漂移综合不确定性下的好交易套期保值与估值

2022-5-31 08:20:05

漂移和波动性的组合不确定性下的良好套期保值和估值Dirk BECHERER和KLEBERT KENTIAAbstract。模型不确定性（模糊性）的非支配多先验方法会导致最坏情况下的良好交易边界。相应的对冲策略作为适当的一致性风险度量的最小值出现。可测索赔的好交易边界和套期保值的特征是二阶倒向随机微分方程的解，其生成元在波动率中是非凸的。这些对冲策略对于不确定性是稳健的，在所有先验条件下都是如此。1、简介波动率模型不确定性（模糊性）下的套期保值和估值是一个重要的研究方向。最近，在二阶倒向随机微分方程（2BSDE）、G-期望和相关随机演算、次线性条件期望和非线性核控制等主题上取得了一些进展，使用了随机控制的各种不同方法，准SureAlysis和能力理论，或期望空间和偏微分方程理论，见Denis和Martini（2006）；Denis等人（2011年）；Nutz（2012b）；Nutz和Soner（2012）；Soner等人（2012年）；Nutz和van Handel（2013）；Hu等人（2014a）；Possamai等人（2015年）以及其中更多的参考文献。这项研究具有挑战性（而且富有成效），因为人们必须（在概率设置中）处理非支配概率测度族，也称为多重先验，它们可以是相互奇异的。对于单一参考概率测度，可以在绝对连续的测度的支配框架中处理。本论文的主要贡献有两个方面。

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2022-5-31 08:20:08

对于连续时间内的不完全市场，我们解决了关于漂移和It^o过程波动性的组合不确定性下的稳健套期保值和估值问题，It^o过程描述了金融市场基础非马尔可夫模型中可交易资产价格的演变。此外，我们还调查了toliterature（参见Cochrane和Sa'a-Requejo（2000））；Cern\'y和Hodges（2002）；Bj¨ork和Slinko（2006））提供了更窄的估值界限和更少的极端对冲，而不是通过超级复制及其相应的无套利估值界限进行几乎确定对冲的更基本方法。关于连续时间模型中波动不确定性下套期保值的有效应用，至少Avellanda等人（1995）规定了这一点；Lyons（1995），迄今为止的文献几乎完全关注超级复制方法，因为不确定性存在，而超级复制的概念是随机过程理论和2010年数学学科分类的基础。60G44、60h30、91G10、93E20、91B06、91B30。二阶BSDE，随机控制。讨论和有益的建议。2 D.BECHERER和K.KENTIAmeasures，如Soner等人（2012年）。最近，Tevzadze等人（2013年）在《Nutzdrifts and volatilities》（Nutzdrifts and volatilities）中注意到并解决了这一问题；Biagini和Pinar（2017）；Neufeld和Nutz（2016），其中一些对具有特定参数结构的模型取得了非常明确的结果。在仅有一种类型的不确定性下的效用优化的许多有趣贡献中，参见Chen和Epstein（2002）；Quenez（2004）；Garlappi等人（2007年）；Schied（2007）；Oksendalfrom superreplication。我们将研究在波动率和漂移的组合模糊性下，连续时间内无好交易套期保值方法的稳健扩展。

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2022-5-31 08:20:13

如果没有模型的不确定性，goodof“无好交易”风险中性价格，由此产生的估值界限比classicalSlinko（2006）更为严格。对于没有跳跃的模型，这相当于对最优对冲施加约束，参见Becherer（2009），其中（好交易）对冲策略被定义为某种动态一致风险度量的最小值，符合Barrieu和El KarouiBj¨ork和Slinko（2006）的精神；Becherer（2009）对概率模型的假设很敏感。准确地说，已知的财务模型最有用，但理想化的简化现实，稳健的模型模糊性方法与好交易理论相关。一般适定性结果在组合不确定性（如一致连续性）或马尔可夫框架下很适合当前应用。这就抓住了漂移和波动的综合模糊性。让我们注意到，与组合不确定性市场下的良好交易套期保值和估值相比，即使仅低于（任何）一个人之前的水平。这不仅意味着，为了尽可能简单地解释好交易方法的想法，首先需要了解的是存在可用性。根据经典的好交易理论，好交易限制由与市场最优风险分担下的约束定义。我们推导了动态估值界和对冲策略的2BSDE特征。我们证明了在所有先验估值测度下，对所有先验的跟踪误差均满足超鞅性质。该套期保值依赖鞍点参数，通过aminmax恒等式确定稳健的好交易套期保值策略。最后，我们用一个简单但有启发性的例子来结束第4节，该例子是关于不完全市场中非交易（但相关）资产的hedginga看跌期权。

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2022-5-31 08:20:17

这就允许了一个基本的闭式解，从而为一般但抽象的主要定理4.6提供了直觉。例如，它说明了好交易对冲策略通常与theDenis和Martini（2006）非常不同；Nutz和Soner（2012）；Neufeld和Nutz（2013）；Vorbrink（2014）。具体案例研究还说明，在一个基本的马尔可夫例子中，额外的复杂性是如何从组合不确定性中产生的。数学框架和预备知识，FFT，P，F{ω∈ C（[0，T]，Rn）：ω（0）=0}的连续路径，从0开始，赋以normkωk∞:=支持∈[0，T]|ω（T）| FFtt∈[0，T]BtωTω∈PF+F+tt∈[0，T]FF+T=Ft+：=∩s> tFs。对于概率度量EQ，条件期望给定了Twill beEQt·PBF，pHBipppP，这产生了hBi w.r.t密度ba的路径定义。Lebesgue度量为Bat（ω）：=lim sup&0hBit（ω）- hBit公司-（ω）, （t，ω）∈ [0，T]×Ohm.PWPbaPS>0n Rn×nn×注意，如Soner等人（2011年）所述，WCW中的度量值可以是相互单一的。对于anyP∈ PW，过程wp：=（P）R·ba-SDBS是一个布朗运动。为了计算波动率不确定性，我们只关注子类PS PWof测量值α：=Po （Xα）-1，其中Xα：=（P）Z·α1/2sdBs，S>0n-FαRT |αt | dt<∞, P-a.s.子类概述了以下聚合特性（参见Soner et al.，2011，Lem.8.1，Lem.8.2）。引理2.1。ForP公司∈ PW，Letfp表示自然过滤fwpofwp的过滤fandfwpp的增强。ThenBhas鞅表示性质w.r.t.（FP，P）P∈ PSPP∈ PWFPFWPPP、任何P的0-1定律∈ PS.4 D.BECHERER和K.KENTIARemark 2.2。P∈ PSEPtXEPX | F+tP-a.s.XL（P），t∈[0，T]。特别是，任何f+t-可测随机变量都有aFt-measurep版本。让a，a∈ S> 0n。

