此外，Vc的最优性方程（5.1）可以写成定点方程V=TV。Davis和Farid【23】观察到，这可以用来获得PDMP控制问题中值函数的粘度解决方案特征，现在我们解释如何在我们的框架中应用这一想法。ψ：eY的定义→ R+函数Fψ：eY×R+×RK+2→ R byFψ（ey，v，p）=- sup公司- （ρ+λ（ey，ν））v+g（ey，ν）p+`ψ（ey，ν）：ν∈ [0，νmax].与控制问题（5.3）相关的动态规划方程isFψey，vψ（ey），vψ（ey）= ey为0∈ inteY，vψ（ey）=h（ey）表示ey∈ eY。（5.4）此外，由于V=TV，我们期望V在适当的意义上解决方程Fvey，V（ey），V（ey）= 0，用于ey∈ inteY，V（ey）=h（ey）表示ey∈ eY。（5.5）备注5.1。请注意，方程式（5.4）和（5.5）的不同之处在于，（5.4）中的函数fψ随ψ固定而进入，而（5.5）中的函数FV起作用。这反映了一个事实，即与方程（5.4）相关的控制问题（5.3）具有外源给定的运行成本，而在导致方程（5.5）的优化问题（5.1）中，函数与固定点方程的解有关，因此运行成本是内生的。方程（5.4）和（5.5）有两个问题：vψ和Vare通常不是C函数，以及这些函数在非活动部分的值边界的eY由下式确定。因此，在Barles[6]之后，我们研究了粘度解的以下概念。定义5.2。1.

如果对于所有φ，有界上半连续（u.s.c.）函数v oneY是（5.4）的粘性子解∈ C（eY）和所有局部极大值eY∈v的eY- φ1 hasFψey，v（ey），φ（ey）≤ ey为0∈ inteY，最小值Fψey，v（ey），φ（ey）, v（ey）- h（ey）≤ ey为0∈ eY。（5.6）有界下半连续（l.s.c.）函数u oneY是（5.4）的粘度上解，如果对于所有φ∈ C（eY）和所有局部极小值eY∈u的eY- φ1 hasFψey，u（ey），φ（ey）≥ ey为0∈ inteY，max公司Fψey，u（ey），φ（ey）, u（ey）- h（ey）≥ ey为0∈ eY。（5.7）（5.4）的粘度解vψ要么是一个连续函数，它既是（5.4）的子解也是上解，要么是一个有界函数，其u.s.c.和l.s.c.包络是asub，上解是（5.4）。如果F=Fv的关系式（5.6）成立，则有界u.s.c.函数v oneY是（5.5）的粘度子解。类似地，如果（5.7）对F=Fu成立，则有界l.s.c.函数u oneY是（5.4）的粘度上解。最后，Vis是（5.5）的粘度解，如果它既是asub又是该方程的上解。请注意，定义5.2允许某些边界点Sey的vψ（ey）6=h（ey）的情况∈ eY。特别是，如果Fψey，vψ（ey），vψ（ey）= 粘度意义上的0，（5.6）和（5.7）与h（ey）的值无关。定理5.3。假设假设假设2.1和4.7成立。然后给出了（5.5）ineY连续粘度解的值函数。此外，比较原则适用于（5.5）：如果v≥ 0是子分辨率，u≥ 0一个（5.5）的上解，使得v（ey）/w和u（ey）/w是有界的，并且使得v=u=h在活动边界ΓofeY上，那么v≤ u在inteY上。因此，Vis是（5.5）的唯一连续粘度溶液。证据首先，根据定理4.10，Vis连续。

