根据Saez和Zucman（2014）的数据，我们考虑的四种情景旨在捕捉财富份额未来可能发生的一系列变化，这些变化的幅度比过去几十年观察到的变化要小。事实上，根据这些数据，在过去30年中观察到的财富份额变化的幅度很难与任何稳定的财富分配相协调，我们将在下面更详细地讨论这一点。表2-5中报告了四种情况下预测的未来稳定财富分布。这些未来分布在波动率σk的低估计值和高估计值之间有所不同，尽管表格显示，在大多数情况下，这两个估计值之间的可能结果范围相当狭窄。这四种情况加在一起表明，即使是当今美国经济中最高财富份额的小幅上升趋势，也可能意味着未来财富分布稳定后，财富集中度将大幅增加。事实上，情景3中，顶层0.01%和0.01-0.1%持有的财富份额根据SCF，同期顶层股票的变化幅度小于Saez和Zucman（2014）报告的幅度。根据SCF数据的调整方式，这些数据与场景2和场景4之间的潜在趋势一致。家庭数量每年分别以1.5%和0.5%的速度适度增长，这意味着未来美国财富分布稳定，σk的低估计值和高估计值的财富集中度都达到了前所未有的水平。

情景4涉及到比情景3更快的不平等上升趋势，因此，根据定理2.4，这种情景意味着分布分为不同的亚群体，其中最顶层的0.01%的家庭拥有全部财富。图2使用波动率σk的高估计值联合绘制了所有四种情况下的财富分布。该图显示了未来财富分布对当今顶级财富份额上升趋势的敏感性。尽管情景1和情景2的结果略有不同，但一旦假设0.01%的最富裕家庭所占财富份额每年增长1%以上，如情景3和情景4所示，未来的财富分配将发生巨大变化。这些对美国未来财富分配的假设性估计并不是对未来的精确定量预测。未来是不确定的，影响财富分配的因素（如政策、制度、技术和全球化）会发生无法预测的变化。这些因素将在未来发生变化，这些变化将对回归率产生影响-因此，财富的稳定分布。预测这些因素的变化远远超出了本文的范围。相反，表2-5中对美国未来稳定财富分配的估计，旨在描述未来经济环境没有任何变化的情况下不平等的轨迹。这些估计描述了美国财富分配目前的走向，而不是在其他事情改变其轨迹之前，它是否真的会达到这一目标。情景4中出现的财富绝对集中是财富分布不稳定的一组重要结果的一部分。

如果排名前0.01%的家庭所持财富份额增长足够快，就会出现这种情况，因为这种快速增长意味着排名前0.01%的家庭（那些拥有k≤ 100）为正。太多大于零的αk值违反了定理2.3中的稳定性条件，该定理指出α+·····+αk<0，对于所有k=1，N- 1、在这些不稳定的情况下，我们从定理2.4中了解到，一些家庭成员与其他人口不同，形成了一个独立的稳定分布，最终将拥有所有财富。这部分家庭最终与其他人口永久分离，因此不再有人进入或离开这一顶级群体。在情景4的情况下，这种不同的亚群体由前0.01%的住房组成，因为大多数参数αkar的调整值对该群体为正值，而对其余人口为负值。图3-4说明了这种情况下美国财富分配的动态。鉴于2012年美国的初始财富份额与Saez和Zucman（2014）报告的财富份额相等，图3显示了经济体中前1%家庭中不同群体持有的总财富份额随时间的模拟演变。虽然这一数字的总体趋势是明确无误的，但也很明显，情景4的差异是不均衡的，最富裕的0.01%家庭所占的财富份额有时会连续几年下降。然而，随着时间的推移，最富有的0.01%的家庭在总财富中所占的份额逐渐但稳步增加，到2100年，他们的财富占比超过40%，到2200年，他们的财富占比超过80%。

