变量约束下的非线性期权定价模型分析

nandehutu2022

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收藏 2022-05-11

英文标题：
《Analysis of the nonlinear option pricing model under variable
transaction costs》
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作者：
Daniel Sevcovic and Magdalena Zitnanska
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
In this paper we analyze a nonlinear Black--Scholes model for option pricing under variable transaction costs. The diffusion coefficient of the nonlinear parabolic equation for the price $V$ is assumed to be a function of the underlying asset price and the Gamma of the option. We show that the generalizations of the classical Black--Scholes model can be analyzed by means of transformation of the fully nonlinear parabolic equation into a quasilinear parabolic equation for the second derivative of the option price. We show existence of a classical smooth solution and prove useful bounds on the option prices. Furthermore, we construct an effective numerical scheme for approximation of the solution. The solutions are obtained by means of the efficient numerical discretization scheme of the Gamma equation. Several computational examples are presented.
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中文摘要：
本文分析了可变交易成本下期权定价的非线性Black-Scholes模型。假设价格$V$的非线性抛物线方程的扩散系数是基础资产价格和期权伽马的函数。我们证明了经典Black-Scholes模型的推广可以通过将完全非线性的抛物方程转化为期权价格二阶导数的拟线性抛物方程来分析。我们证明了经典光滑解的存在性，并证明了期权价格的有用界。此外，我们构造了一个有效的数值格式来逼近该解。利用伽马方程的高效数值离散格式得到了这些解。给出了几个算例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Analysis_of_the_nonlinear_option_pricing_model_under_variable_transaction_costs.pdf
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可人4

2022-5-11 18:35:28

非线性期权定价模型的分析可低估交易成本DanielˇSevˇcoviˇc*Magdal\'enaˇZitˇnansk+摘要本文分析了期权价格变动交易成本的非线性Black-Scholes模型。假设价格V的非线性抛物线方程的扩散系数是基础资产价格和期权伽马的函数。我们证明了经典Black-Scholes模型的推广可以通过将完全非线性抛物方程转化为期权价格二阶导数的拟线性抛物方程来分析。我们证明了经典光滑解的存在性，并证明了期权价格的有效界。此外，我们还构造了一个有效的数值模式来逼近该解。通过伽马方程的高效数值离散格式获得解。给出了几个计算实例。关键词。Black–Scholes方程，具有非线性波动率、拟线性抛物方程、可变交易成本2000个数学主题分类。35K15 35K55 90A09 91B281简介[7]中提出的具有恒定历史波动率的经典线性Black–Scholes期权定价模型。

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何人来此

2022-5-11 18:35:31

该模型是在多个限制性假设下推导出来的，例如市场完整性假设、连续交易假设和零交易成本假设。根据这一期权定价理论，在t时标的资产S>0的或有权益的价格V（S，t）∈ [0，T]是线性抛物方程的解电视+电视SV+rSSV- rV=0，（1）*应用数学与统计系，夸美纽斯大学，842 48布拉迪斯拉发，斯洛伐克，sevcovic@fmph.uniba.sk+布拉迪斯拉发经济大学数学和精算学系，地址：852 352布拉迪斯拉发，斯洛伐克，马格达莱纳。zitnanska@euba.skThe该研究得到了FP7-PEOPLE-2012-ITN项目#304617 STRIKE和APVV-SK-PT0009-12拨款的支持。式中，r>0是零息债券的无风险利率，σ是标的资产的历史波动率，假设其遵循几何布朗运动的随机微分方程，即dS=ρS dt+σS dW，（2）具有漂移ρ（参见Kwok[24]，Wilmott等人[31,32]）。然而，对市场数据的实际分析表明，需要更现实的模型来考虑经典Black-Scholes理论的上述缺陷。它刺激了各种非线性期权定价模型的发展，其中波动函数不再是常数，而是解V本身的函数。

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kedemingshi

2022-5-11 18:35:35

我们关注的是波动率依赖于二阶导数的情况期权价格相对于标的资产价格S的SV。电视+^σ（S）SV）SSV+rSSV- rV=0，（3）式中^σ（S）SV）是资产价格与期权伽马乘积的函数（伽马是V相对于S的二阶导数）。研究波动率依赖于S的经典Black-Scholes方程（3）非线性扩展的动机SV源于经典期权定价模型，该模型考虑了因买卖资产而产生的非琐碎交易成本（参见Leland[26]）、因大型交易员选择给定股票而产生的市场反馈效应——交易策略（参见Frey等人[12,13]、Sch¨onbucher和Wilmott[30]），来自波动性和无保护投资组合的风险（参见Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc[19]）或投资者偏好（参见Barles和Soner[6]）。考虑交易成本的第一个非线性模型之一是Leland模型[26]，用于定价看涨期权和看跌期权。Hoggard、Whalley和Wilmott[16]进一步扩展了该模型，用于一般类型的衍生品。Grandits和Schachinger[14]、Imaiet al[17]、Ishimura[18]、Grossinho和Morais[15]等人分析了该模型的定性和数值特性。在这个模型中，方差σ由σ（S）给出SV）=σ1.- 勒斯根sSV=σ(1 - 如果SV>0，σ（1+Le），如果SV<0，（4），其中Le=qπCσ√这就是所谓的利兰数，σ是一个恒定的历史波动率，C>0是基础资产市场中每单位美元交易的恒定交易成本，以及t是连续投资组合调整之间的时间差。

