PNR的对角Hessian元() = P（RUNC(≤ TD）从（3.9）和（4.10）中形式：H,… ,α2.五、αE,d.（4.23）（4.26）（4.24）（4.25）（4.27）在采用衍生工具（见附录D）时，Ht，tC可写为：H,Q*…,H,dQ*…,H,dQ* … ,d式中，Qθ2伏α2伏αMα五、α*θ,对于T1,2，…，T,H,,Mα2伏α五、αMαθ五、α2伏α五、αMαθ,,对于∞,∞和，Q五、α2伏αMα2伏α,对于T1,2，…，T,H,v′α2伏α,MαMα,Mα五、αv′α2伏αMα,,对于∞,∞和，Q五、α五、α五、α2伏αMα2伏α2伏αMα五、α*θ,对于T1,2，…，T,θ五、α五、α2伏α,对于T1,2，…，T.（4.28b）（4.34）（4.33）（4.32）（4.31）（4.30）（4.29）（4.28c）（4.28a）数量θ已单独定义，因为初步检查表明H,是未定义的αtwhereθ= 0，请参见（4.29）、（4.30）和（4.33）。幸运的是，情况并非如此（然而，westill在代码中不能被零除）。术语h, 是不确定的(∞/∞) 当θt→由于分子和分母接近∞ 在相同的多项式速率下，L′H^opital\'srule表明极限接近最高阶项上的系数比，这里是1，剩下H, = ,.

此外，作为θt→ 0，从（4.28[a，c]）中选择项，接近以下不确定形式（0/0），最终消失：2vαMα五、α*θ*PNR公司PNR公司.对角线Hessian元素Ht，t，in（4.28[a-c]）用h表示,和h, 因为它们是有效的PDF（见附录E和F）。因此，Ht，tfort=1，2，…，TDI是有效成功概率的线性函数，因此它是存在的。这验证了（3.6）中莱布尼茨规则的应用。与之前一样，我们可以使用模拟或DP来估计/近似这些概率。（4.28c）中的术语[·]为PNR(), 我们假设已经计算出了两个新的滑翔道成功概率，为每个数据集Ht，t计算。

使用DP需要以下CDF用于h, 和h,,用H（）表示,)  =  Ph1（,≤  r） 对于,~ H（,) 和H（,)  =  Ph2（,≤  r） 对于,~ H（,), 分别（见附录G和H）：,P,H,H,1.1.,,Mα2伏αH,1.,Mα2伏αH,ΦMα五、α,式中，（4.35）（4.36）H,五、α2伏α五、αMαθ,H,五、α,H,2伏α五、αMαθ√,和H,2伏α五、αMαθ,和,P,H,H,1.1.,,Mα2伏αH,1.,Mα2伏αH,1.1.,,Mα2伏αH,1.,Mα2伏αH,ΦMα五、α,其中，H,v′α2伏αMα,H,3v′α,H,Mαv′α2伏α√,H,2伏αMαv′αH,Mαv′α五、α√2.,和H,五、α.如前所述，数量,是当m（αt）时等于1的指示函数∞,否则为0。CDF, 和,对于PDF h（,) 和h（,) 将自己作为已知CDF调用的线性组合，在实践中实现起来很简单。（4.37）（4.38）（4.39）D.解的特征在第3节中，我们注意到在凸可行区域上最小化凸函数Z被认为是一个凸规划问题，在这种问题中，局部最优是全局最优。由于最小化Z相当于最大化–Z，因此在凸可行区域上最大化凹函数本身就是一个凸规划问题。通过简单转换，我们可以证明在凸可行区域上最大化对数凹函数也是一个凸规划问题（Lovász和Vempala（2006））。