图4显示了经济体中排名前1%的家庭和其余99%的家庭的这种不同情况。当然，在现实世界中，很难想象财富的分配会像场景4那样真正分离和分化。早在这种情况发生之前，我们就预计经济环境的某些方面会发生变化。然而，有趣的是，很难拒绝目前美国财富分配的这种不同轨迹。根据Saez和Zucman（2014）的财富份额数据，自2000年以来，美国0.01%的顶级家庭所持有的财富份额平均每年增长3.5%以上，自1980年以来每年增长4%以上。这种幅度的变化意味着，使用波动率σk的低估计值和高估计值，0.01%以上的家庭的基于等级的相对增长率αkare的调整估计值为正。那么，根据Saez和Zucman（2014）的财富份额数据，这可能是指美国的家庭收入增长率。S、 财富分配目前处于暂时性的不同轨道上，少数富裕家庭的数量会不确定地增加其在总财富中的份额。归根结底，这些关于美国财富分配的当前轨迹及其未来方向的难题尚无法得到明确回答。目前，美国顶级财富份额增长的确切速度尚不确定，并且在不同的数据集中有所不同，这可以通过使用收入资本化方法对财富份额的估计与消费者金融调查中未经调整或调整的估计进行比较看出（Saezand Zucman，2014）。只有当更详细和高质量的数据可用时，我们才能以更大的可信度提供答案。

虽然本文确实提供了初步答案和估计，但更重要的贡献是引入一种灵活的经验方法来解决这些问题。3.3估计累进资本税原则的影响，任何税收政策对财富分配的影响都可以用我们的经验方法来近似。所有必要的是估计税收政策对基于等级的回归率的影响-α和波动率σk。毕竟，这两个因素单独决定了财富的分布。然而，在许多情况下，很难获得税收对不同家庭的回归率和财富波动性影响的可靠估计。一个重要的例外是累进资本税。第2节的经验方法特别适用于估算累进资本税的分配影响，因为此类税收旨在对财富分配中不同家庭的财富增长率产生更可预测的影响。为了简单起见，我们假设对经济中的某些家庭子集征收1%的资本税会使这些家庭的财富增长率降低1%（因此也会使他们的回归率提高1%）。当然，这一假设并没有直接考虑此类税收可能对家庭储蓄行为产生的均衡影响，以及家庭可能成功逃税的可能性。我们之所以选择这种简化，是因为它代表了一个自然而有用的基准案例，在这种情况下，家庭因资本税而减少的储蓄（这会加剧税收的影响）与家庭逃税的能力（这会减少税收的影响）完全平衡。

重要的是要强调，使用我们的经验方法，只需相应地调整税收对家庭财富增长率的影响，就可以轻松评估累进资本税影响的备选方案。事实上，只有Brevityth才会在本文中考虑此类替代方案。自Piketty（2014）提出累进资本税以应对不断加剧的收入和财富不平等以来，围绕这一政策的大部分辩论都集中在一个重大挑战上，即估算累进资本税的均衡效应涉及解决家庭在这种环境下面临的投资组合优化问题。在这方面取得的任何进一步进展都将产生这样一种信息，即这种税收可能会如何改变不同rankedhouseholds均衡的财富增长率。然后，可以将这些信息纳入本文的非参数方法中，以生成累进资本税分配效应的一般均衡估计。这些税收如何可能增加政府收入或扭曲经济结果，而不是如何影响财富分配。本文的贡献之一是解决后一个问题，并提供累进资本税对美国经济分配影响的估计。这些都是纯粹的经验估计，不依赖于对不平等根本原因的任何假设，这一点在第2节的模型介绍中得到了强调。我们分析了与Piketty（2014）提出的政策类似的简单累进资本税。我们的这一税收版本将经济中0.5%的最高家庭的资本税率设定为2%，0.5-1%的最高家庭的资本税率设定为1%，而其余99%的家庭则被假定既不缴纳也不接受任何税收或补贴。

按照顺序，ZF从这一进步的资本税中产生的收入没有一个被重新分配给较不富裕的家庭。根据2012年美国财富分配数据，对于总财富超过约600万美元的家庭，该累进资本税对应2%的税率，对于总财富在400万至600万美元之间的家庭，该税率对应1%。就参数而言，我们假设这一capitaltax将纳税家庭（最高1%）的基于等级的相对增长率αkof降低至纳税率。为了研究广泛的潜在情景，我们使用波动率σk的高估计值和低估计值，考虑了表2-5中情景1-4在累进资本税存在的情况下财富的稳定分布。这些结果如表6-9所示。图5-8中也以图形方式显示了它们，图中利用波动率σk的高估计值绘制了所有四种情况下的财富分布，包括有无累进资本税，表格和图表显示，仅对经济中1%的家庭征收简单的累进资本税，就可以极大地改变财富分配，减少不平等。例如，在情景1和情景2中，根据Saez和Zucman（2014）的历史财富份额数据，税后财富分布与20世纪70年代在美国观察到的分布相似。事实上，考虑这种再分配的分配效应是很简单的。

