银行挤兑时间和模型的平均场博弈

2022-5-25 09:27:11

通常，如果更多的储户提前提取资金，那么银行倒闭的可能性就会增加，这进一步刺激了提前提取。从数学上讲，对一个储户的最终支付与其他储户的行为之间存在着越来越大的差异。这个性质称为互补性，具有这个性质的博弈称为超模博弈。这些博弈的平衡理论更多地取决于它们的秩序结构，而不是它们的分析属性（例如，见[30，19]），使用的是托普基斯（Topkis）[36，35]首先开发的机制，后来由米尔格罗姆（Milgrom）和罗伯茨（Roberts）[30]以及维维斯（Vives）[37]重新定义的机制。许多银行挤兑模型的一个共同特征是存款人之间相互作用的对称性或平均场性质，本文的目标是利用这一特性发展一个通用的数学理论。虽然上述大多数工作本质上是静态的，但2014年7月，利维尔·戈斯纳（Livier Gossner）在PIMS系统风险研讨会上的一次演讲激发了我们对银行挤兑动态模型的兴趣，戈斯纳试图将罗切特·维维斯（Rochet and Vives）的早期工作扩展到连续时间。

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2022-5-25 09:27:14

在该模型中，随机性的常见来源来自银行的投资价值和可能需要进行再销售以面对基金赎回，而投资者的私人信号的差异导致了特殊的噪声源，排除了不必要的均衡。另一个值得一提的连续时间银行挤兑模型可以在2 REN’E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE、A和DANIEL LACKERHe以及Xiong的论文【18】中找到，其中随机性的来源来自债务期限的交错性质。考虑到这些银行挤兑模型，我们提出了一类一般的连续时间模型，我们称之为时间平均场博弈，其中连续的代理策略选择停止时间，即退出博弈的时间。对于两种不同的制度，我们给出了两组不同的结果。在上述互补性质下，我们证明了“平均场均衡”（MFE）的存在，并说明了如何利用它们来构造相应的n人对策的近似均衡，这是针对非常一般的部分信息结构完成的。另一方面，在没有互补性的情况下，我们得到了“弱MFE”在强连续性假设下的存在性结果，并且仅在完全信息环境下。然后，通过证明两个收敛模，将弱MFE与n人对策联系起来。一方面，n人博弈中的均衡本身（如果存在的话）收敛到弱MFEA n→ ∞. 另一方面，弱MFE可以用来构造n人对策的近似均衡。我们的模型与Lasryand Lions（29）以及Caines、Huang和Malham\'e（20）独立推出的平均场游戏密切相关。然而，在我们的模型中，代理通过选择停止时间而不是控制进程来进行操作。

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2022-5-25 09:27:17

我们坚持纯概率方法，尽管原则上PDE公式可能涉及变分不等式或自由边界问题。平均场博弈论中的概率方法起源于【10】，尽管我们的技术与【12、28、26】中的弱收敛和紧参数关系更密切。虽然大多数（连续时间）平均场博弈模型涉及代理选择控制过程，而不是停止时间，但值得注意的一个例外是纽茨最近的工作[32]，该工作研究了一个易于处理但通用的模型，可以计算或最不明确地描述均衡。第3.4节展示了该模型如何融入我们的框架。我们基于单调性的存在性结果（定理3.5）总结了一些最近关于具有互补性和连续代理的对策的论文。例如，Adlakhaha和Johari【3】采用了一些类似的技术来研究具有战略互补性的离散时间平均场博弈。Balbus等人[5]在静态博弈方面的工作也非常相关，甚至包括对离散时间“最优停止博弈”的讨论，尽管他们的模型中没有随机因素。有关非原子超模对策的相关工作，请参见[38]及其在[6]中的更正。对具有互补性的游戏感兴趣的读者也可以参考Acemoglu和Jensen[2，1]最近关于聚合游戏的工作，这是一种接近平均场的游戏。我们证明的技术关键需要一些新的结果，这些结果本身就很有趣，关于过滤的逐步扩大[23，8]，特别是与“兼容性”或“浸入式”属性（也称为H假设）相关的结果，最近，鉴于其在信贷风险模型中的许多应用，人们对其重新产生了兴趣。

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2022-5-25 09:27:21

我们的工作需要一个新的特征，即当一个过滤通过随机时间逐步扩大时，它满足了这个兼容性特性：粗略地说，如果过滤F是由维纳过程W生成的，如果过滤F以最小的方式逐渐扩大到G，以呈现给定的随机时间τa停止时间，当且仅当存在（W，τn）在分布上收敛到（W，τ）的F停止时间序列τnsuch时，F与G“兼容”。这种相容性的概念自然产生，因为弱收敛性参数在我们的分析中起着核心作用；本质上，论文[12，28]中也出现了同样的情况，涉及的是更传统的平均场游戏模型。本文的组织结构如下。下一节介绍了银行挤兑的连续时间模型，该模型基于【33】中的一些观点和戈斯纳之前提到的演讲。这是从即将出版的书【11】中借来的，我们提出了一个简化的动机版本。我们使用连续时间随机过程来模拟银行资产的价值和储户的私人信号。在一组关于存款人的成本和回报的假设中，捕捉到了时间平均场博弈经济模型和银行挤兑模型中的大量事实，并阐述了时间博弈的数学问题。第3节描述了概括前一节设置的一般主题框架。在这里，我们提供了所有必要的定义和符号，并陈述了论文的第一个主要结果，即不完全性假设。下面的第4节进一步专门介绍了由维纳过程驱动的具有连续目标函数的模型的设置。

