为此，我们定义了两个自适应过程d（1）和d（2）byd（1）j：=inf{d∈ {1，…，5}| Xd，j≥ Xn，jn=1。。。，5}d（2）j：=infnd∈ {1，…，5}\\{d（1）j}Xd，j≥ Xn，jN∈ {1，…，5}\\{d（1）j}或j=0。。。，J、 因此，d（1）jand和d（2）Jin分别是timetj的最大和第二大资产。特别是，它们可以看作是Xj的功能。基于此，我们定义了以下函数，这些函数作为我们近似Y的基础：ηj（Xj-1，Xj）：=1，ηι+1j（Xj-1，Xj）：=Xd=1Xd，j{d（ι）j-1=d}，ι=1，2，ηι+3j（Xj-1，Xj）：=Xd=1Eh（Xd，J- K）+- 2（Xd，J- K）+Xd，ji{d（ι）j-1=d}，ι=1，2，ηj（Xj-1，Xj）：=Xd=1Eh（Xd，J- K）+Xd，ji{d（1）j-1=d}。对于j=0，我们替换1{d（ι）j-1=d}乘以1{d（ι）j=d}，ι=1，2。在这里，我们写下，为了模拟实用性和稍微滥用符号，基函数作为（Xj）的函数-1，Xj）而不是（Xj-1，Bj）。注：例如，第四个基函数表示在时间tj对应的看涨期权价差在时间tj最大的资产上的价格-1、将指标中的时间指数移动一个时间步（与[1]中基于时间tj的大资产的更直观的函数基础相比），在这个数字示例中是不必要的，但确保了“一步”条件期望Rkj-1（Xj-1） in（25）以封闭形式提供。基本上，这些是tj时期欧洲期权的Black-Scholes价格和Black-Scholes Delta-1在时间tj时的（第二）大资产上-利用这些基函数，我们构造了第5.1节所述的输入近似值。对于鞅极小化算法，我们像以前一样运行∧mini=∧test=1000条路径，并从集合{γ，…，γ}={0，0.025，…，0.5}中获取惩罚p参数。使用∧reg=100.000条回归路径，采用改进的LSMC方法。

下面的表2和表3显示了相应的上界和下界估计量，以及基于这两种输入近似的二阶迭代改进。如前所述，我们用^Y（up，k）和^Y（low，k）分别表示第k次改进产生的上限和下限。总的来说，我们发现从两种不同的方法计算的上界估计量^Y（up，0）、mini和^Y（up，0），reg的质量几乎相同，以获得输入近似的系数。它们的变化幅度通常小于两个经验标准差。下界^Y（低，0）、mini和^Y（低，0）、reg的值相同。我们还观察到，与通用实现相比，输入输出下界^Y（low，0）、Mini和^Y（low，0）与表1^Y（low，1）中的通用下界具有相同的质量*经过一次迭代改进。类似地，在n个一般情况下，上界的一个改进步骤^Y（up，1），mini和^Y（up，1），regis与一般设置^Y（up，2）中的两个改进步骤相当，a*.

考虑到第二个改进步骤的巨大计算成本，我们观察到，将软问题信息纳入函数基础（此处，前一个时间步骤中最大和第二大资产的指标函数）可以显著帮助确定非线性期权价格ρ0.3-0.3J 20 30 40 20 40^Y（向上，0），最小13。3465（0.0694）13.3766（0.0738）13.5420（0.0741）14.7198（0.0658）14.9629（0.0676）15.0104（0.0634）^Y（上，1），mini13。0424（0.0065）13.0595（0.0072）13.0738（0.0076）14.2064（0.0065）14.2828（0.0064）14.3567（0.0071）^Y（向上，2），mini13。0423（0.0070）13.0768（0.0070）13.0751（0.0071）14.1761（0.0060）14.1939（0.0056）14.2293（0.0057）^Y（低，0），mini12。9953（0.0076）12.9737（0.0102）12.9923（0.0098）14.0466（0.0112）14.0773（0.0093）14.0754（0.0123）^Y（低，1），mini13。0167（0.0068）13.0171（0.0076）13.0101（0.0082）14.0835（0.0075）14.1011（0.0075）14.1035（0.0093）表2：基于不同时间离散的非通用最小化算法的上下限边界。括号中给出了标准偏差。ρ0.3-0.3J 20 30 40 20 40^Y（向上，0），reg13。2481（0.0654）13.3234（0.0660）13.3730（0.0694）14.7348（0.0720）14.9905（0.0726）14.9565（0.0782）^Y（上，1），reg13。0439（0.0061）13.0479（0.0057）13.0675（0.0056）14.2022（0.0060）14.2704（0.0063）14.3315（0.0064）^Y（上，2），reg13。0503（0.0064）13.0681（0.0065）13.0857（0.0067）14.1840（0.0057）14.2207（0.0056）14.2351（0.0059）^Y（低，0），reg12。9958（0.0070）13.0059（0.0079）12.9979（0.0086）14.0320（0.0113）14.0584（0.0099）14.0638（0.0129）^Y（低，1），reg13。0171（0.0068）13.0192（0.0075）13.0118（0.0082）14.0864（0.0074）14.1046（0.0077）14.1090（0.0093）表3：基于不同时间离散化的修改LSMC算法的上限和下限。括号中给出了标准偏差。仅在一个迭代步骤后（因此，在中等成本下），Yinto的置信区间就相当紧。

为了完整性，我们还报告了在非泛型情况下对上界执行第二步迭代后的数值结果。虽然在负相关的情况下，我们得到了进一步的改进，最终在J=40个时间步的情况下，相对宽度的置信区间小于1.5%，但正相关的情况有所不同。在这里，上界的理论改进是由sm all内部路径数导致的额外向上偏差造成的。然而，在这种情况下，在一个迭代步骤之后，95%置信区间的相对宽度已经约为0.75%，因此，对于所考虑的期权定价问题，任何进一步的改进似乎都是不必要的。参考文献【1】L.An dersen和M.Broadie。多维美国期权定价的原对偶模拟算法。《管理科学》，50（9）：1222–12342004。[2] D.Belomestny。通过经验对偶优化求解最优停车问题。《应用概率年鉴》，23（5）：1988-2019年，2013年。[3] C.Bender和J.Steiner。反向SDE的最小二乘蒙特卡罗法。R.Carmona、P.Del Moral、P.Hu和N.Oudjane，《金融数值方法》编辑，第257-289页。Springer，2012年。[4] C.Bender、N.Schweizer和J.Zhuo。BSDE的一种主要对偶算法。MathematicalFinance，Early View，内政部：10.1111/ma fi.121002015。[5] C.Bender、C.G¨artner和N.Schweizer。路径动态规划。工作文件可访问www.math。统一sb。de/ag折弯机/折弯机\\uErtner\\uSchweizer。pdf，2016年。[6] 伯格曼。不同利率下的期权定价。《金融研究回顾》，8（2）：475–500，1995年。[7] D.B.Brown、J.E.Smith和P.Sun。随机动态规划中的信息松弛和对偶。运筹学，58（4）：785–8012010。[8] N.Chen和P.Glasserman。

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