（5.31）鉴于（5.3），如有必要，选择Klarger，我们也有（t，s，y）∈ D、 ψ∈ （0，ψ），θ∈ R、 和∈ [0，K]，Hψθ（t，s，y；θ，）=swψyy（t，s，y）≥ -K、 （5.32）如有要求，可向作者提供包含这些计算的数学文件。还请注意，通过（3.6）和（3.8）中eθ的定义，L>0使得| eθ|≤ 如果必要，选择ψ较小，我们也可以假设引理5.1–5.2的估计（5.9）和（5.19）（值为L）适用于ψ∈ （0，ψ），使用引理5.3，C>0，对于所有（t，s，y）∈ D和ψ∈ （0，ψ），wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s），σψ（t，s，y））≤ Cψ，（5.33）wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），σψ（t，s，y））≤ Cψ。（5.34）我们从（5.28）–（5.29）的证明开始。固定（t、s、y）∈ D、 ψ∈ （0，ψ），andeθ∈ [-五十、 L]并定义函数h：[0，K]→ R乘以h（）=hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，）。Letψ*= ψ*（t，s，y，eθ）是引理5.1中h的最小值。围绕ψ展开h（σψ）*并使用一阶条件（5.8）给出sh（σψ）=h（ψ*) +Hψ（L）（σψ）- ψ*)（5.35）对于σψ=σψ（t，s，y）和σψ之间的一些L=L（t，s，y，eθ；ψ）*. 重新排列（5.35）并使用（5.31）和（5.9）得到h（ψ*) ≥ h（σψ）-KCψ。我们得出结论，对于所有（t，s，y）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]和ψ∈ （0，ψ），Hψ（t，s，y；’Vs（t，s）+eθψ，ψ*（t，s，y，eθ））≥ Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，σψ（t，s，y））-KCψ。（5.36）将（5.36）选项eθ=eθ（t，s，y）与（5.34）yieldswψt（t，s，y）+inf组合∈[0，K]Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），）=wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），ψ*（t，s，y，eθ（t，s，y）））≥ wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，σψ（t，s，y））-KCψ≥ -C+KCψ。这证明了（5.29）。（5.28）类似于（5.36），Eθ=0和（5.33）。（5.30）的证明几乎一字不差地重复了前一段，并交换了θ和σ的角色。我们给出它是为了完整性。

固定（t、s、y）∈ D和ψ∈ （0，ψ）并定义函数h:R→ R乘以h（θ）=hψ（t，s，y；θ，σψ（t，s，y））。Letθψ*= θψ*（t，s，y）是引理5.2中h的最大值。围绕θψ展开h（θψ）*并使用一阶条件（5.18）给出（θψ）=h（θψ*) +Hψθ（θL）（θψ）- θψ*)（5.37）对于θψ=θψ（t，s，y）和θψ之间的一些θL=θL（t，s，y；ψ）*. 重新排列（5.37）并使用（5.32）和（5.19）得到h（θψ*) ≤ h（θψ）+KCψ。我们得出结论，对于所有（t，s，y）∈ D和ψ∈ （0，ψ），Hψ（t，s，y；θψ*（t，s，y），σψ（t，s，y））≤ Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），σψ（t，s，y））+KCψ。（5.38）将（5.38）与（5.34）相结合，通过ψt（t，s，y）+supθ证明（5.30）∈RHψ（t，s，y；θ，σψ（t，s，y））=wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；θψ*（t，s，y），σψ（t，s，y））≤ wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），σψ（t，s，y））+KCψ≤C+KCψψ、 5.1.2下限（5.5）在证明下限（5.5）之前，我们还需要两个初步结果。