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2022-5-25 09:27:24

这些章节中没有给出任何证据，仅举例说明抽象框架如何概括第2节中提出的银行挤兑，以及结果如何回答其中提出的问题。本文的其余部分，从第5节开始，致力于证明第3节和第4节中宣布的结果。特别是第6节，制定了关于过滤放大和随机停止时间的必要材料，其中一些可能是独立关注的。两个附录提供了我们在印刷文献中无法找到的技术结果证明。致谢：我们要感谢Geo Offrey Zhu在我们调查timin g.2平均场比赛的早期启发了大家的讨论。银行挤兑模型银行资产负债表的性质、储户挤兑引发的证券销售的影响以及银行可能的倒闭是分析银行挤兑及其后果的两个重要因素，尤其是从监管角度来看。然而，为了进行数学分析，我们将简化他们的角色，以便关注投资者的最佳时机决策。假设银行资产的市场价值根据某个（重新估值的）随机过程B=（Bt）t随时间演变≥0，其中银行资产的初始值B>0为所有人所知，尤其是储户所知。我们假设资产产生的股息流量严格高于无风险利率。这些股息不进行再投资，因此不包括在Bt中。存款人的存款利率相同。只要Bt>0，该银行将继续经营业务。设n为储户数量。我们最终会让n→ ∞ 推导平均场博弈模型。因此，我们将每个投资者的初始存款标准化为Di=1/n，因此初始存款总额为1。

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2022-5-25 09:27:28

我们引入了一个（确定性）函数L（通常至少满足L（0）=0且0<L′<1），我们认为值L（Bt）是t时银行资产的清算值。因为L是确定性的，所以大家都知道。每当投资者试图提取存款时，银行都会在利率>r的信用额度上向流动投资者付款。在时间t，信贷额度限额等于银行资产的流动价值L（Bt）。该模型是这样建立的，它允许银行向投资者支付资金，而不必对其投资进行修补。据说，如果所有储户都能得到全额付款，即使发生挤兑，该银行也是安全的。据说，如果该行资产的当前市场价值足以支付储户，但清算价值却不足以支付储户，那么该行就存在流动性问题。最后，如果其资产的当前市场价值低于其对储户的义务，则称其破产。我们将确认以下内容，在有关银行资产价值的完整信息的情况下，一旦银行出现流动性问题，储户就会开始运行，可能早在银行破产之前。为了具体起见，让T成为一个有限的时间范围，但请注意，下面的故事对于T=∞ 甚至当T是一个适当的随机时间时。在时间T，银行的资产到期并产生一笔可用于支付信贷额度和储户的付款。现金流在时间T停止。当时，如果英国电信≥ 1、银行是安全的，每个人都得到全额支付；o如果BT<1，银行无法全额支付所有人，则存在外部违约。4 REN’E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE和DANIEL Lacker这不是银行违约的唯一方式。实际上，如果流动储户的提款总额超过SL（Bt），则在时间t<t时有可能发生内生违约。

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2022-5-25 09:27:32

让我们用τi表示储户i尝试提取其存款的时间，并用un这些时间的经验分布表示，即un=nnXi=1Δτi，其中我们使用符号δxf表示将质量1置于单态{x}上的概率度量。请注意，un[0，t）表示在timet之前尝试提款的储户比例，内生违约时间由τendo=inf{t给出∈ （0，T）；un[0，t）>L（Bt）}，按照将空集的最大值定义为t的惯例。为了简单起见，我们假设一旦储户逃跑，他就无法回到游戏中，换句话说，他的决定是不可逆转的。储户战略行为。我们现在解释n储户的战略行为。Wedenote通过Fi=（Fit）t≥0玩家i可用的信息∈ {1，···，n}。这是一个过滤，表示玩家i在时间t可用的信息。在我们首先讨论的特定情况下，这些过滤都是相同的。它们是基于对信号（Bt）0的完美（尽管不是主动）观察≤T≤T、我们把这种情况称为公众监督。在更现实的模型形式中，过滤函数由过程Xi生成，n=（Xi，nt）t≥0和过程（un[0，t]）t≥0，其中，Xi，nti是储户i的私有信号，即在时间t时可以获得的b的观测值。我们假设它的形式为Xi，nt=Bt+σ，其中σ>0，对于i∈ {1，···，n}，p过程（Wit）t≥0是独立的同分布（i.i.d.）随机过程（也独立于B），表示特殊噪声，模糊了对银行资产准确价值Bt的观察。当fi由Xi生成时，nand（un[0，t]）t≥0，我们讨论对银行资产价值的私人监控。

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2022-5-25 09:27:36

然而，对于更现实的模型形式，我们将要求过滤仅由Xi生成，nand不包括过程提供的信息（un[0，t]）≥0，其中包含其他储户的私人信号。该模型在数学上应该更具挑战性，因为个人储户必须以分布式方式选择其取款策略，只使用其私人信号中包含的信息，而忽略过程（un[0，t]）≥0.在任何情况下，过滤Fi将在每个特定应用中进行规定，并将发挥以下作用：代理i的时间τichosen要求为Fi停止时间，以便允许。考虑到所有其他玩家j 6=我已经选择了他们的时间τjt来尝试撤回他们的存款，那么支付Pi（τ-i、 τi）给储户i，因为储户i试图在τi时在银行运行（回顾Di=1/n）asPi（τ-i、 τi）=Di∧L（Bτi）-un[0，τi）+= Di公司∧L（Bτi）-nnXk=1[0，τi）（τk）+在这里和整篇文章中，我们用un[0，t）来代替更精确的un（[0，t））。银行挤兑时间和模型的平均场博弈5，然后存款人i的问题是选择τi，即解决最大化问题（τ-i） =supτiEe（r-r） τiPi（τ-i、 τi）这是一个最优停止问题。这个最大化问题的任何解都代表了参与者i对选项τ的最佳响应-其他储户的账户。求出一组停止时间τifor i=1，同时让所有参与者满意的是，找到一个搜索最佳答案的固定点。这是通过为该游戏建立纳什均衡来实现的。通过完善的观察，解决公众监督的问题。

