停时格的完备性当然是已知的，但我们在附录（定理B.2）中证明了它，因为我们无法找到精确的参考。现在定义J:M×S→ R byJ（u，τ）=E[F（B，W，u，τ）]。注意，J（u，τ）在τ中是平凡的超模，在这个意义上，J（u，τ∨ τ′）+J（u，τ）∧ τ′）≥ J（u，τ）+J（u，τ′），每u∈ M和每对τ，τ′∈ S、 事实上，这是平等的，这源于对同一性f（B，W，u，τ）的两个方面都抱有期望∨ τ′）+F（B，W，u，τ∧ τ′）=F（B，W，u，τ）+F（B，W，u，τ′）。此外，假设（B.2）确保J相对于u的差异越来越大，即J（u′，τ′）- J（u′，τ）≥ J（u，τ′）- J（u，τ），无论何时τ，τ′∈ S和u，u′∈ M满足τ≤ τ′和u≤ u′。根据Topkis的单调性定理[30]，我们推导出集值映射Φ（u）：=arg maxτ∈SJ（u，τ）以强s et顺序增加，这意味着每当u，u′∈ M满足u≤ u′，且无论何时τ∈ Φ（u）和τ′∈ Φ（u′），我们有τ∨ τ′型∈ Φ（u′）和τ∧ τ′型∈ Φ（u）。利用可积性假设（3.3）所证明的假定的上半连续性和Fatou引理，可以很容易地检验J在τ中是阶上半连续的。根据【30，定理1】，这意味着对于每个u，Φ（u）是一个非空的完全晶格。特别是，它是一个最大值，我们称之为φ*（u）和我们用φ表示的最小值*（u）。注意φ*: M→ S在u′的意义上增加≥ uim层φ*（u′）≥ φ*（u）。此外，很容易检查函数ψ：S→ 由ψ（τ）=定律（τ| W）定义的M是单调的。Thu sφ*o ψ是从S到自身的单调映射，由于S是一个完整的格，我们根据塔斯基的不动点定理得出结论，存在τ，使得τ=φ*（ψ（τ））。

可以很容易地验证，从定义4.1的意义上讲，任何此类固定点τ都是强MFE。现在，在附加假设C下，我们证明了第3.5项陈述中的最后一项主张。定义τ≡ sup T，通过感应τn=φ*o ψ（τn-1） 对于n≥ 1、很明显，τ≤ τ。现在假设τn≤ τn-1，则φ的单调性*o 早先证明的ψ意味着τn+1=φ*o ψ（τn）≤ φ*o ψ（τn-1） =τn.如果我们定义τ*作为非递增序列（τn）n的a.s.极限≥停车时间的1，然后τ*∈ 因为晶格S是完整的（见定理2）。我们声称τ*是MFE。注意ψ（τn）→ ψ（τ）*) 几乎可以肯定，因为18勒内·卡莫纳（REN’E CARMONA）、弗朗克·奥斯·德拉鲁（FRANC,OIS DELARUE）和丹尼尔·拉克尔（DANIEL LACKERτn）→ τ*. （m，t）中F=F（ω，ω，m，t）的联合连续性假设（C.1）以及一致可积性假设（C.2）通过控制收敛确保j（ψ（τ*), τ*) = 画→∞J（ψ（τn），τn+1）。此外，对于任何σ∈ S、 τn+1∈ Φ（ψ（τn））表示j（ψ（τn），τn+1）≥ J（ψ（τn），σ）。将两侧的极限传递到getJ（ψ（τ*), τ*) ≥ J（ψ（τ）*), σ） 。这表明τ*∈ Φ（ψ（τ*)), 尤其是τ*是MFE。同样，定义θ≡ 0，通过感应θn=φ*o ψ（θn-1） 对于n≥ 1、很明显，θ≥ θ、 如上所述，我们通过归纳证明θn≥ θn-1、接下来，我们定义θ*作为非递增序列（θn）n的a.s.极限≥1个停止时间。如前所述得出θ*是MFE。最后，很容易检查，如果τ是任何MFE，则它是s et值映射Φ的固定点o ψ、 在这个意义上，τ∈ Φ（ψ（τ））。简单地说，θ=0≤ τ≤ sup T=τ。应用φ*o ψ和φ*o ψ分别重复到左侧和右侧，我们得出结论θn≤ τ≤ τ为eachn，因此θ*≤ τ≤ τ*. 备注5.1。上述证明表明，在完全连续性假设下，无需使用Tarski定理证明存在性，因为MFEsτ*和θ*感应式构造。6.

兼容性和非随机停止时间的密度本节阐述了定义4.2的属性（3）中引入的兼容性的关键概念，并在这样做的过程中，为证明第4节公布的结果迈出了一些第一步。在这里，我们的目标是讨论有关这些兼容性属性的一些重要事实，即如何用非随机停止时间近似兼容（随机）停止时间。本质上，这与过滤放大有关。说Fτt+与FB，W，ut有条件独立于FB，W，ut+与说FB，W，u，τt+与FB，W，ut有条件独立于FB，W，ut+。说这适用于每一个t∈ [0，T），它反过来说，相当于说每一个FB，W，u+-鞅仍然是一个FB，W，u，τ+-鞅。许多不同的名称和特征都与过滤放大的这一性质有关，如H假设[8]、Immer-sion[23]、非常好的扩展[22]和自然扩展[24]，而我们借用了Kurtz[25]中的兼容术语，与其他关于平均场比赛的作品保持一致【28、12、11】。在继续之前，我们回顾了一个关于弱收敛的有用结果，它将被反复使用：引理6.1（定理2.9和定理2.16）。假设E和E′是波兰空间。假设Pn，P∈ P（E×E′）满足Pn→ P，并假设每个pn都有相同的边缘。也就是说，Pn（·×E′）不依赖于n。那么，f或E非常有界的可测函数φ：E×E′→ R使得φ（x，·）在E′上连续u-几乎每x∈ E、 wehaveZφdPn→ZφdP。对我们来说，最重要的是在潜在概率测度的弱极限下的兼容性行为。关键结果如下所示，这大致表明，兼容流程是适应流程的弱限制。银行挤兑时间和模型的平均场博弈19命题6.2。

