具有小不确定性厌恶的套期保值

2022-5-25 07:36:10

具有小不确定性厌恶的套期保值*Sebastian Herrmann+Johannes Muhle KarbeFrank Thomas Seifried§Abstracts我们研究衍生证券的定价和套期保值，以及相关资产波动性的不确定性。我们没有同等认真地对待预先指定类别的所有模型，而是根据它们与参考局部波动率模型的“距离”来惩罚不太合理的模型。在对小不确定性厌恶的限制下，这导致了根据证券的现金伽马，明确的价格公式和对冲策略。波动性；不确定性；歧义厌恶；期权定价和套期保值；渐近性。AMS MSC 2010初级，91G20，91B16；次级，93E20。JEL分类G13、C61、C73。1简介金融市场上的价格最终由人的决定决定。因此，每个quantitativemodel充其量都是一个有用的近似值。此外，即使给定模型非常适合特定应用，其参数通常也无法以任意精度估计，并且可能由于不可预测的冲击而突然改变。因此，评估模型不确定性的影响并得出明确考虑它的决策规则至关重要。本研究针对衍生工具的估值和套期保值问题，对基础资产的波动性具有不确定性。现存文献中使用最广泛的方法是所谓的不确定波动率模型（UVM），可以追溯到Vellaneda、Levy、Parás[6]和Lyons[48]的开创性论文。在这里，经典环境中使用的单一概率模型被一整类不同的备选方案所取代。这些都是用最坏情况的方法进行评估的，既考虑到给定模型中固有的“风险”，也考虑到应该首先应用哪个模型的“奈特不确定性”。

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2022-5-25 07:36:14

更具体地说，UVM仅假设真实波动率在一个范围内[σmin，σmax]演变，而不对其动力学进行任何假设。在这种情况下，人们试图确定在任何可能的模型下消除所有下行风险的最便宜的对冲，对应于对风险和不确定性的最终厌恶。这种方法非常适合确定普遍的无套利界限，并启动了大量的研究；参见【36、37、27、19、38、1、8、55、59、10、20、29、57、11、42】及其参考文献。然而，从其定义来看，它也是非常保守的：除非给定的模型是先验规则，否则它的处理方式与最合理的替代方案完全相同，比如从市场价格或统计程序得出的点估计。如果波动率区间选择得很宽，那么最坏情况下的方法引起的买卖价差非常大，并且市场*作者感谢Ibrahim Ekren、Paolo Guasoni、Martin Herdegen、David Hobson、Jan Kallsen、Ariel Neufeld、Marcel Nutz、Oleg Reichman、Martin Schweizer和H.Mete Soner进行了富有成效的讨论，并感谢两位裁判和一位副编辑发表了有益的评论。+ETH Zürich，数学系，R"amistrasse 101，CH-8092 Zürich，瑞士，电子邮件sebastian。herrmann@math.ethz.ch.感谢瑞士金融研究所提供的财政支持密歇根大学数学系，530 Church Street，Ann Arbor，MI 48109，USA，emailjohanmk@umich.edu.§第四系-数学，Universit"at Trier，Universit"atsring 19，D-54296 Trier，Germany，电子邮件seifried@uni-特里尔。de.一种相关的方法是Mykland的“保守三角洲对冲”[52，53]。在任何竞争环境中，引用这些买卖价格的制造商都不会找到客户。

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2022-5-25 07:36:16

如果一方为了获得具有竞争力的价格而收紧波动率区间，那么真实波动率偏离区间的风险就会增加。最后，最坏情况下的方法往往只以一种“砰砰”的方式将公司对波动性的特殊敏感性结合起来。例如，看涨期权的要价总是等于Black-Scholes价格，波动率等于最大值σmax。即使基础价格远离行使，期权对波动率变化的敏感性很低，这一点仍然成立。对模型不确定性持更细微的态度应该反映出，在套期保值的背景下，代理人通常更关心波动性在重要的时候的特殊性，也就是说，如果期权价值对波动性的敏感性很高。为了解决这些问题，我们可以考虑在经典方法和最坏情况方法之间插入的偏好，根据其合理性权衡不同的模型。Maccheroni、Marinacci和Rustichini【49】为此类标准提供了决策理论和公理基础。他们表明，厌恶不确定性的决策者根据以下形式偏好的数字表示对薪酬进行排名：infPEP[U（Y）]+α（P）. （1.1）在此，效用函数U和惩罚函数α分别描述了决策者对风险和不确定性的态度。一种解释是，决策者的行为就像面对一个恶意的对手（“大自然”），后者利用自己的不确定性，选择一个概率情景P，使她受到的惩罚预期效用最小化。standardexpected效用框架对应于单个模型P的α为零的情况，并且+∞否则

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kedemingshi

2022-5-25 07:36:19

如果α对于被认为（同样）合理的整类模型P为零，并且+∞ 否则，我们将采用最坏的方法，（1.1）减少到Gilboa和Schmeidler[31]的多重优先选择。（1.1）的另一个众所周知的特例是Hansen和Sargent的多重乘子偏好[32]，它根据模型相对于固定参考模型的相对性来惩罚模型。使用这种方法，用户无需在“合理”和“错误”模型之间划出严格的界限；相反，不太合理的模型将根据它们与参考模型的差异程度进行处罚。该规范排除了波动性的任何不确定性，因为相对熵仅适用于相对于参考模型绝对连续的模型。因此，这一研究方向主要集中于对未来预期收益具有不确定性的投资组合选择问题。然而，在不同的惩罚函数下，同样的原理也可以应用于价格和套期保值期权，这些期权对标的资产的波动性具有不确定性，正如我们在本研究中所做的那样。更具体地说，我们使用以下一般方法：（i）选择一个你认为能够很好地描述股价真实动态的参考模型。确保此模型与股票上流动交易对手的市场价格相匹配。（ii）设计一个非负惩罚函数，将惩罚附加到每个备选模型上，并反映您对它的重视程度；模型的惩罚越高，其合理性就越低。通常，惩罚函数基于与参考模型的某种“距离”。（iii）对于每个交易策略，使用（1.1）评估其绩效。