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2022-5-31 08:20:20

我们将使用P[a，a]定义的子类P[a，a]：=P∈ PS：a≤ 文学学士≤ a、 P dt-a.e。（2.1）Denis和Martini（2006）的能力框架如下。定义2.3。一个属性被称为在同一个可测空间上的一系列qof测度的Q准处处（简称Q-Q.e.），如果它在一个集合之外，该集合是Q.P[A，A]确定意义下的一个零集（简称writenp[A，A]-Q.s.），而P[A，A]中的正-渐进过程之间的不等式将是 dt-q.e.sense，用于P【a，a】 dt：=P dt，P∈ P【a，a】. 现在我们引入空间和p[a，a]XXtt∈[0，T]，FTXPXPt公司t型∈[0，T]P∈ 考虑以下函数空间：LP[a，a]XTLXT，PXT-XkXkLP[a，a]=支持∈P【a，a】EP|X个|< ∞响应。kXkL（P）=EP|X个|< ∞,b） X的H（X）（分别为H（X，P））-可预测Rn-值进程Z，其中kzkh=supP∈P【a，a】EPhZTbatZt公司dti公司<∞响应。kZkH（P）=EPhZTbatZt公司dti公司<∞,c） allX的D（X）（分别为D（X，P））-progressiveR valued ProcessyWith c\'adl\'ag pathsP[a，a]-q.s.（分别为P-a.s.），以及令人满意的kD：=支持∈[0，T]| Yt|LP【a，a】<∞响应。kY kD（P）：=支持∈[0，T]| Yt|L（P）<∞,d） L（X）LP[a，a]（XT）的子空间，由随机变量X满足kxkl：=supP∈P【a，a】EPhPess支持∈[0，T]Pess支持∈P[a，a]（t，P，X）EP|X个|Xt公司i<∞,对于度量集P[a，a]（t，P，X）：=P∈ P[a，a]：在Xt上P=P,九、 PXKPKP-a.s.kKkI（P）EPKT<∞.我XP系统P∈P【a，a】元组族（KP）P∈P【a，a】s.t.KP∈ I（XP，P）表示anyP∈ P【a，a】和SUPP∈P[a，a]kKPkI（P）<∞.（尽管符号略有不同）对于特定的测量集合系列（t，ω）：=P[a，a]t，ω∈, T×Xde以上空间的定义为FP【a，a】=FP【a，a】tt型∈[0，T]，其中FP[a，a]T：=TP∈P【a，a】FPt，t∈ [0，T]。二阶倒向随机微分方程。F、 T××R×Rn×S>0n→ 径向基函数ω，y，zFt（ω·∧t、 y，z，bat（ω））和bFt：=bFt（0,0）。

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2022-5-31 08:20:23

对于适配性，我们需要满足以下假设2.1组合的生成器和终端条件X。（i） -（ii）和假设3.1。在Possamai等人（2015年）（对于κ=p=2）。假设2.4。（i） X是FT可测量的，组合不确定性下的好交易套期保值和估值5（ii）F是联合Borel可测量的，F-在（t，ω）中累进（y，z，a），（iii）C>0，这样对于所有（t，ω，a）∈ [0，T]×Ohm ×S>0n，y，y∈ R、 z，z∈ 注册护士，Ft（ω，y，z，a）- Ft（ω，y，z，a）≤ C|y- y |+| z- z|,（四）满足感RT | bFs | ds1/2∈ L（F+）。备注2.5。假设2.4-（iv）满足假设2.4-（ii）保持且b有界P[a，a]-q.s。。它意味着支持∈P【a，a】EPhZT | bFs | dsi<∞.二阶BSDE是Yt=X型的随机积分方程-ZTtbFs（Ys，ba1/2sZs）ds-（P）ZTtZtrsdBs+KPT- KPt，t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s。。（2.2）BP[a，a]公式可以在更一般的框架中使用，其中包含正则定义的半鞅定律。5.1）。定义2.6。Y、 Z，KPP∈P【a，a】∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】P【a，a】-q.s。KP，P∈ P【a，a】满足最低条件KPT=Pess infP∈P[a，a]（t，P，F+）EPt[KPT]，t∈ 【0，T】，P-a.s.，适用于所有P∈ P【a，a】。（2.3）如果族{KP，P∈ P[a，a]}可以聚合为单个进程K，即KP=K，P-a.s.forall P∈ P[a，a]，然后（Y，Z，K）被称为解2BSDE。备注2.7。（P）R·ZtrsdBsP∈ P[a，a]P[a，a]R·ZtrsdBsZ{KP，P∈ P[a，a]}对于2BSDE解（Y，Z，（KP）P∈P[a，a]）将自动聚合为单个进程k：=Y- Y+R·bFs（Ys，ba1/2sZs）ds+R·ztrsbs生成2BSDE溶液（Y，Z，K）。对于解（Y，Z，K），族（P）R·ZtrsdBs，P∈ P【a，a】还包括骨料。F、 XYvalue过程和ZA为控制过程。以下命题提供了本文关注的良好结果，以及标准BSDE解决方案方面的价值过程表示。

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2022-5-31 08:20:28

该证明依赖于（Possamai等人，2015年，第4.1条，第4.2条）对特定测量系列的应用[a，a]，详情请参见附录。我们使用标准BSDE生成器的经典符号约定，根据该约定，下面BSDE（2.5）的生成器为-bF（即带有减号）。然而，相关2BSDE发电机的惯例仍然如前所述，例如2BSDE（2.2）具有发电机F。提案2.8。如果X∈ L（F+）和假设2.4，则2BSDE（2.2）具有a1。唯一解决方案（Y，Z，（KP）P∈P【a，a】）∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】2、对于任何P∈ P【a，a】，解的Y部分具有表示形式ys=Pess supP∈P[a，a]（s，P，F+）YPs（t，Yt），s≤ t型≤ T、 P-a.s.，（2.4）6 D.BECHERER和K.Kentia，其中（YP（τ，H），ZP（τ，H））表示标准BSDEYPt=H的唯一溶液-ZτtbFs（YPs，ba1/2sZPs）ds-（P）Zτt（ZPs）trdBs，t≤ τ、 P-a.s.，（2.5），带参数(-bF，H），对于FP停止时间τ和H∈ L（FPτ，P）。备注2.9。Possamaiet al.（2015）的ωaFresults总结在命题2.8中。后者是我们所需要的，因为Soner等人（2012）的结果可能不适用于这种情况；参见备注4.3第1部分，了解详细的调整。请注意，广义理论也适用于Soner等人（2012）所要求的终端条件函数。3.

