因此，我们称ew为小型不确定性厌恶的现金等价物；在leadingorder中，是指假设头寸易受波动性影响的情况下，相对于参考值的（标准化）溢价（或折扣，如果您是买家，请参见下一段）。如果您决定以pb（ψ）的价格购买期权，您的初始损益为x-pb（ψ）+V。购买期权与出售期权的负面内容是一样的。此外，期权的现金等价物与其负值重合，因为现金伽马以平方形式输入ew的PDE（3.2）的源项（3.4）。因此，pb（ψ）由u（x）=v（x）确定- pb（ψ）+V；ψ） ，其中yieldspb（ψ）=？V- ewψ+o（ψ）。（3.16）与（3.15）中的要价类似，您要求对参考值“vt”进行折扣ewψ+o（ψ），以购买期权。将（3.16）与（3.15）进行比较，我们可以看到，从浮动头寸开始，由于不确定性厌恶，您的买卖价差为2 ewψ+o（ψ）。备注3.7。上述结果可与不确定波动率模型正式联系如下。考虑Black-Scholes-Barenblatt方程vψt（t，s）+sup∈[λ（t，s），∧（t，s）]（？（t，s）+ψ）sVψss=0，Vψ（t，s）=G（s），（3.17），其中ψ>0是一个（小）参数，λ≤ 0≤ ∧是合适的函数。该方程对应于找到最小初始资本的问题，该初始资本允许在随机区间[(R)σ（t，ST）+ψλ（t，ST），(R)σ（t，ST）+ψ∧（t，ST）]内演化的任何波动过程中超级复制选项G（ST）；见【48】。正如Lyons【48，第5节】所指出的，Black-Scholes-BarenblattPDE（3.17）的解Vψ具有形式渐近展开式Vψ（t，s）=V（t，s）+eV（t，s）ψ+o（ψ）（ψ）↓ 0），（3.18）也可以获得询价的二阶展开式，但没有提供太多额外的见解。对于二阶项bw，这种对称性通常会被破坏；查阅

相应的源项（3.5）。因此，对于差异出价的二阶展开，必须使用与期权负值相对应的bw。该规范是一般“随机G-期望”的特例【56】。其中“V”是Black-Scholes PDE（2.3）的解，andeV用源项求解以下线性抛物线：eVt（t，s）+σ（t，s）seVss（t，s）+sup∈[λ（t，s），∧（t，s）]'σ（t，s）s'Vss（t，s）=0，eV（t，s）=0。（3.19）Fouque和Ren【26】证明了膨胀式（3.18）适用于‘∑为常数∧的特殊情况≡ 1和λ≡ 0.根据（3.18），eV可被解释为（标准化）领先订单溢价高于参考值，具有有限风险规避但波动率区间较小的代理要求作为假设易受波动率错误指定影响的头寸的补偿。这有助于将ew解释为小型不确定性厌恶的现金等价物。更具体地说，如果fdoes不依赖于y，并且如果我们选择∧（t，s）=-λ（t，s）=eσ（t，s）符号（\'Vss（t，s））=\'σ（t，s）s(R)Vss（t，s）2f（t，s；(R)σ（t，s）），则对于ew，前场的PDE（3.19）降低为PDE（3.2）。此外，在这种情况下，我们的最佳策略θψt=(R)Vs（t，St）+ews（t，s）ψ与扩张对应的三角洲对冲（3.18）一致。

因此，我们的结果在形式上等同于对一个完全风险厌恶的代理人所获得的结果，然而，该代理人使用了一个随机的和时间相关的波动率带，这取决于期权（通过其现金伽马）和她的不确定性厌恶（通过f）。3.3概率场景的存在性是主要结果，定理3.4，是为交易策略A和波动性场景V的抽象集合而制定的，这些策略（i）大到足以包含几乎最优的策略θψ和波动性σψ，以及（ii）小到足以确保相应的度量P∈ P（θ，σ）存在，并且满足了验证定理的所有技术前提。在本节中，我们提出了满足这些要求的具体选择A和V。为此，让Adenote表示所有实值过程的集合θ=（θt）t∈θT=(R)Vs（T，St）+θT{T<τ}，（3.20）形式的[0，T]，其中θ是有界的，渐进可测过程，因此θT：Ohm → R对每个都是连续的∈ [0，T]，停车时间τ如定理3.4所示。换句话说，只要相应的损益过程Y偏离其初始值太远，Ahasto中的每个策略都会回到参考三角洲对冲。与假设3.2一起，这保证了（参见定理3.8）与这些策略相关的损益过程符合我们的一致有界假设（3.1）。然而，在转换之前，该策略可以以任何可能的路径依赖方式偏离参考对冲。接下来，用v表示所有实值过程的集合σ=（σt）t∈σT='σ（T，St，Yt）1{St形式的[0，T]∈（K）-1，K）}，（3.21），其中'σ：[0，T]×R→ [0，K]是（全局）Lipschitz连续函数。

因此，对于V中的任何挥发过程，一旦S离开（K-其波动性消失，股价冻结。以下定理表明，在适当的正则性假设下，A和V满足定理3.4中的假设：（θψ，σψ）∈ A×V Z表示ψ>0足够小。然而，让我们强调，θψ和σψ在任何更大的类别中也几乎保持最佳状态a A和V 满足A×V的Vof交易策略和波动场景 Z、 [48]对价格的瞬时方差而不是收益的波动性施加了限制。因此，那里的PDEforeV看起来略有不同。这里给出的偏微分方程是对[26]中推导出的偏微分方程的一个轻微概括。定理3.8。假设假设3.2成立，则'Vs，'Vssand'σ在（0，T）×（K）上是Lipschitz连续的-1，K），且yl<y- 2.-KT和yu>y+2+KT。然后A×V Z、 即，对于任何（θ，σ）∈ A×V上有一个概率测度P(Ohm, F） 这样（θ，σ，P）∈ S、 如果不加，则在[0，T]×[K]上fis-Lipschitz连续-1，K]×（yl，yu）×[0，K]，然后（θψ，σψ）∈ A×vf对于所有ψ>0足够小。定理3.8的证明在第5.3.4节“启发式和扩展”中提供。在实践中，您很少需要对冲单个期权，而是一整本不同合同的书。例如，您的账簿可能包括不同行使和到期日的看涨期权和看跌期权，以及各种奇异期权，如亚洲期权、障碍期权、回望期权或股票回报实现方差期权。此外，一些期权，如看涨期权和putsat标准化到期期权以及接近标的当前价格的期权，可能交易不实，因此可以作为您账簿中非交易期权的额外对冲工具。这些更复杂的问题也可以用本文的方法来解决。

由于相应的严格验证将变得更加技术化，因此我们仅在启发式水平上开发这些扩展。由此得出的公式解释了在实际相关情况下，期权组合的敏感性如何影响小不确定性厌恶的现金等价物。我们从定理3.4的非正式推导开始，从而为第5.1节中的严格证明提供了一些直觉。随后，我们将一般程序调整为更复杂的设置，包括亚洲、回溯或障碍类型的奇异选项，以及对实现方差的选项。我们还解释了如何处理期权组合以及使用普通期权进行静态套期保值，并讨论了如何将我们的“现金等价物”解释为Cont意义上的“模型不确定性度量”[14]。4.1一般程序和定理3.4的情况我们的出发点是两人零和随机微分博弈的动态规划方法。中心思想是找到与套期保值问题和相应的半最优控制相关的Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs（以下简称HJBI）方程的渐近解。为方便读者，我们从最优性的一般有效标准（命题4.1）开始推导HJBI方程，称为最优性原则[17]或鞅最优性原则[60，V.15]；关于零和博弈中鞅最优性原则的版本，另请参见[61，命题4.1]。然后，我们解释了如何使用HJBI方程和适当的ansatz来推导套期保值问题的价值和几乎最优的控制。