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2022-5-25 09:27:40

如果我们假设σ=0，在这种情况下，Fi=FB=（FBt）t≥0，在时间t，每个储户都知道BSS的资产价值过去到时间t≤ t、如果所有储户的决定（运行或不运行）仅基于此信息，那么对于每个∈ [0，T]，un[0，T]∈ fB因此，所有存款人在t时都知道该信息。提案2.1。在公共信息的情况下，如果我们将停车时间定义为T∧ inf{t>0；L（Bt）≤ 1} ，那么唯一的纳什等式是当所有储户决定在时间^τ运行时。因此，一旦bank出现流动性问题，就会发生银行挤兑，即使这早在bank破产之前就已经发生了。还要注意的是，根据这一主张，所有储户都经历了存款的完全回收，这与大多数储户通常经历重大损失的典型银行挤兑形成了鲜明对比。证据我们首先认为，我们确实已经确定了纳什均衡。如果除了我以外的所有其他储户都选择了运行时间τ给出的策略，那么我们可以证明，我不能比选择也运行时间τ做得更好。如果L（B^τ）≤ 1、所有其他储户都会立即存款，我唯一希望的投资者是torun at time^τ。现在，如果L（B^τ）>1，n没有储户h作为在L（Bt）>1时运行的理由，因为在L（Bt）仍然严格大于1的情况下，不运行一个小时间间隔，他或她可以在不面临任何风险的情况下赚取更高的利息。这证明了每个储户使用^τ作为运行时间是一个纳什均衡。我们没有证明这个纳什均衡是唯一的纳什均衡，因为我们对公共信息案例并不真正感兴趣。平均场对策公式。

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2022-5-25 09:27:43

我们现在考虑一个对应于大量储户的渐近状态，发送n→ ∞, 我们跟踪初始沉积D>0的代表性沉积体的行为。虽然当Di=1/n时，支付函数本身减少到零，但我们并不十分关心目标函数值的渐近行为，因此我们可以在n人博弈中简单地重新缩放Pito nPiin，而不改变平衡集。事实上，我们希望在这种渐近状态下控制的主要数量是平衡停止时间的经验分布，因为它包含描述银行挤兑时间的所有信息。当n较大时，通常的平均场博弈启发式方法表明，如果确定银行资产价值的过程不是确定性的，则un会随机测量u。特别是，该极限u应取决于B的时间演化，即u[0，t]应为每个t的FBt可测量值∈ [0，T]。如果确定了概率度量u，则可以定义6 REN’E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE和DANIEL Lacker在时间t时，当银行资产价值为y时，提取尝试的个人支付Pu（t，y）=D∧L（y）- u【0，t】+,通过求解最优止损问题sup0的止损时间，给出代表存款人要求返还存款的最佳时间≤θ≤ TE[e（r-r） θPu（θ，Bθ）]。上述最大化可在所有外汇停止时间θ内理解，其中filtrationFX=（FXt）0≤T≤这是我们的普通投资者在时间t观察到的信号Xt=Bt+σwt产生的过滤。此处（Wt）0≤T≤这是一个依赖于（Bt）0的进程≤T≤与之前的每个WI共享相同的分布。

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2022-5-25 09:27:47

如果我们能够解决每个（随机）度量u的最佳停止问题，我们就可以定义一个映射u→ 法则（^τ| B），其中^τ是最佳停止时间，平均场博弈方法的最后一步是为该地图找到一个固定点。下一节更准确地阐述了平均场游戏，并解释了与n人游戏的联系。3、时间的一般平均场对策：主要结果是时间T的紧集 [0，∞] 自始至终都是固定的，我们假设它是离散的，或者对于某些T为[0，T]形式∈ [0，∞]. 固定两个过滤概率空间(Ohmcom、Fcom、Fcom、Pcom）和(Ohmind、Find、Find、Pind），将分别容纳一个普通噪声和一个独立（或特殊）噪声。我们还得到了过滤系数Fsig=（Fsigt）t∈t产品空间Ohmcom×Ohm带Fsigt的Ind Fcomt公司为每个t查找。此过滤表示代理可用的信号或信息。而不是观察完整的过滤Fcom探员发现隐藏的噪音后，只看到Fsig。给出了目标函数F：Ohmcom×Ohmind×P（T）×T→ R、其中，P（T）表示T上的Borel概率测度集。这里，F（ω，ω，m，T）表示一个代理通过在时间T停止而获得的回报，给定公共和独立噪声的值（ω，ω），并给定其他代理停止时间的分布m。有了这些成分，我们将制定一个n人游戏及其连续极限asn→ ∞. 下面的假设A将澄清关于F的精确假设（可测量性、连续性等），在此之前，我们将默认这些预期是有意义的。示例3.1。在第2节给出的示例中，我们进行了以下识别。LetT=[0，T]，并让(Ohmcom、Fcom、Fcom、Pcom）和(Ohmind，Find，Find，Pind）都等于连续实值路径的维纳空间。

