3.2.2]），则成为（SNAR）的特例。定理6.1假设偿付能力设置（Kt）t=0，。。。，皮重严格合适。那么（SNR），（NAs）和（SNA）都是等效的，并且也等效于以下每个条件。（i） Apt，T∩ L（Kt，Ft）={0}，对于所有t≤ T- 1.（ii）在，T关闭∩ L（Kt，Ft）={0}，对于所有t≤ T- 1.22根据定理4.2（ii），Ilya MolchanovProof（SNR）等同于（i）。（NAs）和（SNA）的等价性来自引理4.2，前提是（4.4）基本成立。含义（一）=>（ii）易于归纳显示。首先，在，Tisclosed。假设-knt公司- · · · - knT公司→ ξknu的a.s∈ L（Ku，Fu），u≥ t、 在集合{lim infnkkntk=∞}, 我们使用归一化程序来达到与（i）的数据对比。否则，假设-knt公司→ -千吨级∈ -Kt，这样我们就可以用归纳假设来得出结论。为了推导At，runder（SNA）的封闭性，必须遵循[24，Le mma 3.2.8]的证明。事实上，由于KT是一个线性的s节奏，因此衰退会持续∞t=\\α>0αKt={x∈ Rd:Kt+αx 千吨级α>0}满意度Kt K∞t、 参见【30】。因此，kt+αx∈ kt所有kt∈ Kt，x∈ Kt和所有α∈ R、 此外，（SNA）通常意味着At，T∩ L（Kt，Ft）={0}对于所有t。为了说明（ii）如何表示（NAs），假设-K- · · · - kt=~kt∈ A0，t∩ L（Kt，Ft）。然后k∈ A0，T∩L（K，F），即K=0乘以（ii）。类似地，k=···=kt-1=0，因此-kt=~kt=0，因为kt非常合适。因此，（NAs）成立。最后，（NAs）产量（SNA），因此At，在L中关闭。最后，（SNA）产量（4.3），因此At，T∩ L（Kt，Ft）={0}，that是，（i）保持不变。[31]和[24，第135页]中的（NA2）（第二类无套利机会）与（NRA2）的公式相同。引理6.1假设偿付能力集是锥。（i） （NA2）等于所有t的Ξt=L（Kt，Ft）≤ T（ii）（NA2）等于tom（Kt | Ft-（1） 千吨级-1，t=1，T

（6.1）（iii）如果偿付能力集严格正确，则（NA2）表示（SNR）。证明（i）通过引理4.3和引理3.1（iv），Ξt=L（Kt，Ft）产生（4.9），andso暗示（NA2）。在另一个方向上，（NA2）产生Ξt L（Kt，Ft）+Ct-1，t，while（3.3）和Ct的选择-1、类型 L（Kt，Ft）。（ii）如果 L（Kt，Ft），然后Ξt+1∩ L（Rd，Ft） L（Kt，Ft）表示所有t乘以（3.3）。自L（Kt+1，Ft+1） Ξt+1，我们得到（6.1）。如果（6.1）成立，则ΞT-1=L（KT-1，英尺-1） +米（KT | FT-（1） L（KT-1，英尺-1） 。风险套利23假设 L（Ks，Fs）表示s=t+1，T则Ξt=L（Kt，Ft）+（Ξt+1∩ L（Rd，Ft）） L（Kt，Ft）+m（Kt+1 | Ft） L（Kt，Ft）。证明由归纳论证完成。（iii）由于Ξtis c在（SNR）下的概率损失，我们得到了Ξt=^Ξt，a和（SNR）得出L（Kt，Ft）∩ L(-Kt，Ft）={0}，如果解集是严格正确的，则是这种情况。对于满足m（Kt | Ft）的圆锥偿付能力集-（1） 千吨级-1，t≤ 特别是，对于严格正确的（NAs），它等价于在（K）的相对内部演化的Qmartingale的存在*t） t=0，。。。，t关于相当于P的概率测量Q，请参见【24，第3.2.2条】。这种鞅称为严格一致价格系统。如果intK*t6= 对于所有t，这个结果遵循定理4.4（ii）。注意，对于XT=ξ+KT和ξ，ΞT=L（XξT，FT）-1=L（XξT-1，英尺-1） 是（可能不闭合）随机集XξT的选择族-1=千吨-1+m（XξT | FT-1） 。我们需要额外的无套利类型假设，以扩展对Ξξtwith t的这种解释≤ T- 2、准确地说，应关闭上面的土层，以便m（Xξt | Ft-1） t存在≤ T- 1，这使得应用引理9.1成为可能。定理6.2假设偿付能力集是严格正确的，（NAs）（等效，（SNR）或（SNA））成立。那么Ξξt=L（Xξt，Ft），其中Xξ是可测的随机闭凸集，t=0。