设X和Y是波兰空间，X同胚于局部凸空间的凸子集。设Y=（Y，…，YN）和X=（X，…，XN）分别是在公共概率空间上定义的Y和X值随机过程。对于R∈ {X，Y}，设FRn=σ{R，…，Rn}表示由R生成的过滤。假设i非原子定律。最后，假设X与Y兼容，即fxn条件依赖于FYNgiven FYn，对于每个n=1，N、 然后存在连续函数hjk:Yk→ X代表k∈ {1，…，N}和j≥ 1，使得（Y，（hj（Y），hj（Y，Y），hjN（Y，…，YN）））→ （Y，X）in law in space YN×XN，as j→ ∞. 特别是，存在Y适应的X-v值过程Xj=（Xj，…，XjN），这样（Y，Xj）=> （Y，X）。证据见附录A。6.1。随机停止时间。本节致力于研究随机停止时间的一些紧性性质，类似于Baxter和Chacon的结果，但扩展了他们的结果[7]。缩写Ohm输入=C×P（C×[0，T]）。对于本节，fix a测量ρ∈ P(Ohm输入），表示（B，W，u）的联合定律，并在ρ下假设（B，W）是关于过滤FB，W，u的维纳过程（因此也是关于右侧过滤FB，W，u+）。请注意Ohm = Ohm输入×[0，T]。我们接下来定义三组概率度量Ohm, 与（随机）停止时间的各种概念相对应：oR+（ρ）是联合定律P的集合∈ P(Ohm) 具有Ohm输入边际ρ，使得Fτt+在条件上独立于给定的FB，W，ut+，对于每个t∈ [0，T）。

也就是说，R+（ρ）是满足定义4.2的相容性（3）的P集合R（ρ）是联合定律P的集合∈ P(Ohm) 具有Ohm输入边际ρ，使Fτ在条件上独立于给定FB，W，ut的（B，W，u），对于每个t∈ [0，T）。oR（ρ）是P的集合∈ P(Ohm) 具有Ohm输入边际ρ，其中τ是相对于FB，W，u的P-完成的停止时间，此外，对于某些连续函数，τ的形式为τ=τ（B，W，u）：Ohm输入→ [0，T]。集合R+（ρ）和R（ρ）表示随机停止时间的不同概念，尽管我们很快就会看到R+（ρ）=R（ρ）。另一方面，R（ρ）应被视为一组（联合定律）B，W，u-停止时间，具有有用的附加特性，即τ可以写成（B，W，u）的连续函数。备注6.3。假设ρ（db，dw，dm）=W（db）W（dw）δbm（b）（dm），对于一些可测函数bm:C→ P（C×[0，T]）。假设bm在b 7→ bm（b）（C）是可测量的FBt∈ FW，τt，对于t∈ [0，T]。然后，在ρ，FB，W，ut=FB，Wta下。s、 对于每一个t，很容易证明R+（ρ）（相应的R（ρ））正是联合定律P的集合∈ P(Ohm)具有Ohm输入边际ρ，使得（B，W）是关于全过滤FB，W，u，τ+（分别为FB，W，u，τ）的维纳过程。实际上，因为FB，WT可以分为两个独立的部分，FB，WT=σ{（Bs-Bt，Ws-Wt）：s∈ [t，t]}∨ FB，Wt，它认为Fτ与FB，Wt条件独立，给定FB，Wtif且仅当FB，W，τ与σ{（Bs）无关- Bt，Ws- Wt）：s∈ [t，t]}。定理6.4。对于如上所述的ρ，R+（ρ）是凸紧的，等于R（ρ）的闭包。此外，R+（ρ）=R（ρ）。在转向证明之前，我们陈述了一个非常有用的推论：20 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lackerrolution 6.5。

假设F有界且可联合测量，且t 7→ F（b，w，m，t）是连续的，对于每个m和w-几乎每个（b，w）。对于如上所述的ρ，我们有supp∈R+（ρ）EP[F（B，W，uτ，τ）]=支持∈R（ρ）EP[F（B，W，uτ，τ）]。证据根据定理6.4，R（ρ）在R+（ρ）中是稠密的。必须表明第7页→ EP[F（B，W，u，τ）]是R+（ρ）上的连续s。但这是根据F的假设和引理6.1得出的。在定理6.4的证明之前，我们先用一个预备引理，它允许我们在停止时间和某种形式的c\'adl\'ag过程之间连续映射。在本节的其余部分中，设D=D（[0，T]；R+）表示从[0，T]到R+=[0]的c\'adl\'ag函数集（即，左极限右连续函数），∞). 赋予D通常的目的论。和往常一样，对于h∈ D、 w rite h（t-) = lims公司↑t的th（s）∈ （0，T）和h（0-) = h（0）。引理6.6。定义Φ：D→ [0，T]乘以Φ（h）=inf{T≥ 0:h（t）≥ 1/2}∧ T、 设S表示非减量h的集合∈ D，其中h（t-) ≤ 1/2≤ h（t）表示t=Φ（h）。那么Φ在S证明的每个点都是连续的。让hn→ h在D中，其中h∈ S、 设sn=Φ（hn），注意（sn）∞n=1有界。Let（snk）∞k=1指定任何收敛子序列，并让s∈ [0，T]表示其极限。首先假设0<s<T，因此在不丧失一般性的情况下，我们可以为每k取0<snk<T。因为hnk→ h和snk→ s、 因此（hnk（snk））∞k=1有界，其极限点包含在{h（s-), h（s）}（见[15，提案3.6.5]）。因为hnk（snk）≥ everyk和h的1/2≥ h（s）-) （作为h∈ S） ，我们得出结论：h（S）≥ 1/2。另一方面，对于>0，（hnk（snk-）∞k=1有界，其极限点包含在{h（（s-）-), h（s）-）}。因为Hnk（snk- ）<每k和h（s）1/2- ）-) ≤ h（s）- ），我们得出以下结论：h（s- ）≤ 1/2。发送↓ 0产生h（s- ) ≤ 1/2≤ h（s），因此s=Φ（h）。接下来，假设s=T。