然而，由于我们发现，在我们的美国财富分配模型中，这些影响非常小，因此我们在本节中只关注简单的无需再分配的税收。Piketty（2014）为欧洲提出的基本累进资本税涉及总财富超过500万欧元的家庭税率为2%，总财富在1至5百万欧元之间的家庭税率为1%，其余家庭不征税。这一时期是美国上个世纪最平等的时期之一。这一时期突显了不平等现象的减少是多么重要。即使对于情景3和情景4，在没有累进资本税的情况下，财富分配高度或完全集中在顶层，在所有情况下，该税都会将不平等降低到低于2012年在美国观察到的水平。图8清楚地显示了这一巨大影响。由于在情景4的情况下，不存在使用σkin的高估计值的稳定分布，因此该图通过一条垂直线来表示没有累进资本税的财富分布，表明最顶层的0.01%家庭拥有经济中的所有财富。只有税收到位，才存在稳定的分布，如图中的红色虚线所示。为什么只对1%的家庭征收1-2%的累进资本税就能大幅降低生活质量？有人可能会认为，如此大规模地减少不平等需要对更多的家庭征税。然而，由于纳税最多的1%的家庭持有总财富的40-100%，这取决于场景，因此经济体总财富的很大一部分实际上受到这种累进资本税的影响。

正如模型所示，总财富的这一大部分足以让税收显著重塑财富的分配。最后，我们强调，这一结果并不是关于总体福利的声明，也不是对累进资本税的征收。正如导言中所讨论的，我们的统计模型仅对税收和其他政策的分配效应进行了实证估计，并没有衡量与此类政策相关的任何扭曲或成本。我们关于累进资本税对不平等的影响的结果只是为了增加我们对此类政策总体影响的了解。4结论在本文中，我们开发了一个不平等的统计模型，在该模型中，异质家庭在财富持有方面受到总量和特质的影响。该模型对家庭财富的这些波动施加了很少的限制，也没有参数结构。在这种情况下，我们应用新技术来获得财富稳定分布的封闭式逐户表征。根据这一特征，财富分布完全由两个因素决定，即不同等级家庭的财富逆转率和特殊波动率。这一结果的含蓄性和普遍性表明，要了解政策、制度、技术或全球化等因素对不平等的影响，只需了解这些因素对财富逆转率和特质波动性的影响。

因此，更详细的实证工作集中于准确测量财富的回归率和波动率，以及这两个因素随时间和跨不同地区的任何变化，可能会产生实质性的新见解。我们的统计模型可以精确匹配任何经验分布，我们使用Saez和Zucman（2014）的wealthshares数据来构建2012年美国财富分布的匹配。分析这种分布的一个挑战是，这些财富份额数据显示，在过去三十年中，顶级股票有明显的上升趋势。这些上升趋势意味着，任何依赖于财富稳定或稳态分布的分析都是错误的。本文介绍了一种可以解决这些稳定性问题的方法。特别是，我们的方法允许我们在存在顶级财富份额趋势的情况下，估计未来财富的稳定分布。我们提出了几种备选方案的此类估计，但最可能的方案可能是，根据Saez和Zucman（2014）的财富共享数据，美国的财富分布处于暂时不稳定的轨道上，分为两个不同的亚群体。我们还对累进资本税的分配影响进行了估计。具体而言，我们考虑对1%的家庭征收1-2%的资本税，类似于Piketty（2014）提出的税收。虽然这项税收的全部影响取决于未来不确定的稳定财富分配，但在所有情况下，我们都发现这项税收大大减少了不平等，并改变了财富分配。我们在本文中开发的统计模型是基于银行系统的一般方法。虽然这种方法非常适合建模财富分布，但它并不局限于建模财富。

