这使得我们可以使用[35]中的命题7.1来表明，对于任何可容许的（p，pb，\'p），过程Y，它是对yt的连续修改：=^Ja，（pb，\'p），pt=ess supτ∈TtEhZτtexp-Zstcαu（pu，pbu）du天然气（ps、pbs）ds+exp-Zτtcαu（pu，pbu）du\'pτFti是AFF FINE RBSDE的独特解决方案，-dYt=Ga，ptt（Yt，pbt）dt- ZtdWt+dKt0≤ T≤ T（32）Yt≥ (R)pt0≤ T≤ T、 ZT（Yt- \'pt）dKt=0（33）YT=\'pt，（34），其中Z是一个渐进可测的平方可积（多维）过程，K∈ Sis增加，满意度K=0。同样，文献[35]中的存在结果暗示-dYt=Gat（Yt，pbt）dt- ZtdWt+dKt0≤ T≤ T（35）Yt≥ (R)pt0≤ T≤ TZT（Yt- \'pt）dKt=0（36）YT=\'pt（37）具有唯一的解决方案（YT、Zt、Kt）。然后，文献[35]中的定理7.2暗示Y是Va的连续修正，pat=pat（Yt），τa=inf{s≥ 0:Ys=(R)ps}构成长代理的最佳控件。类似地，对于agiven容许（pa，(R)p），存在唯一的解决方案（Yt，Zt，Kt）来-dYt=Gbt（pat，Yt）dt- ZtdWt公司- dKt0≤ T≤ T（38）Yt≤ (R)pt0≤ T≤ T、 ZT（(R)pt- Yt）dKt=0（39）Yt=(R)pT，（40）Y是Vb的连续修改，pbt=pbt（Yt），τb=inf{s≥ 0：Ys=(R)ps}构成短代理的最佳控制。结果表明，由于两个代理不平衡的最佳停止时间必须相同，因此我们可以为Va和Vb建立一个方程组，而不带'p。为了正式说明这一结果，我们需要引入以下随机函数▄Gat（y，z）=Gat（y，Pbt（z））=-cαtPat（y），Pbt（z）y+gatPat（y），Pbt（z）, y、 z∈ R、 （41）~Gbt（y，z）=Gbt（Pat（y，z）=-cβtPat（y），Pbt（z）z+gbtPat（y），Pbt（z）, y、 z∈ R、 （42）式中，cα、Ga和Gb分别在（13）、（23）和（25）中定义，Pa和Pb由（28）和（29）给出。引理3。假设1-6成立。

对于两人博弈（定义5）中的任何均衡（pa，pb，τ，(R)p），代理的值函数，Va，Vb∈ S、 满足-dVat=~Gat（增值税、Vbt）dt- ZatdWt+dKat-dVbt=~Gbt（增值税、Vbt）dt- ZbtdWt公司- dKbtVat公司≥ Vbt公司T∈ [0，T]，RT（增值税- Vbt）d（Kat+Kbt）=0VaT=Vbt，（43），一些过程Ka，Kb增加∈ S、 从零开始，逐步可测平方可积（Za，Zb）。此外，（^pa，^pb，^τ，(R)p）也形成了平衡，具有相同的值函数，其中：^pat=pat（Vat），^pbt=pbt（Vbt）和^τ=inf{s≥ 0：Vas=Vbs}。相反，如果给出（43）的解，我们可以如上所述定义最优控制（^pa、^pb、^τ），并选择“p=（1- η） Va+ηVb，任何可逐步测量的过程η取（0，1）中的值，以获得平衡（^pa，^pb，^τ，(R)p）。证明：考虑平衡（pa，pb，τ，(R)p）。如前所述，BSDE的标准结果（参见[35]）意味着（Va、Za、Ka）解算（35）–（37），而（Vb、Zb、Kb）解算（38）–（40）（这两个系统被认为具有相同的“p”）。根据τ的最优性，通过标准理论，Vbτ=(R)pτ=Vaτ。考虑长期代理。很明显，如果我们在定义中用VBP代替“p”，则长期代理的目标不会增加（参见（22））。另一方面，τ是最优的，\'pτ=Vbτ，因此，如果我们在其定义中将\'p替换为Vb，则值函数的变化是相同的（参见（26））。因此，（Va、Za、Ka）求解（35）–（37），其中“p”替换为Vb。类似的论点也适用于短代理，并得出（Vb，Zb，Kb）解（38）–（40），其中“p”替换为“Va”。接下来，使用Pa的最优性和BSDE（32）的比较原则，我们很容易推断，对于a.e.（t，ω），每当λαt>0且Vat<sup supp（fαt），pat与^pat=pat（Vat）一致。

另一方面，假设6意味着，如果λαt=0或Vat≥ sup sup（fαt），则λβt=0或Vat≥ sup SUPFβt，以及Gbtpat，Vbt= Gbt公司^pat，Vbt.因此，我们得出结论，Vbsaties（38）–（40）由^pa替代。同样，我们得出结论，Vasatis（35）–（37）由pb替代。因此，（Va，Vb）满足（43）。接下来，考虑（43）的解决方案。选择引理陈述中所示的'p，我们得出结论，（Va，Za，Ka）解（35）–（37），其中pb替换为^pb。然后，标准结果（参考文献[35]）表明，给定^pband'p，Vais是长代理的值函数，她的最优控制由^paandinf{s给出≥ 0：Vas≤ \'\'ps}=inf{s≥ 0：Vas=Vbs}=^τ。类似的论点也适用于做空代理，完成了证明。3.2解决方案的存在在本小节中，我们讨论RBSDE解决方案的存在性问题（43）。分析中的主要区别（43）是非标准形式的反射：溶液的成分相互反射，与给定边界的反射相对。有关最佳切换问题中BSD上升的文献中分析了相关方程：参见，例如，【13】、【20】以及其中的参考文献。然而，（43）中反射的精确形式不同，其生成器不具有所需的单调性，因此无法使用最优切换文献中开发的方法证明（43）的解的存在性。在分析存在性之前，考虑唯一性问题是很方便的。请注意，解决方案有两个反映组件，但只有一个最小约束，这表明（43）的解决方案可能缺乏唯一性。引理3中任意选择η的可能性导致了相同的结论。

