接下来，对于任何t∈ [0，T]，任意α∈ A、 对于任何容许的p，我们引入yα，pt=ess supτ∈Tt'Jα，（p，τ）t，（65）RBSDE的标准结果表明，Yα，pis是AFFINE RBSDE的唯一溶液，-dYα，pt=(R)Gα，pt（Yα，pt）dt- ZtdWt+dKt0≤ T≤ T（66）Yα，pt≥ pbt公司∧^τ0≤ T≤ T、 ZT（Yα，pt- pbt公司∧^τ）dKt=0（67）Yα，pT=pb^τ，（68），其中'Gα，pT（Y）=-\'cαt拍打∧ Q-（pt），pbty+(R)hα，at（pt，pat，pbt）=-cαt拍打∧ Q-（pt），pbty+hα，at（pt，pat，pbt）{t<τ}，其中cα和hα定义在（13）和（16）中。回想一下Vasatis（43），发电机（y，pbt）=2λαtpbtFα，-t（pbt）- λαtF-,αt（pbt）y+λαtPat（y）Fα，+t（Pat（y））- λαtF+，αt（Pat（y））y。很容易推断出'Gα，Pat（Vat）=Gat（Vat，pbt）1{t<τ}。因此，（增值税∧^τ）满足与（Yα，pat）相同的RBSDE。根据比较原理，我们得出结论：Yα，pat=增值税∧^τ。另一方面，对于任何α∈ A、 让我们选择pt=δpat，以获得：(R)Gα，patYα，帕特=(R)Gα，pat（Vat）=“λαtpbtF-,αt（pbt）+λαtZpbt-∞fαt（u）lc，bt（u）du- λαtF-,αt（pbt）Vat+λαtpatF+，αt（pat）- λαtF+，αt（pat）Vat{t<τ}≥hλαtF-,αt（pbt）（pbt- Vat）+λαtF+，αt（pat）（pat- Vat）+λαtpbtF-,αt（pbt）i{t<τ}，其中lc，bis在（15）中定义，最后一个不等式基于假设7和9，以及lc，bt（·）的单调性，这意味着λαtZpbt-∞fαt（u）lc，bt（u）du≥ λαtZpbt-∞fαt（u）lc，bt（u）du=λαtpbtF-,αt（pbt）。注意，通过构造，pbt≤ Vbt公司≤ 增值税≤ 拍打那么，假设7意味着λαtF-,αt（pbt）（2pbt- 增值税）≥ λαtF-,αt（pbt）（2pbt- Vat），λαtF+，αt（pat）（pat- 增值税）≥ λαtF+，αt（pat）（pat- 增值税）。因此，我们得到：’Gα，patYα，帕特≤\'Gα，帕特Yα，帕特.利用RBSDE的比较原理，我们得出结论：Yα，pat≥ Yα，pat=增值税∧^τ。考虑一个任意策略（p，τ）。通过在pap和p之间切换，我们可以构造一个新的策略p，例如Yα，pt≥ 增值税∧^τ∨Yα，pt，对于所有t。更准确地说，我们定义了“Gα，pt（Y）=”Gα，pat（Y）∨\'Gα，pt（y），并求解RBSDE（66）–（68）。

根据标准参数，溶液的Y分量为Yα，p，其中pTi被定义为等于δpati，如果上述方程中的最大值在Gα，pat（Yα，pt）处达到，则它等于topherwise。比较原理意味着Yα，pt≥ Yα，帕特∨ Yα，pt≥ 增值税∧^τ∨ Yα，pt。然后，RBSDEs上的标准结果表明，与Yα，pisinf{t相关的最佳停止时间∈ [0，T]：Yα，pt≤ pbt公司∧^τ}=inf{t∈ 【0，T】：增值税≤ pbt公司∧^τ}=^τ。因此，J（ν，θ），（p，τ）（1，α）=Jα，（p，τ）≤ Yα，p≤ Yα，p=’Jα，（p，^τ）=J（ν，θ），（p，^τ）（1，α）。接下来，我们表明可以选择控制p，以便，p-a.s.，对于所有t，supp（pt） [帕特，∞). 考虑任何控制。如有必要，通过在pa和p之间切换，我们可以确保Yα，pt≥ 增值税∧^τ。然后，对于t<^τ，Yα的生成子，由'Gα，pt（Y）=-cαt拍打∧ Q-（pt），pbty+hα，at（pt，pat，pbt）=-λαtF+，αt（pat∧ Q-（pt））y+λαtpbtF+，αt（Q-（pt）∧ pat）pt（（pat，∞))+λαtZpat（Q-（pt）∧pat）∨0fαt（u）Zpat-∞Z∧ u型+pbt公司- U{z>u}pt（dz）du+λαtF+，αt（pat）Zpat-∞zpt（dz）-λαtF-,αt（pbt）y+2λαtpbtF-,αt（pbt）- λαtpbtF+，αt（pat）pt（（pat，∞))+λαtZ∞patfαt（u）Z∞拍打Z∧ lc，at（u）+pbt{z>lc，at（u）}pt（dz）duLet us估计上述右侧的前四项（即取决于pt（dx）限制为x<pat的项）：-λαtF+，αt（pat∧ Q-（pt））y+λαtpbtF+，αt（Q-（pt）∧ pat）pt（（pat，∞))+λαtZpat（Q-（pt）∧pat）∨0fαt（u）Zpat-∞Z∧ u型+pbt公司- U{z>u}pt（dz）du+λαtF+，αt（pat）Zpat-∞zpt（dz）≤ λαtsupx≤路径-y+pbtF+，αt（x）+pt((-∞, pat]）supz∈[x，pat]h（z- pbt）F+，αt（z）ii。注意，对于t<^τ且y=yα，pt，我们有pbt- Y≤ 0，因此为supx≤路径-y+pbtF+，αt（x）+pt((-∞, pat]）supz∈[x，pat]h（z- pbt）F+，αt（z）ii=supz≤路径（z- y） F+，αt（z）+pbtpt（（pat，∞)) F+，αt（z）i。由于引理6，函数z 7→ （z）- y） F+，αt（z）在z中不衰减≤ 帕特（y）。

