限价指令簿的内生形成：交易之间的动态

2022-5-25 08:34:39

此类市场的一个关键组成部分是限额订单簿（LOB），其中包含所有未完成的限额买卖订单（时间和价格优先），其形状和动态代表市场的流动性。我们感兴趣的是开发一个建模框架，其中LOB的形状及其动力学是由代理之间的交互内在产生的。这与市场微观结构的许多现有结果形成对比，这些结果假设LOB的形状和动态是外源性的。我们的方法有很多优点，其中之一是可以建模LOB对相关市场指标或交易所规则变化的反应。在此，我们将[23]中提出的离散时间建模框架扩展到连续时间，并将分析限制到两个连续交易之间的市场动态。后者简化了问题，并通过众所周知的经验事实证明了这一点，即LOB的大多数变化不是由于交易引起的。我们设法在一般的连续时间框架中确定均衡的存在性，并获得一个数值上易于处理的表示，其中竞争主体对资产的未来需求有不同的信念。*两位作者均承认NSF拨款DMS-1411824的部分支持。+通信地址：密歇根大学数学系，530 Church St，Ann Arbor，MI 48104；sergeyn@umich.edu.我们要感谢匿名裁判，他们的建设性言论帮助我们改进了论文。我们请读者参考文献[23]，其导言对我们研究的市场微观结构和动机问题进行了更详细的解释。这些信念决定了未来的需求分布，给出了迄今为止观察到的（公共）信息。

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2022-5-25 08:34:43

后者可由相关信号（或市场指示器）生成。人们可以将此类条件分布视为市场参与者用于预测未来需求的“模型”，并基于（通常观察到的）相关市场指标。根据这些信念，代理人选择其最优交易策略（即限额和市场订单），旨在最大化其预期收益，并达到均衡。本文提出的建模框架可用于预测市场对相关指标变化的反应。特别是，如果相关市场指标取决于LOB，我们的框架允许oneto对间接市场影响进行建模：即，由于初始变化所揭示的信息，市场的初始变化如何可能导致进一步的变化（与直接影响相反，例如，市场订单消除了部分LOB）。这种间接影响的一个极端例子叫做“欺骗”，这是一种旨在操纵市场的非法行为。我们的模型可用于量化此类间接市场影响，并最终用于改进最佳执行算法或测试“欺骗”活动的后果。我们在第5节中提供了一个简单的示例，说明了我们的模型的潜在应用，尽管需要进行实证调查（包括更仔细的模型规格及其估计），以得出有关实际市场行为的任何具体结论，但这将留给未来的研究。在数学方面，我们分析的问题是在一个具有连续玩家的控制停止博弈中构建均衡（参见。

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2022-5-25 08:34:47

[3] ，[47]，[7]，了解更多关于连续玩家游戏的一般理论）。主要的数学挑战来自三个方面：个人收益与其他参与者控制之间的复杂依赖性（缺乏标准的凸性和连续性）、多个参与者的存在（与两人博弈相比）以及博弈的控制停止性质。通常可以通过部分微分方程组或（前向）后向随机微分方程组（BSDE）直接构造任意人数博弈中的均衡。然而，在多个参与者的情况下，数值求解此类系统变得非常具有挑战性。在这种情况下，对平衡的描述通常仅限于证明其存在，而这又是通过抽象的定点论证获得的。然而，即使是后一种方法在被考虑的游戏中也是一个挑战。也就是说，玩家的控制和个人收益之间的复杂依赖结构，以及游戏的控制停止性质，使得（a）找到一组紧凑的个人控制非常困难（甚至不可能），这些控制足够大，可以包含目标函数的任何最大化者，以及（b）建立目标的连续性。为了克服这些挑战，我们假设存在具有“极端信念”的代理，将问题分为两部分：一个有两个玩家的控制停止游戏，和一个有连续玩家的纯控制游戏（不停止）。这种分裂大大简化了我们的任务，但由此产生的两个问题仍然具有挑战性。

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2022-5-25 08:34:50

第一个涉及两人博弈均衡的构建，导致了一个非标准的反射BSDE（RBSDE）系统，其组件相互反射，其生成器缺乏所需的规律性。在第3.2小节中，我们证明了该系统解的存在性，并且在第5节中，我们展示了如何在一个简单的示例中计算它。第二个问题与连续玩家博弈（不间断）中的均衡有关，被表述为定点问题，并在第4.1小节中解决。这种辅助对策由于其目标函数不连续且不具有所需的单调性而变得复杂。然而，第4.1小节设计了一种适当的“软化”技术，以构建相关定点问题的解决方案，进而描述原始市场微观结构博弈中的均衡。本文提出的求解方法的计算益处之一是，上述定点问题可以分别为每个（t，ω）求解。特别是，不必在迭代的每一步求解前向-后向系统，因为这是在典型的平均场游戏中完成的（参见，例如，[38]、[8]）。另一方面，在证明存在结果时，定点问题的局部性质导致了额外的可测性问题。所有这些问题都在第4.1小节中讨论，主要存在结果在第4节的定理1中说明。关于市场微观结构的文献非常丰富。大多数理论工作都涉及单个代理选择最优交易策略的问题，包括限额和/或市场订单。该代理人的交易环境（如市场影响）要么由外部指定，要么由代理人自己决定（如果她是指定的做市商）。