，T，XξT=ξ+KT，XξT=KT+m（XξT+1 | Ft），T=T- 1.0.（6.2）证明t=t的声明有效- 1，然后使用归纳法。实际上，根据定理6.1，（NAs）等同于（SNR），因此定理4.3适用。由于ξ是Ft可分解的，定理9.1定义了Ft的存在性-1-可测闭集XξT-使ΞξT-1=L（XξT-1，英尺-1） 。由于XξTis闭合，ΞξT-1=L（KT-1，英尺-1） +L（m（XξT | FT-1） ，英尺-1） ，=L（KT-1+m（XξT | FT-1） ，英尺-1） =L（XξT-1，英尺-1） ，其中XξT-1是艾玛9.1的随机集。命题6.1假设偿付能力集是严格正确的。当且仅当Ξt=L（Xt，Ft）对于随机闭集（Xt）t=0，…，则（NAs）成立，。。。，T24 Emmanuel Lepinette，Ilya Molchanov，因此Xt∩ (-Kt）={0}a.s.对于所有t.在圆锥情况下，后一个条件等价于int（Xt）*6= 对于所有t和（NAs）下的At，t=TXs=tL(-Xs，Fs），0≤ T≤ T、 （6.3）其中，对于所有T.证明假设（NAs），XT是严格正确的随机闭凸锥，因此定理6.2适用。允许-燃气轮机∈ L（Xt∩(-Kt），Ft）。然后gt∈ Kta。s、 ，并且存在ku∈ L（Ku，Fu），u=t，T和▄gT∈ L（KT，FT），因此-燃气轮机- 千吨级- kt+1- · · · - kT=▄gT。由于（SNA）成立，gt+kt=0，gt=0。相反的含义是微不足道的。在碱性条件下，由于Kt+Kt=Kt，所有t≤ T，（6.3）来自inclusionsKt Xt公司 Kt+···+Kt，t≤ T、 注意，根据假设，XT=kt是非常正确的。自下一页起-1=千吨-1+米（Xt |英尺-（1） 千吨级-1+Xt，归纳引数产生Xt Kt+···+Kt。由于（SNA）在（NAs）下保持不变，因此[24，引理5.1.2]严格适用于所有t.，（NAs）在且仅当Ξ是闭合的且Ξt=L（Xt，Ft）与Intk*T∩ int（Xt）*= intK公司*T∩ int米（Xt+1 |英尺）*6=, T≤ T、 最后，请注意*T∩ int米（Xt+1 |英尺）*= intK公司*T∩ 米（Xt+1 |英尺）*= int（Xt）*.方程（6.3）意味着，在超边缘问题中，我们可以用Xt替换偿付能力集KT。