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kedemingshi

2022-5-11 18:35:38

具有（4）中给出的波动函数的非线性模型（3）也可以被视为Avellaneda和[3]研究的跳跃波动模型。Amster、Averbuj、Mariani和Rial[1]在论文[1]中介绍了这方面的重要贡献，其中交易成本被假定为形式为C（ξ）=C的非递增线性函数- κξ（C，κ>0），取决于交易量ξ≥ 0需要对冲复制投资组合。这种交易成本函数的一个缺点是，当交易量超过临界值ξ=C/κ时，它可能会达到负值。在Amster等人[1]研究的模型中（另见Averbuj[4]，Mariani等人[28]）波动函数的形式如下：σ（SSV）=σ1.- 勒斯根sSV+ κSSV. （5） [5]Bakstein和Howison研究了资产交易产生的流动性影响的参数化模型。在他们的模型中，^σ是termH=S的二次函数SV：^σ（S）SV）=σ1+？（1）- α） +2λSSV+λ（1）- α)sSV+ 2rπ′γsgnsSV+ 2rπλ（1）- α)γsSV!. （6）参数λ对应于一个市场深度度量，即它衡量平均交易价格的斜率。接下来，参数γ对相对买卖价差进行建模，并通过关系2γp2/π=Le与利兰数相关。最后，α将平均交易价格转换为下一个报价0≤ α ≤ 1.风险调整定价方法（RAPM）模型考虑了Kratka[22]提出的无保护投资组合的风险。Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc在[19]中对其进行了概括和分析。

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nandehutu2022

2022-5-11 18:35:42

在该模型中，波动率函数的形式为：σ（SSV）=σ1.- usSV, （7）其中σ>0是资产价格回报的恒定历史波动率，u=3（CR/2π），其中C，R≥ 0是非负常数，分别代表成本度量和风险溢价度量。本文的结构如下。在下一节中，我们将介绍一个可变交易成本下的非线性定价模型。事实证明，波动率函数依赖于SSV。在交易成本恒定或线性下降的特殊情况下，它分别是Leland[26]和Amster等人[1]模型的推广。第三节致力于将完全非线性的期权定价方程转化为拟线性伽马方程。我们证明了经典H¨older光滑解的存在性，并给出了该解的有用界。在第4节中，我们提出了一种基于有限体积法求解伽马方程的数值方案。我们还提供了几个计算期权价格的数值例子，这些例子基于可变交易成本下非线性Black–Scholes方程的解。2可变交易成本下的期权定价模型经典Black-Scholes理论的一个关键假设是期权和基础资产组成的投资组合进行持续调整（或对冲）的可能性。在购买和出售标的资产所需的交易成本背景下，持续套期保值会导致有限的交易数量和无限的总交易成本。Leland模型[26]（另见Hoggard、Whalley和Wilmott[16]）基于Black-Scholes模型的一个简单但非常重要的修改，该模型包括交易成本和在不同时间重新安排投资组合的可能性。

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nandehutu2022

2022-5-11 18:35:45

由于投资组合是定期维护的，这意味着总交易成本是有限的。我们对可变交易成本期权定价模型的推导遵循了Leland在[26]中提出的观点。因此，我们回顾了利兰的模拟交易成本的方法推导的关键步骤。我们假设一笔交易的成本是常数，即它不取决于交易量。标的资产以较高的要价购买，以较低的出价出售。然后将S的价格计算为买卖价格的平均值，即S=（Sask+Sbid）/2。然后≥ 0代表股票买卖成本相对于价格S的固定百分比，即C=Sask- SbidS=2Sask- SBIDASK+Sbid。（8）综合投资组合的价值∏=V+δS，由一个长仓期权组成，价格为V，δ标的资产的价格在时间间隔[t，t+t] 通过销售δ<0或购买δ>0短期资产。这意味着购买或出售δ资产以S的价格产生额外成本期权持有人的T Ctc=SC|δ|. （9）因此，投资组合的价值变化为：Π = （V+δS）- 在时间间隔[T，T]内的tc（10）+t] 。Leland模型推导的关键步骤是近似于变化交易成本T C按预期值E计算[T C]，即。TC≈ rT-CSt、其中，交易成本衡量rT CI，定义为单位时间间隔内交易成本变化的预期值t和价格S:rT C=E[T C]St、（11）因此，描述投资组合变化的方程式（10）的形式如下：Π = （V+δS）- rT-CSt、（12）由于标的资产遵循几何布朗运动，我们得到S=ρSt+σSW、（13）在哪里W=重量+T- WT是维纳过程的增量。

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能者818

2022-5-11 18:35:49

现在，假设发生了变化投资组合中的∏由无风险利率r的债券平衡≥ 0，即。π=r∏, 用它的o引理V并应用增量对冲策略δ=-我们得到了Black-Scholes方程的推广电视+电视SV+rSSV- rV- rT CS=0。（14）此外，对于函数δ=-我们获得的SVδ = -σSSVW=-σSSVΦ√tplus中的高阶项√t、给~ N（0，1）正态分布随机变量。因此，在最低阶O(√t）我们有|δ|=α|Φ|，其中α：=σSSV√t、（15）对于（9）给出的恒定交易成本的情况，利用E[|Φ|]=p2/π的事实，我们得到rt CS=E[[TC]t=CSE[|δ|]t=SrπC√tσ|SV |=σSLe|SV |，其中Le=qπCσ√这是利兰的号码。在（14）中插入rT CS项，我们得到了Leland方程（3），其波动函数由（4）给出。在Leland模型的推导之后，我们介绍了我们的可变交易成本建模方法。由于大量交易，大型投资者可能会得到折扣。他们购买的越多，每一笔交易的资产支付的金额就越少。一般来说，我们假设每笔交易的成本C是交易金额的非递增函数|δ|，每单位时间t、 i.e.C=C(|δ|). （16）这意味着δ>0或δ<0股，以S的价格，我们计算额外的交易成本单位时间的tc电话：tc=SC(|δ|)|δ|. （17）因此，交易成本度量rT C可以表示为rT C=E[T C]St=E[C(|δ|)|δ|]t、（18）其中C是交易成本函数，以及δ是购买的设备数量δ>0倍δ<0股/单位时间t、为了简化符号，我们引入了所谓的交易成本函数的平均值修正，定义如下：定义2.1设C=C（ξ），C:R+→ R、是一个交易成本函数。