然后再次（hnk（snk- ）∞k=1有界，其极限点包含在{h（（T- ）-), h（T- ）}。因为hnk（snk- ）<k和h各1/2（（T- ）-) ≤h（T- 我们得出结论，h（（T- ）-) ≤ 1/2。这意味着h（T-) ≤ 1/2，足以表示Φ（h）=T；实际上，h（T）≥ 1/2，在这种情况下Φ（h）=T，因为h∈ S、 orh（T）<1/2，在这种情况下，所有T的h（T）<1/2∈ [0，T]和Φ（h）=T。最后，假设s=0。当hnk（snk）→ h（0）=h（0-), 这说明h（0）≥ 1/2。因此Φ（h）=0。在我们开始证明定理6.4之前，请注意FB，W，ut=σ{B·∧t、 W·∧t、 ut}，其中mt表示度量值m的图像∈ P（C×[0，T]），通过映射C×[0，T] （w，s）7→（w）·∧t、 s∧ t） 。这清楚地表明，FB，W，u是由连续的FB，W，ut-可测量函数生成的。类似地，Fτt=σ{τ∧ t} 由连续Fτt-可测函数生成。定理6.4的证明。我们将证明分为四种：R（ρ）是紧的：因为OhmR（ρ）的任何元素的输入边际都是ρ，因为[0，T]是紧的，所以R（ρ）是紧的。为了表示R（ρ）是闭合的，让Pn→ 引脚P(Ohm输入），带Pn∈ R（ρ）。设[0，T]上的ft，gT和gtbe有界连续函数，Ohm输入，以及Ohm分别输入，并假设它们相对于Fτt，FB，w，ut和FB，w，ut是可测量的。找到一个有界的FB，w，ut-可测量函数φtonOhm输入φt（B，W，u）=EP[gT（B，W，u）| FB，W，ut]。因为Pno （B、W、u）-1=Po （B、W、u）-1=ρ对于任何y n，我们有时间和银行运行模型的平均场游戏21φt（B，W，u）=EPn[gT（B，W，u）| FB，W，ut]。

因此，根据引理6.1，EP[ft（τ）gT（B，W，u）gT（B，W，u）]=limn→∞EPn[英尺（τ）gT（B，W，u）gT（B，W，u）]=limn→∞EPn[英尺（τ）φt（B，W，u）gt（B，W，u）]=EP[英尺（τ）φt（B，W，u）gt（B，W，u）]。如证明前所述，连续有界函数生成FB，W，u和Fτt，对于所有有界函数ft，gT，gT（B，W，u）gT（B，W，u）]=EP[ft（τ）EP[gT（B，W，u）| FB，W，ut]gT（B，W，u）]，其测量能力要求与上述相同，但无连续性要求。这表明，对于每一个t∈ [0，T），so P∈ R（ρ）。R（ρ）=R+（ρ）：首先我们显示R（ρ） R+（ρ）。修复t∈ [0，T）和P∈ R（ρ）。论坛∈ FB、W、u和C∈ Fτt，我们有P（C | FB，W，ut）P（A | FB，W，ut）=P（C∩ A | FB，W，ut）。通过后向鞅收敛，在t yieldsP（C | FB，W，ut+）P（A | FB，W，ut+）=P（C∩ A | FB，W，ut+。这表明R（ρ） R+（ρ），从R（ρ）闭合之前开始，现在是k。因此，必须表明每个点P∈ R+（ρ）是R（ρ）中序列的极限点。要查看此信息，请设置pn：=Po （B，W，u，（τ+1/n）∧ T）-1，弱收敛于P。因为Fτt+与FB，W，ut有条件地独立于FB，W，ut+在P下，我们有，对于0<s≤ t<t，Pn（τ≤ s | FB，W，uT）=P（τ≤ s- 1/n | FB，W，uT）=P（τ≤ s- 1/n | FB，W，u（t-1/n）+=Pn（τ≤ s | FB，W，u（t-1/n）+）。因为FB，W，u（t-1/n）+ FB，W，ut，我们得出结论，Pn（τ≤ s | FB，W，uT）=Pn（τ≤ s | FB，W，ut）。（6.1）由于Pn（τ=0）=0，我们也对s=0取（6.1）。S ince（6.1）适用于所有S∈ [0，t]，我们得出结论：Fτt+=σ{{τ≤ s} ：s≤ t} 与FB，W，ut无关。对于t∈ （0，T）。得出以下结论：∈ R（ρ），我们仍然必须检查Fτ与FB，W，ut在Pn下的FB，W，u无关。

但这是显而易见的，因为Fτ=σ{τ∧ 0}是平凡的σ-字段。R（ρ）是凸的：要检查R（ρ）是凸的，请注意R（ρ）是P的集合∈ P(Ohm输入×[0，T]），第一个边际ρ，其中p[φT（τ）ψ（B，W，u）ψT（B，W，u）]=每TφT（τ）| FB，W，utiψ（B，W，u）ψT（B，W，u）i∈ [0，T]和边界函数φT，ψ和ψT的每三个三元组，分别可相对于FτT，FB，W，uT和FB，W，uT测量。分解任何P∈ R（ρ）通过写入P（dω，ds）=ρ（dω）P（ω，ds），并注意上述方程等效于zOhm输入×[0，T]P（dω，du）ψ（ω）ψT（ω）φT（u）=ZOhm输入ρ（dω）ψ（ω）ψt（ω）Z[0，t]P（ω，du）φt（u）。这显然是P上的一个凸约束，我们得出结论，R（ρ）是凸的。22 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A and DANIEL LACKERR+（ρ）包含在R（ρ）的闭包中：设P∈ R+（ρ），并考虑过程ht=1{τ≤t} 定义日期Ohm输入×[0，T]。注意，H是Fτ+-适应的，因为{Ht=1}={τ≤ t}∈Fτt+。作为第一个近似值，请注意c\'adl\'ag过程Hnt=1{（τ+1/n）∧T≤t} 在Skorohod拓扑中，是Fτ自适应的，几乎肯定收敛到H。因为Φ（Hn）=（τ+1/n）∧ T→τ=Φ（H）a.s。通过引理6.6，我们可以假设H实际上是Fτ适应的。接下来，通过常规近似，我们可能会发现一系列c\'adl\'ag Fτ适应过程，几乎肯定与H和形式Hnt=KXk=1hnk[tnk，tnk+1）（t），其中0<tn<…<tnk=t<tnk+1，其中hnk≥ 0是Fτtnk可测量的随机变量。替换hnkby maxj=1，。。。，Khnj没有改变Φ（Hn）的值，通过引理6.6，它几乎肯定会收敛到Φ（H）=τ，因为H∈ S a.S.作为最终近似，letbHnt=Hnt+t/n；最后一个近似值解释了HN可能不属于s，而H属于s的事实。请注意| Hnt-bHnt |→ t中0均匀，solimnΦ（bHn）=limnΦ（Hn）=τ。