偿付能力设置（Xt）t=0，。。。，t通过引理6.1来满足（NA2）条件，通常需要引理6.1来获得超磨边价格的双重特征，参见【24，第3.6.3节】中的条件B（相当于（NA2）】。因此，【24，Th.3.6.3】的（NAs）支持，前提是我们考虑与（Xt）t=0，…，相关的一致价格体系，。。。，T、 现在考虑所选验收集的（NRA）和（NARA）条件。假设偿付能力为圆锥形且满足K*t \\{0} intRd+。由于^Ξt=cl（^Ξt）=cl（Ξt）=Ξt，（NRA）和（NARA）在提案4.1中是等效的。用Apt表示，T（Q）和Apt，T（Q）表示p∈ [1，∞] 当参考概率度量为Q时，APT、TandApt、TW的变量。命题6.2以下陈述是等效的。（i） Apt，T（Q）∩ L（Rd+，Ft）={0}，对于所有t≤ T- 1，p∈ [1，∞) 和Q~ P、 （ii）Mq、wt、T（Q）6= 每t≤ T- 1，Q~ P和P∈ [1，∞).（iii）（NARA）。（四）M∞,重量，T（P）6= 每t≤ T- 1、风险套利25（v）M1、wt、T（P）6= 每t≤ T- 定理4.4的证明，（v）和（iii）是等价的。我们根据[24，引理3.2.4]的证明，推导出（ii）和（iv）的等价性，这使得我们可以从L中的任何一致价格体系中构建（弱）一致价格体系（见定义4.2）。特别是，（v）意味着（iv）和（iv）意味着（v）。然后（iii）意味着（ii），即（NARA）代表Q而不是P。根据定理4.2，（i）成立。最后，（i）通过定理4.2.7，暗示（NARA）具有可接受预期的套利假设p=1，并让Ct，s∩ Lt，sbe所有ηs的集合∈ Lt，ssuch thatEg（ηs | Ft）具有所有非负c成分。

换言之，可接受的位置是那些具有非负广义条件期望的位置。这是最薄弱的可接受性标准，如果接受集是扩张单调的（在静态设置中），则情况总是如此。对于每个γs，都很好地定义了广义条件表达式∈Lt，sby让Eg（γs | Ft）=Eg（γ′s | Ft）+E（γ′s | Ft），其中γ′s的期望值∈L（Rd+，Fs）可能是有限的。如果XT是一个FT可测的随机上凸集，它至少允许从Lt，s中进行一个选择，那么letRt，s（XT）=Eg（γs | Ft）：γs∈ LFt（XT，Fs）,Rt，s（XT）=Eg（XT | Ft）是随机闭集XT的广义条件期望，参见[26，Def.6.3]。Letξ∈ L（Rd，FT）。引理3.1，ξT-1是（可能是非闭合的）随机集xξT的选择族-1=千吨-1+E（ξ| FT-1） +E（KT | FT-1） ，即FT-1-可通过引理9.1测量。请注意，所有偿付能力集都是可积的，因此它们的广义条件期望与通常的条件期望一致。因此，RT-2，T-1（^ΞξT）-1） =E（XξT-1 |英尺-2） =E（ξ| FT-2） +E（KT-1+E（Kt | FT-1） |英尺-2） ，=E（ξ| FT-2） +E（KT+KT-1 |英尺-2） 。自kT起∈ LFT公司-1（KT，FT）和RT-2，T-1（ξT）-（1）=Eg（kT-1+Eg（ξ+kT | FT-1） |英尺-2） ：kT-1.∈ L（KT-1，英尺-（1）,我们推断RT-2，T-1（^ΞξT）-（1） RT公司-2，T-1（ξT）-1） 。自ΞξT起-1是ξT的子集-1、我们没有-2，T-1（^ΞξT）-1） =RT-2，T-1（ξT）-1） .26伊曼纽尔·莱皮内特，伊利亚·莫尔查诺夫斯，XξT-2=千吨-2+E（ξ| FT-2） +E（KT+KT-1 |英尺-2） ，继续递归，我们得到了^Ξξt=L（Xξt，Ft），其中有一个不必要的循环Ft可测随机集Xξt=Kt+E（ξ| Ft）+EKT+KT-1+····+Kt+1 |英尺. （7.1）注意Xξt=Xt+E（ξ| Ft），即。