提案5.5。Fix（θ，σ，P）∈ S、 （i）设ρ：=inf{t∈ [0，T]：St6∈ （K）-1，K）}∧ 这是S第一次离开（K-1，K）。ρ是一个停止时间，对于每个ψ>0:U（YT）=wψ（ρ，Sρ，Yρ）P-a.S.（5.39）（ii）在P，R·（θt）下Y的正则分解的局部鞅部分-\'\'t） dSt，isa有界P鞅。证据（i） ：很容易证明ρ是（非增强、非右连续）过滤F的停止时间。这使用了S的所有路径都是连续的和（K-1，K）打开；参见[46，问题2.7]。证明（5.39），fix（θ，σ，P）∈ S和ψ>0。在{ρ=T}上，（3.2）–（3.3）yieldU（YT）=wψ（T，ST，YT）=wψ（ρ，Sρ，Yρ）P-a.S中ew和bw的终止条件∈ {K-1，K}和ew和bw的边界条件产生wψ（ρ，Sρ，Yρ）=U（Yρ）P-a.S。

仍然需要证明的是，Yρ=YTP-a.s.从（2.10）P下Y的动力学：Y=Y+Z·（θt-\'Vs（t，St））-dSt+Z·St\'Vss（t，St）（\'σ（t，St））- σt）dt。根据S的定义，S是P下的局部鞅。根据（3.1），S是偶数-1，K]-P下的值martingale。因此，S在达到K后必须保持不变-1或K。尤其是Y动力学中的局部鞅项在ρ之后是常数。此外，S是常数，在时间ρ之后具有常数的二次变化，因此通过（2.11），σtSt=0 dt×P-a.e。{（t，ω）：t≥ ρ（ω）}。以及假设（3.9）(R)σ（·，K）≡ \'\'σ（·，K-（1）≡ 0，这意味着Y的动力学漂移项在时间ρ之后也保持不变。因此，Yρ=YTP-a.s.（ii）：通过（3.1），Y和σ有界。此外，通过（3.10），St'Vss（t，St）有界于{（t，ω）：t<ρ（ω）}上的dt×P-a.e。由于我们还从第（i）部分的证明中知道，在时间ρ之后，Ystays的漂移部分是常数，因此我们得出结论，漂移部分是有界的。因此，局部鞅部分也是有界的。引理5.6。有一个常数C>0，这样，对于每个ψ∈ （0，ψc），σ∈ 五、 和P∈ P（θψ，σ）满足jψ（σ，P）≤ infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）+1，（5.40）我们有P[τ<T]≤ Cψ（5.41）表示定理3.4中定义的停止时间τ。证据作为辅助结果，我们首先证明存在一个常数C>0，这样，对于每个ψ∈ （0，ψc），σ∈ 五、 和P∈ P（θψ，σ）满足（5.40），我们有EPZρ（σt- \'（t，St））dt≤ Cψ，（5.42），其中ρ是S离开（K）的第一次-1，K）。为此，First fix（t、s、y）∈ D、 扩展函数[0，K]37→ f（t，s，y；）在|σ（t，s）附近，利用最小条件（2.12），我们得到f（t，s，y；）=f（t，s，y；L（t，s，y；））（- 对于某些L（t，s，y；），σ（t，s））∈ [0，K]。

那么假设K≤ F≤ （3.11）给定skf（t，s，y；）中D×[0，K]上的K≤ （- \'σ（t，s））≤ 2Kf（t，s，y；），（t，s，y）∈ D、 ∈ [0，K]。还可以使用U（y）为正、有界且在y上远离零有界∈ （yl，yu），则有一个常数K>0，使得K（）- \'σ（t，s））≤ U（y）f（t，s，y；）≤ K（）- \'（t，s）），（t，s，y）∈ D、 ∈ [0，K]。（5.43）接下来，设置C：=T（K）KψC+K（U（yu）+1- U（yl））和fixψ∈ （0，ψc），σ∈ 五、 andP公司∈ P（θψ，σ）。此外，选择任意Pψ∈ P（θψ，σψ）。