向后SDE的路径迭代

2022-5-25 07:55:22

，tJ）表示时间间隔[0，T]的划分，W是多维布朗运动（其增量可能会因实际目的而被截断），Fjis是由W到时间tJ生成的信息，关于二阶BSDE的更一般上下文中的该特定方案，请参见[11]，关于文献概述，请参见[3]。我们假设Fj：Ohm ×RD→ 对于每j=0，…，R是可测量的。。。，J-1和过程（j，ω）7→ Fj（ω，z）适用于每个z∈ RD.此外，f或每j=0，J- 1和ω∈ Ohm,地图z 7→ Fj（ω，z）在z上是凸的。此外，Fj表示每j=0，…，的（随机）多项式增长条件。。。，J-1，即存在常数q≥ 0和一个适应的非负过程α，它在Lp中(Ohm, P）对于每个P≥ 1，使得| Fj（z）|≤ αj（1+| z | q）对每个z保持P-a.s∈ RD.采用RD值过程β，并在Lp中(Ohm, P）对于每个项目≥ 1、终端条件ξ是一个FJ可测的R值随机变量，E[|ξ| p]<∞对于所有p≥ 此外，我们引入以下符号：对于m∈ N、我们用L表示∞-（Rm）Lp中的Rm值随机变量的s集(Ohm, P）对于所有P≥ 1、在L中的Fj可测量随机变量集∞-（Rm）用L表示∞-j（Rm）。此外，L∞-ad（Rm）表示适应过程Z的集合，使得Zj∈ L∞-j（Rm）对于每j=0。。。，J、从F上的终端条件ξ、加权过程β和多项式增长条件的积分性质出发，通过反向归纳，我们推导出（1）的（P-a.s.唯一）解Y为∞-ad（右）。下文对核心的超级和su B解决方案定义如下：定义2.1。A流程Yup（分别为Ylow）∈ L∞-如果YupJ，则将ad（R）称为动态程序（1）的上解（分别称为下解）≥ YJ（分别为YlowJ≤ YJ）且对于每个YJ=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

能者818

2022-5-25 07:55:26

J- 1它认为Yupj≥ Fj公司Ejhβj+1Yupj+1i, P-a.s.（和\'≥’ 替换为\'≤’ 对于次分辨率）。一般来说，我们不能期望超级和次分辨率Yupand Ylowto（1）是真实解Y的边界，也就是说，我们不需要有那个Yupj≥ Yj公司≥ Y每j=0，…，将P-a.s.降低一倍。。。，J、为了确保这一点，我们在本文中采用了以下单调性假设：ForY（1），Y（2）∈ L∞-（R）带Y（1）≥ Y（2）P-a.s.和每个j=0。。。，J- 1，它认为fj（βj+1Y（1））≥ Fj（βj+1Y（2）），P-a.s.（4）两次应用[5]中的定理4.3（首先过滤（Gj）j=0，。。。，J=（F）J=0，。。。，J、然后用给定的过滤（Fj）J=0，。。。，J），我们观察到，这种单调性假设适用于以下比较原则：命题2.2。让Yupand Ylowbe super和subsolutions到（1）。然后，在给定的假设下，它认为，对于每个j=0。。。，J、 Yupj公司≥ YlowjP-a.s.以下章节中介绍的改进算法基于[1、16、25]在Bermu-dan期权定价背景下引入的原始对偶方法，并在[4]和[5]中进一步发展，用于形式（1）的动态规划方程。这种方法依赖于选择合适的鞅和控制，这些鞅和控制来自（1）的近似解，并用作构造上下解的输入。因此，我们用md表示RD值鞅集，它们是L的元素∞-ad（RD）。对于p进程Z∈ L∞-ad（RD），我们指的是Z的Doob分解的鞅部分，它是给定的-1Xi=0Zi+1- Ei【Zi+1】，j=0。。。，J、作为Z的Doob鞅，特别是，我们得到了过程β\'Z的Doob鞅是任意\'Z的∈ L∞-ad（右）。虽然合适的鞅是上界的主要组成部分，但我们通过使用凸性技术将（1）重写为随机控制问题来推导下界。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:55:29

为此，回想一下Fjis的凸共轭，对于每个ω∈ Ohm, givenbyF#j（ω，u）：=supz∈RD（uZ- Fj（ω，z）），有效域d（j，ω）F#=nu∈ 研发部F#j（ω，u）<∞o、如下所示，问题中的容许控制集由aj=n（ri）i=j，。。。，J-1.国际扶轮社∈ L∞-i（RD），F#i（ri）∈ L∞-（R）对于i=j，J- 1o，（5）其中j=0。。。，J- 1.3亚解的改进在本节中，我们提出了一种迭代算法，将给定的亚解改进为（1）。这种方法在某种意义上概括了[18]的思想，w提出了一种迭代方法，以改进百慕大期权定价中给定的停止时间族。本节首先回顾了[4]中的一个亚分辨率构造，然后解释如何使用它来改进任意亚分辨率。为了构造（1）的子解，我们通过以下方式将该动态规划方程线性化：通过Fj的凸性和闭性，我们根据[24]中的定理12.2，对于每个j=0，…，F##j=Fj。。。，J- 1和ω∈ Ohm. 因此，对于每j=0。。。，J- 1，ω∈ Ohm andz公司∈ RD，它认为fj（ω，z）=supu∈RDuZ- F#j（u）。（6）从引理A.1中，我们得到了一个适应过程r的存在性*∈ A解决的问题（r*（一）Ei[βi+1Yi+1]- F#i（r*i） =Fi（Ei[βi+1Yi+1]）P-a.s.，（7）对于每个i=0。。。，J-1、我们现在在【4】的备注3.6（ii）中定义了典型的非适应性过程θlowas。为此，我们定义了一个鞅M∈ md与容许控制r∈ A、然后，在我们的符号中，θlow：=θlow（r，M）的路径递归如下：θlowj=rjβj+1θ低j+1- RJMj+1- F#j（rj），j=j-1.0，θlowJ=ξ，（8），其中Mj+1：=Mj+1- 乔丹。通过反向归纳，我们得到θlowj∈ L∞-（R）对于每个j=0。。。，J、 sin ce r和β在L中∞-ad（RD）和M∈ MDby假设。因此，对于每一个j=0，…，我们可以定义一个解Ylowby Ylowj：=Ej[θlowj]。。。，J