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2022-5-31 08:20:32

金融市场模型和良好交易约束我们将第2.1节的2BSDE理论应用于或有确定性的良好交易估值和对冲，2BSDE是描述当前最坏情况估值的合适工具。考虑好的交易限制，作为金融市场中夏普比率的界限（相当于Becherer，2009年的最佳增长率的界限），并通过进一步的（衍生）波动和风险市场价格扩展。3.1。具有漂移和波动综合不确定性的金融市场。金融市场由可交易股票组成（d≤ n）贴现价格过程（Si）di=1=Smodelbydst=diag（St）（btdt+σtdBt），t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s.，s∈ （0，∞)d、式中，b（resp.σ）是aRd值（resp.Rd×n值）F-可预测一致有界过程，σ是这样的：familyn（P）Z·σsdBs，P∈ P[a，a]o聚合为单个进程z·σsdBs。（3.1）此外，我们还假设σ∑tris一致椭圆，即存在Υ，∧∈ （0，∞) 使得ΥId×d≤ σσtr≤ ∧Id×d，P【a，a】 dt-q.e.，（3.2），其中ID×D表示D×D实体矩阵。尤其是σba1/2isP【a，a】最大rankd的dt-q.e≤ n、由于σbaσtris一致椭圆且有界（由（2.1）、（3.2））。备注3.1。Sbe准确定定义为单个流程。后者在这里由聚合条件（3.1）来保证，聚合条件乍一看似乎是限制性的，但如果σ是c ` adl\'ag，则可以保证，其中的caser·σsdbsc甚至可以像Karandikar（1995）那样按路径构造。市场模型捕获了股价波动的不确定性，即σba1/2P∈ （St）t的动力学∈P下的[0，T]∈ P[a，a]isdSt=diag（St）σtba1/2t（bξtdt+dWPt），其中bξ：=ba1/2σtr（σbaσtr）-1个基点∈ P[a，a]bξRnF可预测且一致有界于一个常数，该常数仅依赖于a，a，∧，Υ和uniformbound onb。

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2022-5-31 08:20:36

因此，所描述的金融市场对于任何参考指标而言都是不完整的∈ P【a，a】表示波动率σba1/2ifd<n。在实践中，σσtr的边界a、’a和统一边界可被视为描述未来波动率值的某个置信区域，这可能有助于在组合不确定性7b下进行套期保值和估值，例如根据专家对历史或未来（隐含）波动率场景范围的意见。bξθ是以bξ为中心的径向集，也就是说，我们考虑nbξθ：=bξ+b∏（θ）θF-可预测，θt（ω）|≤ δt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohmo、（3.3）b∏（t，ω）zσtωba1/2tωtrσtωbatωσtrtω-1σtωba1/2tωzz∈ RnImba1/2tωσtrtω，t∈, TδF-可预测过程。风险市场价格集（3.3）对应于风险资产价格漂移不确定性的椭球区域，因此模糊漂移可以在LipsoIDsnx中获得值∈ 研发部：x个- bt（ω）tr公司σt（ω）bat（ω）σtrt（ω）-1.x个- bt（ω）≤ δt（ω）o，t，ω∈, T×多元高斯设置，参见例如Garlappi等人（2007）；Biagini和Pinar（2017）。我们用Θ：[0，T]×表示Ohm RN对应（集值映射）Θt（ω）：=nx∈ Rn：| x |≤ δt（ω）o，对于（t，ω）∈ [0，T]×Ohm,FδFF 注册护士-1F{t，ω∈, T×Tω∩ F 6级}FFFθθtω∈tω，t×。，T×Rnλ∈λFλt（ω）∈ Γt（ω）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.由（通常为非支配）setR捕获：=nQ:Q~ P、 dQ=（P）Eθ·WP某些θ的dP∈ Θ和P∈ P【a，a】o（P）EMexpM- M-hMiPMPQ公司∈ RPQ∈ P[a，a]，θQ∈Θ使得分解为br·ba1/2sθQsdsR·ba1/2sdwqwp的标准过程双aQ半鞅-R·θQsdsQQP，θQ∈ 卢比∈ P[a，a]θ∈请注意，pandθ的规格范围分别说明了挥发度和漂移的不确定性。S在QPθ下演化∈ R、 P-a.s.，asdSt=诊断（St）σtba1/2t（bξθtdt+dWP，θt），其中WP，θ：=WP-R·θsdsis aQP，θ-布朗运动。

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2022-5-31 08:20:39

Hencebξθ是模型QP中风险的市场价格θ，波动率σba1/2和Basatisfyinga≤ 文学学士≤ a、 Pdt-a.e。。LetMe（Q）：=Me（S，Q）表示模型Q中的等价局部鞅测度集。然后，标准论点（类似于Becherer和Kentia，2016，Prop.4.1）很容易得出以下引理3.2。对于任何P∈ P[a，a]和θ∈ Θ，set Me（QP，θ）等于tonQ~ QP，θdQ=（P）E（λ·WP，θ）dQP，θ，λ=-bξθ+η，η∈ Ker（σba1/2）o=nQ~ PdQ=（P）E（λ·WP）dP，λ=-bξ+η，η∈ Ker（σba1/2）o=Me（P）。备注3.3。P∈ P[a，a]θ∈测量Bqp，θ由Dbqp给出，θ=（P）E(-bξθ·WP，θ）dQP，θ在me（P）中，因为bξ和δ是统一边界的。这意味着我（Q）=对于anyQ∈ R.因此，市场满足了D.BECHERER和K.KENTIAQ提供的免费午餐∈ R、我们将其解释为漂移和波动不确定性下的无套利概念（asin e.g.Biagini et al.，2015）。idi=1iSiFP[a，a]可积性属性，将变得精确。在这方面，与初始资本交易策略有关的财富过程V（以便（V，Д）准肯定地满足自我融资要求）将具有动态性，在[0，T]，VT=V+Zttrs（bsds+σsdBs）=V+Zttrsσs（ba1/2sbξsds+dBs），P[a，a]-q.s。。根据被积函数φ重新参数化交易策略：=σtrИ∈ Imσtrw。r、 t.B+r·ba1/2sbξsdsyields作为财富过程的动力学Vφ：=VνVφt=V+Ztφtrs（ba1/2sbξsds+dBs）=V+（P）Ztφtrsbas（Bξsds+dWPs），t∈ [0，T]，P-a.s.P∈ P【a，a】PPPP∈ P【a，a】定义为Φ（P）：=φ∈ H（FP，P）：φt（ω）∈ Imσtrt（ω），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.P∈ P[a，a]φ（P）R·φtrsdBs，P∈ P【a，a】“利润和损失”-将聚合（参见第5页）处理为单个过程，表示DR··φTRSDB。

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2022-5-31 08:20:42

为此，我们制定了定义3.4。包括所有过程φinHFP【a，a】带φt（ω）∈ Imσtrt（ω）表示所有（t，ω）∈[0，T]×Ohm 这样的家庭（P）R·φtrsdBs，P∈ P【a，a】将骨料聚合成一个单独的过程r·φtrsdBs。P【a，a】聚丙烯∈ P[a，a]VφPφ∈P∈ P【a，a】波动率的情景σba1/2。备注3.5。Nutz（2012a）中的φFσ集理论；参见备注2.7。对动态估值和对冲没有良好的交易限制和影响。由于不存在不确定性，我们认为（经典的）不好交易限制被定义为瞬时夏普比率的界限，对于通过其他衍生产品价格a-Requejo（2000）对市场的任何扩展。在没有跳跃的设置中，这样的约束相当于风险中性定价措施的约束。备注3.6中对该估价方法的特征进行了更详细的阐述。Becherer和Kentia（2016）研究了完全漂移不确定性下的稳健好交易套期保值。通过在Q中加入歧义来扩展该理论∈ RQ公司∈ RQngdQ MEQ参考优先级Q∈ R、组合不确定性下的好交易套期保值和估值9为了解释好交易方法的想法，我们将首先不讨论漂移或波动性的模糊性，让我们考虑QP、θR制定一个规范，并给出波动性和漂移的θ，作为起点。在主要章节4.3.2.1中解释了问题。给定模型qp，θ下无不确定性的无优交易问题。Lethbe a fixedfqp，θRP∈ P[a，a]和θ∈Θ），我们考虑模型QP，θ中非好交易测度的集合Qngd（QP，θ）是由所有等价的局部鞅测度q组成的e（QP，θ）的子集，其Girsanovkernelsλw.r.t。QP，θ-布朗运动wp，θ在|λt（ω）|的意义下有界≤ ht（ω）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.