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2022-5-25 08:34:53

相关出版物包括[2]、[40]、[15]、[5]、[43]、[28]、[12]、[29]、[48]、[4]、[45]、[27]、[10]以及其中的参考文献。尽管如此，这些作品都没有试图利用目标的单调性，应用不同类型的不动点定理。然而，在目前的环境中也缺乏这种单调性。解释关键市场特征（例如LOB的形状和动态）是如何从多个市场参与者之间的互动中产生的。最后，最近的几篇论文将基于均衡的方法应用于最优执行问题（参见[46]，[31]）。这些论文描述了解决最优执行问题的多个代理之间的均衡，这些代理所针对的LOB（或市场）是外生的，而不是被建模为均衡的输出。例如，在[42]、[21]、[25]、[9]、[37]、[44]、[18]中，研究了拍卖式交易所（即没有指定做市商）中期货的内生形成。然而，上述论文中提出的模型并不旨在以足够的精度代表拍卖式交易的机制，这是解决本文中的问题所需要的。本文的组织结构如下。第2节描述了提议的连续玩家博弈，并定义了关联均衡。第3节介绍了一个辅助的双人游戏。后者本身很有趣，但其主要目的是促进在连续玩家博弈中构建均衡。两人博弈中的平衡由一个RBSDE系统描述，其解分量相互反射，其生成器不满足全局Lipschitz和单调性。

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2022-5-25 08:34:56

第3.2小节中的命题1提供了该系统的存在性结果，据我们所知，该系统以前不可用。第4节完成了连续统博弈均衡的构建，陈述了论文的主要结果，定理1。本节特别描述了解决不连续定点问题的软化技术，该问题出现在辅助连续统玩家游戏中。我们认为，该方法可以应用于其他具有类似不连续类型的相关定点问题。最后，在第5节中，我们考虑了一个数值示例，在该示例中，我们计算了均衡策略，并展示了我们的结果如何用于研究间接市场影响（以“欺骗”的特殊案例为例）。2连续时间建模框架2。1初步建设我们考虑采用拍卖式交易方式，交易可以在任何时候进行，限额订单可以随时发布∈ [0，T]。市场参与者分为两类：外部投资者，他们“不耐烦”，因为他们只提交市场订单，需要立即执行；战略参与者，他们可以提交市场订单和限制订单，并且愿意花时间这样做，以获得更好的执行价格。在我们的模型中，我们关注的是战略参与者，我们称之为代理人，我们通过外部需求对外部投资者的行为进行外部建模。资产的外部需求使用三个组成部分进行建模：潜在外部市场订单的到达时间、这些时间潜在基本价格的价值以及需求的弹性。

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2022-5-25 08:34:59

在我们之前的研究[23]中，我们考虑了拍卖式交换的一般离散时间博弈族，外部需求过程由（非常一般的）连续时间需求过程的离散化给出，在选择的[0，T]分区上。[23]的一个主要结论可以大致解释为：为了使非退化平衡存在于高频极限（即，随着分区直径的消失），代理必须是市场中立的，即他们不应期望资产的未来基本价格增加或减少。换言之，【23】的结果似乎暗示，在连续时间博弈（即无限制交易频率）中寻求均衡是没有希望的，在这种博弈中，代理人对资产价格未来走势的方向有着不平凡的交易信号。这听起来可能非常令人沮丧，然而，在[23]中考虑的设置中隐藏着一个微妙的特征。也就是说，【23】的假设意味着，在有限的高频制度下，（潜在的）外部市场订单以有限的频率到达，而代理人的信念（即他们的交易信号）满足一定的连续性。换言之，代理的信号被认为是相对于交易的持续信号——它们不能在市场订单到达的相同时间尺度上发生变化。事实证明，这一假设是必要的，并且，允许（潜在）外部市场订单达到一定的频率，并使代理人的信念是短暂的（即仅持续到下一个市场订单执行），我们可以在连续时间（即无限交易频率）制度下获得非退化均衡。因此，在此，我们对均衡退化的到来进行建模，并在【23】中进行了正式定义。