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2022-5-25 07:36:23

也就是说，根据每个模型中相应的终端利润和损失（此后损益定义为交易的终端财富减去您所出售期权的收益）计算预期效用，加上模型的罚款，然后对所有模型取最小值。（iv）找到一种能够最大限度地提高该绩效标准的交易策略。该术语来源于鲁棒控制文献[33]，也来源于凸风险度量的鲁棒表示（例如，参见[25，第5.2节]）。请注意，处罚不是针对代理人，而是针对她的对手，后者将P减至最小。因此，增加（1.1）中的罚款，而不是减少。80 90 100 110 12005101520股票价格期权价格图1：“平滑看跌期权”的支付，带100次行权（实心、粗）、1年期“平滑看跌期权”的黑色-斯科尔斯价值（实心、细）和一阶买卖价格pb（ψ）和pa（ψ）（虚线），均为当前股价的函数；参数为'σ≡ 20%，ψ=10-3、在本文中，我们选择了一个局部波动率参考模型【22】。这允许纳入普通期权的现货价格，但仍将模型不确定性的影响与不完整性或其他状态变量引起的额外复杂性隔离开来。我们考虑的惩罚泛函惩罚实际（瞬时）波动率与其在参考模型中对应的波动率之间的偏差。一个典型的例子是这两个波动率之间的均方距离：α（P）=EP“2ψZTU（Yt）（σt- \'\'σ（t，St））dt#。（1.2）这里，Ytis是您在时间t的损益，定义为交易财富减去时间t的期权参考值，’σ（t，St）是参考模型的局部波动率，σ是模型P下股票价格回报的实际波动率。参数ψ>0描述了不确定性厌恶的程度。

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2022-5-25 07:36:26

实际上，ψ的较小值会导致偏离参考模型的模型受到较高的惩罚，因此当ψ接近零时，这些替代模型会受到较少的重视。为了得到显式公式，我们将不确定性厌恶ψ趋于零的极限转移到该极限。也就是说，我们将手头的问题视为参考模型的经典对应问题的扰动，然后修正价格和套期保值，以非对称最优方式考虑模型的不确定性。对于通过交易标的股票S进行套期保值的单一普通期权，对于不确定性厌恶参数ψ的较小值，我们建立了该套期保值问题值v（ψ）的严格二阶展开式。此扩展中的前序项通过参考模型中的三角洲对冲获得；几乎最优的策略θψ通过匹配下一个到引导顺序项来确定。与具有交易成本的扰动分析类似【64】，扩展的领先阶系数以及几乎最优策略的公式是由具有源项的线性二阶抛物偏微分方程（PDE）的解ew确定的。您在期权中的浮动头寸和多头或空头头寸之间的差异价格可以依次描述如下。

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2022-5-25 07:36:30

从一些初始资本X和期权中的浮动头寸开始，您对期权的不同出价和要价pb（ψ）和pa（ψ）具有展开式pb（ψ）=V- ewψ+o（ψ）和pa（ψ）=？V+ewψ+o（ψ），鉴于局部波动率模型在捕捉期权价格动态方面的众所周知的不足，例如，[21，30]，扩展到更一般的参考模型是未来研究的一个重要方向；有关进一步的讨论，请参见备注2.7。[5]在基于先验信念的局部波动率校准中使用了类似的惩罚。（1.2）中的术语U（Yt）使得偏好在效用函数的有效变换下保持不变；另见备注2.6。[48，2，3，26]已经用最坏情况法对期权定价和套期保值问题进行了渐近分析。80 90 100 110 12011.522.5股价买卖价差50 100 150 20010-310-210-1100101股价买卖价差图2：一阶买卖价差pa（ψ）- pb（ψ）（实数）和与UVM（虚线）相对应的买卖价差，具有两个不同的波动率带和股价范围；设置如图1所示。在左面板中，选择波动率带[17.04%，22.96%]，以便货币利差一致。在右侧面板中，带为[18%，22%]，纵轴具有对数刻度。式中，\'V=\'V（0，S）是参考模型中的期权价格。因此，ewψ是您要求的主要订单折扣或溢价，作为您暴露于模型不确定性的补偿。因此，我们可以将ew解释为期权易受模型错误描述影响的指标，并将其称为期权现金等价物（较小的不确定性厌恶）。为了更好地理解这一修正术语，请考虑其费曼-科航表示法（参见命题3.6）：ew（t，s）=E“ZTt\'\'σ（u，Su）\'$u杜邦St=s#。

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2022-5-25 07:36:33

（1.3）我们发现，期权对波动性不确定性的敏感性是由期权剩余寿命内累积的预期波动性加权现金伽马（u，Su）确定的。还要注意，公式（1.3）独立于投资者的效用函数U。因此，在本文的设定中，不确定性厌恶主导了风险厌恶。让我们以一个故意简单的恒定波动率参考模型和“平滑看跌”期权为例来说明我们的结果，该期权的支付是标准看跌期权的平滑版本，具有100次执行。图1显示了ψ=10时，差异投标和ASK价格pb（ψ）和pa（ψ）的一阶近似值-3是股票价格的函数。比较买卖价差2 ewψ的对应一阶近似值与UVM隐含的买卖价差是有指导意义的。在图2的左面板中，选择波动率带，使货币UVM价差等于价差2 ewψ。选择此选项的唯一原因是为了提高两种排列的视觉可比性。事实上，最坏情况下的方法要求根据代理的信念选择volatilityband，这可能会产生较宽的volatilityband。我们看到，如果股票价格从行权转移到期权现金伽马较低的区域，那么价差2 ewψ将小于UVM价差。图2的右侧面板比较了更大范围的股价和更窄的收益率区间的价差。如果股票价格接近执行价，我们的买卖价差将超过UVM价差，因为现金伽马和期权对波动性变化的敏感性很高。