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nandehutu2022

2022-5-31 08:20:45

更准确地说，使用引理3.2，我们定义了ngd（QP，θ）：=nQ~ QP，θdQdQP，θ=（P）Eλ·WP，θ, 对于F-可预测λ=-bξθ+η，带|λ|≤ η为h∈ 克尔σbao、（3.4）在续集中，选择θ（不一定可测量）来满足bξθt（ω）≤ ht（ω），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, θ∈ Θ。（3.5）bQP，θQngdQP，θP∈ P[a，a]，θ∈Θ。除此之外（3.5）还将用于证明2BSDE的合理性，该解决方案将描述稳健的好交易估值约束和对冲策略（参见TheoremsP∈ P[a，a]θ∈QngdQP，θm-稳定）。后一种属性，在经济文献中也被称为矩形性，即对先验的期望；一般研究见Delbaen（2006）。对于FIXEDP∈ P[a，a]和θ∈Θ，索赔的上好交易边界∈ 对于给定的漂移和波动率规格，模型QP，θ中的L（FPT，P）定义为πu，P，θt（X）：=Pess supQ∈Qngd（QP，θ）EQt[X]，t∈ [0，T]，每年。。（3.6）备注3.6。QngdQP，θQS，SS（局部）Q-鞅，扩展市场不仅没有套利，而且不允许动态交易的机会，具有非常有吸引力的报酬风险比。更准确地说，qngdqp，θ产生的瞬时夏普比超过了边界（见Bj¨ork和Slinko，2006，第3节上πu，P，θt（X）和下-πu，P，θt(-十）好的交易边界决定了在任何时候，超好交易的次间隔机会。十、∈ LPQP，θ′φP，θ∈PρP，θ来自于市场中的持有X和动态交易。由于卖方收取保费πu，P，θ·（X）Xπu，P，θρP，θ10 D.BECHERER和K.KENTIAρP，θ相干风险度量ρP，θt（X）：=Pess supQ∈Pngd（QP，θ）EQt[X]，t∈ [0，T]，P-a.s.，带（3.7）Pngd（QP，θ）：=nQ~ PdQdQP，θ=（P）Eλ·WP，θ, λF-程序|λ|≤ 惠普公司 dt-a.e.o.PngdQP、θQP、θQP、θ价格过程（但它们是w.r.t.市场，只有无风险资产≡1）。

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2022-5-31 08:20:48

这意味着qngdqp，θPngdQP，θ∩ MeQP，θρP，θtX≥ πu，P，θtX，t∈, T、 PX∈ LPQngdQP，θPngdQP，θP∈ P[a，a]θ∈风险度量ρP，θ：L（FPT，P）→ L（FPt，P）是时间一致的。对于固定参考指标qp，θ，卖方对x的套期保值问题∈ 然后，L（FPT，P）即为‘φP，θ’∈Φ（P）使得P几乎可以确定所有t∈ [0，T]保持πu，P，θT（X）=Pess infφ∈Φ（P）ρP，θt十、-（P）ZTtφtrsbasbξsds+dWPs= ρP，θt十、-（P）ZTt（(R)P，θs）trbasbξsds+dWPs.（3.8）可以显示（参见Becherer（2009）中的Cor.5.6）或道具。Becherer和Kentia（2016）中的4）指出，对于P[a，a]中的P和θinΘ，跟踪（或对冲）误差r′φP，θ（X）：=πu，P，θ·（X）- πu，P，θ（X）-（P）Z·（°P，θs）trbasbξsds+dWPs(R)φP，θQ∈ PngdQP、θPngdQP、θ广义情景（参见Artzner等人，1999年）。QP，θP∈ P【a，a】a∈ S> 0na（t，ω）·a，⊥（t，ω）·子空间上的正交投影σt（ω）atrandKer公司σt（ω）aofRn，t，ω∈, T×a∈ S> 0nt∈, Tωz的投影∈ r由∏at（z）=（σta1/2）tr（σtaσtrt）给出-1（σta1/2）z和∏a，⊥t（z）=z- 在（z）处∏。特别是我们定义了∏（t，ω）（·）：=∏bat（ω）（t，ω）（·）和b∏⊥（t，ω）（·）：=πbat（ω），⊥（t，ω）（·）。ForP公司∈ P[a，a]和θ∈Θ，让我们考虑P下的标准BSDE，Yt=X-ZTtbFθs（Ys，ba1/2sZs）ds-（P）ZTtZtrsdBs，t∈ 【0，T】，P-a.s.，（3.9）数据X∈ L（FPT，P）和发电机-bFθt（ω，·）=-Fθ（t，ω·∧t、 ·，bat（ω）），其中fθ（t，ω，z，a）：=- ∏a，⊥（t，ω）θt（ω）tr∏a，⊥（t，ω）（z）+bξtrt（ω）∏a（t，ω）（z）-ht（ω）-bξt（ω）+∏a（t，ω）（θt（ω））∏a，⊥（t，ω）（z）（3.10）对于所有（t，ω，z，a）∈[0，T]×Ohm×Rn×S>0n。

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2022-5-31 08:20:52

根据（Becherer，2009，Thm.5.4），组合不确定性11YP，θ，ZP，θ下的估值上限πu，P，θ·X'φP，θQP，θ好交易套期保值和估值∈ DFP，P×HFP，Pπu，P，θ·XYP，θ和bat′φP，θt=b∏tbatZP，θt+∏⊥t型batZP，θtqht公司-bξt+b∏tθtbξt+b∏tθtP dt-a.e。。由于漂移不确定性可以包含在具有一个主要参考度量的设置中，Becherer和Kentia（2016）将上述标准BSDE对良好交易边界和对冲策略的描述扩展到仅存在漂移的不确定性。在不确定的情况下，后者在这样一个典型的非支配的设置中。4、组合不确定性下的良好交易套期保值和估值相对应的套期保值概念是稳健的w.r.t.组合漂移和波动不确定性。根据Barrieu和El Karoui（2009）的精神，我们对ρ进行ρ测量，以允许在不确定性条件下与市场进行最佳风险分担。就估值而言，将不确定性厌恶视为对不好交易限制的惩罚似乎是很自然的，因为它意味着不确定性下的好交易界限比不确定性更宽，例如Gilboa和Schmeidler（1989）；Hansen和Sargent（2001年）。这种想法是，对于实际漂移和波动率的模糊性持反对态度的代理人，可以保守地选择最坏情况下的估值方法，以补偿在其置信度设置中所有可能的先验条件下，在最大的上（或最小的下）好交易边界下可能存在金融风险的损失。