XT确定了所有超边缘价格。根据定义4.1重新制定要求，我们得出以下结果。命题7.1对于为条件预期作为风险度量而制定的风险套利条件，持有以下观点。（i） 如果偿付能力集非常合适，（SNR）等于toE（Kt+1+····+Kt·····+Ft）∩ (-Kt）={0}，a.s.，t=0，T- 1.（ii）（NARA）相当于Kt+E（Kt+1+···+Kt | Ft）∩ 研发部-= {0}a.s.，t=0，T- 1、请注意，上述第（二）项出自第（一）项。定理4.4得出以下结果。命题7.2假设偿付能力集（Kt）t=0，。。。，皮重锥。那么（NARA）（相应的SNR））等价于存在一个属于所有K的确定性点z 6=0*t（分别为intK*t） ，t=0，T证明Cu的任何可接受位置-1，ηu形式的UI=γu- Eg（γu | Fu-（1）+ Eg（γu | Fu-1） +ζ+u，带Eg（γu | Fu-（1）∈ Rd+和ζ+u∈ L（Rd+，Fu）。因此，例如hZu，ηui | Fu-1.≥ Eg（hZu，γu- Eg公司γu | Fu-1） |傅-1.= Eg公司hZu，γui | Fu-1.- hZu公司-1，Eg（γu | Fu-1） i.因此，例如（hZu，ηui | Fu-（1）≥ 如果存在Z，则为0∈ M∞,wt，T（P），使EGhZu，γui | Fu-1.= hZu公司-1，Eg（γu | Fu-1） 所有γu的i a.s∈ LFu-1（Rd，Fu）。（4.10）中的等式采用无条件期望（必要时限制为分区）并应用相同的理由-γu。假定Zuis本质上是bounded，则可以让γube等于zu的一个分量乘以相应的基向量。

因此，（Zu）u的每个分量的平方=0，。。。，Tisa鞅，其中Zu等于所有u的终止z。逆蕴涵来自定理4.4（i），适用于ηu=γu- Eg（γu | Fu-（1）∈ 铜-（SNR）的证明来自相同的论证和定理4.4（ii）。风险套利27备注2通过使用锥体的延伸是整个空间的事实，可以从提议7.1中得出提议7.2的结果，除非K*t包含一个与原点不同的确定点z，然后是具有外法线的半空间的子集(-z） 。为了使XT不与Rd相交-, 所有锥都应该具有非平凡期望，并且这些期望的总和必须是非平凡的。这等于存在一个属于K的确定点z 6=0*∩ · · · ∩ K*T、 8二维模型的应用考虑由两种资产组成的金融市场模型。第一个为常量值1，第二个为ris-ky资产，由出价askspread Yt=【Sbt，Sat】建模，0<Sbt≤ Sata。s、 对于所有t≤ T这是卡巴诺夫模型，圆锥偿付能力集Kt=C（Yt），其中C（[s′，s′））是包含集{1}×[s′，s′）的最小圆锥的正对偶。考虑第6节中的验收集，以便条件核心是风险度量。然后是XT-1是KT的和-1和m（XT，FT-1） =C（M（YT | FT-1） ），其中M（YT | FT-1） ）是YT的条件凸包，即最小FT-包含t的1-可测随机闭凸集-1，见[26，定义5.1]。自XT起-1是一个随机闭集，对该参数进行迭代，对于t=0，…，会得到text=C（▄Yt），T，其中▄YT=YT和▄YT=M（▄YT+1▄Ft）∩ Yt，t=t- 1.请注意，我们没有对Xt中的obta进行任何无套利假设。

观测值▄Yt=【▄Sbt，▄Sat】，其中▄Sat=Sat，▄Sbt=Sbt，和▄Sat=Sat∧ ess supFt▄Sat+1，▄Sbt=Sbt∨ ess infFtSbt+1，（8.1）对于t=t- 1.1、自0<Sbt≤Sata。s、 对于所有t，（NRA）始终为HOLDS。通过定义4.1和引理4.3，我们很容易得出以下结果。定理8.1（i）（SNR）成立的充要条件是Sbt≤ ess supFt▄Sat+1和Sat≥ ess infFtSbt+1a。s、 当Sbt<Sat时，对于所有t≤ T- 1.（ii）（NA2）当且仅当ess支持+1时成立≥ SAT和Sbt≥ ess infFtSbt+1a。s、 对于所有t≤ T- 备注3（NAs）在适当情况下等同于（SNR），但也等同于存在严格一致的价格体系，见【24，Th.3.2.2】。在两种资产的情况下，格里戈里耶夫定理（见[24，Th.3.2.15]和[18]）作为SERTS，即（NAs）等价于（可能是非严格的）一致价格体系的存在，即存在一个与概率测度Q等价于P的马丁格尔ZT，使得Sbt≤ Zt公司≤ 根据定理8.1，一致价格体系的存在性，28 Emmanuel Lepinette，Ilya Molchanov（NAs），暗示（SNR）。事实上，ess supFt Sat+1≥ 均衡器（Zt+1 | Ft）≥ Sbt与es s infFt类似Sbt+1≤ 均衡器（Zt+1 | Ft）≤ Sat，当nsbt<Sba时，不等式是严格的。推论8.1如果存在与P等价的概率测度Qa，Qb，这样sai是Qa子鞅，sbi是Qb上鞅，那么（NA2）成立。以下推论中的条件意味着δbt=Sbt/Sbt-1和δat=饱和/饱和-1对于所有t=1，…，R+上的管理条件完全支持，T推论8.2如果P（δbt≤ c |英尺-1） P（δat≥ c |英尺-1） >0 a.s.对于所有t=1，Tand所有c>0，然后（NA2）保持不变。验证Letγ=ess supFt-1Sat。然后γ1δat≥C≥ Satδat≥C≥ c Sat-1δat≥c、 采用条件期望得到γP（δat≥ c |英尺-（1）≥ cSat公司-1P（δat≥ c |英尺-1） 。然后γ≥ cSat公司-1，让c→ ∞ 产生γ=+∞ a、 s。