接下来，恢复第3节中针对单一普通期权套期保值的特定情况提供的公式。最后，我们总结了在其余小节中使用的一般程序，以在更一般的环境中衍生相应的候选人。最优性的有效标准。考虑以下形式的优化问题：=supθ∈Ainfσ∈VEθ，σ[NT]，（4.1），其中A和V是容许控制的集合，对于每个（θ，σ）∈ A×V，Eθ，σ[·]表示给定测度Pθ，σ下的期望，N是一个有效可积过程。E、 g.，如果N在Pθ下可积，则每个（θ，σ）的σ∈ A×V，则V是扩展实线中的一个定义良好的数字[-∞, +∞].命题4.1（鞅最优性原则）。如果有一对（θ*, σ*) ∈ A×V使得（i）对于每个θ∈ A、 N是Pθσ下的上鞅*,（ii）对于每个σ∈ 五、 N是Pθ下的子鞅*,σ、 thenN=Eθ*,σ*【NT】=supθ∈Ainfσ∈VEθ，σ[NT]=infσ∈Vsupθ∈AEθ，σ[NT]。（4.2）特别是θ*和σ*是（4.1）的最优控制，值v=N。因为N是Pθ下的鞅*,σ*通过（i）和（ii），（4.2）中的第一个等式是明确的。此外，（i）和（ii）implysupθ∈AEθ，σ*[新台币]≤ N≤ infσ∈VEθ*,σ【NT】。因此，N≤ infσ∈VEθ*,σ【NT】≤ supθ∈Ainfσ∈VEθ，σ【NT】≤ infσ∈Vsupθ∈AEθ，σ【NT】≤ supθ∈AEθ，σ*[新台币]≤ N、 （4.2）中的其余等式如下。汉密尔顿-雅各比-贝尔曼-艾萨克斯方程的推导。假设给定了控制θ*和σ*满足命题4.1的条件。此外，假设N在Pθ，σ下的动力学形式为dnt=dMθ，σt+νθ，σtdt，对于某些Pθ，σ-鞅Mθ，σ和漂移率νθ，σ。

那么命题4.1的条件（i）和（ii）意味着漂移率νθ，σsatisfysupθ∈Aνθ，σ*T≤ 0≤ infσ∈Vνθ*,σt。使用这些不等式，我们发现0≤ infσνθ*,σt≤ νθ*,σ*T≤ supθνθ，σ*T≤ 0，以及0≤ infσνθ*,σt≤ supθinfσνθ，σt≤ infσsupθνθ，σt≤ supθνθ，σ*T≤ 因此，我们处处都是相等的，尤其是：νθ*,σ*t=supθinfσνθ，σt=infσsupθνθ，σt=0。（4.3）为了更明确地获得漂移率，我们现在假设存在有效的调节函数g和w，以及一个状态过程Z，它是每个θ，σ下的（多维）It^odiffusion，因此对于任何（θ，σ）∈ A×V，Nt=Ztg（u，Zu；θu，σu）du+w（t，Zt）Pθ，σ-A.s.（4.4）这种形式是由我们对冲问题的结构驱动的，参见下面的（4.7）。更具体地说，如果Z在Pθ，σ下有dynamicsdZt=b（t，Zt；θt，σt）dt+a（t，Zt；θt，σt）dWtunder，则将其公式应用于每个Pθ，σ下（4.4）的右侧，得到νθ，σt=wt（t，Zt）+H（t，Zt，w（t，Zt），Dw（t，Zt）；θt，σt）（4.5），其中w和Dw分别表示w（t，z）相对于z变量的梯度和海森，h（t，z，p，A；θ，）：=g（t，z；θ，）+b（t，z；θ，）·p+轨迹（aa>）（t，z；θ，）A.将（4.5）代入（4.3）yieldswt（t，Zt）+supθinfσH（t，Zt，w（t，Zt），Dw（t，Zt）；θt，σt）=0。保持这种状态的一个有效条件是满足PDEwt+supθinfH（t，z，w、 Dw；θ，）=0，（4.6），称为Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程。此外，θ给出了最佳控制的候选人*（t，Zt）和*（t，Zt），其中θ*和*是HJBI方程（4.6）的鞍点，即对于每个（t，z）：H（t，z，w（t，z），Dw（t，z）；θ*（t，z），*（t，z））=supθinfH（t，z，w（t，z），Dw（t，z）；θ，）。还请注意，N=（4.4）中的w（0，Z），因此w（0，Z）是命题4.2中优化问题（4.1）的候选值。

因此，函数w也称为优化问题（4.1）的值函数。上述HJBI方程的推导当然只是形式上的。为了严格证明候选控制确实是最优的，需要一个严格的验证定理（例如使用命题4.1中的有效条件）。渐近解的Ansatz。对于每个ψ>0，考虑对冲问题v（ψ）：=supθ∈Ainfσ∈VEθ，σ“ψZTU（Yt）f（t，St，Yt；σt）dt+U（Yt）#，，（4.7），其中在每个Pθ下，σ，S和Y的动力学形式为dst=StσtdWt，dYt=（θt-\'\'（t，St））dSt+b（t，St；σt）dt，（4.8）对于某些函数’ 和b.漂移率b还需要满足b（t，s；’σ（t，s））=0，因为只要真实波动率σt与参考波动率‘（t，St）相一致，理论损益应“局部漂移较小”。为了推导（4.7）的HJBI方程，我们首先将（4.7）期望值内的表达式重新转换为（4.4）形式。为此，设wψ（t，s，y）是满足终端条件wψ（t，s，y）=U（y）的函数。那么对应于（4.7）的HJBI方程如下：wψt+supθinfψUf（）+b（）wψy+swψss+2（θ-\'\')wψsy+（θ-\'\')wψyy= 0。（4.9）如果我们互换上、下限的顺序，我们将获得相同的结果。在两人零和随机微分博弈的语言中，这表明博弈“有价值”。对于本节中的启发式推导，我们默认每个（θ，σ），Pθ，σ达到（2.14）中的最小值，因此（2.14）中的额外最小值消失。这涵盖了以下小节中涉及的大多数特定选择，但第4.2节中某些奇异选项所需的额外状态变量除外。

