短暂离散价格变动的连续时间分析

2022-5-14 21:10:02

关于离散性在实践中的影响的一些早期研究包括哈里斯（1990年）、戈特利布和卡莱（1985年）、鲍尔、托罗斯和丘吉尔（1985年）以及鲍尔（1988年）。处理离散性的一个重要方法是为正半线上的价格建立连续时间模型，然后四舍五入以产生离散性，有时使用额外的加法测量。例如，出于各种目的，Hasbrouck（1999年）、Rosenbaum（2009年）、Delattrean和Jacod（1997年）、Jacod（1996年）以及Li和Mykland（2014年）。还要注意Kolassa和McCullagh（1990）的统计工作。最具可比性的文献包括Bacry、Delattre、Ho Off-man和Muzy（2013a）、Bacry、Delattre、Ho Off-man和Muzy（2013b）、Fodra和Pham（2013a）以及Fodra和Pham（2013b）。另见福斯和都铎（2012）。Bacry等人将价格变化的演变建模为两个自激且相互作用的简单计数过程的差异。这些多变量波动过程的强度会对之前的波动做出反应，因此价格的上涨会暂时增加下跌的强度，从而产生波动的可能性。这个优雅的模型只允许单位价格变动，但可以扩展，而动态是严格参数化的。Fodra和Pham在价格变化序列上直接假设一个不可约的马尔可夫链结构，其灵活性较小，因为只有当前的价格方向会影响下一个跳跃方向。我们的论文源于两篇论文。Barndor Off-Nielsen、Pollard和Shephard（2012）构建了整数值的Lèevy过程（连续时间随机游动）。巴恩多夫-尼尔森、伦德、谢泼德和维拉特（2014）的平稳整数值过程也让我们感到振奋。

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2022-5-14 21:10:07

他们的过程与Wolpert和Taqqu（2005）的上升过程以及Wolpert和Brown（2011）的随机测量过程有关。这两个过程都是静态的。巴恩多夫——尼尔森、伦德、谢泼德和维拉特（2014）也提出了他们的流程与M/G之间的关系/∞ 排队（例如林德利（1956年）、雷诺兹（1968年）和巴特利特（1978年，第6.31章））。他们还将这些模型与苏盖利斯、罗辛斯基、曼德雷卡尔和坎巴尼斯（1993）的所谓混合移动平均模型联系起来。另见Fuchs和Stelzer（2013）的著作。这些论文都不能直接用作高频数据的相干模型。我们的论文填补了这一重要空白。我们的新方法将涉及连续时间到达的事件，这些事件对价格的影响可能会发生变化，且大小不一。该模型是根据新闻的价格影响直接建立的。每一次价格变动都是价格的暂时变化，在其影响消失之前，价格会有一个随机的生存时间。该模型允许将离散价格过程分解为连续时间随机游动（由于永久性影响）加上临时流动成分（由于市场微观结构噪音）。由此产生的c`adl`ag价格过程将是一个具有有限活动、有限变化且无布朗运动分量的分段常数半鞅。它还能够为价格变化生成与实证观察一致的负自相关。我们有非参数自由选择噪声的依赖程度，如果数据中需要的话，噪声甚至可以具有长记忆。或者，如果需要，AppliedResearch可以对模型进行严格的参数化。在本文中，我们的模型是静态的：参数是时不变的，不适合过去的数据。这是一个重要的缺陷，但随机时间变化可以应对大多数挑战。

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2022-5-14 21:10:10

我们将在后续文件中讨论这些问题。我们的目标是制定一个框架，在未来的工作中既具有经验性，又具有统计学上的可扩展性。最后，在我们的实证工作中，我们使用了贸易价格。我们本可以用我们的模型来确定最好的出价或要价。这样做的好处是，投资者可以立即进行交易，而交易价格是过去有人交易过的价格。本文概述如下。在第2节中，我们建立了我们模型的概率结构，并回顾了之前论文中的几个构建模块。在第3节中，我们介绍了我们贡献的核心：定义我们的价格模型，并对这一过程和相应的回报序列进行分析。在第4节中，我们讨论了这些模型基于矩的估计，而在第5节中，我们将这些估计方法应用于实际数据。第6节总结。附录有四个部分。第一部分收集了论文正文中各种理论的证明，以及一些评论的细节。第二部分概述了如何使用快速傅立叶逆变换计算价格变化的概率质量函数。第三部分详细介绍了我们的数据清理过程。第四部分给出了模型的非参数估计。2连续时间的整值随机过程2。1泊松随机测量框架将围绕（i）连续时间到达的事件，（ii）其影响可能与随机生存时间有关的事件，以及（iii）大小和方向可变的事件。

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2022-5-14 21:10:15

为了产生这些事件，自然要将潜在的随机性建立在三维Poisson随机度量N（参见，例如，Kingman（1993）的综述）和强度度量e（N（dy，dx，ds））=ν（dy）dxds的基础上。这里s是时间（到达随机分布在R上），x是随机高度（均匀分布在[0,1]），这将是飞行事件生存时间的随机来源，y标记事件的大小（带方向）。这些名称将在图1和图2中变得更清晰。与所有泊松随机测度一样，存在两个具有相同高度或时间的点的概率为零。价格波动可以是上升或下降，但不可能为零。因此，事件的大小将被假定为有一个L’evy度量ν（dy）集中在y上∈ Z\\{0}，非零整数。在没有混淆的情况下，我们有时会滥用符号ν（y）来表示以y为中心的L′evy测量值的质量，因此ν（dy）=Xy∈Z\\{0}ν（y）δ{y}（dy），其中δ{y}（dy）是以y为中心的狄拉克点质量测度。在本文中，我们假设kνk，R∞-∞ν（dy）=Py∈Z\\{0}ν（y）<∞.上面有三角形的等号表示定义。备注1我们马上就会看到，质量ν（y）代表sizey事件的强度，因此总体而言，L’evy度量ν将同时控制所有可能的泵送尺寸的范围，以及它们各自的强度。2.2 L’evy基础和L’evy过程我们的模型将基于[0,1]×R7的所得均匀L’evy基础-→ Z\\{0}，表示y的大小∈ Z\\{0}在每个时间点∈ R和高度x∈ [0, 1]. 它由byL（dx，ds），Z给出∞-∞yN（dy，dx，ds），（x，s）∈ [0,1]×R，对于任何Borel可测集S [0,1]×R我们假设L（S），Z[0,1]×RS（x，S）L（dx，ds），其中1是S的指示函数。