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2022-5-25 07:36:37

相反，如果股价远离罢工，我们的买卖价差低于UVM价差，在第1节中，我们仅显示惩罚函数（1.2）的特殊情况下的公式。我们的分析也适用于更一般的惩罚泛函；参见第2.3节。根据期权的现金伽马和代理人的不确定性厌恶程度，我们的结果可以正式地与具有随机、时间依赖性波动率带的UVM联系起来；参见备注3.7。请注意，现金伽马在其他摩擦的渐近分析中也扮演着至关重要的角色，如离散再平衡[9]、交易成本[64]、价格影响[51]或跳跃[13]。具体而言，Payoff是标准看跌期权的Black-Scholes价值，行使100次，到期日为1天。由于期权支付是凸的，该价差只是对应于波动率带两个端点的“平滑看跌期权”的Black-Scholes值之间的差异。期权对波动性的敏感性较低。这表明，我们的方法以比UVM更细微的方式调整期权对波动性误判的敏感性结构。然而，让我们强调，我们的结果所暗示的买卖价差与UVM的价差并不完全一致。例如，两个（平滑）看跌期权的UVM价差是单个看跌期权价差的两倍，而我们的结果所暗示的价差在期权的现金伽马中呈二次比例，因此增长了四倍（参见（1.3））。换言之，如果你已经做空一个期权，你需要为出售同一类型的另一个期权获得更大的补偿，因为这会使你的头寸更容易受到波动性误判的影响。接下来，我们讨论相应的渐近最优套期保值策略。多达一些技术修改（参见。

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可人4

2022-5-25 07:36:41

定理3.4），由不确定性调整后的期权价格衍生出的delta对冲给出：θψt=“”t+ews（t，St）ψ，其中’t=(R)Vs（t，St）是参考模型中期权的增量。ews（t，St）ψ的调整可以解释为对冲股票价格进入模型错误高度敏感区域的波动；详见第3节。与价格调整一样，领先的订单对冲调整也仅由不确定性厌恶决定，与风险厌恶无关。对于迄今为止所描述的结果，我们提供了一个严格的验证定理，该定理受有效正则性条件的约束，应视为概念证明。为了说明我们的方法更广泛的范围，我们还提供了formalextensions，允许涵盖实际相关的设置，包括奇异期权、期权组合或普通期权和基础股票的半静态对冲。我们发现，对于亚洲、回望或障碍期权等许多外来期权，上述价格和对冲修正表示仍然有效。唯一的变化是，在这些情况下，参考模型中期权的价格及其相应的现金伽马取决于进一步的状态变量。对于其他外来因素，如在已实现方差上书写的期权，参考模型中计算的其他希腊人将发挥作用；参见示例4.3。关于期权投资组合和半静态对冲，假设您的账簿由各种不同到期日和收益的非交易期权组成，您希望通过动态买入股票和在一些流动交易的普通期权中建立静态头寸来对冲这些期权。进一步假设您可以在时间0购买或出售任何数量λ。

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2022-5-25 07:36:46

，λMof M不同的liquidvanilla期权，如看涨期权，价格根据参考模型进行校准。然后给定λ，组合投资组合的现金等价物isew（t，s；λ）=EZTt′σ（u，Su）\'Γ美元，0件-MXi=1λi′Γ$，iu!杜邦St=s, （1.4）式中，“Γ美元，0是您原始账簿的净现金伽马（买入或卖出看涨期权之前），而，“Γ美元，i是第i次看涨期权的现金伽马。相应的对冲为θψt=“”T-MXi=1λi’it+ews（t，St；λ）ψ，其中‘是原始图书的净增量，并且iis第i次调用的增量。公式（1.4）提供了一个简单但理论上成立的标准，以优化导数的弹性。在这里，函数的下标表示相应的偏导数。策略调整可能依赖于其他惩罚函数的风险厌恶；参见定理3.4的讨论。这些结果的严格验证将按照此处讨论的简单基准案例的相同路线进行。为了不让这些想法淹没在更多的状态变量、规律性条件等导致的进一步技术性问题中，我们在这里不讨论这一点。例如，[36、12、16、15、41、40、39、62]推导出了一些外来物种的最坏情况对冲。这类似于拉格朗日不确定波动率模型[7]；同时比较[54]。在将适当的状态变量添加到参考现金伽马之后，相同的公式可获得（经必要的修改）亚洲、回望或障碍类型的外来物。针对模型规格错误。事实上，由于现金等价物是衡量投资组合对模型误判的不确定性的一个指标，因此将λ上的（1.4）减至最小可使组合投资组合更加稳健。

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kedemingshi

2022-5-25 07:36:49

这种最小化对应于通过适当交易流动期权来平衡净头寸的现金伽马，类似于交易成本的相应结果【45，第3.1节】。映射\'Γ$，07→ infλEZT′σ（u，Su）\'Γ美元，0件-MXi=1λi′Γ$，iu!杜邦可以解释为Cont意义上的“模型不确定性度量”[14]。也就是说，它满足了某些理想的属性，与标准风险度量不同，这些属性考虑了独立于模型的对冲策略和作为对冲工具的期权的可用性；有关更多详细信息，请参阅第4.6节。从数学角度来看，本文可以看作是一个两人零和随机微分对策渐近分析的案例研究，其中状态变量的漂移和差异都是受控的。Fleming和Souganidis【24】及其后的许多文章中使用的是Elliott-Kalton配方，而不是主要的Elliott-Kalton配方，我们使用的是类似于Pham和Zhang【58】的弱配方。事实证明，这种方法对于手头的套期保值问题更为自然，也更为方便。值函数的候选展开式和几乎最优控制的候选展开式是从汉密尔顿-雅可比-贝尔曼-艾萨克斯方程中适当的ANSATZ代入导出的。该证明将随机最优控制的分类参数调整为渐近设置。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了我们的波动性确定性套期保值框架。随后，我们陈述并讨论了第3节中的主要结果。