一方面，使用（5.43）中的左手不等式，在（2.13）和（5.40）中定义JψZρ（σt- \'（t，St））dt≤ KψEPψZρU（Yt）f（t，St，Yt；σt）dt≤ Kψ（Jψ（σ，P））- EP【U（YT）】）≤ Kψinfσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）+1- U（yl）.（5.44）另一方面，首先使用σψ∈ 五、 然后是（5.43）中的右手不等式，我们得到了infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）≤ J（σψ，Pψ）=EPψ“ψZTU（Yt）f（t，St，Yt；σψt）dt+U（Yt）#≤KψEPψ“ZTσψt- \'σ（t，St）dt#+U（yu）。（5.45）鉴于（5.1）、（3.7）和（3.9）–（3.12），我们发现σψt- \'σ（t，St）= |eσ（t，St，Yt）|ψ=\'\'σ（t，St）St\'\'Vss（t，St）f（t，St，Yt；\'\'σ（t，St））ψ≤ Kψdt×Pψ-a.e.将其与（5.44）–（5.45）相结合，得到（5.42）viaEPZρ（σt- \'（t，St））dt≤ KψKψT Kψ+U（yu）+1- U（yl）≤T（K）Kψc+K（U（yu）+1- U（yl））ψ=Cψ。为了证明（5.41），首先请注意，根据（3.6）中eθ的定义以及我们对ew和U的假设，存在一个常数L>0（仅取决于K、yl、yu和U），使得| eθ|≤ 此外，根据It^o过程的标准估计（参见[60，引理V.11.5]），存在一个常数C>0（仅取决于T），使得EPsup0≤T≤ρ| Yt- y型|≤ CEP“Zρθψt-(R)Vs（t，St）Stσt+St'Vss（t，St）（'σ（t，St）- σt）!dt#。现在，设置C：=CT LKψC+CKCand fixψ∈ （0，ψc），σ∈ 五、 和P∈ P（θψ，σ）满足（5.40）。

请注意，根据（3.1）和（3.9）–（3.10），θψt-(R)Vs（t，St）σtSt=eθ（t，St，Yt）1{t<τ}ψStσt≤ LψK，St'Vss（t，St）（'σ（t，St）- σt）≤K |σ（t，St）+σt | |σ（t，St）- σt|≤ K |σ（t，St）- σt | dt×P-a.e.{（t，ω）：t<ρ（ω）}。回想一下，Y在时间ρ之后保持不变。因此，马尔可夫不等式、上述估计和辅助估计（5.42）得出结论：P[τ<T]≤ P[τ≤ ρ]≤ Psup0≤T≤ρ| Yt- y型|≥ 1.≤ EP公司sup0≤T≤ρ| Yt- y型|≤ CTLψK+ CKEP公司Zρ（(R)σ（t，St）- σt）dt≤CT LKψc+CKCψ=Cψ。引理5.7。Asψ↓ 0，不等式（5.5）成立：infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）≥ wψ+o（ψ）。证据固定ε>0。选择足够大的C>0和ψ∈ （0，ψc）足够小，因此我们可以使用引理5.4和5.6的断言。此外，如果必要，选择更小的ψ，我们可以假设T C（ψ+Cψ）≤ε和εψ≤ 1、固定ψ∈ （0，ψ）。我们需要证明infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）- wψ≥ -εψ。选择σ∈ V和P∈ P（θψ，σ），使得Jψ（σ，P）≤ infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）+εψ（特别是引理5.6的条件（5.40）成立，因此我们可以在后面使用（5.41））。然后输入σ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）- wψ≥ Jψ（σ，P）- wψ-εψ。（5.46）设ρ为S离开（K）的第一次-1，K）。根据命题5.5（i），U（YT）=wψ（ρ，Sρ，Yρ）P-a.S。结合（2.13）中Jψ的定义，它是过程wψ（t，St，YT）（直到时间ρ）的公式，以及描述P下S和Y的动力学的公式（2.10）和（2.11）（θ替换为θψ），我们得到了Jψ（σ，P）- wψ≥ EP公司Zρwψs（t，St，Yt）dSt+Zρwψy（t，St，Yt）（θψt-\'\'t） dSt公司+ EP公司Zρwψt（t，St，Yt）+Hψ（t，St，Yt；θψt，σt）dt公司,（5.47），其中Hψ是（5.4）中定义的哈密顿量。我们声称，（5.47）右侧第一个期望值内的两个随机积分都是P下的真鞅。首先，回想一下SandR·（θψt-\'\'t） P下的dStare有界鞅；参见提案5.5（ii）。由于wψsand wψyare以（5.3）为界，因此如下所述。