同样，ess infFt-1Sbt=0 a.s.，定理8.1（ii）适用。现在假设可接受性标准基于第7节所述的广义条件期望。根据命题7.2，（NARA）成立的当且仅当存在属于所有Yt的确定性z，t=0，T和（SNR）还要求该点延伸到Yt的内部。例8（限额订单簿）考虑双资产设置，其中允许执行最多一个现金单位金额的交易。这是一个简单的限制订单簿设置，只有一个断点。那么kt是[0，αt]+[0，βt]+R+之和，其中αt=（1，-Sat）和βt=(-1，Sbt）。根据命题7.1，（NARA）（基于条件期望的可接受性）保持SIF且仅当EHTXS=t+1（[0，αs]+[0，βs]）Fti公司∩ 研发部-= {0}对于所有t=0，T- 线段[0，αs]和[0，βs]的和是一个称为zonotope的随机凸紧集。该设置可以很容易地扩展到具有多个断点的限制订单簿的情况。附录9：随机集及其选择设Rd为范数为k·k的欧氏空间和Borelσ-代数B（Rd）。集合a的闭包 RDI由clA表示。一个集值函数ω7→ 完全概率空间中的X（ω）(Ohm, F、 P）RDI的所有子集族称为F-可测（或图可测），如果其图为Rx=（ω，x）∈ Ohm ×Rd:x∈ X（ω） Ohm ×RdRisk套利29属于乘积σ-代数F B（Rd）。在这种情况下，X被称为arandom集。同样地，定义了X的H-可测性，它与F的子σ-代数H有关。

如果X（ω）是几乎所有ω的闭（凸，开）集，则称随机集X为闭（凸，开）集。定义9.1 Rd中的F-可测随机元素ξ，使得ξ（ω）∈几乎所有ω的X（ω）∈ Ohm 被称为X的一个F-可测选择，L（X，F）表示X的所有F-可测选择的族，Lp（X，F）是p-可积选择的族。众所周知，a.s.非空随机集至少有一个选择，见【21，Th.4.4】。设H是F.definition 9.2a族的子σ-代数 L（Rd，F）称为完全H-可分解IFPNξnAn∈ Ξ对于所有序列（ξn）n≥1从Ξ和所有H-可测分区（An）n≥第1页，共页Ohm; 如果这适用于有限分区，则Ξ是H-可分解的。L（Rd，F）的可分解子集在[6]中被称为稳定子集，可分解子集在[6]中被称为σ-稳定子集。在p=1[22]的情况下，H=F的以下结果是众所周知的，其中引入了可分解性概念；H=F另见[28，第2.1.10条]，p=0另见[24，第5.4.3条]。定理9.1（见[26，Th.2.4]和[28，Th.2.1.10]）设Ξ是p=0或p的Lp（Rd，F）的非空子集∈ [1，∞]. 然后Ξ∩ Lp（Rd，H）=Lp（X，H）。对于H-可测随机闭集X，当且仅当Ξ是H-可分解且闭的。对于A，A Rd，确定其元素（Minkowski）和asA+A={x+x：x∈ A、 x个∈ A} 。相同的定义适用于L（Rd，F）的子集之和。A和Ais的点的成对差异集，作为+(-A） ，或短A- A、 在哪里- A={-x：x∈ A} 是A的中心对称性。对于一个集和一个单态的和A+{x}，我们写短lya+x。注意，两个闭集的和不一定是闭的，除非至少一个闭和是紧的。以下结果与[28，Th。