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2022-5-25 07:36:54

部分启发式推导和形式扩展可在第4节中找到。最后，第5.2节问题公式2中收集了第3节结果的严格证明。1使用本地波动性模型进行套期保值考虑一位代理人（以下简称“您”），他在到期日T>0时，在股票S上写了一份普通期权。我们假设您可以在零利率的股票和银行账户中进行无摩擦交易。如果你是风险厌恶者，你会试图通过“适当”的基础交易来对冲你的期权敞口。让我们假设股票价格过程的真实动力学S=（St）t∈对于布朗运动W和波动过程σ，[0，T]由SDEdSt=StσtdWt，S=S>0，（2.1）控制。对冲期权的一种典型方法是假设一类股票价格动态模型，使用流动交易衍生品的市场价格对其进行校准，并假设模型是正确的。这一过程的一个简单但流行的选择是局部波动率模型[22]，该模型假设波动率过程（2.1）是时间和股票价格本身的确定函数，σt=(R)σ（t，St）。让我们简要回顾一下如何使用该模型通过基础中的自我融资交易对冲（充分可积）期权G（ST）（更多详细信息，请参见[30]）。自我融资交易策略由渐进可测量的过程θ=（θt）t参数化∈[0，T]描述在T时持有的股份数量。如果你的初始资本是x，你根据θ进行交易，那么你在T时的财富是x+ZTθtdSt。将It^o的公式应用于过程V（t，St），对于某些V∈ C1,2（（0，T）×R+）∩ C（[0，T]×R+），利用（2.1）给出的S的真实动力学，我们得到了V（T，St）=V（0，S）+Zt相对于（u，Su）dSu+Zt“Vt（u，Su）+σuSu”Vss（u，Su）杜。

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2022-5-25 07:36:57

（2.2）请注意，如果σt=(R)σ（t，St），即如果您的局部波动率模型正确，并且如果(R)V解决了Black–Scholes PDEPVt（t，s）+σ（t，s）s>>Vss（t，s）=0，（t，s）∈ （0，T）×R+，\'V（T，s）=G（s），s∈ R+，（2.3）然后（2.2）对于t=t，降低toG（ST）=V（t，ST）=V（0，s）+ZT相对于（u，Su）dSu。（2.4）因此，您可以通过使用initialcapital“V（0，s）和交易策略”进行自我融资交易，完美复制期权支付（ST）t： =(R)Vs（t，St），即所谓的三角洲对冲。假设你的局部波动率模型是正确的，’V（t，St）是期权的唯一价格，它与没有套利的情况下是相容的。即使您的本地波动率模型不正确，如果您进行delta对冲，会发生什么情况？如果SDE（2.1）给出了某些波动过程σ的真实动态，但delta对冲’ 通过PDE（2.3）从局部波动率模型中确定，然后（2.2）可以重写为“V（t，St）=”V（0，s）+Zt”udSu+ZtSu？Vss（u，Su）（σu- \'（u，Su））du。（2.5）对于交易策略θ，将时间t的损益（P&L）定义为对冲组合中当前财富与模型中期权理论价值之间的差异：Yt=x+ZtθudSu-？V（t，St）。（2.6）当V（T，ST）=G（ST）时，终值YTis也是到期日T的实际损益。将（2.5）替换为（2.6）givesYt=x-\'V（0，s）+Zt（θu-\'\'u） dSu+ZtSu？Vss（u，Su）（？σ（u，Su）- σu）du。（2.7）（2.7）中的最后一项描述了如果使用delta对冲θt=“”t、起始大写字母x=(R)V（0，s）。现在让我们正式确认，厌恶风险的投资者确实对冲了他们对期权的敞口。

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2022-5-25 07:37:00

为此，假设您确信股票价格的动态遵循您当地的波动性模型，即σt=(R)σ（t，St），并且您希望从最终损益中最大化您的预期效用：e[U（YT）]=e“Ux+ZTθtdSt- G（ST）#-→ 最大θ！（2.8）这里，θ贯穿于一些交易策略的子集，例如r·（θt-(R)Vs（t，St））dStis是一个超鞅（排除加倍策略），U是R上的一个（严格凹）效用函数。由于期权可以完全复制，这是效用最大化问题的一个微不足道的例子。在文献和实践中，由于使用错误的波动率对冲而产生的错误是众所周知的。据我们所知，它首先出现在里昂【48，方程式（27）】（另见【47，方程式（6.7）】）。随机捐赠。通过Jensen不等式（2.4）和R·（θt）的超鞅性质-？Vs（t，St））dSt，我们有“U”x+ZTθtdSt- G（ST）#≤ Ux+E“ZT（θt-？Vs（t，St））dSt#-(R)V（0，s）≤ U（x-\'V（0，s）），θt=\'Vs（t，St）=\'t、这证明了以下引理：引理2.1。假设σt=’σ（t，St）和’∈ C1,2（（0，T）×R+）∩C（[0，T]×R+）解出了PDE（2.3）。然后是三角洲对冲t=(R)Vs（t，St）在任何集合A 3上最大化（2.8）策略θ使得r·（θt-“Vs（t，St））DST是一个超级角色。此外：supθ∈AE“Ux+ZTθtdSt- G（ST）#= U（x-(R)V（0，s））。备注2.2。让我们简要地讨论一下为什么我们假设S有零漂移。假设DST=St（utdt+(R)σ（t，St）dWt），适用于合适的漂移率u=（ut）t∈[0，T]。如果θ*是解决纯投资问题的最佳策略十、-\'V（0，s）+ZTθtdSt#-→ 最大θ！，（2.9）然后（使用复制（2.4）也与漂移一起工作）θ*+\'\' 是混合对冲/投资问题（2.8）的最优策略，与漂移率u无关。因此，在没有模型不确定性的情况下，套期保值部分最佳策略的有效性不依赖于u。