因此，（5.47）中的第一个期望值消失了，它仍然需要估计第二个项。将dt积分拆分为两部分，用τ分隔∧ ρ、 在{t<τ}上使用θψt=θψ（t，St，Yt），在{t上使用θψt=(R)Vs（t，St）≥ τ}，并应用（5.29），（5.28）和，在次乘不等式（5.41）中，我们得到jψ（σ，P）- wψ≥ -EP公司Zρ∧τCψdt+Zρρ∧τCψdt≥ -T Cψ（ψ+P[τ<T]）≥ -T Cψ（ψ+Cψ）≥ -εψ。（5.48）结合（5.48）和（5.46）完成证明。5.1.3上界（5.6）引理5.8。Asψ↓ 0，不等式（5.6）成立：supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）≤ wψ+o（ψ）。这个证明类似于引理5.7的证明，但更简单。证据固定ε>0。选择足够大的C>0和ψ∈ （0，ψc）足够小，因此我们可以使用引理5.4的断言。此外，如果必要，选择更小的ψ，我们可以假设T Cψ≤ε。固定ψ∈ （0，ψ）。我们需要证明supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）- wψ≤ εψ。选择θ∈ 这样的infP∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）+εψ≥ supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）和fixany P∈ P（θ，σψ）。Thensupθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）- wψ≤ Jψ（σψ，P）- wψ+εψ。（5.49）设ρ为S离开（K）的第一次-1，K）。回想命题5.5（i）的证明，S必须保持不变（在K-1或K）在时间ρ之后（因为它是[K-1，K]-值P-鞅）。因此，{t上的σψt=(R)σ（t，St）=0≥ ρ} 根据（5.1）和（3.12）。那么{t上的f（t，St，Yt；σψt）=0≥ ρ} by（2.12）和thusJψ（σψ，P）=EPψZρU（Yt）f（t，St，Yt；σψt）dt+U（Yt）.利用这一点并按照引理5.7的证明进行，我们得到了jψ（σψ，P）- wψ=EPZρwψs（t，St，Yt）dSt+Zρwψy（t，St，Yt）（θt-\'\'t） dSt公司+ EP公司Zρwψt（t，St，Yt）+Hψ（t，St，Yt；θt，σψt）dt公司.（5.50）根据引理5.7证明中的相同论点，（5.50）中的第一个期望值消失，剩下来估计第二项。使用引理5.4 yieldsJψ（σ，P）中的（5.30）- wψ≤ EP公司ZρCψdt≤ T Cψ≤εψ。

（5.51）结合（5.51）和（5.49）完成证明。5.2 Feynman–科航代表对提案3.6的证明。固定（t，s）∈ [0，T]×[K-1，K]和letˇ′σ（u，·）：R→ R是σ（u，·）|（K）的连续延伸-1，K）至R，每个u∈ [0，T]。通过（3.9），也可以选择σ有界。因此，一个标准结果（例如，参见[43，定理21.9和21.7]）产生了SDEdˇSu=ˇSuˇσ（u，ˇSu）dˇWu，ˇSt=s.（5.52）的弱解的存在，即存在一个过滤概率空间（ˇOhm,ˇF，ˇP）支持布朗运动W和过程S=（Su）u∈[t，t]令人满意（5.52）。现在，定义过程S=（Su）u∈【t，t】通过Su=ˇSρ∧uwhereρ：=inf{u∈ 【t，t】：Su6∈ （K）-1，K）}∧ T是S第一次离开（K-1，K）。因此，Sevolves类似于ˇS，但一旦到达K就会停止-1或K。