根据这些近似值，我们可以假设H本身在增加，形式为HT=KXk=1hk[tk，tk+1）（t）+tn，其中0<t<∈ [0，T]bySt=（B·∧t、 W·∧t、 ut），其中mt是在验证开始前定义的。那么S=（St）t∈[0，T]是一个连续的fb，W，u自适应过程，其值为Ohm输入实际上，FB，W，ut=σ（St）=σ（S·∧t） 对于每t，永远y k=1，K、 注意，（h，…，hk）在条件上独立于给定的S·∧tk。根据命题6.2，存在一系列连续函数gnk：Ohm输入→ R+这样的gnk（S）是σ（Stk）=FB，W，utk，可测量每个k和（S，gn（S），gnK（S））=> （S，h，…，hK），英寸Ohm输入×RK+，单位为n→ ∞.现在定义Hnt=Hnt（S）=KXk=1gnk（S）1[tk，tk+1）（t）+tn。接下来是（S，Hn）=> （S，H），因为H几乎肯定属于引理6的集S。6我们有（S，Φ（Hn））=> （S，Φ（H））=（S，τ）。现在让▄gnk（s）=maxj=1，。。。，kgnj（s），deneehnt=eHnt（s）=KXk=1gnk（s）1[tk，tk+1）（t）。那么Φ（eHn）=Φ（Hn）几乎可以肯定，所以我们有（s，Φ（eHn））=> （S，τ）。现在，因为每个gnkis都是连续的，我们可以将EH（·）视为Ohm输入引理6.6中定义的子集S。因此，引理6.6确保Φ（eHn（·））是一个连续映射fr omOhm输入到[0，T]。因此，（S，Φ（eHn））定律属于R（ρ）。银行挤兑时间和模型的平均场博弈23命题4.3的证明。有了推论6.5，我们现在准备验证命题4。3、很容易检查P是否满足弱MFE定义4.2的属性（2）。Asτ*isa FB，W-停止时间，Fτt+包含在P-完成FB，W，ut中，相容性属性（3）很容易保持（注意，相容性对完成过滤不敏感）。

要证明（1）稍微有点复杂：显然Po （B、W）-1=W，其中通常Wdenotes-Wiener测量。还要注意，如果gt:C→ R是有界的，FB，Wt是可测的，那么ne[gt（B，W）| B]=ZCgt（B，W）W（dw）=E[gt（B，W）| FBt]，a.s。因此，由于τ是a.s.（B，W）-可测的，如果t∈ [0，T]和C∈ FW，τtthenu（C）=P（（W，τ）∈ C | B）=P（（W，τ）∈ C | FBt），P- a、 这表明（完成）FBt中包含的（完成）Futis。因此，在P下，FB，W，u，τ的完成包含在FB，Wt中，这证明了性质（1）。弱不动点条件（5）成立，因为u是B-可测量的。最后，最优性条件（4）来自推论6.5。6.2。兼容性的快捷方式。作为最后的准备步骤，在证明主要结果之前，我们陈述最后一个有用的引理。它允许我们检查一个更简单的标准来代替定义4.2中的兼容性属性（3），该属性在限制下表现不太好。事实上，这个引理正是我们研究（W，τ）的条件联合定律的原因，而不仅仅是τ本身。引理6.7。假设P∈ P(Ohm) 满足定义4.2的性质（2）和（5）。假设也是FB，uT∨ FW，τt独立于σ{Ws-重量：s∈ [t，t]}，对于每个t∈ [0，T）。然后定义4.2的P满足性（3）；即FτT+在条件上独立于FB，W，uT给定FB，W，uT+，对于每个T∈ [0，T]。证据根据定理6.4的最终要求，有必要检查Fτ是否有条件地依赖于FB，W，ut对于每个t∈ [0，T]。

固定有界函数ft，gT，gT，h+，和ht，使得ft（τ）是Fτt-可测的，gT（B，u）是FB，ut-可测的，gT（B，u）是FB，ut可测的，h+（W）是σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}-可测量，ht（W）是FWt可测量的。计算机ft（τ）gT（B，u）gT（B，u）h+（W）ht（W）= E[英尺（τ）gT（B，u）gT（B，u）ht（W）]E[氢+（W）]=Egt（B，u）gt（B，u）Zft（s）ht（w）u（dw，ds）E[h+（W）]=Egt（B，u）EhgT（B，u）| FB，utiZft（s）ht（w）u（dw，ds）E【h+（W）】=Ehgt（B，u）ht（W）ft（τ）Ehgt（B，u）| FB，utiiE【h+（W）】=Ehgt（B，u）ht（W）ft（τ）Ehgt（B，u）h+（W）FB，W，utii。第一步使用假定的独立性，而第二步和第四步使用固定点属性u=P（（W，τ）∈ ·|B、 u）。第三步使用的事实是，对于C×[0，t]上的每个有界ed-FW，τt-可测函数φ，rφdu是Fut-可测的（而FB，ut-可测）。最后，24 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lacker最后一步使用了简单的识别Hgt（B，u）h+（W）FB，W，uti=EhgT（B，u）| FB，utiE[h+（W）]。极限定理的证明本节专门讨论定理4.4和4.5的证明。此时，回忆这些定理中的符号可能是有用的。尤其要注意区分（3.1）中定义的停车时间u（~τn）的经验测量值与（4.3）中定义的联合经验测量值bu（~τn）。7.1。定理4.4的证明。缩写为bun=bun（~τn）。首先请注意，Po（B，周）-1=Wforall k，因此Pn的C-边缘不依赖于n。显然，[0，T]-边缘序列（Pnoτ-（1）∞n=1很紧，因为[0，T]很紧。表明边缘序列（Pno（bun）-（1）∞n=1很紧，这表明平均值序列测量EPn【bun（·）】∈ P（W×[0，T]）是正确的（c.f.[34，命题2.2]的证明）。但这源于观察到的EPn的第一个边缘【bun（·）】是每个n的维纳测度。由于每个边缘序列都是正确的，因此序列（Pn）∞n=1 P(Ohm) 很紧。