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2022-5-31 08:20:56

考虑到非支配性可能产生的技术困难，特别是在编写基本suprema时，我们定义了金融风险X的最坏情况下良好交易上限πu·（X）∈ LP[a，a]作为唯一过程πu·（X）∈ DFP【a，a】（如果存在）满足πut（X）=Pess支持∈P[a，a]（t，P，F+）Pess supθ∈πu，P，θt（X），t≤ T、 P-a.s.，P∈ P[a，a]，（4.1）πu，P，θ·Xπl·X-πu·-X研究上限。福尔克斯∈ L（F+），我们在第4.1节中显示，（4.1）确实定义了一个单过程πu·（X），可以将其识别为特定2BSDE溶液的组成部分。XP【a，a】ρ在市场中的持有和交易。作为一个为X收取溢价πu·（X）的卖家，她希望上好的交易一定是最小的资本，以使她的头寸ρ始终可以接受，从而πu·（·）成为与ρ·（·）相对应的市场一致性风险度量。投资者的第二个目标是稳健性（对冲和估值）w.r.t.ρπu·XX的模糊性∈ L（F+）在（4.1）和对冲问题（3.8）中，在没有不确定性的情况下，我们定义ρ·（X）12 D.BECHERER和K.Kentia for X∈ LP[a，a]是D中唯一的过程FP【a，a】（如果存在）满足以下条件：∈ [0，T]，ρT（X）=Pess支持∈P[a，a]（t，P，F+）Pess supθ∈ρP，θt（X），P-P的a.s∈ P【a，a】，（4.2）对于ρP，θ·（·）定义于（3.7）。上述考虑因素导致了一个很好的交易对冲问题，即F或有索赔∈ L（F+）写入：查找‘’φ∈Φ，以便所有P∈ 几乎可以肯定的是∈ [0，T]，πut（X）=Pess infφ∈Φρt十、-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs= ρt十、-ZTt？φtrsba1/2sbξsds+dBs.（4.3）PngdPngdQQ∈ Rvolatilities，我们定义了策略φ的跟踪误差Rφ（X）∈ Φ用于索赔X∈ L（F+）asRφ（X）：=πu·（X）- πu（X）-Z·φtrsba1/2sbξsds+dBs. （4.4）RφtXXφtπuheging策略‘（X）用于索赔鲁棒w.R.t。

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2022-5-31 08:20:59

（漂移和波动性）不确定性ifRφ（X）是（FP，Q）-每个Q的上鞅∈ Pngd（QP，θ）对所有P一致∈ P[a，a]和θ∈ Θ。备注4.1。如果跟踪误差rφ（X）是任何QinPNGD（QP，θ）的（FP，Q）-上鞅，那么在模型QP，θ中，策略φ被称为“至少平均自我融资”，类似于SECT。2，在最小鞅测度下进行估值），对应于aQP，θP∈ P[a，a]θ∈Θ，这可以解释为|φ的鲁棒性（参见Becher和Kentia，2016）w.r.t.关于漂移和波动性的模糊性。我们在第4.2节中表明，对于组合不确定性，稳健的好交易套期保值策略“φ”可以通过πurobast获得。该策略与第4.3.4.1节中的几乎确定对冲（即超级复制）策略有很大不同。好交易估值界限。对于每个HP∈ P【a，a】，t∈[0，T]和p∈ P[a，a]（t，P，F+），模型中漂移不确定性下的最坏情况良好交易边界∈ L（FPT，P）乘以πu，Pt（X）：=Pess supθ∈πu，P，θt（X），P-a.s.，因此（4.1）重写FT可测X∈ L（F+）为πut（X）=Pess supP∈P[a，a]（t，P，F+）πu，Pt（X），t∈ [0，T]，P-a.s.，P∈ P【a，a】。（4.5）漂移不确定度πu，P·（X）forP∈ P【a，a】是标准BSDE在终端条件X和发电机下的数值过程-bF（t，ω，·）=-F（t，ω·∧t、 ·，bat（ω）），其中f（t，ω，z，a）：=infθ∈ΘFθ（t，ω，z，a），对于所有（t，ω，z，a）∈ [0，T]×Ohm ×Rn×S>0n，（4.6）组合不确定度13andFθ下的良好套期保值和估值由（3.10）给出，每个选择θ为Θ。用（4.5）和上述BSDE表示πu，P·（X），P∈ P[a，a]，稳健的好交易界πu·（X）也可以像（Soner等人，2013年，等式（4.12）和Prop）中一样公式化。4.10）（或者Possamai等人，2015年，等式（2.6）和Lem。3.5）作为非线性核随机控制问题的值过程。

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2022-5-31 08:21:03

粗略地说，这意味着写下πut（X）（ω）=supP∈Pt[a，a]πu，P，t，ωt（X）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, （4.7）式中，πu，P，t，ω·（X）由标准BSDEs下的解给出∈ Pt【a，a】，终端值X和生成器如（4.6）所示，但定义在正则空间上Ohmt： ={ω∈ C（[t，t]，Rn）：（移位的）正则过程bt，（移位的）自然过滤ft和关联pt[a，a]t的（移位的）路径中的（ω（t）=0}∈, 任意（T，ω）和P的Tπu，P，T，ωtxinded常数∈ Pt【a，a】（如第2部分备注4.3所示），因此，点界πut（X）更好地反映了后者背后的经济直觉，并且作为一个随机控制问题，对于文献来说更为经典，它可能不太适合处理套期保值问题（4.3），而本质上确界公式（4.5）似乎更为合适。（4.7）类控制问题的值过程可以描述为πu·X2BSDEYt=X-（P）ZTtZtrsdBs-ZTtbFs（ba1/2sZs）ds+KPT- KPt，t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s，（4.8），发电机F由（4.6）给出，终端条件X。我们有以下定理4.2。XFTLF+Y、Z、KPP∈P【a，a】∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】YP公司∈ P[a，a]保持πut（X）=Yt，t≤ T、 P-a.s。。证据我们的目标是应用第1部分。证明2BSDE（4.8）解的存在性和唯一性。为此，由于XISFT可测量且inL（F+）it需要检查XFBF≡（iv）明显有效。