这同样适用于凸可行域上的严格拟凹函数的最大化。在凸可行域上最大化一个拟凹函数几乎是一个凸编程问题，但并不完全是一个凸编程问题，但仍然具有理想的性质。这是直观的，因为准凹函数可以具有零梯度的平台，但函数在之后再次增加。（3.1）中定义的问题是最大化Z=PNR() 在凸区域上，这里的目标是确定PNR() 落在长度为Td的报废期的凹函数谱上，回收率WR=RF（0）。提款率必须合理() → 1.0作为RF（0）→ 0.0和PNR() → 0.0作为RF（0）→ ∞.  在这些极限下，所有的滑翔道都会成功或失败。最后，如果我们能证明PNR() 不总是准凹的，则不总是落在第二节中定义的谱上。N使用本文提出的技术找到的解决方案可能反映局部最优。从（2.68）、（3.1）和（4.10）中，我们得到：PNR√2.五、αE∑,d,对于∞,∞,中压αα1.0，且t=1，2，…，TD。加德纳（2002）详细阐述了普雷科帕·莱因德勒不平等的以下后果。换句话说，如果一个多变量的对数凹函数在一个开放凸集上有一些积分，那么剩余变量中的结果函数本身就是对数凹函数。因此，如果我们可以证明（4.40）的核在和, 我们已经完成了，因为它显示在第二节中。M表示是一个开（4.40）凸集。不幸的是，事实并非如此。事实上，我们可以通过反例证明，（4.40）的核对于所有合理的Td和RF（0）都不是准凹的，因此不能属于凹的。

这并不奇怪，因为log[PNR()] 对于选择RF（0），当TD=1时，显示其有拐点。根据（4.10），我们假设, ~ iid N（m（αt），v（αt）），因此,=五、α*zt+m（αt），其中zt~iid N（0，1），对于t=1，2，…，TD。此外，从（2.68）中得出的避免退休时财务破产的通货膨胀/费用调整收益集可以用标准化收益表示为，其中：={z，z，…，zTD：Z采埃孚T1.}带，ZFT1.射频T1.Mα五、α和，RFT射频T1.五、α*ZMα射频T1.,对于t=1，2，…，TD。根据该公式，（4.40）可表示为：PNR√2.E∑D.（4.44）中的核现在是对数凹的，因为zt/2是凸的，因此-zt/2是凹的，而对数凹函数的乘积是对数凹的（Boyd和Vandenberghe（2004））。然而，集合不是凸的，因此这种重新表述不能帮助我们应用普雷科帕定理，但它将允许取得足够的进展。功能PNR() 从TD=1开始，将逐案分析（4.44）中的增加退休期限长度。还没完成，但差不多了。对于某些提取率WR=RF（0）和水平长度TD，函数可以是对数凹面，但峰值在我们的可行区域之外。在这种情况下，我们将使用梯度上升或牛顿方法沿边界操作。在边界处，坡度将继续指向最陡的上升方向，但约束条件禁止我们沿着特定维度向该方向攀爬。（见第IV.E.8节。）（4.41）（4.42）（4.43）（4.44）案例1：TD=1对于单期退休，如果z>ZF（0）且概率为PNR，则可以避免财务破产α√2.Edz公司.证明PNR（α) 是严格拟凹的，只要证明ZF（0）在α中是严格拟凸就足够了.

这是因为我们在计算α函数右边的概率。如果在两个α的任何凸组合处计算的该函数不是最大值，则相应的概率不能是最小值。设α和α是MV（α）和1.0之间的两个相等比率，并设αc1反映凸组合λα+（1-λ）α0≤ λ≤ 此外，让ZF（0）、ZF（0）和ZFc（0）分别为标准化提款率。根据定义，如果ZFc（0）<Max{ZF（0），ZF（0）}，则ZF（0）是严格拟凸的 α、 α、λ和RF（0）。只有当某些RF（0）>0时，ZF（0）的局部最大值在MV（α）和1.0之间时，才能违反此条件。各种RF（0）=WRI的ZF（0）曲线图如下图3所示。ZF（0）的局部最优值将出现在一阶导数等于零的临界点上，为了证明我们的猜想，我们必须证明这些点总是反映MV（α）和1.0之间的局部极小值。ZF（0）对α的一阶导数由下式得出：α采埃孚0Mα射频五、α五、αMα五、α,当：Mα射频五、α2伏αMα0.使用（4.3）、（4.4）、（4.6）和（4.7）中推导的表达式求解α的该方程。下面的单临界点α*：α*μμσ1.μ射频01.Eσ,σ1.μ射频01.Eσσ2σ,μμσ,σ.（4.45）（4.46）（4.47）（4.48）图3单期退休期的标准化提款率该图描述了标准化提款率ZF（0）作为各种初始提款率RF（0）（=WR）在t=1时的权益比率α的函数。通过证明ZF（0）是严格拟凸的，我们证明了PNR（α）对于单周期退休是严格拟凹的。大点表示局部最小值，重要的是，MV（α）和1.0之间没有局部最大值。