1.3.25]。引理9.1设X和Y为两个随机集s。然后L（X，F）+L（Y，F）=L（X+Y，F）。如果X和Y都是随机闭集，那么X+Y是可测的。伊曼纽尔·莱皮内特（Emmanuel Lepinette），伊利亚·莫查诺夫（Ilya MolchanovProof）L（X，F）+L（Y，F是微不足道的 L（X+Y，F）。为了证明反向包含，考虑ξ∈ L（X+Y，F）。由于X和Y是F-可测的，可测选择定理[24，Th.5.4.1]得出存在可测选择ξ′∈ L（X，F）和ξ′\'∈ L（Y，F）等于ξ=ξ′+ξ′。现在假设X和Y是闭合的，并考虑它们的Castaing表示（见[28，定义1.3.6]）X（ω）=cl{ξ′i（ω），i≥ 1} Y（ω）=cl{ξ′i（ω），i≥1} 。X+Y的可测性如下所示：gr（X+Y）=[k≥1\\m≥1[i，j≥1n（ω，x）：kx- ξ′i（ω）- ξ′j（ω）k≤m、 kξ′i（ω）k≤ 击倒取胜（9.1）事实上，如果（ω，x）∈ Gr（X+X），则X=a+b表示a∈ X（ω）和b∈ X（ω）。让k≥ 1，这样kak+1≤ k、 自a∈ 十、 存在一个子序列（ξ′nl）l≥1使ξ′nl（ω）→ a、 我们可以假设kξ′nl（ω）k在不丧失一般性的情况下≤ k、 类似地，ξ′\'nl（ω）→ b、 因此，如果m>0，则kx- ξ′i（ω）-ξ′j（ω）k≤mand kξ′i（ω）k≤ k对于一些i，j.致谢IM得到了瑞士国家科学基金会拨款200021-153597的支持。EM感谢法国ANR基金会的项目Investissments d\'Avenir，该基金会支持法国Metabief的单身汉座谈会。参考文献1。Acciaio，B.，Penner，I.：动态风险度量。《金融高级数学方法》，第1-34页。施普林格，海德堡（2011）2。Cascos，I.，Molchanov，I.：多元风险和深度修剪区域。芬南。斯托赫。11373–397（2007）3。C,etin，U.，Jarrow，R.A.，Protter，P.：流动性风险和套利定价理论。金融斯托克。8（3），311–341（2004）。DOI 10.1007/s00780-004-0123-x。

URL地址http://dx.doi.org/10.1007/s00780-004-0123-x4.ˇCern\'y，A.，Hodges，S.：不完全市场中的好交易定价理论。摘自：H.Geman，M.D.，S.Pliska，T.Vorst（编辑）《数学金融学》。2000年单身国会议员，第175-202页。柏林斯普林格（2001）5。Cheridito，P.、Kupper，M.、Tangpi，L.：离散时间中鲁棒定价和Hedginging的对偶公式。暹罗J.金融数学。8738–765（2017）6。Cheridito，P.、K upper，M.、Vogelpoth，N.：关于Rd的条件分析。In：A.Hamel，F.Heyde，A.L¨ohne，B.Rudloff，C.Schrage（编辑）集金融优化和应用-最新技术。施普林格，海德堡（2015）7。Cherny，A.S.：具有离散时间一致风险的欧佩恩期权定价和对冲。金融斯托克。11537–569（2007）8。Cherny，A.S.：具有一致风险的定价。理论。概率。应用程序。52389–415（2008）9。Cherny，A.S.，Grigoriev，P.G.：扩张单调风险度量是定律不变的。金融斯托克。11291–298（2007）10。Chernyii，A.S.：基于一致风险度量的定价。Teor公司。Veroyatn。一本正经的。52506–540（2007）11。Cochrane，J.H.，Sa'a-Requejo，J.：《超越套利：不完备市场中的优质资产价格界限》。J.政治经济学。108、79–119（2000）12。Del baen，F.：货币效用函数。大阪大学出版社，大阪（2012）风险套利3113。Feinstein，Z.，Rudloff，B.：动态多变量风险测量技术的比较。In：A.Hamel，F.Heyde，A.L¨ohne，B.Rudloff，C.Schrage（编辑）集金融领域的优化和应用-最新技术。施普林格，柏林（2015）14。Feinstein，Z.，Rudloff，B.：集值凸一致风险度量的多端口时间一致性。芬南。斯托赫。19，67–107（2015）15。Filipovi\'c，D.、Kupp er，M.、Vogelpoth，N.：局部L-凸模中的分离和对偶。J、 功能。一个nal。2563996–4029（2009）16。