在{K上使用'σ（u，·）=0-1，K}通过（3.9），很容易证明S具有参考动力学，即dSu=Su'σ（u，Su）dˋWu，St=S。下一步，x y∈ （yl，yu）。将It^o公式应用于ew（u，Su，y）（直到时间ρ），并使用（3.2）中ew的终端和边界条件，得出0=ew（ρ，sρ，y）=ew（t，s，y）+Zρtews（u，Su，y）dSu+Zρtewt（u，Su，y）+σ（u，Su）Suewss（u，Su，y）杜。用PDE（3.2）代替漂移项和重排列项，我们得到了新的（t，s，y）=-Zρtews（u，Su，y）dSu+Zρteg（u，Su，y）du。（5.53）使用我们的定义，例如（t，s，y）=0表示s∈ {K-1，K}（参见（3.12））和S稳定常数（在K-1或K）在时间ρ之后，我们可以用T替换（5.53）中最后一个积分的上限。此外，根据|σ和ews的有界性（参见（3.8）），随机积分是|P下的鞅。因此，取（5.53）中的期望值得到费曼-卡茨表示法（3.14）（其中，如果Su∈ {K-5.3概率情景的存在性定理3.8的证明。为了证明第一个断言，fix（θ，σ）∈ A×V。

目标是在某个概率空间上构造连续的、自适应的过程(Ohm, F、 F，P）满足（3.1）以及asSt=s+ZtSuσu（（s，Y））dWu，（5.54）Yt=Y+Zt（θu（（s，Y））-“Vs（u，Su））dSu+Zt（Su）”Vss（u，Su）\'σ（u，Su）- σu（（S，Y））du，（5.55）对于布朗运动W。将其与（2.10）–（2.11）进行比较，我们可以看到图像测量值：=Po （S，Y）-1开(Ohm, F） 然后满足（θ，σ，P）∈ S、 我们的工作如下。注意，通过（3.20），Y的扩散系数在时间τ变为0。因此，我们首先应用一般存在性结果来获得时间τ之前的弱解，忽略Sor y可能超过界限的时刻（3.1）。然后我们利用定理B.1在时间τ之后扩展过程。最后，我们可以在第一次离开时停止扩展过程（K-1，K）获取（S，Y）的候选项。首先，介绍切割函数h:R→ [K]-1，K]，h（s）：=（s∧ K）∨ K-1，记住θ和σ的形式分别为（3.20）和（3.21）。考虑SDES（1）t=s+Zth（s（1）u）'σ（u，s（1）u，Y（1）u）dWu，（5.56）Y（1）t=Y+Ztθu（（s（1），Y（1）））h（s（1）u）'σ（u，s（1）u，Y（1）u）dWu+Zth（s（1）u）Vss（u，h（1）u））ˇσ（u，h（S（1）u））- \'σ（u，S（1）u，Y（1）u）du，（5.57），其中\'Vssand\'σ是\'Vss的Lipschitz连续扩展，\'σ：（0，T）×（K-1，K）→ R到闭合[0，T]×K-1，K]。根据我们的假设，该SDE的漂移和扩散系数在Ohm 对于每个固定u∈ （0，T）。因此，SDE有一个弱解（参见，例如，【43，定理21.9和21.7】）。换句话说，存在一个过滤的概率空间(Ohm, F、 F，P）携带（P，F）-布朗运动棒连续，F-适应过程（1），Y（1）满足（5.56）–（5.57）。回想一下，τ是F-停止时间(Ohm, F） 。

将定理B.1应用于X（1）：=（S（1），Y（1））和F停止时间τ，存在一个F适应过程X（2）=（S（2），Y（2）），满足S（2）t=S+Zth（S（2）u）'σ（u，S（2）u，Y（2）u）dWu，Y（2）t=Y+Ztθu（（S（2），Y（2）））h（2）u）'σ（u，S（2）u，Y（2）u）1'{u<τ（X（1））}dWu+Zth（S（2）u）ˉVss（u，h（S（2）u））ˇσ（u，h（S（2）u））- \'σ（u，S（2）u，Y（2）u）du；注意，只有Y分量的扩散系数在时间τ（X（1））后设置为0，剩余的漂移和扩散系数在所有变量中一致有界且Lipschitz连续。接下来，定义X=（S，Y）by St：=S（2）t∧ρ（X（2））和Yt：=Y（2）t∧ρ（X（2）），其中ρ：=inf{t∈ [0，T]：St6∈ （K）-1，K）}∧ T是S第一次离开（K-1，K）；注意，ρ是anF停止时间on(Ohm, F） 。