此外，Barles【6，定理5.2】暗示粘度解为（5.4），ψ=Vand，因此为方程（5.5）。接下来我们证明了比较原理。为了建立不等式v≤ u我们在（5.4）的比较结果上使用基于Tand单调性的归纳论点。Letu：=u，定义u=T u。根据Barles【6，定理5.2】，u是（5.4）的粘度解，ψ=u。此外，u（ey）/w是有界的，因此u=h在Γ上。既然是（5.5）的上解，它也是（5.4）的上解，ψ=u。Barles[6，定理5.7]给出了不等式u≤ uon inteY，因为函数u+和u-该理论的定义与我们的案例一致。现在确定感应un=Tun-1，假设un≤ 联合国-然后，利用T的单调性，我们得到了+1=Tun≤ Tun公司-1=联合国。这证明un+1≤ unfor每n个∈ N、 此外，如第4.3节所述，序列{un}N∈nConverge为V，因此un≥ 对于所有n，我们可以用同样的方法构造一个函数序列{vn}，其中v=v，使得vn↑ 五、 我们得出结论V≤ 五、≤ u、 其余的陈述很清楚。备注5.4。请注意，Davis和Farid[23]中的结果并不直接适用于我们的情况，因为我们的模型不满足他们关于横向边界向量场g行为的假设。此外，Davis和Farid[23]没有给出（5.5）的比较原则。最后，我们显式地编写了动态规划方程（5.5）。

为此，我们使用λ（ey，ν）=PKk=1πkηP（t，ek，ν，R），定义g，定义lVin（5.2），得到0=五、t（t，w，π）+supH（ν，t，w，π，V，五） ：ν∈ [0，νmax], （5.8）H（ν，t，w，π，V，五） =-ρV+ν（1- f（ν））- ν五、w（t，w，π）+KXk，j=1五、πk（t，w，π）πjqjk公司- πkZRuk（t，ν，π，z）ηP（t，ej，ν，dz）+KXj=1πjZRV（t，w，π，z）ηP（t，ej，ν，dz），（5.9）和V（t，w，π，z）：=（1+z）Vt、 w，（πi（1+ui（t，ν，π，z）））i=1，。。。，K- V（t，w，π）。该方程与与受控马尔可夫过程（W，π）相关的标准HJB方程一致。使用粘度解理论的优点是，即使Vis仅仅是连续的，我们也能给出这个方程的数学意义。这与我们的情况有关。实际上，在下一节中，我们将给出一个简单的示例，其中Vis不是C.5.2的反例。我们现在给出一个设置中的示例，其中值函数是动态规划方程的粘度解，而不是经典解。准确地说，我们在示例2.2的上下文中使用线性永久价格影响和确定性补偿器ηP。为简单起见，我们让ρ=0，s=1，h（w）≡ 0，f（ν）≡ 0（期末结算价值为零，无临时价格影响）。在这种情况下，需要施加清算率的外生上限νmaxon，以确保控制集是紧凑的，并且存在粘度溶液（见备注5.5）。此外，我们假设cup<cdown。因此，函数ηPfrom（2.6）由ηP（ν）：=θ（cup- cdown（1+aν））和ηP（ν）<0表示ν>0。因此，对于任何可容许的ν，Sν都是一个超鞅，我们推测，为了减少因投标价格下降而造成的损失，最好尽快出售。用τ（w）表示：=w/νmax清算库存w所需的最短时间。因此，最优策略由ν给出*t=νmax[0，τ（w）∧T]（T）。