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2022-5-31 08:21:07

至于（iii）关于nz的一致Lipschitz连续性，足以证明函数fθ，对于θ∈Θ，对于所有（t，ω，a）都是相等的Lipschitz∈[0，T]×Ohm×S>0n。后者由Minkowski和Cauchy-Schwarz不等式得出Fθ（t，ω，z，a）- Fθ（t，ω，z，a）≤∏a，⊥（t，ω）θt（ω）·∏a，⊥（t，ω）（z）- z）+bξt（ω）·πa（t，ω）（z- z）+ht（ω）-bξt（ω）+∏a（t，ω）（θt（ω））∏a，⊥（t，ω）（z）- z）≤ δt（ω）z- z+bξt（ω）z- z+ ht（ω）z- z≤ Cz- z,θ∈C∈, ∞,δhFFFFt，ωz∈ Rn，a∈ S> 0n[0，T]×Ohm×Rn（t，ω，θ）7→ Fθ（t，ω，z，a）从（3.10）中定义，通过（省略对ω的依赖性以简化符号）Fθ（t，·，z，a）=-θtrz+θtraσtrt（σtaσtrt）-1σtaz+bξtrtaσtrt（σtaσtrt）-1σtaz-ht公司-bξt+aσtrt（σtaσtrt）-1σtaθ|z|- ztraσtrt（σtaσtrt）-1σtaz（4.9）在θ和（t，ω）中是连续的，因为σ，h，bξ是可预测的。自通信FZ以来∈ Rn×S>0nF·，·，z，aF14 D.Becher和K.KENTIAFθz，a∈Ft，ω，z，aFθz，a（t，ω）t，ω，z，ainfθ∈Θt（ω）Fθ（t，ω，z，a）表示所有（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 现在考虑：【0，T】×Ohm×Rn×S>0nRn，a在其最后两个参数中为常数的响应，并定义为Θt（ω，z，a）：=所有（t，ω，z，a）的Θt（ω）∈[0，T]×Ohm×Rn×S>0n。则为aP（F）B（Rn）B（S>0n）-可测对应fpffmeasurability ofF，它通过与tot、ω、z、a7上的参数类似的可测选择参数来实现→ infθ∈eΘt（ω，z，a）Fθt，ω，z，aB，t 英尺 BRn公司 BS>0不可测量。表明（t，ω，z，a，θ）7→ Fθ（t，ω，z，a）是一个Carath'eodory函数，表示θ7→ Fθt，ω，z，at，ω，z，a仅表示（t，ω，z，a）7→ Fθ（t，ω，z，a）对于每个θ都是可联合测量的。首先注意fθ（·，·，z，a）是b（[0，T]）FT可测量（z、a、θ）∈ Rn×S>0n×Rn，因为它是可预测的。x个∈ Rn×k，y∈ Rn×pk，p∈ NRn×n3 a 7→ X射线∈ Rk×pa 7→ 一-1a 7→ 行列式运算符的连续性序列。

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2022-5-31 08:21:10

因此，从（4.9）可以推断贴图>0n3 a 7→ Fθ（t，ω，z，a）是连续的。总的来说，因为fθ在（t，ω，a）中是Lipschitz，在（z，a）中是连续的。作为Carath'eodory函数，（t，ω，z，a）7→ Fθ（t，ω，z，a）是联合可测的，这意味着联合可测性关闭。总的来说，我们已经证明F符合假设2.4。因此，该定理的第一个主张在第1部分之后。第二项权利要求来自第2部分。第2.8条中，回顾了良好交易约束和使用的表达式（4.5）（Becherer和Kentia，2016年，第4.11条）。备注4.3。x）的一些连续性，生成函数f在ω中是凸的（ina）和一致连续的（UC），这在σ，h的UC假设下是成立的。然而，在当前具有组合不确定性的情况下，只要考虑（4.6）得出的f的非零连续性，则两者都不是。E、 g.，它的一个有效条件是族（Fθ）θ∈Θ是等连续的（ω），这似乎是限制性的。P∈ P[a，a]πu·X∈ DFP【a，a】十、∈ LF+πu·XFP[a，a]πuXFP[a，a]-可测量的因此，根据引理2.1的零一定律，πu（X）是确定性常数，其中πu（X）=supP∈P[a，a]πu，P（X）。3、根据命题2.8，好交易界πu·（·）满足了L（F+）中每个Borel可测索赔X的动态规划原则：对于任何P∈ P[a，a]保持πus（X）=Pess supP∈P[a，a]（s，P，F+）πu，Ps（πut（X））=πus（πut（X）），s≤ t型≤ T、 P-a.s。。t、 X7级→ πutXtime一致性动态一致性风险度量。4.2。稳健的好交易对冲。我们现在根据第2.1节的2BSDE理论研究稳健的好交易对冲策略。到（4.2），我们得到了X∈ ρt（X）=Pess supP的LP[a，a]∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt（X），t∈ [0，T]，P-a.s。

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2022-5-31 08:21:13

对于所有P∈ P【a，a】，（4.10），其中ρPt（X）：=Pess supθ∈ρP，θt（X），t∈ [0，T]。PngdQP，θP∈ P[a，a]，θ∈Sθ∈ΘPngdQP，θρPLP→ 组合不确定性下的LP、FtGOOD DEAL套期保值和估值15ρPtX≥ πu，PtX，t∈, T、 PX∈ LP，FT发电机功能F：[0，T]×Ohm ×Rn×S>0n→ 定义的byF（t，ω，z，a）：=-（ht+δt）| z |，对于所有（t，ω，z，a）∈ [0，T]×Ohm ×Rn×S>0n，（4.11）和相关的2BSDEYt=X-（P）ZTtZtrsdBs-ZTtbFs（ba1/2sZs）ds+K0PT- K0Pt，t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s。。（4.12）下面的命题4.4给出了ρ·（X）的2BSDE描述，类似于第3部分-4、注释4.3对于πu·（·），意味着ρ定义了一个动态风险度量（类似于πu·（·）），该度量在所有ft可测量xinl（F+）上是时间一致的。该证明类似于定理4.2，其细节包含在附录中。提案4.4。LetXbe aFT可测量索赔inL（F+）。然后存在唯一解（Y，Z，（K0P）P∈P【a，a】）∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】至2BSDE（4.12）。此外，该过程非常令人满意（4.10），并且对于所有P∈ P[a，a]保持ρt（X）=Yt，t∈ [0，T]，每年。。仅存在漂移不确定性情况下的良好交易估值和套期保值结果注释∈ P【a，a】，P∈P[a，a]（t，P，F+）和X∈ L（FPT，P）一个有，P-a.s.在t上∈ [0，T]，πu，Pt（X）=Pess infφ∈Φ（P）ρPt十、-（P） ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs.FTXLF+P∈ P[a，a]psuren，πut（X）=Pess支持∈P[a，a]（t，P，F+）Pess infφ∈Φ（P）ρPt十、-（P） ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]。（4.13）家庭\'\'φP∈ Φ（P），P∈ P【a，a】满足每个P的交易策略∈ P[a，a]，πut（X）=Pess供应∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt十、-（P） ZTt（°Ps）trba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]，每年。。

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kedemingshi

2022-5-31 08:21:16

（4.14）此外，为每个P提供了φPis∈ P[a，a]bybat？φPt=b∏tbatZP，Xt+∏⊥t型batZP，Xtqht公司-bξt+b∏t°θPtbξt+b∏t°θPt, P dt-a.e.，其中（YP，X，ZP，X）with YP，X=πu，P·（X）是标准BSDE底层的解决方案∈ P【a，a】带数据(-bF（ba·），X）用于（4.6）中定义的FD，以及“θPis aFP可预测选择的Θ满足BFT（batZP，Xt）=bF“θPt（batZP，Xt）=F”θP（t，batZP，Xt，bat）P dt-a.e.，对于θ=(R)θP，F'θP如（3.10）所示。备注4.5。在没有波动不确定性的情况下（如Becherr和Kentia，2016年所研究的），P【a，a】{P}aaIn×n'φPXXLP【a，a】FTLF+LFT，PP【a，a】πu·Xπu，P·Xρ=ρP。然而，在存在波动不确定性的情况下，情况更为复杂，因为每个策略φ和风险度量ρP只能定义为每个（非支配）度量P的空集∈ P【a，a】。因为我们正在寻找一个单一的过程∈Φ套期保值问题的解决方案（4.3），一种方法是研究{φP，P∈ P[a，a]}可聚合16 D.BECHERER和K.KENTIA'φ∈\'\'φ\'\'φPP dt-a.e.P∈ P[a，a]（4.14）将为任何P编写∈ P[a，a]为πut（X）=Pess supP∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt十、-ZTt？φtrsba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]。P-a.s.=ρt十、-ZTt？φtrsba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]，P-a.s.，φπu··≤ ρ··就2BSDE的Z部分而言，聚集条件具有一定的限制性和高度的技术性（参见Soner等人，2011年）（参见下文（4.15））解决了好交易对冲问题。仅在漂移不确定性的较简单框架中，存在最坏情况下的测量值“P”∈ r如πu·（·）=πu，P·（·）成立，好交易对冲策略“φ”锁定模型“Pis鲁棒w.r.t.辅助（较大）估值界，相关对冲策略自动满足该估值界的鲁棒性，然后通过鞍点结果（参见。