由于不存在局部极大值ZFc（0）<Max{ZF（0），ZF（0）}和ZF（0）对于单周期退休（TD=1）作为α的函数是严格拟凸的。临界点α*由图3中的大点表示。zf（0）对α的第二个导数由以下人员给出：α采埃孚0Mα射频0五、α五、α五、α2米α五、α五、α五、α,,当在MV（α）和1.0（数值确认）之间的α*处进行评估时，其始终>0。因此，在MV（α）和1.0之间的ZF（0）的所有局部最优值都是极小值，并且ZF（0）是严格拟凸的，使得PNR（α) 严格准凹。因此，对于单周期退役，任何局部最优下滑道也是全局最优的。案例2：TD=2对于2期退休，如果（z>ZF（0））可以避免财务破产∩ z> ZF（1）），其中包含概率：PNR√2.E∑dz公司dz公司.如果该概率至少是准凹的，则该概率落在凹函数谱上.  情况如下图4所示。对于合理的TDR和RF（0），PNR() ≥ 最小{PNR(),PNR公司()}, 0≤ λ≤ 1必须保持在以下位置：αα,αα,ααλα1.λαλα1.λα.（4.50）（4.49）（4.51）图4两段退役期滑道的比较该图以图形方式描绘了（4.50）两条滑道, 和给定的凸组合.  当（z，z）落在每条曲线的上方和右侧时，可以避免失效破坏，这反映了方程z=ZFi（1），对于i=1,2，c。相应的概率是每条曲线上方和右侧的节理密度的体积。体积最大的曲线代表避免破产概率最大的滑道。

这些圆代表5个标准差的密度等值线，超过99.99%的总概率包含在最大圆周围的轻描淡写框中。在比较滑道时，只需关注曲线之间的区域即可。我们可以通过构建一个如图所示的窄矩形网格来近似该区域的体积。然后，我们制定了一个确定性NLP，目标是, 和使PNR()  <最小{PNR(), PNR公司()}.  形式目标是最小化Z=PNR() - PNR公司() 以PNR为准() - PNR公司() > 解决方案Z<0将反驳PNR() 是准凹的。黑点表示交叉点，当仅比较2条滑道时，可能会有零个、一个或两个交叉点。如上所述，蓝色圆点表明集合不是凸的。也就是说，存在标准化收益（z，z）和（z，z），这两种收益对于下滑路径是成功的和,分别，但凸组合（zc1，zc2）无法用于下滑道.我们的目标是简洁地表达下滑道成功概率的差异，然后制定一个确定性NLP，目标是最小化Z=PNR() - PNR公司() 主题主题编号() - PNR公司() > Z<0的解决方案使PNR的说法无效() 是准凹的，因为这意味着使用凸组合下滑道避免退休时破产的概率低于或.  这意味着，作为一个曲面，PNR具有倾斜或山谷，因此不能是单峰的。PNR的以下简洁表达式() - PNR公司() 通常适用于TD=2时任何两条滑道之间的概率差。