此外，对于t<τ（w）∧ T有ηP（νT）=ηP（νmax）和E（S*t） =经验值tηP（νmax）. 因此我们得到了j（ν*) =Zτ（w）∧TνmaxexpuηP（νmax）杜。通过求解该积分，我们得到以下候选值函数v（t，w）：=νmaxηP（νmax）nexpηP（νmax）（τ（w）∧ （T- t） （）- 1o，（t，w）∈ [0，T]×[0，νmax]。（5.10）为了验证Vis实际上是值函数，我们显示Vis是HJB方程5.8的粘度解。在当前设置中，此公式变为-五、T- supnν- ν五、w+ηP（ν）V：ν∈ [0，νmax]o=0。（5.11）首先注意，V符合正确的终端和边界条件。定义集合：={（t，w）∈ [0，T]×[0，w]：τ（w）=（T- t） }。函数Vis-Con[0，T]×[0，w]\\G，它是这个集合上的（5.11）的经典解。然而，Vis在G上是不可微的，因此并非处处都是经典解。固定某个点（t，w）∈ G、 为了表明粘度为（5.8）的Vis溶液，我们需要验证这一点的亚溶解性。（对于上解性质，没有什么可显示的，因为没有C-函数φ使得V- φ具有局部最小值in（t，w）。）考虑φ∈ C如此V- φ在（t，w）中有一个局部最大值。通过考虑函数t 7的左导数和右导数→ （五）- φ） （t，w）分别为w 7→ （五）- φ） （t，w）我们得到了φ的偏导数的下列不等式-νmaxeηP（νmax）（T-t）≤φt（t，w）≤ 0和0≤φw（t，w）≤ 经验值ηP（νmax）τ（w）.此外，它在G上保持V（t，w）=νmaxηP（νmax）经验值ηP（νmax）（T-t）-1.. w=νmax（T-t） 在G上，相对于t的微分给出φT- νmaxφW（t，w）=-νmaxexpηP（νmax）（T- t）. （5.12）应用不等式φ我们得到了这个supnν- νφw+ηP（ν）V：ν∈ [0，νmax]o=νmax-φw+eηP（νmax）（T-t）.使用（5.12）得出-φT- sup公司ν- νφw+ηP（ν）V：ν∈ [0，νmax]= 0，因此为Subsolution属性。备注5.5。

很容易看出，对于νmax→ ∞ 值函数Vfrom（5.10）收敛到v0，∞（t，w）：=-θcdowna经验值(-wθacdown）- 1.V0，∞是方程（5.11）的严格（经典）超解，自ν- ν五、w+ηP（ν）V=1.- E-wθacdown杯子- cdownacdown公司< 所以我们得到了V0，∞大于或等于νmax=∞, 因为它是具有有界最大销售率的价值函数的极限，所以它也小于或等于。这可以得出V0，∞是νmax=∞.6个例子和数值结果在本节中，我们研究了模型中的最优清算率和预期清算利润。具体而言，我们在示例2.3的框架内工作，即ηPdepends在清算策略以及两状态马尔可夫链上的示例。我们关注两个不同的研究问题：i.）模型参数对最优清算率形式的影响；ii.）额外的清算利润来自随机过滤的使用以及与经典方法的比较。此外，我们还报告了一项小型校准研究的结果。数值方法。由于示例2.3设置中（5.9）中的方程无法解析求解，因此我们采用数值方法。我们采用显式有限差分格式来求解HJB方程并计算相应的清算策略。首先，我们通过时间反演将HJB方程转化为初值问题。给定时间离散化0=t<····<tk<···<tm=t，我们设置Vt=h，给定Vtk，我们近似清算策略如下：*tk（w，π）：=argmaxν∈[0，νmax]H（ν，tk，w，π，Vtk，discVtk），（6.1）其中讨论梯度算子，用适当的有限差分替换导数。

在续集中，我们提到ν*tkfrom（6.1）作为候选最优清算率。这样我们就可以获得值函数的下一次迭代，Vtk+1=Vtk+（tk+1- tk）H（ν*tk，tk，w，π，Vtk，discVtk）。（6.2）由于比较原理成立，如定理5.3所示，且值函数是我们的HJB方程的唯一粘度解，因此我们通过Barles和Souganidis【7】、Dang和Forsyth【21】中类似的参数，将建议的程序收敛到值函数；详情见附录C。使用候选最优策略的动机如下：通过有限差分近似（6.2）获得的值函数可被视为近似控制问题中的值函数，其中状态过程遵循离散时间马尔可夫链，候选最优策略（6.1）是近似问题中的最优策略，参见Fleming和Soner的第九章【24】。价值函数的有限差分近似的收敛结果表明，候选最优策略在原始问题中几乎是最优的。然而，对候选最优策略的最优性性质的形式化分析超出了本文的范围。6.1候选最优清算率。我们首先计算候选最优清算率ν*tk对于示例2.3，假设临时价格影响的形式为f（ν）=cfν，对于>0。因为所有t的πt+πt=1∈ [0，T]，我们可以从状态变量集中消除过程π。在后半部分中，我们用πt表示处于良好状态的条件概率，用V（t，w，π）表示在点（t，w，（π，1）处计算的值函数- π） ）。计算ν*tkwe替换（3.5）中给出的函数ui和过程的动力学（πt）0≤T≤t从（3.6）转化为一般的HJB方程（5.8）。