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何人来此

2022-5-11 18:35:54

C:R的积分变换+→ 函数C的R定义如下：~C（ξ）=RπE[C（ξ|Φ|）|Φ|]=Z∞C（ξx）xe-x/2dx，（19）被称为交易成本函数的平均值修正。这里Φ是标准正态分布的随机变量，即Φ~ N（0，1）。将定义（19）应用到等式（18）中，我们得到了交易成本度量的以下表达式：rT C=rπC（α）αt、式中α=σSSV√t、（20）插入交易成本测度rT Cinto（14）对于任意交易成本函数C（ξ）的情况，我们得到了Land模型的推广。命题2.1让C:R+→ R是一个可测量且有界的交易成本函数。然后利用非线性抛物线方程给出了可变交易成本下期权定价的非线性Black-Scholes方程电视+^σ（S）SV）SSV+rSSV- rV=0，（21），其中^σ（S）SV）=σ1-rπC（σS）|SV|√t） sgn（S）SV）σ√T（22）在接下来的两个命题中，我们总结了交易成本函数均值修正的几个有用性质。命题2.2设C（ξ）是一个可测的有界交易成本函数，使得C≤ C（ξ）≤ Cfor allξ≥ 0.那么它的平均值修正C（ξ）是C∞ξ>0的平滑函数。此外，它还具有以下特性：1。~C（0）=C（0）；2.如果C(+∞) = limξ→∞C（ξ）然后C(+∞) = C(+∞);3.C≤~C（ξ）≤ Cfor allξ≥ 0;4.如果C是非递增（非递减）函数，那么C也是非递增（非递减）函数；5.如果C是（非常数）凸函数，那么C是（严格）凸函数。命题2.3设C（ξ）为可测且有界的交易成本函数，且ξ为非递增函数≥ 0.o如果C（0）>0，则函数ξ7→当ξ>0时，C（ξ）ξ是严格凸的如果C≤ C（ξ）≤ Cfor allξ≥ 0则C（ξ）+ξC（ξ）≥ 2C- C.P.r.o.f。

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mingdashike22

2022-5-11 18:35:59

a）自C（ξ）=√2πR∞C（ξx）xf（x）dx=√2πξ-2R∞C（y）yf（y/ξ）dy其中f（x）=e-x/2/√2π和f（x）=-xf（x），f（x）=（x-1）然后，通过代换y=ξx，我们得到了以下恒等式：ddξ~C（ξ）ξ=√2πZ∞C（y）yξf（y/ξ）+3yξf（y/ξ）+yξf（y/ξ）dy=√2πξZ∞C（ξx）x12f（x）+8xf（x）+xf（x）dx=√2πξZ∞C（ξx）x十、- 9x+12f（x）dx=√2πξZ∞C（ξx）h（x）dx=2C(+∞)ξ-√2πξZ∞C（ξx）h（x）dx>0，因为C(+∞) ≥ 0，C（x）≤ 0（如果C(+∞) = 0然后是C6≡ 当x>0时，h（x）>0，其中h（x）=Zxt（t- 9t+12）f（t）dt=rπ- (2 - 5x+x）f（x）是图2中x>0的严格正函数。它在x处有一个独特的正极小值*=问题（9）+√33)/2 \' 2.715.b）同样地，asC（ξ）=ξ-2.√2πR∞C（y）yf（y/ξ）dy，我们得到ξ~C（ξ）=-2~C（ξ）- ξ-3.√2πZ∞C（y）yf（y/ξ）dy=-2~C（ξ）-√2πZ∞C（ξx）xf（x）dx=-2~C（ξ）+√2πZ∞C（ξx）xf（x）dx。自C（ξx）≥ C、 ~C（ξ）≤ 坎德√2πR∞xf（x）dx=2，我们得到C（ξ）+ξC（ξ）≥-C+2C，如前所述。2.1分段线性非递增交易成本函数我们给出了一个实际交易成本函数的示例，该函数与Amster等人[1]和Averbuj[4]Mariani等人[28]研究的模型中的交易金额无关。其好处是消除了线性递减成本函数的负值问题。我们定义了以下分段线性函数。定义2.2我们定义了一个分段线性非递增交易成本函数，如下所示：C（ξ）=C、如果0≤ ξ ≤ ξ-,C- κ(ξ - ξ-), 如果ξ-≤ ξ ≤ ξ+，C，如果ξ≥ ξ+，（23），其中我们假设C，κ>0，和0≤ ξ-< ξ+≤ ∞ 是给定的常数，C=C- κ(ξ+- ξ-) > 0.这是一个现实的交易成本函数。事实上，对于少量的交易资产，交易成本率等于C。当交易量足够大时，则采用较低交易成本率C<C的折扣。请注意，该函数还涵盖了之前研究过的几种特殊情况。

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能者818

2022-5-11 18:36:02

即Leland[26]、Hoggard、Whalley和Wilmott[16]研究的恒定交易成本函数（κ=ξ）-= 0, ξ+= ∞) 以及Amster等人在[1]中研究的线性降低交易成本（κ>0，ξ）-= 0, ξ+= ∞).考虑到C（ξ）=-κ表示ξ∈ (ξ-, ξ+）和C（ξ）=0，否则，通过分部积分，我们可以很容易地得出按季度交易成本函数（23）的平均值修正式为：C（ξ）=C- κξZξ+ξξ-ξe-x/2dx，对于ξ≥ 0.（24）2.2指数递减的交易成本函数作为交易成本函数的另一个例子，我们可以考虑以下公式的指数函数c（ξ）=Cexp(-κξ），对于ξ≥ 0，（25），其中C>0和κ>0是给定的常数。通过扩展函数ξ7，可以得出其平均值修正值C→ C（ξ|Φ|）ξ成幂级数：~C（ξ）=rπE[C（ξ|Φ|）|Φ|]=Z∞C（ξx）xe-x/2dx=CZ∞E-κξxx e-x/2dx=CH-E-κξxe-x/2i∞-Z∞E-κξx(-E-x/2）dx= C1.- κξZ∞E-κξx-x/2dx= C1.- κξeκξ/2Z∞κξe-t/2dt= Cφ(-√其中φ（x）=1+xex（erf（x/2）+1）√π、和erf（x/2）=√πRx/2e-sds是误差函数。3将完全非线性的Black-Scholes方程转化为拟线性Gamma方程本节的目标是研究将非线性Black-Scholes方程转化为拟线性抛物方程——Jandaˇcka和_Sevˇcoviˇc在[19]中介绍和研究的所谓Gamma（另见_Sevˇcoviˇc、Stehlikovˇa和Mikula[29，第11章]）。在下文中，我们将使用符号β（H）=^σ（H）H，（26）0.000.010.020.030.040.050.0000.0050.0100.0150.020ΞCHΞL，CHΞL0。000.010.020.030.040.050.0000.0050.0100.0150.020ΞCHΞL，CHΞLa）b）图1：各种类型的交易成本函数C（ξ）（实线）及其均值修正值C（ξ）（虚线）。