将函数Fi（z）（i=1,2）定义为：FZ1.对于Z采埃孚Φ采埃孚对于Z采埃孚,回顾ZFi（1）=,其中RFi（1）=*是z的函数。对于任何2个滑道和,PNR公司() - PNR公司() 由：P给出P^1Z^1Zdz公司dz公司^1Z^1Zdz公司dz公司^1ZFZFZ,dz公司  ^1ZFZFZ,,dz公司  ^1ZFZFZ,dz公司^1ZFZFZdz公司EFZFZ.（4.54a）（4.54b）（4.54c）（4.53）（4.52）（4.55）（4.56）为了证明这种发展的合理性，将z轴分为以下3个部分：（a）z≤  Min{ZF（0），ZF（0）}，（b）Min{ZF（0），ZF（0）}<z<Max{ZF（0），ZF（0）}，和（c）z≥ 最大值{ZF（0），ZF（0）}。在第（a）节中，没有利息卷和FZFZ= 根据需要为0（4.54a）。截面（c）反映（4.54c）并包含两条曲线。外积分是关于z或z的∈[最大值{ZF（0），ZF（0）}，∞ 内部积分的形式如下： ^1Zdz公司^1Zdz公司1.Φ采埃孚1.Φ采埃孚Φ采埃孚Φ采埃孚FZFZ.最后，截面（b）反映了（4.54b），仅包含一条曲线。如果该曲线用于下滑道然后是FZ（4.53）中的额外项位于减号的左侧。外部整体相对于z或z∈ （ZF（0），ZF（0）），内部积分的形式为： ^1Zdz公司1.Φ采埃孚FZFZ.相反，如果该曲线用于下滑道然后是FZ（4.53）中的额外项位于减号的右侧。

外积分是关于z或z的∈ （ZF（0），ZF（0）），内部积分的形式为：^1Zdz公司1.Φ采埃孚Φ采埃孚1.FZFZ.的预期值FZFZ关于Zc，可以使用图4所示的网格技术进行近似。如果在固定点ZL<0和ZU>0之间绘制k个矩形，则矩形宽度为w=以及：EFZFZP*FZ*FZ*式中，Pr=P[ZL+（r-1）w<z<ZL+（r）w]是zfall在rthrectangle和z中的概率*（4.57）（4.58）（4.59）（4.60）（4.61）是每个矩形的中点，即z*=  ZL+（r-1）w+, 对于r=1，2，…，k。在向量表示法中，我们可以定义和:作为：ΦZWΦZ0WΦZWΦZ1.WΦZKWΦZK1.W,和:FZ*FZ*FZ*FZ*Fz1k型*Fz1k型*.然后EFZFZT*1： 2.请注意是一个常数概率向量，一旦网格被打开，它就不会改变，应该先构建它。然后，可以在任何非线性解算器中公式化以下确定性NLP，例如，我们使用Excel：最小化：ZT*C： 2主题收件人：T*1： C类0对于：MV（α）<αij≤ 1.0，i=1,2，j=1,2αcj=λα1j+（1-λ）α2j，j=1,2RF（0）>0，0≤ λ≤ 1任何解决方案Z<0都会使PNR的说法无效从（4.40）来看，是准凹的。此类具有合理WR=RF（0）的解决方案确实存在，附录I中详细介绍了一个具体示例。因此，避免退休破产的概率不一定是滑翔道的单峰函数。因此，（3.1）中的优化问题不一定是凸的，我们不能保证局部最优总是全局最优。（4.66）（4.65）（4.62）（4.63）（4.64）（4.67a）（4.67b）（4.67c）E。

附录J中包含了本研究中提出的优化技术的完整C++实现。有4种方法可以执行优化：（1）使用DP的牛顿方法，（2）使用模拟的牛顿方法，（3）使用DP的梯度上升，（4）使用模拟的梯度上升。参见第二节。I和II。有关这两种优化方法的更多详细信息，请参见第二节。D了解两种估算方法的详细信息。方法（1）通常收敛最快，并产生最准确的估计，但在沿边界区域操作时定义不明确。它反映了除使用方法（3）的方案8外，本节中介绍的所有方案所使用的方法。附录中提供了其他详细信息。在本节中，我们将分析下表1所述的8种不同场景。表1固定TD下滑道优化场景使用的假设该表定义了本节所述8种场景中每种场景的假设。历史收益来自纽约大学教授Aswath Damodaran的1928-2013年股票（标准普尔500指数）和债券（10年期国债）总收益网站，见Rook（2014）。历史实际回报的参数为：us=0.0825，ub=0.0214，σs=0.0403，σb=0.0070，σ（s，b）=0.0007。通货膨胀调整是使用从联邦储备银行明尼阿波利斯分行网站检索到的CPI-U数据进行的。Evensky假设反映了较低的回报，是从Pfau和Kitches（2014）的情景A中提取的，他们从2013年版的theMoneyGuidePro中检索到了这些假设TM 软件包。（注意：他们假设对数正态回报，我们假设正态回报。）这些实际回报的参数为：us=0.0550，ub=0.0175，σs=0.0428，σb=0.0042，σ（s，b）= 0.0040。