用πpostt=πtcdownπtcdown+（1）表示- πt）cdown，0≤ T≤ T、 状态的更新（后验）概率egiven表示T处发生向下跳跃。此外，通过δVδwand和δVδπ表示（6.1）中出现的离散化偏导数。替换为（5.9）导致ν*tk=argmaxν∈[0，νmax]ν（1- cfν）- νC（tk，w，π）, 式中（6.3）C（tk，w，π）=δVδw（tk，w，π）+δVδπ（tk，w，π）π（1- π） a（cdown- cdown）-（1）- θ） V（tk，w，π柱）- V（tk，w，π）（πcdown+（1- π） cdown）a。（6.4）最大化（6.3）关于ν，我们得到*如果C（tk，w，π）>1，tk=0；对于C（tk，w，π）≤ 1一个有ν*tk=eν*∧ νmax，其中eν*求解方程1- cf（+1）ν=C（tk，w，π）。（6.5）在我们的数值例子中，我们选择了足够大的νmax，以便约束νt≤ νmaxis从不绑定。ν的表征（6.5）*tkis非常直观：1- cf（+1）ν给出了由于ν增加而产生的边际清算收益，而C（tk，w，π）可被视为ν增加的边际成本（见下文）。对于C（tk，w，π）≤ 1，eν*通过将边际效益和边际成本相等得出；对于C（tk，w，π）>1，所有ν的边际收益小于边际成本≥ 0和ν*tk=0。候选最优清算率ν*因此，tkis由边际成本C（tk，w，π）决定，我们现在对（6.4）中的术语进行经济解释。

首先，δVδ是边际机会成本，因为出售库存会减少未来可清算的金额。此外，它认为-（1）- θ） V（tk，w，π柱）- V（tk，w，π）= θV（tk，w，πpost）-V（tk、w、π柱）- V（tk，w，π）.θV（tk，w，πpost）表示由于回报过程中向下跳跃而导致的预期清算价值减少，以及（πcdown+（1- π） a是向下跳跃强度的边际增加，因此θV（tk，w，πpost）（πcdown+（1- π） cdown）a（6.6）衡量因永久价格影响而产生的边际成本；在续集中，我们提到（6.6）流动性成本。最后，请注意πpost- π=π（1-π） （cdown）-cdown）πcdown+（1-π） C下降。因此，（6.4）中的剩余项等于-V（tk、w、π柱）- V（tk，w，π）-δVδπ（tk，w，π）（π柱- π）a（πcdown+（1- π） cdown）。（6.7）模拟表明，Vis在π中是凸的；这很自然，因为它意味着真实状态的不确定性会降低最佳清算价值。因此，（6.7）为负，这导致候选最优清算率（6.5）增加。自π后- π是π的最大值≈ 0.5，如果投资者不确定真实状态，这种影响最为明显。因此（6.7）可以被视为一种不确定性修正，如果交易者对真实状态不确定，那么他可以更快地卖出。数值分析和不同的价格影响参数。为了进一步了解候选最优清算率的结构，我们借助于数值实验。我们使用表1中给出的参数集。此外，我们设置清算值h（w）≡ 0；这相当于对T的任何剩余库存进行严重处罚。