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nandehutu2022

2022-5-11 18:36:06

a）分段线性交易成本函数，c=0.02，κ=1，ξ-= 0.01, ξ+= 0.02; b）按指数递减的交易成本函数，C=0.02，κ=100.0.00.20.40.60.81.01.21.4xhhxl图2：辅助函数h（x）的曲线图。式中，^σ是依赖于H=S项的波动函数SV。设E>0为基础资产价格的平均值，例如，E是看涨期权或看跌期权的到期价格。命题3.1假设函数V=V（S，t）是非线性BlackScholes方程的解tV+Sβ（S）SV）+rSSV- rV=0，S>0，t∈ （0，T）。（27）然后变换后的函数H=H（x，τ）=SSV（S，t），其中x=ln（S/E），τ=t-这是一个拟线性抛物方程的解τH=xβ（H）+xβ（H）+rxH。（28）另一方面，如果H是（28）的解，则H(-∞, τ ) = xH(-∞, τ） =0且β（0）是有限的，那么函数v（S，t）=aS+be-r（T）-t） +Z∞-∞（S）- Eex）+H（x，T- t） dx，（29）是任意a，b的非线性Black-Scholes方程（27）的解∈ R.P R o f.该声明的第一部分可以通过（27）对S的二阶导数直接显示。事实上x=S瑞典人S（Sβ）=SS（β+S）Sβ=x(xβ+β），SS（S）SV）=SS(SV+SSV）=H+xH。应用运算符SSto方程（27）并考虑t=-τ我们得出结论，H是方程（28）的解（另见[19]和[29，第11章]）。另一方面，如果V（S，t）由（29）给出，那么SSV（S，t）=H（x，τ）。此外，如果H是（28）的解，那么电视（S，t）=rbe-r（T）-（t）-Zln（东南）-∞（S）- （Eex）τH（x，τ）dx=rbe-r（T）-（t）-Zln（东南）-∞（S）- （Eex）E-十、x（前）xβ（H（x，τ））+rxH（x，τ）dx=rbe-r（T）-（t）- [（S）- （Eex）(xβ（H（x，τ））+rxH（x，τ）]x=ln（S/E）x=-∞-SZln（东南）-∞xβ（H（x，τ））dx- 雷兹恩（东南）-∞exH（x，τ）dx=rbe-r（T）-（t）- Sβ（SSV（S，t））- 雷兹恩（东南）-∞exH（x，τ）dx。这里我们使用了H(-∞, τ ) = xH(-∞, τ） =0且β（0±）是有限的。

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可人4

2022-5-11 18:36:09

罪过SV（S，t）=aS+SSZln（东南）-∞（S）- Eex）H（x，τ）dx=aS+SZln（S/E）-∞我们最终得到H（x，τ）dxtV+Sβ（S）SV）+rSSV=r（aS+be）-r（T）-t））+rZln（东南）-∞（S）- Eex）H（x，τ）dx=rV。因此，V（S，t）解非线性Black–Scholes方程（27），如所述。-1.0-0.50.00.51.0xH-1.0-0.50.00.51.00.00.20.40.60.81.01.2xH图3：τ的函数H（x，0）的初始近似图*在τ=T（右）处，有效的模拟曲线（左）和溶液曲线H（x，T）。备注3.1如果初始条件H（x，0）=δ（x）是狄拉克δ-函数，那么对于（29）给出的最终支付图V（S，T），我们得到1。V（S，T）=（S- E） +（看涨期权）当a=b=0,2时。V（S，T）=（E）- S） +（看跌期权）当a=-注3.2初始狄拉克δ函数可近似如下：H（x，0）≈ f（d）/（σ）√τ*),τ在哪里*> 0非常小，f（d）是正态分布的PDF函数，f（d）=e-d/2/√2π和d=（x+（r- σ/2）τ*) /σ√τ*式中σ=σ（0）。这种近似背后的想法来自于观察，对于在时间T时波动率σ>0的线性Black–Scholes方程的解-τ*接近于T值H（x，τ*) = sSV（S，T）-τ*) 由H（x，τ）给出*) = f（d）/（σ）√τ*). 0<τ初始条件的近似* 3.1经典解的存在性，比较原则本小节的目的是分析拟线性抛物方程柯西问题的经典光滑解（28）。遵循基于所谓Schauder估计类型的方法（参见Ladyzhenskaya等人[25]），我们将证明（28）的经典解的存在性和唯一性。我们继续定义我们将使用的功能空间。允许Ohm = （xL，xR）R是有界区间。我们表示QT=Ohm ×（0，T）时空圆柱。Let0<λ<1。