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2022-5-25 07:37:03

因此，预计对于（小）不确定性厌恶（关于此completereference模型），漂移率对套期保值组件的影响很小。假设S为零漂移，我们可以将重点放在套期保值上，而不是最优策略的投资部分。事实上，在零漂移的情况下，除了作为期权的对冲工具之外，没有任何交易股票的动机。这是一个合理的近似值，至少在时间范围不太长的情况下，股票价格运动由布朗函数控制。在第2.3节中，我们介绍了效用最大化问题（2.8）的修正，该问题考虑了股价真实动态的不确定性。其公式需要一个能够同时模拟可观察信息流和不同波动性场景可能性的设置，我们在第2.2节和第2.3.2.2节波动性不确定性设置中确定时间范围T>0和常数s>0和y∈ R、让Ohm = {ω=（ωSt，ωYt）t∈[0，T]∈ C（[0，T]；R）：ω=（s，y）}是从（s，y）开始的连续路径的正则空间，具有一致收敛的拓扑。此外，设F=B(Ohm) 是上的Borelσ-代数Ohm. 我们用s=（St）t表示∈[0，T]和Y=（Yt）T∈[0，T]标准过程的第一和第二分量，即St（ω）=ωStand Yt（ω）=ωYt，由F=（Ft）T∈[0，T]由（S，Y）生成的（非增强、非右连续）过滤。除非另有说明，所有需要过滤的概率概念，如渐进可测量性等，均属于F.备注2.3。可测空间(Ohm, F）与过滤F一起对可观察变量、股价S和损益进行建模，独立于任何特定的概率测量选择(Ohm, F）。正如我们将看到的，这允许我们使用渐进的可测量过程作为控制。

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2022-5-25 07:37:06

相反，如果将套期保值问题表述为一个单筛选概率空间上的随机微分博弈，则必须允许Elliott–Kalton策略（参见，例如，[23]）作为控制；这些控制可能以非预期的方式依赖于其他玩家的控制。在金融应用的背景下，将状态过程视为可公开观察的似乎更为自然，但不一定是控制。在我们的设置中，股票价格是在市场上报价的，您可以通过查看您的交易账户轻松确定您的损益。接下来，我们介绍一大类关于(Ohm, F）对应策略θ和波动过程σ的不同选择。设S表示由渐进可测过程θ=（θt）t组成的三元组集（θ，σ，P）∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]和概率测度(Ohm, F）使得S是一个二次变化的（连续）局部P鞅dhSit=Stσtdt，Y是一个（连续）正则分解为Y+Z·（θt）的P半鞅-\'Vs（t，St））-dSt+Z·St\'Vss（t，St）（\'σ（t，St））- σt）P下的dt（2.10）。为了以后参考，请注意，这意味着在P下，dhSit=Stσtdt，dhY it=（θt-\'Vs（t，St））Stσtdt，dhS，Y it=（θt-(R)Vs（t，St））Stσtdt。（2.11）对于每个三元组（θ，σ，P），当你选择策略θ，“自然”选择波动率σ时，概率测度P对应于股票价格和损益过程的分布；参见（2.1）中S和（2.7）中Y的动力学。备注2.4。这是一个类似于[58]的随机微分博弈弱公式的设置。玩家可以通过选择概率测度来控制可观测过程S和Y的分布，而不是直接控制过程。“自然”的波动性选择决定了股票价格的波动性和损益过程的漂移。

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2022-5-25 07:37:09

您的策略选择仅影响损益的波动性。2.3波动性不确定性下的套期保值第2.2节定义的集合描述了股票价格过程S和损益过程Y的一组非常大的可能分布。由于其中一些场景可能不可信（例如，它们可能包括加倍策略），让我们确定一些子集 s有关我们的具体选择，请参见下文（3.1）。接下来，fix设置了您想要考虑的交易策略和波动性的A和V。原则上，我们可以考虑对（θ，σ）∈ A×V至少有一个概率测度P，使得（θ，σ，P）∈ S、但由于您选择的交易策略不应限制“自然”对波动率的选择，反之亦然，我们要求整个矩形A×V具有以下属性：A×V Z：={（θ，σ）：P（θ，σ）6=},其中P（θ，σ）表示概率测度P的集合，使得（θ，σ，P）∈ S、备注2.5。注意，P（θ，σ）可以包含多个P。实际上，sedst的每个弱解=Stσt（（S，Y））dWt，dYt=（θt（（S，Y））-？Vs（t，St））dSt+St？Vss（t，St）（？σ（t，St）- σt（（S，Y）））dt，在每个P下，有效可积的、渐进可测的被积函数与过程积分器的随机积分被构造为具有P-a.S.连续路径的F-渐进可测随机过程；参见Stroock和Varadhan中引理4.3.3之前的讨论【63】。对于初始分布，δ（s，y）产生了P（θ，σ）中的度量。所以P（θ，σ）是一个单子当且仅当SDE有一个在定律上唯一的解。将波动性不确定性纳入效用最大化问题的一种流行方法是平等对待V中的所有波动性，并最大化最坏情况下波动性的预期效用。