事实上，η的不同选择会产生不同的“p”，从而产生不同的一对值函数（Va，Vb），然而，它们必须求解相同的系统（43）。这个启发式观察结果是正确的，事实上，它允许我们构造（43）的解。考虑一个解决方案（Va、Vb、Ka、Kb、Za、Zb）到（43）。引入Kt=Kat+Kbt，我们注意到一定存在一个过程η，其值在[0，1]中，这样dkat=ηtdKt，dKbt=（1- ηt）dKt。然后，我们引入新的变量（▄Y，▄Y），s.t.▄Yt=增值税- VbtanddYt=（1- ηt）dVat+ηtdVbt，替换（Va，Vb）。假设变量的变化可以倒转，则可以得到（▄Y，▄Y）的RBSDE系统，其中只有第一个分量反映为零，并且▄YT=0。相反地，我们可以从规定η和▄Y的终端条件开始，求解（▄Y，▄Y）的相关RBSDE系统，然后通过上述公式从（▄Y，▄Y，η）恢复（Va，Vb）。自然，结果（Va、Vb）应满足（43）。这个方法似乎描述了（43）的所有解，然而，在这里，我们只对构造一个特定的解感兴趣。因此，我们选择η≡ 1/2和▄YT=0，以获得▄Y=Va- Vb和Y=2Y=Va+Vb，预计满足：-dYt=Gt（Yt，Yt）dt- ZtdWt+dKtYt≥ 0，RTYtdKt=0，YT=0-dYt=Gt（Yt，Yt）dt- ZtdWt，YT=0（44），其中Y，Y∈ S、 过程Z，Zare渐进可测且平方可积，K∈ Sis增加，满足K=0。此外，我们表示gt（y，y）=▄Gat（y+y）/2，（y- y） /2个-Gbt（y+y）/2，（y- y） /2个,Gt（y，y）=Gat（y+y）/2，（y- y） /2个+Gbt（y+y）/2，（y- y） /2个其中（41）和（42）中定义了▄Ga和▄G。下面的引理形式化了（44）和（43）之间的联系，其证明很容易直接验证。引理4。设（Y，Y，Z，Z，K）为（44）的解。

然后vA=Y+Y，Vb=Y-Y、 Za=Z+Z，Zb=Z-Z、 Ka=K，Kb=K将解形成（43）。请注意，η的具体选择≡ 1/2对应于选择一个相对于R中直线“Va=Vb”的过程反射角（Va，Vb）。选择获得（44）的特定角度意味着相对于该直线的正交反射，以及（44）在简单旋转后产生，该旋转将该直线变成水平轴。文献[24]分析了在一般凸域中具有正交反射的RBSDE系统。然而，latterresults不适用于本案，因为（44）的生成元缺乏全局Lipschitz性质。实际上，生成器可以写为gt（y，y）=-ct（y，y）y+ct（y，y）y+gt（y，y），（45）gt（y，y）=-ct（y，y）y- ct（y，y）y+gt（y，y），（46），其中ct（y，y）=cαt拍打（y+y）/2, Pbt公司（y）- y） /2个+cβt拍打（y+y）/2, Pbt公司（y）- y） /2个严格描述（43）的所有解是未来研究的一个有趣话题。ct（y，y）=cβt拍打（y+y）/2, Pbt公司（y）- y） /2个-cαt拍打（y+y）/2, Pbt公司（y）- y） /2个,gt（y，y）=gat拍打（y+y）/2, PB（y）- y） /2个- gbt公司帕（y+y）/2, PB（y）- y） /2个,gt（y，y）=gat拍打（y+y）/2, PB（y）- y） /2个+ gbt公司帕（y+y）/2, PB（y）- y） /2个,（13）、（28）、（29）、（23）和（25）中定义了cα、Pa、Pb、Ga和Gb。很容易看出，每个cit（·，·）和git（·，·）都是有界的全局Lipschitz，一致地在a.e.（t，ω）上。然而，由于乘法器yand和y的存在，Git（·，·）是无界的，不具有全局Lipschitz性质。此外，下面建立的存在唯一性结果（参见命题1）适用于（0，1）中常数η的任何选择，这反过来意味着“倾斜”（即。

（Va，Vb）对边界的非正交反射，并将结果系统置于【24】的范围之外。回想一下，具有线性增长且没有全局Lipschitz性质的BSDE的存在性结果只能在一维情况下建立，而当前方程是多维的。然而，我们可以利用（44）的生成元具有“正确”的渐近行为这一事实来证明解的存在性。特别是，由于本节前面的假设，当k（Yt，Yt）k变大时，发电机（Gt，Gt）将（Yt，Yt）推向最大| Yit |减小的方向。提案1。假设2-6成立。然后，存在（44）、s.t.及其分量的一个解，且该解可解地以常数为界。这样的解决方案是独一无二的。证明：步骤1：完全封顶系统的存在性。对于任何常数C>0，表示ψC（y）=(-C∨ y）∧ C、 显然，该函数是y中的1-Lipschitz函数，绝对有界于C。我们定义任意常数{Cji>0}，并考虑完全封顶系统：-dYt公司=-ct（Yt，Yt）ψC（Yt）+ct（Yt，Yt）ψC（Yt）+gt（Yt，Yt）dt公司- ZtdWt+dKt-dYt公司=-ct（Yt，Yt）ψC（Yt）- ct（Yt，Yt）ψC（Yt）+gt（Yt，Yt）dt公司- ZtdWt（47）在这里，以及在后面的一些表达式中，我们省略了Kt的终端条件、屏障和最小条件，因为它们始终保持不变。假设2-6意味着ct（y，y）、ct（y，y）、gt（y，y）和gt（y，y）在（y，y）中是有界的且全局Lipschitz，在a.e.（t，ω）上是一致的。因此，（47）的生成元是（y，y）中的全局Lipschitz（且独立于（Z，Z）），LipschitzBSDEs的标准存在性结果（参见[49]中的定理2.2）得出（47）的解的存在性（和唯一性）。

表示该溶液的Y分量（Y1ct、Y2ct）。步骤2：通过部分取消覆盖对解决方案组件进行绑定。我们希望通过使用单个（R）BSDESCOMPING系统的控制停止解释，将解决方案的组件（Y1ct，Y2ct）绑定到CAPED系统。考虑Y的相关方程，给出y2ct：(-dYt公司=-ctYt，Y2ctYt+ctYt，Y2ctψCY2ct公司+ 燃气轮机Yt，Y2ctdt公司- ZtdWt+dKtYt≥ 0，RTYtdKt=0，YT=0（48）注意，当ct，ct，gandψCare有界时，这个一维RBSDE有一个在Y中具有线性增长的连续生成器，例如，根据[49]中的定理4.1，它有一个解，我们表示为YT。接下来，对于上面构建的Yandy2C，我们介绍过程▄ct=ct（Yt，Y2ct），▄ct=ct（Yt，Y2ct），▄gt=gt（Yt，Y2ct），▄gt=gt（Yt，Y2ct），▄gt=gt（Yt），▄ct=ct（Yt），▄ct=gt（Y2ct），▄gt=gt（Y2ct），▄gt=gt（Y2ct，Y2ct），并考虑从（48）中获得的一维RBSDE（对于▄）：(-dYt=-ct▄Yt+▄ctψC（Y2ct）+▄gtdt公司- ZtdWt+dKtYt≥ 0，RT▄YtdKt=0，▄YT=0（49）。请注意▄Y=Y是该方程的唯一解。另一方面，上述RBSDE在Y中是明确的，例如，根据[35]中的定理7.1，其唯一解允许以下解释，作为最优停止问题的值函数：Yt=supτ∈TtE公司Zτtexp-ZstcuducsψC（Y2cs）+gsds公司英尺我们将使用此表示在| Y |上建立一个界。首先，请注意，在我们的假设下，存在常数C>0和λ∈ （0，1），因此，对于所有t，y，y和a.e.ω，我们有：git（y，y）ct（y，y）= 2.gat公司拍打y+y, Pbt公司Y-Y±gbt拍打y+y, Pbt公司Y-Ycαt拍打y+y, Pbt公司Y-Y+ cβt拍打y+y, Pbt公司Y-Y≤ Cct（y，y）ct（y，y）=cαt拍打y+y, Pbt公司Y-Y- cβt拍打y+y, Pbt公司Y-Ycαt拍打y+y, Pbt公司Y-Y+ cβt拍打y+y, Pbt公司Y-Y≤ λ<1，cα、Pa、Pb、GaAs和Gb定义在（13）、（28）、（29）、（23）和（25）中。