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可人4

2022-5-11 18:36:13

由Hλ(Ohm) 我们表示由定义在‘’上的所有连续函数组成的Banach空间Ohm 它们是λ-H-连续的。这意味着他们的H¨older半范数hhi（λ）=supx，y∈Ohm,x6=y | H（x）- H（y）|/|x- y |λ是有限的。空间Hλ中的范数(Ohm) 是H的最大范数和半范数hHi（λ）之和。空间H2+λ(Ohm)由“H”中所有两个连续可微分函数组成Ohm 谁的二阶导数xH属于Hλ(Ohm). 空间H2+λ（R）由所有函数H:R组成→ 是这样吗∈ H2+λ(Ohm) 对于任何有界域Ohm R.定义在有界圆柱QT上的函数的抛物线H¨older空间Hλ，λ/2（QT）由¨QT中的所有连续函数H（x，τ）组成，使得H在x变量中是λ-H¨older连续的，在t变量中是λ/2-H¨older连续的。范数定义为最大范数和相应的H–older半范数之和。空间H2+λ，1+λ/2（QT）由¨QT上的所有连续函数组成，因此τH，xH∈ Hλ，λ/2（QT）。最后，空间H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）由所有函数H:R×[0，T]组成→ 是这样吗∈ H2+λ，1+λ/2（QT）对于任何有界圆柱QT（参见[25，第一章]）。我们首先导出柯西问题（28）解H的有用上界和下界。证明H（x，τ）的上下估计的想法是基于抛物方程（28）的适当子解和超解的构造（参见[25]）。引理3.1假设初始条件H（，0）∈ Hλ（R）是非负的，从上面一致有界，即H=supx∈相对湿度（x，0）<∞. 假设β（H）是H的C1，ε光滑函数≥ 满足以下强抛物不等式：λ-≤ β（H）≤ λ+对于任何H≥ 其中λ±>0为常数。

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mingdashike22

2022-5-11 18:36:16

如果拟线性抛物方程（28）的有界解H（x，τ）属于函数空间H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）∩L∞（R×（0，T）），对于一些0<λ<1，则满足以下不等式：0≤ H（x，τ）≤ H、对于任何τ∈ [0，T）和x∈ R.P R o f.拟线性抛物方程（28）可以改写为以下形式：τH=x（β（H）xH）+β（H）xH+rxH。（30）注意，（30）的右边是严格抛物线算子，因为0<λ-≤β（H）≤ λ+. 因为常数函数是H≡ 0和H是（30）的解，则该陈述是强抛物线方程抛物线比较原理的结果（参见例[25，第五章，（8.2）]）。在下一个命题中，我们证明了与可变交易成本下期权定价的非线性Black–Scholes方程对应的扩散函数β（H）满足强抛物线假设。命题3.2设C（ξ）是一个可测的有界交易成本函数，它是非递增的，因此C≤ C（ξ）≤ Cfor allξ≥ 0.设σ（H）=σ1-rπC（σ）√t | H |）σ√tsgn（H）！。对于扩散函数β（H）=σ（H）H，下列不等式成立：σ（1）- （乐）≤ β（H）≤σ(1 - 2Le+Le）适用于所有H≥ 0，其中Le=qπCσ√tand Le=qπCσ√t、 P r o f.代表H≥ 我们有σβ（H）=1-rπσ√T~C（ξ）+ξ＠C（ξ）, ξ在哪里≡ σ√第。因为C是一个非递增函数，所以＠C（ξ）≤ 0和C（ξ）≤ C（见命题2.2）然后不等式σ（1- （乐）≤ β（H）很容易跟随。根据命题2.3，我们有C（ξ）+ξC（ξ）≥ 2C- CdSOβ（H）≤σ(1 - 2Le+Le）和陈述的证明如下。定理3.1假设初始条件H（，0）≥ 对于0<λ<min（1/2，ε）和H=supx，0属于H¨older空间h2+λ（R）∈相对湿度（x，0）<∞.

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大多数88

2022-5-11 18:36:20

假设β∈ C1，ε满足λ-≤ β（H）≤ λ+对于任何0≤ H≤ 其中λ±>0为常数。然后，满足初始条件H（x，0）的拟线性抛物方程（28）存在唯一的经典解H（x，τ）。函数τ7→ τH（x，τ）对于所有x是λ/2H-连续的∈ R x 7→ xH（x，τ）对所有τ都是Lipschitz连续的∈ [0，T]。此外，β（H（，））∈ H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）和0<H（x，τ）≤ H表示所有（x，τ）∈ R×[0，T）.pro f.该证明基于所谓的Schauder理论，即（28）型拟线性抛物方程的经典H¨older光滑解的存在唯一性。它遵循与[20，定理5.3]的证明相同的思想，其中Kilianov\'a和_Sev_covi_研究了从非线性方程Milton Jacobi Bellman获得的类似拟线性抛物方程方程中有一个更强的假设β∈ 假设是C1,1。然而，我们概述了证明的关键步骤。Schauder理论要求拟线性抛物方程的扩散系数足够光滑。因此，函数β必须由δ参数化的光滑molli fier函数族β（δ）（H）正则化，使得β（δ）=> β、和β（δ）=> β局部一致为δ→ 0.对于任意δ>0，唯一经典有界解Hδ的存在性∈ H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）∩ L∞（R×（0，T））对于柯西问题：τHδ- x（β（δ）（Hδ）xHδ=xf（Hδ，β（δ）（Hδ）），Hδ（x，0）=H（x，0），x∈ R、 t∈ [0，T），从[25，理论8.1和Rem.8.2，第五章，第495-496页]继承而来。这里f（H，β（H））：=β（H）+rH。借助引理3.1，Hδ，0<δ 1，在空间L中一致有界∞（QT）对于任何有界圆柱体QT。利用不等式[25，第一章，（6.6）]我们可以证明Hδ，0<δ 1，在Sobolev空间W（QT）中也是一致有界的。这意味着存在一个子序列Hδk H弱收敛于函数H∈ W（QT）asδk→ 0