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2022-5-25 07:37:13

在本文的背景下，这将导致σ∈VinfP公司∈P（θ，σ）EP【U（YT）】-→ 最大θ∈A.更一般地，可以引入惩罚函数a:V→ L+(Ohm, F）并考虑σ∈VinfP公司∈P（θ，σ）EP[U（YT）+a（σ）]-→ 最大θ∈A.这种方法允许根据波动性情景的合理性来衡量波动性情景——收益率越高，对模型的重视程度就越低。我们假设，对于S的真实动力学，具有波动函数∑的局部波动模型是您的最佳猜测。在下面，我们考虑惩罚函数a（σ）=ψZTU（Yt）f（t，St，Yt；σt）dt。这里，ψ>0是一个参数，惩罚函数f：[0，T]×R×R×R+→ R+是一个su fficientlymooth函数，因此7→ f（t，s，y；）是严格凸的，并且在‘（t，s）处的最小值为0，即f（t，s，y；’σ（t，s））=F（t，s，y；(R)σ（t，s））=0。（2.12）特别是，a不会惩罚参考本地波动率模型，即a（（？（t，St））t∈[0，T]）=0。惩罚函数的一个典型示例是f（t，s，y；）=（- \'\'σ（t，s））；然后，从均方意义上对波动率与参考模型的偏差进行惩罚。函数fd描述不确定性厌恶的“形状”，而参数ψ量化其“大小”。事实上，如果ψ很小，那么替代参考波动率的波动率过程将受到严重的惩罚，即不确定性厌恶很小。对于每个ψ>0，θ∈ A、 σ∈ 五、和P∈ P（θ，σ），我们定义套期保值问题的目标byjψ（σ，P）：=EP“U（YT）+ψZTU（YT）f（t，St，YT；σt）dt#（2.13）及其值byv（ψ）=v（ψ；A，v）：=supθ∈Ainfσ∈VinfP公司∈P（θ，σ）Jψ（σ，P）。（2.14）备注2.6。请注意，目标（2.13）惩罚部分中的术语U（Yt）并不限制我们结果的一般性。事实上，如果需要，可以通过使用形式为f（t，s，y；）=ef（t，s，y；）/U（y）的惩罚函数来去除因子U（Yt），以获得合适的函数f。

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2022-5-25 07:37:16

我们选择上述公式的原因如下。由于P（θ，σ）可能包含多个度量，我们还必须允许“自然”选择特定度量。标准（1.1）意义上的惩罚函数为α（P）=EPa（σP）, 其中σPis是S在P下的收益率波动率。回想脚注2，a惩罚的是好斗的对手（“自然”），而不是代理人。值得注意的是，[5]表明，这种形式的惩罚泛函可以作为离散时间近似下相对性的连续时间极限出现。首先，在标准预期效用框架中，偏好在效用函数的有效变换下是不变的。术语U（Yt）确保了该属性为（2.13）–（2.14）所述偏好的不确定性厌恶决策者保留。特别是，这些偏好的最优策略和波动性在效用衡量尺度的有效转换下是不变的。第二，U（Yt）（而不是，例如，U（y））是套期保值问题（2.14）动态公式的自然选择，根据一系列由初始时间t、股价St=s和损益Yt=y参数化的条件问题。第三，我们的结果表明，如果f不依赖于损益变量y，然后，在现金等价物ew不依赖于损益的意义上，偏好具有近似“恒定的不确定性厌恶”（参见命题3.6）。如果在（2.13）中省略了术语U（Yt），情况就不会如此。备注2.7。关于随机波动率参考模型，具有适度不确定性厌恶的套期保值问题可以处理如下。标准随机波动率模型假设股票价格的波动率服从布朗运动驱动的It^odiffusion，布朗运动可能与股票价格相关。

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2022-5-25 07:37:21

特别是，假设即期波动率在任何时候都是完全可观测的。因此，现货波动率不存在不确定性。然而，我们可以引入关于描述点波动率动态的参数的不确定性：其漂移和扩散系数及其与股价的相关性。使用如上所述的类似惩罚函数，但现在对于三个控制变量，而不仅仅是spotvolatility，可以写出相应套期保值问题的HJBI方程，并使用与本研究类似的方法进行分析。当然，由于额外的状态变量和对实际情况的多维控制，分析变得更加复杂。3主要结果我们的主要结果是套期保值问题（2.14）的值v（ψ）的二阶展开，用于不确定性厌恶参数ψ的较小值。此外，我们提供的策略θψ和波动率σψ几乎是最优的，因为它们的性能与下一个领先阶O（ψ）的最优值一致。这些展开式依赖于两个带源项的线性二阶抛物型偏微分方程的解。第3.1节介绍了这些PDESA以及我们主要结果的假设。初读时，读者可能希望跳过第3.1节，直接跳到第3.2.3.1节“成分和假设”中的主要结果陈述。为了尽可能清楚地呈现验证中的主要观点，我们不努力在以下方面形成具体的技术条件。相反，我们关注一组有效条件，只考虑三元组（θ，σ，P），使得过程S，Y和σ是P-a.S。由一个独立于（θ，σ，P）的常数一致限定。

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可人4

2022-5-25 07:37:24

So fix常数K>s∨ s-1、yl<y，yu>Yanddefine S S作为三元组（θ，σ，P）的集合，使得σt（ω）∈ [0，K]，St（ω）∈ [K]-1，K]，Yt（ω）∈ （yl，yu）对于dt×P-a.e.（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. （3.1）备注3.1。S和Y上的有界性假设简化了我们主要结果的证明。例如，（S，Y）范围的紧致性简化了许多估计，并结合候选值函数及其导数的连续性，给出了HJBI方程中最小-最大问题的逐点鞍点的存在性（参见引理5.1和5.2）。使用U（y）代替U（Yt）将产生与定理3.4中相同的v（ψ）展开式，并且在形式上和在前导顺序上，产生相同的几乎最优策略和波动率。这是因为在小不确定性厌恶的渐近极限下，损益过程收敛到一个常数。在稳健投资组合选择的背景下，Maenhout[50]还观察到，对标准（非财富相关）熵惩罚的一些修改是合理的，以避免代理人的不确定性厌恶随着财富的增加而减弱，并通过直接修改HJBI方程来解决这一影响。在关于特定环境下期权动态套期保值的后续工作中，只需要损益过程中的下限。因此，我们希望通过相当大的额外努力，在当前设置下，S的有界性和Y的上界可以放松。然而，损益过程中一些较低的资金至关重要（例如，排除加倍策略）。v（ψ）展开系数用两个偏微分方程的解表示。集合D=（0，T）×（K-1，K）×（yl，yu）。