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2022-5-31 08:21:19

Becherer和Kentia，2016年，Thm。4.13）通过将辅助界限和套期保值策略与标准的良好交易界限进行识别，但这种最坏情况的衡量标准不太可能适用于一般索赔。相反，引理5.1（4.15）中的候选策略确实满足了所需的稳健性属性。您的证明没有使用2BSDE的任何比较定理（例如，在Kentia，2015年，第4.1.3节）。这将需要终端财富srtφtrsdbsa作为2BSDEs成为L（F+）的可能终端条件，而φ可能不是这种情况∈ Φ。对于L（F+）中的Borel可测量索赔X，考虑由BAT定义的过程“φ：=”φ（X）’φt：=b∏tbatZt公司+∏⊥t型batZt公司qht公司-bξt+b∏t\'θtbξt+b∏t\'θt, P【a，a】 dt-q.e.，（4.15）对于唯一解（Y，Z，（KP）P∈P[a，a]）到2BSDE（4.8），“θ”是aFP[a，a]-可预测的过程，带有|θt（ω）|≤ δt（ω）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 满足bft（batZt）=bF′θt（batZt）=F′θ（t，batZt，bat），P[a，a] dt-q.e。。（4.16）’θ∈在定理4.2的证明中，使用zisfp[a，a]-可预测，ΘisF可预测和pf这一事实 PFP【a，a】.如果家庭（P）R·ZtrsdBs，P∈ P【a，a】“盈亏”流程合计。定理4.6（组合不确定性下的稳健好交易对冲）。对于anFT可测xinl（F+），设（Y，Z，（KP）P∈P[a，a]）是唯一解inDFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】（P）R·ZtrsdBs，P∈ P【a，a】processR·ZtrsdBs。然后：1。（4.15）中的过程“φ=”φ（X）位于Φ中，解决了好交易套期保值问题（4.3）。任意Q下的R′φX′φ（4.4）FP，qs超鞅∈ PngdQP，θ, 对于所有P∈ P[a，a]，θ∈ Θ。Xcontingent的声明显然可能依赖于路径。证据我们首先证明第二种说法，然后用它来暗示第一种说法。请注意，根据积分Z的条件，（4.15）给出的策略“φ”显然属于Φ。

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kedemingshi

2022-5-31 08:21:23

根据定理4.2，我们知道πu·XYY，Z，KPP∈P【a，a】P∈ P[a，a]θ∈组合不确定性下的大宗套期保值与估值17Q∈ Pngd（QP，θ）。ThenQis相当于qp，θ和dq=（P）E（λ·WP，θ）dQP，θ表示λ|≤ 惠普公司dt-a.e。。然后，R’φ：=R’φ（X）的动力学被给出P-几乎可以肯定的是，对于所有t∈ [0，T]由-dR？φt=-bFt（batZt）dt- ZtrtdBt+(R)φtrtbatbξtdt+dBt+ dKPt公司=(R)φtrtbatbξt-bFt（batZt）dt公司-Zt公司-\'\'φttrbatdWPt+dKPt。通过改变ptoqf的测度，对于q布朗运动wq=WP-R·（λt+θt）dtone几乎可以肯定地得到P-对于所有t∈ [0，T]那-dRφt=(R)φtrtbatbξt- （λt+θt）trbatZt公司-\'\'φt-bFt（batZt）dt公司-Zt公司-\'\'φttrbatdWQt+dKPt。自最大值|λ|≤hλtrtbat（Zt-\'\'φt）=htbat（Zt-(R)φt）, P dt-a.e.，然后‘φtrtbatbξt-（λt+θt）trbatZt公司-\'\'φt≥(R)φtrtbatbξt-θtrtbatZt公司-\'\'φt-ht公司球棒Zt公司-\'\'φt, Pdt-a.e。。（4.17）“φthatbFt（batZt）=”φtrtbatbξt的表达式（4.15）-\'θtrtbatZt公司-\'\'φt-ht公司球棒Zt公司-\'\'φt, P【a，a】dt-q.e.，对于θ∈ Θ满足（4.16）。因此，第3部分。引理5.1的结果是“φtrtbatbξt”- θtrtbatZt公司-\'\'φt- ht公司球棒Zt公司-\'\'φt≥bFt（batZt），P【a，a】 dt-q.e。。（4.18）因此，既然KPI是非递减的，那么结合（4.17）和（4.18）意味着Q半鞅φ的有限变量部分是非递增的。此外，一个hasR'φ∈ D（FP，P），因为πu·X∈ DFP【a，a】 DFP，P？φ∈PλθdQdPFTLpFT，Pp<∞R？φ∈ D2级-FP，Qsome > 因此，R’φ是（FP，Q）-上鞅。(R)φ问题（4.3），设P∈ P【a，a】。然后乘以（4.13）和Φ Φ（P）适用于所有P∈ P[a，a]有P-a.s.πut（X）≤Pess支持∈P[a，a]（t，P，F+）Pess infφ∈ΦρPt十、-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs≤Pess infφ∈ΦPess供应∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt十、-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs=Pess infφ∈Φρt（X-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs) 对于t∈ [0，T]。得出以下结论：∈Φ是一个很好的对冲策略，满足（4.3），它需要显示所有θ∈ Θ，P∈ P【a，a】该P—a.s。

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2022-5-31 08:21:26

对于所有t∈ [0，T]，P∈ P[a，a]（t，P，F+）和Q∈ Pngd（QP，θ）保持πut（X）≥ EQt十、-ZTt？φtrsba1/2sbξsds+dBs.为此，让θ∈Θ，P∈ P【a，a】。根据该定理的第一个主张，跟踪误差R'φ：=R'φ·（X）'φFP，QQ∈ PngdQP，θP∈ P[a，a]2.1πut（X）-πu（X）-Rt？φtrsba1/2sbξsds+dBs≥ EQt十、-πu（X）-RT？φtrsba1/2sbξsds+dBs, P-a.s.，Q∈ PngdQP，θ，P∈ P[a，a]t，P，F+t≤ t索赔。备注4.7。定理4.6的假设。尽管2BSDE解决方案的Z组件在某些情况下无法保证。例如，在马尔可夫微分环境中，可以使用部分微分方程（PDE）参数来表明Z分量甚至是连续的。第4.3节中提供了此类设置的一个示例，其中，对于一些有界或有权益，除了ZZ的连续性之外，我们甚至可以获得2BSDE（4.8）的明确解决方案。在最一般的情况下，18 D.BECHERER和K.KENTIArid在Φ和定理4.6的陈述中给出了聚集条件；参见备注2.7和3.5.2。定理4.6的一个结果是一个极小极大恒等式：对于P∈ P[a，a]保持a.s.πut（X）=Pess supP∈P[a，a]（t，P，F+）Pess infφ∈Φ（P）ρPt十、-（P）ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs=Pess infφ∈ΦPess供应∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt十、-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]。4.3。案例研究：对冲非交易但相关资产的看跌期权。在本小节中，我们研究了一个简单的马尔可夫例子，以提供更多的直觉，并说明一般但抽象的主要定理，给出了稳健的好交易估值和对冲的封闭式公式。资产的具体细节。