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2022-5-25 08:35:02

对于本文的讨论，有必要知道简并度是市场的一种极端状态，而本文的工作是关于典型（或正常）状态的描述。（潜在的）外部市场订单通过（相当普遍的）积分过程，我们假设游戏在第一笔交易发生后结束。让(Ohm,~F=（~Ft）t∈[0，T]，P）是一个随机基，满足通常条件，并支持（多维）布朗运动W和泊松随机测度N。我们假设N的补偿器是有限的[0，T]×R（即N是复合泊松过程的跳跃测度），并且它是绝对连续的W。r、勒贝格在时间和空间上的度量。我们用FW表示W产生的通常增强过滤。我们假设W和N在P下是独立的。潜在外部市场订单的到达时间和这些时间的潜在基本价格值由计数随机测度M在[0，T]×（R \\{0}）上描述，定义asM（a）=ZTZRA（T，Jt（x））N（dt，dx），其中J：（T，x）7→ Jt（x）是一个可预测的随机函数（如[30]所定义）。我们假设J适应于FW（特别是，它独立于N）。很明显，M的补偿器在[0，T]×R上是有限的，它在时间和空间上是绝对连续的w.R.T.Lebesgue测度，并且它适用于FW。然后，它可以表示为λtft（x）dt dx，具有R值过程λ≥ 0和随机函数f：（t，x）7→ 英尺（x）≥ 0，渐进可测量并适应FW，s.t.RRft（x）dx=1。注意，在FWT的条件下，M是一个具有补偿器λtft（x）dt dx的泊松随机测度。M原子的t分量是潜在外部市场订单的到达时间，其x分量代表这些时间的潜在基本价格值。

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2022-5-25 08:35:06

正值x对应于潜在外部购买订单的到达时间，负值对应于潜在外部销售订单的到达时间。更准确地说，我们将基本价格过程X（或外部投资者的保留价格过程）定义为M：Xt=ZRxM（{t}×dx）的跳跃过程。（1）请注意，X是M的跳跃过程，但它不是一个累积跳跃过程：除跳跃时间外，它始终保持在X=0（因此，X也可以解释为基本价格的变化）。我们选择sex=0来简化符号。通常，任何X∈ R是可能的，但它对游戏的唯一影响是将所有价格和价值移动X。为了更好地理解拟议的框架，从经济学的角度来看，将Xas视为最后一个交易价格可能是有用的，它发生在当前游戏开始之前（虽然这对于数学构造并不重要）。过程λ描述了潜在外部市场订单（买入和卖出）的到达强度。函数fti是t时刻潜在基价值的概率密度。我们将f称为跳跃大小的密度过程。当基本价格的跳跃幅度（以及需求弹性，如下所述）不足以触发交易时，该跳跃仍由代理“未注册”，基本价格返回零。资产外部需求的弹性由逐步可测量的随机领域描述：（t，p）7→ Dt（p），适用于FW。我们假设，a.s.，Dt（·）是一个严格递减的连续函数，取值为零。

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2022-5-25 08:35:09

然后，在时间t、价格水平p和更优惠的价格下，购买和出售资产的总外部需求等于toD+t（p）=max0，Dt（p- Xt）1{Xt>0}, D-t（p）=- 最小值0，Dt（p- Xt）1{Xt<0}, （2）分别为。在任何时候，每个代理（即战略参与者）都可以提交市场订单或限价订单。本文进一步提出的假设使得提交限额指令的水平可能永远无法执行–这实际上允许代理等待（即什么也不做）。我们不允许在限价订单中有任何时间优先权。相反，我们假设刻度大小为零（一组可能的价格水平为R），hencean代理可以通过在竞争订单的上方或下方发布订单来实现优先级（并对其进行任意循环）。游戏在终端时间T或第一笔交易发生时停止，以较早者为准。下一小节将解释订单执行的机制。代理商的数量是有限的，代理商的库存量是以“每单位质量代理商的份额”来衡量的（参见[23]中对这一假设的讨论）。我们假设代理被分为两组：初始库存为正的代理（长代理，通常用上标“a”表示），以及初始库存为负的代理（短代理，用上标“b”表示）。我们假设每个代理的库存的绝对大小是相同的∈ {-1，1}，并且库存为s的代理发布大小为s的订单。

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2022-5-25 08:35:13

我们之前的调查结果[23]推动了这些假设，调查结果表明，在均衡状态下，代理库存的绝对值只会按比例缩放其订单的规模，但不会改变订单的类型和位置。我们还假设，对于每个α，我们都有一对可测量的信念空间a和B，以及∈ A.∪ B、存在主观概率测度PαOhm,F, 一个具有信念α的主体在测度Pα下对外部需求进行建模。代理在不同信仰间的经验分布分别由a和b上的一对可数加性有限测度u=（ua，ub）给出。请注意，由于游戏在第一个市场订单执行后立即停止，因此经验分布u在整个游戏中保持不变。我们对测度{Pα}作如下假设。假设1。在每个Pα下，W保持布朗运动，N的跳跃过程是一个具有条件独立增量W.r.t.FWT的过程（在[30]的意义上）。上述假设贯穿全文。这意味着，在每个Pα下，X是一个具有条件独立增量w.r.t.FWT的过程。利用这一观察结果和Pαw.r.t.P的绝对连续性，可以很容易地推断出，在每个Pα下，X的跳跃测度（即测度M）的补偿器由λαtfαt（X）dtdx给出，（3）具有一些非负的FW自适应λ和FW渐进可测fα，s.t.RRfαt（X）dx=1。λα和fα的解释与λ和f的解释相同，但在测量值Pα下。