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kedemingshi

2022-5-25 07:37:27

对于每个y∈ （yl，yu），我们考虑线性二阶抛物型PDEsewt（t，s，y）+σ（t，s）sewss（t，s，y）+eg（t，s，y）=0，（t，s）∈ （0，T）×（K-1，K），ew（T，s，y）=0，s∈ （K）-1，K），ew（t，s，y）=0，t∈ （0，T），s∈ {K-1，K}，（3.2）和bwt（t，s，y）+σ（t，s）sbwss（t，s，y）+bg（t，s，y）=0，（t，s）∈ （0，T）×（K-1，K），bw（T，s，y）=0，s∈ （K）-1，K），bw（t，s，y）=0，t∈ （0，T），s∈ {K-1，K}，（3.3）其中源项，例如，bg:D→ R由eg（t，s，y）给出：=\'\'σ（t，s）s\'\'Vss（t，s）2f（t，s，y；’σ（t，s）），（3.4）bg（t，s，y）：=eσ（t，s，y）f（3）（t，s，y；’σ（t，s））-eσ（t，s，y）s'Vss（t，s）+eσ（t，s，y）'σ（t，s）s(R)Vss（t，s）ewy（t，s，y）- ewss（t、s、y）-U（y）U（y）(R)σ（t，s）seθ（t，s，y）- eσ（t，s，y）f（t，s，y；’σ（t，s））ew（t，s，y）,（3.5）带eθ（t，s，y）：=ews（t，s，y）+U（y）U（y）ewsy（t，s，y），（3.6）eσ（t，s，y）：=？σ（t，s）s？Vss（t，s）f（t，s，y；？σ（t，s））。（3.7）我们在以下假设下证明了我们的主要结果。假设3.2。（i） PDE：有ew，bw∈ C1,2,2（D）∩ C（D）使得对于每个y∈ （yl，yu）、ew（·，·，y）和BW（·，·，y）是偏微分方程（3.2）–（3.3）和| wt |、| ws |、| wy |、| wss |、| wsy |、| wy |的经典解≤ D上的K，w∈ {ew，bw}。（3.8）（ii）参考局部波动率函数：(R)σ：[0，T]×[K-1，K]→ [0，K]是Borel可测的，存在ε>0使得ε≤ \'σ（t，s）≤ K- εon[0，T]×（K-1，K）和‘∑（t，K）=‘∑（t，K-1） =0表示t∈ [0，T]。（3.9）这里，我们假设所有相关的偏导数都存在；假设3.2给出了精确条件。（iii）参考值：(R)V:[0，T]×[K-1，K]→ R是Borel可测量的，(R)V（t，·）∈ C（（K-1，K））∩C（[K-1，K]），适用于所有t∈ （0，T），和s？Vss（t，s）≤ K表示（t，s）∈ （0，T）×（K-1，K）。（3.10）（iv）惩罚函数：f为Cin，偏导数f（k）：=Kkf，k=2，3，4，满足yk≤ f（t，s，y；）≤ K、 |f（3）（t，s，y；）|，|f（4）（t，s，y；）|≤ D×[0，K]上的K。

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2022-5-25 07:37:31

（3.11）（v）效用函数：U:R→ R是C，U>0且U<0。正式插入假设“σ（·，K）=”σ（·，K-1） =0到（3.4）–（3.5）和（3.7）激励通过设置σ（t，s，y）=eg（t，s，y）=bg（t，s，y）=0，t来扩展eσ，eg和bg的定义∈ （0，T），s∈ {K-1，K}，y∈ （yl，yu）。（3.12）备注3.3。（ii）–（iii）是对期权的参考波动率和参考值的假设，而（iv）–（v）是描述您的风险和不确定性厌恶的对象的规律性条件。相反，（i）是对通过偏微分方程从这些基本体导出的对象的假设。因此，让我们在此指出什么样的规律性假设对（i）适用。WEF关注电子战的PDE（3.2）；bw的PDE可以进行类似处理。我们首先确定y，并注意到（0，t）×（K）上的扩散系数σ（t，s）远离零-1，K）乘以（3.9）。现在，经典存在性和正则性结果（见Friedman[28]，第3.3节中的定理7）保证了经典解ew（·，·，y）的存在性∈ C1,2（（0，T）×（K-1，K）的有界和H"oldercontinuous（在t和s中）偏导数ewt，ews，ews提供了足够正则的微分系数和源项，并且源项与s的零边界条件兼容，即eg（t，s，y）=0∈ {K-1，K}。接下来，我们可以证明ew具有Efeynman–Kac表示（也可参见下面的命题3.6）ew（t，s，y）=Et，s“ZTteg（u，Su，y）du#，，（3.13），其中，在测量下计算期望值，使得s的动力学dSu=Su'σ（u，Su）dwu，并从St=s开始。现在，如果eg是有界偏导数的CINY，可以从（3.13）推断偏导数ewy，EWYYYYE存在，并且在D上有界。

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可人4

2022-5-25 07:37:34

最后，为了获得交叉偏导数ewsy的存在性和界，我们可以将微分方程（3.2）相对于y进行微分，以获得ewy的偏微分方程。然后施加进一步的正则性和相容性条件，上面引用的经典结果得到ewsy的存在性和有界性。一致有界性假设（3.1）可能具有限制性。然而，由于边界可以选择任意大或任意小，这种限制没有什么实际意义。满足上述假设的简单模型是一个几何布朗运动，当它达到K时停止-1或K（对于一些较大的K）。相应的局部波动函数σ（t，s）将是[0，t]×（K）上的合适常数-1，K），并在[0，T]×{K上等于零-1，K}，根据（3.9）。最后，期权支付必须足够有规律（如图1所示和脚注9中定义的“平滑看跌期权”），以便（iii）成立，并完成备注3.3中概述的论点。3.2主要结果我们现在可以陈述我们的主要结果。下面的定理3.8提供了交易策略A和波动性场景V集合的可能选择。（0，T）×（K）上的H"older连续性-1，K）此步骤的支持。定理3.4。假设假设3.2成立并设置τ：=inf{t∈ [0，T]：| Yt- y |≥ 1}∧ T对于每个ψ>0，确定策略θψ=（θψt）t∈[0，T]和波动率σψ=（σψT）T∈[0，T]乘以θψT=“”t+eθ（t，St，Yt）1{t<τ}ψ，σψt=(R)σ（t，St）+eσ（t，St，Yt）ψ，其中eθ和eσ在（3.6）–（3.7）中给出。此外，设A和V是一组渐进可测过程，使得对于所有足够小的ψ>0，（θψ，σψ）∈ A×V Z、那么，作为ψ↓ 0：supθ∈Ainfσ∈VinfP公司∈P（θ，σ）Jψ（σ，P）=U（y）- U（y）ew（0，s，y）ψ+U（y）bw（0，s，y）ψ+o（ψ）=infP∈P（θψ，σψ）Jψ（σψ，P）+o（ψ），其中ew和bw是偏微分方程（3.2）–（3.3）的解。