第一个不等式在C=5Cp时成立，它来自Pa、Pb和跳跃大小的有界性。第二个是假设6。上述不平等意味着：ctψC（Y2ct）+▄gt▄ct≤ λC+C，对于所有t和a.e.ω。后一种估计，连同以下引理，意味着期望的上限：| Yt |≤ λC+C对于所有t和a.e.ω。引理5。考虑任意常数C＞0，任意连续函数S:[0，T]→ R、 绝对有界于C，[0，T]上的任意非负连续函数C，[0，T]上的任意连续函数g，满足| g |≤ C | C |。对于任何0≤ T≤ τ≤ T，表示：Yt，τ=Zτtexp-Zstc（u）dug（s）ds+exp-Zτtc（u）duS（τ）。然后| Yt，τ|≤ C 0≤ T≤ τ≤ T、 证明：对于任何0≤ T≤ τ≤ T，我们有Zτtexp-Zstc（u）dug（s）ds+exp-Zτtc（u）duS（τ）≤ -ZτtCd经验值-Zstc（u）du+ 经验值-Zτtc（u）duC=CThus，我们有一个满足| Yt |的解Yof（48）≤ λC+C，P-a.s.，对于所有t.然后，对于C≥λC+C，我们得到ψC（Yt）=Yt，因此，Yalso解(-dYt公司=-ct（Yt，Y2ct）ψC（Yt）+ctψC（Y2ct）+gt（Yt，Y2ct）dt公司- ZtdWt+dKtYt≥ 0，RTYtdKt=0，YT=0注意，上述RBSDE与（47）中的Y方程一致。这个一维RBSDE有一个globallyLipschitz生成器，因此是一个独特的解决方案。这意味着Y=Y1c，我们得到了所需的界onY1c：| Y1ct |≤ λC+C，P-a.s.对于所有t，提供C≥ λC+C。类似地，考虑到封顶系统的Ypart（47），在Y1c固定的情况下，我们得到| Y2ct |≤ λC+C，P-a.s.对于所有t，提供C≥ λC+C。步骤3：适当封顶系统的解算原始系统。

为了证明（47）的解（Y1ct，Y2ct）也解出了原始系统（44），我们只需要证明，给定（Y1c，Y2c）的边界，cappedsystem的生成器与原始生成器一致，转换为ψC（Y1ct）=Y1ct，ψC（Y2ct）=Y2ct，ψC（Y2ct）=Y2ct，ψC（Y1ct）=Y1ct。前两个等式满足ifC的要求≥ λC+C，C≥ λC+C，而后两个要求λC+C≤ C、 λC+C≤ C、 只要λ<1，就可以检查这些不等式是否有解。“最小”解为C=C=C=C=C=C1- λ。通过上述封顶选择，（47）的解也解（44），从而表明（44）的解的存在。此解决方案受构造限制。有界解的唯一性源于这样一个事实，即当（y，y）在有界集上变化时，（44）的生成元是Lipschitz，因此，标准结果是YieldUnique。备注4。上述证明提供了任何系统（44）的存在性结果，其生成器由（45）–（46）给出，具有任意（有界和Lipschitz）渐进可测随机函数{ci，gi}，只要以下公式适用于a.e.（t，ω）和all（y，y）∈ R： Xi=1吉特（y，y）≤ Cct（y，y），ct（y，y）≤ λct（y，y），某些常数C>0和λ∈ （0，1）。4连续统博弈中的均衡。在本节中，我们为第2节中描述的连续玩家博弈构建了定义3意义上的均衡。构建均衡的主要困难在于博弈的混合控制停止性质（当然，还有多个参与者的事实）。因此，我们试图将问题分为两个部分—隔离游戏的“停止”部分。为了做到这一点，可以方便地做出假设，保证书的每一面都存在所谓的“极端”代理。

这些代理人被称为“极端代理人”，因为他们的信念支配着书中同一方的其他代理人的信念，在下面解释的意义上。我们用α表示长边的极值信念，用β表示短边的极值信念。简言之，信念为α的代理在长代理中最不乐观，信念为β的代理在短代理中最不悲观。例如，极端代理人可以被解释为做市商，因为他们比同一方的任何其他代理人更接近于市场中立（回想一下，我们在这个游戏中仍然没有任何指定的做市商——市场中立只是做市商的特征之一）。事实上，如果假设多头经纪人是看涨的（这是很自然的，因为在游戏结束之前，多头经纪人选择等待而不是提交市场订单），那么，信念为α的经纪人是最不看涨的。在本节中，我们构建了一个均衡，其中第一个内部市场秩序的时间和买卖价格由极端代理决定，而LOB的其余形状则由其他代理的行为决定。因此，平衡的构建分为两部分。在第一部分中，极端代理使用辅助两人博弈的结果，并确定第一个内部市场秩序的时间τ以及买卖价格Pa和pb，在他们之间找到一个均衡。在第二部分中，其他代理根据给定的（pa、pb、τ）确定其最佳行动。当然，我们最终证明了在由极值和非极值代理组成的整个市场中，每个代理的策略都是最优的。结果lobν有两个原子，即出价和要价，由极值代理和一些非极值代理的限制订单组成。

LOB的其余部分仅包含非极值代理的限制订单。为了实现上述程序，我们假设A={α}∪^A和B={β}∪^B.我们假设假设假设1-6适用于本节。此外，我们作出以下假设。假设7。对于任何α∈^A，β∈^B和a.e.（t，ω），我们有λαtF+，αt（p）≥ λαtF+，αt（p），λβtF+，βt（p）≤ λβtF+，βt（p），P≥ 0，λαtF-,αt（p）≤ λαtF-,αt（p），λβtF-,βt（p）≥ λβtF-,βt（p），P≤ 0、假设8。对于任何α∈^A，β∈^B和a.e.（t，ω），我们有：F+，αt（p）Fαt（p）≤F+，αt（p）Fαt（p），F-,βt(-p） fβt(-p）≤F-,βt(-p） fβt(-p） P≥ 假设7确保从α代理人的角度来看，在任何时间t的基本价格分布随机支配着从α代理人的角度来看的各自分布。相反的关系适用于做空者。假设8中的第一个不等式确保了log F+、αt（·）的衰减速度比log F+、αt（·）更快，这也符合这样的解释，即与α代理相比，α代理将较小的概率分配给基本价格的大跳跃，将较大的概率分配给小跳跃。类似的解释适用于假设8中的第二个不等式。假设8确保，在一个空的LOB中，非极值代理会比极值代理更愿意在远离零的地方发布其限额订单。引理6。假设1-8成立。固定任意α∈^A和β∈^B.那么，对于a.e.（t，ω），以下为ally∈ R： 第7页→ （p- y） F+，αt（p）在p中不递减∈ 【y，Pat（y）】，第7页→ （y）- p） F级-,βt（p）是不增加的inp∈ 【Pbt（y），y】。证明：通过区分目标函数、回忆（30）–（31）和使用假设8，陈述很容易完成。我们还需要做出一个假设，以限制极端代理所看到的最大可能需求量。