为了解释一般程序，我们首先将重点放在只有两个状态变量的最简单情况上，即股价S和损益过程Y。（我们抑制参数（t、s、y）以简化表示法。）该方程的显式解通常不可用。因此，我们的目标是获得不确定性厌恶参数ψ的小值的渐近解。更准确地说，我们希望找到策略θψ、波动率σψ以及修正项ew和bw，使得v（ψ）=U（y）- U（y）ew（0，s，y）ψ+U（y）bw（0，s，y）ψ+o（ψ）=Eθψ，σψ“ψZTU（Yt）f（t，St，Yt；σψt）dt+U（Yt）#+o（ψ）。第一个等式是值作为不确定性规避参数ψ函数的二阶展开。第二个等式表示策略θψ和波动率σψ是下一阶o（ψ）的最优控制接下来，我们使用HJBI方程和适当的ansatz导出值函数的渐近展开和几乎最优控制的候选。回想第2.1节，普通期权可以在参考局部波动率模型中完美复制。因此，在没有模型不确定性的情况下，对期权使用delta对冲是最佳选择，而hedging问题的价值只是初始损益的效用；参见引理2.1。这激发了值函数的渐近展开和（4.7）的几乎最优控制：wψ（t，s，y）=U（y）- U（y）ew（t，s，y）ψ，（4.10）σψ（t，s，y）=σ（t，s）+eσ（t，s，y）ψ，（4.11）θψ（t，s，y）=（t，s）+eθ（t，s，y）ψ，（4.12）对于要确定的函数ew，eσ，eθ。有了这个ansatz，HJBI方程产生了方程forf，eσ，eθ。

实际上，将（4.10）–（4.12）代入（4.9）（我们假设θψ和σψ是supθinf的点明智鞍点），同时使用泰勒展开式f（）≈f（°σ）（）- \'（σ）（因为（2.12））和b（）≈ b（°σ）（）- \'σ）（因为假设b（\'σ）=0；bde注意到关于）的部分导数，并按ψ的幂排序，我们得到-U×ewt公司-f（(R)σ）eσ- b（(R)σ）eσ+(R)σsewssψ+o（ψ）=0。（4.13）eσ的候选者是O（ψ）项的最小值。求解eσ屈服强度σ的一阶条件f（(R)σ）eσ+b（(R)σ）=0=-b（’σ）f（’σ）。（4.14）将该候选者重新插入（4.13）中的O（ψ）项，并将结果设置为零，则产生现金等价物ew的PDE：ewt+’σsewss+b（’σ）2f（’σ）=0。（4.15）根据HJBI方程（4.9），为了找到最佳策略的候选人，我们只需将2（θ）最大化- )wψsy+（θ- )wψyy。（4.16）将ansatz（4.10）和（4.12）替换为（4.16），我们发现eθsy型(-Uew）+eθUψ+o（ψ）。O（ψ）项简化为-2eθ（Uewsy+Uews）+eθu和该二次方程的最大值ineθiseθ=ews+UUewsy。（4.17）最后，使用二阶ansatz wψ（t，s，y）=U（y），可以以相同的方式获得二阶修正项bw的偏微分方程- 值函数的U（y）ew（t，s，y）ψ+U（y）bw（t，s，y）ψ，而不是一阶ansatz（4.10）（对照组的ansatz保持不变），并在扩展的HJBI方程中设置O（ψ）项，在候选策略和候选波动率下评估，等于零。我们省略了冗长的计算。定理3.4的情况。如果需要对冲单个普通期权，则损益动态已在第2.1节中推导。将（2.10）中Y的动力学与上述形式（4.8）进行比较，我们发现b（t，s；）=s'Vss（t，s）（'σ（t，s）- ） 。（4.18）因此，b（t，s；’σ（t，s））=-s'Vss（t，s）'σ（t，s）。

将binto的公式与（4.14）中eσ的公式和（4.15）中ew的PDE进行比较，我们精确地恢复了（3.7）和（3.2）。（4.17）中的公式foreθ也与（3.6）一致。总结确定候选控制和现金等价物的一般程序可总结如下。（i） 根据需要引入尽可能多的状态变量（例如，回望期权的运行最大值或最小值，亚洲期权的股票价格的运行积分等），以表达每个期权的理论值作为时间和这些状态变量的函数。（ii）写下与期权头寸和交易策略相对应的理论损益过程Y。使用It^o的公式确定Y的漂移和扩散系数。（iii）写出对应于控制问题的HJBI方程。（iv）将（4.10）–（4.11）中关于价值和波动性的适当ansatz插入HJBIequation，并将结果扩展到ψ变量中。最小化eσ上的O（ψ）项，以获得候选波动率。（v） 将eσ的候选者替换回HJBI的O（ψ）项中，以找到灰当量ew的PDE。（vi）将战略的ansatz（4.12）插入扩展的HJBI方程。将θ上的θ（ψ）项最大化以获得候选策略。在下面的小节中，我们将在许多实际相关的应用程序中说明这种方法。4.2一些奇异期权在本节中，我们考虑一些奇异期权，其收益取决于股票价格的整个路径，而不仅仅取决于到期时的股票价格。

例如，他们的支付可能取决于某一时间段内股票价格路径的平均值（亚洲期权）、其最大值或最小值（回望期权），或者取决于股票回报的实际差异（例如，差异互换）。这些选项的参考值仍然可以表示为PDE的解决方案，前提是引入适当的附加状态变量来跟踪契约的路径相关特征。步骤（i）是将本地波动率模型中考虑的奇异期权的理论值表示为偏微分方程的解。为此，让我们引入一个通用的附加状态变量a，其动力学形式为：dat=α（t，St，At，Mt）dt+β（t，St，At，Mt）dhSit+γ（t，St，At，Mt）dSt+δ（t，St，At，Mt）dMt，其中Mt：=maxu∈[0，t]sui是股票价格的运行最大值。注意，我们没有将dhSit项与dt项合并，因为hSi取决于真实波动率σ。如果你想在本地波动模型中以G（ST、AT、MT）形式的到期日T和支付对期权进行估值和对冲，你基本上可以采用与第2.1节相同的方法。

事实上，将It^os公式应用于一个高效正则函数V（t，s，a，m），并假设Sare dSt的真实动力学=StσtdWt，我们得到，去掉了大多数参数：d'V（t，St，At，Mt）=（'Vs+γ'Va）dSt+（'Vm+δ'Va）dMt+‘Vt+（α+βσtSt）’Va+σtSt“Vss+2γ”Vsa+γ”Vaadt。（4.19）请注意，如果σt=(R)σ（t，St），即如果您的局部波动率模型正确，并且如果(R)V解决了PDEPVt+（α+βPσs）(R)Va+(R)σSt“Vss+2γ”Vsa+γ”Vaa= 0，\'Vm+δ\'Va=0，每当s=m，\'V（T，s，a，m）=G（s，a，m），（4.20）然后（4.19）产生，使用该Mt仅在St=Mt，G（St，AT，Mt）=V（T，St，AT，Mt）=V（0，s，a，m）+ZT时增加（t、St、At、Mt）dSt，其中‘ :=因此，在本地波动率模型和这些假设下，选项G可以通过初始资本V（0、S、A、M）和交易策略的自我融资交易完美复制.步骤（ii）是记下损益过程Y，并根据交易策略θ和真实波动率σ确定其动态。与第2.1节中处理的普通期权的情况类似，您在t isYt=x+ZtθudSu时的理论损益-？V（t、St、At、Mt）。（4.21）使用PDE（4.20）替换“Vtin（4.19）”，并将结果插入（4.21）yieldsdYt=θt- （\'Vs+γ\'Va）dSt+Stβ？Va+（？Vss+2γ？Vsa+γ？Vaa）\'\'σ- σtdt。考虑到‘ =\'Vs+γ\'Va和设置b（）：=sβ？Va+（？Vss+2γ？Vsa+γ？Vaa）\'\'σ- ,今天很简单=θt-\'\'dSt+b（σt）dt。步骤（iii）是写下HJBI方程。回想一下，这归结为使用It^o的公式推导过程的漂移率Nt：=ψRtU（Yt）f（t，St，Yt；σt）dt+wψ（t，St，Yt，At，Mt）。