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nandehutu2022

2022-5-25 09:27:51

目前，Ohmcom=Ohmind=C（[0，T]）配备了Borelσ-field、维纳测度和自然（增强）过滤。su b-filtrationfSigig是过程（Wt+σWt）产生的完整过滤∈[0，T]，当从Ohmcom×Ohmindto公司Ohmcomand to公司Ohm分别为ind。目标函数（重正化后）isF（ω，ω，m，t）=e（r-r） t“1∧L（ωt）- m【0，t】+#.注意，在本例中，独立噪声ω不出现在payoff中，其唯一作用是指定信息结构Fsig。银行挤兑时间和模型的平均场博弈73.1。n人游戏。n-player游戏≥ 1在产品空间中定义(Ohm, F、 F，P）：=(Ohmcom、Fcom、Fcom、Pcom）∞正常=1(Ohmind，Find，Find，Pind）。一个典型的元素Ohm 表示为~ω=（ω，ω，…），带ω∈ Ohmcomandωi∈ Ohmindfor i公司≥ 1、我们称ω为agent i的公共噪声，称ω为agent i的特殊噪声。定义projectionsWi（ω，ω，…）=ωi，对于i=0，1。。最后，对我来说≥ 1、定义过滤Fi=（拟合）t∈ITH代理的Tof byFit：=（W，Wi）-1（Fsigt）：=σ{{（W，Wi）∈ C} ：C∈ Fsigt}。确定经验测量图un:Tn→ P（T）乘以un（T，…，tn）=nnXk=1δtk。（3.1）我们将使用以下常用符号：给定e=（e，…，en）∈ 对于某些集合，定义-i=（e，…，ei）-1，ei+1，en）和（~ e）-i、 x）=（e，…，ei-1，x，ei+1，en），对于x∈ E和i=1，n、为了尽量减少括号的数量，我们通过写入un（~ t）来滥用符号-i、 s）代替un（（~ t-i、 s）），当t∈ Tnand s公司∈ T.For≥ 如果τ是Fi停止时间（定义于Ohm) 安第斯山脉FW、 Wi，un（~τ），τi≥ EFW、 Wi，un~τ-i、 σ, σ- ，对于每个备选Fi停止时间σ，对于每个i=1，n、 3.2。平均场游戏。

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nandehutu2022

2022-5-25 09:27:55

下一步，我们定义了上述游戏的最终代理对应物，称为平均场游戏，它是在产品空间上制定的Ohmcom×Ohmind.我们在产品度量Pcom×Pind下写下期望值，并在Ohmcomand公司Ohm分别为ind。定义3.2。强平均场平衡（MFE）是Fsig停止时间τ*在…上Ohmcom×Ohm令人满意的F（W，W，u，τ*)≥ EF（W，W，u，τ）,对于每个备选Fsig停止时间τ，其中u=Pcom×Pind[τ*∈ · | W] （3.2）是τ的正则条件定律*鉴于W，我们在这里说强MFE，因为在定义4.2中，我们稍后将引入弱MFE的概念。这个强均衡概念的一个证明是以下定理，该定理解释了如何使用强MFE为当时的博弈构建近似纳什均衡。首先，需要一些假设。下面，考虑由T的有界可测函数集B（T）生成的top ologyσ（P（T），B（T））；这就是说，σ（P（T），B（T））是P（T）上最粗糙的拓扑，因此映射m 7→RTИdm对于每个Д都是连续的∈ B（T）。通过kνkT V=sup确定T上有符号度量ν的总变化ZTf dν：f∈ B（T），支持∈T | f（T）|≤ 1..在以下内容中，Ohmcom×OhmINDI始终配备概率度量Pcom×Pind。8 REN’E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE和DANIEL Lacker假设A.（A.1）F是可联合测量的，P（T）配备了mapsm 7生成的σ场→ m（C），其中C T是一个Borel集。（A.2）对于几乎每一个（ω，ω），m ap m 7→ F（ω，ω，m，t）是σ（P（t），B（t））-连续的，均匀地在t中。也就是说，对于每个m∈ P（T），mapm 7→ 支持∈TF（ω，ω，m，t）- F（ω，ω，m，t）σ（P（T），B（T））-在m.（A.3）处连续，它认为e“supm”∈P（T）支持∈TF（W、W、m、t）#< ∞. （3.3）假设（A.2）可能难以验证。相反，它涵盖了两大类例子。

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2022-5-25 09:27:58

首先，因为σ（P（T），B（T））比弱收敛的拓扑更精确，用弱连续性（即弱收敛拓扑的连续性）代替σ（P（T），B（T））-连续性就足够了。此外，因为[0，∞] 是紧的，F（ω，ω，m，t）在（m，t）中的联合连续性意味着（A.2）。第二类示例，实际上是激励拓扑σ（P（T），B（T））的一类示例，由F（ω，ω，m，T）=G（ω，ω，m[0，T]，T）形式的函数F组成，其中G：Ohmcom×Ohmind×[0，1]×T→ R是可测量的。如果G=G（ω，ω，u，t）在u中是连续的，在t中是一致的，对于每个固定的（ω，ω），则F满足（A.2）。这来自于一个简单的引理，在第5节中得到了证明。引理3.3。每m∈ P（T），mapm 7→ 支持∈T | m[0，T]- m[0，t]|是σ（P（t），B（t））-在m处连续。以下主要结果说明了如何使用平均场平衡来构建n人博弈的近似平衡。其证明见第5节。定理3.4。假设假设A成立。假设τ*是平均场平衡，设u如（3.2）所示。对于每个k定义一个Fk停止时间Ohm 由τk（ω，ω，…，ωn）=τ*（ω，ωk）。那么就有了n≥ 0带n→ 0使得~τn=（τ，…，τn）是每个n的一个n-Nash均衡，并且更多→∞EhF（W，Wk，un（~τn），τk）i=EF（W，W，u，τ*), 对于每个k.3.3。战略互补性和多边金融机构的存在。strongMFE的存在性结果是可用的，即使对于不连续的ou s F，只要一个合适的互补性质成立，如引言中所述。本节大量借鉴了具有战略互补性的美国文献[30，37]中的观点，其中有大量基于单调性而非连续性的存在性证明。