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2022-5-14 21:10:19

为了与后面的讨论相联系，由L生成的L’evy过程可以定义为lt，L（Dt）=ZtZL（dx，ds），其中Dt，[0，1]×（0，t]是一个随t增长的矩形，因此Lt只需在时间0到时间t的L’evy基础上计算点。示例1假设0.5×δ{1}（dy）+0.5×δ{-1} （dy）. 那么kνk是事件在时间上的到达速度，每个事件都有一个随机高度，大小为±1，概率相等。图1使用kνk=7绘制了Skellam L’evy基L，取1，-1分别用黑白圆点。下面板显示了相应的Skellam L’evy过程，这是强度为kνk/2的两个独立泊松过程的不同。2.3固定式拖网流程为了引入自由移动，将利用L’evy基准中的随机高度。我们从固定的形状开始 [b，1]×(-∞, 0]，其中b∈ [0，1]被称为永久性参数。自始至终，我们假设A的面积leb（A）是有限的。巴恩多夫——尼尔森、伦德、谢泼德和维拉特（2014）将b=0的情况称为拖网，这是他们的stationaryinteger估值过程的核心。这里我们称之为挤压拖网，这是他们想法的一个小变种。这里的同质性指的是高度和时间，因为L’evy基中的点均匀分布在[0,1]×R上。出于技术原因，我们需要假设固定集A在右侧闭合，在左侧打开，即每x∈ [b，1]，所有这些都是A∩ {（x，s）：s≤ 0}必须是形式为（a，b）的半闭区间的并集。这是强制的，因此产生的跳转过程是c`adl`ag。

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2022-5-14 21:10:24

此外，我们需要假设A在垂直轴上的投影具有Lebesgue测度b，因此参数b是明确的，并且在统计上是可识别的。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 1 2 3 4 50.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0征税基础0 1 2 3 4 5-3.-2.-1 0 1 2Levy process TIMELTTIME图1：顶部：L’evy基L（dx，ds），其中横轴s为时间，纵轴x为光线，在下面板的L’evy过程构造中不起任何作用。黑色圆点注1，白色圆点-1.底部：对应的L’evy过程，它总结了从时间0到时间t的L’evy基础（在上面板中）中的所有影响，而这里的纵轴是L’evy过程的值，黑点的影响使其上升1，白点的影响使其下降1。代码：LpTprocess插图。R.定义1由拖网函数d定义的挤压拖网A从A，{（x，s）：s中获得≤ 0，b≤ x<d（s）}，其中d：(-∞, 0] 7-→ [b，1]是连续且单调递增的（d（s）≤ d（s）代表所有≤ s≤ 0）并满足以下规律性条件：d(-∞) , 林斯→-∞d（s）=b，d（0）=1和-∞（丁）- b） ds<∞. 现在，我们在不改变其高度的情况下拖动集合A，A+（0，t）={（x，s）：s≤ t、 b≤ x<d（s）- t）好的，t≥ 0.注意leb（At）=leb（A）<∞ 尽管如此，t≥ 0.然后将固定（拖网）过程定义为t的asL（At）≥ 0.过一会儿，这将成为我们提议的价格流程的一部分。-1-0.5 0.0 0 0.5 1.00.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0征税基准和挤压拖网：At=A+（0，t）时间高度●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 2 4 6快速过程C（0，快速过程[fleetProcess$Time>0，1]）L（At）0 4 8 Levy过程L（Bt）时间图2：移动挤压拖网ATI由L’evy基L（dx，ds）连接，其中水平轴s为时间，垂直轴x为高度。

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2022-5-14 21:10:28

阴影区域是拖网功能d生成的拖网的一个示例，同时我们还显示了当t=1/2和t=1时的拖网轮廓。下面还显示了t的隐含平稳过程L（At）和L’evy过程L（Bt）≥ 0，其中Bt=[0，b）×（0，t）。代码：LpTprocess Illurstration.R。示例2图2的上面板显示了当d（s）=0.5+（1）时的情况- 0.5）e2s。图2的中间面板还显示了L（At），当L是骨架基础时，它总结了拖网捕获（或在拖网中生存）的所有影响（正面和负面）。动态地，如果正在移动的挤压拖网捕捉到一个高度高于b的正事件或一个负事件，则L（At）将向上移动1；相反，如果反之亦然，它将向下移动1。还要注意L（A）不一定是零。在整个过程中，我们使用κj（X）作为任意随机变量X的第j个累积量的通用表示法。回想一下，L=L（D）=RRL（dx，ds）。在下面的命题中，我们重新表述了Barndorff-Nielsen、Lunde、Shephard和Veraart（2014）在挤压拖网变体下提到的平稳过程L（At）的关键性质。提案1如果leb（A）<∞, 然后L（At）被定义得很好，并且是严格固定的。如果κ（L）<∞同样，它是协方差平稳的，对于t>sCov（L（At），L（as））=leb（At-s∩ A） κ（L），Cor（L（At），L（As））=leb（At-s∩ A） leb（A）。此外，对于任何t≥ 0，leb（在∩ A） =Z-T-∞（丁）- b） ds（1）随着t的增加单调递减。3带浮动的整数值价格过程3。1定义我们现在转向本文的主要贡献。