事实上，只有在ori不稳定的情况下。i、 类流程是我们的一般方法，显然不合适。这意味着还有其他经济学领域，例如收入分配和世界产出分配，在这些领域中，我们的易处理解决方案技术可能会提供新的信息。A假设和正则性条件在本附录中，我们给出了定理2.3中描述稳定财富分布特征所必需的假设和正则性条件。如第2节所述，这些假设承认经济中家庭的一大类连续财富过程。第一个假设建立了连续半鞅和It^o过程通用的基本可积条件。假设A.1。对于所有i=1，N、 生长速率过程uisatisfyZT |ui（t）| dt<∞, T>0，a.s.，（a.1）和波动过程δisatisfyZTδ（t）+···+δM（t）dt<∞, T>0，a.s.，（a.2）δ（T）+····+δM（T）>0，T>0，a.s.（a.3）极限→∞Tδ（t）+···+δM（t）log log t=0，a.s.，（a.4）条件（a.1）和（a.2）是It^o过程定义的标准，而条件（a.3）确保家庭财富持有始终包含非零随机成分。条件（A.4）类似于有界条件，因为它确保家庭财富持有量的方差不会太快偏离到单位。我们的结果所依据的第二个假设是，没有两个家庭的财富持有量随时间而完全相关。换言之，家庭财富动态必须始终存在某种特殊成分。最后，我们还假设，任何家庭相对于经济的财富持有量都不会太快消失。假设A.2。对称矩阵ρ（t），由ρ（t）=（ρij（t））给出，其中1≤ i、 j≤ N、 对于所有t>0，a.s.假设a.3，都是非奇异的。对于所有i=1。

，N，财富分享过程θisatisfylimt→∞tlogθi（t）=0，a.s.（a.5）B证明本附录给出了引理2.1和2.2以及定理2.3和2.4的证明。引理2.1的证明。根据定义，w（t）=w（t）+····+wN（t），对于所有i=1，N、 θi（t）=wi（t）/w（t）。这意味着dw（t）=NXi=1dwi（t）=NXi=1θi（t）w（t）dwi（t）wi（t），从中可以得出dw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t）。（B.1）我们希望表明，满足方程式（2.3）的过程也满足方程式（B.1）。如果我们将其^o引理应用于指数函数，那么方程（2.3）yieldsdw（t）=w（t）u（t）dt+w（t）NXi，j=1θi（t）θj（t）MXz=1δiz（t）δjz（t）！dt+w（t）NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t），（B.2）a.s.，其中u（t）由方程（2.5）给出。利用方程（2.2）中ρij（t）的定义，我们可以简化方程（B.1）并写出w（t）w（t）=u（t）+NXi，j=1θi（t）θj（t）ρij（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.3）类似地，从方程（2.5）中定义u（t）允许我们进一步简化方程（B.3）并写出w（t）w（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+NXi=1θi（t）ρii（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+ρii（t）dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.4）如果我们再次将其^o引理应用于指数函数，则方程（2.1）得出，a.s.，对于所有i=1，N、 dwi（t）=wi（t）ui（t）+MXz=1δiz（t）！dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）=wi（t）ui（t）+ρii（t）dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）。（B.5）将方程（B.5）代入方程（B.4），然后yieldsdw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t），完成证明。引理2.2的证明。家庭财富过程wi是绝对连续的，即随机符号测度ui（t）dt和ρii（t）dt相对于Lebesgue测度是绝对连续的。因此，我们可以应用引理4.1.7和命题4。1.11摘自Fernholz（2002），得出方程式（2.11）和（2.12）。定理2.3的证明。