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kedemingshi

2022-5-11 18:36:23

由于Rellich-Kondrashov紧性嵌入定理（QT）→ L（QT）（参见[25，第二章，定理2.1]）极限函数H∈ W（QT）是拟线性抛物方程（28）的弱解。自从H，f∈ W（QT）Wxβ（H）∈ L（QT）。此外τβ（H）∈ L（QT）因为λ-< β（H）<λ+。因此，β（H）属于抛物线Sobolev空间W2,1（QT），它在任何0<λ<min（1/2，ε）的情况下连续嵌入到H¨older空间Hλ，λ/2（QT）中。最后，变换函数z（x，τ）：=β（H（x，τ））是非发散形式的拟线性抛物方程的解：τz=ζ（z）xz+xf（α（z），z）= 0，z（x，0）=β（H（x，0）），其中ζ（z）=β（α（z））和z 7→ α（z）是递增函数h7的反函数→ β（H）。函数z7→ β（z）是ε-H-连续的。因此z 7→ ζ（z）是ε-H–也一样。现在，我们可以应用一个简单的bootstrap参数来证明z=z（x，τ）是完全光滑的。很明显，这是一个非散度形式的线性抛物方程的解τz=a（x，τ）xz+b（x，τ）xz，z（x，0）=β（H（x，0）），其中a（x，τ）：=ζ（z（x，τ）），b（x，τ）=ζ（z（x，τ））（1+rα（z（x，τ）））。函数a和b属于H¨older空间Hλ，λ/2（QT），因为z∈ Hλ，λ/2（QT）。关于[25，定理12.2，第三章]，我们有z=β（H）∈ H2+λ，1+λ/2（QT），现在证明如下，因为域QT R×（0，T）是任意的。4求解伽马方程的数值全时空离散化方案本节的目的是推导求解伽马方程的有效数值方案。解H到（28）的数值近似构造基于（28）对应的微分方程组的推导，以在每个离散时间步求解。

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大多数88

2022-5-11 18:36:27

我们利用Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc[19]在论文中采用的数值格式，以求解一般函数β=β（H）的伽马方程（28），尤其包括具有可变交易成本的模型。有效的数值离散化基于输入（28）的偏导数的有限元近似。由此产生的方案是半无限时间差近似方案中隐含的。其他有限差分数值近似方案基于非散度形式的原始完全非线性Black–Scholes方程的离散化（3）。我们让读者参考安库迪诺娃和埃哈德[2]，Company等人[9]，D¨uring等人[11]，Liao和Khaliq[27]，Zhou等人[33]最近的出版物。最近，Koleva和Vulkov[21]提出并分析了一种求解完全非线性抛物方程（3）的拟线性化技术。我们的方法基于以散度形式编写的拟线性伽马方程的解，因此我们可以使用现有的基于有限体积的数值格式高效地解决问题（参见Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc[19]、Kˇutik和Mikula[23]）。由于数值原因，我们将空间间隔限制为x∈ (-五十、 L）其中L>0足够大。因为S=Eex∈ （Ee）-五十、（鳗鱼）吃L是足够的≈ 2.为了包含S值的重要范围。为了构造数值格式，时间间隔[0，T]以时间步长k=T/m均匀划分为离散点τj=jk，其中j=0，1，··，m。我们考虑空间间隔[-五十、 L]以步长h=L/n均匀划分为离散点xi=ih，其中i=-n、所提出的数值格式在时间上是半隐式的。请注意xβ，可以表示为xβ=x（β（H）xH），其中β是β（H）相对于H的导数。

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能者818

2022-5-11 18:36:30

在离散格式中，非线性项β（H）是从上一个时间步长τj计算出来的-而线性项是在当前时间水平上求解的。这种离散化方案可以在每个离散时间水平上求解线性方程组的三对角解。首先，我们用时差代替时间导数，用相邻段的平均值近似节点上的H，然后通过从之前的时间水平τj中提取所有剩余项来收集新时间水平τjand上的所有线性项-1.我们得到了解向量Hj=（Hj）的三对角系统-n+1，··，Hjn-1） T∈ R2n-1：阿吉吉-1+bjiHji+cjiHji+1=dji，Hj-n=0，Hjn=0，（31），其中i=-n+1，··，n-1和j=1，··，m。三对角矩阵的系数由Aji=-khβH（Hj-1i-1） +k2hr cji=-khβH（Hj-1i）-k2hr，bji=1- （aji+cji），dji=Hj-1i+khβ（Hj）-1i）- β（Hj）-1i-1).这意味着时间水平τj的向量Hj是线性方程组a（j）Hj=dj的解，其中（2n- 1） ×（2n）- 1）矩阵A（j）=tridiag（aj，bj，cj）。为了快速有效地求解每个时间步的三对角系统，我们可以使用高效的Thomas算法。最后，关于命题3.1和备注3.1，期权价格V（S，T- τj）可以通过一个简单的积分方案（看涨期权）V（S，T）从离散解hjib中构造出来- τj）=hnXi=-n（S）- Eexi）+Hji，j=1，··，m，（看跌期权）V（S，T- τj）=hnXi=-n（Eexi）- S） +Hji，j=1，··，m.4.1具有可变交易成本的非线性模型的数值结果在本节中，我们给出了计算期权价格的数值结果。