设P为Pn的任何极限点，并重新标记子序列以假定Pn→ P我们检查P是否满足weakMFE的五个定义属性。（1）的证明：首先，请注意po （B、W）-1=limn→∞nnXk=1Po （B，周）-1=W。我们接下来证明（B，W）是关于FB，W，u，τ+，或等效于FB，W，u，τ的维纳过程。修复t∈ [0，T）.设ft，gt，ht和h+分别是[0，T]，P（C×[0，T]），C和C上的连续函数。假设ftis Fτt-可测，gtis Fut-可测，htis FB，Wt-可测，h+为σ{（Bs- Bt，Ws- Wt）：s∈ [t，t]}-可测量。那么，因为（B，W，…，Wn）是FB，W，。。。，Wn+-维纳过程，EPft（τ）gt（u）ht（B，W）h+（B，W）= 画→∞nnXi=1EPft（τni）gt（bun）ht（b，Wi）h+（b，Wi）= 画→∞nnXi=1EPft（τni）gt（bun）ht（b，Wi）EP公司h+（B，Wi）= EP【ft（τ）gt（u）ht（B，W）】EPh+（B，W）.这表明σ{（Bs- Bt，Ws- Wt）：s∈ 在P下，[t，t]}与FB，W，u，τt无关。（2）的证明：证明（B，u）和W在P下是独立的很简单：对于有界连续函数f:C×P（C×[0，T]）→ R和g：C→ R、 大数定律银行挤兑时间与模型的平均场对策25yieldsEP[f（B，u）g（W）]- EP[f（B，u）]]EP[g（W）]=limn→∞nnXi=1EPf（B，Bun）g（Wi）- EP[f（B，Bun）]nnXi=1EPg（Wi）= 画→∞EP“f（B，Bun）nnXi=1g（Wi）-Zg dW！#=0，因为Wiare i.i.d.和P下的W定律。证明（5）：x点条件（5）的证明也很简单。设f和g分别是C×P（C×[0，T]）和d C×[0，T]上的有界连续s函数，并且注意到P[f（B，u）g（W，τ）]=limn→∞nnXi=1EPf（B，Bun）g（Wi，τni）= 画→∞EP公司f（B，Bun）Zg dbun= EP公司f（B，u）Zg du.（3）的证明：因为我们已经建立了性质（2）和（5），引理6.7将立即产生（3），一旦我们可以证明FB，uT∨ FW，τ表示σ{Ws的依赖性- 重量：s∈ [t，t]}，对于每个t∈ [0，T）.修复T∈ [0，T）。

将有界连续函数f固定在C×P（C×[0，T]）、gton[0，T]、hton C和h+上。假设f是一致连续的（因此FB，uT-可测），g是fτT-可测，htis FWt-可测，h+是σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}-可测量。定义un，-i： =n- 1Xk6=iδ（Wk，τnk）=nn- 1bun-N- 1δ（Wk，τnk），注意kbun，-我- bunkT V≤ 2/（n）- 1） a.s.总变异拓扑比弱变异拓扑更为有效，因此| f（B，Bun）- f（B，Bun，-i） |→ 0，在L中∞, 在i.现在一致，因为σ{Wis- 智慧：s∈ [t，t]}独立于FWit∨ FB，（Wk）k6=它，我们有EPf（B，u）gt（τ）ht（W）h+（W）= 画→∞nnXi=1EPf（B，Bun）gt（τni）ht（Wi）h+（Wi）= 画→∞nnXi=1EPf（B，Bun，-i） gt（τni）ht（Wi）h+（Wi）= 画→∞nnXi=1EPf（B，Bun，-i） gt（τni）ht（Wi）EP【h+（Wi）】=limn→∞nnXi=1EPf（B，Bun）gt（τni）ht（Wi）EP【h+（Wi）】=EP【f（B，u）gt（τ）ht（W）】EP【h+（W）】。26 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A and DANIEL Lacker这意味着FB，uT∨ FW，τ表示σ{Ws的依赖性- 重量：s∈ [t，t]}，在P下。（4）的证明：仍需证明最优性条件在极限内成立。重新调用uτ（·）=u（C×·）表示u的[0，T]-边缘。根据推论6.5，可以显示[F（B，W，uτ，τ）]≥ EP[F（B，W，uτ，σ）]，对于每个FB，W，u-停止时间σonOhm 形式为σ=σ（B，W，u），其中σ：C×P（C×[0，T]）→[0，T]是连续的。确定这样的停车时间。对于n人博弈定义σi=σ（B，Wi，Bun（~τn））。那么σiis a FB，W，。。。，Wn停止时间。回想一下，undente表示联合温度度量bun的[0，T]-边缘。

Nash性质意味着EP[F（B，W，u，τ）]=limn→∞nnXi=1EPF（B，Wi，un（~τn），τni）≥ lim s upn→∞nnXi=1EPF（B，Wi，un（~τn，-i、 σi），σi）= lim s upn→∞nnXi=1EPF（B，Wi，un（~τn），^σ（B，Wi，Bun（~τn）））= EP[F（B，W，uτ，^σ（B，W，u））]。实际上，第三行中的等式来自于简单估计kun（~τn，-i、 σi）-un（~τn）kT V≤2/n，其中kmkT V=sup | f|≤1Rf dm表示总变化，也表示假设D确保的连续性ofF=F（b，w，m，t）in m。第一行和最后一行都使用引理6.1来处理F in（b，w）的潜在不连续性，最后一步关键是使用^σ的连续性。7.2。定理4.5的证明。让P∈ P(Ohm) 做一个软弱的MFE。在某些交替概率空间（e）上构造Ohm,eF，eP），一个具有P定律的C×P（C×[0，T]）值随机变量（B，u）o（B，u）-1和一系列随机变量（Wi，τi），这些随机变量在给定条件下是独立的（B，u），并且具有共同的条件律u。这里有一些符号，因为（B，u）既用于新的随机变量，也用于正则空间上定义的随机变量Ohm, 但这不会引起混淆，因为我们专门研究（eOhm,eF，eP）中。对于每个i，（B，u，Wi，τi）的定律精确地为P。通常，设τn=（τ，…，τn），fort，田纳西州∈ [0，T]确定经验测量（现在是一个Ohm)un（t，…，tn）=nnXi=1δti，bun（t，…，tn）=nnXi=1δ（Wi，ti）。定义：=supσ∈SnE公司F（B，W，un（~τn，-1，σ），σ）- EF（B，W，un（~τn），τ）+,这里是FB，W，。。。，Wn停止时间（定义一次Ohm). 按symmetrysupσ∈SnEhF（B，Wk，un（~τn，-k、 σ），σ）i≤ n+EhF（B，Wk，un（~τn），τk）i，（7.1）每k=1，…，银行挤兑时间和模型的平均场游戏27，n、 我们首先表明→ 确实如此≤ E“支持∈[0，T]F（B，W，un（~τn，-1，t），t）- F（B、W、u、t）#+supσ∈s∞EF（B，W，u，σ）- EF（B，W，un（~τn），τ）+,其中S∞= ∪N≥1Sn。