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2022-5-25 08:35:16

请注意，出于技术原因，我们选择不改变不同测量值Pα下的W分布，以避免相关RBSDE系统（43）发生器中的Z依赖性。很明显，如果ZαT=dPα/dP由过程的随机指数给出，则满足假设1，该过程是FW自适应随机函数w.r.T.补偿N的积分。即，dZαT=ZαT-ZRΓαt（x）[N（dt，dx）- λtft（x）dtdx]，其中Γα≥ -1是FW逐步可测量的。N在Pα下的补偿器是通过将其在P下的补偿器乘以1+α得到的，因此，在这种情况下，假设1明显满足（参见[30]）。在第5节中，我们以上述形式提供了一系列概率测度{Pα}的示例。在提议的设置中，由（3）给出的Pα下X的补偿器表示具有信念α的代理使用的供应/需求信号：特别是，它确定外部买卖订单的到达强度。实际上，X的值是由W的路径和随机度量N的实现唯一确定的。由于N的补偿器在每个Pα下可能不同，因此X的最终补偿器也可能不同，但是，它始终保持适应FW。因此，X在Pα下的分布由（λα，fα）的选择唯一确定。因此，代理人的信念可以被视为他们用来将W给出的观察信息映射到（3）给出的预测信号的“模型”。2.2连续统玩家游戏在本文的其余部分，我们主要使用过滤FW，因此，我们表示F=FW。代理的状态为（s，α）∈ （{1}×A）∪ ({-1} ×B）=：S.现在让我们讨论代理的控制和订单执行规则。

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2022-5-25 08:35:19

首先，我们假设代表代理信念的α不随时间变化。因此，代理的状态过程只代表她的库存，库存只能更改一次（因为游戏在第一次交易后结束）。每个代理的控制由一对进程（p，v）=（pt，vt）t给出∈[0，T]，请注意，[23]的精确设置和主要问题与本文不同。然而，这两个建模框架有许多共同的特性。特别是，在这两种情况下，每个代理人都是风险中性的，而且实际上很小（因此，没有个人影响），这最终导致他们的均衡策略只会随着初始库存的规模而扩展。要有一个完整的外部需求模型，还需要知道它的弹性D，但后者是F适应的，因此，它在每个Pα下的分布是相同的。请注意，根据新披露的信息，未来需求的条件分布可能会动态变化。相对于F可逐步测量。过程p取p（R）中的值，R上的概率度量空间，配备弱拓扑，而v取R中的值。第二个坐标v确定代理决定提交市场订单的时间，其形式定义如下。第一个坐标pt表示代理商限价订单在价格水平上的时间t分布。例如，如果PTI是位于x的Diracmeasure，那么在时间t，代理将在价格水平x发布其所有限额订单。所有限额订单的集合由限额订单簿（LOB）描述，这是一对过程ν=（νat，νbt）t∈[0，T]，R上的有限西格玛加性度量值，适用于F。

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kedemingshi

2022-5-25 08:35:23

这里，νat对应于累计限价卖出订单，而νBt对应于在时间t发布的累计限价买入订单。在时间t的任何时候，买入价和卖出价∈ [0，T]由随机变量spbt=Q+（νbt），pat=Q给出-（νat），其中函数Q-和Q+作用于R上的sigma加法度量κviaQ+（κ）=sup supp（κ），Q-（κ） =inf supp（κ）。（4）请注意，PBAND PAT始终被定义为扩展随机变量，但可能采用有限值。假设在时间t，代理人发布价格水平p的限价销售订单。如果购买资产或低于价格水平p的需求，D+t（p），超过在时间t以下发布的所有限价销售订单的金额，即D+t（p）>νat((-∞, p）），然后执行代理的限价销售订单。类似的执行规则适用于限制购买订单。因此，如果代理人遵循限价指令策略p，则其限价指令在时间TP（a=inf{t）由外部市场指令（部分）执行∈ [0，T]：D+TQ-（pt）> νat(-∞, Q-（pt））},Tp，b=inf{t∈ [0，T]：D-TQ+（pt）> νbt（Q+（pt），∞)},分别针对多头和空头经纪人。让我们澄清上述公式的含义。为简单起见（且仅为本示例的目的），假设需求弹性曲线D是确定性的。注意，D+t≡D-T≡ 0，除非X在t跳变。因此，上述公式表明，当且仅当X在t跳变，且其跳变足够大时，代理行的限价订单的非零部分在t时由外部订单执行，因此代理行的“最佳限价订单”的需求高于具有更高价格优先级的所有限价订单的大小。后者与D的连续性一起确保此时执行代理的限额指令的非零部分。VT的值表示买入价或卖出价的临界水平（即阈值），在该临界水平下，代理决定提交市场订单。

