程的实现，在我们的例子中是LOB过程。也就是说，给定一组关于代理参数的规范，代理模型的模拟是简单而有效的。然而，通常情况下，要么没有直接可处理（逐点评估）的似然模型，要么似然模型复杂且计算成本高。在这些情况下，当根据观察到的LOB数据校准此类模型时，基于似然推理的传统参数估计方法不直接适用。然而，有一系列方法尚未在基于代理的建模算法中得到广泛应用1基于代理的随机LOB模拟1：过程模拟（θ，T）2：对于T=1。T do3：模拟流动性提供者限额订单的买卖。4：对于k=a，b-do5：模拟限制订单提交的相关随机强度。6：样品ΓLO，kt=γLO，kt~ M St（mk，βk，νk，∑k）通过等式9.7：在等式5.8中应用变换λLO，kt=ukF（γLO，kt）：模拟每个级别的出价/要求的相关限制订单计数。9：样本NLO，kt=NLO，kt~ GCPλLO，kt通过方程式3.10：模拟限制订单大小。11：对于s=-ld+1。lp，i=1。

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2022-5-11 16:42:41

NLO，k，stdo12:OLO，k，si，t~ H（·）13：模拟流动性提供者取消的限额订单买卖。14：对于k=a，b-do15：评估每个级别的投标和询价的总数量。16:~VLO，kt=VLO，kt-1+NLO，kt=~vLO，kt17：模拟买卖取消计数的相关随机强度。18：样本ΓC，kt=γC，kt~ M St（mC，k，βC，k，νC，k，∑C，k）通过等式9.19：在等式5.20中应用变换λC，kt=uC，kF（γC，kt）：在每一级别的出价/要求中模拟相关的限价订单取消计数。21：样本NC，kt=NC，kt~ GCPλC，ktI（NC，kt<vLO，kt）通过等式10.22：模拟流动性需求方市场订单。23：对于k=a，b-do24：评估每一级别投标/报价的当前剩余量。25:RLO，kt=lps=1hVLO，k，st- NC，k，sti=~rLO，kt26：模拟市场订单提交的随机强度。27：样品γMO，k~ St（mMO，kt，βMO，k，νMO，k，σMO，k）来自斜t分布。28：计算式14.29中的转换λMO，kt=uMO，kF（γMO，kt）：模拟市场订单数量。30：样品NMO，kt |rLO，kt~ GCPλMO，ktI（NMO，kt<rLO，kt）通过等式12.31：模拟市场订单大小。32：对于i=1。NMO，ktdo33:OMO，ki，t~ H（·）34:Lt← G（Lt）-1，NLO，at，NLO，bt，NC，at，NC，bt，NMO，at，at，OLO，at，OLO，bt，OMO，at，OMO，bt）返回L={L，…，LT}文献，允许人们仍然对基于模拟的格式指定的模型执行模型校准，即参数估计。我们模型的结构确保我们能够捕捉到不同LOB级别的活动之间的非线性依赖性等特征。该活动包括被动或主动提交的限价订单、取消订单和市场订单，并且可能由两类不同的代理人发起。鉴于这种复杂性，获得可能性的分布形式是不可能的。

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2022-5-11 16:42:44

因此，我们建议通过一种称为间接推理的基于模拟的方法来估计模型。特别是，我们开发了一个新的扩展到这些基于统计模拟的似然推理程序，称为间接推理。4.1间接推理的背景与基于模拟的似然推理相关的大量学术工作，我们关注史密斯[1990年、1993年]和古里鲁[1993年]提出的被称为间接推理的子类，并在格兰特和陶兴[1996年]、古里奥鲁[2006年]以及英古里奥鲁和蒙福特[1997年]的书长报道中进行了广泛介绍。在最基本的层面上，间接推理是基于仿真的随机模型中的参数估计技术。这些模型无法评估数据生成模型的密度，但可以在给定一组参数的情况下生成数据。然后，可以将模拟数据与观测数据进行比较，并在此比较的基础上获得一组参数的适用性度量。为了通过间接推理实现这一点，我们引入了一种新的模型，称为“辅助模型”，它是特定的，通常甚至不是生成的，但通常可以通过例如最大似然估计来轻松估计。这个辅助模型有自己的参数向量β，带有点估计器bβ。辅助模型的这些参数描述了观测值分布的各个方面。