我们获得ψt+supθinfψUf（）+b（）wψy+（α+βs）wψa（4.22）+swψss+2（θ-\'\')wψsy+（θ-\'\')wψyy+2γwψsa+2γ（θ-\'\')wψya+γwψaa= 0.请注意，此对冲’ 通过直接或间接通过附加状态变量A反映期权对基础价格变动的敏感性。与奇异期权的估值PDE（4.20）类似，我们还需要每当s=m时wψm+δwψA=0，以便N的dMt项也消失。步骤（iv）是插入ansatzwψ（t，s，y，a，m）=U（y）- U（y）ew（t，s，y，a，m）ψ，σψ（t，s，y，a，m）=σ（t，s）+eσ（t，s，y，a，m）ψ，进入HJBI方程（4.22），展开ψ变量中的结果，并最小化eσ上的O（ψ）项，以找到波动率的候选项。展开式中的O（ψ）项如下所示-U×ewt公司-f（(R)σ）eσ- b（’σ）eσ+（α+βs’σ）ewa+’σsewss+2γewsa+γewaaψ。将eσ上的这一点最小化，并使用b的定义，我们发现候选波动率：σψ=’σ+’σf（’σ）s2β\'Va+（\'Vss+2γ\'Vsa+γ\'Vaa）ψ。（4.23）在步骤（v）中，我们将eσ的候选项插回HJBI的O（ψ）项中。然后，通过将O（ψ）项设置为零获得的ew的Pdef具有以下（形式）Feynman–Kacrepresentation：ew（t，s，y，a，m）=Et，s，y，a，m“ZTt”σ2f（(R)σ）苏2β\'Va+（\'Vss+2γ\'Vsa+γ\'Vaa）du#。（4.24）在这里，期望值是在一个度量下计算的，使得S具有初始条件St=S，Yt=y，At=a，Mt=m的参考动力学。最后，步骤（vi）是通过替换ansatzψθ（t，S，y，a，m）=来确定候选策略（t，s，a，m）+eθ（t，s，y，a，m）ψ进入HJBI方程，并使O（ψ）项在θ上最大化。经过一些计算，我们发现θψ=“” +ews+γewa+UU（ewsy+γewya）ψ。（4.25）让我们讨论一些更具体的示例的这些结果：示例4.2（亚洲和回溯选项）。假设期权的支付取决于[0，T]期间股价的算术平均值。

在这种情况下，我们引入状态变量dAt=Stdt，并以G（ST，AT）的形式写入payoff。例如，流动罢工亚洲电话的支付为（ST- AT/T）+。在上述设置中，我们得到了α（t，s，a，m）=和β=γ=δ=0，并且我们立即看到，候选控制和现金等价物ew的一般公式（4.23）、（4.24）和（4.25）都减少到为单个Vanilla期权推导的公式，除了期权的参考值'V取决于额外的状态变量，因此候选控制和ew也是如此。因此，期权的现金伽马仍然是小不确定性厌恶现金等价物的中心决定因素。同样，对于回望型期权，如带付息的浮动罢工回望看跌期权- ST，候选控制和现金等价物ew的公式也基本上简化为普通期权的公式。示例4.3（已实现差异的选项）。这里，状态变量dAt=stdhsit跟踪累计实现的收益方差，即如果S的真实动态是dSt=StσtdWt，那么At=Rtσudu。例如，履约波动率σstrikehas the payo ffort的方差掉期- σ走向；它支付了[0，T]期间平均实现方差与给定走向方差σ走向之间的差异。在上述设置中，我们有β（t，s，a，m）=s-2和α=γ=δ=0。然后我们从（4.24）中得出，EW（t，s，y，a）=Et，s，y，a“ZTt（(R)σ（2'Va+(R)美元）））2f（(R)σ）du#。（4.26）我们发现期权对已实现方差变化的敏感性及其现金伽马在这里起着对称作用。这与具有离散交易[34]或交易成本[45]的模型不同–参考对冲的二次变化通常不是正确的统计数据；参见以下备注4.4。备注4.4。

假设参考模型具有动力学dSt=St‘∑TDWT，用于某些一般的、可能依赖路径的波动过程‘∑。此外，假设θ是该参考模型中选项G（ST，AT）的复制策略。如果‘σt=’σ（t，St）实际上是局部挥发类型，那么‘θt=’Vs（t，St，At），根据It^o的公式，假设γ=0，因此A是有限变化，Stdh‘θIt=Stdh’Vs（·s·，A·）It=“∑tSt”Vss（t、St、At）dt。因此，鉴于（3.14）中现金等价物的表示，其基本上也持有亚洲、回望和障碍期权（参见下文（4.31）），可以预期，可能路径依赖波动率的现金等价物概括为“ZTSt2f（(R)σt）dh'θit'.（4.27）。然而，在示例4.3中，参考模型中方差掉期的复制策略是'θt='Vs（t，St，At）和γ=0，但现金等价物（4.26）与（4.27）不同。这表明（4.27）不是现金等价物的正确通用形式。4.3障碍期权障碍期权的支付取决于股票价格在其有效期内是否触及特定障碍。例如，如果股票价格在到期前的任何时候都没有达到B级障碍，那么B级障碍的淘汰看涨期权是一种支付普通看涨期权的期权。如果遇到障碍，支付将变为零。相反，只有在到期之前达到了障碍时，敲打incall的支付才会生效，否则支付为零。障碍选项在相当弱的意义上依赖于路径。他们的回报只取决于两种可能的状态——是否达到了障碍。

这允许在局部波动模型中对障碍期权进行估值，而无需通过施加合适的边界条件引入额外的状态变量。为简单起见，我们关注的是淘汰期权，如果股票价格在到期前突破B>S的障碍，其支付（ST）将被淘汰。如第2.1节和第4.2节所述，本地波动率模型中此类期权的公允价值可以表示为DE'Vt（t，s）+σ（t，s）s'Vss（t，s）=0，（t，s）的解∈ [0，T）×（0，B），\'V（T，B）=0，T∈ [0，T），\'V（T，s）=G（s），s∈ （0，B）。（4.28）(R)V（t，s）表示在t时的淘汰期权的价值，前提是股票价格为s，且期权尚未被淘汰。边界条件“V（t，B）=0反映了这样一个事实，即如果股票价格在到期前达到障碍B，则淘汰期权变得毫无价值。如果你出售了这样的期权，你的理论损益可以写成asYt=x+ZtθudSu-\'\'V（t，St）1{t≤ρ} ，（4.29），其中ρ是S第一次撞击势垒B。现在，请注意，（4.28）中的边界条件意味着V（t，St）1{t≤ρ} =(R)V（t∧ ρ、 St公司∧ρ） 。它的公式反过来会产生V（t∧ ρ、 St公司∧ρ） =(R)V（0，s）+Zt>>Vs（u，Su）1{u<ρ}dSu+Zt“Vt（u，Su）+σuSu”Vss（u，Su）{u<ρ}du。使用偏微分方程（4.28）替换“Vtterm”，并将结果插入（4.29），然后给出Y的动力学：dYt=（θt-\'\'t） dSt+’Γ$t（’σ（t，St）- σt）dt，（4.30），其中‘t=(R)Vs（t，St）1{t<ρ}是淘汰期权的delta，(R)t=St'Vss（t，St）1{t<ρ}是其现金伽马。正如人们所料，这些数量在障碍物被击中后为零。为了找到候选最优控制，我们必须区分两种情况。在遇到障碍后，期权一文不值，不再需要对冲。因此，候选策略仅为0。通过这种策略，您的损益保持不变，与“自然”选择的波动性无关（参见（4.30））。