然后st=s+Zth（Su）'σ（u，Su，Yu）1{u<ρ（X（2））}dWu，（5.58）Yt=y+Ztθu（（s，y））h（Su）'σ（u，Su，Yu）1{u<τ（X（1））}{u<ρ（X（2））}dWu+Zth（Su）ˇVss（u，h（Su））ˇσ（u，h（Su））- 'σ（u，Su，Yu）{u<ρ（X（2））}du。（5.59）现在注意到在{u<ρ（X（2））}上，Su∈ （K）-1，K），so h（Su）=Su，ˉσ（u，Su）=σ（u，Su）和ˉVss（u，Su）=Vss（u，Su）。此外，对于每个ω∈ Ohm, 当X（1）u（ω）=X（2）u（ω）表示u≤ τ（X（1）（ω））通过X（2）的构造，Galmarino的检验【18，定理IV.100】表明τ（X（1）（ω））=τ（X（2）（ω））。同样，我们发现ρ（X（2））=ρ（X）。将这些观察结果与（5.58）–（5.59）Yieldst=s+ZtSu'σ（u，Su，Yu）1{u<ρ（X）}dWu，（5.60）Yt=y+Ztθu（（s，y））Su'σ（u，Su，Yu）1{u<（τ∧ρ） （X（2））}dWu+Zt（Su）(R)Vss（u，Su）\'σ（u，Su）- 'σ（u，Su，Yu）{u<ρ（X）}du。（5.61）首先，注意'σ（u，Su，Yu）1{u<ρ（X）}=σu（（S，Y））乘以（3.21），并且Sstays constantafter已经达到K-1或K.特别是，根据需要提供信息（5.54）。接下来，让我们分析（5.61）中的漂移项。为此，请注意{u≥ ρ（X）}，Su=Sρ（X）∈ {K-1，K}，so'σ（u，Su）=0乘以（3.9）。因此，漂移项可以重写为zt（Su）(R)Vss（u，Su）\'σ（u，Su）- σu（（S，Y））Du符合（5.55）。

最后，让我们看看（5.61）中的差异项。τ∧ ρ是Fstopping time on(Ohm, F） 。此外，对于每个ω∈ Ohm, as X（2）u（ω）=u的Xu（ω）≤ ρ（X（2）（ω））通过X的构造，Galmarino检验表明（τ∧ ρ） （X（2）（ω））=（τ）∧ ρ） （X（ω））。利用这一点，（5.61）中的扩散项可以重写为Ztθu（（S，Y））1{u<τ（X）}Su'σ（u，Su，Yu）1{u<ρ（X）}dWu=Ztθu（（S，Y））-？Vs（u，Su）dSu，我们在最后一步中使用（3.20）和（5.60）。这表明Ysatis fies（5.55）符合要求。仍需检查（S，Y）是否未离开[K-1，K]×（yl，yu）。很明显，Sevolvesin[K-1，K]因为（5.54）中的扩散系数在达到K后立即设置为零-1或K.关于Y，我们从τ的定义中看到，（5.55）中的扩散系数设置为0，即| Y- y |=1。此外，利用（3.10）和所有波动率取[0，K]的事实，（5.55）中漂移项的绝对值以kT为界。因此，Yevolvesin【y】- 1.-KT，y+1+KT] （yl，yu）。这就完成了OREM 3.8中第一个断言的证明。对于第二个断言，我们必须证明（θψ，σψ）∈ A×vf或ψ>0足够小。回想定理3.4，θψt=(R)Vs（t，St）+eθ（t，St，Yt）1{t<τ}ψ，σψt=(R)σ（t，St）+eσ（t，St，Yt）ψ，其中eθ（t，s，y）=ews（t，s，y）+U（y）U（y）U（y）ewsy（t，s，y），eσ（t，s）s'Vss（t，s）f（t，s，y；(R)σ（t，s））。在我们的假设下，对于任何ψ>0的情况，θt：=eθ（t，St，Yt）ψ显然是渐进可测的，并且作为[0，t]×上的函数是有界和连续的Ohm. 因此，θψ∈ A、 设置'σ（t，s，y）：='σ（t，s）+eσ（t，s，y）ψ，我们可以写σψt='σ（t，St，Yt）1{St∈（K）-1，K）}因为{K上的'σ（t，·）=0-1，K}乘以（3.9）。看到σψ∈ 五、 因此，我们必须检查'σ（t，s，y）在（0，t）×（K）上是Lipschitz连续的-1，K）×（yl，yu）（然后可以将其扩展为[0，T]×R上的Lipschitzcontinuous函数），并取[0，K]中的值。