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2022-5-11 16:42:47

间接推理的思想是简单地尝试匹配观测数据y（由bβ（y）给出）上估计的辅助模型参数和模拟数据y上估计的辅助模型参数*（θ），通过使用实际模型θ的参数（由bβ（y）给出）进行模拟得到*(θ)).我们可以看到，间接推理只要求我们想要估计的模型可以被模拟，并通过为模拟和真实数据建立一个更简单的辅助模型来进行。然后，通过最小化辅助模型的参数向量与模拟数据和真实数据之间的差异，获得模型参数的估计值。在考虑辅助模型的选择时，人们可能考虑的最简单形式是，对真实观测数据（如y）和模拟合成数据y计算的单一汇总统计数据进行比较*. 或者，可以考虑考虑使用求和辅助参数向量的方法，例如Winker等人[2007]考虑最小化估计矩的真实数据向量和合成模拟数据等价物之间的加权L2二次误差函数。其他采用此类方法的人包括McFadden【1989年】和Pakes及Pollard【1989年】，他们各自提出了矩估计方法的定义，称为模拟矩方法（MSM）。其他基于模拟的替代估计技术包括模拟最大似然法（SML）和模拟分数法（MSS）。

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2022-5-11 16:42:50

此类技术已被用于许多经济模型的估计，例如动态随机一般均衡（DSGE）模型Ruge Murcia[2007]和资产定价的马尔科夫模型Duffee和Singleton[1993]。在本文中，我们考虑的辅助模型是基于分析的LOB随机过程的各个方面。我们考虑的关键特征包括LOB中的价格变化和交易量。特别是，我们希望捕捉日内对数收益率波动性的聚类，以及LOB前n级总交易量的动态行为。具体来说，获得间接推断估计器的顺序如下：1。将观察到的LOB状态序列L1:T转换为辅助模型数据sety=T（L1:T）。利用观测到的辅助模型数据y，估计辅助模型参数bβ（y）。初始化随机代理LOB模型的参数向量，在我们的例子中，流动性提供者和流动性需求者代理模型参数θ（0）。然后模拟LOB模型L的综合实现*1:Tθ(0)来自随机代理模型。4.以LOB状态L的合成序列为例*1:Tθ(0)并将其转换为辅助模型数据集*（θ（0））=TL*1:Tθ(0).5.使用合成辅助模型数据y*（θ（0）），估计辅助模型参数bβY*(θ(0)).6.估计辅助参数向量之间的马氏距离或欧氏距离bβ（y），bβ（y*(θ(0)))7.设置最佳参数向量Bθopt=θ（0），距离Dmin=Dbβ（y），bβ（y*(θ(0))).8.

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2022-5-11 16:42:53

使用建议的参数向量θ（j）重复步骤3至7，直到收敛，或对于j个总迭代，步骤（vii）有条件地应用于eventDmin>Dbβ（y），bβjY*θ（j）关于从这种数据生成过程中获得的估计量，我们已经知道了一些理论性质，参见Smith[2008]和Genton and Ronchetti[2003]中的讨论。在某些假设下，可以证明间接推理过程产生了模型参数的点估计量，该点估计量在相当不受限制的正则性条件下是一致且渐近正态的（Gourieroux和Monfort[1997]）：1。为了估计辅助模型参数β，我们使其最大化的可能性趋于渐近非随机极限。2.该极限在仿真模型参数θ中是连续的。所谓的绑定函数将辅助模型的参数与我们试图估计的实际模型的参数联系起来，它是一对一的，它对辅助模型参数的导数是满列秩的。此外，当模型对观测数据进行了正确描述时，间接推理可以证明是渐近有效的。4.2多目标间接推理用于基于模拟的模型校准为了对我们的代理随机模型进行估计，我们开发了一种基于模拟的估计程序的新扩展，它结合了两个关键思想：基于间接推理的基于模拟的似然推理，以及通常用于遗传搜索算法的多目标优化方法。我们将估计方法的结果类表示为多目标II。提出的多目标II估计框架，即非标准间接推断，旨在允许一个人使用多个辅助模型，每个模型捕捉LOB随机过程的不同特征。