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2022-5-25 09:28:01

下面，让我们假设一个P（T）值的随机变量uonOhmcom×Ohm如果u[0，t]是Fcomt可永远测量的，则使用Fcom自适应随机度量∈ T、假设B.（B.1）F是右续s。该σ场与P（T）上弱收敛拓扑生成的Borelσ场一致。每对Fcom自适应随机测度u，~u满足u[0，t]的银行运行9（B.2）的时间和模型的平均场博弈≥ u[0，t]表示所有t∈ T a.s.，工艺（Mt）T∈由MT定义的Tde=F（W，W，|u，t）- F（W，W，u，t）是一个子鞅。（B.3）每m∈ P（T），T 7→ 几乎可以肯定，F（W，W，m，t）是上半连续的。（B.4）条件（A.1）和（A.3）保持不变。如果u≤ 随机顺序意义下的|u（即，如果|u[0，t]≤ u[0，t]a.s.每t∈ [0，T]），如果τ≤ τ是停止时间，取mtinasumption（B.2）yieldsE[F（W，W，￠u，￠τ）]的子马尔丁格尔性质的期望值- E[F（W，W，|u，τ）]≥ E[F（W，W，u，％τ）]- E[F（W，W，u，τ）]，（3.4）性质，通常称为增加差异。因此，假设（B.2）要求，对于“较大”u，函数F随t的增加比较小u的增加更多。这些假设在博弈中引入了战略互补性，并将时间模型的博弈重新定义为一个超模博弈。在银行运行模型的背景下，它们是很自然的，在这种模型中，度量u可以捕捉到人们如何提前跑到银行。如果u≥ uinstochastic order，那么在u之下，更多的人更早地跑到了银行。在u下，rewardan代理通过等待τ到τ>τ而获得的收益不应超过u下的相同奖励。

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2022-5-25 09:28:06

换句话说，如果人们倾向于提前去银行，那么等待投资者的“等待成本”应该会更大。虽然假设B是存在所需的全部条件，但以下更强的假设将有助于更好地理解平衡结构。当P（t）具有弱收敛拓扑时，假设C.（C.1）F（W，W，m，t）在（m，t）中几乎肯定是联合连续的。（C.2）条件（A.3）成立。定理3.5。如果假设B成立，则存在强MFE。如果两种假设C带都成立，则存在强MFEτ*和θ*对于任何强MFEτ，我们有θ*≤ τ≤ τ*a、假设B的一些例子如下。首先，假设每t≤ t′，every（ω，ω），和every m，m′∈ P（T）满足m≤ 随机顺序中的m′（表示m[0，s]≥m′[0，s]对于每个s），我们有f（ω，ω，m′，t′）- F（ω，ω，m′，t）≥ F（ω，ω，m，t′）- F（ω，ω，m，t）。然后假设B的次鞅部分成立，因为过程M是非减量的。下面的命题和备注说明了如何验证假设B f或基于差异过程的一大类示例。提案3.6。假设T=[0，T]，并假设Ohmcom×OhmIND支持连续性差异X=（Xt）t∈[0，T]在所有光滑函数Д上定义了小型生成器，f（x）=b（x）·f（x）+Tr[a（x）f（x）]，其中b和a是可测函数，其值分别为Rd和正半确定×d矩阵集。假设F的形式为F（ω，ω，m，t）=F（Xt（ω，ω），ν*m（t），t），10 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lacker，其中f有界，且* m（t）=Z[0，t]Д（t- s） m（ds）。此外，假设f:Rd×R×[-T、 T] （x、y、t）7→ f（x，y，t）∈ R在x上有两个有界连续导数，在y和t上都有一个有界连续导数，并且ν：[0，t]→ R是连续的。

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2022-5-25 09:28:10

假设以下一种情况：（i）Д是非减量且凸的，yf公司≥ 0，以及Lxf+tf和yf是每个固定值（x，t）的非减量iny，其中lx表示L对x变量的作用。（ii）Д为非递增和凸面，yf公司≤ 0，以及Lxf+tf和yf是每个固定值（x，t）的非递增iny。最后假设Eztsupy∈R | a（Xt）xf（Xt，y，t）| dt<∞. （3.5）然后假设（B.2-3）和（C.1）成立。证据唯一重要的主张是，次鞅属性（B.2）成立。为了验证这一点，fix两个Fcom适应的随机测量值u和满足u[0，t]≥ |u[0，t]a.s.对于每t.ByIt^o公式，df（Xt，ν* u（t），t）=Lxf（Xt，Д* u（t），t）+tf（Xt，Д* u（t），t）+yf（Xt，Д* u（t），t）Д′* u（t）dt+xf（Xt，Д* u（t），t）·a（Xt）dBt，其中B=（Bt）t∈[0，T]是标准布朗运动（根据概率空间的扩展定义）。假设（3.5）imp假设dBtterm是鞅。显示f（Bt，ν* u（t），t）- f（Bt，Д* eu（t），t）是一个子鞅，需要检查其dt项是否始终为非负。如果u≤ eu如假设B中所示，然后是df的dt项（Bt，ν* u（t），t）-df（Bt，Д* eu（t），t）精确地表示为xf（Bt，ν）* eu（t），t）- Lxf（Bt，Д* u（t），t）+tf（Bt，Д* eu（t），t）- tf（Bt，Д* u（t），t）+yf（Bt，^1* eu（t），t）Д′* eu（t）- yf（Bt，^1* u（t），t）Д′* u（t）。现在请注意，如果m≤ 随机顺序下的m nRG dm≤Rg dm，对于每个非减量函数g，尤其是如果Д是非减量（分别为非递增）且凸的，则* ~m≥^1* m（分别为。≤) 和Д′* ~m≥ ^1′英寸* m点方向。考虑到这一点，必须检查任一组假设是否确保上述数量为非负。