该过程要求用户指定一个起点，每个场景将从以下5个常规滑道开始:（1） 上升，（2）下降，（3）恒定，（4）随机#1，（5）随机#2。然后，每个场景报告程序收敛到的最佳下滑道。不同的解决方案表明存在多个局部最优解。情景#实际回报率折旧长度（TD）提取率（WR=RF（0））费用比率（ER）1历史30年4.0%0.0%2历史30年4.0%1.0%3 Evensky 30年4.0%0.0%4 Evensky 30年4.0%1.0%5历史30年5.0%0.0%6历史30年5.0%1.0%7 Evensky 30年5.0%0.0%8 Evensky 30年5.0%1.0%5开始下滑8个场景中的每个场景使用的路径都没有每个场景的变化如下图5所示。图5所有8种优化场景的起始下滑道该图描述了上面表1中描述的8种场景中的每种场景所使用的起始下滑道。上涨的下滑路径从30.5%的股票开始，每年增长1%。下滑路径从59.5%的股本开始，每年下降1%。恒定下滑道固定在45%的股票上，最后2个起始下滑道是完全随机的，但生成的，因此它们大于两组收益假设的MV（α）。

注意：我们在不同的滑道上开始这个过程，试图找到不同的局部最优值（即结束滑道）。RisingGP0.3050.3150.3250.3350.3450.3550.3650.3750.3850.3950.4050.4150.4250.4350.4450.4650.4750.4850.4950.5050.5150.5250.5350.5450.5550.5650.5750.5850.595,倾斜总成0.5950.5850.5750.5650.5550.5450.5350.5250.5150.5050.4950.4850.4750.4650.4550.4450.4350.4250.4150.4050.3950.3850.3750.3650.3550.3450.3350.3250.3150.305,康斯坦特格普0.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.450,随机的#1GP0.6360.2140.1930.6370.6260.5970.9430.8770.2540.8230.9030.2940.4440.5130.5290.1600.5640.2930.6980.2280.3110.7760.6890.7640.5960.7930.9110.6240.7090.205,随机的#2GP0.8130.8860.2270.6840.3280.3790.4840.1450.7630.2840.6900.4760.8760.6490.1470.6430.5210.6620.1610.8640.8670.3320.2810.2240.4710.7770.9220.8800.2950.860E、 1情景#1：历史实际回报，TD=30年，WR=4%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#1中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。

（参见下图6.1。）最佳下滑道正在上升，似乎略微凸出，但几乎呈线性。t=1时的第一个股权比率约为36.85%，t=30时的最后一个股权比率约为77.66%。使用该滑道的成功率约为91.97%。E、 2情景#2：历史实际回报，TD=30年，WR=4%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#2避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图6.2。）最优滑道是上升的，开始呈线性，然后变为凹形。时间（年）t=1时的第一个股权比率约为48.16%，时间（年）t=30时的最后一个股权比率为79.03%。使用该滑道的成功率约为83.82%。E、 3情景#3：Evensky实际回报率，TD=30年，WR=4%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#3中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（见图6.3。）最优滑道是上升的，开始呈线性，然后变为凹形。时间（年）t=1时的第一个股权比率约为28.12%，时间（年）t=30时的最后一个股权比率为48.10%。

使用该滑道的成功率约为74.80%。E、 4情景#4：Evensky实际回报率，TD=30年，WR=4%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#4中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下图6.4。）最佳滑道在前9年左右上升，然后下降。在时间（年）t=1时的第一个股本比率约为57.06%，在时间（年）t=30时的最后一个股本比率约为49。15%。使用此滑道的成功率约为59.99%。E、 5情景#5：历史实际回报，TD=30年，WR=5%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#5中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图6.5。）最佳下滑路径迅速上升，然后在退休中途开始缓慢下降。时间（年）t=1时的第一个股本比率约为56.55%，时间（年）t=30时的最后一个股本比率约为79.7%。