我们声称，第一行上的项收敛为零。实际上，kun（~τn，-1，t）- un（~τn）k≤ 2/n和un（~τn）→ u弱a.s.根据largenumbers（有条件）定律。使用以下假设得出结论：P（[0，T]）×[0，T]） （m，t）7→ F（b，w，m，t）对于每个固定（b，w）是（均匀）连续的。第二项也趋于零，因为F（B，W，un（~τn），τ）→ EF（B，W，u，τ）≥ supσ∈s∞EF（B，W，u，σ）.事实上，为了证明最后一个不等式，请注意，对于任何σ∈ s∞我们可以很容易地检查Fσ是否在条件上依赖于FB，W，ut。对于每个t，Fσ依赖于FB，W，ut。因为（B，W，u，τ）具有弱MFE定律P，定义4.2的最优性条件（4）提供了所需的等式。似乎我们已经证明了（τ，…，τn）对于当时的参与者博弈形成了一个n-Nash均衡，其中n→ 0，但这并不准确。停止时间τi不是相对于FB，W，…，的停止时间，。。。，Wn，但更大的过滤。这需要更多的近似值，使用T heorem 6.4的直接扩展来处理停止时间向量，作为对单个停止时间的操作；这个扩展的证明是完全相同的，但显然更麻烦。注意Fτ，。。。，τntis条件独立于FB，W，。。。，WnTgiven FB，W，。。。，Wn，ut，对于每个t，因为（B，W，…，Wn）是FB，W，。。。，Wn，τ，。。。，τn-维纳过程。因此，使用上述定理6.4的扩展，我们可以发现FB，W，。。。，Wn停止时间，τk，τnk，使得（B，W，…，Wn，τk，…，τnk）=> （B，W，…，Wn，τ，…，τn），如k→ ∞. 设~τn，k=（τk，…，τnk），且定义kn：=最大值=1，。。。，Nsupσ∈SnEhF（B，Wi，un（~τn，k，-i、 σ），σ）i- EhF（B，Wi，un（~τn，k），τik）i+.对于固定的n，我们可以认为limk→∞kn=n。

事实上，这是从atlimk→∞最大值=1，。。。，NEhF（B，Wi，un（~τn，k），τik）i- EF（B，Wi，un（~τn），τi）= 0，按构造，和limk→∞最大值=1，。。。，nE“支持∈[0，T]F（B，Wi，un（~τn，k，-i、 t），t）- F（B，Wi，un（~τn，-i、 t），t）#= 0，因为m 7→ F（b，w，m，t）在m中是连续的，在t中是均匀的，几乎对于每个固定的（b，w）。总之，我们可以确定kn→ ∞ 使nnxi=1Law（B，Wi，Bun（~τn，kn），τikn）→ 定律（B，W，u，τ），以及knn↓ 0且最大值=1，。。。，nsupσ∈SnEhF（B，Wi，un（~τn，kn，-i、 σ），σ）i≤ EhF（B，Wi，un（~τn，kn），τikn）i+kn。28勒内·卡莫纳、弗朗克·奥斯·德拉鲁和丹尼尔·拉克尔8。连续性假设D下的存在性本节致力于定理4.6的证明。首先，我们证明了在时间集和公共噪声分布空间是有限的情况下，存在一个weakMFE（更准确地说，是一个具有弱停止时间的str-on-g-MFE）。然后，我们取弱极限。我们介绍以下离散化。对于每个正整数n，设tni=i2-对于i=0，…，nT，第2条。在严格正勒贝格测度的可测集合中选择划分πnof R，这样一来，πn+1是每个n和并集π的敌人∪N≥1πn生成整个钻孔σ场。我们将根据πn的集合包含增量Btni+1来定义FB的过滤-Btni。准确地说，定义σ-fieldgntnk=σn{Btni- Btni公司-1.∈ C} ：C∈ πn，i=1，ko，对于k=1，2n，Gn=σ{{B∈ C} ：C∈ πn}。此外，对于t∈ [0，T]，定义Tn=最大值{tnk:k=0，…，2n，tnk≤ t} ，并设Gnt=GnTn、 然后Gn=（Gnt）t∈[0，T]定义了过滤，并定义了每个n，T的f。此外，FBt=σ∞[n=1Gnt！，对于t∈ [0，T]。通过构造，对于每个非空集C，W（C）>0∈ GnT。设mn表示函数集sm:C→ P（[0，T]），这样，对于每个T∈ [0，T]mapb 7→m（b）[0，t]是Gnt可测量的。

当然，由于GnTis FINITE∈ mn必须是GnT的每个原子的常数。由于具有逐点收敛的拓扑结构，MN很容易被看作是紧的，因为P（[0，T]）是紧的。最后，将A定义为一组概率度量q∈ P（C×[0，T]），其中B和W是独立的FB，W，τ-维纳过程。定理8.1。对于每个n，存在∈ Mnand Q∈ A满足以下条件：（1）m（B）=Q（τ）∈ ·|GnT）。（2） 最优性条件成立，等式[F（B，W，m（B），τ）]≥ supQ′∈AEQ′[F（B，W，m（B），τ）]证明。从定理6.4可以看出，A是紧凸的；见备注6.3。用Φn（m）=arg maxQ定义从Mnto到A子集的amapΦnf∈AEQ[F（B，W，m（B），τ）]。地图（m，Q）7→ 由于引理6，等式[F（B，W，m（B），τ）]在Mn×A上联合连续。1和F的连续性=F（b，w，m，t）in（m，t）。因此，根据Berge的th-eorem[4，T-heorem 17.31]，Φnhas是闭合图，并取非空凸值。定义映射ψn:Mn→ 2Mnbyψn（m）={Q（τ∈ ·|GnT）：Q∈ Φn（m）}。因为Qo B-1=W，对于连续有界函数f：[0，T]→ 我们可以写q[f（τ）| GnT]（b）=XCEQ[f（τ）1{b∈C} ]W（C）C（b），用于b∈ C、 其中，和是GnT的原子。对于每个这样的原子C，注意W（C）>0，并且m apQ 7→ 式[f（τ）1{B∈C} ]在A上由引理6.1连续。因此，我们可以查看Q 7→ Q（τ∈ ·|GnT）作为从a到Mn的连续a ffine映射。因此，集值映射ψnhas是闭图，时间和银行挤兑模型的平均场博弈29其值是非空的、凸的和紧的。根据Kakutani定理【4，推论17.55】，它给出了一个固定点；也就是说，存在∈ MN使m∈ ψn（m）。定理4.6的证明。对于每个n，letmn∈ MN和Qn∈ A满足第8.1条的性质（1-2）。定义bmn:C→ P（C×[0，T]）bybmn（B）=Qn（（W，τ）∈ ·|GnT）。这里我们注意到，如果C∈ FW，τt或t∈ [0，T]，那么我们有bmn（B）=Qn（（W，τ）∈ ·|Gn公司Tn） ，（8.1）其中Tn=最小值{tnk:k=0，…，2n，tnk≥ t} 。