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-25 07:55:32

根据条件期望和（6）的塔式性质，我们观察到，ylowj=rjEjhβj+1θlowj+1i-F#j（rj）≤ Fj公司Ejhβj+1Ylowj+1i因此，根据命题2.2，我们得出结论Yj≥ YlowjP-a.s.，对于任何j=0。。。，J、此外，[4]证明（1）的解Y是一个初始最大化问题的值，即Yj=esssupr∈AjEj[θlowj（r，M）]P-a.s.，j=0。。。，J、实际上，每个控件r*∈ Aj满足（7）i=j，J- 1达到最大值。我们强调表达式Ej[θlowj（r，M）]处的th与M无关，因为鞅在θlow的递归中只是一个控制变量，因此通过采用条件期望而消失。然而，一个简单的计算表明，Doob鞅M*在最优控制的情况下，即对于每个j=0，…，βY作为一个不完善的控制变量。。。，它认为θlowj（r*, M*) = YjP-a.s.（9）子解的迭代改进假设我们得到一个任意的子解。接下来，我们证明（8）中过程θlow（r，M）的构造意味着次分辨率Y的改善，即r∈ A和M∈ MDwe haveYj公司≥ Ejhθlowj（r，M）i≥？YjP-a.s.对于每j=0。。。，J、次分辨率（Ej[θlowj（r，M）]）J=0，。。。，Jis随后称之为亚分辨率的改进。下面的定理3.1解释了如何构建这种改进。此外，我们还表明，如果我们想要改进的下解Y已经与（1）的解Y一致，那么我们在ly上的构造就会陷入困境。定理3.1。让j∈ {0，…，J- 1} ，设“Y”为（1）的子解，并用“M”表示∈ β′Y的MDtheDoob鞅。进一步出租∈ Abe一个解决'riEi公司βi+1'Yi+1- F#i（(R)ri）=FiEi公司βi+1'Yi+1P-a.s.（10）对于每个i=0。。。，J- 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:55:35

那么，对于任何M∈ MD，θlow（(R)r，M）由（8）satis fiesyi定义≥ Eihθlowi（(R)r，M）i≥ 金融机构Ei公司βi+1'Yi+1≥(R)YiP-a.s.，（11）对于所有i=0。。。，J- 1、此外，如果“Yi=Yi”对于所有i=j+1。。。，J、 thenEjhθlowj（\'r，M）i=θlowj（\'r，M）=YjP-a.s.证明。如上所述，过程（Ej[θlowj（r，M）]）j=0，。。。，Jde为任意鞅M定义了一个子解∈ MDR和r∈ A、因此，（11）中的第一个不等式已经显示出来。（11）中的最后一个不等式是中间不等式，因为Y被假定为亚解。为了证明（11）中的剩余工程质量，我们表示θlow=θlow（\'r，\'M）。回顾Ej[θlowj（r，M）]不取决于M的选择∈ MD，必须显示θlowi≥ 金融机构Ei公司βi+1'Yi+1P-a.s.通过对i的反向归纳。断言之后是条件期望的单调性。情况i=J很简单，因为我们有θlowJ=ξ≥？YJ，按定义。现在假设这个断言对于i+1是真的∈ {1，…，J}，因此，我们有θlowi+1≥“Yi+1P-a.s.然后，根据“M”（10）的定义和归纳假设，θlowi=”ri（βi+1θlowi+1-（βi+1'Yi+1- Ei[βi+1'Yi+1]）- F#i（(R)ri）=riβi+1（θlowi+1-\'Yi+1）+Fi（Ei[βi+1\'Yi+1]）≥ Fi（Ei[βi+1'Yi+1]）。这里，不平等是归纳假设和r的积极性的结果iβi+1，这是由于函数Fi的单调性假设（4），参见文献[5]中的定理4.3]（常数全信息过滤（Gj）j=0，。。。，J=（F）J=0，。。。，J）。为了完成证明，我们假设“Yi=Yi”对于所有i=j+1。。。，J、因此，我们观察到（10），“对于每个i=J，…，提高最优性条件（7）P-a.s。。。，J、此外，我们通过“M”的定义得出结论，增量“Mi+1”-对于i=j，…，具有βY的doob鞅的Micoincide。。。，J- 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:55:38

通过（9），我们得到θlowj=YjP-a.s.，wh ich完成了证明。当从任意子解开始时，我们通常不会通过一次应用定理3.1中描述的方法来获得解Y。然而，这种构造可以用一种简单的方法进行迭代：让Y（low，0）是一个亚分辨率，并定义θ（low，0）：=Y（low，0）。我们根据θ（low，k）：=θlow（r（k），M（k）），k根据（8）定义第k次迭代≥ 1，（12）其中过程r（k）∈ 每j=0，…的Ais。。。，J给出人r（k）jEjhβj+1θ（低，k-1） j+1i- F#jr（k）j= Fj公司Ejhβj+1θ（低，k-1） j+1i, （13）和M（k）∈ MDI是任意的。应用定理3.1迭代，我们观察到Ej[θ（low，k）j]≥Ej[θ（低，k-1） j]，P-a.s，每k≥ 1和j=0，J、此外，Eihθ（低，J-j） ii=YiP-a.s.，每当i≥ j、在最后一个方程中，当每个M（k）被视为βjEj[θ（low，k）]的Doob鞅时，可以移动左侧的条件期望-1） j]。因此，我们观察到Y是该迭代的P-a.s.唯一固定点，实际上在大多数迭代步骤后终止。一系列子解的改进在下面的第5节中，我们解释了基于（12）的算法的数值代价在迭代次数k中呈指数增长。因此，在实际实现中必须支持适度的迭代次数。解决这一问题的一种方法是同时改进整个亚分辨率家族，而不仅仅是一个亚分辨率。为此，让（\'Y{l}）l∈Ibe是一系列亚分辨率，其中I是一个有限的指数集。此外，我们用K（j）表示，j=1。。。，J、 I子集的一个非减量序列，即它保持K（J） K（j+1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-25 07:55:41