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2022-5-11 16:42:56

从这个意义上说，这是标准间接推理程序的多目标扩展，它自然允许我们探索LOB给出的目标随机过程的相关特征。为了继续说明多目标II估算方法，除了第3节中描述的LOB模拟框架外，我们还需要指定o辅助模型，每个模型由一组参数向量进行参数化，通常用β表示，根据观测数据随机过程的特征，我们希望用我们的模型来近似量化辅助模型参数与真实数据（我们将使用shorthandbβ来表示Bβ（y））之间差异的目标函数，以及量化辅助模型参数与合成生成数据之间差异的目标函数（我们将使用shorthandbβ）*（θ） forbβ（y）*（θ））o在对随机代理LOB模型校准执行基于仿真的优化时，搜索方法将探索基于随机代理的模型的参数空间。4.2.1辅助模型辅助模型有时被称为估计函数，用于捕获我们希望在模拟中反映的真实数据的各个方面，即它们不一定必须与数据生成过程密切对应，但每个模型都应捕获一些相关特征，这些特征将通知随机模拟模型参数的估计。在标准的间接推理方法中，只有一个辅助模型，通常来自一类相对简单的模型，有关选择的指南，请参见Heggland and Friessesi[2004]。在我们的框架中，对于给定的候选参数向量θ，我们生成LOB过程轨迹的M个实现，即。L*,mt（θ）t> 0米∈{1,2，…，M}，来自基于随机代理的LOB模型。

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2022-5-11 16:42:58

然后，对于每一个由向量参数化、通常由β表示的辅助模型，我们利用模拟数据获得辅助模型参数的估计，例如通过最大似然框架：bβ*（θ） =arg maxβMXm=1TXi=1log（f（T（Lmt（θ））|T（L*,mt-1(θ)); β)). （16）原则上，可以根据特定应用的需要采用尽可能多的辅助模型。然而，有几位作者探讨了在多目标优化框架下，目标函数K的数量对估计性能的影响。例如，Purshouse和Fleming[2003]以及Hughes[2005]认为，基于帕累托排序的方法，比如本文中使用的方法，与目标数量的比例很低。K–oppen等人[2005]解释说，目标数量的增加可能会对优化产生负面影响，因为基于帕累托最优的多目标框架中的主导概率将为零。有大量目标的第二个问题是，很难定性地比较结果，因为在有K个目标的任务中，一组解决方案存在于K中- 1超空间。基于这一指导，我们着重于捕捉LOB随机过程的两个核心特征，这两个特征与价格的演变和书的顶部附近的卷的性质有关。辅助模型1-价格特征：如果我们将中间价格表示为pmidt=pa，1t+pb，那么日志返回定义为rt=lnpmidt-这里这是一个合适的间隔，在我们的情况下是1分钟。图3显示了典型股票GDF Suez一天的日志收益时间序列。这个说明性的时间序列显示了中等价格动态的典型特征，例如异方差性。ARCH-LM测试正式证实了ARCH效应的存在。因此，波动率σt=pV ar（rt | rt-1.