成功率约为77.52%。E、 6情景#6：历史实际回报，TD=30年，WR=5%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#6中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图6.6。）最佳滑道在11年前迅速上升，然后下降。t=1时的第一个权益比率约为78.14%，t=30时的最后一个权益比率约为80%。35%。成功率约为67.93%。E、 7情景#7：Evensky实际回报率，TD=30年，WR=5%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#7中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图6.7。）最佳下滑路径在前4年迅速上升，然后在退休后下降。t=1时的第一个股本比率约为82.35%，t=30时的最后一个股本比率约为49.23%。成功率约为52.80%。E、 8情景#8：Evensky实际回报率，TD=30年，WR=5%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#8中避免财务破产的相应概率。

我们使用DP来估计概率和梯度来执行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.13）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，因此是凹的。这种情况下的最佳情况存在于函数的凹边界区域。（参见下图6.8。）最佳下滑路径最初为100%股票不变，然后在退休后的剩余时间下降。t=1时的第一次股权比率为100%，t=30时的最后一次股权比率约为49.61%。成功率约为43.23%。五、 最终提款的随机时间通常，最后一次提款发生在时间t=TD，在上述示例中，TD=30（年）。第一股权比率，α, 在时间t=0和相应的第一次返回时设置，,, isobserved在时间t=1。当TD=30时，最后的权益比率，α, 在时间t=29和相应的最后一次返回时应用，,, 在时间t=30时观察到。当TDis随机时，最后一次退出是基于寿命，并且TD=0，1，2，…，SMax，其中SMaxis是基于退休人员当前年龄的最大可能TDE值。设P（TD=t）=pt，对于t=0，1，2，…，SMax。这里是滑道包含SMaxequity比率，每个可能的时间点t>0一个。Nowithdrawal是在时间t=0时尝试的，TD=0表示死亡发生在第一次退出尝试之前。让P表示TDI为随机时避免退休破产的概率，并让PNR,T如（3.1）所定义。

然后：PPT0∩破坏0∪T1.∩破坏1.∪…∪Ts∩破坏s由于这些事件是互斥的，因此可以添加它们的概率：→PPTT∩破坏TPTT*P破坏T|TTP*PNR公司,TPP*PNR公司,T.要针对滑道优化此功能，, 使用此处提出的技术需要SMax元素梯度向量，,  和（SMax）x（SMax）Hessian矩阵，, 对于（5.1）（5.2）（5.5）（5.3）（5.4）功能P.  由于和的导数等于导数的和，因此TTHGradienteElement，g, 属于= G,G,…,G由：g给出αPP*αPNR公司,KP*G|TK,其中g|Tk如（3.4）中对t的定义≤ k、 0，这里是O.W.，g定义为t=1，2，…，SMax。非对角线元素，H,, 对应的Hessian矩阵，, 由：H给出,ααPP*ααPNR公司,KP*H,|TK,其中H,|Tk如（3.5）中对i的定义 J∈ {1，2，…，k}，这里是0，O.W，H,i的定义j=1，2，…，SMax。对角线元素，H,, Hessian矩阵的，, 是：H,αPP*αPNR公司,KP*H,|TK,其中H,|Tk如（3.6）中对t的定义≤ k、 t=1，2，…，SMax。因此，对于最终退出随机时间（TD）的退出，寻找最优静态下滑道的问题是可以解决的。本节给出的结果可能适用于个人或群体的死亡率。表2用于随机TD滑翔道优化场景的假设该表定义了本节中所述两种随机TD场景的假设。

