退休时的最优股票下滑路径

2022-5-22 12:13:37

wedevelop模型适用于任何长度的退休期限，因此可以定期重新运行以产生新的解决方案。这允许每年更新，例如，使用新的静态下滑道。为了得到最优下滑路径，我们将成功概率（破产）表示为权益比率的函数，并使用传统方法将其最大化（最小化）。本研究组织如下。我们从第一节开始回顾文献，然后在第二节介绍稍后需要的各种概念。在第三节中，我们提供了优化模型的一般条款，并在第四节中给出了具体的实现。第五节中，我们使用最终退出的随机时间扩展了该模型，并在第六节中总结了我们的发现。包含了完整C++应用程序的证明附录。一、在产生退休收入的过程中，金融经济学家运用生命周期模型来选择投资组合，以最大化消费的预期效用。这些模型不限于退休递减阶段。这一领域的研究使用布朗运动演算，部分基于默顿和萨缪尔森的著作，他们在1969年8月的《经济学与统计学评论》上分别发表了论文。萨缪尔森（Samuelson）研究离散时间案例，默顿（Merton）通过在区间宽度接近零时取极限来构建连续时间案例。本研究的一个关键发现是，在某些特殊情况下，投资组合选择和消费是相互独立的。投资组合选择（投资金额）冯·诺依曼（VonNeumann）和摩根斯特恩（Morgenstern）（1947）提出了行为公理和命题，即决策者将通过最大化预期效用在备选方案中进行选择。风险资产）是基于风险厌恶的常数，而消费决策是基于财富的。

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2022-5-22 12:13:41

更一般地说，消费水平是风险厌恶和风险资产可用性的函数。这些方法的起源可以追溯到1827年，当时苏格兰人罗伯特·布朗发表了一篇论文，描述了植物花粉在液体中的随机运动。70年后，一位名叫路易斯·巴塞利尔的数学学生用布朗的方法模拟巴黎股市的价格。四分之一世纪后，诺伯特·维纳（NorbertWiener）在麻省理工学院（MIT）为这一运动建立了完整的数学框架（Wiersema（2008））。默顿的连续时间模型假设风险资产回报是随机的，并遵循维纳过程（布朗运动），但讨论了扩展，而萨缪尔森的模型在这方面更为一般。Milevsky和Huang（2010）指出，金融经济学这一领域的研究十分活跃，在前十年中，已有50多篇此类论文出现在顶级金融期刊上。生命周期模型通常以各种方式进行修改或扩展。例如，Young（2004）确定了在死亡率不变的情况下使终身破产概率最小化的投资组合。Moore和Young（2006）使用更一般的重要性分布对这项研究进行了后续研究。Huang、Milevsky和Salisbury（2012）将更现实的死亡率纳入效用最大化模型，并允许消费者根据其当前健康状况改变支出。最近，Bayraktar和Young（2015）得出了给定遗赠动机的最佳生命周期组合。尽管这些模型在学术文献中很受欢迎，但财务顾问通常会回避这些模型，因为它们是启发式的或经验法则，更容易实施和解释。安全提款率（SWR）就是这样一种神经病，它表明退休人员每年从储蓄中提取固定数额的资金，并根据通货膨胀进行调整。

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2022-5-22 12:13:44

顾问们更喜欢这些启发法，因为它们更准确地反映了退休人员的需求，即与他们之前的薪水类似的稳定和可持续的收入流（Fan、Murray和Pittman（2013））。然而，另一些人则声称它们被误导了，强烈反对使用它们。例如，在2014年5月发表的一篇论文中，Irlam和Tomlinson提到了经验法则，如SWR，远未达到最佳状态，这表明无法知道何时或是否找到了最佳解决方案。Rook（2014）先发制人地提出了对这些说法的质疑，利用动态滑翔路径策略为SWR启发式开发了一个最优decumulationmodel。在这项研究中，我们解决了使用静态下滑路径策略优化SWR启发式的相关问题。SWR启发式的下滑道给出了每个时间点的权益比率，它主要通过破产概率（成功）进行评估。终端投资组合价值或遗赠财富是另一个衡量主权财富基金有效性的指标。当滑道可以随时间变化时，称其为动态滑道；当滑道固定在起点时，称其为静态滑道。Rook（2014）推导出了使破产概率最小化的动态下滑路径，并证明了静态下滑路径策略由于对退休人员施加的人为约束而不是最优的。Fan、Murray和Pittman（2013）推导出了动态下滑路径，该路径可以最大化遗赠财富，并受到短缺罚款的影响。其他倡导动态方法的人包括Guyton（2004）、Stout和Mitchell（2006）以及Frank、Mitchell和Blanchett（2011）。一些方法合并了类似于生命周期模型的支出变化。