因此，不存在“自然”偏离参考动态的动机，候选波动率只是参考波动率∑。在遇到障碍之前，对应于套期保值问题的HJBIequation与单一普通期权的情况相同（但有额外的边界条件）。因此，我们获得了基本相同的最优控制候选者，即σψt=’σ（t，St）+’’σ（t，St）’tf（t，St，Yt；’σ（t，St））ψ，θψt=’t型+ews（t，St，Yt）+U（Yt）U（Yt）ewsy（t，St，Yt）{t<ρ}ψ，其中现金等价物ew在边界条件ew（t，B，y）=0的情况下求解PDE（3.2）。该PDE的（正式）Feynman–Kac表示为asew（t，s，y）=Et，s“ZTt\'\'σ（u，Su）\'$u2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du#。（4.31）因此，障碍期权剩余寿命内累积的预期波动率加权现金伽马再次成为小不确定性厌恶现金等价物的主要驱动因素。4.4期权组合我们现在考虑的是一整套可能具有不同到期日的普通期权组合，而不是到期日为T的单一期权。假设你卖出了N个到期日为T，…，的期权，田纳西州∈[0，T]和付款G（ST），分别为GN（STN）。设“Vi（t，s）”表示选项Gi的参考值，该选项求解“Vit（t，s）+”σ（t，s）s“Viss（t，s）=0，（t，s）∈ [0，Ti）×R+，\'Vi（Ti，s）=Gi（s），s∈ R+。（4.32）时间t的理论损益可表示为asYt=x+ZtθudSu-NXi=1？Vi（t∧ Ti，St∧Ti）。（4.33）包括奇异期权在内的投资组合可以按照相同的思路处理；我们在这里追求这一点并不是为了简化注释。我们强调，对于t=t，使用偏微分方程（4.32）的终端条件，YT=x+ZTθudSu-NXi=1Gi（STi）是您的实际最终损益。如果真实股票波动率由某个过程σ给出，我们接下来确定Y的漂移和差异部分。

如第2.1节所述，使用It^o的公式和偏微分方程（4.32），我们发现∧ Ti，St∧Ti）=“Vi（0，s）+Zt”i（u，Su）dSu-Zt′Γ$，i（u，Su）（’σ（u，Su）- σu）du，（4.34），其中‘i（u，s）：=“Vis（u，s）1{u<Ti}是期权的增量，i（u，s）：=s”Viss（u，s）1{u<Ti}是其现金伽马。将（4.34）代入（4.33），我们得到=θt-\'\'（t，St）dSt+’Γ$（t，St）（’σ（t，St）- σt）dt，其中’（t，s）：=PNi=1’i（t，s）是您的期权投资组合的净增量，\'$s（t，s）：=PNi=1\'$s，i（t，s）是其净现金伽马。我们看到，Y的动力学形式与单一香草选项的情况完全相同（参见（4.8）和（4.18））。唯一的区别是，单一期权的delta和现金伽马被期权组合的净delta和净现金伽马所取代。因此，我们获得了最优控制（以反馈形式）和现金等价物的类似候选：σψ（t，s，y）=σ（t，s）+σ（t，s）\'（t，s）f（t，s，y；\'（σ（t，s））ψ，（4.35）θψ（t，s，y）=（t，s）+ews（t，s，y）+U（y）U（y）ewsy（t，s，y）ψ、 （4.36）ew（t，s，y）=Et，s“ZTt\'\'σ（u，Su）\'\'美元（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du#。（4.37）4.5普通期权的静态对冲迄今为止，唯一可用的对冲工具是股票。然而，在实践中，如果流动性交易选项可用，这些可以用作更复杂衍生工具的额外对冲工具。因此，我们现在假设，除了交易股票外，您还可以在时间0购买或出售任何数量的到期日为T，…，的M普通期权，TM公司∈ [0，T]和Payoff sF（ST），FM（STM）。我们假设这些选项的价格为p，pM。在最坏情况下的超边缘中，这种设置被称为拉格朗日不确定波动率模型（Lagrangian Unterminate volatilitymodel）[7]；同时比较[54]。对于每个i=1。

，M，设“Vi（t，s）”为选项Fi的参考值，该选项可解出“Vit（t，s）+”σ（t，s）s“Viss（t，s）=0，（t，s）∈ [0，Ti）×R，\'Vi（Ti，s）=Fi（s），s∈ R、 （4.38）我们要求参考模型与时间0时的观测价格一致，即i=1，…，Vi（0，s）=Pi，M为简便起见，我们假设您必须对冲到期日为TM+1，…，的N个普通期权组合，TM+N∈ [0，T]和支付金额sGM+1（STM+1），GM+N（STM+N）。我们假设对于每个i=M+1，M+N，选项Gi（STi）的参考值VIO满足PDE（4.32）。也就是说，本地波动率模型在时间0时校准为流动期权的观察市场价格。如[4]所述的障碍期权组合或其他外来投资可以按照相同的思路处理，但需要更广泛的符号。假设你用payoffi（STi）购买λioptions，价格为piat time 0（负λi表示卖空），价格为i=1，并遵循股票的自我融资交易策略θ。那么你在时间t的理论损益是y=x+ZtθudSu-M+NXi=M+1？Vi（t∧ Ti，St∧Ti）+MXi=1λi(R)六（t∧ Ti，St∧Ti）- 圆周率. （4.39）注意，一致性条件“Vi（0，s）=Pi意味着我们对λi的选择不会影响时间0的理论损益。此外，通过（4.38）和（4.32），YT=x+ZTθudSu-M+NXi=M+1Gi（STi）+MXi=1λi（Fi（STi）- pi）是您实际的最终损益。看看（4.39），我们认识到（直到可以合并到期权支付中的线性转换），我们正处于第4.4节讨论的期权组合的设定中（N由N+M代替）。