事实上，这是成立的，因为B是Qn下的FB，W，τ-维纳过程，并且因为gnt是由Gn生成的T与事件{Btni- Btni公司-1.∈ C′}对于C′∈ tni的πnand-1.≥ t、 接下来，确定Pn∈ P(Ohm) byPn=Qno （B，W，bmn（B），τ）-1、我方声明（Pn）∞n=1很紧，每个极限点都是定义意义上的弱MFE 4.2。我们从紧密性开始，通过显示每个边缘都是紧密的。请注意，第一个边际Pno （B、W）-1=Wis明显紧固，因为它是恒定的。此外，Pno τ-1很紧，因为[0，T]很紧凑。证明Pno u-1是严密的，必须证明均值测度EPn【u（·）】是严密的（c.f.【34，命题2.2】的证明）。但是，对于任何可测集C C×[0，T]，EPn[u（C）]=EQn[bmn（B）（C）]=EQn[Qn（（W，τ）∈ C | GnT）]=Qn（（W，τ）∈ C） =Pn（（W，τ）∈ C） 。也就是说，平均测量值EPn[u（·）]精确地为p Pno （W，τ）-1，我们已经观察到了。紧密度为（Pn）∞n=1已建立，通过假设n确定极限点P和滥用符号→ P我们将通过检查定义4.2的五个性质来证明P是弱MFE：证明（1）：明确Po （B、W）-1=limn→∞Qn公司o （B、W）-1=W。我们必须证明（B，W）是P下的FB，W，u，τ-维纳过程。固定N和Fix t∈ {tN，…，tNN-1} 。设ft、gt、ht和h+分别是[0，T]、P（C×[0，T]）、C和C上的有界连续函数。假设ftis Fτt-可测，gtis Fut-可测，htis FB，Wt-可测，h+为σ{（Bs-Bt，Ws- Wt）：s∈ [t，t]}-可测量。Sin ce公司Tn=t表示n≥ N和Gnt FBt，根据（8.1），地图b 7→ bmn（b）（C）是每个C可测量的FBt∈ FW，τt。这意味着bmnisFBt/Fut是可测量的，尤其是gt（bmn（B））是可测量的。

因此，由于（B，W）是Qn下的anFB，W，τ-维纳过程，EP[ft（τ）gt（u）ht（B，W）h+（B，W）]=limn→∞方程[ft（τ）gt（bmn（B））ht（B，W）h+（B，W）]=limn→∞EQn[ft（τ）gt（bmn（B））ht（B，W）]EQn[h+（B，W）]=EP[ft（τ）gt（u）ht（B，W）]EP[h+（B，W）]。这足以得出σ{（Bs）的结论- Bt，Ws- Wt）：s∈ 在P下，[t，t]}与FB，W，u，τt无关。我们只证明了这对t是正确的∈ ∪∞N=1{tN，…，tNN-1} ，但这需要注意的是，这个集合在[0，T]中是稠密的。30 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lackerfroof（2）：因为B和W在Qn下是独立的，对于C×P（C×[0，T]）上的有界连续函数f和C上的有界连续函数g，我们有ep[f（B，u）g（W）]=limn→∞方程[f（B，bm（B））g（W）]=limn→∞EQn[f（B，bm（B））]EQn[g（W）]=EP[f（B，u）]EP[g（W）]。因此，（B，u）和W在P下是独立的。证明（5）：固定N≥ 设g和h分别是C×[0，T]和P（C×[0，T]）上的连续有界函数。注意到fis GnT可测量所有n≥ N、 使用L emma 6.1来处理b中f的不连续性，我们得到EP[f（b）h（u）g（W，τ）]=limn→∞方程[f（B）h（bmn（B））g（W，τ）]=limn→∞EQnf（B）h（bmn（B））Zg d bmn（B）= EP公司f（B）h（u）Zg du.这适用于每个N和每个GNT可测量的f。因为FBT=σ(∪N≥1GNT），对于每个FBT可测量的f，必须保持相同的识别。证明（3）：因为我们已经建立了属性（2）和（5），引理6.7将产生（3），一旦我们可以证明FB，uT∨ FW，τt独立于σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}，对于每个人∈ [0，T）.修复T∈ [0，T）.将有界连续函数f固定在C×P（C×[0，T]）、gton[0，T]、hton C和h+上。假设g是fτT-可测的，htis FWt-可测的，h+是σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}-可测量。在Qn下，（B，W）是标准的FB，W，τ-维纳过程，很容易得出h+（W）与FBT无关的结论∨ FW，τt。

因此，EPf（B，u）gt（τ）ht（W）h+（W）= 画→∞EQnf（B，bmn（B））gt（τ）ht（W）h+（W）= 画→∞EQn[f（B，bmn（B））gt（τ）ht（W）]EQn[h+（W）]=EP[f（B，u）gt（τ）ht（W）]EP[h+（W）]。这显示FB，uT∨ FW，τ独立于σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}，在P下。（4）的证明：根据推论6.5，可以显示[F（B，W，uτ，τ）]≥ EP[F（B，W，uτ，σ）]对于每FB，W，u-停车时间σ，形式为σ=σ（B，W，u），其中σ：C×P（C×[0，T]）→ [0，T]是连续的。确定这样的停车时间。利用^σ的连续性，并利用引理6.1处理F in（B，W）的不连续性，我们得到了ep[F（B，W，uτ，τ）]- EP[F（B，W，uτ，σ）]=limn→∞方程[F（B，W，mn（B），τ）]- 方程[F（B，W，mn（B），σ（B，W，bmn（B））]≥ 0，其中我们最终使用了定理8.1中MN的最优性属性。I ndeed，the lawQ′n：=Qno （B，W，σ（B，W，bmn（B）））-通过注意到（正如我们在（1）的证明中所看到的）bmnis在某种意义上适应了b 7，很容易被视为属于A→ bmn（b）（C）是C的FBt可测量值∈ FW，τt。银行挤兑时间和模型的平均场博弈31附录A.命题6.2的证明为了证明定理6.2，我们需要从作者以前的工作中得到一个初步结果。回想一下=> 表示法律上的趋同。提案A.1（第[12]号提案C.1）。设X和Y为公共概率空间上定义的随机变量，取一些波兰空间E和F中的值。如果X定律是非原子的，如果F是局部凸空间的凸子集（同胚），则存在一系列连续函数φn:E→ F使得（X，φn（X））=> （X，Y）。命题6.2将命题A.1扩展到了动态设置，这是兼容性的作用最为明确的地方。这包含在第三作者的博士论文【27，命题2.1.6】中，其本身隐含在【12，引理3.11】的证明中，尽管为了完整性，我们将其包括在内。命题6.2的证明。