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kedemingshi

2022-5-11 18:36:34

作为一个数值近似解的例子，我们考虑了非线性Black–Scholes方程，该方程用于可变交易成本下的期权定价，由分段线性非递增函数描述，如图1所示。与可变交易成本函数C（ξ）对应的函数β（H）的形式为β（H）=σ1.-~C（σ| H）|√t） sgn（H）σ√TH、式中，C是修改后的交易成本函数。我们假设套期保值时间Le<1。在我们的计算中，我们选择了以下描述分段交易成本函数的模型参数：C=0.02，κ=0.3，ξ-= 0.05, ξ+= 0.1. 两次连续投资组合重组之间的时间间隔长度：t=1/261。到期时间T=1，历史波动率σ=0.3，无风险利率r=0.011。As0。000.020.040.060.080.100.120.14HΒhhlf图4：对应于具有逐点线性可变交易成本函数的非线性模型的函数β（H）图。表1：通过非线性Black–Scholes模型的数值解计算的看涨期权值与解Vσmax的比较，Vσmin由线性Black–Scholes方程计算，具有恒定的波动率σ=σmax和σ=σmin.S Vσmax（S，0）Vvtc（S，0）Vσmin（S，0）20 0.709 0.127 0.02923 1.752 0.844 0.42125 2.768 1.748 1.25828 4.723 3 3.695 3.47430 6.256 5.321 5.327对于数值参数，我们选择了L=2.5、n=250、m=200和参数τ*= 0.005表示初始狄拉克δ函数的近似值。参数C，σ，κ，ξ±和t对应于Leland数Le=0.85935和Le=0.21484。在表1中，我们给出了通过数值解决方案获得的标的资产不同价格的期权价值Vvtc（S，0）。在图5中，我们绘制了解决方案Vvtc（S，t）和期权价格deltafactor（S，t）=SV（S，t），对于不同的时间t∈ {0，T/3，2T/3}。

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大多数88

2022-5-11 18:36:37

上面的虚线对应于线性Black–Scholes方程的解，具有较高的波动率^σmax=σ1.- Cqπσ√T, 式中C=C-κ(ξ+-ξ-) > 0，而较低的虚线对应于波动率较低的溶液^σmin=σ1.- Cqπσ√T.经验观察到的事实（见表1）Vσmin（S，t）≤ Vvtc（S，t）≤ Vσmax（S，t）对于所有S>0，t∈ [0，T]可以用解析的方法证明。这是抛物线比较原理的结果（参见[25，第五章，（8.2）]）。事实上，完全非线性的Black–Scholes方程（27）可以被视为一个非线性强抛物方程τV=F（S，V，SV，SV），（32）对于期权价格V=V（S，T- τ），其中f（S，V，SV，SV）=σ1-rπC（σS）|SV|√t） sgn（S）SV）σ√TsSV+rSSV- 房车。还记得0<λ吗-≤ QF（S、V、P、Q）≤ λ+适用于所有S、V、P和Q≥ 所以方程（32）确实是一个强抛物方程。对于波动率为σmin=σ（1）的线性Black–Scholes方程的解Vσmin（S，t）- 我们有τVσmin=σ（1）- Le）SSVσmin+rSSVσmin- rVσmin≤ F（S，Vσmin，SVσmin，SVσmin），因为C（ξ）≤ Cand-sorπC（σS）|SVσmin|√t） σ√T≤rπCσ√t=Le。因此，Vσmini是强抛物方程（32）的一个子解。因此，根据抛物线比较原理，Vσmin（S，t）≤ 所有S>0和t的Vvtc（S，t）∈ [0，T]。类似地，不等式Vvtc（S，t）≤ Vσmax（S，t）根据抛物线比较原理得出，因为C（ξ）≥ C.看涨期权价格对时间t的依赖性∈ [0，T]代表S∈ E=25的{20,23,25}如图6所示。我们还可以看到，S的价格在到期时收敛到零≤ E.4.2财务投资组合管理中的一些实际影响上一小节中获得的数值结果可以从财务投资组合管理的角度进行解释。例如，看涨期权价格的时间行为如图所示。

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能者818

2022-5-11 18:36:39

6对于标的资产价格S=E，表明非线性可变交易成本模型的解Vvtc（S，t）给出的期权价格接近初始时间t的下限Vσmin（S，t）≈ 0.但在以后的时间里→ 价格Vvtc（S，T）更接近上限Vσmax（S，T）。它可以被解释为：在合同开始时，投资组合经理不需要执行许多交易来对冲投资组合。每笔交易的交易成本等于C。另一方面，当时间t接近到期t时，有必要对投资组合进行频繁的重新安排，因此资产的交易量增加。因此，投资者在做空标的资产的一次交易中支付较低的贴现交易成本。

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能者818

2022-5-11 18:36:43

因此，期权价格更高。比较原理Vσmin（S，t）≤ Vvtc（S，t）≤ Vσmax（S，t）（另见表1）具有以下实际含义：如果单位股份的交易成本C（ξ）取决于交易股份的数量ξ，并且它属于区间[C≤ C≤ C] 期权价格VVTC可以通过与恒定交易成本C（C）对应的期权价格从上（下）估算。SVHS，tL0。00.20.40.60.81.0SDHS，tLt=0SVHS，tL0。00.20.40.60.81.0SDHS，tLt=T/3SVHS，tL0。00.20.40.60.81.0SDHS，tLt=2T/3图5：看涨期权价格V（S，t）作为S对t的函数∈ {0，T/3，2T/3}（左）及其增量（S，t）=SV（S，t）。0.00.20.40.60.81.00.00.10.20.30.40.50.60.7tVHS，tL0。00.20.40.60.81.00.00.51.01.5tVHS，tLS=20S=230.00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.02.5tVHS，tLS=25≡ 图6：作为时间t函数的看涨期权价格V（S，t）∈ [0，T]代表S∈ {20, 23, 25}.结论在本文中，我们分析了Black-Scholes方程的一个非线性推广，该方程是在购买和出售标的资产的可变交易成本下对期权进行定价时产生的。数学模型由完全非线性抛物方程表示，其扩散系数取决于期权价格的二阶导数。我们研究了各种现实可变交易成本函数的性质。此外，对于一类一般的非线性Black-Scholes方程，我们发展了一种变换技术，通过这种技术，可以将完全非线性方程变换为拟线性抛物方程。我们证明了变换方程经典解的存在唯一性。最后，我们给出了一个数值近似方案，并计算了定价模型可低估交易成本下的期权价格。参考文献[1]阿姆斯特丹，P.，阿维布吉，C.G.，马里亚尼，M.C.，里亚尔，D。