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2022-5-25 08:35:26

我们假设代理的市场订单大小等于其库存，并且按照提交订单时可用的出价或要价执行。因此，代理人将在τv，a=inf{t时提交下一个市场订单∈ [0，T]：vt≤ pbt}，τv，b=inf{t∈ [0，T]：vt≥ pat}，分别代表多头和空头经纪人。所有阈值v的集合由一对过程θ=（θat，θbt）t描述∈【0，T】，R上的有限西格玛加性度量值，适用于F。备注1。上述执行时间的定义利用了以下假设，即每个代理都非常小，因此，一旦需求达到，她的订单就必须执行。他们还使用以下两个隐含的假设：每个代理都认为，在相同价格水平的所有订单中，她的限价订单将首先执行，而她的市场订单将以可用的最佳价格执行。[23]讨论了这些假设及其与有限人博弈的关系。似乎可以很自然地假设，代理人的过滤被外部交易产生的信息扩大了，即通过导致交易的X跳跃。请注意，由于游戏在第一次交易后结束，因此可能只有一次这样的跳跃。然后，很容易看出，扩大后的过滤的可预测过滤，仅限于第一笔交易之前的时间间隔，是F本身。当然，我们要求控制是可预测的。为了方便起见，我们有时将νtas称为“度量”，而不是“一对度量”。很明显，对于相对于F的每个停止时间τv，a/b，存在一个过程vt，适用于F，使得τv，a/b为上述表示。回想一下，每个代理都是小规模的，因此，即使她执行的是其库存的非零部分，这也可能不构成非零规模的交易。

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2022-5-25 08:35:30

因此，我们将第一个“重要”执行时间定义为非零数量代理执行其库存非零部分的第一次时间（即非零总库存量交易时）。考虑外部市场订单的第一个重要执行时间：Ta=inf{t∈ [0，T]：D+T（pat）>0}，Tb=inf{T∈ [0，T]：D-t（pbt）>0}，（5）同样，我们定义了内部市场订单的第一个重要执行时间：τa=inf{t∈ [0，T]：θat((-∞, pbt]）>0}，τb=inf{t∈ [0，T]：θbt（[pat，∞)) > 0}。（6）最后，给定（ν，X，D），我们确定清算价格：~pc，at=sup{p<Q+（νat）：D+t（p）>νat((-∞, p））}，pc，at=▄pc，at{▄pc，at≥pat}，~pc，bt=inf{p>Q-（νbt）：D-t（p）>νbt（（p，∞))}, pc，bt=~pc，bt{~pc，bt≤pbt}。对于具有策略（p，v）的长代理，游戏在Tp，a时结束∧ τv，a∧ T∧ 助教∧ Tb∧ τa∧ τb（与短剂类似）。如果一个代理在游戏结束时还有库存，那么它将按市价计价。下面描述了使用策略（p，v）计算长代理回报的精确规则。如果游戏被外部市场指令终止：Tp，a∧ 助教∧ Tb<T∧ τa∧ τb（注意，相等是不可能的，因为右侧是可预测的，而左侧是完全不可访问的）。o如果Tp，a∧ Ta<Tb（相等是不可能的），那么回报是zpc，在-∞zpt（dz）+Z∞pc，at（pc，at+pbt）pt（dz），t=Tp，a∧ 助教。（7） o如果Tb<Tp，a∧ Ta，那么回报是pbTb+pc，bTb。请注意，代理的剩余库存将标记为结算价格所转移的投标价格。这个选择可以（试探性地）解释如下。假设在交易之后，一个新的博弈开始了，代理具有相同的库存分布，并且对X的未来跳跃分布有相同的信念（即相同的{（λα，fα）}）。

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2022-5-25 08:35:33

然后，与原始游戏相比，新游戏中唯一不同的参数是X的值，在新游戏中，X等于清算价格。正如以下讨论（1）中所述，X的新值将简单地将新游戏中的所有价格和值移动X，因此，bidprice将被清算价格的值移动。最后，很容易推断（本文稍后将显示）代理以正水平发布限价购买订单是次优的。因此，如果执行外部销售订单，结算价格为非正，因此，剩余库存标记为向下移动的当前出价（如果执行外部购买订单，则相反）。如果游戏被内部市场指令终止：T∧ τa∧ τb<Tp，a∧ 助教∧ Tb.o如果τb<τa∧ T则收益为paτb.o如果τa∧ T≤ τb当收益为pbτa时∧T、为了解释上述情况，假设出现内部购买订单：即τb<τa∧T请注意，内部顺序是不同的，因为它们是可预测的。因此，多头代理可以准确地在τband“flick”时采取行动，将订单限制在最佳要价pa，以匹配来自空头代理（发起内部购买订单）的市场订单。另一方面，如果任何代理人（多头或空头）不在pa交易，他们将按库存计价。在代理人没有外部给出资产估值的情况下，没有标准的方法来选择按市价计价规则（我们坚持使用这种设置，因为我们认为代理人是“纯粹的投机者”）。