在不丧失一般性的情况下，我们将s设置为1，以便预期清算利润等于V.wTρθcup，cdowncdown，cupaqq6000 2天0.00005 0.001 1000 900 7×10-60.6表1：数值实验中使用的参数值。首先，我们讨论了临时价格影响大小不同的候选最优清算率的形式，即对于不同的cf，将永久价格影响参数a保持在中等值a=7×10不变-图2显示了t=0时，作为w和π函数的中大型临时价格影响的清算率。图为a曲线图：白色区域对应于ν=0，灰色区域对应于中等速度的销售，另请参见图下方的颜色栏。比较这些图表，我们可以看到，对于较高的临时价格影响（高cf），交易者倾向于在状态空间上更均匀地进行交易，以保持由于暂时价格影响较小而产生的成本。候选最优策略由两个区域组成：一个是卖出区域，交易者以某种（变化的）速度卖出；另一个是等待区域，交易者根本不卖出。ν的反应*通过对（6.5）的检查，也从理论上证明了cfcan中tkto的变化。图2:cf=10时清算政策随w（横坐标）和π（纵坐标）变化的等高线图-5（左），cf=5×10-5（右）和t=0，例如2.3。现在我们研究了永久价格影响a对候选最优清算率形式的影响。图2显示，对于中等a，清算率在π中降低，在库存水平中增加。当永久性价格影响变得很大时，情况就会发生变化。图3描述了部分信息下的销售和等待区域，这取决于库存水平w和过滤概率π（a=7×10-5.

对于这个值，thesell区域形成了一个从w和π的低值到w和π的高值的带。特别是，对于大w和小π，存在一个交易者不出售的赌博区域，即使π的小值意味着出价呈下降趋势（请记住π给出了Y处于良好状态的可能性）。图3:cf=10时清算政策随w（横坐标）和π（纵坐标）变化的等高线图-5和a=7×10-5和t=0，例如2.3。ν的观察形式*Tkha如下解释。我们的数值实验表明，对于选定的参数值，Vis几乎在π内呈线性，因此不确定度校正（6.7）可以忽略不计。因此清算率ν*由机会成本δVδw（tk，w，π）和非流动性成本（6.6）的相互作用确定的TKI。我们发现机会成本在π中增加。这是非常直观的：在良好的状态下，投资者预期投标价格会上涨，这使得额外的库存更有价值。此外，我们发现δVδw（tk，w，π）在w中减少，即最优清算问题的规模收益递减。流动性成本具有相反的单调性：它在w中增加（与V（tk，w，πpost）成比例），对于给定的参数，在π中减少。现在，对于机会成本的较小值，所有（w，π）的非流动性成本占主导地位，而C（tk，w，π）在π中增加，在w中减少。通过（6.5），清算率在π中减少，在w中增加，这与图2中观察到的单调性行为一致。如果a较大，则情况更复杂。机会成本在小w中占主导地位，导致清算率在π中下降。当w较大时，非流动性成本占主导地位，C在π内递减，而最优清算率在π内递增。

对于足够大的w，这种影响足以产生图3中观察到的意外赌博区域。其他模型组件的影响。实际上，ηPis的支撑大于{-θ、 θ}因为价格可能会上涨一个以上。因此，测试ν的灵敏度很重要*关于支架的精确形式。为此，我们计算了不同参数集▄θ，▄cupi，▄cdowni，i=1，2，其中▄θ=2θ和▄cupi=0.5cupi，▄cdowni=0.5cdowni，i=1，2的候选最优策略。注意，对于新参数，ηPis的支持度不同，但两个州的投标价格预期回报率相同。我们发现，液化值和候选最优策略与原始情况几乎相同。这表明，我们的方法对于η支持的确切形式非常稳健，并且只使用了一个简单模型，其中只有两个可能的值，用于R.6.2跳跃大小的滤波增益，并与经典方法进行比较。在本节中，我们将使用最佳清算率的预期收益与atrader的预期收益进行比较，后者错误地使用了示例2.2中具有确定性ηPas的模型。我们在确定性模型中使用以下参数：cup=0.5cup+0.5cup，cdown=0.5cdown+0.5cdown，也就是说交易者忽略了制度转换，但在整个过程中使用马尔可夫链的平稳分布，我们将cf设置为5×10-5（高临时价格影响）。计算最终清算率ν*,dettk，我们考虑值函数V0，例如det2.2。V0，t和w的detisa函数，它是HJB方程的唯一粘度解V0，detT- ρV0，det+supν∈[0，νmax]nν（1- cfν）- νV0，detW- ηP（ν）V0，deto=0，（6.8），其中ηP（ν）=θcdowna。