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kedemingshi

2022-5-14 21:10:33

我们提出的整数值价格过程定义为asPt，V+L（Ct）=V+L（At）+L（Bt），t≥ 我们回忆起At=A+（0，t）和bt，[0，b）×（0，t]，Ct，At∪ 这里是一个非负整数；L是一个L’evy基；L（At）是一个平稳的整数值过程，控制价格的波动；V+L（Bt）是一个整数值的L’evy过程（从V开始，它是从过去的永久到达量汇总而来），代表价格过程的非平稳部分。回想一下，L（Bt）=RtRbL（dx，ds），t≥ 0.例3（接例2）图2的下面板显示了相应的Skellam L’evy过程L（Bt）。请注意，在负时间中没有永久性事件，因为V中考虑了它们。在短时间尺度上，很难区分这两个过程L（At）和L（Bt）之间的差异，但在长时间尺度上，它们是完全不同的。对于任何事件的到达，如果随机高度x（而非尺寸y）高于b，则这种影响在时间上保持不变，因此是流动的；如果高度低于b，则这种影响始终处于承受状态，因此是永久性的。该c`adl` ag价格过程具有有限的活动性（即在任何有限的时间间隔内，由于L`evy基础是有限的活动性，因此跳跃的数量是有限的），是分段恒定的（即只有到达或离开时才会跳跃），因此具有有限的变化。因此，该模型与经验数据相符。注2：整数值价格过程是一个关于其自然过滤的半鞅。详细信息见附录A。在此，我们特别指出，允许流动行为的半鞅模型在市场微观结构的文献中是非典型的。注3：在该模型中，一些价格变动具有永久性影响。其他人则在迅速转变。

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2022-5-14 21:10:36

到达事件的生存期由拖网功能决定。假设拖网函数d严格递增，因此是可逆的。然后我们可以想到G（s），1-d(-s）（带G）(∞) , 1）作为s的寿命的累积分布函数≥ 因此，对于U（0，1），标准均匀分布G-1（U）指随机高度为U的到达事件的寿命≤ b、然后G-1（U）=∞, 这意味着它是永久的。对于U>b，活动将持续G-1（U）<∞, 这意味着这是一场比赛。备注4如果一条新消息在时间t到达，它会通过以列维为基础的一个新点的到达来影响价格。为了说明这里的具体性，假设它有单位影响。那么，在t+s时，这个单独事件的预期影响是d(-s），在哪里≥ 因此，trawl函数直接描述了新闻到达的价格影响曲线。给价格影响函数贴上标签很有诱惑力，但我们继续使用拖网术语。因此，单元新闻的永久影响是b。3.2价格变化的分布以下定理描述了价格变化在时间长度t上的分布。定理1将a\\B设置为减法（a的所有元素，除了也在B中的元素）。然后- P=L（Ct）- L（C）=L（Ct\\C）- L（C\\Ct），其中L（Ct\\C）独立于L（C\\Ct）。因此，对数特征函数返回isC（θPt）- P） =btC（θ-L）+leb（At\\A）（C（θ-L）+C(-θL），其中c（θL），log EeiθL, 我√-1，L=ZZL（dx，ds）。此外，如果词汇量的第j个累积量- P） =btκj（L），j=1,3,5。。。，κj（Pt）- P） =（bt+2leb（At\\A））κj（L），j=2,4,6。。。。备注5请注意，Ct是对0到t段时间内到达者的正面和负面影响的物理解释；C\\t改为离开。

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2022-5-14 21:10:39

此外，等式leb（At\\A）=leb（A）- leb（在∩ A） =leb（A\\At）=Z-t（d（s）- b） ds（2）在计算中通常很有用。备注6 Pt的概率质量函数- 可以使用特征函数和快速傅里叶逆变换计算Pc。详情见附录B。备注7尽管我们的模型是为了研究高频数据而写的，但它可以很容易地连接到那些通常用于研究低频数据的基于差异的模型。定理1进一步暗示，在较低的频率下，价格波动过程变成布朗运动。确切地说，如果κ（L）<∞ 和X（c）t，c-1/2（Pct）- P- bctκ（L）），然后X（c）·L→ W·as c→ ∞, 其中W·是维纳过程或标准布朗运动。允许Pt，Pt- Pt-是时间t时价格过程的瞬时跳跃（或回报）。瞬时跳跃分布指的是鉴于此，Pt=y对于y，Pt6=0∈ Z\\{0}。下面我们给出这个分布的封闭形式表达式。定理2瞬时跳跃分布(Pt=y|Pt6=0）=ν（y）+ν(-y）（1）- b） (二)- b） kνk.（3）请注意，飞行组件中的拖网功能d对瞬时跳跃分布没有影响：重要的是b，它控制所有到达跳跃的潜在偏离量。此外，等式（3）的左侧可以很容易地从数据中估计出来，因此我们可以通过简单的矩匹配来估计ν和b。为了校准曲线，定理1意味着可以轻松使用不同区域的样本累积量来推断EB（At\\A）的形状，从而推断d。我们将在后面的第4节中看到这些。3.3价格变化的自相关结构OREM 3捕捉了价格变化的线性相关性。定理3假设κ（L）<∞.