然后，我们考虑了可预测的I值过程*（j） =infnl∈ K（j）ι∈ K（j）Fj-1.Ej公司-1hβj'Y{l}ji≥ Fj公司-1.Ej公司-1hβj'Y{ι}jio、这意味着，在每个时间点j=1。。。，J、我们只考虑在s子集K（J）和随机变量l中表示的子解*（j）返回索引l∈ K（j）在该值处，Fj的评估-1最大化。在最简单的情况下，对于所有j=1，…，K（j）=I。。。，J、更复杂的K（J）选择允许减少确定l的计算成本*. 我们认为由Yj给出的过程Y＝Y{l*（j） }j{j>0}+FEβ′Y{j=0}（14）是（1）的一个子解，它允许我们改进子解（\'Y{l}）l∈同时进行。为了检验Y的亚解析性质，我们首先观察到j=0的情况是微不足道的，因为定义Y=F（E[βY]）。对于j>0的情况，我们得到了每个l的Y{l}的次解性质∈ 一、和K（j） K（j+1），即'Yj=Xl∈K（j）(R)Y{l}j{l*（j） =l}≤Xl码∈K（j）FjEjhβj+1'Y{l}j+1i{l*（j） =l}≤Xl码∈K（j）FjEjhβj+1'Y{l*（j+1）}j+1i{l*（j） =l}=FjEj公司βj+1'Yj+1P-a.s.因此，定理3.1可以应用于过程Y，并暗示，对于θlow=θlow（\'r，M），Ejhθlowji≥ Fj公司Ej公司βj+1'Yj+1= m轴L∈K（j+1）FjEjhβj+1'Y{l}j+1i≥ m轴L∈K（j+1）(R)Y{l}j（15）P-a.s.对于所有j=0。。。，J-1，其中r表示每j=0。。。，J-1由（10）给出，其中M∈ MD.因此，如果K（j）=I，对于所有j=1。。。，J、我们同时改善了所有亚分辨率（\'Y{l}）l∈我会改进。示例3.2。我们考虑一个自适应过程S的最优停止问题，其值过程Y（所谓的S nell包络）由（2）控制。假设（τl）l∈一、其中，I={0，…，J}，是一系列I值停止时间，在[18]的意义上是一致的：对于每个l∈ Iτl≥ l和（τl>l=> τl=τl+1）。这个一致性条件意味着每个过程Y{l}j：=Ej[Smax{τl，τj}]，l∈ 一、将次分辨率定义为（2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:55:44

定义K（j）={0，…，最小值{j+κ-1，J}}对于某些窗口参数κ∈ N、将基于（14）中构造的亚解的改进条件（10）专门化为最优停止问题，可以验证改进的亚解满足f或每个控制变量M∈ MD，Ej[θlow（\'r，M）]=Ej[S'τj]，其中停车时间'τjare由'τj=inf{i≥ J硅≥ 最大值=i+1，。。。，min{i+κ，J}Ei[Sτl]}，J=0，J、因此，对于每J=0，J、 by（15）和一致性条件Ej【S’τJ】≥ 最大值=j+1，。。。，min{j+κ，j}max{Ej[Sτl]，Sj}≥ 最大值=j，。。。，min{j+κ，j}Ej[Sτl]，P-a.S。因此，我们恢复了[18]定理3.1中的政策改进结果，作为我们方法的特例。4上解的改进在本节中，我们提出了一种迭代方法，用于将上解改进为凸动态规划，如（1）。我们推广了[8]的构造，他提出了一种改进的方法，可以在最优停止的情况下求出辅助解。与第3节类似，我们在[4]中给出的上界的路径递归上构建了我们的方法。因此，我们在本节开始时简要概述了它们的结构，并解释了如何将其应用于改进arb-itrarysupersolutions。本节的其余部分致力于将第3节中获得的结果转换为上解。[4]中提出的路径方法的主要思想是删除（1）中的应用条件期望，而是减去鞅增量。更准确地说，让M∈ MDbe是鞅。然后，我们通过θupj=Fj（βj+1θupj+1）来定义典型的非自适应过程θup：=θup（M- Mj+1），j=0。。。，J- 1，θupJ=ξ。（16）由于fjan上的多项式增长条件以及β和M的可积性质，我们通过反向归纳得到θupj∈ L∞-（R）对于每j=0。。。，J