作为pbt≤ 0，功能Z 7→ pbtpt（（pat，∞)) F+，αt（z）也是非减量的，因此，如果pat（y），则在z=pat时达到上述上确界≥ 拍打后者确实适用于t<^τ和y=yα，pt，因为Pat（·）是非递减的，Pat=Pat（Vat）和yα，pt≥ 增值税因此，如果我们将p替换为pt（dx）=pt（dx）1[pat，∞)+ pt公司((-∞, pat））δpat（dx）。换句话说，Gα，pt（Yα，pt）≤\'Gα，pt（Yα，pt）。然后，比较原理得出Yα，pt≤ Yα，pt。此外，与yα，pis^τ相关的最优停车策略。重复本证明前面使用的论点，我们得出结论，任何策略（p，^τ）都可以修改为（p，^τ），以满足引理中所述的属性，从而使目标值不会减少。对短剂的情况也作类似处理。引理8的证明考虑具有信念α的长代理。鉴于推论1，有必要显示策略类别（p，^τ）的最佳性，以及supp（pt） [帕特，∞). 注意，假设9意味着：lc，at（x）=x∧ 拍打十、∈ 支持fαt.利用上述观察，我们从引理7的证明中回忆结构，以获得，对于任何策略，所有t<τ：(R)Gα，pt（y）=-λαtF+，αt（pat）y- λαtF-,αt（pbt）y+2λαtpbtF-,αt（pbt）+λαtF+，αt（pat）patpt（{pat}）+（pat+pbt）pt（（pat，∞)).作为pbt≤ 0时，上述表达式在pt=δpat时最大化。使用Yα，p所满足的RBS的比较原理，我们得出结论，p=δp产生最大的Yα，pand，因此，对于具有信念α的长期代理来说，目标值最大。对短剂的情况也作了类似的处理。图1：左侧：值函数（Vb，Va）（红色和蓝色），以及作为时间函数的买卖价格（pb，pa）（紫色和Range）。右图：作为信念α函数的限价订单的最优价格水平∈^A∪^B。

参数：λ+，α=2.5，λ-,α=1，λ+，β=1，λ-,β=2.5。图2：左：时间零点的LOB，λ+，α=2.5，λ-,α=1，λ+，β=1，λ-,β=2.5。右图：时间零点的BalanceliumLob，参数取决于市场不平衡I（顶部），相同的LOB，附加（黄色）限额指令（底部）。图3：左侧：值函数（Vb，Va）（红色和蓝色），作为时间函数。右图：LOB在收敛到新平衡的每一步。参考文献【1】C.Aliprantis和K.Border。有限维分析：搭便车指南。Springer Science&BusinessMedia，2006年。[2] 阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。《应用数学金融》，2003年10:1-18。[3] R.奥曼。具有连续交易者的市场。《计量经济学》，32:39–501964年。[4] M.Avellanda和S.Stoikov。限额指令簿中的高频交易。《定量金融》，8（3）：217–2242008年。[5] E.Bayraktar和M.Ludkovski。非流动市场中的最优交易执行。《数学金融》，21（4）：681–7012011年。[6] T.R.Bielecki、S.Crepey、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。可违约博弈期权的套利定价及其在可转换债券中的应用。《定量金融》，8（8）：795–8102008年。[7] G.卡莫纳。纳什均衡的存在性和稳定性。世界科学出版有限公司，2013年。[8] R.Carmona和F.Delarue。平均场博弈的概率分析。SICON，51（4）：270527342013。[9] R.Carmona和K.Webster。信念驱动的订单簿模型。http://www.princeton.edu/~rcarmona/下载/fe/CW2。pdf，工作文件。[10] A.Cartea、R.-F.Donnelly和S.Jaimungal。具有模型不确定性的算法交易。发表在《金融数学杂志》上。[11] A.Cartea、R.-F.Donnelly和S.Jaimungal。通过订单簿信号加强交易策略。SSRN。[12] A.Cartea和A.Jaimungal。

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