结果适用于年龄为65岁的男性/女性夫妇，反映时间t=0。相应的概率是使用SSA中的寿命表得出的。gov和最大男性/女性年龄分别为111岁和113岁。因此，该下滑道需要48个股本比率，每个可能的时间点一个，图5中用于场景1-8的初始下滑道不适用。历史和Evensky回报与表1中所述完全相同。每个场景将从不同形状的不同滑道开始，以确定是否存在局部最优。这两种情景可以直接与第四节E中的情景1和情景4进行比较，这两种情景是固定的TD=30年对应情景。情景#（比较与）实际回报假设疲劳长度（SMax）提取率（WR=RF（0））支出比率（ER）9（与1）历史48年4.0%0.0%10（与4）Evensky 48年4.0%1.0%（5.6）（5.7）（5.8）A.1情景#9：历史实际回报，SMax=48年，WR=4%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#9中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。所有测试的起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，因此是凹的。这是这种情况下内点最优的经验证据。（见图7.1。）最佳下滑道上升，然后在大约（年）时间t=30时趋于平稳。在时间（年）t=1时的第一个股本比率约为34.19%，在时间（年）t=48时的最后一个股本比率约为79。77%。

使用该滑道的成功率约为96.06%。A、 2情景#10：Evensky实际回报，SMax=48年，WR=4%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是场景#10中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。所有测试的起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负有限的，因此是凹的。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图7.2。）最佳滑道上升，然后开始以较慢的速度下降，大约在退休前的一半。t=1时的第一次股权比率约为31.37%，t=48时的最后一次股权比率约为49.72%。成功率约77.87%。六、 总结/结论和未来研究随着市场收益的消耗，动态下滑道会随着时间而变化，而静态下滑道则是在某个起点上预先确定的。一般来说，静态滑道是次优策略，因为它们对退休人员施加了人为约束（Rook（2014））。然而，它们更容易实现和理解。静态下滑路径也是大多数T-D基金的基础，因此从业人员和退休研究人员都感兴趣。我们引入了一种技术来推导退役时的最佳静态滑翔道。由于投资组合的成功概率并非总是作为权益比率的函数呈准凹，因此该程序可能会找到局部最优值。在实践中，我们没有遇到典型退休期限和初始提款率的局部最优值。

如果用户在其特定场景中发现多个局部最优，则可以使用Ametaheurist来指导程序走向全局最优（见第II.I节）。我们研究了10种不同假设的情景，包括提款率、基础资产类别回报、费用比率以及最终提款的固定与随机时间。我们发现，退役时的最优静态滑道随这些参数的变化而变化，这并不奇怪。我们还发现，投资组合回报的顺序会以不同的方式影响最优解。当所使用的策略具有很高的成功概率时，SOR就会成为一种风险，并通过不断上升的下滑路径在最佳解决方案中得到缓解（请参见场景1）。当战略成功概率较低时，SOR成为潜在的回报，在最佳解决方案中被视为退休早期的重大股权投资（参见情景8）。因此，下滑路径下降的T-D基金偏向于SOR回报，而以牺牲SOR风险为代价。这种方法与提款率高、费用高、成功概率低的策略是一致的。一只昂贵的T-D基金缺乏对退休人员提款率的了解，这可能是下滑趋势下降的理由，也许是因为错误的原因。与Young（2004）、Moore和Young（2006）、Bayraktar和Young（2007）以及Rook（2014）的研究结果一致，我们在这项研究中发现，当使用静态滑道最小化破产概率时，最优权益比率在时间上不是常数。这与许多最大化预期效用的生命周期模型相冲突。这项研究的结果与现有关于静态滑道的文献有所不同。

最佳滑道的形状根据基本假设发生变化，因此很难主张一种滑道而不是另一种滑道。由于对未来回报的参数缺乏共识，每个用户只能选择基于其假设的最优下滑路径。此外，这些结果与第一节中回顾的许多发现没有直接的可比性。例如，通过回溯测试或自举历史数据构建的模型，以预期效用为目标，或具有连续相关的资产类别回报，自然会与此处给出的结果不同。关于这一主题的未来研究将有两个方向。首先，我们将介绍扩展本文和Rook（2014）中开发的模型的技术。我们还将研究使用这些方法可以解决的退休人数减少问题的一般类别。其次，我们将尝试开发新的模型，优化从业者退休启发法。致谢：我非常感谢我过去和现在的导师，他们都无私地分享了他们的知识。特别是欧文·古特曼博士，他是我在布法罗大学学习统计学时的研究生导师和论文顾问，以及吉列尔莫·加列戈博士，他是我在哥伦比亚大学学习统计学和收入管理课程时的研究生导师。从中我学到了很多，事实上，最小化退休破产概率的工具只不过是应用于退休递减的动态定价模型。感兴趣的读者可以在Talluri和VanRyzin的收入管理理论和实践中找到所有细节。或者，他们可以与Gallego博士一起上课，学习构建、分解、编码和分析几个此类模型的时间复杂性。我还要感谢Dr。