因此，我们获得了相同的候选控制（4.35）–（4.36）和现金等价物（4.37），净delta’ :=M+NXi=M+1’我-MXi=1λi’土地净现金伽马（美元）：=M+NXi=M+1美元，i-MXi=1λi''美元，i。特别是，用''美元表示，0：=PM+Ni=M+1''美元，即原始账簿的净现金伽马（在购买或出售其他期权之前），组合投资组合的现金等价物具有以下表示：ew（t，s，y）=Et，sZTt公司\'\'σ（u，Su）（\'\'美元，0-PMi=1λi′Γ$，i）（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du.这就产生了一个标准，通过在期权中进行静态交易来管理投资组合对波动性不确定性的敏感性：找到能够最小化ew的λi，即能够最小化期权组合剩余生命周期内累积的预期波动性加权净现金伽马。在第4.6节中，我们表明，作为原始投资组合净现金伽马的函数，这种最小化的现金等价物满足了某些公理性质，这些公理性质是衍生工具模型不确定性度量所提倡的。4.6作为模型不确定性度量的现金等价物考虑一个映射u，该映射u为给定家族的任何模型中具有很低定义值的任何未定权益分配一个非负数。Cont【14】称u为模型不确定性的一种度量，如果它满足四个公理，这四个公理反映了基础或流动交易期权中全部或部分对冲的可能性；有关更多详细信息，请参阅[14，第4.1节]。

这里，我们将注意力限制在形式g=c+M+NXi=M+1Gi（STi）+ZTθtdSt（4.40）的索赔的线性空间X上，其中N∈ N、 支付Gi（STi）和到期日如第4.5节c所示∈ R是一个常数，θ是一种有效的规则交易策略，因此可以按路径定义随机积分。我们已经看到，我们可以将这些索赔中的每一项与其现金伽马''Γ'美元、气体sumPM+Ni=M+1s'Viss（t，s）1{t<Ti}（请注意，c和（4.40）中的随机积分不起作用）。回顾第4.5节的设置和符号。为了便于标注，我们将现金等价物‘Γ$，i，i=1，M，转化为函数的向量。现在，定义（对于某些固定的t，s）函数u：X→ R+乘以u（G）=infλ∈RMEt，s“ZTt\'\'σ（u，Su）（\'\'Γ$，G- λ·′Γ$）（u，Su）2f（u，Su，y；(R)σ（u，Su））du#，映射声明G∈ 相对于流动交易期权中的所有静态对冲，其现金等价物的小不确定性厌恶最小化。该映射完全符合[14]的以下（适当修改）公理：（i）流动交易期权没有模型不确定性：u（Fi（STi））=0，所有i=1，M、 此外，对于所有常数c，u（c）=0∈ R、 （ii）基础动态交易提供的套期保值可能性的u账户：uG+ZTθtdSt！=u（G）对于所有交易策略θ和G∈ 十、（iii）多元化降低了投资组合的模型不确定性：u（νG+（1- ν） G）≤ νu（G）+（1- ν） u（G）对于所有ν∈ [0，1]和G，G∈ 十、（iv）由具有流动交易期权的静态对冲提供的对冲可能性的u账户：uG+MXi=1λiFi（STi）！=u（G）对于所有λ∈ RMAD G公司∈ 十、我们还注意到，通过构造，u随着流动交易期权集的扩大而变小；这是【14】中指出的另一个自然要求。性质（i）、（ii）和（iv）从定义u起立即生效。凸性属性（iii）可通过以下方式验证。

固定ν∈ [0，1]，克，克∈ X，并表示为“Γ美元”，和“Γ美元”，G和G的现金Gamma。固定ε>0。根据u的定义，我们可以选择λ，λ∈ rm使u（G）≤ Et，s“ZTt\'\'σ（u，Su）（\'\'Γ$，G- λ·′Γ$）（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du#+ε（4.41）以及用G和λ替换为Gandλ的类似不等式也成立。定义λ：=νλ+（1- ν） λ和G：=νG+（1- ν） G.然后‘Γ美元，G- λ·′Γ$=ν′Γ$，G+（1- ν） 美元，克- （νλ+（1- ν） λ）·Γ$=ν（Γ$，G- λ·′Γ$）+（1- ν） （\'Γ美元，克）- λ·Γ美元）。例如，如果θ是有限变量，则可以通过分部积分公式沿路径定义随机积分。与[14]不同，我们忽略了流动交易期权的买卖价差。加上x 7的凸性→ x、 这将产生（(R)美元，G- λ·Γ$）≤ ν（°Γ$，G）- λ·′Γ$）+（1- ν） （\'Γ美元，克）- λ·Γ美元）。（4.42）使用u、（4.42）和（4.41）的定义，我们发现u（G）≤ Et，sZTt公司\'\'σ（u，Su）（\'\'Γ$，G- λ·Γ$）（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du≤ νu（G）+（1- ν） u（G）+ε。接下来的断言是取极限ε↓ 0.5证明在本节中，我们严格证明了第3节的结果。自始至终，我们假设假设假设3.2是有效的。为了便于记法，定义（t、s、y）∈ D=（0，T）×（K-1，K）×（yl，yu）和ψ>0，θψ（t，s，y）：=？Vs（t，s）+eθ（t，s，y）ψ，σψ（t，s，y）：=？σ（t，s）+eσ（t，s，y）ψ。（5.1）注意，我们使用符号θψ和σψ表示（5.1）中定义的函数和定理3.4中定义的候选控制。当然，这是由关系θψt=θψ（t，St，Yt）1{t<τ}+\'驱动的t{t≥τ} =“”t+eθ（t，St，Yt）1{t<τ}ψ，σψt=σψ（t，St，Yt）。5.1候选策略的值展开和几乎最优性在本节中，我们证明了定理3.4。自始至终，我们假设A、V和ψc>0是（θψ，σψ）的chosensuch∈ A×V 每个ψ的Z∈ （0，ψc）。

第5.3节对定理3.8中总结的此类场景进行了具体施工。确定候选值函数w:D×R→ R byw（t，s，y；ψ）：=wψ（t，s，y）：=U（y）- U（y）ew（t，s，y）ψ+U（y）bw（t，s，y）ψ。（5.2）我们注意到，通过我们在假设3.2中对ew、bw和U的假设，存在一个常数K>0（仅取决于K、yl、yu和U），使得| wψt |、| wψs |、| wψy |、| wψss |、| wψsy sy、| wψyy |≤ Kon D×[-1，1]。（5.3）此外，（5.3）中w的所有偏导数明显是C∞单位：ψ。本质上，定理3.4的证明归结为表明我们的候选值函数wψ、候选策略θψ和候选波动率σψ是与对冲问题（2.14）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程的近似解，即wψt（t，s，y）+supθinfHψ（t，s，y；θ，）=o（ψ）asψ↓ 0，均匀in（t，s，y）；参见下面的引理5.3。这里，对于ψ6=0，哈密顿量Hψ：D×R×[0，K]→ R由hψ（t，s，y；θ，）=ψU（y）f（t，s，y；）+s'Vss（t，s）（'σ（t，s）给出- ） wψy（t，s，y）+swψss（t，s，y）+2（θ-(R)Vs（t，s））wψsy（t，s，y）+（θ-(R)Vs（t，s））wψyy（t，s，y）;（5.4）回顾第4.1节中HJBI方程的启发式推导（4.9）和（4.18）。这部分证明纯粹是分析性的，在第5.1.1节中进行，主要成分是隐函数定理和泰勒展开式。然后，将经典验证论证应用于渐近设置，我们可以证明σ中的两个不等式∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）≥ wψ+o（ψ），（5.5）supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）≤ wψ+o（ψ），（5.6），其中wψ：=wψ（0，s，y）；参见引理5.7和5.8。表示方式。“小于或等于o（ψ）阶项”，我们从（5.5）–（5.6）中得到wψ。infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）。supθ∈Ainfσ∈VinfP公司∈P（θ，σ）Jψ（σ，P）。supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）。wψ和wψ。infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）。infP公司∈P（θψ，σψ）Jψ（σψ，P）。

supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）。wψ。因此，我们在任何地方都有高达o（ψ）阶的等式。特别是supθ∈Ainfσ∈VinfP公司∈P（θ，σ）Jψ（σ，P）=wψ+o（ψ）=infP∈P（θψ，σψ）Jψ（σψ，P）+o（ψ）。这就完成了定理3.4的证明，将（5.5）–（5.6）的证明进行模化。5.1.1 HJBI方程的近似解我们首先确定关于波动性变量的哈密顿量的最小值，并在前导阶将其确定为（5.1）中的候选σψ。引理5.1。修复L>0。然后是常数C>0和ψ>0（取决于L），这对于每个（t，s，y）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]和ψ∈ （0，ψ），函数[0，K]37→ Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，）（5.7）有一个极小值ψ*（t，s，y，eθ）满足一阶条件Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，ψ*（t，s，y，eθ））=0，（5.8）和ψ*（t，s，y，eθ）- σψ（t，s，y）≤ Cψ。（5.9）证明。由于Hψ在中是连续的，[0，K]是紧的，因此存在一个极小值ψ*= ψ*（t，s，y，eθ）中的（t，s，y，eθ）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]，ψ>0。接下来，基本思想是利用罚函数f的凸性来证明对于非常小的ψ，φψ*必须位于[0，K]的内部。因此，它满足一阶条件。为了精确起见，从（3.10）和（5.3）中第一次注意到，存在一个常数K>0，因此对于所有（t，s，y）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]和ψ∈ (-1，1），swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）-\'Vss（t，s）wψy（t，s，y）≤ K.（5.10）自¨σ（t，s）∈ [0，T]×[K]上的[0，K]-根据（3.9），我们有hψ（t，s，y；’Vs（t，s）+eθψ，φ*（t，s，y，eθ））≤ Hψ（t，s，y；’Vs（t，s）+eθψ，’σ（t，s））。一方面，利用Hψ的定义以及（2.12）和重排列项，该不等式意味着ψU（y）f（t，s，y；ψ*)≤\'σ（t，s）- （ψ）*)swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）-\'Vss（t，s）wψy（t，s，y）≤ 2KK\'σ（t，s）- ψ*.

（5.11）另一方面，假设（3.11）和（2.12）yieldsf（t，s，y；ψ*) ≥2K（(R)σ（t，s）- ψ*). （5.12）合并（5.11）–（5.12）和重新排列条款\'σ（t，s）- ψ*≤4KKU（yu）ψ；（5.13）注意，如果σ（t，s）=ψ，则该不等式非常正确*, 所以除以|(R)σ（t，s）- ψ*| 在最后一步中进行了调整。现在，由于根据假设（3.9），σ（t，s）均匀地位于[0，K]的内部，因此从（5.13）可以得出ψ∈ （0，1）使得对于每个（t，s，y）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]和ψ∈ （0，ψ），我们有ψ*（t，s，y，eθ）∈ （0，K）。这意味着ψ*满足一阶条件（5.8）或等效条件（通过乘以ψ>0），U（y）f（t，s，y；ψ*) - s’Vss（t，s）ψ*wψy（t，s，y）ψ+ψ*swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）ψ=0。（5.14）有待证明（5.9）。对于每个λ=（t，s，y，eθ）∈ D×[-五十、 L]，我们定义了函数fλ：(-ψ、 ψ）×[0，K]→ R、 （ψ，）7→ Fλ（ψ，），由（5.14）的左侧加上ψ*替换为。当Fλ是ψ中的多项式且F是Cin时，Fλ是C。Fixλ=（t，s，y，eθ）。通过构造，Fλ（ψ，ψ*) = 0，ψ∈ （0，ψ）。（5.15）现在，我们想调用隐函数定理来证明ψ7→ ψ*可通过（5.15）扩展到上的C功能(-ψ、 ψ）（必要时选择ψ较小）。为此，必须表明Fλ≥ ε对于某些ε>0。使用（3.11）和（5.10），我们得到所有λ=（t，s，y，eθ）∈D×[-五十、 L]和ψ∈ (-ψ、 ψ），Fλ（ψ，）=U（y）f（t，s，y；）- s'Vss（t，s）wψy（t，s，y）ψ+swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）ψ≥U（yu）K- 2K |ψ|。因此，如果必要，选择ψ较小，ε>0使得Fλ（ψ，）≥ ε、 λ∈ D×[-五十、 L]，ψ∈ (-ψ、 ψ），∈ [0，K]，（5.16）和隐函数定理表明，对于每个固定的λ，ψ7→ ψ*可通过（5.15）扩展至(-ψ、 ψ）且为C。

当Fλ（0，）=U（y）F（t，s，y；）时，隐函数定理的唯一性断言与（2.12）一起也得到了*= (R)σ（t，s）。计算ψ*ψ（0），我们观察到一阶条件（5.14）和以下事实：对于ψ=0，wψy（t，s，y）=U（y），thatf（t，s，y；(R)σ（t，s））ψ*ψ（0）=limψ↓0ψf（t，s，y；ψ*) - f（t，s，y；*)= limψ↓0ψf（t，s，y；ψ*)= limψ↓0U（y）s’Vss（t，s）ψ*wψy（t，s，y）- ψ*swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）= s'Vss（t，s）'σ（t，s）。正在解决ψ*ψ（0）给出ψ*ψ（0）=eσ（t，s，y）。现在，ψ的泰勒展开式*ψ=0附近产生ψ*= \'σ（t，s）+eσ（t，s，y）ψ+ψ*ψ（ψL）ψ=σψ（t，s，y）+ψ*ψ（ψL）ψ对于某些ψL=ψL（t，s，y，eθ；ψ），介于0和ψ之间∈ （0，ψ）。将其与（5.9）进行比较，可以看出ψ*ψ可以一致有界于λ=（t，s，y，eθ）∈ D×[-五十、 L]和ψ∈ （0，ψ）。我们已经从（5.16）中知道Fλ有界远离零，一致在λ上∈ D×[-五十、 L]，ψ∈ (-ψ、 ψ）和∈ [0，K]。此外，很容易检查我们的有界性假设是否意味着Fλ的所有二阶偏导数都是一致有界的（与上述意义相同）。因此ψ*ψ由引理A.1一致有界（M=0）。这就完成了证明。相反，我们接下来确定关于策略变量的哈密顿量的最大值，表明它与（5.1）中的候选θψ在前导阶重合，并且与波动性变量无关。引理5.2。存在常数C>0和ψ>0，因此对于每个（t，s，y）∈ D、 ∈ [0，K]和ψ∈ （0，ψ），函数3θ7→ Hψ（t，s，y；θ，）（5.17）具有最大值θψ*（t，s，y）独立于满足一阶条件的Hψθ（t，s，y；θψ*（t，s，y），）=0，（5.18）和θψ*（t、s、y）- θψ（t，s，y）≤ Cψ。（5.19）证明。