Filipovi\'c，D.，Kupper，M.，Vogelpoth，N.：条件风险的方法。暹罗J.金融数学。3402–432（2012）17。F¨ollmer，H.，Schied，A.：随机金融学。离散时间导论，2 edn。De Gr uyter，柏林（2004）18。Gr igoriev，P.G.：关于具有交易成本的基本资产定价定理中的低维情形。统计学家。第23、33–48（2005）19号决定。H amel，A.H.，Heyde，F.：集值风险度量的对偶性。暹罗J.Finan。工程1，66–95（2010）20。H amel，A.H.，Rudloff，B.，Yankova，M.：集值平均风险值及其计算。数学芬南。经济学7，229–246（2013）21。H ess，C.：集值积分和集值概率理论：概述。参见：E.Pap（ed.）《测量理论手册》，第14章，第617-673页。Elsevier（2002）22。H iai，F.，Umegaki，H.：多值函数的积分、条件期望和鞅。J、 多V。肛门。7149–182（1977）23。K abanov，Y.、R'asonyi，M.、Stricker，C.：摩擦严重的金融市场无套利标准。金融斯托克。6（3），371–382（2002）。DOI 10.1007/s007800100062。URL地址http://dx.doi.org/10.1007/s00780010006224.K abanov，Y.M.，Safarian，M.：具有交易成本的市场。数学理论。柏林斯普林格（2009）25。epinette，E.：具有交易成本的连续时间模型的鲁棒无套利条件。摘自：M.Kij ima，C.Hara，Y.Muromachi，H.Nakaoka，K.Nishi de（编辑），《金融工程最新进展》，基尔Tmu国际金融工程研讨会论文集，第69-82页。《世界科学》，新加坡（2010）26。L’epinette，E.，Molchanov，I.：随机集的条件核和条件凸包。J、 数学。肛门。应用程序。478368–392（2019）27。L¨ohne，A.，Rudloff，B.：在有交易成本的市场中计算超边缘投资组合和策略集的算法。内景J.Thero。应用程序。

财务171450012（33页）（2014）28。Molchanov，I.：《随机集理论》，第二版。Springer，伦敦（2017）29。Molchanov，I.，Cascos，I.：多元风险度量：基于选举的建设性方法。数学《财务》26867–900（2016）30。Pennanen，T.，Penner，I.：凸交易成本下实物交付的索赔对冲。暹罗J.Finan。《工程》1158–178（2010）31。R\'asonyi，M.：具有交易成本的金融市场中套利理论的新方法。摘自：C.Donati Martin，M.Emery，A.Rouault，C.Stricker（编辑）S.eminaire deProbabilit\'es XLI，Lect。注释数学。，第1934卷，第455-462页。柏林斯普林格（2008）32。Schachermayer，W.：有限离散时间内按比例交易成本下资产定价的基本定理。数学《金融学》14，19–48（2004）33。Vogelpoth，N.：L-凸分析和条件风险度量。维恩大学博士论文（2009）34。Willesson，M.：什么是监管ar比特率，什么不是监管ar比特率？综述和综合。摘自：P.A.Chesi ni G.Giaretta E.（编辑）《金融市场、中小企业融资和新兴经济体》。查姆帕格雷夫·麦克米兰（2017）