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2022-5-22 12:13:47

尽管有动态策略的好处，静态滑翔道研究仍然是从业者和目标日期基金提供者的一个活跃研究领域。研究了各种静态下滑道形状，试图找到在某些度量方面表现最好的。这里，“形状”指的是超时绘制的权益比率。最受关注的形状是恒定、下降和上升。Bengen（1994）研究了退休人员在30年内每年可以提取多少资金而不会耗尽他们的投资组合的问题。根据美国历史股票/债券收益率，答案略高于4%，这就是所谓的“4%规则”。与一些动态支出模型不同，这条规则在市场上涨时规定了纪律。Bengen（1994）发现，使用50%至75%的股票可以实现持续下滑。Cooley、Hubbard和Walz（1998）在Trinity研究中使用恒定滑道得出了类似的结论。Blanchett（2007）直接比较了恒定滑道和各种类型的下降滑道，发现其表现优于其他滑道。Cohen、Gardner和Fan（2010）表示同意。Van Harlow（2011）也相信了持续下滑的趋势，但股本比率较低，Estrada（2015）发现国际证据支持与下跌和上涨的趋势相比，持续下滑的趋势。可在SSRN上找到Rook（2014）的早期版本，网址为：http://ssrn.com/abstract=2420747.（请注意，本工作文件第1版于2014年4月6日发布。）下滑趋势模拟了“债券年龄”的启发，该启发假设退休人员保持100或120减去他们在股票中的年龄，作为一个百分比。这导致股本比率长期下降。许多目标日期（T-D）基金实施下滑路径，默许其策略，该行业目前持有6000多亿美元的资产（Yang和Lutton（2014））。

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2022-5-22 12:13:50

Blanchett（2015）在与Blanchett（2007）不同的假设下，比较了下降、上升、v形和恒定下滑路径，发现下降下滑路径更可取。Estrada（2015）发现，国际纪录倾向于在退休后下降，而不是上升。Fullmer（2014）指出，行为问题是T-D基金使用下滑路径下降的一个关键原因，即退休人员的风险厌恶随着年龄的增长而增加，因此权益比率应该下降。Davermanand O\'Hara（2015）不同意将退休日称为人生中风险最大的一天，并得出结论，在T-D基金中，持续下滑更有效。这引起了实用新型的实际关注。两家领先的金融公司对退休风险厌恶以及它应该如何影响T-D基金的下滑路径得出了完全相反的结论。关于这一主题，Young（2004）指出，最大化预期效用是主观的，而更客观的指标，如最小化财务破产的可能性，可能是合适的。最近，上升下滑路径作为一种可以降低退休后财务破产可能性的策略引起了人们的关注。Pfau和Kitches（2014）利用各种回报假设证明了这一点，并指出，上升下滑路径实际上在加权平均基础上更为保守，因为账户余额在退休开始时更大，随着分配的减少而变小。Bill Bernstein（2014）同意这一观点，并将上升的下滑路径比作可生存性匹配投资组合如何随时间自然演变。

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nandehutu2022

2022-5-22 12:13:53

Fullmer（2014）指出，这种避险途径并不是新的，其益处已经为人所知，但适当考虑风险规避会限制其有用性，因为退休人员随着年龄的增长更容易恐慌和抛售。Daverman和O\'Hara（2015）从生命周期的角度证明了下滑路径的上升。他们发现，在考虑社会保障或养老金等稳定收入流时，这是最佳策略，Delorme（2015）得出了类似的结论。Fullmer的主要观点是，在实施数学优化策略时，不应忽视行为方面的考虑，这一点值得重复。二、初步讨论在本节中，我们将介绍稍后需要的调查结果。对于所有部分，一些证明细节将放在本研究附带的附录文档中，以及来自完整C++应用程序的源代码中。代码需要独立的用户验证。A、定义和符号我们将采用Rook（2014）中使用的相同符号。也就是说，假设退休人员投资股票/债券，并让α反映给定时间点t的股本比率。t-1和t之间的总回报，对于t=1，2，…，TD，使用股本比率α表示为R（t，α）。quantityR（t，α）的推导公式为：R（t，α）=紧接着就是：时间t余额=（时间t-1余额）*（1+R（t，α））让我们错误地反映时间t-1和t之间的费用比率。

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2022-5-22 12:13:56

计算费用收益率：实际时间t余额=（实际时间t-1余额）*（1+R（t，α））*（1–ER）总收益率R（t，α）、通货膨胀率It和实际收益率R（t，α）之间的关系为：（1+R（t，α））=（1+It）*（1+R（t，α））求解复合实际收益率，1+R（t，α），收益率：1+R（t，α）=,按实际价值计算，含费用的时间t账户余额为：实时实际时间t余额=∏=*,*∏*→ 实时实际时间t余额=（实时t-1余额）*（1+r（t，α））*（1–ER）数量（1+r（t，α））*（1–ER）将用（t，α）表示，并称为t-1和t之间的通货膨胀/费用调整复合回报，使用权益比率α。请注意，（t，α）是A权益比率α可以随时间点不同而不同，但我们将在此阶段避免在下标上使用下标，并且仅在必要时将α作为αt写入。（2.1）（2.2）（2.3）（2.5）（2.4）（2.7）（2.6）随机变量（RV），因为它是RV的函数，r（t，α），它本身是随机的，因为它是两个RV，r（t，α）和它的函数。B