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:55:47

设置（Yupj）j=0，。。。，J=（Ej[θupj]）J=0，。。。，J、我们立即利用Jensen不等式、M的鞅性质和条件期望的塔性质，即Yupis是（1）的上解：Yupj=Ej[Fj（βJ+1θupj+1- Mj+1）]≥ Fj（Ej[βj+1Yupj+1]）。与第3节中的结果类似，[4]表明，（1）的解Y可以表示为adual极小化问题，即Yj=essinfM∈MDEj[θupj（M）]P-a.s.（17）对于每j=0。。。，J、末日鞅M*βY的值达到最小值，并且是七个路径最优值，即对于每个j=0。。。，J、 Yj=θupj（M*) P-a.s.（18）上解的迭代改进在第3节中，我们证明了任意上解Y可以在适当鞅M的意义下得到改进∈ md和（16）不等式yj的过程θup（M）≤ Ej[θupj（M）]≤每j=0，…，Yjholds P-a.s。。。，J、在最优停止的情况下，[8]表明，采用给定超解的doob-m-artin gale，可以得到改进。定理4.1将这一思想推广到形式为（1）的凸动态规划：定理4.1。让j∈ {0，…，J- 1} 设Y是（1）的上解。进一步，设M为过程βY的doob鞅。然后，过程θup（(R)M）令人满意≤ Ei[θupi（(R)M）]≤ Fi（Ei[βi+1'Yi+1]）≤(R)YiP-a.s.（19）对于所有i=0。。。，J、此外，如果“Yi=Yi”对于所有i=J+1。。。，J、然后θupj（(R)M）=YjP-a.s.证明。证明的总体策略类似于定理3.1。在本节开头，我们已经证明了（Ej[θupj（M）]）j=0，。。。，Jis是任意鞅的上解∈ MD，得出（19）中的第一个不等式。最后一个是由于'Y的超解性质。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-25 07:55:50

为了证明剩下的不等式，我们再次证明了稍强的断言θupi：=θupi（(R)M）≤ Fi（Ei[βi+1'Yi+1]）P-a.s.，i=0。。。，J- 1，通过条件期望的单调性得到（19）。证明是通过对i的反向归纳，i=J的情况是微不足道的，因为通过定义，我们有θupJ=ξ≤(R)YJ。现在假设断言为真f或i+1∈ {1，…，J}，即θupi+1≤因此，我们通过定义M、单调性假设（4）和归纳假设得出结论，即θupi=Fi（βi+1θupi+1- （βi+1'Yi+1- Ei[βi+1'Yi+1]）≤ Fi（βi+1'Yi+1- （βi+1'Yi+1- Ei[βi+1'Yi+1]）=Fi（Ei[βi+1'Yi+1]）。这里，我们利用z 7→ Fi（z-（βi+1'Yi+1-Ei[βi+1'Yi+1]）继承了Fiby的单调性（4），即通过定理4中的正性对单调性进行等价表征。[5]中的第3条（具有常数全信息过滤），因为其凸共轭由f#i（u）+u给出（βi+1'Yi+1- Ei[βi+1'Yi+1]）。为了完成证明，我们假设“Yi=Yi”对于所有i=j+1。。。，J、其中J∈ {0，…，J- 1} 是固定的。然后，再次增加“Mi+1-\'Micoincide与Doob鞅M的那些*i=j时的βY，J- 因此，（18）得出结论。如第3节所述，这种改进可以重复多次。对于给定的超解Y（up，0），定义θ（up，0）：=Y（up，0）并根据（16）定义θ（up，k）：=θup（M（k）），k≥ 1，（20），其中每个M（k）由M（k）j=j给出-1Xi=0βi+1Ei+1hθ（向上，k-1） i+1i- Eihβi+1θ（向上，k-1） i+1i，j=0。。。，J、（21）然后，迭代应用Th eorem 4.1得到Ej[θ（up，k）J]≤ Ej[θ（向上，k-1） j]，P-a.s.，代表everyk≥ 1和j=0，J、和θ（向上，J-j） i=Yi，P-a.s.，每当我≥ j、因此，上界迭代也会在真解Y的最多j步之后终止。上解族的改进在第3节末尾，我们解释了如何改进给定的下解族。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:55:53

这里可以应用sameidea来同时改进一系列上解（\'Y{l}）l∈一、其中I是一个有限的索引集。我们现在考虑可预测的、我重视的过程*（j） =infnl∈ K（j）κ∈ K（j）Fj-1.Ej公司-1hβj'Y{l}ji≤ Fj公司-1.Ej公司-1hβj'Y{κ}ji或每j=1。。。，J、式中，K（J）再次是I的子集的非减量族。然后，由Yj定义的过程Y=\'Y{l*（j） }j{j>0}+FEβ′Y{j=0}是（1）的一个su解，其参数与第3节中的参数类似。因此，根据定理4.1，Ejhθupj（(R)M）i≤ Fj公司Ej公司βj+1'Yj+1= minl公司∈K（j+1）FjEjhβj+1'Y{l}j+1i≤ minl公司∈K（j+1）(R)Y{l}jP-对于每j=0，…，a.s。。。，J- 1，其中\'M表示β\'Y的Doob鞅。因此，在K（j）=I的情况下，j=1。。。，J、改进g'Y再次导致所有上解（'Y{l}）l的同时改进∈一、 5实现在本节中，我们将解释如何基于第3节和第4节的iter改进策略实现算法。为了将这些结果转化为可实现的算法，需要构造一个子解和一个超级解作为输入。此外，在（13）中的控件和（21）中的Doobmartingales的迭代构造中出现的条件期望必须用数值近似。对于迭代改进中条件期望的数值近似，我们应用了一个简单的蒙特卡罗实现，如[18]所示。与动力学编程方程（1）的朴素蒙特卡罗实现（导致不可行的J嵌套模拟层）不同，迭代改进算法中的模拟层数取决于执行的迭代步骤数。正如我们将在数值示例中所示，当输入-输出超分辨率和亚分辨率以闭合形式可用时，两个改进步骤是可行的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-25 07:55:56