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2022-5-14 21:10:43

然后，价格变化具有自相关结构，对于某些采样间隔δ>0且k=1，2。。。γk，CovP（k+1）δ- Pkδ, （Pδ- P）=leb（A（k+1）δ\\A）- 2leb（AkδA）+leb（A（k）-1） δ\\A）κ（L），ρk，CorP（k+1）δ- Pkδ, （Pδ- P）=leb（A（k+1）δ\\A）- 2leb（AkδA）+leb（A（k）-1） δA）bδ+2leb（AδA）。推论1ρk≤ 0表示所有k=1，2。。。。当d严格增加时（即d（s）<d（s）对于所有s<s），这个不等式变得严格≤ 0).注8：对于纯L’evy过程（b=1），leb（At\\a）=0表示所有t，因此显然ρk=0表示所有k=1，2。。。，正如所料。另一方面，等式（2）表示limδ→0leb（Alδ\\A）δ=（1）- b） l，limδ→∞leb（AlδA）=leb（A），l=1,2。。。，所以很容易看出，对于任何固定的k=1，2。。。，limδ→0ρk=limδ→∞ρk=0。因此，推论1暗示ρkis不是采样间隔δ的单调函数。这与我们将在图7后面看到的经验数据相匹配。3.4功率变化二次变化在随机分析和现代金融中起着核心作用（例如安徒生、博勒斯列夫、迪博尔德和拉比（2001）以及巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2002））。对任何人来说≥ 0，我们将r次方L’evy基定义为∑（dx，ds；r），Z∞-∞|y | rN（dy，dx，ds）与平均测量值u（dx，ds；r），dxdsZ∞-∞|y | rν（dy），假设∞-∞|y|rν（dy）<∞. 定理4把∑与{P}[r]t=limδ联系起来→0t/δXk=1Pkδ- P（k）-1)δr=X0<s≤t|Ps | r，第r次（非标准化）功率变化，由巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2004）在财务中正式确定。r=2的特殊情况产生二次变化。请注意，在我们的模型中，我们可以直接使用价格路径计算{P}[r]。这对所有人来说都是有限的≥ 概率为1的概率为0。

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可人4

2022-5-14 21:10:47

这与计量经济学的绝大多数工作形成了对比，由于市场微观结构的影响，计量经济学的大部分工作都需要时间。定理4对任意r≥ r次方变化为{P}[r]t=∑（Bt；r）+Z[r]t，Bt，[0，b]×（0，t]，Z[r]t，∑（Ht；r）+∑（Gt；r），Ht，[b，1]×（0，t），Gt，（Ht）∪ A） \\At。此外，他们的期望也很高{P}[r]t= (2 - b） tZ∞-∞|y | rν（dy）。（4）备注9（如第（3）、（4）条）不具有拖网功能，因为每次到达都有一个离开。因此，它始终对d的细节保持稳健{P}[r]t= E{P}[0]tZ∞-∞|请注意，{P}[0]t计算过程P到时间t的跳跃总数，所以我们称之为价格变动的计数过程。在第4节中，它也将在构建基于矩的模型参数估计方面发挥重要作用。我们认为随机Z[r]t是{P}[r]t因价格波动而产生的功率变化的组成部分，其概率为1- {L（Bt）}[r]t=Z[r]是功率变化的渐近随机偏差。高频计量经济学家通常会认为Z[2]tas等术语是由于市场微观结构影响而产生的已实现方差偏差的驱动因素（例如Hansen和Lunde（2006）、Zhang（2006）、Jacod、Li、Mykland、Podolskij和Vetter（2009）、Mykland和Zhang（2012）以及Barndor ff-Nielsen、Hansen、Lunde和Shephard（2008）），但在他们的研究中，它通常是有限的，而在这里和经验上，它是有限的，概率为1。我们回忆起定理1中的thatE（Pt- P） =btκ（L），Var（Pt- P） ={bt+2leb（At\\A）}κ（L）。计量经济学家对市场微观结构噪音使用各种模型。通常情况下，每次交易发生时都会出现噪音，例如在Zhou（1996）中，噪音是平均值为零的i.i.d。因此，我们可以把这些模型看作纯粹的统计测量误差模型。

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2022-5-14 21:10:50

在最近的时间里，i.i.d.假设已经被泛化，允许一定程度的时间依赖性和波动性聚集，但都是在滴答时间而不是在滴答时间。所有这些噪声模型的功率变化都是一致的。还有另一套文件认为价格是半鞅的一个四舍五入版本。这与我们的论文更接近，但在这里，价格变动的依赖程度完全取决于节拍的大小，而不是半鞅的波动性。这对于数据来说是不够灵活的。另一组论文围绕一个带有加性测量噪声的半鞅展开，但这又有有限的幂变化，这与经验观测不一致。我们现在考虑的是时间间隔[0，T]内的收益，因此实现的方差isRV（n），nXk=1（Pkδn- P（k）-1）命题2假设κ（L）<∞. ThenERV（n）=b+2leb（Aδn\\A）δnTκ（L）+bTδnκ（L）。我们可以通过讨论两个极端n=1和n来设定命题2的上下文→ ∞ 对于大T。对于n=1，作为T→ ∞,E房车（1）=b+2LB（AT\\A）TTκ（L）+bTκ（L）≈ bTκ（L）+bTκ（L）=κ（L（bT））+（κ（L（bT））=EL（英国电信）,其中第二行使用leb（AT\\A）≈ leb（A）。为了n→ ∞ 还有一个固定的T，limn→∞ERV（n）= (2 - b） Tκ（L）。因此，在该模型中，价格变动的已实现方差和波动性被价格变动部分严重扭曲。我们的模型的方差特征图（RV（T/δ）与δ）将在（2）左右开始- b） Tκ（L）（价格过程的预期二次变化）适用于大n（密集抽样），并趋于向下接近bTκ（L）（假设κ（L）非常小，L’evy过程成分的预期二次变化）。