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能者818

2022-5-22 12:14:00

股票/债券组合的均值和方差t r（s，t）和r（b，t）是分别反映时间点t-1和t之间实际股票和债券收益的RVs，具有以下均值、方差和协方差：E[r（s，t）]=u（s，t）和V[r（s，t）]=σ（s，t）E[r（b，t）]=u（b，t）和V[r（b，t）]=σ（b，t）Cov（r（s，t），r（b，t））=σ（s，b，t）实际收益，r（b，t t，α），股票/债券投资组合在t-1和t之间，权益比率α为：r（t，α）=（α）*r（s，t）+（1-α）*r（b，t），均值和方差为：E[r（t，α）]=（α）u（s，t）+（1-α）u（b，t）V[r（t，α）]=（α）σ（s，t）+（1-α）σ（b，t）+2（α）（1-α）σ（s，b，t）。最后，股票/债券投资组合在不同时间段的通货膨胀/费用调整复合收益率t-1和t，权益比率α由以下公式得出：（t，α）=（1–ER）*（1+（α）r（s，t）+（1-α）r（b，t）），均值和方差用mt（α）和vt（α）表示，分别为：mt（α）=E[（t，α）]=（1–ER）*（1+（α）u（s，t）+（1-α）u（b，t））vt（α）=V[（t，α）]=（1–ER）*[（α）σ（s，t）+（1-α）σ（b，t）+2（α）（1-α）σ（s，b，t）]这些函数与α相关的第1和第2个条件是：mt（α）=（1–ER）*（s，t）-u（b mt′′（α）=0vt′（α）=2（1-ER）*[（α）σ（s，t）-（1-α）σ（b，t）+（1-2α）σ（s，b，t）]vt′（α）=2（1-ER）*[σ（s，t）+σ（b，t）-2σ（s，b，t）]注意，vt′（α）>0，因为（2.20）中括号内的项[·]是V（Z），其中Z=r（s，t）-r（b，t），连续随机变量的方差总是正的。这意味着vt（α）是一个凸函数（2.8）（2.9）（2.10）（2.11）（2.12）（2.13）（2.16）（2.15）（2.14）（2.17）（2.20）（2.19）（2.18），因此其最小值是满足vt′（α）=0的临界点。用MVt（α）表示溶液的产率：MVt（α）=,,,,,,,.这里，MVt（α）是最小方差α（Markowitz（1952）），在时间t通过分析得出（Sigman（2005））。下面的图1以图形方式描述了这种情况。注意，对于任何α>MVt（α），vt′（α）>0。

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2022-5-22 12:14:03

此外，我们声称退休人员不会从任何权益比率α<MVt（α）中受益，因为通过在图1的图表上画一条水平线，我们可以构建一个方差相同但预期回报较高的投资组合。这是因为当u（s，t）>u（b，t）时，mt（α）是α的递增函数。因此，我们将在优化期间将可行区域限制为MVt（α）<α≤ 1.00并依赖于vt′（α）始终为正的事实。图1投资组合方差函数该图显示了投资组合方差在时间点t处作为权益比率α的函数。该函数自vt′′（α）>0时变为凸函数，且在满足vt′（α）=0的临界点达到最小方差，标记为MVt（α）。如果可行区域限于满足MVt（α）<α的股权比率≤ 1.00那么我们可以假设vt′（α）>0。我们通过指出，对于任何α<MVt（α）的投资组合，都可以建立具有相同方差但更高预期回报的投资组合，因为预期回报是α的递增函数。在图表上画一条水平线，然后直线向下找到首选的α。这一结果通常被用来得出多元化可以降低风险的结论。（2.21）C.实际回报的概率分布我们表示每次t乘以（t，α）的通货膨胀/费用调整回报，并假设它是一个连续的RV。退休期内所有通货膨胀/支出调整后回报的多元概率密度函数（PDF）将用f（·）表示，即：f（（1，α），（2，α），…，（TD，α））。请注意，f（·）是TDequity比率的函数= （α，α，…，αTD），和表示aglidepath。在市场效率假设下，该PDF可表示为：f（（1，α），（2，α），…，（TD，α））=∏,,式中，ft（·）是（t，α）的边缘PDF，它是αt的函数。

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2022-5-22 12:14:06

ft（·）的累积分布函数（CDF）为ft（r）=P（,. 对ft（·）的唯一限制是它是有效的PDF。例如，在t=t，t时，PDF ft（·）和ft（·）不需要进行相同的分布，也不必来自相同的分布族。D、财务破产事件一个比储蓄还多的退休人员经历了财务破产。让Ruint（t）表示在时间t发生的财务破产事件，让RuinC（t）表示在时间t避免财务破产的事件。Rook（2014）表明，如果在时间点t=1，2，…，t-1避免了破产，则事件Ruint（t）等价于：破产（t）≡ （t，α）≤ RF（t-1），其中RF（t-1）是一个称为破产因子的量，定义为：RF（0）=WR，对于t=0，和RF（t）=,, 对于t=1，2，…，TD-1。如果rUnc（t），则0<RF（t）<∞, 如果破产（t），则RF（t）<0（或=∞). 就时间t的投资组合平衡而言，RF（t）的倒数等于剩余的实际提款数量（Rook（2014））。因此，RF（t）表示退休人员在t时的资金状况。为了避免经历财务破产，退休人员必须在t=1、2、（2.22）（2.23）（2.24）（2.25）（2.26）…，TD的所有时间点成功提款。在时间t iff（t，α）>RF（t-1）时成功退出。让我们毁灭(≤ t）表示在时间t或之前发生的破产事件，并让破产c(≤ t）表示在所有时间点（包括时间t）避免破产的事件。由于终端提款是在时间t=TD时进行的，因此，破产c(≤ TD）表示在所有时间点避免破产的事件。