因此，在解释第5.2节中的Somewhats标准嵌套模拟方法f或迭代改进之前，我们先关注第5.1节中闭合形式输入的构造。然而，作为第一步，我们专门研究以下马尔可夫框架：我们假设（Bj）j=0，。。。，Jis是一种三维适应工艺（带有D≥ D）因此，BJ的第一个组成部分由βjand BJ独立于Fj给出-1，对于每j=1，J、假设X是形式为Xj=hj（Xj）的RN值马尔可夫过程-1，Bj），j=1。。。，J、（22）对于可测量函数hj:RN×RD→ RN，从X=X开始∈ 注册护士。状态过程X的正演方程可能会出现，例如，作为随机微分方程的时间离散化。此外，对于动态程序（1）的生成器Fjo，我们假设存在可测函数fj:RN×RD→ R满足Fj（·）=Fj（Xj，·），即fjd仅通过马尔可夫过程X依赖于ω。然后，我们考虑f ormYj=Fj（Xj，Ej[βj+1Yj+1]），j=0，…，中动态程序（1）的马尔可夫版本，J- 1，YJ=g（XJ），（23），其中g:RN→ R是可测量的。在这个框架中，Yjis是Xj的一个定函数（尤其是，Yis是一个常数）。根据（22），我们得到，对于每j=1，J、一个可测函数yj:RN×RD→ R使得Yj=Yj（Xj-1，Bj）。用pBj表示Bj定律，因此我们可以用zj（x）写出Ej[βj+1Yj+1]=zj（Xj）=ZRDbyj+1（x，b）PBj+1（db），ZRDbDyj+1（x，b）PBj+1（db）.5.1输入子解和上解的计算为了构造输入子解和上解，我们首先通过给定基函数集ηj，…，的线性组合来近似yjb。。。，ηKj:RN×RD→ R、也就是说，yj（x，b）=KXk=1akjηkj（x，b），j=1，J

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-25 07:56:00

（24）我们考虑了两种不同的方法来计算F-可测系数akj，这是最小二乘法蒙特卡罗的一种变体，它吸收了最优停止文献[13]中回归后期方法的一些想法，以及直接鞅极小化方法，该方法建立在[2]和[9]的工作基础上，用于最优停止。作为基函数的一个关键假设，我们规定期望值Rkj（x）：=ZRDbηkj+1（x，b）PBj+1（db），ZRDbDηkj+1（x，b）PBj+1（db）, （25）x∈ RN以闭合形式提供（或可通过数值计算得出“可忽略”的误差），cp.下面的备注5.1。定义▄Yj=▄Yj（Xj-1，Bj）作为Yj的近似值，我们观察到Ej[βj+1Yj+1]=Pkakj+1Rkj（Xj）也是以闭合形式给出的。根据输入近似值y，我们现在可以推导出最优控制和末日马尔丁格尔M的第一个近似值*, 从中可以通过路径递归（8）和（16）获得输入子解和上解。为了计算这样一个控制＠r，我们用Yj代替＠Yj求解（7），即过程＠r由＠r给出jEj[βj+1Yj+1]- f#j（≈rj）=fj（Xj，Ej[βj+1Yj+1]），（26）每j=0。。。，J- 1，属于[5]中引理A.1的Athanks。当然，这里的凸共轭也可以用数值来近似。对于Doob鞅M的第一个近似值*, 我们再次用它的近似值Y代替真解Y。因此，第一个近似值为M*由Mj=j给出-1Xi=0βi+1Yi+1-Ei[βi+1Yi+1]，j=0。。。，J、（27）将▄r和▄M插入θlow和θup的递归（8）和（16），我们得到了输入子解和上解Y（low，0）J=Ej[θlowj（▄r，M）]和Y（up，0）J=Ej[θupj（▄M）]。我们现在可以对∧outindependent副本（Bj（λout），j=1，…）进行采样，J））λout=1，。。。，∧在B中，我们称之为“外部”路径。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:03

然后，我们可以计算沿着这些外部路径的θlow（~r，~M）和θup（~M）的路径递归，并用θ（low，0）j（λout）和θ（up，0）j（λout），j=0，J、分别为。应用简单的蒙特卡罗估计量^Y（up，0）：=λout∧outXλout=1θ（up，0）（λout）（28）计算E[θup（M）]和相关的经验标准偏差，可以计算E[θup（M）]的（渐近）置信区间，从而计算Y上的置信上限≤ E[θ向上（￠M）]，见[12]第1.1.3节。类似地，从（θ（低，0）（λout））λout=1，。。。，∧out，可以构造一个较低的置信区间，结合这两个边界，我们最终得到一个渐近置信区间。我们强调，Yi是一个确定的实数，但置信区间的构造取决于任何一组样本路径，这些样本路径可能用于预计算系数ajin（24），我们认为这些路径包含在F中。当这种置信区间对于所考虑的应用程序来说还不够紧时，可以运行下面第5.2节中描述的迭代改进算法。然而，我们首先讨论获得输入近似系数的两种方法（24）。最小二乘蒙特卡罗方法最小二乘蒙特卡罗（LSMC）的思想是通过回归将正交投影到一组基函数上，来近似（23）中的条件期望，即计算▄Yj=fj（Xj，Pj[βj+1▄Yj+1]），j=0，J- 1、~YJ=g（XJ），作为Y的近似值，其中Pjdenotes在预先指定的基础上进行经验回归（给定一组样本路径）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:06

请注意，由于随机权重β是RD值，且表达式βj+1Yj+1可能会受到较大方差的影响，因此实际上必须在每个时间步计算D emp回归，例如，在BSDE情况下（3），这里，第一空间导数的Malliavin-MonteCarlo权重β的方差随着时间离散化变得更为明确而爆炸。根据我们基于基函数的假设（25），我们可以实现以下最小二乘蒙特卡罗回归变量：▄Yj=Pjhfj（Xj，Ej[βj+1▄Yj+1]）i，j=0，J- 1，~ YJ=PJ[g（XJ）]，as（感应）~ YJ+1是（ηkj+1（XJ，Bj+1））k=1，…，的线性组合，。。。，因此，fjis中的条件检验以封闭形式提供。这种“稍后回归”的想法起源于[13]中的最优停止，并在[3]中扩展到了BSDE的时间离散化，其中在数值示例中观察到了巨大的方差减少效应。更正式地说，我们假设给出了B的∧区域相关副本，我们称之为“回归路径”。β和马尔可夫过程X沿λ回归路径的轨迹用β（λ）和X（λ）表示，λ=1，∧注册。为了初始化我们的算法，我们需要一个终端条件gJ（XJ）=yJ（XJ）的近似值-1，BJ）在基函数方面。应用标准回归方法，我们计算RK值系数aJ=（aJ，…，aKJ）viaaJ=argmina∈RK∧reg∧regXλ=1g（XJ（λ））-KXk=1akηkJ（XJ-1（λ），BJ（λ））！并得到▄yJ（x，b）=PKk=1akJηkJ（x，b），作为yJ（x，b）=g（h（x，b））的近似值。现在，假设已经计算了基函数的近似值▄yj+1（x，b），即▄yj+1（x，b）=PKk=1akj+1ηkj+1（x，b），RK值系数aj+1=（aj+1，…，aKj+1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:10