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2022-5-14 21:10:55

我们将在备注12中讨论这类图的一个微小差异，可以在我们后面的实证工作中的图8中找到。3.5广义复合表示由于价格过程具有有限的活动性，因此可以将其写成广义复合过程，由价格变动的计数过程驱动。这里我们详细介绍一下。首先回想一下g（s）=1- d(-s）（带G）(∞) = 1）表示生命周期的累积分布函数≥ 0.L（A）由NA构成*初始存活事件，到达时间τA*< ... < τA*N*≤ 0，用大小κA跳跃*, ..., κA*N*. 每一次到达都有一生的时间-1（UA）*), ..., G-1（UA）*不*), τA在哪里*j+G-1（UA）*j） >0和UA*吉。i、 d。~ U（b，1）。这样我们就可以写出L（A）=PNA*j=1κA*jτA*j+G-1（UA）*j） >0。当κA*j=1对于所有j，该表示与M/G有密切联系/∞ 队列（即Markovarivals，服务时间分布固定，但服务器数量有限）。随着时间的推移，一些事件会消失，初始值会变薄*j=1κA*jτA*j+G-1（UA）*j） >t新的是bornPNAtj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t，其中nati是从时间0到时间t，高度大于b的出生数。相应的τAj和κAj是这些事件的到达时间和移动的大小。因此，稳态过程isL（At）=NA*Xj=1κA*jτA*j+G-1（UA）*j） >t+NAtXj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t，t≥ 0.永久性变化的相应影响是复合泊松过程L（Bt）=PNBtj=1κBj，其中NBT计算到时间t的永久性到达数量，τBj和κBj是相应的到达时间和跳跃大小。我们还将τkT写为从到达和离开的时间顺序中产生的任何一个跳跃时间；κk也是如此。

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2022-5-14 21:10:59

然后，#{k:τk≤ t} 计算截至时间t的价格过程跳跃总数。所有这些都意味着pt=V+NA*Xj=1κA*jτA*j+G-1（UA）*j） >t+NAtXj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t+NBtXj=1κBj=P+NtXk=1κk.（5）式（5）称为广义复合表示。它与金融计量经济学中使用复合泊松过程的大量文献有关，例如Press（1967）。然而，在这里，我们允许一小部分跳变发生，因此由此产生的计数过程不是简单的泊松过程。3.6参数化拖网功能为了使用数据拟合这类模型，有时通过少量参数对拖网功能进行索引是有帮助的。自始至终，我们在以下框架内工作。定义2 A叠加拖网功能hasd（s）=b+（1- b） Z∞eλsπ（dλ），s≤ 其中π是（0）上的任意概率测度，∞). 我们把叠加类约束在这里∞λ-1π（dλ）<∞. 无论概率测度π是什么，结果d总是从0开始存在≤R∞eλsπ（dλ）≤R∞π（dλ）=1，作为s≤ 0.约束∞λ-1π（dλ）<∞ 需要确保Ais有限公司的面积为EB（A）=Z-∞Zd（s）bdxds=Z-∞（丁）- b） ds=（1）- b） Z-∞Z∞eλsπ（dλ）ds=（1）- b） Z∞Z-∞eλsdsπ（dλ）=（1）- b） Z∞λπ（dλ）。（7）使用方程（1）叠加框架（6）hasleb（At∩ A） =（1）- b） Z∞E-tλπ（dλ），t≥ 将其与方程（7）结合，我们得到了z∞Cor（L（At），L（A））dt=R∞λ-2π（dλ）R∞λ-1π（dλ）。因此，当且仅当ifR时，叠加拖网具有长记忆∞λ-2π（dλ）=∞.在下文中，我们只关注特定π的选择。

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kedemingshi

2022-5-14 21:11:03

巴恩多夫-尼尔森、伦德、谢泼德和维拉特（2014年）对这些特殊情况进行了分析，因此，我们在此仅对它们进行说明，以确定我们的应用工作。例4当π在λ>0处有一个支撑原子时，这是指数拖网d（s）=b+（1- b） exp（λs），s≤ 0，（8）leb（A）=1- bλ，leb（在∩ A） =1- bλe-λt。它只允许短内存asR∞λ-2πd′λ= λ-2< ∞ 只要λ>0。例5当π（dλ）=b+（1- b） αHΓ（H）λH-1e-λαdλ，α>0，H>1，我们产生叠加伽马（sup-Γ）拖网渔船（s）=b+（1）- b）1.-sα-H、 s≤ 0，（9）leb（A）=（1）- b） αH- 1，leb（在∩ A） =（1）- b） αH- 1.1+tα1.-H、 t≥ 0.当H∈ （1,2]和H>2 asZ时的短内存∞λ-2π（dλ）=Γ（H）- 2） Γ（H）<∞ 当且仅当H>2。例6当π（dλ）=b+（1- b）（γ/δ）ν2Kν（γδ）λν-1e-(γλ+δλ-1） /2dλ，γ，δ>0，ν∈ R、我们产生了叠加广义逆高斯（sup GIG）拖网（s）=b+（1- b）1.-2sγ-ν/2Kνγδp1- 2s/γKν（γδ），s≤ 0（10）leb（A）=（1）- b） γδKν-1（γδ）Kν（γδ），leb（At∩ A） =（1）- b） γδ1+2t/γ(1-ν） /2Kν-1.γδp1+2t/γKν（γδ），t≥ 0，其中Kν（x）是第二类修正贝塞尔函数。它的asZ内存总是很短∞λ-2π（dλ）=（γ/δ）ν2Kν（γδ）2Kν-2(γδ)(γ/δ)ν-2=γδKν-2（γδ）Kν（γδ）<∞ 对于所有γ，δ>0，ν∈ 然而，它也可以通过释放γ而退化为长记忆拖网=√2α，ν=H和δ→ 0.什么时候→ 0，π（dλ）变为具有尺度参数δ/2和形状参数的反伽马分布-ν、因此我们相应地产生叠加逆伽马（sup-Γ-1）拖网。这是一个重要的例子，因为逆伽马密度在其尾部有多项式衰减，因此将产生短暂但大量的记忆，其模式与经验数据相同。我们将在第5节中清楚地看到这一点。4基于矩的推理这里我们讨论基于匹配矩的推理技术，使用价格路径Pt，t∈ [0，T]。