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2022-5-22 12:14:11

给，瑞恩(≤ TD）≡ RUNC（1）∩ RUNC（2）∩ … ∩ RUNC（TD）和P（RUNC(≤ TD））=P（Runc（1）∩ RUNC（2）∩ … ∩ RUNC（TD））→ P（RUNC(≤ TD））=P（（1，α）>RF（0）∩ （2，α）>RF（1）∩ … ∩ （TD，α）>RF（TD-1））→ P（RUNC(≤ TD））=…,,,,…,,d,…d,d,.我们可以估计P（runc(≤ TD），使用仿真或动态程序（DP）。模拟使用了在时间t iff（t，α）>RF（t-1）时避免破产的事实，这提出了以下算法。迭代时间t=1，2，…，TD（即退休期），从PDF ft（·）生成arandom观测值，例如（t，α），如果（t，α）>RF（t-1）计算RF（t），则通过递增破产计数器（初始化为0）来结束该过程并记录破产事件。重复该过程N次并估计P（破产(≤ TD）乘以（#破产事件）/N。数量1 P（破产(≤ TD）估计值P（RUNC(≤ TD））。如果PDF ft（·）不是来自已知的家族，则可以使用拒绝采样来生成随机观察（冯·诺依曼（1951））。估算P（Runc(≤ TD））使用DP，我们通过删除每个（t，RF（t））的优化来简化Rook（2014）的模型。即，设：V（t，RF（t））=给定RF（t）>0的时间t后的破产概率。从Rook（2014）得出：V（t，RF（t））=1–（1–Ft+1（RF（t）））*（1–E（t+1，α）+五、T1.,用于：0≤ T≤ TD-1，RF（t）>0，V（TD，RF（TD））=0。（2.27）（2.28）（2.30）（2.29）（2.32）（2.31）该DP在实践中通过将RF（t）维度离散化（Rook（2014）），用P（破产）来解决(≤TD））=V（0，WR）。（2.32）中的RV（t+1，α）+=（t+1，α）|（t+1，α）>RF（t）具有PDF:（t+1，α）+~,,,,对于,射频T0, O、注意，DP是用Ft（·）而不是Ft（·）和1-P（破产）来求解的(≤ TD）估计值P（RUNC(≤ TD））。E

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2022-5-22 12:14:14

测试滑行道是否相等考虑两条产生二元结果（即0=破产）的退役滑行道gp和gp(≤ TD），1=RUNC(≤ TD），并将其分配给伯努利RVs X和X，P（Xi=1）=Pi，i=1，2。简单地说，E（Xi）=平面，V（Xi）=π（1-pi）。兴趣在于检验以下假设：Ho:p=PV。Ha：p 当调用中心极限定理（CLT）收益率（Ross（2009））：X时，在RVs X和X上绘制大小和N（均较大）的pIf随机样本~NP,P1.PN,对于我1,2,其中X是样本i中i=1，2的成功比例。在Hothe条件下，方差相等，我们可以合并两个样本来估计正态方差，如下所示：p1.PNP1.PN,对于我1,2,其中，pN十、N十、NN,是组合样本中成功的比例，也是pand punder Ho（Ross（2009））的最大可能性估计值。由于样本是独立的，在（2.33）（2.34）（2.35）（2.36）（2.37）Ho下，以下统计量可用于Howith临界区的大样本测试：| ts |>Zα/2，其中α=P（I型误差）：t十、十、P1.PNP1.PN~N0,1.F、测试滑翔道的非劣性时，应考虑第二节中所述的相同2个滑翔道过程。E、但现在人们对这一假设很感兴趣：Ho:p≥ pvs。Ha:p<p合并估计值p 摘自第二节。E不再适用（根据Ho），但每个方差可以通过最大似然法估计（Ross（2009））：p.1.P.NP1.PN,对于我1,2,其中，p.= 十、对于i=1，2。调用独立性和CLT，对于大样本，数量：t*十、十、P1.PNP1.PN~NPP,1..较小的值T*导致拒绝Ho，并在Ho下，t*从正态分布观察，平均值>0，方差=1。因此，在Ho，P（t*< -Zα）≤ α。

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2022-5-22 12:14:17

（具体而言，P（t*< -Zα）=α，当p=pand p（t*< -Zα）<当p>p时的α。）这表明，最大α的HowithP（I型误差）的大样本测试具有临界区域：T*< -Zα。G、函数的梯度n维连续函数f（x，x，…，xn）的梯度是1阶偏导数的向量（假设存在），即：（2.38）（2.39）（2.41）（2.42）（2.40）F十、F十、F十、在特定点进行评估时，坡度指示最陡的上升方向（Hillierand Lieberman（2010））。此外，f（·）的临界点是那些满足= , f（·）的内部点优化只能存在于临界点（Anton（1988））。H、函数的Hessian n维连续函数f（x，x，…，xn）的Hessian是2ndorder偏导数的对称矩阵（假设存在），即：F十、F十、十、…F十、十、F十、十、F十、…F十、十、F十、十、F十、十、…F十、当在特定点进行计算时，如果该点周围的区域是凹的，则Hessian矩阵是负半定的（Jensen和Bard（2003））。此外，一个nxn矩阵是负半定的，当其n个特征值为非正时（Hillier和Lieberman（2010））。注意，实对称矩阵的奇异值保证存在且为实。一、梯度上升算法使用梯度上升使n维连续函数f（x，x，…，xn）最大化我们计算梯度对于初始起点= （x，x，…，xn0）′并爬升，直到没有进一步的进展，然后重复该过程，直到所有方向的梯度为零（即。，= . 然后我们计算Hessian，并通过显示该区域是凹的来确认停止点是最大值。