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2022-5-11 16:43:01

）不是常数，可以用广义自回归条件异方差模型或GARCH（p，q）模型捕捉，其中rt=σtη和ηt~ N（0，1），我们对平方效用σt=a+art-1+ . . . + 阿普特-p+bσt-1+ . . . + bqσt-QAI在哪里≥ 0，北京≥ 就我所知，0∈ {1，…，p}和j∈ {1，…，q}。为了简化辅助模型，我们对这方面的数据使用了aGARCH（1,1）模型，由β=（a，a，b）参数化。辅助模型2——交易量特征：在图4中，我们展示了一个典型的GDF苏伊士股票交易日买卖双方交易量的例子。我们将ARIMA模型应用于该数据，以捕获LOB卷的时间序列结构。在模型识别过程中，我们会犯吝啬的错误，因为我们希望在间接推理过程中获得一个参数很少的辅助模型。我们首先通过计算第一个差异，消除了在一天中LOB量时间序列中观察到的线性趋势，见图4。图4给出了结果样本ACF和PACF，表明anMA（1）模型是合适的。因此，我们将ARIMA（0,1,1）模型应用于体积数据。4.2.2结合多目标优化和间接推断迄今为止，对于随机LOB代理模型中的一组给定参数，我们模拟了订单预订过程。然后利用这些模拟数据构建一个框架，在该框架中，我们获得了多个fittedparameter向量，每个辅助模型对应一个向量。

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2022-5-11 16:43:11

我们现在需要考虑如何判断模型参数向量在捕捉真实观测的LOB随机过程动力学时的适用性。在标准的基于间接推理的框架中，人们会将所有辅助模型输出参数向量估计连接到一个辅助模型参数向量中，以便在模拟数据和实际数据之间产生一个单一距离度量或差异。这种连接会导致信息丢失，例如，一些辅助参数模型差异可能与其他差异在不同的尺度上。因此，如果应用了一个简单的连接，这通常会导致一些特定的标准占主导地位，而不是单独考虑每个组件。我们通过引入多目标优化框架来克服这个问题。当通过一系列辅助模型来评估随机代理LOB模型参数的适用性时，这种方法自然会调整基于模拟的估计，以考虑竞争标准。因此，多目标优化方法使我们能够将差异分数的多个距离度量作为独立的目标函数来考虑。在这个框架中，通过模拟生成模型并量化每个辅助模型参数之间的差异，来衡量随机代理LOB模型参数向量θ的适用性。每个辅助模型都适用于观测数据的转换以获得（bβk）和模拟LOB数据的转换（bβk）*k（θ）），通过测量两者之间的距离来计算差异分数。最常用的距离度量基于某种形式的加权或未加权范数，例如Lp范数或p阶的Minkowski距离，其中L∞-norm，L-norman和L-norm在实践中经常使用。

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2022-5-11 16:43:14

我们采用L-范数来衡量我们所考虑的基于价格和基于体积的辅助模型的差异，通常为第k辅助模型byDk（θ）=D给出bβk，bβ*k（θ）=qkXi=1hbβkii-血红蛋白β*k（θ）Ⅱ. （17）对于每个qk维辅助模型，k=1，K.4.2.3多目标优化和帕累托最优的作用当我们搜索应满足多目标函数的最优参数向量θ时，向量（θ）：=[D（θ），…，DK（θ）]要最小化，在许多情况下，每个单独目标都不会有全局最小值。在这种情况下，可以考虑将帕累托最优的概念作为优化方法产生的单一最优值的替代方案，并参考帕累托效率前沿。非正式地说，这是对解决方案的搜索，因此在搜索空间中没有任何解决方案可以在不恶化另一个标准的情况下单方面改进单个标准（目标函数），这在我们的估计框架的定义4中正式定义。定义4（参数解的帕累托最优优势）。考虑产生参数向量{βK}K的K辅助模型集∈{1,2，…，K}，每个都基于一个基本参数向量θ∈ Ohm, 对于选定的目标函数，产生值D（θ）：=[D（θ），…，DK（θ）]。然后选择θ∈ Ohm 对于可行区域内的解集，称为局部最优或（非支配）最优Ohm, if@eθ ∈ Ohm s、 td（eθ） D（θ），（18）这里我们说D（θ）支配D（eθ），用D（θ）表示 D（eθ），ifDk（θ）≤ Dk（eθ）K∈ {1,2，…，K}和k s.t.Dk（θ）<Dk（eθ）。

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