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2022-5-14 21:11:09

由于（i）价格变化的平稳性Pδ-Pdv-Pt+δ-ptt、δ和（ii）对于数据的高频性质，基于矩的估计是合理的。推理基本上可以分为两部分：对L’evy度量的推理和对b和d的推理。4.1对L’evy度量的推理由于数据的高频性质，样本的瞬时跳跃分布接近真实值。类似地，任何r的样本功率变化{P}[r]t≥ 当作为时间t的线性函数处理时，0的斜率也接近于真值。然后，我们可以使用这些事实来估计L’evy测度ν，以b为单位。让我们将样本瞬时跳跃分布写成^αy，其中py∈Z\\{0}αy=1；此外，通过βr，{P}[r]TT=TX0<t来估计第r个样本功率变化相对于t的斜率≤T|Pt | r.然后通过将力矩与方程（3）和（4）匹配，我们应该得到（2）- b） Xy∈Z\\{0}| y | rν（y）=βr，r≥ 0，（11）ν（y）+ν(-y）（1）- b） =（2）- b） ^αykνk，y∈ Z\\{0}。（12）在r=0的情况下使用（11），我们得到了kνk=Py∈Z\\{0}ν（y）=β/（2）- b）因此，ν（y）+ν(-y）（1）- b） =αyβ，ν(-y） +ν（y）（1）- b） =^α-y^β，y∈ N.解这两个方程得到[ν（y），^αy- (1 - b） ^α-y（2- b） b^β，y∈ Z\\{0}。（13）备注10这并不保证[ν（y）≥ 因此，根据经验，我们将把负的[ν（y）截断为零，同时调整相应的\\ν的值(-y）使得[ν（y）+\\ν(-y） =αy- (1 - b） ^α-y+^α-Y- (1 - b） ^αy（2）- b） b^β=^αy+^α-y（2- b） ^β保持不变。

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2022-5-14 21:11:12

这种修正的优点是可以守恒估计的L’evy测度^ν：Xy的所有（非负）矩∈Z\\{0}|y|r[ν（y）=∞Xy=1 | y | r[ν（y）+\\ν(-y）.然而，它带来的代价是对Pt的所有奇数累积量的估计- 但实际上这是可以忽略的，因为只需要对较大的y进行截断，并且相应的强度ν（y）通常非常小。为了完全避免负面估计，可以将列维测度参数化为inBarndor ff-Nielsen、Lunde、Shephard和Veraart（2014），但在这里，我们更倾向于使用非参数估计。备注11我们应该注意，（13）包含了我们可以从方程（11）和（12）中获得的所有信息，因此我们不能依靠方程（11）和（12）同时求解b和L’evy测度。详情见附录A。4.2永久性和拖网函数的推断我们需要使用额外的力矩方程来估计拖网函数d和b。最简单的方法是通过定理1。特别是，我们将使用Pkδ- P（k）-1)δT/δk=1估计Var（Pδ- P） =（bδ+2leb（AδA））κ（L）=（bδ+2leb（AδA））Xy∈Z\\{0}yν（y）。用采样间隔δascσδ表示样本方差。然后到（13）和匹配时刻，我们应该有cσδ=bδ+2leb（Aδ\\A）2- BXy∈Z\\{0}y^αy^β。（14）附录D显示了如何使用cσδ非参数地估计拖网函数D，但这里我们只演示了参数化拖网的推断。现在假设拖网函数d由φ参数化，例如，指数拖网（8）中的φ=λ，辅助拖网（9）中的φ=（α，H）和辅助拖网（10）中的φ=（γ，δ，ν）。同时估计b和φ的一种简单方法是通过非线性最小二乘法拟合方程（14）除以不同δ的δ。

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2022-5-14 21:11:15

用cσδ/δ代替cσδ的原因是为了简化经验市场微观结构对小δ的影响，因此b和φ的非线性最小二乘估计不会被变异函数的线性部分过度支配。备注12：定义样本方差和已实现方差，如T→ ∞,cσδ≈T/δT/δXk=1Pkδ- P（k）-1)δ-PT- PT/δ,cσΔδ≈TRV（T/δ）- δ（PT）- P） T≈TRV（T/δ），我们在最终近似中去掉了二阶项。因此，从本质上来说，wetry的fit是方差特征图（RV（t/δ）与δ）。从现在起，我们也把cσδ/δ与δ的对比图称为方差特征图。例7为了检验该矩估计的有效性，我们对指数拖网参数化的价格过程模型进行了蒙特卡罗模拟研究（8）。在本文的其余部分中，所有数值都是以秒为时间单位报告的。然后我们设置λtrue=0.681和一个非对称的Skellam基，其L′evy测度ν（dy）=ν+δ{1}（dy）+ν-δ{-1} （dy），b，SD=3.5%密度0。34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.440 5 10 15 20 25 30ν+，SD=0.8%密度0。0134 0.0136 0.0138 0.0140 0.01420 1000 2000 3000 4000ν-, SD=1%密度0。0126 0.0128 0.0130 0.0132 0.0134 0.01360 500 1500 2500λ，SD=4.4%密度0。60 0.65 0.70 0.75 0.800 2 4 6 8 10 12密度图3:10000指数拖网d（s）=b+（1）价格过程矩估计的蒙特卡罗模拟- b） exp（λs）和Skellam基ν（dy）=ν+δ{1}（dy）+ν-δ{-1} （dy）。每个直方图中的垂直线表示真实值。蒙特卡罗标准偏差报告在真实值的范围内。代码：力矩推理模型BasedBootstrap。R.式中，ν+真=0.0138，ν-真=0.0131，B真=0.396。