也就是说，极端代理相信外部需求永远不会超过这些代理持有的库存。假设9。对于Leb P-a.e.（t，ω），我们有：Dt-Q+fα/βt（x）dx≤ ua{α}, -Dt公司-Q-fα/βt（x）dx≤ ub{β},其中Q+和Q-定义见（4）。为了构造一个平衡点，我们需要在信任空间和映射α7上施加一定的拓扑条件→ fα。假设10。空间^A和^B是紧度量空间，上面有Borel-sigma代数（即关于Borel-sigma代数的uA和ubare度量）。此外，对于a.e.（t，ω），映射α7→ fα作为映射^a连续→ L[0，Cp]和作为映射的^B→ L[-Cp，0]。最后，我们需要确保需求规模曲线“不太弯曲”。假设11。存在一个递增的连续（确定性）函数: [0，∞) → [0，∞), s、 t。（0）=0，对于a.e.（t，ω），| D-1吨（x）- D-1t（y）|≤ （| x）- y |），对于所有x，y∈ R、 现在，我们开始在连续统博弈中构造一类特殊的均衡。如前所述，均衡首先通过求解辅助两人博弈来构建，如第3节所述。在两人博弈中，我们假设两个代理具有信念α和β。因此，我们考虑（44）的唯一有界解（Y，Y），并根据引理4构造相关的（Va，Vb），其解（43）。然后，引理3暗示（Va，Vb）是两人平衡（^pa，^pb，^τ，’p）的值函数，其中^pat=pat（Vat），^pbt=pbt（Vbt），^τ=inf{t∈ [0，T]：Vat=Vbt}，\'pt=Vat+Vbt。让我们介绍一下≥^τ}，pbt=^pbt{t<^τ}+？p^τ{t≥^τ}。（50）利用这些辅助量，我们旨在为连续统博弈构建一个均衡，其中（ν，θ）满足以下两个条件。

首先，νat=ua（{α}）δpat+(R)νat，νbt=ub（{β}）δpbt+(R)νbt，（51）在R上的sigma加法度量空间中具有渐进可测量的？νaan和？νbtaking值，这样，对于所有t∈ [0，T]，[pat，Cp]上支持的是“νatis”，而[pat，Cp]上支持的是“νbtis”[-Cp，pbt]。其次，θat=ua（a）δVat，θbt=ub（b）δVbt。（52）注意，在这样的市场中，我们有τa=τb=^τ。以下定理是本文的主要结果。定理1。假设1-11成立。考虑（43）的任何解（Va，Vb）（其存在由命题1和引理4保证）以及（50）给出的相关解（pa，pb）。然后，存在渐进可测测度值过程（ν，θ）和随机场p，v：Ohm ×【0，T】×S→ P（R）×R，在定义3的意义上形成平衡，并满足（51）–（52）以及ovt（1，α）=Vat，vt(-1，α）=Vbt，对于所有（t，ω，α），opt（1，α）=pat，pt(-1，β）=pbt，对于所有（t，ω）。备注5。回想一下，总是存在一个“微不足道”的平衡，其中所有代理都在时间零点停止。然而，这种平衡是不现实的，从建模的角度来看似乎没有用处。上述结果的主要贡献是存在一个潜在的非平凡均衡，其中博弈的持续时间^τ由（43）的解决定，通常没有理由为零。第5节中的数值实验证实了后者。备注6。注意，如备注2中所述，我们已经构建了一个均衡，满足vt（1，α）=vat=vat，vt(-1，α）=vbt=vbt， α∈ A.∪ B、 （t，ω）∈ [0，T]×Ohm.因此，在这种均衡中，没有代理人在博弈结束之前执行市场订单，因此，经验分布u保持不变，且（12）保持不变。这一节的其余部分致力于定理1的证明。

首先，我们证明，在一个（ν，θ）满足（51）–（52）的市场中，代理商发布低于要价的限价卖出订单或发布高于出价的限价买入订单（严格地）从来都不是最优的。此外，代理商在^τ之前提交市场订单（严格来说）从来都不是最优的。为了实现这一点，我们需要利用假设7、8，将代理的值函数与Va和Vb进行比较。为了方便起见，引入了分量“νaA”和“νbare”，以表示νat（{pat}）≥ ua（{α}）和νb（{pbt}）≥ ub（{β}）。引理7。假设1–8成立，且（ν，θ）满足（51）–（52）。给定任意α∈ A和任何容许控制（p，τ），对于信念为α的长代理，存在容许控制p，s.t.，p-A.s.，supp（pt） [帕特，∞), 对于allt∈ [0，T]和（p，^τ）不会降低目标值，即J（ν，θ），（p，τ）（1，α）≤ J（ν，θ），（p，^τ）（1，α）。同样，给定任何β∈ B和任何容许控制（p，τ），对于信念为β的短代理，存在容许控制p，s.t.，p-a.s.，supp（pt） (-∞, pbt]，对于所有t∈ [0，T]和（p，^τ）不会减少目标值，即J（ν，θ），（p，τ）(-1，β）≤ J（ν，θ），（p，^τ）(-1，β）。附录中给出了上述引理的证明。这个引理有一个直接但有用的推论。推论1。假设1–8成立，且（ν，θ）满足（51）–（52）。给定任意α∈ A、 设（p，τ）是具有信念α的长代理的非最优策略，在所有可容许策略类中满足：p-A.s.supp（pt） [帕特，∞), 对于所有t∈ [0，T]，τ=^τ。那么（p，τ）在定义2的意义上，在所有可接受的策略类中是最优的。同样，给定任何β∈ B、 设（p，τ）是具有信念β的短代理的最优策略，在所有可容许策略类中满足：p-a.s.supp（pt） (-∞, pbt]，对于所有t∈ [0，T]，τ=^τ。

那么（p，τ）在定义2的意义上，在所有可接受的策略类中是最优的。因此，无论代理使用的是哪种极限顺序策略，她都可以选择以下停止阈值：^v（s）=Va{s>0}+Vb{s<0}。这意味着，给定形式（51）的LOBν和如上所述的停止策略^v，如果任何状态（s，α）都存在最优极限顺序策略^p（s，α），那么（s，α），^v）在定义2的意义上为处于状态（s，α）的代理形成最优控制。此外，在这种情况下，（52）给出的θ满足条件（11）。接下来，我们需要构建一个表（51）中的LOBν，并对所有代理的相关最优限制顺序策略s.t.（10）进行统计。特别是，以下引理（其证明推迟到附录中）表明，对于表（51）中的任何ν，策略（δpa，Va）和（δpb，Vb）对于极端代理都是最优的。引理8。假设1-9成立，且（ν，θ）满足（51）–（52）。然后，在定义2的意义上，给定（ν，θ），策略（δpa，Va）对于信念为α的长代理是等时的，策略（δpb，Vb）对于信念为β的短代理是最优的。其余步骤将在下一小节中执行。4.1非极端因素的平衡策略在本小节中，我们构建了形式为（51）的度量值过程（νa，νb）和一个渐进可测量的随机场（^pt（s，α）），从而控制（^p（1，α），Va）和（^p(-1，α），Vb）对于信念分别为α，长和短的非极端代理是最优的（回想一下，极端代理的最优策略是在引理8中构造的），并且满足固定点约束（10）。鉴于引理7，我们可以将可能的控制p限制为满足以下条件的：supp（pt） [帕特，∞), 对于所有t∈ [0，T]。