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2022-5-25 09:28:13

假设（3.5）不是很严格；只要xf和a是有界的，或者更一般地，在线性增长假设和初始状态X的适当可积性下。条件（i-ii）更具限制性，下面的简单结果更广泛地说明了假设（B.2）在处理非常自然的平均场相互作用形式方面的局限性。特别是，命题3.7表明，我们的银行挤兑模型不能满足假设（B.2），因为F（ω，ω，m，t）依赖于m[0，t]。提案3.7。假设T是连续的，假设F（ω，ω，m，T）=G（m[0，T]），对于某些连续的G:[0，1]→ 我们假设R在（0，1）上是可微的。如果F满足假设（B.2），则G为常数。银行挤兑时间和模型的平均场博弈11Proof。对于m，em∈ P（[0，T]），带m≤ em，假设（B.2）意味着确定性过程G（em[0，t]）- G（m[0，t]）是一个子鞅，这意味着它是非减量的。换句话说，对于0≤ s≤ T≤ T，G（em[0，T]）- G（em[0，s]）≥ G（m[0，t]）- G（m[0，s]）。除以t- 取极限，我们发现′（F（t））F（t）≥ G′（F（t））F（t），假设F（t）=m[0，t]和F（t）=em[0，t]有导数和F。关键是随机优势对密度的变化不敏感。给定u∈ （0，1），存在m≤ emand t公司∈ [0，T]使得F（T）=u，而F（T）=0，F（T）=1，这意味着G′（u）≥ 另一方面，如果∈ （0，1），存在m≤ em和t∈ [0，T]使得F（T）=u，而F（T）=1，F（T）=0，这意味着G′（u）≤ 0.因此G′≡ 0打开（0，1）。3.4。一个例子。Nutz[32]的最新模型，或至少其许多特化，可以证明满足我们的假设A。

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2022-5-25 09:28:17

[32]中平衡点的显式计算可以与定理3.4结合使用，以构造n-player近似平衡。我们仅描述了该模型的一个简单案例，见【32，第5.1节】。设T=[0，∞], 假设Ohmcom=Ohmind=D↑是非减量右连续实值函数的空间[0，∞). 注意，对于任何f∈ D↑极限f(∞) = 限制→∞f（t）存在于R中∪ {∞}. 给出了Constantsc>0和r>0，目标函数isF（ω，ω，m，t）=expZt公司R- ω（s）- ω（s）- 厘米【0，秒】ds公司.过程γt（ω，ω）=ω（t）- ω（t）- cm[0，t]可以解释为代理人对银行破产率的感知。这种感知的利率随时间变化，取决于一个公因子ω和一个独立的f因子ω，以及已经跑到银行的代理的比例。事实上，这不是[32]中给出的目标函数的原始形式，而是在引理2.1中推导出来的（更精确地说，方程（2.3））。在这个例子中，检查假设（A.1）是否成立很简单，我们可以使用引理3.3来检查假设（A.2）是否成立。假设（A.3）成立，只要asE经验值支持≥0ZtR- W（s）- W（s）ds公司< ∞.另一方面，在大多数情况下，这类模型的假设（B.2）似乎不成立。然而，[32]中的论点导致了当代理可以访问所有信息时，MFE的显式计算，即wh en Wand W+Ware都适用于Fsig。定理3.4可以用来构造显式的n-参和者近似平衡。4、超越互补性：弱平衡本节阐述了如何在目标函数适度连续性假设下，通过导出存在性结果和极限定理，超越互补性的限制性假设。我们的时间集现在是一个有限的间隔T=[0，T]，T>0。

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2022-5-25 09:28:23

设C=C（[0，T]）表示[0，T]上的连续实值函数空间，赋予其上范数。对于波兰空间E，我们总是为Borel概率测度空间E写P（E），赋予它弱收敛的拓扑结构。对于本节的其余部分，我们指定Ohmcom=Ohmind=C，12 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lacker为了简单起见，公共噪声和独立噪声现在都将是一维标准布朗运动。这可以在不同的方向上推广，最明显的是通过使这些布朗运动多维化，这不会改变分析。让我们在C上为维纳测度写W，并通过设置PCOM=Pind=W来专门设置第3节。写B=（Bt）t∈[0，T]和W=（Wt）T∈对于C上的正则过程，设FB=（FBt）T∈[0，T]和FW=（FWt）T∈[0，T]表示其天然（原始）过滤。目标函数现在是一个函数F:C×P（[0，T]）×[0，T]→ R、请注意，第2节的银行挤兑模型的完整信息版本适用于此专门设置；参见示例3.1。n人博弈的均衡概念如第3.1节所示，但现在有了完整的信息：给定独立的维纳过程B和（Wi）ni=1，代理i选择一个随机时间τi，该时间必须是相对于完全过滤FB，W，…，的停止时间，。。。，Wngeneratedby（B，W，…，Wn），但我们不会详细说明。回想一下≥ 0我们说，如果τ是FB，W，…，则~τ=（τ，…，τn）是一个-纳什均衡，。。。，Wn停止时间（数值在[0，T]中）和ifEFB、 Wi，un（~τ），τi≥ EFB、 Wi，un~τ-i、 σ, σ- ，对于每个备选方案FB，W，。。。，Wn停止时间σ，f或每个i=1，N

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2022-5-25 09:28:27

不幸的是，我们的证明技术似乎仅限于这种完全信息的情况；这篇论文的早期版本包含了以下结果的部分信息，但其中有一个漏洞。我们感兴趣的是描述纳什均衡的极限行为，如n→ ∞, 除了定理4.5的逆构造之外。为此，我们引入了强平衡和弱平衡的概念，类似于随机微分方程的强解和弱解。强平衡与定义3.2完全相同，但包含完整信息：定义4.1。强平均极限平衡（MFE）是FB，W-停止时间τ*定义onC，配备维纳测度W，满足[F（B，W，u，τ*)] ≥ E[F（B，W，u，τ）]，对于每个FB，W-停止时间τ，其中u=W[τ*∈ ·|B] 是τ的条件定律*鉴于B.弱MFE的定义需要谨慎。由于我们将大量处理弱限制，我们必须根据弱收敛的以下基本事实准备f或一些可测性损失：如果（Z，Yn）是弱收敛到（Z，Y）的随机变量，并且如果YnisZ可对每个n测量，那么绝对没有理由期望Y在极限内是Z可测的，尽管Z不依赖于n。因此，我们定义了弱MFE的概念，其中u不需要是B-可测量的，τ可以是随机停止时间，在某种意义上精确如下。与随机微分方程弱解的定义类似，我们将弱解的定义基于（B，W，u，τ）的联合分布性质。事实上，出于稍后将变得清楚的原因，通过不仅考虑τ的条件定律，而且考虑（W，τ）的联合条件定律，可以方便地包含更多信息。