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2022-5-14 21:11:18

在72.03到75600（秒）的时间间隔内，所有10000条蒙特卡罗模拟路径均以V=7486（刻度）绘制，其中75600表示市场收盘时间21:00。这里的所有设置都取自2010年3月22日的TNC1006实验数据集，我们将在下一节中研究。（14）的非线性最小二乘拟合是针对0.1秒到60秒之间的δ进行的，其对数刻度上有60个等间距的网格点。然后我们重复θ=（b，ν+，ν）的力矩-, λ）并在图3中得出这些估计值的直方图。所提出方法的估算值（使用方程式（13）和（14））正确地以真实值为中心；还请注意，这种方法对于估算ν+和ν特别准确-. 备注13除了基于矩的估计外，我们还可以对我们提出的模型进行最大似然估计，这需要复杂的技术来过滤L’evyprocess L（Bt）。我们目前正朝着这个方向探索粒子方法。5期货数据的实证分析在本节中，我们使用这些基于矩的估计进行实证分析。涵盖两种不同资产的两天交易活动，本文研究了四个数据集：（i）2010年6月交付的十年期美国国债期货合约（TNC1006），时间为2010年3月22日；（ii）2010年6月于2010年3月22日交付的国际货币市场（IMM）欧元-美元外汇（FX）期货合约（EUC1006）；（iii）2010年5月7日期间的TNC1006；（iv）2010年5月7日期间的EUC1006。这些数据集来自巴恩多夫-尼尔森、波拉德和谢泼德（2012）使用的同一数据库。第一个交易日是随机选择的，而第二个交易日不仅是美国非农就业数据的发布，而且还经历了欧洲主权债务危机。

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2022-5-14 21:11:22

这些数据集来自芝加哥商品交易所（CME）的数据源。它们已经使用附录C中描述的程序进行了预处理。从现在起，我们将不再提及每个数据集的交付日期和2010年5.1数据特征这四个数据集中的所有数据集都使用00:00到21:00的所有交易，如图4所示。在如此大的时间尺度下，每个轨迹图看起来都像一个连续的时间扩散过程。然而，如图5所示，如果我们将这些数据集集中到更小的时间尺度（TNC在一小时内，EUC在两分钟内），离散性就变得很重要。特别是，我们可以在图5所示的两个EUC数据集中看到多个刻度跳跃。表1总结了这四个数据集的一些基本特征。两份合同都有更多的合同，日刻度大小（$）价格变化数量价格变化大小（刻度）平均SD。最小最大TNC，03/22 1/64 3，249 0.00646 1.000-1EUC，03/22 0.0001 13，943 0.00337 1.012-2 3TNC，05/07 1/64 12，849-0.000467 1.035 -13 15EUC，05/07 0.000155379 0.00190 1.077-13 15表1：四个期货数据集的汇总统计。5月7日期间的活动比3月22日期间的活动多，所有四个数据集的跳跃大小的标准偏差接近1，尽管所有可能的跳跃大小的范围可能相差很大。我们还绘制了图6中四个数据集的经验瞬时跳跃分布（对数尺度）。这些估计的概率将被用作前一节中确定的力矩估计的^αy。

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2022-5-14 21:11:25

一般来说，EUC的跳跃比TNC有更多的可变性。116.9 117.1 117.3TNC，03/22交易时间（秒）价格（$）00:00 04:00 08:00 12:00 16:00 20:001.346 1.350 1.354EUC，03/22交易时间（秒）价格（$）00:00 04:00 08:00 12:00 16:00 20:00119.0 119.5 120.0 120.5TNC，05/07交易时间（秒）价格（$）00:00 04:00 08:00 08:00 12:00 16:00 20:00 20:00 001.260 1.265 1.270 1.275 EUC，05/07交易时间（秒）价格（$）00:00 04:00 08:00 12:00 16:00 20:00时间（HH:MM）价格（$）图4:00:00至21:00期间四个数据集的完整跟踪图。x轴是日历时间（HH:MM），而y轴是价格（$）。代码：价格图。R.此外，我们可以看到，即使是同一份合同，比如TNC，从随机选择的一天（3月22日）到发生重大经济事件的一天（5月7日），跳跃特征也完全不同。在3月22日这样的正常日子里，跨国公司的交易深度如此之大，以至于它总是在一个滴答声中跳跃，但在5月7日这样一个高度活跃的日子里，情况发生了巨大变化，此时跨国公司的交易行为就像其他多个滴答声市场一样。注14图6的另一个含义是κ（L）当然是一个小数字。为了看到这一点，我们注意到\\κ（L）=Xy∈Z\\{0}y[ν（y）=Py∈Z\\{0}y^αy- (1 - b） Py∈Z\\{0}y^α-y（2- b） b^β=Py∈Z\\{0}y^αyb^β。因此，图6越对称，κ（L）的估计值越小。最后，我们使用采样间隔δ的三个数量级显示了图7中四个数据集的相关图：0.1秒、1秒、10秒和1分钟。

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2022-5-14 21:11:29

每人117美元。时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间[时间]时间[时间[时间]时间[时间[时间]时间[时间]时间[时间]时间[时间]时间[时间[时间]时间[时间]时间[时间]时间[时间]时间[价格]价格（价格）价格（价格）价格（价格）价格）价格（价格）12:46:12:12:12 12:12 12 12:12:12 12 12 12:12 12:12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12:12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 431.27201.27251.2730 1.2735EUC，05/07数据[[i]]$Time[timeMask[[i]]]Price（$）12:46:02 12:46:28 12:46:59 12:47:27 12:47:54时间（HH:MM:SS）Price（$）图5:09:00至10:00期间两个TNC数据集和12:46至12:48期间两个EUC数据集的跟踪图。x轴是日历时间（HH:MM:SS），而y轴是价格（美元）。代码：价格图。R.数据集，我们将在价格模型中使用一组参数，用不同的δ来拟合所有相关图。一般来说，这些自相关显著为负，ask增加，而如果δ变得非常大，自相关将下降到大约为零。当然，有强有力的证据表明，经验数据不能用纯L’evy过程很好地描述，该过程总是给出零收益自相关。我们的模型能够描述这些自相关特征（定理3和推论1）。下一小节将对这些经验数据集进行基于动量的估计。●●-1-0.5 0.0 0.5 1.0-0.700-0.696-0.692-0.688TNC，03/22跳跃大小（刻度）跳跃区$prob●●●●●-2.-1 0 1 2 3-8.-6.-4.-2 UC，03/22跳跃大小（刻度）跳跃区$prob●●● ● ●●●●●●●●●-10-5 0 5 10 15-8.-6.-4.-2TNC，05/07跳跃大小（刻度）跳跃距离$prob●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●● ● ● ● ●-10-5 0 5 10 15-10-8.-6.-4.-2 UC，05/07跳跃大小（滴答声）跳跃距离$probTickslog-密度图6：四个数据集的经验瞬时跳跃分布的对数直方图。