p屋顶是命题A.1的归纳应用。首先，根据Yi定律是非原子的假设，命题A.1允许我们找到连续函数hj:Y的序列→ X使得（Y，hj（Y））=> （Y，X）为j→ ∞. 让我们来说明事实上（Z，hj（Y））收敛到（Z，X）。Letφ：Z→ R有界且可测，设ψ：X→ R应连续。注意，假设Z和Xare在给定Y时是条件独立的。现在使用引理6.1获取limj→∞E[φ（Z）ψ（hj（Y））]=limj→∞EhE[φ（Z）| Y]ψ（hj（Y））i=E[φ（Z）| Y]）ψ（X）]=E[φ（Z）| Y]E[ψ（X）| Y]]=E[φ（Z）ψ（X）| Y]=E[φ（Z）ψ（X）]。Z×X形式的函数类 （z，x）7→ φ（z）ψ（x），其中φ和ψ如上所示，是决定收敛性的（参见，例如，[15，命题3.4.6（b）]），我们得出结论（z，hj（Y））=>（Z，X）。我们归纳如下。缩写Yn：=（Z，…，Zn）对于每个n=1，N、 注：YN=Y，以及类似的定义Xn。假设我们得到1≤ n<n和连续函数gjk:Yk→ X代表k∈ {1，…，n}和j≥ 1，令人满意的Limj→∞（Z，gj（Y），gjn（Yn））=（Z，Xn），（A.1），其中收敛通常是分布的。我们将证明存在连续functionshik:Yk→ 每k X∈ {1，…，n+1}和i≥ 1这样的thatlimi→∞（Z，hi（Y），hin+1（Yn+1））=（Z，X，…，Xn+1）。（A.2）根据命题A.1，存在一系列连续函数^gj：（Yn+1×Xn）→ X suchthatlimj→∞（Yn+1，Xn，^gj（Yn+1，Xn））=（Yn+1，Xn，Xn+1）=（Yn+1，Xn+1）。（A.3）我们现在要求Limj→∞（Z，Xn，^gj（Yn+1，Xn））=（Z，Xn，Xn+1）。（A.4）32 REN'E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE、A和DANIEL Lackerreed，设φ、ψn和ψ分别是Z、Xn和X上有界可测函数，ψ与ψ连续。

使用Z和（Yn+1，Xn+1）的条件独立性，给定Yn+1along和（A.3）以及引理6.1，以获取limj→∞E[φ（Z）ψn（Xn）ψ（^gj（Yn+1，Xn））]=limj→∞EEφ（Z）| Yn+1ψn（Xn）ψ（^gj（Yn+1，Xn））= EEφ（Z）| Yn+1ψn（Xn）ψ（Xn+1）= EEφ（Z）| Yn+1Eψn（Xn）ψ（Xn+1）| Yn+1= EEφ（Z）ψn（Xn）ψ（Xn+1）| Yn+1= E[φ（Z）ψn（Xn）ψ（Xn+1）]。同样，形式为Z×Xn×X的函数类 （z，x，x′）7→ φ（z）ψn（x）ψ（x′），其中φ、ψn和ψ如上所示，是决定收敛的，并且（A.4）如下所示。通过^gj的连续性，极限（A.1）意味着，对于每个j，limk→∞（Z，gk（Y），gkn（Yn），^gj（Yn+1，gk（Y），gkn（Yn））=（Z，X，…，Xn，^gj（Yn+1，X，…，Xn））=（Z，Xn，^gj（Yn+1，Xn））。（A.5）结合两个极限（A.4）和（A.5），我们可以找到一个子序列jk，使得→∞（Z，gjk（Y），gjkn（Yn），^gk（Yn+1，gjk（Y），gjkn（Yn））=（Z，Xn，Xn+1）。定义香港l:= hjk公司l对于l = 1.n和hkn+1（Yn+1）：=^gk（Yn+1，gjk（Y），gjkn（Yn））完成诱导。附录B.停止时间格在本节中，我们证明第5节中定义的停止时间集S是一个完整的格。回想一下，S定义为概率空间上定义的（a.S.equal的等价类）随机时间τ的集合Ohmcom×Ohmind，是过滤Fsig的停止时间。回想一下，随机变量族Φ的本质上确界被定义为最小（相对于a.s.阶）随机变量超过a.s.T的每个元素：定理B.1（定理a.33 of【16】）。设Φ是一组实值随机变量。然后存在一个唯一的（直到a.s.相等）随机变量Z=ess supΦ，这样Z≥ 每X X X个a.s∈ Φ，还有Z≤ Y a.s.对于满足Y的每个随机变量Y≥ 每个X的X a.s.f∈ Φ。此外，还存在一个可数集Φ Φ，使得Z=supX∈ΦX防腐蚀。

存在性和唯一性在[16，定理A.33]中有说明，其中的证明构造了所需的Φ。基本定义类似地定义，或简单地通过ess infΦ=- ess sup公司(-Φ）。定理B.2。集S是一个完全格。证据固定一组Φ S、 定义Z=ess supΦ，并找到一个可数集{τn:n≥ 1} Φ，使得Z=supnτna。s、 定义σn=maxk=1，。。。，nτk，所以σn是一个随σn增加的稳定时间序列↑ Z a.s.停止时间序列的增长极限再次是停止时间[13，定理IV.55（b）]，因此Z∈ S、 一个类似的论点表明Φ的本质上限也是一个停止时间，唯一的区别是这一步骤至关重要地使用了filtrationfsig的正确连续性；事实上，虽然停止时间序列的上确界始终是停止时间，但银行挤兑时间和模型的平均场博弈33只有在基础过滤正确连续的情况下，停止时间序列的上确界才保证是停止时间【13，定理IV.55（c）】。参考文献1。D、 Acemoglu和M.K.Jensen，《大型动态经济体中的稳健比较静态》，技术报告，国家经济研究局，2012年2月，综合比较静态、博弈和经济行为81（2013），27–49.3。S、 Adlakha和R.Johari，《具有战略互补性的动态博弈中的平均场均衡》，运筹学61（2013），第4971–989.4号。C、 Aliprantis和K.Border，《有限维分析：搭便车指南》，第3版，Springer，2007.5。五十、 Balbus、P.Dziewulski、K.Reffett和L.P.Wozny，《具有策略完成性的大型博弈的定性理论》，见SSRN 2208125（2014）。6。五十、 Balbus，K.Reffett和L.Wozny，非原子超模对策中的单调平衡。评论，《游戏与经济行为》94（2015），182–187.7。J、 R.Baxter和R.V。

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