根据（5.4）中Hψ的定义，找到（5.17）的最大值等于找到r 3θ7的最大值→ 2（θ-(R)Vs（t，s））wψsy（t，s，y）+（θ-(R)Vs（t，s））wψyy（t，s，y）。（5.20）这只是θ中的一个二次方程，与无关。首先，我们证明了对于小ψ，二次项的系数一致为负。注意（5.2）中wψ的定义，wψyy（t，s，y）=U（y）+Y- U（y）ew（t，s，y）+U（y）bw（t，s，y）ψψ。（5.21）由于U是c，U<0，因此ε>0使得U≤ -2ε开[yl，yu]。根据（3.8），（5.21）右侧的偏导数可以在（t，s，y）中一致有界∈ D和ψ∈ (-1，1）。因此，有ψ∈ （0，1）对于所有（t，s，y）∈ D和ψ∈ (-ψ、 ψ），wψyy（t，s，y）≤ -ε。（5.22）因此对于每个ψ∈ (-ψ、 ψ），（5.20）具有最大值ψ*（t，s，y）（如果ψ6=0，它也是（5.17）的最大值），满足一阶条件wψsy（t，s，y）+（θψ*（t、s、y）-(R)Vs（t，s））wψyy（t，s，y）=0，（5.23），相当于（5.18）。为了证明（5.19），我们使用隐函数定理证明引理5.1。每个λ的定义=（t，s，y）∈ D、 函数Fλ：(-ψ、 ψ）×R→ R byFλ（ψ，δ）=wψsy（t，s，y）+δwψyy（t，s，y）。通过构造，Fλ是（ψ，δ）中的多项式，因此是C∞. 固定λ=（t，s，y）∈ D、 根据一阶条件（5.23），我们得到了fλ（ψ，θψ*-\'Vs（t，s））=0，ψ∈ (-ψ、 ψ），（5.24），其中θψ*= θψ*（t、s、y）。自从Fλδ（ψ，δ）=wψyy（t，s，y）≤ -所有ψ的ε<0∈ (-ψ、 ψ）根据（5.22），隐函数定理得出θψ*是C∞单位：ψ。当Fλ（0，δ）=δU（y）时，隐函数定理的唯一性定理也给出了θ*=？Vs（t，s）。计算θψ*ψ（0），我们在（5.24）的两侧除以ψ>0，并让ψ↓ 0

利用（5.2）中wψ的定义，我们得到0=limψ↓0ψ（wψsy（t，s，y）+（θψ*-(R)Vs（t，s））wψyy）=-sy（U（y）ew（t，s，y））+limψ↓0θψ*- θ*ψU（y）=-U（y）ewsy（t，s，y）- U（y）ews（t、s、y）+θψ*ψ（0）U（y）。正在解决θψ*ψ（0）给出θψ*ψ（0）=eθ（t，s，y）。现在，展开θψ*ψ=0附近产生θψ*=\'Vs（t，s）+eθ（t，s，y）ψ+θψ*ψ（ψL）ψ=θψ（t，s，y）+θψ*ψ（ψL）ψ对于0和ψ之间的某些ψL=ψL（t，s，y；ψ）∈ （0，ψ）。与（5.19）相比，它仍然表明θψ*ψ可以一致有界于（t，s，y）∈ D和ψ∈ （0，ψ）。我们已经知道了Fλδ=wψyy（t，s，y）有界远离零，一致在λ上∈ D、 ψ∈ (-ψ、 ψ）和δ∈ R、 此外，使用我们的有界性假设，可以直接检查是否存在M>0，以便对于所有λ∈ D、 ψ∈ (-ψ、 ψ）和δ∈ RFλψ（ψ，δ）,Fλψ（ψ，δ）≤ M（1+δ），Fλψδ（ψ，δ）≤ M、 还有那个Fλδ≡ 0。然后从引理A.1得出（yλ（ψ）=θψ*（t、s、y）-\'Vs（t，s）），M>0，因此对于所有λ∈ D和ψ∈ (-ψ、 ψ），θψ*ψ（ψ）=（θψ）*-？Vs（t，s））ψ（ψ）≤ M（1+|ψ）*-？Vs（t，s）|）。但|θψ*-？Vs（t，s）|=wψsy（t，s，y）wψyy（t，s，y）≤Kε乘以（5.23）、（5.22）和（5.3）。这就完成了证明。现在，我们提供了HJBI方程在delta对冲和候选策略θψ处的渐近展开，这两个方程都与候选波动率σψ有关。引理5.3。Asψ↓ 0，均匀in（t，s，y）∈ D、 wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s），σψ（t，s，y））=O（ψ），（5.25）wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），σψ（t，s，y））=O（ψ）。（5.26）证明。当f是Cin时，泰勒定理与（2.12）yieldsf（t，s，y；）=f（t，s，y；(R)σ（t，s））（- \'（t，s））+f（3）（t，s，y；\'（t，s））（- (R)σ（t，s））+f（4）（t，s，y；L）（- σ（t，s））（5.27）对于σ（t，s）和之间的一些L=L（t，s，y；）∈ [0，K]。回想一下，f（4）由（3.11）统一限定。

因此，使用（5.27）作为候选σψ（t，s，y），我们得到↓ 0，均匀in（t，s，y）∈ D、 ψf（t，s，y；σψ（t，s，y））=f（t，s，y；(R)σ（t，s））eσ（t，s，y）ψ+f（3）（t，s，y；(R)σ（t，s））eσ（t，s，y）ψ+O（ψ）。利用这一点，可以很容易地从wψ和Hψ的定义中看出，（5.25）–（5.26）的左侧减少为ψ中的多项式，直至O（ψ）阶。使用我们的有界性假设，也可以直接检查这些多项式的所有系数是否统一绑定在（t，s，y）中∈ D、 因此，必须检查O（1）、O（ψ）和（5.26）项的系数是否消失。我们可以很容易地验证O（1）项总是存在偏差，并且O（ψ）项在这两种情况下都会减少到ew的PDE（3.2）。最后，在（5.26）的情况下，长时间的计算表明，对于bw，O（ψ）项减少到PDE（3.3）。接下来，如果我们分别插入（5.1）中的领先顺序候选策略和候选波动率，我们将分析相关的最小和最大哈密顿量。引理5.4。存在常数C>0和ψ>0，因此，对于每个（t，s，y）∈ D和ψ∈ （0，ψ）：wψt（t，s，y）+inf∈[0，K]Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s），）≥ -Cψ，（5.28）wψt（t，s，y）+inf∈[0，K]Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），）≥ -Cψ，（5.29）wψt（t，s，y）+supθ∈RHψ（t，s，y；θ，σψ（t，s，y））≤ Cψ。（5.30）证明。我们首先推导了Hψ关于θ和的二阶偏导数的一致界。在引理5.2的证明中（参见（5.22）），有ψ∈ （0，1）对于所有（t，s，y）∈ D和ψ∈ （0，ψ），我们有wψyy（t，s，y）≤ -ε。与（3.10）–（3.11）和（5.3）一起，这意味着K>0，因此对于所有（t，s，y）∈ D、 ψ∈ （0，ψ），eθ∈ R、 和∈ [0，K]，Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，）=ψU（y）f（t，s，y；）- s'Vss（t，s）wψy（t，s，y）ψ+swψss（t，s，y）+2eθψwψsy+eθψwψyy（t，s，y）≤Kψ。