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2022-5-22 12:14:19

为了攀爬，我们建立梯度对于然后找到（2.44）（2.43）使f最大化的标量t(+ t型*) （Hillier和Lieberman（2010））。在实践中，我们选择一个合适的增量大小，然后沿着渐变方向前进，直到进度结束，分配= +t型*. 向量成为下一次迭代的起点（Hillier和Lieberman（2010）），通过这种方式，我们将曲面上下弯曲到顶部。当满足某些理想条件时，迭代结束，例如，当最大绝对梯度元素小于收敛阈值ε时，见图2。如果起点不同，, 引入不同的局部最优值，然后可以使用禁忌搜索、模拟退火或遗传算法等元启发式方法来引导过程走向全局最优。如果运行足够长的时间，一些超启发式算法保证会收敛（Hillier和Lieberman（2010））。图2坡度方向的限制该图描述了坡度爬升程序，其中是在点处计算的n维连续函数f（x，x，…，xn）的梯度. 步长为t，优化减少到函数f的最大化(+ （t）) 对于未知标量t，即在每次迭代时，将n维优化问题简化为一维优化问题。在实践中，我们将为t选择合适的步长，并沿着直到进度结束。当f（·）开始减少时，进度结束。如果t=t*是使f最大化的值(+ （t）) 然后+ （t*）成为下一次迭代的起点。该过程在以下情况下结束=, 这意味着无方向攀爬将增加目标f（·）。在实践中，我们将设置一个阈值作为停止规则，绝对值不得超过。

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mingdashike22

2022-5-22 12:14:24

（Hillier和Lieberman（2010））J.Newton方法在实践中，梯度上升法通常收敛缓慢。或者，我们可以用牛顿方法通过近似其梯度来优化n维连续函数f（x，x，…，xn）在初始起点附近有一个1storder-Taylor级数. 的1storder-Taylor展开式在= （x，x，…，xn0）′是以下各项的RHS： + (- .设置此近似值=解出临界点，= （x，x，…，xn1）′，其中：= ,这将成为下一次迭代的起点。如前所述，当满足一些客观标准时，程序结束，例如所有梯度元素的绝对值<ε。因为牛顿的方法需要我们可以在每一步推导其特征值，并在最大化f（·）时确定该区域是凹的。这很重要，因为= 也在局部/全局最小值。与梯度上升一样，如果不同的起始值导致不同的局部最优值，则可以使用元启发式来指导程序走向全局最优（Hillier和Lieberman（2010））。K、积分评估在接下来的章节中，我们需要评估以下形式的积分：十、μE√dx公司,其中n是正整数。这里将导出一个解决方案并在整个过程中使用。

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能者818

2022-5-22 12:14:28

案例y≤u和y>u将分别考虑。案例1：y≤ uLetU十、μ√2σ→√U十、μ√2σ→√U十、μ√2σ（2.46）（2.45）（2.47）（2.48）（2.49）→dudx公司2.十、μ√2σ√2σ→σ杜邦十、μ√2σdx公司作为x→ ∞, U→ ∞,和像十、→,U→μ√2σ因此，（2.47）可以写成：2σ十、μ√2σE√dx公司1.2σσU√E杜邦1.σ√2.ΓN1.1.,μ√2σ式中，Γ（·）是伽马函数，且,（·）分别用形状和比例参数α和β表示伽马RV的CDF（Casella和Berger（1990））。情况2：y>u将（2.47）分为两部分，如下所示：十、μE√dx公司十、μE√dx公司.将（2.54）从情况1应用到第一个积分（2.55），该积分减少到：1.σ√2.ΓN1.,然后从第二个整数（2.56）中的（2.48）进行相同的u替换，除了现在：√U十、μ√2σ和作为x→ u，u→ 0→2.56√2σ√Edx公司√2σUEdu（2.50）（2.51）（2.54）（2.53）（2.55）+（2.56）（2.57）（2.58）（2.59）（2.60）（2.52）σ√2.ΓN1.,μ√2σ.组合（2.57）和（2.61）收益率（对于案例2）：2.471.σ√2.ΓN1.1.1.,μ√2σ..并且，结合案例1和案例2，得出（2.47）的以下分段定义：1.σ√2.ΓN1.1.,μ√2σ,对于Yμ1.σ√2.ΓN1.1.1.,μ√2σ,对于Yμ使用指示符函数，我们可以更简洁地表示（2.63），即当x∈A、否则为0（Casella和Berger（1990））。那么，对于∞∞, （2.47）由下式给出：1.σ√2.ΓN1.1.1.,,μ√2σ.请注意，（2.63）中的表达式是相同的奇数整数n>0。