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kedemingshi

2022-5-25 08:35:37

特别是，可以使用其他标记规则。在此，我们仅选择具有经济意义的标记规则。pa改变的出价或要价，以及自pb起≤ 0≤ pa，很容易看出，所有人在pa进行交易都是有益的。下图（包含方程式（7）的参考）描述了多头代理的回报：t=0pbτ内部卖出paτ内部买入内部市场指令PBTNO市场指令PBTB+pc，BTBE外部卖出（7）外部买入外部市场指令类似规则适用于空头代理。形式上，给定（ν，θ，X，D），从初始状态（1，α）开始并使用控制（p，v）的个体目标由以下公式给出：J（ν，θ），（p，v）（1，α）=Eα锆z1{z≤pc，a^Tp，a}+pb^Tp，a+pc，a^Tp，a{z>~pc，a^Tp，a}p^Tp，a（dz）1{Tp，a<Tb∧^τv，a∧τb}（8）+pbTb+pc，bTb{Tb<^Tp，a∧^τv，a∧τb}+paτb{τb<τv，a}+pbτv，a{τb≥^τv，a}{^Tp，a∧Tb>^τv，a∧τb}iwhere^Tp，a=T∧ Tp，a∧ Ta，^τv，a=T∧ τv，a∧ τa，我们假设0·∞ = 类似地，J（ν，θ），（p，v）(-1，α）=Eα-锆z1{z≥pc，b^Tp，b}+pa^Tp，b+pc，a^Tp，b新西兰<~pc、b^Tp、bop^Tp，b（dz）1{Tp，b<Ta∧^τv，b∧τa}（9）- （paTb+pc，aTa）1{Ta<^Tp，b∧^τv，b∧τa}-pbτa{τa<τv，b}+paτv，b{τa≥^τv，b}{^Tp，b∧Ta>^τv，b∧τa}iwhere^Tp，b=T∧ Tp，b∧ Tb，^τv，b=T∧ τv，b∧ τb.每个代理人的目标都是最大化她的目标。上述目标可能看起来很复杂——这是因为它们旨在提供一个接近真实世界的执行规则和市场标记。在下一小节中，我们将建立更透明的目标表示。在以下定义中，我们假设一个随机基，一个布朗运动W，一个随机测度M，一个随机域D，空间a和B，一组相关测度{Pα}α∈A.∪B、和经验分布u是固定的，并满足本节前面所做的假设。

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大多数88

2022-5-25 08:35:40

（尽管如此，第2.3小节表明，输入（M，{Pα}）可以被代理的信号{λα，fα}代替。）定义1。对于给定的市场（ν，θ）和状态（s，α）∈ S、如果表达式的正部分在（8）（如果S=1）或（9）（如果S=-1）在Pα下有一个有限的期望。定义2。对于给定的市场（ν，θ）和状态（s，α）∈ S、我们称之为容许控制（p，v）最优ifJ（ν，θ），（p，v）（S，α）≥ J（ν，θ），（p，v）（s，α）p-a.s.，对于任何容许控制（p，v）。在上面，我们对具有连续玩家的游戏进行了标准假设：每个代理都太小，当她改变控制时，不会影响累积控制（由ν描述）的分布。接下来，我们定义拟议博弈中的均衡。当然，在实践中，并非所有代理都会同时行动：只有一小部分代理会在游戏结束时提交内部市场订单，其他代理则会进入下一个游戏，更新了X。然而，游戏结束时代理的这种“库存”（前提是游戏结束时有内部市场订单）与“集群交易”的经验观察一致。定义3。给定市场（ν，θ）和一对F-逐步可测随机场（p，v）：Ohm ×【0，T】×S→ P（R）×R形成平衡，if1。对于u-a.e.（s，α）∈ S、（p（S，α），v（S，α））是（ν，θ）和（S，α），2的最优控制。对于任何t<\'t，以下为P-a.s.：=t∧ 助教∧ Tb∧ τa∧ τb）和任意x∈ R： νat((-∞, x] ）=ZApt（1，α(-∞, x] ）ua（dα），νbt((-∞, x] ）=ZBpt(-1，α；(-∞, x] ）ub（dα），（10）θat((-∞, x] ）=ZA{vt（1，α）≤x} ua（dα），θbt((-∞, x] ）=ZB{vt(-1，α）≤x} ub（dα）。（11）请注意，所有代理立即停止的平凡平衡总是可能的。

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2022-5-25 08:35:44

然而，这种平衡显然不足以用于建模，其他非平凡平衡的存在也远不明显。在本文的剩余部分，我们使用一个辅助的两人博弈（参见第3节）来确定一类更现实的潜在均衡，其中博弈的结束时间由关联RBSDE系统的解唯一确定（参见（44）），并且我们在定理1中证明了这类均衡的存在性。尽管可以构建模型，其中产生的均衡仍然微不足道（即游戏结束时间为零），但正如第5节中的示例所证实的那样，一般情况并非如此。备注2。在上述定义中，我们隐含地假设，在所有参与者的博弈结束之前，代理人状态的经验度量一直保持不变。事实上，如果平衡是这样的，P-a.s.，对于所有t<\'t，我们有：uo （（s，α）7→ St（s，α））-1=u，（12）耐受（1，α）=1[0，Tp（1，α），a∧τv（1，α），a）（t）和St(-1，α）=-1[0，Tp(-1，α），b∧τv(-1，α），b）（t）。如果非零数量的代理严格在T之前执行其订单，则条件（12）可能失败：即ifTp（1，α），a∧τv（1，α），a<T表示具有正ua-测度的一组α，或Tp(-1，α），b∧τv(-1，α），对于具有正ub-度量的一组α，b<T。后者不能由于外部市场订单而发生，因为它们只在Ta之前到达特定的时间∧ Tb≥只有零数量的代理才能针对任何此类市场指令执行其限额指令（参见（5））。同样，在τa之前的任何时间t∧ τb≥只有零数量的代理商才能执行其内部市场订单（参见（6））。然而，这样的时间t的集合可能是不可数的。