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2022-5-14 21:11:32

每个图的x轴表示跳跃的大小，而y轴表示对数标度中的估计概率值。代码：价格图。R.5.2参数估计我们使用前面描述的方法，对三种不同拖网（8）、（9）和（10）的四个数据集进行分析。估算结果如第25页的表2所示，其中ν+，∞Xy=1ν（y）和ν-,∞Xy=1ν(-y）分别为正跳跃强度和负跳跃强度。我们在表中观察到，对ν+和ν的估计-在不同的拖网选择中相对稳定。表2中H的估计值清楚地表明，使用辅助拖网收集经验数据是不够的。此外，尽管我们用三个参数建立了一个更一般的辅助拖网，但这四个经验数据集几乎可以用辅助参数来描述-1仅使用两个参数（为了特别强调市场微观结构效应的拟合，样本方差是在等距离网格上以δ对数标度计算的，其范围如图9.5 10 25所示）-0.25-0.15-0.05 0.05δ=1分钟滞后（k）自相关●●●●●●●●TNC，03/22EUC，03/22TNC，05/07EUC，05/075 10 15 20 25-0.25-0.15-0.05 0.05δ=10秒。滞后（k）自相关●●●●●●●●TNC，03/22EUC，03/22TNC，05/07EUC，05/075 10 15 20 25-0.12-0.08-0.04 0.00δ=1秒。滞后（k）自相关●●●●● ●●●TNC，03/22EUC，03/22TNC，05/07EUC，05/075 10 15 20 25-0.06-0.04-0.02 0.00δ=0.1秒。滞后（k）自相关●●●●●●●●TNC，03/22EUC，03/22TNC，05/07EUC，05/07Lag（k）自相关图7：四个数据集具有不同采样间隔δ=0.1,1,10,60（秒）的相关图。每个图的x轴是滞后k，而y轴表示经验LAUTOCORrelation的值。虚线位于±2/pT/δ处。代码：价格图。R.γ病例→ 第3.6节中提到的sup GIG拖网为0）。

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2022-5-14 21:11:36

这种现象可能归因于这样一个事实，即反伽马分布在原点附近呈指数衰减，但在多项式上是线性的，这使得它能够捕捉到这些非常不同的时间尺度。备注15在同一表格中，我们还使用基于模型的引导，即插入参数的普通蒙特卡罗模拟，提供基于矩的估计的标准误差（SE）估计。使用这些估计参数，我们首先显示了图8和图9中每种拖网的Cσδ/δ相对于δ的方差特征图，以及相应的理论曲线（14），其中第二个图使用了δ的对数标度。在每一个图中，我们不仅把limδ→0cσδ/δ=δcσδ（0）=Py∈Z\\{0}y^αy^β位于δ=0的相应位置，但也是来自纯L\'evy过程模型（b=1）的参考水平线，该模型是根据线性格网拖网的斜率计算得出的，03/22 EUC，03/22 TNC，05/07 EUC，05/07Est。是的。是的。是的。参见XPB 0.396 0.014 0.654 0.008 0.574 0.015 0.694 0.007ν+0.014 0.000 0.069 0.000 0.059 0.001 0.282 0.001ν-0.013 0.000 0.068 0.000 0.060 0.001 0.279 0.001λ0.681 0.030 2.470 0.083 3.888 0.218 4.033 0.133sup-Γb 0.283 0.021 0.604 0.012 0.525 0.016 0.649 0.010ν+0.013 0.000 0.067 0.001 0.057 0.272 0.002ν-0.012 0.000 0.066 0.001 0.058 0.001 0.270 0.002α1.146 0.191 0.311 0.037 0.187 0.038 0.192 0.023H 1.000 0.125 1.000 0.104 1.000 0.139 1.000 0.102sup-GIGB0.186 0.028 0.528 0.034 0.440 0.029 0.648 0.011ν+0.013 0.000 0.063 0.001 0.054 0.001ν0.272-0.011 0.000 0.062 0.001 0.055 0.001 0.269 0.002γ 0.000 0.066 0.000 0.030 0.003 0.028 0.000 0.064δ 0.453 0.049 0.604 0.085 0.583 0.099 1.525 0.209ν -0.604 0.078 -0.453 0.067 -0.332 0.077 -0.741 0.170表2：四个数据集在不同拖网下基于力矩的估计。

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2022-5-14 21:11:40

还显示了使用基于模型的bootstrap对每个参数的矩估计的标准误差（SE），其中我们绘制的自举路径数为10000。cσδ与δ的变异函数中的直线。这些方差特征图显示了良好的结果，我们特别注意到，使用辅助拖网可以获得非常好的结果；而另外两种更简单的拖网渔船无法以更小的δ到达该区域。当我们查看图9时，这一点变得很明显。为了进一步检验我们的模型拟合，我们还在图10中展示了不同δ的回报率分布的对数直方图以及理论曲线（通过对EOREM 1应用傅里叶逆变换）。对于较大的δ，sup GIG拖网比其他两种拖网（图10中未显示）做得更好，而对于较小的δ，三种拖网之间的差异是有限的。总体而言，我们的模型似乎低估了每个经验跳跃分布的尾部。我们现在展示了不同δ的回报率的相关图，以及图11中的理论曲线。对于较大的δ，除3月22日的TNC外，经验收益率看起来几乎不相关（从0开始），但sup GIG拖网仍然捕捉到了第一个滞后的这种异常。

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