很明显，我们可以限制PTT的支持[-Cp，Cp]。由于停止策略是固定的，对于任何α∈^A，一个多头球员的目标减少到“Jα，（p），其中“Jα，（p）t=EhZTtexp-Zst'cαupau，pbu杜邦(R)hα，as（ps，pas，pbs）ds+exp-ZTt？cαupau，pbu杜！pb^τ| Fti，\'cαt（pat，pbt）=cαt（pat，pbt）1{t≤^τ}，\'hα，at（pt，pat，pbt）=hα，at（pt，pat，pbt）1{t≤^τ}，以及（13）和（16）中定义的cα和hα。根据假设7和9，我们有Lc，bt（x）=infp>Q-（νbt）：-Dt（p- x） >νbt（（p，∞))= pbt公司∨ 十、十、∈ supp（fαt）。此外，对于任何z≥ pat，{u>0:lc，at（u）≥ z} ={u>0:u≥ Z- D-1t（νat（[pat，z））}，因此，对于任何B≥ pat，ZBpatfαt（u）（lc，at（u）- pat）du=Zlc，at（B）-patZCpu+pat-D-1t（νat（[pat，pat+u）））fαt（y）dydu。上述观察结果允许我们简化目标：hα，at（pt，pat，pbt）=λαtZ∞路径（z- pbt）F+，αtZ- D-1t（νat（[帕特，z）））+ pbtF+，αt（pat）+Zz-D-1t（νat（[pat，z）））patfαt（u）lc，at（u）duipt（dz）+2λαtpbtF-,αt（pbt）=λαtZCppath（z- pbt）F+，αtZ- D-1t（νat（[帕特，z）））+Zz公司-patF+，αtu+帕特- D-1t（νat（[帕特，帕特+u）））duipt（dz）+2λαtpbtF-,αt（pbt）+λαtpbtF+，αt（pat）。注意，上述目标不依赖于νb（对于给定的pb），因此，我们可以分离长代理和短代理的平衡问题（当然，这仅适用于非极值代理）。为简单起见，我们只考虑长代理的问题–短代理可以类似地处理。用κtand^νat表示pT和νat的推进度量，在映射x 7下→ 十、- 拍打很明显，这种变换保持了可测性，因此，我们可以将平衡问题重新表述为寻找κ和^νa，在[0，Cp]中支持的测度空间中的值。在新变量中，目标采用更方便的形式。

特别是，hα，at（pt，pat，pbt）=^hα，at（κt，pat，pbt），其中^hα，at（κt，pat，pbt）=λαtZCph（z+pat- pbt）F+，αtz+帕特- D-1t（^νat（[0，z）））+ZzF+，αtu+帕特- D-1t（^νat（[0，u）））duiκt（dz）+2λαtpbtF-,αt（pbt）+λαtpbtF+，αt（pat）。请注意，\'Jα，（p）用af fine generator^Gαt（y）=\'cαu求解BSDEpau，pbuy+hα，at（κt，pat，pbt）。为了使“Jα”（p）最大化，有必要找到一个使上述生成器最大化的策略κ。反过来，后者相当于最大化^hα，at（·，pat，pbt）。因此，我们需要找到一个渐进可测量的随机场（κt（α）），其值为P（R）（具有弱拓扑），s.t.，对于ua-a.e.α∈^A，κt（α）∈ argmaxκ∈ψ^hα，at（κ，pat，pbt）（53）适用于dt×P-a.e.（t，ω），其中ψ={P∈ P（π）：supp（P） π}和∏=[0，Cp]。因此，标准BSDE结果表明，对于处于状态（1，α）的试剂，κ（α）是最佳的，对于ua-a.e.α∈^A.此外，如果我们确保满足固定点约束（10）（并且类似的构造适用于短代理），我们将在定义3的意义上获得连续玩家博弈中的非平衡。注意，我们可以重写^hα，at（κ，pat，pbt）=λαtZRFt（α，p，^νat）κ（dp）+2λαtpbtF-,αt（pbt）+λαtpbtF+，αt（pat），Ft（α，p，^νat）=（p+pat- pbt）F+，αtp+pat- D-1t（^νat（[0，p）））+ZpF+，αtu+帕特- D-1t（^νat（[0，u）））杜。（54）假设极端长代理在pa后限制订单，固定点约束（10）（更准确地说，对应于长代理的部分（10））变为：^νat（[0，x]）=ua（{α}）+Z^aκt（α；[0，x]）ua（dα），十、≥ 0。（55）上述方程可以针对不同的（t，ω）分别求解，因此，为此，我们定义（t，ω），并在没有引起歧义的情况下省略tsubscript。下面的语句适用于a.e.（t，ω）。

结果表明，搜索measureK（dα，dx）=κ（α；dx）ua（dα）更方便，它是Mua的一个元素^A×∏, ^A×∏上的有限西格玛加性度量空间，具有第一个边缘uA。通过通常的分解完成从K到κ的转换。因此，对于a.e.（t，ω），我们需要找到（K，ν）∈ Mua^A×∏×Mua（a）（π）求解以下系统K∈ argmaxK∈Mua（^a×∏）RF（α，p，ν）K（dα，dp），ν（dx）=ua（{α}）δ（dx）+K^A×dx,（56）式中，Mua（a）（π）是∏上的有限西格玛加性度量的空间，总质量ua（a）=ua（{α}）+ua（^a）。显然，上述系统可以表述为一个定点问题。然而，解决这个问题的主要挑战在于F（α，·，·）不是连续的：例如，如果ν有原子，它可能在p中不连续。因此，我们将F替换为其“molli fi”版本：^F（α，p，ν）=supp∈πF（α，p，ν）- |P- p |。下面的引理表明，我们可以用（56）中的^F代替F，任何新问题的解决方案都会解决原来的问题。引理9。对于任何α∈^A和ν∈ Mua（a）（π），函数p 7→^F（α，p，ν）是p中的1-Lipschitz∈ π，andargmaxp∈∏^F（α，p，ν）=argmaxp∈πF（α，p，ν）。证明：为了方便起见，我们放弃了对（α，ν）的依赖。从定义上看，第一句话很清楚。这也是显而易见的∈∏^F（p）=支持∈πF（p），我们用S表示这个上确界。由于^F在∏中是连续的，它达到了它的上确界，因此，对于每个^F（p）=S的psuch，有必要证明F（p）=S（注意，相反的含义是明显的）。假设相反，则F（p）≤ s- ε、 对于某些ε>0且所有p∈ ∏∩ （p- ε、 F的上半连续性。然后，我们得到^F（p）≤ s- ε、 这是一个矛盾。