该证明遵循Fernholz（2002）第5章的论点。根据方程式（2.14），对于所有k=1，N、 对数θ（k）（T）=ZTupt（k）（t）- u（t）dt+λlogθ（k）-对数θ（k+1）（T）-∧logθ（k-（1）-对数θ（k）（T）+MXz=1ZTδpt（k）z（T）dBz（T）-NXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.6）考虑过程logθ（k）的渐近行为。假设存在方程式（2.18）中的限值，则根据方程式（2.16）中αk的定义，对数θ（k）的渐近行为满足极限→∞Tlogθ（k）（T）=αk+κk-κk-1+极限→∞TMXz=1ZTδpt（k）z（t）dBz（t）- 限制→∞TNXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t），a.s.（B.7）假设a.3确保方程（B.7）左侧的项等于零，而假设a.1确保方程右侧的最后两项也等于零（见Fernholz，2002年的引理1.3.2）。如果我们简化方程（B.7），那么我们得到αk=κk-1.-κk，（B.8），这意味着αk- αk+1=κk-1.- κk+κk+1，（B.9）对于所有k=1，N-1、由于方程式（B.8）适用于所有k=1，N、 这建立了我们可以求解κk的方程系统。这样做可以得到等式κk=-2（α+···+αk），（B.10）对于所有k=1，N注意，渐近稳定性确保α+···+αk<0，对于所有k=1，N、 而αN=κN-1=-（α+···+αN）-1） 确保α+···+αN=0。此外，如果α+···+αk>0，对于某些1≤ k<N，那么方程（B.10）产生了一个矛盾，因为κk≥ 定义为0。在这种情况下，必须违反假设A.3并限制→∞对于某些1，Tlogθ（k）（T）6=0≤ K≤ N

定理2.4对这种情况进行了详细的研究。方程（2.15）右侧的最后一项是绝对连续鞅，因此可以表示为关于布朗运动b（t）的随机积分。这一事实，加上方程式（B.9）和方程式（2.16）-（2.17）中α和σk的定义，促使我们使用过程日志θ（k）的稳定版本-对数θ（k+1）。回想一下，根据方程式（2.19），这个稳定版本由比亚迪给出对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）= -κkdt+d∧log^θ（k）-对数θ（k+1）（t）+σkdB（t），（B.11）对于所有k=1，N-根据Fernholz（2002），引理5.2.1，对于所有k=1，N-1，此稳定版本的时间平均极限满足→∞坦桑尼亚先令对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）dt=σk2κk=σk-4（α+···+αk），（B.12）a.s.，其中最后一个等式来自方程式（B.10）。在一定程度上，对数θ（k）的稳定偏差- 方程（B.11）中的logθ（k+1）近似于方程（2.15）中该过程的真实版本，即真实过程logθ（k）的时间平均极限-对数θ（k+1）近似为-σk/4（α+···+αk），对于所有k=1，N- 这是连续时间随机过程的标准结果（Karatzas和Shreve，1991；Nielsen，1999）。定理2.4的证明。请注意，定理2.4的分歧情景违反了假设A.3，即没有家庭的财富份额下降到零的速度过快。为了证明这个定理，有必要证明假设A.3成立的家庭的最大子集也是家庭m<N satisfyingAm=max1的子集≤K≤NAkand Am>Alfor l 6=m。假设顶部n≤ N经济体中最富有的家庭构成假设A.3适用的最大家庭子集。

更准确地说，假设→∞Tlogθ（1）（T）=···=limT→∞Tlogθ（n）（T）=0，a.s.，（B.13）和0>limT→∞Tlogθ（n+1）（T）≥ ··· ≥ 限制→∞Tlogθ（N）（T），a.s.，（B.14），因此，在T之后，前N名最富有的家庭再也不会被经济中剩余的家庭所取代。事实上，这是因为方程式（B.13）和（B.14）暗示存在一些t<∞ 所有t的对数w（n）（t）>对数w（n+1）（t），a.s≥ tand thatlimT公司→∞θ（1）（T）+····+θ（n）（T）=1，a.s.（B.15），在不丧失一般性的情况下，让经济体中n个最富裕家庭在时间tbe w（T），wn（t）。考虑经济体中前n个最富有家庭的财富持有量，我们表示bywn（t）=w（1）（t）+···+w（n）（t）=wpt（1）（t）+···+wpt（n）（t）。根据Fernholz（2002），命题1.3.1和2.1.2，并使用假设A.1，方程式（A.4），因为假设A.3对T时经济中的n个最富裕家庭有效→∞对数wn（T）T=极限→∞TZTui（t）dt，a.s.，（B.16），其中1≤ 我≤ n、 根据定义，对于所有i=1，n、 ui（t）=nXk=1upt（k）（t）i{0}θi（t）- θ（k）（t）,方程式（B.7）以及方程式（2.16）-（2.18）中的极限存在的假设确保了方程式（B.14）中极限的存在。因此，根据方程式（B.16），limT→∞对数wn（T）T=极限→∞TZTnXk=1upt（k）（t）I{0}θi（t）- θ（k）（t）dt，a.s.（B.17）如果经济中的家庭事先是对称的，那么所有家庭都必须在任何给定的等级中花费相等的时间（Banner等人，2005）。因此，对于所有k=1。