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2022-5-25 08:35:48

因此，为了确保u保持不变，因此，（12）保持不变，有必要只考虑满足所有t的平衡P-a.s.，除了可能的可数集：vt（1，α）≥ 增值税：=Q-（θat），vt(-1，α）≤ vbt：=Q+（θbt），α∈ A.∪ B、在随后的章节中，我们构建了这样一个平衡。2.3目标的表示在本节中，我们提供了代理目标的等效表示，这使其更易于处理，也更便于后续分析。此外，还表明所提出的平衡问题的主要输入参数是信号{（λα，fα）}α∈A.∪B、形成{Pα}下X的补偿器，以及需求弹性D（后者独立于α，在许多现实模型中，可以是确定性的）。特别是，不需要跟踪随机测度N和概率测度{Pα}，它们只需要显示当前设置在异源信念游戏的标准框架内。利用驱动泊松测度N和布朗运动W的独立性，根据标准参数导出所需的表示。首先，我们介绍本文将使用的新符号。对于任何α∈ A.∪ B、 t型∈ [0，T]，p，x，y∈ R和κ∈ P（R），我们定义了x和y级极限指令的瞬时拟合：F+，αt（x）=Z∞十、∨0fαt（u）du，F-,αt（y）=Zy∧0-∞fαt（u）du，cαt（x，y）=λαtF-,αt（y）+F+，αt（x）. （13）接下来，我们将结算价格定义为基本价格x的函数：lc，at（x）=supp<Q+（νat）：Dt（p- x） >νat((-∞, p）（）, （14） lc，bt（x）=infp>Q-（νbt）：-Dt（p- x） >νbt（（p，∞)). （15）请注意，如果X在时间t有正跳变，则时间t的清算价格由▄pc，at=lc，at（Xt）给出。类似地，如果X在时间t有负跳变，则▄pc，bt=lc，bt（Xt）。

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能者818

2022-5-25 08:35:51

最后，我们引入了执行的限价指令的瞬时回报率，按照κ分布，买卖价格y和x:hα，at（κ，x，y）=λαtZ∞（Q）-（κ）∧x）∨0fαt（u）“Zlc，at（u）-∞zκ（dz）+y+lc，at（u）1{lc，at（u）≥x}κ（（lc，at（u）），∞))#du（16）+λαtZy∧0-∞fαt（u）y+lc，bt（u）du，hα，bt（κ，x，y）=λαtZ（Q+（κ）∨y）∧0-∞fαt（u）“Z∞lc，bt（u）zκ（dz）+x+lc，bt（u）1{lc，bt（u）≤y}κ(-∞, lc、bt（u））#du（17）+λαtZ∞十、∨0fαt（u）（x+lc，at（u））du。使用上述符号，我们可以得到目标的简化表达式，如下引理所示。注意，此表示中的期望值是在参考度量下进行的，目标仅取决于累积作用（ν，θ）和（{λα，fα}，D）（如（13）–（17）中的表达式仅取决于（{λα，fα}，D））。引理1。假设1成立。给定市场（ν，θ），对于任何α∈ A.∪ B和任何容许策略（p，v），我们有：J（ν，θ），（p，v）（1，α）=EhZ^τv，a∧τbexp-Zscαu加索尔∧ Q-（pu），pbu杜邦hα，as（ps，pas，pbs）ds（18）+exp-Z^τv，a∧τbcαu加索尔∧ Q-（pu），pbu杜！paτb{τb<τv，a}+pbτv，a{τb≥^τv，a}i、 J（ν，θ），（p，v）(-1，α）=-EhZ^τv，b∧τaexp-Zscαupau，pbu∨ Q+（pu）杜邦hα，bs（ps，pas，pbs）ds（19）+exp-Z^τv，a∧τbcαupau，pbu∨ Q+（pu）杜！pbτa{τa<τv，b}+paτv，b{τa≥^τv，b}i、式中，^τv，a=T∧ τv，a∧ τa，τv，b=T∧ τv，b∧ τ带期望值是在P下进行的。证明：证明很容易在W上进行条件化。注意，在FT的条件下，M是一个泊松随机测度，确定性补偿器λαtfαt（x）dt dx在[0，t]×R上是有限的。还记得D，ν，θ，p，v，pa，pb，τv，a，τv，b，τa，τb，以及引理上方定义的所有随机函数都适用于F。在FT的条件下，它们成为时间的确定性函数。