要看到F是上半连续的，请注意它是左连续的，只有向下的跳跃，直接从（54）开始。总结上述讨论，为了找到（56）的解决方案，有必要找到以下对应关系的固定点mua^A×∏3 K 7→K（￠ν（K）），其中￠ν（K；dx）=u（{α}）δpa（dx）+K（^A×dx）∈ Mua（a）（π）（57）为单值，且▄K（ν）=argmaxK∈Mua（^a×∏）Z^F（α，p，ν）K（dα，dp） Mua^A×∏. （58）提案2。假设10、11成立。然后，通信K:K 7→由（57）–（58）定义的|K（|ν（K）），有一个固定点。证明：为了证明该命题，我们使用了Kakutani的对应定理（参见[26]中的定义II.7.8.1和theorem II.7.8.6）。注意，Mua^A×∏, 具有弱拓扑，是凸紧的（byProkhorov定理）。此外，它还可以看作是连续函数空间的对偶的一个子空间，它是半赋范的。因此，为了应用Kakutani定理，只需证明K是上半连续的（uhc），具有非空紧凸值。还请注意，K（ν）是凸的定义（作为凸集上线性泛函的argmax），因此，K是凸值，我们只需要显示它是uhc，具有非空紧值。同于第7页→ ν（p）是一个连续函数，连续函数和uhc对应的组合是uhc对应，有必要验证ν7→~K（ν）是auhc非空紧值对应。为了实现这一点，我们使用了经典的Berge定理（参见[41]，第E.3节），该定理将问题归结为函数（K，ν）7的连续性→ φ（K，ν）=Z^F（α，p，ν）K（dα，dp），（59）Mua^A×∏×Mua（a）（π），通过L’evy-Prokhorov度量进行度量。在剩下的证明中，我们证明φ（K，ν）在（K，ν）中是联合连续的。

更精确地说，φ（K，ν）在K中是连续的，并且它在K上是连续的inν（关于L'evy-Prokhorov度量）。首先，我们证明φ（K，ν）在K中是连续的。通过弱拓扑的定义，期望的连续性将遵循^F（α，p，ν）关于（α，p）的联合连续性。由于引理9，^F（α，p，ν）在p中是1Lipschitz（均匀地在α上∈因此，有必要检查^F（α，p，ν）在α中是连续的。后者源自于F（α，p，ν）在α中是连续的，在p上是一致的∈ ∏。实际上，请注意，如果，对于某些α∈ U（α），我们有| F（α，p，ν）- F（α，p，ν）|≤ εP∈ π，则^F（α，p，ν）=F（α，p，ν）- |P- p |≤ F（α，p，ν）- |P- p |+ε≤^F（α，p，ν）+ε，这与类似的对称不等式一起表明^F（α，p，ν）-^F（α，p，ν）≤ ε。上面的第一个性质来自于F在p中是上半连续的（并且从上面以2Cp为界），这在引理9的证明中显示，因此，在somep中实现了^F定义的上确界。证明F（α，p，ν）在α中是连续的，在p上是一致的∈ 我们回忆起（54），期望的连续性直接来自假设10。仍然需要证明φ（K，ν）在ν中是连续的∈ Mua（a）（π），均匀覆盖K∈ Mua^A×∏. 由于φ的定义，每一个这样的K都有固定的总质量，期望的连续性来自以下事实：^F（α，p，ν）在ν中是连续的，均匀地覆盖在（α，p）上∈^A×∏。为了证明后者，fixε>0，并让dbe L'evy Prokhorov度量为Mua（a）（π）。我们证明存在一个递增的连续确定性函数C:[0，∞) → [0，∞), s、 t。

C（0）=0和^F（α，p，ν）-^F（α，p，ν）≤ C（ε）， P∈ π，α∈^A，d（ν，ν）≤ ε。如果我们设法证明存在一个递增的连续确定性函数B：[0，∞) → [0，∞), s、 t.B（0）=0和f（α，p，ν）≤ F（α，（p- ε）∨ 0，ν）+B（ε），（60）然后^F（α，p，ν）=F（α，p，ν）- |P- p |≤ F（α，（p- ε）∨ 0，ν）- |P- p |+B（ε）≤ F（α，（p- ε）∨ 0，ν）- |（p- ε）∨ 0- p |+B（ε）+ε≤^F（α，p，ν）+B（ε）+ε。后者与ν和ν被切换的类似不等式一起，产生了所需的ν中^F的一致连续性。因此，只剩下证明（60）。对于任何p∈ π，根据L’evy Prokhorovmetric的定义，我们得到：ν（[0，p））≥ ν（[0，（p- ε）∨ 0））- ε，因此，根据假设11，-D-1（ν（[0，p）））≥ -D-1（ν（[0，（p- ε）∨ 0）））- （ε） 。那么，对于任何p∈ π，p+pa- D-1（ν（[0，p）））≥ （p- ε）∨ 0+pa- D-1（ν（[0，（p- ε）∨ 0）））- （ε） ，表示f+，αp+pa- D-1（ν+（p））≤ F+，α（p- ε）∨ 0+pa- D-1（ν+（（p- ε）∨ 0））+ Mf公司（ε） ，其中我们使用了fα由某个常数Mf限定的事实。上述估计以及pa、Pb和F+、α的有界性，得出了（54）中第一项的期望不等式（60）。综合上述估计，我们得到（54）右侧最后一项的类似不等式，从而完成证明。命题2意味着，对于a.e.（t，ω），我们可以找到Kt，ω∈ Mua^A×∏, s、 t.Kt，ω∈~K（~ν（Kt，ω）），因此，（Kt，ω，~ν（Kt，ω））满足（56）。接下来，我们需要建立Kt，ω相对于（t，ω）的可测性。也就是说，我们需要证明存在一个渐进可测映射（t，ω）7→ Kt，ω∈Mua^A×∏, 这样kt，ω∈ argmaxK∈Mua（^a×∏）φt，ω（K，ν（Kt，ω）），（61）表示Leb P-a.e.（t，ω），其中φ和￠ν在（59）和（57）中定义。我们表示S=[0，T]×Ohm, 设S为S上的推进sigma代数（定义为w.r.t.过滤F）。

我们还表示X=Mua^A×∏并介绍通信g:S×X→ 十、 由（t，ω，K）7给出→ argmaxK∈Xφt，ω（K，￠ν（K））。请注意，X是可分离和可度量的，请考虑函数（t，ω，K，K）7→ φt，ω（K，￠ν（K）），定义在（S×X，S）上 B（X））。请注意，该函数在K中是连续的（如命题2的证明所示），在（t，ω，K）中是可测的（如命题2的证明所示），因此，它是一个Carath\'eodory函数。然后，可测最大值定理（参见文献[1]中的定理18.18）意味着gis a（S B（X））-与非空值和紧值的可测对应。考虑其他通信g:S→ 十、 由（t，ω）7给出→ {K∈ X:K∈ argmaxKφt，ω（K，￠ν（K））}。让我们展示如何从g中可测量地选择Leb P-a.e.（t，ω）。标准的可测量选择结果（参见[1]中的推论18.27和定理18.26）表明，如果ghas B（X）可测图和非空值。后者来自命题2，前者由以下引理保证。引理10。通信是 B（X）-可测图。证明：用Γg表示此图。让IX:X→ X×X由IX（K）=（K，K）给出。那么，Γg=（id×IX）-1（Γ），其中 S×X×X由Γ给出=t、 ω，K，K |（t，ω）∈ S、 K级∈ 十、 K级∈ argmaxK∈Xφt，ω（K，￠ν（K））∩ {（t，ω，K，K）|（t，ω）∈ S、 K级∈ 十} 。显然，id×ix是一个可测映射，而集合{（t，ω，K，K）|（t，ω）∈ S、 K级∈ 十} 是可测量的。因此，我们只需要检查t、 ω，K，K |（t，ω）∈ S、 K级∈ 十、 K级∈ argmaxK∈Xφt，ω（K，￠ν（K））是S B（X）-可测量。后一个集合正是g的图形，它是可测量的，因为对应的gis是可测量的（参见[1]中的定理18.6）。因此，我们得出结论，存在一个逐渐可测量的K，其值以Mua为单位^A×∏, Leb满足（61） P-a.e.（t，ω）。