然后，通过（25），fjXj，Ej“βj+1KXk=1akj+1ηkj+1（Xj，Bj+1）#！=fjXj，KXk=1akj+1Rkj（Xj）！，（当然，在形式上，我们通过回归路径对过滤进行初始放大，假设其独立于（X，β））。将右侧经验函数（ηj，…，ηkj）投影到∈RK∧reg∧regXλ=1fjXj（λ），KXk=1akj+1Rkj（Xj（λ））-KXk=1akηkj（Xj-1（λ），Bj（λ））！，因此，我们得到▄yj（x，b）=PKk=1akjηkj（x，b），作为yj的近似值。重新标记5.1。与[13]和[3]相比，我们只需要在（25）中明确要求条件期望提前一步可用，而[13]和[3]都在理论上假设基函数形成鞅，即Ej[ηkj+1（Xj，Bj+1）]=ηkj（Xj-1，Bj）。任何人都可以通过以下方式利用附加灵活性：假设每个基函数ηkjc都可以写成乘积形式ηkj（x，b）=ηk，1j（x）ηk，2j（hj（x，b）），并假设E[βjηk，2j（hj（x，Bj））]以闭合形式可用。然后，（25）中的表达式也可以根据需要以闭合形式提供。特别是，虽然ηk，2ji的选择仅限于可以进行显式计算的函数，但我们完全可以通过因子ηk，1j（x）捕捉对过程x的更复杂依赖。在第6节的数值示例中，我们说明了基函数的这种选择。鞅极小化方法在最优停止的情况下以及在[4]和[5]中的BSDE示例中观察到，紧上解的构造可能比紧下解的构造困难得多。因此，鞅极小化方法的思想是以这样一种方式计算（24）中的系数，即输入上解所隐含的上界是最小的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:13

在最优停车的背景下，【9】和【2】中也提出了类似的想法。与最小二乘蒙特卡罗相比，优化现在是全局的，因此系数（24）不依赖于时间指数j。鉴于（25），每个基函数通过M{k}=0和M{k}j定义鞅- M{k}j-1=βjηkj（Xj-1，Bj）- Rkj公司-1（Xj-1），k=1。。。，K、写入，Maj=KXk=1akM{K}j，j=0。。。，J、（29）其中a=（a，…，aK）∈ RK，我们希望选择一个有效向量a*, 其中E[θup（Ma）]变为最小值。取最优鞅M的路径最优性*在（18）中，考虑到并遵循[2]f中分析的最优停止方法，我们在该最小化问题中添加了标准偏差惩罚。为了使该方法可行，需要用样本路径上的经验估计量来代替期望值和标准差。为此，我们对B的∧个最小独立副本（我们称之为“最小化路径”）进行采样，并用β（λ）和X（λ）表示沿λ次最小化路径对β和X的评估。Wethen求解论坛*= 阿格米纳∈RK公司^E[θ向上（Ma）]+γvuut∧mini- 1∧miniXλ=1θ向上（Ma；λ）-^E[θ向上（Ma）], （30）式中γ≥ 0固定，^E[θup（Ma）]=∧mini∧miniXλ=1θup（Ma；λ），θup（Ma；λ）根据（16）沿λth最小化路径进行采样。在我们的数字示例中，我们使用Nelder-Mead单纯形算法的Matlab实现来搜索*. （24）中yjas的近似值由▄yj（x，b）=KXk=1ak给出，*ηkj（x，b），j=1。。。，J、重新标记5.2。最小化方法需要选择参数γ。在第6节给出的数字结果中，我们采用了“培训和测试”方法来调整此参数。为此，我们选择一个集合{γ，…，γL}，L∈ N、 p参数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-25 07:56:16

对于每个γl，l=1。。。，五十、我们计算系数a的向量*γl∈ Rk根据（30）沿着∧mini的最小化路径。如果向量a*γ、。。。，A.*γLare计算后，我们采样了一组新的∧testtest路径（b的独立副本，也独立于最小化路径）。参数γ是通过取*γl使集合{a）上沿测试路径的（30）右侧括号中的表达式最小化*γ、。。。，A.*γL}。我们注意到，根据我们的经验，该方法的实际性能对γ的选择并不特别敏感。5.2迭代改进算法我们现在假设我们得到了形式为Y（up，0）j=Ej[θup（￠M）]和Y（low，0）j=Ej[θlow（￠r，￠M）]的输入上下解，以便控制￠r∈ A和鞅M∈ md可以沿着给定路径B，cp以闭合形式进行评估。第5.1节中的构造。为了计算（12）中的第一次迭代θ（low，1）和（20）中的θ（up，1），我们需要近似条件期望Ej[βj+1θlowj+1（￠r，￠M）]、Ej[βj+1θupj+1（￠M）]和Ej+1[θupj+1（￠M）]。在下面，我们重点讨论上解的情况，但注意下解的情况是类似的。在我们的普通蒙特卡罗实现中，我们首先对∧outindependent copies B（λout），λout=1。∧out，of B。此外，对于每个步骤j和外部路径B（λout），我们生成一个独立副本的新样本（Bi（λmid，j））i≥j+1，λmid=1。∧mid，of（Bi）i≥j+1。我们用B（λout，λmid，j）表示由（B（λout），…）给出的路径，Bj（λout），Bj+1（λmid，j），BJ（λmid，j）），它在时间j+1时从给定的外路径切换到相应的中间路径。与前面介绍的旋转类似，我们将沿路径B（λout，λmid，j）的β和θup（～M）的轨迹写入β（λout，λmid，j）和θ（up，0）（λout，λmid，j）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:19