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2022-5-25 08:35:55

回顾基本价格过程，Xt=RRxM（{t}×dx），并介绍yt=Xt{Xt>（帕特∧Q-（pt））∨0}+1{Xt<pbt∧0}.请注意，^Tp，ais是Yt第一次正跳的时间，tb是其第一次负跳的时间。注意，以FT为条件，清算价格pc，at成为t和Yt的确定函数：pc，at=lc，at（Yt）。因此，以FT为条件，（8）中的期望值内的表达式成为Y第一次跳跃的时间和大小的函数。在FT条件下，X是具有补偿器λαtfαt（u）dudt的泊松随机测度的跳跃过程。同样清楚的是，在FT条件下，Y是强度为cαt的非齐次复合泊松过程的跳跃过程拍打∧ Q-（pt），pbt, 时间t的跳跃大小分布由λαtfα（x）cαt给出拍打∧ Q-（pt），pbt{x≤pbt公司∧0}+1{x≥（帕特∧Q-（pt））∨0}dx。那么，一个标准的计算结果就是（18）。方程式（19）的推导方法类似。（18）和（19）中的期望是在P下进行的，因为期望中的表达式适用于F=FW，并且W在P和Pα下具有相同的分布。3一个两人博弈在本节中，我们考虑一个辅助的非零和两人控制停止博弈。它与连续玩家游戏相关，但将在后续章节中建立精确的联系。关于非零和两人控制停止游戏的更多信息，请参阅[33]、[34]以及其中的参考文献。然而，值得一提的是，目前的游戏不属于之前考虑的任何类别。我们将在即将开展的工作中对这类游戏进行更详细的描述【22】。假设第2.1小节中的所有概率结构均已就位。

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2022-5-25 08:35:59

即，如第2节所述，我们给出了一个布朗运动W、泊松测度N、计数随机测度M、一系列概率测度{Pα}和需求弹性过程D的随机基。我们假设假设1成立。此外，假设A={α}和B={β}。考虑一个两人游戏，其中第一个（长）玩家从初始库存1开始，并有信念α，第二个（短）玩家从初始库存开始-1和信仰β。游戏按照与上一节中描述的规则相似的规则进行：每个代理可以在书的相应一侧发布限制订单，也可以通过提交市场订单来终止游戏。根据外部市场指令执行限额指令的方式与前一节所述完全相同。然而，在此，在任何给定时间，每个代理仅允许在单个位置发布限额指令（即，控制PTI是Dirac度量）。此外，当前游戏与前一节定义的游戏之间的主要区别在于，在此，每个玩家都有一个非零质量，因此可以影响LOB。事实上，由于这本书的每一边只有一名球员，LOB是由两个Dirac度量值的组合给出的：νat=δpat，νbt=δpbt，由球员的限制指令的位置控制：长代理的PAP，短代理的pbt。显然，Pa也与要价一致，而Pb是标价。请注意，这些价格中的每一个现在都由一个代理控制，这与上一节中描述的原始名称不同。停止阈值也是如此：由Diracmeasures给出的θaA和θbare，这些测度的位置分别对应于多头和空头使用的阈值Va和Vb。

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2022-5-25 08:36:02

在这个新游戏中（由于其简单性），使用相关的停止时间τa和τb更方便。事实上，我们将进一步限制代理的控制，以便τa=τb=：τ和paτ=pbτ=(R)pτ。这些限制背后的含义很清楚：每个代理都假设对方将在与她完全相同的时间执行市场订单，并且这些订单是以相同的价格执行的。考虑到上述考虑因素，我们将（8）转化为长期参与者的目标：~Ja，（pb，\'p），（p，τ）=EαpTp，a{Tp，a<Tb∧τ} +2pbTb{Tb<Tp，a∧τ} +(R)pτ{Tp，a∧Tb>τ}, （20）其中，pb、p和p是R值F适应过程，τ是值为[0，T]的停止时间，Tb=inf{T∈ [0，T]：Xt<pbt}，Tp，a=inf{T∈ [0，T]：Xt>pt}，Xt=M（{T}×R）。类似地，对于短试剂，￠Jb，（pa，￠p），（p，τ）=-EαpTp，b{Tp，b<Ta∧τ} +2数据{Ta<Tp，b∧τ} +(R)pτ{Tp，b∧Ta>τ}, （21）参见，例如，【19】、【36】、【17】、【6】以及其中的参考文献，了解相关的经典Dynkin对策，这些对策是零和且仅停止的。式中，pa、(R)p和p是R值F-适应过程，τ是值为[0，T]的停止时间，ta=inf{T∈ [0，T]：Xt>pat}，Tp，b=inf{T∈ [0，T]：Xt<pt}。利用引理1，我们推导出目标函数的以下形式：Ja，（pb，\'p），（p，τ）=EhZτexp-Zscαu（pu，pbu）du气体（ps、pbs）ds（22）+exp-Zτcαu（pu，pbu）du\'pτi，其中cα在（13）中定义，而gat（x，y）=λαt2yFα，-t（y）+xFα，+t（x）. （23）类似地，△Jb，（pa，’p），（p，τ）=-EhZτexp-Zscβu（pau，pu）dugbs（pas，ps）ds（24）+exp-Zτcβu（pau，pu）du\'pτi，其中gbt（x，y）=λβtyFβ，-t（y）+2xFβ，+t（x）. （25）为了确保上述表达式得到很好的定义，并分析两人博弈中的均衡，我们需要做出以下假设。假设2。

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