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2022-5-31 08:21:29

后者是不完全参数设置下最优部分套期保值的一个典型问题，也可以通过更标准的最优控制方法来解决，利用漂移和波动率不确定性的组合所带来的困难，与仅一种类型的变量相比，使识别优化器和最坏情况先验（或参数）更加复杂，公平的方法（例如，稳健的超级复制）起初可能会提出其他建议。当然，对于一般的问题公式，在主要定理4.2和4.6中，已经用2BSDE充分描述了解的特征。让我们考虑一个金融市场，其中只有一种风险资产（a股）的贴现价格为SSLP[a，a]-q.s.，由DST=St（bdt+σSdBt）和dLt=Lt给出γdt+β（ρdBt+p1- ρdBt）,BB，BP[a，a]adiaga，aadiaga，aS>0S，L，σS，β，∞b、 γRσS，∈ R1×2Pρ∈-,恒定边界∈[0，∞) 关于瞬时夏普比率，我们将推导出稳健的好交易估值和对冲的闭合表达式，对于欧洲看跌期权x：=（K-LT）+对非交易资产进行罢工∈（0，∞) 和到期时间，并确定相应的最坏情况漂移和波动率。首先，我们假设漂移率bofs0为零，因此风险bξ的中心市场价格准肯定地消失，并且只考虑波动率的不确定性情况（即δ≡0）。对于这种情况，我们将确定封闭形式下稳健估值边界的最坏情况波动率，并将稳健的好交易对冲与经典的稳健的超复制低估不确定性进行比较。

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2022-5-31 08:21:32

在此之后，我们讨论了漂移和波动性相结合的更复杂的情况。我们研究了在波动性不确定性下导出的鲁棒好交易界对漂移参数γ变化的敏感性∈ R表示非交易资产。巴洛特巴比巴=巴贝巴和ba=bcbcbcbc,组合不确定性条件下的良好套期保值和估价19有σba=σS（bc，bc），ba=（bc）+（bc），ba=bc（bc+bc），ba=（bc）+（bc）和baba- （ba）=bcbc公司- （bc）,（4.19）暗示IM（σba）tr=z∈ R： bcz公司-bcz=0andKer（σba）=z∈ R： bcz+bcz=0.因此，对于z=（z，z）tr∈ Rone getsb∏（z）=ba（bc）z+BCBCZBCCZ+（bc）zandb∏⊥（z） =ba（bc）z-bcbcz（bc）z-bcbcz公司. （4.20）在δ的情况下≡ 因此，2BSDE（4.8）在此处重写为asYt=X-（P）ZTtZtrsdBs-ZTtbFs（ba1/2sZs）ds+KPT- KPt，t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s.，（4.21），其中从（4.20）和（4.19）可以得到，P[a，a] dt-q.e.，bFt（ba1/2tz）=-h类b∏⊥t型ba1/2tz= -h类蝙蝠- （bat）1/2球棒-1/2z, （4.22）zz，ztr∈ RLTFTx 7→K- x+XFTLF+πu·XYv∈ C1,2[0，T）×（0，∞)到Black Scholes型PDEvt型+γ- hβp1- ρ√一x个vx+βρa+（1- ρ） a）xv在集合[0，T）×（0，∞), 边界条件v（T，·）=（K- ·)+.PaP公司oa1/2B-1.∈ P【a，a】hBitat Pa dt-a.s.Lunder-Pai是一个几何布朗运动，动力学为Lt=Ltγdt+(R)βρdW1，Pat+p1- ρdW2，帕特, t型∈ [0，T]，Pa-a.s.，其中WPa=（W1，Pa，W2，Pa）：=（a）-1/2B是Pa布朗运动，’β：=βρa+（1- ρ） a> 0和ρ：=ρ√一ρa+（1- ρ） a-∈ [-1，1]。vt，LtvXK- LT+PA参数类似于（Becherer和Kentia，2016，第3.2.1节），v（t，LT）CoalignSpa-a.s.中公式的推导。

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nandehutu2022

2022-5-31 08:21:36

估值界为πu，Pat十、对于allt≤ T、以闭合形式给出，asv（T，Lt）=πu，Pat（X）=KN(-d-) - Ltem（T-t） N个(-d+（4.24）=em（T-t）* 证券卖出价格时间：t，地点：Lt，罢工：Ke-m（T-t），体积：(R)β,其中，“B/S-put-price”表示零利率的标准Black-Scholes看跌期权定价公式，“vol”缩写为波动率，n表示标准正态定律的cdf，m：=γ-hβp1- ρ=γ-hβp1- ρ√a、 andd±：=ln公司Lt/K+m±’β（T-t）\'\'β√T- t型-下面引理的详细证明可以在附录中找到。引理4.8。Y=v（t，Lt），Zt=βLt的三重（Y，Z，K）vx（t，Lt）ρ、 p1级- ρtr和KGIVENV∈ C1,2, T×，∞Y、 Z∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】R·ztrsdbs可以按路径定义。20 D.BECHERER和K.Kentia估值和对冲的最坏情况模型：使用引理4.8，定理4.2由（4.24）暗示，看跌期权X的稳健良好交易边界=（K- LT）+由πut（X）=KN以闭合形式给出(-d-) - Ltem（T-t） N个(-d+，t∈ [0，T]，Pa-a.s。。（4.25）πu·XXK- LT+aPa∈ P【a，a】hBitatPa dtπut十、πu，帕特十、对于allt∈[0，T]，Pa-a.s。。此外，πut十、根据Black-Scholes的类型公式明确给出，用于修改的strikeKexp(-m（T-t））和波动率β=βρa+（1-ρ） a1/2。类似地，X的φxf由φt=-βem（T-t） N个(-d+）Ltba-1/2tb∏tba1/2tρ、 p1级- ρtr公司= -βem（T-t） N个(-d++Ltρ+batbatp1- ρ、 0个tr，Pa dt-a.e.，（4.26）ba-1/2b∏ba1/2z兹巴巴斯，trzz，ztr∈ R、这可以通过（4.20）和（4.19）直接得到。类似地，好交易下界πl·十、也可以计算相应的对冲策略，但在最坏情况下∈ Avellaneda等人研究的“最小”波动率矩阵a.hπu·X的P[a，a]向鲁棒无套利估值上界。

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