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2022-5-25 09:28:31

因此，我们研究正则空间Ohm := C×P（C×[0，T]）×[0，T]，（4.1）和let（B，W，u，τ）表示自然投影（B，W）给出的正则过程：Ohm →C、 u：Ohm → P（C×[0，T]），τ：Ohm → [0，T]。因为我们将在这个空间上处理许多规范过滤，所以我们将引入以下符号，我们将在续集13中系统地使用计时和银行挤兑模型的人场游戏。连续过程B和W各自产生过滤FB=（FB）t∈[0，T]和fw分别以自然方式定义。随机时间τ生成原始滤波fτt=σ{τ∧ t} 。由多个过程生成的过滤用FB表示，例如，W：=FB∨ FW或FB，Wt=σ（FBt∪ FWt）。我们使用相同的符号FW，τ不仅用于过滤FW∨ Fτ定义于Ohm, 但对于在C×[0，T]上生成的过滤，这应该不会引起任何混淆。通过该识别，过滤Fu=（Fut）t∈[0，T]打开Ohm （或在P（C×[0，T]）上定义为fuT=σ{u（C）：C∈ FW，τt}。等效地，如果π在C×[0，T]上定义为πT（w，s）=（w·∧t、 s∧ t），则Fut=σ{uo π-1t}。我们还可以为u的两个边缘写入uW=u（·×[0，T]），uτ=u（C×·），这两个边缘分别取P（C）和P（[0，T]）中的值。给定过滤F=（Ft）t∈[0，T]，我们写F+表示正确的连续过滤（Ft+）T∈[0，T]，其中asusual Ft+：=∩s> tFsfor t∈ [0，T）和FT+=FT。请注意，右过滤Fτ+是最小的过滤，τ是一个停止时间，因此，右连续过滤在以下定义中的出现非常自然：定义4.2。

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2022-5-25 09:28:34

弱平均场平衡（MFE）是一种概率测度POhm 因此：（1）（B，W）是关于过滤FB，W，u，τ+的维纳过程。（2）（B，u）与W无关。（3） τ与（B，W，u）兼容，因为对于每个t∈ [0，T]。（4）最优性条件为：EP[F（B，W，uτ，τ）]=supP′EP′[F（B，W，uτ，τ）]，其中上确界覆盖所有P′∈ P(Ohm) 满足（1-3）和P′o （B、W、u）-1=Po （B、W、u）-1.（5）弱不动点条件成立：u=P（（W，τ）∈ · | B、 u）。以下结果是对上述定义的首次论证，陈述后，我们将进一步阐述弱MFE的直观含义。回想一下W d enotes Wienermeasure，并在C.命题4.3中为p乘积度量写W=W×W。假设F有界且可联合测量，且t 7→ F（b，w，m，t）是连续的，对于每个m和w-几乎每个（b，w）。假设τ*是强MFE，定义u=W（τ*∈ ·|B）。然后测量值=Wo （B，W，u，τ*)-1（4.2）为弱MFE。命题4.3的证明见第6节。由于一些术语的滥用，我们可以将（4.2）中定义的度量值P本身称为强MFE。我们还可以确定MFE的一些中间产品。τ可能是在P下可测量的a.s.（B，W，u），在这种情况下，wesay P是一个具有强停止时间的弱MFE。相反，我们可以引用弱MFETo来表示τ是a.s.（B，W，u）-在P下可测量意味着τ相对于σ（B，W，u）的P完成是可测量的。等价地，存在一个可测映射eτ：C×P（C×[0，T]）→ [0，T]这样p（τ=eτ（B，W，u））=1.14 REN’e CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL LACKERmore详细描述为具有弱停止时间的弱MFE，以强调τ无法（B，W，u）测量。

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2022-5-25 09:28:38

同样，如果u是P-a.s.B可测量的，我们说弱MFE P是具有弱停止时间的强MFE。具有强停止时间的强MFE自然需要这两个可测性条件，并且根据命题4.3，这将简化为我们已经称之为强MFE的情况。定义4.2的“兼容性”条件（3）有些不寻常。如上所述，我们不能期望τ在取弱极限后是（B，W，u）可测量的，但条件（3）捕获了我们确实保留的重要结构，正如（1）中的要求一样，（B，W）保留了维纳过程相对于较大过滤的要求。在[28，12]中的随机差异平均场游戏中也发现了类似的兼容性条件（另见[11]），事实上，兼容性的概念都属于同一个范畴，我们在第6节中有所澄清。直观地说，只要在每个时间t，这种随机化有条件地独立于给定信号历史的所有未来信息，就允许代表性代理将其停止时间从外部随机化到信号（B，W，u）。从数学上讲，相容性增加的原因如下（此处非正式说明，并在定理6.4中精确说明）：如果τ满足（3），则存在一系列FB，W，u-停止时间τk，即（B，W，u，τk）=> （B，W，u，τ），其中=> 表示法律上的趋同。在这种情况下，相容的停车时间集是有效停车时间集的闭合。连续目标函数。我们几乎准备好陈述本节的主要结果，但首先我们需要一些假设：假设D。