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能者818

2022-5-11 18:36:46

（2005）：考虑交易成本的Black-Scholes期权定价模型。J.数学。肛门。应用程序。，303, 688–695.[2] Ankudinova J.，Ehrhardt，M.（2008）：关于非线性Black-Scholes方程的数值解。计算机与数学及其应用，56799-812。[3] Avellaneda，M.，Levy，A.，第A段（1995）：波动不确定市场中衍生证券的定价和对冲。应用数学金融，2，73-88。[4] Averbuj，C.G.（2012）：包含交易成本的操作定价产生的非线性积分微分演化方程：粘性解方法。巴西经济评论，12（1），81-90。[5] Bakstein，D.，Howison，S.（2004）：具有可观察参数的无套利流动性模型。工作文件，http://eprints.maths.ox.ac.uk/53/[6] Barles，G.，Soner，H.M.（1998）：具有交易成本和非线性Black-Scholes方程的期权定价。《金融与随机》，2369-397页。[7] 布莱克，F.，斯科尔斯，M.（1973）：期权定价和公司负债。J.政治经济学81637–654。[8] Casab\'an，M.C.，Company，R.，J\'odar，L.，Pintos，J.R.（2011）：具有可观测参数的非套利流动性模型的数值分析和计算。计算机与数学及其应用，611951-1956。[9] R公司、纳瓦罗E公司、平托斯J.R.和庞索达E公司（2008）：线性和非线性布莱克-斯科尔斯期权定价方程的数值解。计算机与应用数学，56813-821。[10] Dremkova，E.，Ehrhardt，M.（2011）：美式期权非线性Black–Scholes期权定价方程的高阶紧致方法。国际计算机数学杂志，882782-2797。[11] During，B.，Fournier，M.，Jungel，A.（2003）：非线性Black-Scholes方程的高阶紧有限差分模式。国际J.应用。理论。

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能者818

2022-5-11 18:36:49

金融，7767-789。[12] 弗雷，R.，帕蒂，P.（2002）：非流动性市场中衍生品的风险管理：模拟研究。《金融与随机科学进展》，柏林斯普林格，137-159页。[13] Frey，R.，Stremme，A.（1997）：市场波动和动态反馈效应。数学金融，4351-374。[14] Grandits，P.，Schachinger，W.（2001）：利兰的期权定价方法：不连续性的演化。数学金融，11347-355。[15] Grossinho，M.R.，Morais，E.（2009）：关于具有交易成本的BlackScholes方程的平稳问题的一个注记。国际纯数学和应用数学杂志，51557-565。[16] Hoggard，T.，Whalley，A.E.，Wilmott，P.（1994）：存在交易成本的对冲期权组合。期货和期权研究进展，7,21-35。[17] Imai，H.，Ishimura，N.，Mottate，I.，Nakamura，M.（2007）：关于具有交易成本的期权定价的Hoggard–Whalley–Wilmott方程亚太金融市场，13315-326。[18] Ishimura，N.（2010）：关于交易成本影响下的非线性Black-Scholes方程的评论。亚太金融市场，17241–259。[19] Jandaˇcka，M.，ˇSevˇcoviˇc，D.（2005）：基于风险调整定价方法的普通期权评估和波动率解释。应用数学杂志，3235-258。[20] Kilianov\'a，S.，ˇSevˇcoviˇc，D.（2013）：求解约束动态随机最优分配问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的变换方法。《安齐亚姆杂志》，55，14-38。[21]Koleva，M.N.，L.G.Vulkov，L.G.（2013）：完全非线性抛物问题的拟线性化数值格式及其在数学金融模型中的应用。数学和计算机建模，572564–2575。[22]Kratka，M.（1998）：微笑背后没有神秘感。风险，9，67-71。[23]K\'utik P.，Mikula K。

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可人4

2022-5-11 18:36:53

（2011）：金融数学中求解非线性偏微分方程的有限体积格式，载于《第六届复杂应用中的有限体积国际会议论文集》，布拉格，2011年6月6日至10日，《斯普林格数学学报》，2011年第4卷，编辑：J.Foˇrt，J.Fˇurst，J.Halama，R.Herbin and F.Hubert，643-561，[24]Kwok，Y.K.（1998）：金融衍生品的数学模型。斯普林格·维拉格。[25]Ladyˇzenskaja，O.A.，Solonnikov，V.A.，和Ural\'ceva，N.N.抛物型线性和拟线性方程组。由S.史密斯译自俄语。《数学专著的翻译》，第23卷（美国数学学会，R.I.普罗维登斯，1968年）。[26]Leland，H.E.（1985）：带有交易成本的期权定价和复制。《金融杂志》，401283-1301。[27]廖伟，Khaliq A.Q.M.（2009）：求解具有交易费用的非线性Black–Scholes方程的高阶紧致格式。国际计算机数学杂志，861009-1023。[28]Mariani，M.C.，Ncheuguim，E.，Sengupta，I.（2011）：非线性BlackScholes方程的解。Diff电子杂志。方程式2011（158），1-10。[29]ˇSevˇcoviˇc，D.，Stehlikov\'a，B.，Mikula，K.（2011）：金融衍生品定价的分析和数值方法。Nova Science Publishers，Inc.，Hauppauge，309页[30]Sch–onbucher，P.，Wilmott，P.（2000）：非流动性市场中套期保值的反馈效应。暹罗应用数学杂志，61232-272。[31]Wilmott，P.，Dewyne，J.，Howison，S.D.（1995）：期权定价：数学模型和计算。英国：牛津金融出版社。[32]Wilmott，P.，Howison，S.，Dewyne，J.（1995）：金融衍生品的数学。美国：剑桥大学新闻集团。[33]周，S.，韩，L.，李，W.，张，Y.，韩，M。

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大多数88

2022-5-11 18:36:56

（2015）：跳跃微分过程下具有交易成本的期权定价模型的保正数值格式。计算与应用数学，34881-900。

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