，n，极限→∞TZTI{0}θi（t）- θ（k）（t）dt=n，a.s.，这与方程式（B.17）一起意味着极限→∞对数wn（T）T=极限→∞TZTnnXk=1upt（k）（t）dt，a.s.根据方程式（2.21）的定义，它遵循该极限→∞对数wn（T）T=An+limT→∞TZTu（t）dt，a.s.当然，由于wn随时间收敛到w，因此方程（B.15）得出An=0。直觉上，WN的相对增长率必须等于零，因为WN逐渐涵盖了经济中的所有财富。假设m<n。因为假设A.3对t时经济体中的n个最富有的家庭有效，我们可以简单地为这个家庭的上分组复制定理2.3的证明。然而，如果Am>An，方程式（B.10）产生矛盾，因为它意味着κm=-（α+···+αm）=-mAm<0，而κk≥ 0表示所有1≤ K≤ N、 通过方程（2.18）的定义（另见定理2.3证明中的讨论）。因此，我们得出结论，m≥ n、 假设m>n，那么通过定义αn+1+·····+αmm- n> 安。（B.18）根据定理2.3证明中的方程式（B.7），我们得到了thatlimT→∞Tlogθ（n+1）（T）+····+limT→∞Tlogθ（m）（T）=αn+1+···············································································································································································································································-κn，a.s.（B.19）当然，通过假设κn=0，因为在t之后，前n名最富有的家庭再也不会被经济中剩余的家庭取代（回忆一下localtime∧x的定义）。此外，通过方程式（B.18），可以得出αn+1+····+αm>0，因此方程式（B.19）的右侧大于零（κm≥ 0）。然而，这是一个矛盾，因为我们在上面的方程式（B.14）中假设方程式（B.19）的左侧小于零。因此，我们得出结论，m=n，假设A.3适用的最大家庭子集也是m<n满足Am=max1的家庭子集≤K≤NAkand Am>Alfor l 6=m。在证明了家庭w（1）的顶部子集的分离和发散后。

，w（m），剩下的就是证明这个子集形成了一个稳定的分布。这源于定理2.3和Am>Alfor l 6=m这一事实，因为该条件确保了这一顶级家庭子集的相对增长率满足定理2.3的稳定性条件。参考Saiyagari，S.R.（1994年8月）。未投保的特殊风险和总储蓄。《经济学季刊》109（3），659–684。Altonji、J.G.、A.A.Smith Jr.和I.Vidangos（2013年7月）。盈利动态建模。《计量经济学》81（4），1395–1454。Angeletos，G.-M.（2007年1月）。未投保的特殊投资风险和累计储蓄。经济动态回顾10（1），1–30。Angeletos，G.-M.和L.-E.Calvet（2006年9月）。特殊的生产风险、增长和商业周期。《货币经济学杂志》53（6），1095–1115。Atkinson、A.B.、T.Piketty和E.Saez（2011年3月）。从历史的长远来看，收入最高。《经济文献杂志》49（1），3–71。Banner，A.、R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。Atlas股票市场模型。应用概率年鉴15（4），2296–2330。Benhabib，J.、A.Bisin和S.Zhu（2011年1月）。在具有独立代理人的经济体中，财富和政策的分配。计量经济学79（1），123–157。Benhabib，J.、A.Bisin和S.Zhu（2014年）。blanchard-yaarimodel中的财富分配。《宏观经济动态》即将出版。Bonhome，S.和J.-M.Robin（2010年4月）。广义非参数反褶积，应用于收益动态。经济研究回顾77（2），491–533。Browning，M.、M.Ejrnaes和J.Alvarez（2010年10月）。对具有大量异质性的收入过程进行建模。经济研究回顾77（4），1353–1381。Cagetti，M.和M.De Nardi（2008年9月）。财富不平等：数据和模型。宏观经济动态12（S2），285–313。凯斯，K.E.和R.J。