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能者818

2022-5-22 12:14:31

此外，Γ（1/2）=√ , Γ（n）=（n-1）！，和Γ（θ+1）=正整数n和正实数θ的θΓ（θ）（Casella and Berger（1990）），因此：ΓN1.1.,对于N1.√,对于N2.1.,对于N3.√,对于N4升。高斯动量还需要计算以下形式的积分：十、μE√dx公司,（2.61）（2.62）（2.63）（2.65）（2.66）（2.64），其中n为正整数。乘以和除以常数σ√2.收益率：σ√2. √2.十、μσEdx公司0,对于N1σ√2.,对于N20,对于N33σ√2.,对于N4为证明理由，请注意（2.66）=σ√2.E十、‐un] 其中X~n（u，σ）。显然，当n=1时，（2.66）=0，当n=2时，我们调用σ的定义，因此（2.66）=σ√2.. 然后设Z=（X-u）/σ→ dZ=（1/σ）dX→ σdZ=dX和（2.66）=σn1.√2.EZn]，其中EZn]=（n-1）*（n-3）…3*1是标准化正常RV的第n个力矩（Johnson、Kotz和Balakrishnan（1994））。使用公式，显然（2.66）=0 奇数n，当n=4（2.66）=σ√2.EZ] =3σ√2..M、凸集S是凸的，如果对于任何x，y∈ S、 λx+（1-λ）y∈ s 0≤ λ≤ 1，也就是说，两个集成员的任何凸组合也是一个集成员（Boyd和Vandenberghe（2004））。设表示一组通货膨胀/费用调整后的回报率，该回报率在给定初始提取率WR=RF（0）的情况下，可避免长度为TDA的ahorizon在退休时发生财务破产。然后从第二节开始。D、 ={（1，α），（2，α），…，（TD，α）：,射频T1.}.声明：集合是凸的。理由：我们必须证明，给定避免退休时财务破产的任何两个回报向量，比如和∈ ，返回向量= λ1.λ也避免了退休时的财务破产 0≤ λ≤ 1.

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nandehutu2022

2022-5-22 12:14:35

那就是我们必须证明∈ ，其中：,,,, ,,,, ,λ,1.λ,,λ,1.λ,,λ,1.λ,.对于TD=1，单期退休期限，和∈ 表示,> RF（0）和,> RF（0）。因此，,λ,+ （1-λ）,> λRF（0）+（1-λ）RF（0）=RF（0），因此∈ 。（2.67）（2.68）（2.69）对于TD=2，两期退休期限，和∈ 表示,> RF（0）和,>RF（0），但也有,> RF（1）和,> RF（1）。时间t=2时的状态为：,射频射频0,射频0和,射频射频0,射频0→λ,1.λ,λ射频,射频1.λ射频,射频.我们必须证明这一点,> RFc（1）=,, 或：λ,1.λ,射频λ,1.λ,射频.足以表明（2.71）的RHS为≥ （2.72）的RHS，即λ射频,射频1.λ射频,射频射频λ,1.λ,射频,这是正确的，<->λ,射频1.λ,射频,射频,射频λ,射频1.λ,射频<->λ1.λ1.,射频,射频λ1.λ,射频λ1.λ,射频0,但λ1.λ1.= 2λ2λ2λ1.λ和λ1.λ可从两侧的每个术语中划分：（2.70）（2.71）（2.72）（2.73）（2.75）（2.74）<->,射频2.,射频,射频,射频0<->,射频,射频0,这总是成立的，因此,> RFc（1）和∈ 如图所示。

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2022-5-22 12:14:39

对于TD≥ 3我们可以通过制定和求解以下确定性非线性规划（NLP）来从数字上证明我们的主张：最小化：Z=1主题：RFi（TD）>0和RFc（TD）≤ 0 i=1，2用于：RFi（t）=,i=1，2，c和t=1，2，…，TD,0 i=1，2和t=1，2，…，TD,λ,1.λ,t=1，2，…，TDTD>0（整数），RF（0）>0，0≤ λ≤ 1本NLP的任何可行解决方案都是一个反例，使我们的主张无效。该NLP没有可行解，因此集合是凸的。由于不包括其边界区域，因此它也是一个开集。我们可以查看P（runc(≤ TD）作为观察集合中一个成员的概率，我们寻求使该概率最大化的权益比率。此外，当使用SWR策略时成功的退休投资组合的通货膨胀/费用调整回报集独立于下滑路径。一旦提取率WR=RF（0）和水平长度Td固定，则完全确定集合。集合的元素是TD元素向量，可以避免任何和每个滑翔道的财务破产。TDreturns的avector不可能在一条滑道上成功，但在另一条滑道上失败。最后，当退休时使用SWR策略时，会出现回报序列（SOR）风险（参见Milevsky和Abaimova（2006））。这种风险通常被解释为，在决定投资组合的成功或失败时，早期decumulationears的重要性过高。使用我们的符号SOR risk仅仅意味着集合在置换下不是闭合的。如果我们取集合的一个成员并改变其顺序，则得到的向量不一定是一个成员。（2.76）（2.77）（2.78）（2.79a）（2.79b）（2.79c）（2.79d）N。

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2022-5-22 12:14:44

凹函数谱任意两个正实数x，y的广义平均值表示为x、 y型并为0定义≤ λ≤ 1 as（Kall和Mayer（2010））：x、 y型λx1.λY,对于α0，∞,∞十、Y,对于α0最小值x、 y型,对于α∞最大值x、 y型,对于α∞函数f（·）>0 x、 y型∈(-∞,∞ 如果f（λx+（1-λ）y），则称为α-凹≥ F十、,FY 0≤ λ≤ 1、此处关注的案例是α∈[-∞, 1] 。也就是说，1-凹函数f（·）就是凹函数；0-凹函数f（·）是对数凹的，这意味着log[f（·）]是凹的；安达∞-凹函数f（·）是准凹函数（单峰）（Kall和Mayer（2010））。如果我们更换“≥” 在上述定义中使用“>”，然后用于α=∞,f（·）被称为严格拟凹。f（·）的域在这里被定义为标量，但这不是必需的，f（·）可以接受向量作为其域，只要它返回一个正实数。凹函数的谱表现出一种自然的有序性，这意味着正则凹函数也是对数凹函数，α是α的α-凹函数∈ (-∞, 0）和准凹。同样，对于α，非拟凹函数也不是α-凹函数∈ (-∞, 0）、原木凹面或凹面（Kall和Mayer（2010））。凹函数通常被定义为凸函数的负函数，并且没有拐点。许多（但并非所有）钟形函数（包括PDF）是对数凹函数，但不是凹函数，因为它们在底部附近有拐点。阿莫诺通阶跃函数，或不先减小后增大的阶跃函数，将是一个aquasi凹函数的例子，它也不是严格的拟凹函数。