它只剩下通过解体从K构建κ。让我们介绍A=S×A，配备西格玛代数S B^A, 以及通过Q（dt，dω，dα，dp）=Kt，ω（dα，dp）dtP（dω）定义的A×π上的度量Q。注意，A上Q的边际分布是uA（dα）dtP（dω）。然后，由于从A×π到∏的自然投影有一个Borel范围，因此[32]中的定理5.3和5.4暗示存在一个核κ：A 3（t，ω，α）7→ κt，ω（α）∈ P（π），这是自然投影从a×π到∏的正则条件分布，给定从a×π到a的自然投影，在Q下。即，对于每个绝对有界可测f:a×π→ R、 我们有ZA×∏f（t，ω，α，p）Kt，ω（dα，dp）dtP（dω）=ZA×∏f（t，ω，α，p）κt，ω（α；dp）ua（dα）dtP（dω）。（62）上述性质得出，^νat，ω=Иν（Kt，ω）和κt，ω满足固定点约束（55）。对于Leb，κ满意度（53）仍有待观察 P ua-a.e.（t，ω，α）。假设情况并非如此，则存在可测集B [0，T]×Ohm, 使用正测度，s.t.表示任何固定值（t，ω）∈ B、 存在可测量的setC^A，s.t.uA（C）>0，对于所有α∈ C、 ZR^Ft，ω（α，p，~ν（Kt，ω））κt，ω（α；dp）≤ZRFt，ω（α，p，～ν（Kt，ω））κt，ω（α；dp）<supκ∈ψZRFt，ω（α，p，|ν（Kt，ω））κ（dp）=supκ∈ψZR^Ft，ω（α，p，￠ν（Kt，ω））κ（dp）。上述不等式对于所有α都变得不严格∈^A\\C.然后，对于固定值（t，ω）∈ B、 我们可以选择一个可测量的|κ：^a→ P（π）（与我们选择可测量K的方式相同，但在这种情况下，α变量需要可测量性），s.t.supκ∈ψZR^Ft，ω（α，p，|ν（Kt，ω））κ（dp）=ZR^Ft，ω（α，p，|ν（Kt，ω））|κ（α；dp），ua-a.e.α∈因此，对于所有α，我们得到了ZR^Ft，ω（α，p，～ν（Kt，ω））κt，ω（α；dp）<ZR^Ft，ω（α，p，～ν（Kt，ω））～κ（α；dp）∈ C、 非严格不等式适用于所有α∈^A。

对ua积分，并使用（62）与F（t，ω，α，p）=^F（t，ω，α，p，|ν（Kt，ω）），我们得到了集B（具有正度量）上与（61）的矛盾。因此，对于ua-a.e.α∈^A，（53）Leb保持 P-a.e.（t，ω）。这意味着，如果我们将^pt（α）定义为κt（α）的推进，则在映射x 7下→ x+pat，对于任意y和a.e.（t，ω），所得策略^p（α）使生成器^Gαt（y）最大化。然后，我们定义νatto是^νat的推进，在映射x 7下→ x+pat，并使用标准BSDE结果得出结论，对于ua-a.e.α∈^A，J（ν，θ），（^p（α），Va）（1，α）=Jα，（^p（α））≥\'Jα，（p）=J（ν，θ），（p，Va）（1，α）适用于所有容许策略p，这意味着对于具有信念α的长代理，^p（α）是最优的。通过选择νaan和^p，可以满足（10）中给出的νa上的定点条件，因为它相当于（55）（假设极端多头代理在pa后限制订单，这对他们来说是最优的）。这与推论1一起，意味着（^p（α），Va）是具有信念α的长代理的最优策略∈^A.短代理的待遇类似。因此，我们完成了定理1.5示例的证明在本节中，我们考虑了我们模型的最简单的具体示例，并展示了如何使用它。考虑astochastic基础(Ohm,F=（Ft）t∈[0，T]，P），具有泊松随机测度N，其补偿器为λtft（x）dxdt，如第2.1小节所述。我们假设Jt（x）=x（即M≡ N），因此N是（潜在）基本价格过程X的跳跃度量。我们还假设T=20，λT≡ 1和FTI是均匀分布的密度[-C、 C]，其中常数CI选择足够大，因此该区间包含以下所有fα的支持。

我们取A={α}∪^A，B={β}∪^B，其中^A=iK | 0≤ i<K,^B=-iK | 0≤ i<K是单位间隔的均匀划分，这里的大多数计算都使用K=500。^a（或^b）上的ua（或ub）限制为相应离散空间的每个点分配1/K的质量。注意，这意味着ua（^a）=ub（^b）=1。我们还确定ua（{α}）=ub（{β}）=0.1。接下来，我们考虑一组正数{λ+，α，λ-,α、 C+，α，C-,α} α∈A.∪B、 定义α（x）=λ+，α（λ+，α+λ-,α） C+，α[0，C+，α]（x）+λ-,α（λ+，α+λ-,α） C类-,α[-C-,α、 0]（x），λα=λ+，α+λ-,α。在此，我们使用C+，α=C-,α=C+，β=C-,β=0.5和C+，α=a+bα，C-,α=C-,α， α∈^A，C-,β=a- bβ，C+，β=C+，β， β∈^B，a=0.5，B=10。最后，对于任何α∈ A.∪ B、 我们引入Γα（x）=λαλfα（x）f（x）- 1，dZαt=Zαt-ZRΓα（x）[N（dt，dx）- λf（x）dtdx]，并通过其氡Nikodym密度ZαT确定Pα<<P。使用[30]中的一般结果（或[16]中的一般结果，对于本文使用的确定性情况），可以很容易地检查，在这种Pα下，N是具有补偿因子λαfα（x）dxdt的泊松随机测度。我们假设需求弹性具有确定性、时间常数和价格线性：Dt（p）=-kp，弹性参数k=0.2。通过以上（C±，α，C±，β，ua（{α}），ub（{β}），k）的选择，很容易看出假设9是满足的。请注意，对于α，λ±，α的选择∈^A∪^B，只要满足假设7和8，就不会影响平衡。显然，如果我们选择λ±，α=λ±，α和λ±，β=λ±，β作为α，情况就是这样∈ A和β∈ B、 在此，我们考虑（λ±，α，λ±，β）的几组不同值。让我们在这个例子中构建一个平衡。请注意，在本例中，布朗运动W不会影响跳跃强度，反过来也不会影响代理的目标，因此，RBSDE系统（44）成为反射ODS的系统。