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2022-5-25 07:37:38

特别是，θψ是A中所有策略中紧靠前序O（ψ）的最优策略，而σψ是V中所有波动性中紧靠前序O（ψ）的“最坏情况”波动性。备注3.5。对定理3.4证明的检验表明，策略调整eθ仅影响下一个领先阶O（ψ）的套期保值性能。不同的是，德尔塔树篱在前导阶O（ψ）处已经是最优的。事实上，通过对表单的控制t+eθtψ和‘（t，St）+eσtψ损益的漂移和扩散系数都是有序的（ψ）（参见（2.10）中的Y动力学）。因此，正式的泰勒展开式表明，漂移控制着值展开式的前导阶O（ψ）。由于您选择的交易策略仅影响差异系数，而漂移系数由实际波动率决定，因此，策略调整仅在O（ψ）级可见。定理3.4的冗长证明被推迟到第5.1节。这里，我们首先讨论v（ψ）值的渐近公式和相应的对冲策略。价值扩张和对冲中的第一个订单条款均由ew函数确定。其Feynman–Kac表示法反过来又允许识别具有小不确定性厌恶的套期保值问题的主要驱动因素：命题3.6（Feynman–Kac表示法）。假设假设假设3.2成立。此外，假设对于每个t∈ [0，T]，\'σ（T，·）在（K）上一致连续-1，K）。然后针对每个∈ [0，T]，s∈ [K]-1，K]和y∈ （yl，yu），ew（t，s，y）=Et，s“ZTt“∑（u，Su）Su”Vss（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du#（3.14），其中，根据一个度量计算期望值，使得S具有参考动力学dSu=Su’σ（u，Su）dwu，并从St=S开始。我们将命题3.6的证明推迟到第5.2节。

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2022-5-25 07:37:41

从费曼-科航的表述（3.14），我们可以看到，如果fis不变，ew衡量期权剩余寿命内累积的预期波动率加权现金Gamma。特别是，当股票价格很可能在期权现金伽玛值较高的区域花费大量时间时，ew就会很高。波动率加权意味着现金伽马在“营业时间”σ（t，St）dt中累积，即其影响在动荡的市场中放大。严格来说，必须为每个ω定义θψ和σψ∈ Ohm, 甚至那些S或Y超过界限（3.1）的。然而，在这些界限之外，没有定义函数\'Vs、eθ、\'σ、eσ。由于我们只考虑（3.1）适用的度量值，因此我们不会显式地进行相应的直接调整，这只会提高可读性。几乎最优策略的讨论。定理3.4中的几乎最优策略θψ的形式为θψt=“”t型+ews（t，St，Yt）+U（Yt）U（Yt）ewsy（t，St，Yt）{t<τ}ψ。第一个总和只是参考模型中的三角洲对冲，而第二个术语是考虑波动不确定性的分类调整。只有当损益过程与初始值相差不大时，战略调整才是积极的。这是一种技术性修改，可确保损益在任何波动情景下保持在有界区间内。为了了解战略调整的实质性特征，让我们首先关注ewsy=0的情况。那么，战略调整既不取决于你当前的损益，也不取决于你效用函数的形状，而只是ews（t，St）ψ。回想一下，高（低）EWI与波动性不确定性导致的大（小）价值损失相关。假设在时间t，ews（t，St）为正。那么，股价的上涨（下跌）会使你的头寸更容易（更少）受到波动性误判的影响。

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2022-5-25 07:37:44

但是，由于几乎最优的策略持有ews（t，St）ψ的股份比纯三角对冲多，因此在股价上涨的情况下，波动性误判的更高脆弱性由额外的利润补偿。相反，在股价下跌的情况下，与纯三角对冲相比，策略调整会导致亏损，这一点得到了以下事实的补偿：股票价格已朝着波动性误判风险较小的区域移动。综上所述，几乎最优的策略是对冲股价波动进入易受波动性误判影响的区域。回顾ew的大小主要由期权的现金伽马决定，因此几乎最优的策略可以被视为对冲股票价格进入高现金伽马区域的波动。现在，让我们考虑一下ewsy6=0的情况。假设f（t，s，y；）=g（t，s；）/h（y），对于合适的函数g和h>0。上一段对应于常数h。现在，ew具有FYEMAN–Kac表示ew（t，s，y）=h（y）Et，s“ZTt“∑（u，Su）Su”Vss（u，Su）2g（u，Su；’σ（u，Su））du#。我们发现h（y）是不确定性厌恶的放大因子。递减（递增）h可以解释为递减（递增）不确定性厌恶（相对于损益），类似于众所周知的递增或递减（绝对）风险厌恶的概念。假设h是严格递减的。如果ews（t，St，Yt）>0，则ewsy（t，St，Yt）<0，以及策略调整ews（t，St，Yt）+U（Yt）U（Yt）ewsy（t，St，Yt）{t<τ}ψ大于ewsy=0的情况。如上所述，如果股票上升到高ew区域，这将导致盈利，如果股票下降到小ew区域，则会导致亏损。

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