沿着每条外路径，我们用增量M（1）j+1近似（21）中的摩尔分数M（1）- M（1）j=βj+1Ej+1[θ（向上，0）j+1]- Ej[βj+1θ（向上，0）j+1]，j=0。。。，J- 1，由普通Monte C arlo估计量M（1）j+1（λout）-~M（1）j（λout）=βj+1（λout）^Ej+1[θ（up，0）j+1]（λout）-^Ej[βj+1θ（up，0）j+1]（λout），其中^Ej[θ（up，0）j]（λout）：=λmid∧midXλmid=1θ（up，0）j（λout，λmid，j）^Ej[βj+1θ（up，0）j+1]（λout）：=λmid∧midXλmid=1βj+1（λout，λmid，j）θ（up，0）j+1（λout，λmid，j j）。（31）标准计算表明，当过滤被中间路径适当放大时，M（1）也是鞅。我们现在写θ（up，1）（λout），以沿着λout路径实现θup（~M（1））。按照第（28）款进行。，我们可以根据（θ（up，1）（λout））λout=1，…，计算y的新上界，。。。，∧输出。由于M（1）收敛到M（1）（沿每个外部路径），中间路径的数量收敛到n，并且由于E[θup（M（1））]≤ 根据定理4.1，相应的上界通常比由（θ（up，0）（λout））λout=1，。。。，∧out，当中间路径的数量足够大时。如果需要计算第二个迭代步骤（例如，因为曾经改进的约束区间仍然不紧），可以重复此过程，唯一的区别是我们不能假设输入鞅（现在是M（1））沿某条路径以克隆形式可用。其评估实际上需要一层嵌套模拟，如上所述。然而，在下一个迭代步骤中，必须沿中间路径而不是沿外部路径计算∧M（1），因此需要在“内部路径”中对∧的第三层进行采样。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:22

我们不会深入讨论直接实现的更多细节，但请注意，类似地，当输入鞅M在闭合形式下不可用（例如，当我们放弃假设（25））时，必须在第一个迭代步骤中对第三层模拟进行采样。为了减少中间路径（在第一个迭代步骤中）和内部路径（在第二个迭代步骤中）的数量，我们建议在鞅增量的普通蒙特卡罗估计（31）中应用控制变量，该估计基于Ej[θupj+1（￠M）]和Ej[βj+1θupj+1（￠M）]的克隆形式表达式。在我们的实际实现中，我们按照第4节末尾的描述进行。1英寸[4]。原则上，该算法可以进一步迭代，但每个迭代步骤都会添加额外的模拟层。因此，出于实际原因，我们建议不要使用三层以上的模拟来运行该算法，而是在置信区间仍然不够紧的情况下，对输入评估的构建施加更多的影响。在下面的数值测试示例中，通过两个迭代步骤可以获得非常令人满意的95%置信区间，即使（24）中的输入近似值y是用鞅极小化方法用单个常数基函数计算的。6数字示例在本节中，我们将我们的方法应用于在资金约束条件下，即在借贷利率不同的情况下，对欧洲期权进行定价的问题。在芬兰ce文献中，这个问题可以追溯到[6]。[19] 根据最近的金融危机，强调SUCH模型的相关性。该模型也是文献中关于向后随机微分方程的突出例子，从[10]开始，并有一个成熟的数值测试案例[14、20、3、4]。我们首先设置问题并解释它是如何融入我们的框架工作的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:26

然后，我们给出了我们的数值结果。对于输入近似值的计算，我们提出了不同的方法，这些方法在不同程度上结合了有关问题的先验知识。根据第5节的方法，包括使用控制变量，计算上、下边界以及相应的改进。融资风险下的定价0=t<t<…<tJ=T是区间[0，T]的等距分布。有两种无风险利率Rl<Rb∈ R分别表示借贷和N风险资产，由几何布朗运动X。。。，xn带动态xn，j=xn，0exp（u-NXl=1σn，l！tj+NXl=1σn，lWl，tj），n=1。。。，N、在tj，对于j=0。。。，J、这里，xn，0，u∈ R、 σ是一个可逆的N×N矩阵，其条目为R和w。。。，Wn是独立的Brown-ian运动。我们考虑了对资产X……的欧式期权定价问题。。。，XN到期日为T，付款为g（X1，J，…，XN，J）。当g满足非经济增长条件时，期权收益属于L∞-J（R）。将[11]中提出的离散化方案应用于[10]中的方程（1.11），时间网格{t，…，tJ}上期权的值Y由yj=（1）给出-Rl型)Ej[Yj+1]- （u- Rl）Zjσ-11 + （Rb- Rl）（Ej【Yj+1】- Zjσ-11）-, （32）终端条件YJ=g（X1，J，…，XN，J）。在这里 := tj公司- tj公司-1对于j=1。。。，J、 1个∈ RNis avector由1和（x）组成-:= 最大值{-x、 x为0}∈ R、此外，随机向量zjis由zn给出，j：=EjWn，j+1Yj+1, n=1。。。，N、其中Ej[·]表示直到时间tj的多元布朗运动生成的信息的条件期望，以及Wn，j+1：=Wn，tj+1- Wn，tj。termZ公司jσ-（32）中的11表示在timetj对冲组合中风险资产的总体头寸。因此，Ej【Yj+1】- Zjσ-11是tj时银行账户头寸的近似值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:28