我们可以很容易地解决这个问题，使用一个简单的Euler格式，然后恢复值函数（Va，Vb），如引理4所示，并以反馈形式构造出价和要价（pa，pb），如引理3所示。我们使用上面选择的参数以及λ+，α=2.5，λ来实现此策略-,α=1，λ+，β=1，λ-,β=2.5（因此极端ask代理看好，而极端bid代理看跌）。结果如图1左侧所示。使用相同的参数，我们认为这本书超出了最佳出价和要价。为了构造它，我们用数值方法解决固定点问题（56）。后者是通过将限额订单的可能价格水平集限制为有限集（即大区间的划分）来实现的，这将（56）简化为有限维定点问题。此外，我们允许每个代理商仅以单一价格水平邮寄限价订单，这进一步简化了问题。因此，我们通过标准递归迭代找到一个解决方案，在每个步骤上最大化有限集上的目标。图1右侧绘制了代理的最优limitorder策略（在时间零点），作为代理信念α的函数∈^A∪^B.请注意，最优极限顺序策略p（·）是分段常数。值得一提的是，如果可以找到一个固定点，那么这种限制不会损害代理行为的最佳性。事实上，众所周知的现象是，在连续玩家游戏中，纯控制的均衡也为分布式控制的设置提供了均衡。事实上，这是连续玩家游戏的优势之一。

我们考虑分布式控制只是为了证明平衡确实存在，对于纯控制的设置来说，这要困难得多（如果可能的话）。这种离散性似乎是模型中固有的，而不仅仅是我们在此选择的价格或信念离散化的产物，因为当我们增加可能的信念（K）和价格水平的数量时，结果不会改变。最后，我们展示了如何使用所提出的框架来建模间接市场影响，当业务线的初始变更创建“反馈回路”并导致进一步的变更时，间接市场影响就会出现。请注意，最初的变化可能由交易（在经典的最优执行模型中就是这种情况）或新的限额指令触发。后者的一个极端例子是所谓的“欺骗”——即发布大额限额订单，目的是使资产价格朝相反方向移动。据我们所知，迄今为止，还没有任何模型能够解释这一活动究竟是如何导致LOB（尤其是价格）发生变化的。为了对这一过程进行建模，我们修改了当前示例，假设（λ±，α，λ±，β）实际上是相关市场指标的函数，我们用I表示：λ+，α=2.3 exp（Is），λ-,α=经验值(-Is），λ+，β=exp（Is），λ-,β=2.3 exp(-Is），（63），其中s=2.6是灵敏度。我们进一步假设，I是所谓的市场失衡：所有最高出价限价订单的规模与所有最高出价限价订单的规模之比，减去1。这是一个众所周知的经验事实（参见[14]、[11]、[39]），即这样一个指标对下一次价格变动的方向具有预测力。请注意，I是LOB的函数，而LOB又是平衡的结果，其中I是输入。

严格地说，我们的结果并不能保证存在这种额外的固定点约束的平衡。事实上，（63）给出的具有“反馈信念”的平衡可以被视为以下映射的固定点：（λ±，α，λ±，β）7→ ν7→ I 7→ （λ±，α，λ±，β），（64）式中（λ±，α，λ±，β）7→ ν将数字（λ±，α，λ±，β）映射到平衡LOBν，如本节第一部分所述，以及I 7→ （λ±，α，λ±，β）由（63）给出。在此，我们不证明上述固定点的一般存在性结果，但我们可以通过迭代应用相关映射（假设迭代确实收敛）进行数值计算。特别是，图2的右上部分显示了LOB与反馈信念平衡的示例，由（63）给出，I=0.0984456。我们的下一个目标是展示一旦LOB受到干扰，市场如何从一个均衡转移到另一个均衡（假设反馈信念（63））。值得一提的是，没有规范的方法来描述代理如何实现均衡。然而，我们提出了一种基于（64）迭代的特定算法，其背后有以下基本原理。对于任何参数λ=（λ±，α，λ±，β）（作为时间的函数给出），代理知道它们的平衡策略：（p（(R)λ），v（(R)λ）），可以如本例第一部分所示进行计算（其存在性源自本文的主要结果）。如果LOB受到干扰，I发生变化，反过来，参数通过（63）从|Μ变为|Μ。然后，代理将其策略更改为（p（(R)λ），v（(R)λ）），这就形成了一个关于新参数集∧的平衡。

在新的平衡中，LOB以及由此产生的不平衡I可能会发生变化，从而导致参数的进一步变化，依此类推，直到代理达到一组与前一组参数一致的参数（或者，从数值角度来看，几乎一致）。我们相信，这种迈向新均衡的算法在经济上是有意义的，尽管它当然不是唯一可能的选择。从数学上讲，它对应于迭代映射（64）。为了说明这种方法，我们在之前获得的平衡LOB中添加了一个位于最佳出价的0.05大小的额外限额购买订单，如图2右下部分所示。这意味着通过（63）改变不平衡I，进而改变代理的参数（λ±，α，λ±，β）。因此，代理调整其控制以达到新的平衡，然后使用新的不平衡重新计算参数，等等。图3显示了在第一个迭代中LOB和函数（Va、Vb）的情况。我们可以看到，失衡的最初变化使代理机构对资产更加乐观，并且他们倾向于将其限额订单调高。特别是，最佳出价队列的大小增加，而最佳提问队列的大小减少，进一步加剧了市场的不平衡。图3的左侧部分还显示，从第三步开始，值函数Va和Vb在时间零点重合，这意味着代理实际上选择提交内部市场订单，从而终止游戏。后者构成了反馈信念的平衡（63）。这项实验尤其说明了为什么predictiveWe强调故意欺骗是非法行为。重要的是要注意，具有反馈信念的均衡（63）通常不是唯一的，但所提出的算法会导致特殊的均衡。

由此产生的均衡是退化的，从某种意义上说，博弈立即结束，但当然，存在其他均衡。市场不平衡的力量是一种“自我充实的预言”：代理人将其对下一个市场秩序类型的信念建立在市场不平衡的基础上，这一事实本身意味着市场不平衡的充分变化将触发正确类型的市场秩序。当然，本节第二部分提供的分析仅仅是一个示例，这意味着要阐明我们的理论结果的潜在应用。也就是说，我们的主要结果表明映射（64）的一次迭代得到了很好的定义。然而，缺少对最终迭代方案的严格分析，包括其收敛到固定点的分析。一般来说，考虑其他指标也很有意思：例如，选择最后一笔交易的规模和方向作为相关指标，可以模拟市场订单对LOB的间接影响（除了即时执行限额订单产生的明显、直接影响之外）。在我们未来的研究中，我们计划找到合适的模型规格，以便在拟定的环境下对间接市场影响进行更彻底的分析，并根据市场数据测试我们模型的预测。6附录引理证明7。我们考虑一个具有信念α的长代理，并引入'Jα，（p，τ）t=EhZτtexp-Zst'cαu加索尔∧ Q-（pu），pbu杜邦(R)hα，as（ps，pas，pbs）ds+exp-Zτt'cαu加索尔∧ Q-（pu），pbu杜邦pbτ∧^τ| Fti，其中'cαt（x，y）=cαt（x，y）1{t≤^τ}，\'hα，at（κ，x，y）=hα，at（κ，x，y）1{t≤^τ}，x，y∈ Rκ∈ P（R），含cα和hα，见（13）和（16）。