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2022-5-22 12:14:47

最后，如果f（λx+（1-λ）y），则称函数f（·）为拟凸函数≤ 最大值F十、,FY 其中，x、y和λ如上文所定义，f（·）是严格拟凸的，如果“≤” 可替换为“<”。在本节中，α指的是任意标量，而不是权益比率。（2.80）III.静态下滑道优化，如第二节（2.30）所示。D、 P（RUNC(≤ TD）），我们将用PNR表示() =PNR公司,T对于通用滑道= （α，α，…，αTD）′和水平长度TD，是指在所有时间点避免财务破产的可能性，计算为：PNRPNR公司,T… ,,,,…,,d,哪里这个差速器在里面（3.1），d,…d,d,,缩写为d. 即PNR() 是未知滑道的函数我们寻求优化给定TD。回顾第二节。B如果只考虑权益比率αt大于最小方差组合，我们可以将此非线性优化问题表述为：最大化：Z=PNR() = PNR公司,T受制于：MVt（α）+ε≤ αt≤ 1.0，对于t=1，2，…，t其中ε是一个任意小的数字，确保每个权益比率超过MVt（α），其中vt′（α）=0，因为vt′（α）将出现在要导出的量的分母中。由于Z被构造为一个有效的概率测度，因此它的界为[0,1]，并注意到最大化Z等同于最小化（1.0–Z），即破产概率。如果（1.0–Z）相对于然后，该优化问题有一个具有凸可行域的凸目标，并因此分类为凸规划问题。这类问题具有一个可取的性质，即局部极小值也是全局极小值（Jensen和Bard（2003））。可行区域是凸的，因为约束集合形成了一个凸集。

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nandehutu2022

2022-5-22 12:14:50

整套约束为：{αt+（MVt（α）+ε）≤ 0：t=1，2，…，TD}∩{αt–1.0≤ 0:t=1，2，…，TD}，其具有一般形式f（αt）≤ 0，其中f（αt）=a（αt）+b是线性函数。这意味着它们形成了一个多面体，因此代表了一个凸集（Boyd和Vandenberghe（2004））。在这里，有必要区分不同时间点的权益比率α，αtwill反映时间t-1和t之间的权益比率。它在时间t-1设置，并在时间t观察使用它得到的回报。约束f（x）≤ 如果f（x）是凸的，则0是凸的。根据定义，f（x）是凸的iff（αx+βx）≤ αf（x）+βf（x），其中α+β=1。线性函数f（x）=ax+b满足f（αx+βx）=αf（x）+βf（x），因此是凸的（Jensen和Bard（2003））。最后，请注意“∩” （交集算子）保持凸性（Boyd和Vandenberghe（2004））。（3.1）（3.2）（3.3）使用莱布尼茨规则PNR的梯度() 关于是TD元素向量= （g，g，…，gTD）′，tthterm（t=1，2，…，TD）由（Flanders（1973））：g给出G|T… α,,,,…,,d,假设导数为勒贝格测度，如,→ {RF（t-1），∞. TDXTDHessian矩阵对于PNR() 有非对角线条目（i J∈ 1，2，…，TD）as（法兰德斯（1973））：H,H,|T… αα,,,,…,,d,再次假设每个1storder导数都存在，并且得到的被积函数是一个有效的Lebesguemeasure，如,→ {RF（t-1），∞.

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2022-5-22 12:14:53

在2ndorder导数的相同假设下，对角Hessian元素（t=1，2，…，TD）为采取以下形式（弗兰德斯（1973））：H,H,|T… α,,,,…,,d.在有效市场下，应用第二节中的（2.23）。C至（3.4）、（3.5）和（3.6）产率：gG|T… ,α,d,H,H,|T… ,,α,α,d,H,H,|T… ,α,d.如果上述导数作为有效的Lebesgue测度存在，并且可以估计或近似，则使用第二节中的技术。I和II。J可用于优化PNR() 关于滑道= （α，α，…，αTD）′。在下一节中，我们将展示这种情况。（3.5）（3.6）（3.7）（3.8）（3.9）（3.4）IV.实施我们将假设未来实际回报来自与快速实际回报相同的概率分布，并使用标准普尔500指数总回报和10年期国债总回报作为股票和债券的回报。