Shiller（1989年3月）。单一家庭住房市场的效率。《美国经济评论》79（1），125–137。卡斯塔·内达、A.、J.D'az Gim'enez和J.-V.R'os Rull（2003年8月）。美国收入和财富不平等的原因。《政治经济学杂志》111（4），818–857。Davies，J.B.、S.Sandstrom、A.Shorrocks和E.N.Wolff（2011年3月）。全球家庭财富的水平和分布。《经济杂志》121（551），223–254。D'az Gim'enez，J.、A.Glover和J.-V.R'os Rull（2011年2月）。美国收入、收入和财富分配情况：2007年更新。明尼阿波利斯联邦储备银行季度审查34（1），2–31。杜菲，D.（2001年）。动态资产定价理论。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。Fargione、J.E.、C.Lehman和S.Polasky（2011年7月）。企业家、机会和财富的不确定性集中。PloS ONE 6（7），e20728。Fernholz，E.R.（2002年）。随机投资组合理论。纽约州纽约市：Springer Verlag。Fernholz，R.T.（2015年7月）。经济流动和财富分配的模型。mimeo，Claremont McKenna学院。Fernholz，R.T.和R.Fernholz（2014年7月）。财富分配的不稳定和集中。《经济动力与控制杂志》44251–269。Flavin，M.和T.Yamashita（2002年3月）。业主自用住房和家庭组合的构成。《美国经济评论》92（1），345–362。Gabaix，X.（1999年8月）。齐普夫城市定律：一种解释。《经济学季刊》114（3），739–767。Gabaix，X.（2009，05）。经济学和金融中的幂律。经济学年鉴1（1），255–294。Guvenen，F.（2007年6月）。了解你的收入：劳动收入冲击真的很严重吗？《美国经济评论》97（3），687–712。Guvenen，F.（2009年1月）。劳动力收入过程的实证研究。

经济动态回顾12（1），58–79。Guvenen，F.、F.Karahan、S.Ozkan和J.Song（2015年3月）。关于数百万美国工人的数据揭示了什么样的生命周期收入风险？mimeo，明尼苏达大学。Jones，C.I.（2014）。帕累托和皮克蒂：最高收入和财富不平等的宏观经济学。即将发表在《经济展望杂志》上。Jones，C.I.和J.Kim（2014年10月）。最高收入不平等的熊彼特模型。mimeo，斯坦福大学GSB。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分。纽约州纽约市：Springer Verlag。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1998年）。数学金融方法。纽约州纽约市：Springer Verlag。Krussel，P.和A.A.Smith（1998年10月）。宏观经济中的收入和财富异质性。《政治经济学杂志》106（5），867–896。Moskowitz，T.J.和A.Vissing Jorgensen（2002年9月）。创业投资回报：私募股权溢价之谜？《美国经济评论》92（4），745–778。尼尔森，L.T.（1999）。衍生证券的定价和对冲。纽约：牛津大学出版社。Nirei，M.（2009年7月）。经济增长模型中的帕累托分布。创新研究所工作文件09-05。Piketty，T.（2014）。21世纪的首都。马萨诸塞州剑桥：哈佛大学出版社。Saez，E.和G.Zucman（2014年10月）。1913年以来美国的财富不平等：来自资本化所得税数据的证据。NBER工作文件20625。沃尔夫，E.N.（2010年3月）。美国家庭财富的最新趋势：债务上升和中产阶级挤压2007年的最新情况。巴德学院利维经济研究所工作文件编号。

589.家庭财富低估计高估计百分比波动率σk波动率σk0-10 0.283 0.28610-20 0.283 0.29420-40 0.283 0.31640-60 0.283 0.39260-100 0.283 1.662表1：波动率σk的低估计和高估计。家庭财富与低估计百分比波动率σk高估计波动率σk0-0.01 11.1%0.01-0.1 10.8%0.1-0.512.4%12.4%0.5-1 7.2%7.2%1-10 35.7%35.7%10-100 22.8%22.8%表2：波动率σkunder情景1不同估计的家庭财富份额，假设2012年美国。