eσ的Lipschitz连续性来自我们的假设（这特别使用thatK≤ F≤ K来自（3.11））。因此，\'σisLipschitz也是连续的。此外，eσ是有界的。结合（3.9），我们得出结论，当ψ>0足够小时，σψ取[0，K]中的值。以下结果是隐式函数定理的扩展，允许定义函数依赖于参数。特别是，它为隐式定义函数的一阶和二阶导数提供了与参数无关的界限。引理A.1。设∧6= 是一个集合和R的U，V开子集。对于每个λ∈ ∧，设Fλ：U×V→ 随机yλ：U→ V是fλ（x，yλ（x））=0，x的两次连续可微函数∈ U、 （A.1）如果常数M>1和M≥ 0，使每个λ∈ ∧和全部（x，y）∈ U×V，Fλx（x，y）,Fλx（x，y）≤ M+M | y |，Fλ十、y（x，y）,FλY≤ MFλy（x，y）≥M、 （A.2）然后有一个常数M>0，使得对于所有λ∈ ∧和x∈ U，| yλ（x）|≤fM（1+M | yλ（x）|）和| yλ（x）|≤fM（1+M | yλ（x）|+M | yλ（x）|）。此外，如果FλY≡ 0，则对于所有λ∈ ∧和x∈ U、 | yλ（x）|≤fM（1+M | yλ（x）|）。证据取（A.1）对x收益率的导数Fλx（x，yλ（x））+Fλy（x，yλ（x））yλ（x）=0，λ∈ ∧，x∈ U、 （A.3）求解yλ（x）并使用边界（A.2），然后得出| yλ（x）|≤ M（M+M | yλ（x）|），λ∈ ∧，x∈ U、 （A.4）取（A.3）中的导数，我们得到所有x∈ UFλx（x，yλ（x））+2Fλ十、y（x，yλ（x））yλ（x）+Fλy（x，yλ（x））（yλ（x））+Fλy（x，yλ（x））yλ（x）=0。同样，求解yλ（x）并使用边界（A.2）和（A.4）得到| yλ（x）|≤ M（1+M | yλ（x）|+M | yλ（x）|），λ∈ ∧，x∈ U、 （A.5）对于一些非常大的常数M。

最后，如果FλY≡ 0，很容易看出（A.5）中的二次项消失了。B随机微分方程Fix一个抽象的过滤概率空间(Ohm, F、 F=（英尺）t≥0，P）携带r维布朗运动W=（Wt，…，Wrt）t≥本节的目的是证明一类随机微分方程（SDE）解的存在性，其系数在停止时间发生变化。更精确地说，我们考虑形式为xt=ξ+Ztσ（s，X）dWs+Ztb（s，X）ds，t的SDE≥ 0，（B.1），其中ξ是Rd值F-可测随机向量，X=（Xt，…，Xdt）t≥0是Rd中的连续半鞅，σ（s，X）=σ（1）（s，X）1{s<τ（X）}+σ（2）（s，Xs）1{s≥τ（X）}，（B.2）B（s，X）=B（1）（s，X）1{s<τ（X）}+B（2）（s，Xs）1{s≥τ（X）}。这里，τ是由C（R+；Rd）上的正则过程诱导的过滤的停止时间，σ（1），b（1）是R+×C（R+；Rd）上的函数，对于相同的过滤是渐进的，σ（2），b（2）是R+×Rd上的可测函数；所有辅酶域都具有合适的尺寸。首先，请注意，我们不能将一般存在性结果直接应用于系数σ和b，因为停止时间τ通常不是C（R+；Rd）上的连续函数。然而，如果这两组系数分别存在解，则这种类型的SDE当然是存在的。显而易见的想法是求解第一组系数的SDE，在τ处停止求解，然后用第二组系数求解SDE。这可以精确到如下：定理B.1。假设进程X（1）打开(Ohm, F、 F，P）满意度（1）t=ξ+Ztσ（1）（s，X（1））dWs+Ztb（1）（s，X（1））ds，t≥ 0

（B.3）此外，假设存在常数K>0，使得对于所有t，t≥ 0和x，x∈ Rd，|σ（2）（t，x）- σ（2）（t，x）|+| b（2）（t，x）- b（2）（t，x）|≤ K |（t，x）- （t，x）|，（B.4）|σ（2）（t，x）|+| B（2）（t，x）|≤ K（1+|（t，x）|）（B.5），其中|·|表示适当维度中的欧几里德范数。然后有一个连续的、F适应的、Rd值的过程X满足（B.1）。证据时间^τ：=τ（X（1））之前的解已经给出。要在时间^τ之后构建解决方案的部分，请考虑时移滤波BF=（bFt）t≥0定义为BFT=F^τ+t，以及时移（bF，P）-布朗运动CW=（cWt）t≥0由CWT定义：=W^τ+t- W^τ。