史蒂文斯研究所的米切尔·科尔曼（MitchellKerman），我目前正在与他合作一个相关的研究项目，可以用来扩展这些模型。请注意，本研究和过去研究中的所有错误和错误都是我自己的，反映出我没有正确应用所学知识。例如，商业航空公司为其航班构建一个网格，垂直轴上显示起飞时间，水平轴上显示剩余运力。在网格中的每个单元格中，选择票价以在随机需求函数下最大化预期收入。随着时间的临近，价格面临下行压力，随着产能的减少，价格面临上行压力。退休时，我们绘制了完全相同的网格，但纵轴上有死亡时间，横轴上有资金状态。在网格中的每个单元，选择权益比率以最小化随机回报函数下的破产概率。随着时间临近死亡，股本比率面临下行压力，随着资金状况恶化，股本比率面临上行压力。这两个模型都是向后求解，然后向前推进。参考Anton，Howard，1988，《解析几何微积分第三版》（John Wiley&Sons，纽约州纽约市）。Bayraktar、Erhan和Virginia R.Young，2007，《最小化破产概率和停止与控制的游戏》，工作论文系列<http://arxiv.org/abs/0704.2244>【q-fin.MF】。Bayraktar、Erhan和Virginia R。

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H（·）的CDF H（·）的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13附录I.TD=2时的准凹反例。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15附录J.完整的C++实现。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17附录A.坡度的推导对于PNR() = P（RUNC(≤ TD））梯度向量的每个元素GT=  （g，g，…，gTD）′要求评估以下衍生工具：α2.五、αE,,通过反复应用产品和链规则（Anton（1988）），得出：√2.五、αE,,Mαm′α五、α,Mαv′α2伏αv′α五、αE,2.五、αE,v′α,Mα2伏αm′α,Mα五、αv′α2伏α.分解后，添加完成（）平方所需的项,- m（αt））内[·]，并使用f（）,) 为了表示其PDF，（A.3）收益率：v′α,2伏α,Mα2伏αm′α,Mαv′α五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′αv′α,2伏α,Mα五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′α现在，我们通过将{·}内最右边的项[·]从整个表达式中分解并简化结果，创建2个有效PDF的差：五、α五、αm′αv′αv′α,2伏α,Mα五、αm′αv′α五、α五、αm′αv′α1.（A.1）（A.6）（A.5）（A.4）（A.3）（A.2）v′α2伏αm′α2v′αv′α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,,= K*G,,,式中f（,), K、 和g（,) 分别如（4.10）、（4.13）和（4.14）所定义。

最后一步是将（4.11）中的（A.1）替换为（A.8）中刚推导出的术语，以得到（4.12），这一步骤很简单，也没有显示出来。（4.12）中的数量被认为是2个glidepathsuccess概率的差值，因此可以估计/近似到任何所需的准确度。（A.7）（A.8）附录B。证明,是有效的PDFA有效的PDF是任意函数w（x）≥ 0用于∞ < x<∞ 哪里1（Caselland Berger（1990））。考虑函数g（,), 其中：g,五、α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,, 对于∞,∞.清晰g（,)  ≥ 全部为0,因为比率的分子总是≥ 0和Denominator为≥ 如果v（αt）>0，则为0。根据定义，v（αt）表示RV的方差,~ （4.6）中的f（·），它是非退化的。最后，f（·）≥ 0，因为它是有效的PDF。第2个条件要求g（,) 在所有实数上集成到1.0，并且：五、α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,,Mα五、α五、α五、α五、α,Mα,,2伏αMα五、α,Mα,,m′α五、α,,,根据第二节（2.67）的规定。五十、 收益率：Mα五、α五、α五、α五、α五、α0m′α五、α1..自g（）,) 如果它是有效的PDF，则满足这两个条件。（B.1）（B.2）（B.3）（B.4）（B.5）附录C。