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2022-5-22 12:14:56

在此假设下，未来收益是相同分布的，时间t-1和t之间基于α的投资组合的实际收益的均值/方差简化为（见第II.B节）：E[r,] = （αt）us+（1-αt）ubV[r,] = （αt）σs+（1-αt）σb+2（αt）（1-αt）σ（s，b）通货膨胀/费用调整复合收益的均值和方差 t=1，2，…，TD及其相对于αt的导数变为（见第II.B节）：m（αt）=E[,] = （1–ER）*（1+（αt）us+（1-αt）ub）m′（αt）=（1–ER）*（us-ub）m′（αt）=0v（αt）=V[,] = （1–ER）*[（αt）σs+（1-αt）σb+2（αt）（1-αt）σ（s，b）]v′（αt）=2（1-ER）*[（αt）σs-（1-αt）σb+（1-2αt）σ（s，b）]v′′（αt）=2（1-ER）*[σs+σb-2σ（s，b）]此外，第二节中得出的相同分布回报的最小方差权益比MV（α）。B是关于时间的常数，由( t=1，2，…，TD）：MV（α）=,,.我们还将假设，市场是有效的，因为过去收益模式中固有的任何预测能力都会很快得到解释，从而消除了退休人员在定期再平衡期间利用的套利机会。市场效率假设将转化为RVs，,, 独立于时间点，时间单位为年。此外，假设iid通货膨胀/费用调整后的回报率来源于正常RVs（见Rook（2014））和PDF t=第二节中的1，2，…，tD。C的形式是：函数mt（α）和vt（α）变成m（αt）和v（αt），因为它们在时间上相对于us、ub、σs、σb和σ（s，b）是恒定的。它们的值随α变化，α被写为αt，反映了它可以随时间变化的事实。（4.1）（4.2）（4.3）（4.4）（4.6）（4.5）（4.8）（4.7）（4.9）,2.五、αE,,对于∞,∞.A.

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2022-5-22 12:14:59

PNR的梯度() = P（RUNC(≤ TD）如（3.1）所示，退休时避免财务破产的概率，PNR(), 是滑翔道的功能= （α，α，…，αTD）式中，MV（α）+ε≤ αt≤ t=1，2，…，TD时为1.00。通过将该滑道视为未知变量向量，我们可以优化PNR() （3.2）和（3.3）中规定的约束条件。使用（3.7）和（4.10），梯度是TDelement向量= （g，g，…，gTD）′，tthterm（t=1，2，…，TD）由：g给出… ,α2.五、αE,d.取导数后（见附录A），Gt可表示为：gK*…,G,d … ,d,其中，Kv′α2伏αm′α2v′α和，g,五、α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,, 对于∞,∞.自g（）,) ≥ 0用于-∞ < ,< ∞ 和G,d,= 1.0（见附录B），g（,)是有效的PDF（Casella和Berger（1990）），并且（4.12）被认为是2个成功（4.10）（4.11）（4.12）（4.13）（4.14）概率的差乘以常数。第二种可能性使用标准通货膨胀/费用调整回报密度f（,)在所有时间点，因此等于PNR(), 但第一概率取代了f（,) 带g（,) 当计算. 因此，我们可以使用模拟或DP估计（4.12），见第二节。D

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2022-5-22 12:15:02

为了通过模拟估算（4.12），可以使用rejectionsampling在g（）上绘制观测值,) （Von Neumann（1951）），为了估算（4.12），我们使用CDF G（,) = Pg（,≤ r）对于,~ g（,), 其形式如下（见附录C）：,P,CC1.1.,,Mα2伏αC1.,Mα2伏αCΦMα五、α,其中，CMα五、α五、α五、α,C五、α五、α,C√2伏αMα五、α√,和CMα五、α.在这里,是m（αt）时等于1的指示函数∞, 否则为0。注意，（4.15）是已知CDF函数的线性组合。我们现在有了一种方法来估计/近似梯度向量对于任何滑道. 数量PNR() 出现在每个术语中，但只需估计/近似一次。此外，由于（4.11）中部分导数的积分被认为是成功概率的差异，其中每一个都被限制在[0,1]，因此它必须存在并满足勒贝格条件。最后，如果使用模拟，则得到的估计值会受到采样误差的影响，如果使用离散化的DP，则估计值会受到近似误差的影响。从某种意义上说，由于采样误差具有随机性，因此更难管理。因此，在使用模拟时，我们可以使用第二节中介绍的方法（4.15）（4.16）来检验由此产生的梯度估计等于零的假设。E、因为Kt（p–p）=0，如果p=pwhen Kt 0，每个渐变元素在（4.12）中显示为这种形式。注意，常数Ktis>0，因为v（αt）>0是非简并RV的方差，而v′（αt）>0来自第II节。B和（3.3）。

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2022-5-22 12:15:05

这也揭示了最优性所需的一个有趣条件，即我们寻求滑翔道使用特殊密度g（）得出所有t=1，2，…，t成功概率,) 彼此相等，且等于PNR().B、 PNR的非对角Hessian元() = P（RUNC(≤ TD））TDxTDHessian矩阵的非对角元素，, 将重用为. 即，使用（3.8）和（4.10），Hessian矩阵具有i-j元素（i J∈ 1，2，…，TD）由：H给出,… ,,α2.五、αE,α2.五、αE,d.根据附录A中的（A.1），（4.17）可写为：H,… ,,*K*G,,*K*G,,d,其中，Kv′α2伏αm′α2v′α, 对于T我J∈1,2，…，T和，（4.17）（4.19）（4.18）g,五、α,MαMα五、αMα五、α五、α五、α,,对于∞,∞,和T我J∈1,2，…，T此处g, 与（4.14）中导出的有效PDF相同。我们可以将（4.17）表示为：K*K…,,G,G,,G,G,,,,d,等于：K*K…,,G,G,d… ,G,d… ,G,d … ,d.我们认为（4.22[a-d]）由有效的成功概率组成，这一次是一个简单的线性组合乘以常数项Ki*Kj。最后一个表达式（4.22d）是PNR的标准计算() 仅使用通货膨胀/费用调整PDF。

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