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大多数88

2022-5-25 09:28:42

函数F有界且可联合测量，且P（[0，T]）×[0，T]（m，t）7→ F（b，w，m，t）对于w是连续的-几乎每个（b，w）∈ C、当P（[0，T]）具有弱收敛拓扑时。boun dedness假设只是为了方便起见，这很容易被放松，代价是一些谨慎的增长或可积性假设。连续性假设对于我们的弱收敛方法很重要，但不幸的是，它可能会受到限制。例如，我们在介绍中的银行挤兑模型涉及不连续函数P（[0，T]）×[0，T] （m，t）7→m【0，t】。尽管如此，银行挤兑模型的近似值可以通过用φ代替m[0，t]来解释* m（t）=R[0，t]φ（t- s） m（ds），其中φ：[-T、 T]→ R是连续的，在某种意义上“接近”阶跃函数1【0，T】。第一个结果是一个极限定理，表明n-p层平衡收敛于弱MFE。回顾第3.1节中的n人游戏的符号。对于每个n和每个t，田纳西州∈ [0，T]我们定义了随机联合经验测度（C×[0，T]）bun（T，…，tn）=nnXi=1δ（Wi，ti）。（4.3）定理4.4。假设假设D成立。Letn≥ 0带n→ 0，并假设~τn=（τn，…，τnn）是每个n人博弈的n-Nash均衡。定义n=nnXi=1PoB、 Wi，Bun（~τn），τni-1、然后（Pn）∞n=1是紧的，每个弱极限都是弱MFE。如果用正确的方法解释，定理4.4中出现的测度pn是一个很自然的研究对象。我们可以写Pn=Po （B，WU，Bun（~τn），τnU）-1，其中U是从{1，…，n}均匀抽取的随机变量，独立于（B，Wi）∞i=1。可以将其视为随机选择的代表性代理。

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2022-5-25 09:28:45

由于τnimay在任何有用的意义上都不具有对称性，因此，通过使用，比如P，就无法得到关于银行挤兑时间和模型的farMEAN FIELD博弈15o（B，W，Bun（~τn），τn）-1，对应于任意选择agent1作为代表。与定理4.4相反的是，同样的想法出现在下面，它类似于弱平衡情况下的定理3.4。定理4.5。假设假设D成立。设P为弱MFE。那么就有了n→ 0和n-Nash平衡~τn=（τn，…，τnn），使得p=limn→∞nnXi=1PoB、 Wi，Bun（~τn），τni-1、事实上，如果τ*= τ*（B，W）是定义4.1意义上的强MFE，那么我们可以采用τni=τ的形式*（B，Wi）。最后，我们给出了弱MFE的一个存在性结果。结合定理4.5，证明了n人对策存在近似的n人均衡。定理4.6。在假设D下，存在弱MFE。现阶段有一些评论。结合这两个极限定理告诉我们，弱MFE集正是n-player近似平衡的极限集。如果我们能找到一个强MFEτ*, 逆极限定理4.5展示了如何从中构造出一个近似的n-player均衡，其形式是一种令人愉悦的对称分布形式，如定理3所示。结果和参数的一般结构类似于[28，12]。一般设置中的证明本节证明了第3节的结果。在本节中，我们致力于空间(Ohm, F、 F，P）在第3.1节中定义。使用一些ab符号，任何函数φOhmcom×OhmINDI自动扩展到所有Ohm 通过设置φ（ω，ω，…）：φ（ω，ω）。定理3.4的证明。缩写~τn，-k： =（~τn）-k、和definen=supeτeF（W，W，un（~τn，-1，eτ），eτ）- EF（W，W，un（~τn），τ）,其中，su premum超过F停止时间。显然是≥ 根据对称性，索引1可以替换为任何k∈ {1，…，n}。

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2022-5-25 09:28:49

因此，对于每个n，τ是一个n-Nash均衡。我们只能证明n→ 0.首先，我们显示Limn→∞E支持∈TF（W，W，un（~τn），t）- F（W，W，u，t）= 0。（5.1）注意σ（P（T），B（T））的基本开集为=M∈ P（T）：ZTИid（m- m）< ，i=1，K,对于k≥ 1，>0，和dД，^1k∈ B（T）。因为（τk=τ*（W，Wk））∞k=1是条件i.i.d.给定的W，它们的共同条件定律是u=u（W），即大数定律un（~τn）/∈ U | W=ω→ 0，（5.2）16 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A and DANIEL LACKERfor几乎任何时候的yω，对于每个基本σ（P（T），B（T））-u（ω）的开放邻域U。由于连续性假设（A.2），对于每个δ>0和几乎每个（ω，ω），我们可以找到一个基本的σ（P（T），B（T））-开邻域Uu（ω），使得∈ U表示支持∈TF（ω，ω，ν，t）- F（ω，ω，u（ω），t）< δ。因此，对于a.e.ω，P支持∈TF（W，W，un（~τn），t）- F（W，W，u（W），t）≥ δW=ω→ 由于假设（A.3），限制（5.1）来自支配收敛。接下来，我们认为Limn→∞supeτEF（W，W，un（~τn，-1，eτ），eτ）= supeτEF（W，W，u，eτ）. （5.3）事实上，使用easy estimatesupt∈Tkun（~τn，-1，t）- un（~τn）kT V≤ 2/n，以及（5.2），我们推断，对于几乎每个ω，对于u（ω）的每个基本σ（P（T），B（T））-op-ennightborhood U，我们有limn→∞Pun（~τn，-1，t）/∈ U、 f或一些t∈ TW=ω= 0.重复导致（5.1）的参数以获取支持∈TF（W，W，un（~τn，-1，t），t）- F（W，W，u，t）→ 最后，我们从（5.1）、（5.3）和τ的最优性得出结论*thatlimn公司→∞n=supeτEF（W，W，u，eτ）- EF（W，W，u，τ*)= 0引理3.3的证明。修正>0。找到一个有限集0=t<t<···<tN=sup t，使m（tk，tk+1）≤ 对于每k=0，N- 考虑σ（P（T），B（T））-开放邻域Uof mgiven byU={m∈ P（T）：| m（tk，tk+1）- m（tk，tk+1）|∨ |m【0，tk】- m【0，tk】|<，k=0。

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