此表达式的符号确定适用的利率。取下功能Fj:RD→ R、 D=N+1，由fj（z）=（1）给出- Rl型)Z- （u- Rl）z(-0）σ-11 + （Rb- Rl）Z- Z(-0）σ-1.-,其中z(-0）：=（z，…，zN），设置bj+1=βj+1=1台，pC(W1，j+1）, ...,pC机(WN，j+1）, j=0。。。，J- 1，我们观察到递归（32）适合我们的框架。这里，pC表示截断函数，即pC（x）=-C∨ 十、∧C代表C∈ R+。请注意，Wtj+1的截断- Wtj公司~ N（0，) 在Cbecomes任意轻度获取sm all。需要截断，因为布朗运动的增量是无界的，因此可能违反单调性假设（4）。（4）保持的充分条件是 · 最大{| Rl{|，| Rb}+C·最大{|u- Rl |，|u- Rb |}·DXd=1DXl=1（σ-1） d、l≤ 1，（33）有关这种截断误差的分析，请参见[20]。回想一下，当运行θlow的路径递归公式时，我们的算法需要凸共轭F#jof fjf，它还需要求解下界的最优性条件（13）。由于F是分段线性的，凸共轭是直接计算的，并且等于F#j≡ 0在其有效域上。此外，使用函数u:R→ RN+1驱动byu（0）（s）=（1- s) 和u（n）（s）=-（u- s）NXl=1σ-1.n、 l，n=1，N、凸共轭的有效域是D（j，ω）F#={u（R）| R∈ [Rl，Rb]}。最后，对于everyz=（z，…，zN）∈ RN+1，r（z）=（u（Rl），z≥ （z，…，zN）σ-1u（Rb），z<（z，…，zN）σ-1溶剂r（z）z=F（z），比较（13）。基准产品对于我们的数值实验，我们考虑了[4]中讨论的例子，但为问题添加了一个非平凡的相关结构。这个例子是一个多维版本的例子，可以追溯到【14】。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-25 07:56:33

我们计算欧洲看涨期权价格的上限和下限，其中，罢工和Kon是五项资产的最大值，即（x，…，x）=最大值=1，。。。，5xd- K+- 2.最大值=1，。。。，5xd- K+, 十、∈ R、到期日T设置为三个月，即T=0.25，罢工次数为K=95和K=115。利率分别为1%和6%。对于几何布朗运动X。。。，Xwetake xd，0=100，d=1。。。，5作为起始值，选择漂移u为0.05。与[4]相反，我们不能假设X。。。，X是独立的，并考虑由σ=~σ给出的扩散矩阵σ·1 0 0 0ρp1- ρ0 0ρ0p1- ρ0 0ρ0 0p1- ρρ0 0 0p1- ρ,式中，σ=0.2。在下面的数值实验中，相关参数ρ在区间内变化[-0.3，0.3]，时间离散化J取{20，30，40}中的值。通过对参数的选择，我们观察到（33）在最粗糙的时间离散化水平J=20时适用，C=0.77。用标准差截断布朗增量√ ≈ 0.77处的0.112与截断6.88处的标准正态随机变量相同，对应于截断3·10的概率质量-12两条尾巴。通用最小化算法对于输入近似的构造，我们首先运行鞅最小化算法，使用单一且完全通用的基函数ηj（x，b）：=1，即，我们初始近似Yjby a常数和Zn，jby零，n=1，N、然后，在第5.1节介绍的极小化方法中，我们有一个6维鞅M{1}，由M{1}0，j+1给出-M{1}0，j=0和▄M{1}d，j+1-~M{1}d，j=βd，j+1-Ej[βd，j+1]=pC(Wd，j+1）对于d=1。。。，为了计算R值系数a*, 因此，常数近似值yj（x，b）=a*对于yj，我们实施备注5.2中的“培训和测试”方法，其中∧mini=∧test=1000条路径，{γ，…，γ}={0，0.025，…，0.5}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 07:56:36

我们发现*, 作为Y的近似值，对于J和ρ的不同选择，范围在16到17.5之间，作为a*> 0，输入子分辨率Y（低，0）由常数控制u（Rl）构成。为了计算最多两次迭代改进的上下界，我们取∧out=1000条外部路径，∧mid=200条中间路径，d∧in=50条内部路径。从第k次改进得到的上界和下界估计量用^Y（up，k），aan和^Y（low，k），a表示。为了进行比较，我们还陈述了上界估计量^Y（up，0），0是通过选择a=0来计算的，即通过将所有鞅增量设置为零。ρ0.3-0.3J 20 30 40 30 40^Y（向上，0），018.9637（0.2243）20.5682（0.2444）22.1942（0.2720）26.1759（0.2736）29.5829（0.3217）34.2500（0.3424）^Y（向上，0），a*14.4278（0.1405）14.5533（0.1330）14.7838（0.1343）15.9557（0.1081）16.0660（0.1025）16.5631（0.0948）^Y（向上，1），a*13.1430（0.0129）13.2626（0.0133）13.3451（0.0154）14.5063（0.0127）14.6878（0.0148）14.9476（0.0136）^Y（向上，2），a*13.0461（0.0127）13.1088（0.0137）13.0919（0.0139）14.2047（0.0107）14.2452（0.0108）14.3340（0.0102）^Y（低，0），a*12.6157（0.0231）12.6281（0.0253）12.5792（0.0307）13.7919（0.0289）13.7291（0.0366）13.8283（0.0368）^Y（低，1），a*12.9915（0.0139）13.0063（0.0150）12.9703（0.0184）14.0492（0.0180）14.0000（0.0227）14.0498（0.0233）表1：基于不同时间离散的通用最小化算法的上下限。括号中给出了标准偏差。表1给出了ρ的两个不同选择的上限和下限，即ρ=0.3和ρ=-0.3。我们首先观察到u上界对输入鞅非常敏感。即使对Y的非常粗糙的常数近似进行优化，也会产生巨大的影响，例如，在负相关情况下，J=40时间步的上界比从零鞅Y（up，0），0计算的上界大一半。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