根据我们的假设（B.4）–（B.5），SDEbYt的系数=bXbA！t=ζ+Ztσ（2）（bAs、bXs）dcWs+Ztb（2）（bAs、bXs）ds。充分利用标准Lipschitz和线性增长假设，确保Rd+1中任意BF可测随机向量ζ存在aP-a.s.唯一强解。特别是，对于初始条件ζ：=（X（1）^τ，^τ），存在anbF渐进过程by=（bX，bA）。显然，bAt=^τ+t起着移位时间变量的作用。现在，一个简单的时间变化会产生x（2）t：=bXt-^τ{t≥^τ}是F-累进的，满足（2）t=X（1）^τ+Zt^τσ（2）（s，X（2）s）dWs+Zt^τb（2）（s，X（2）s）ds on{t≥ ^τ}。（B.6）最后，我们验证了过程Xt：=X（1）t{t<τ}+X（2）t{t≥^τ}是原始数据集（B.1）的解决方案。当X（2）^τ=X（1）^τ时，Xt=X（1）t∧^τ+X（2）t∨^τ- X（2）^τ。插入（B.3）和（B.6）给定x t=ξ+Zt∧^τσ（1）（s，X（1））dWs+Zt∧^τb（1）（s，X（1））ds+Zt∨^τ^τσ（2）（s，X（2）s）dWs+Zt∨ττb（2）（s，X（2）s）ds=ξ+Ztσ（1）（s，X（1））1{s<τ}dWs+Ztb（1）（s，X（1））1{s<τ}ds+Ztσ（2）（s，X（2）s）1{s≥^τ}dWs+Ztb（2）（s，X（2）s）1{s≥^τ}ds。（B.7）As X（1）s=Xson{s≤ Galmarino的检验表明，τ=τ（X（1））=τ（X）。此外，由于σ（1）是渐进的，σ（1）（s，X（1））只取决于X（1）到时间s的路径。

利用（B.2）中σ的定义，我们得到σ（1）（s，X（1））1{s<τ}+σ（2）（s，X（2）s）1{s≥^τ}=σ（s，X）。利用这一点和漂移系数的类似陈述，我们从（B.7）中可以看出X是（B.1）的解。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer，资产定价基础理论和超级复制定理的无模型版本，数学。《金融》26（2016），第2期，233–251。[2] H.Ahn、A.Muni和G.欺诈、指定错误的资产价格模型和稳健对冲策略，应用。数学《金融学》4（1997），第1期，第21-36页。[3] ，错误资产价格模型的最优对冲策略，应用。数学《金融》第6期（1999），第3期，197-208页。[4] M.Avellanda和R.Buff，《非线性不确定波动率模型的组合含义：障碍期权案例》，应用。数学《金融学》6（1999），第1、1-18号。[5] M.Avellanda、C.Friedman、R.Holmes和D.Samperi，通过相对性最小化校准挥发性表面，应用。数学《金融学》4（1997），第1期，第37-64页。[6] M.Avellanda、A.Levy和A.Paras，《波动性不确定市场中衍生证券的定价和对冲》，应用。数学《金融2》（1995），第2期，73-88页。[7] M.Avellanda和A.Paras，《管理衍生证券投资组合的波动性风险：洛杉矶不确定波动性模型》，Appl。数学《金融3》（1996），第1期，第21-52页。[8] M.Beiglb"ock、P.Henry Labordère和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限——聚集运输法》，金融斯托赫。17（2013），第3号，477–501。[9] D.Bertsimas、L.Kogan和A.Lo，时间是连续的吗？，J、 财务部。经济。55（2000），第2173–204号。[10] S.Biagini、B.Bouchard、C.Kardaras和M.Nutz，《连续过程的鲁棒基本定理》，数学。《金融》（2016年以上），即将出版。[11] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，Ann。应用程序。概率。

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