然后ν*,dettkis是（6.8）中的最大值（用有限差分代替偏导数），仅取决于时间和库存水平。在我们的数值实验中，使用过滤的预期收益等于原始w=6000的7.56%。这表明，使用过滤模型的额外复杂性可能是值得的。备注6.1（与Almgren和Chriss【1】的比较）。有趣的是，最优清算率ν*,dettkis与著名的Almgren和Chriss模型的几何版本中的最优速率相同，在续集中称为几何AC模型，参见Gatherel和Schied等[26]及其参考文献。特别是，业绩比较也适用于投资者使用这一经典模型的情况。在几何AC模型中，假设对于布朗运动B，投标价格具有动态Sνt=(R)ηP（νt）Sνtdt+σSνtdBt，（6.9）。根据标准参数，几何AC模型中最优清算问题的值函数Vac的HJB方程为真空吸尘器T- ρVAC+supν∈[0，νmax]nsν（1- cfν）- ν真空吸尘器W- ηP（ν）s真空吸尘器s+σs真空吸尘器so=0。此外，由于VAC在s中是均匀的，VAC（t，s，w）=sV0，AC（t，w）。因此真空吸尘器s=0，V0的HJB方程得出（6.8）。因此，几何AC模型和带确定性补偿器的跳跃模型中的最优清算率是一致的。请注意，跳跃模型和几何AC模型（6.9）之间的等效性仅适用于补偿器具有确定性的情况：由不可观测马尔可夫链驱动漂移的形式（6.9）模型将导致过滤器的扩散方程，从而导致扩散过程的控制问题。6.3模型校准。最后，我们报告了一项小型校准研究的结果。

我们使用EM算法的稳健版本来估计示例2.3中模型规范的投标价格动态参数；有关方法的详细信息，请参见Damian等人【20】。首先，为了测试算法的性能，我们对两个不同参数集的模拟数据进行了研究。在集合1中，我们使用表1中的参数；在集合2中，我们使用cup=cup=cdown=cdown=1000，即我们考虑在真实数据生成过程中没有马尔可夫切换的情况。然而，EM算法允许在这两个状态中使用不同的参数，因此，如果EM方法指出数据中不存在的虚假政权变化和交易机会，那么参数集2就是一个测试。该练习的结果如图4所示，其中我们绘制了Y的隐藏轨迹，以及使用估计模型参数从模拟数据生成的FilterEstimateBy。我们看到，在左图中，过滤器很好地捕捉到了政权的变化，在右图中，估计值始终接近1.5，即估计模型正确地表明数据中没有马尔可夫转换。最后，我们将该算法应用于谷歌股价的出价数据，以1秒的频率采样。EM估计值为bcup=2128，bcup=1751，bcdown=1769，bcdown=1888，这表明了与我们模拟研究中使用的值相同的定性行为。图5给出了后续过滤器的轨迹。需要进行广泛的实证研究来证实和重新确定这些结果，但这超出了本文的范围。感谢几位匿名推荐人提出的有用建议，以及卡米拉·达米安的出色研究协助，作者对此表示感谢。感谢维也纳科学技术基金会（WWTF）通过MA14-031项目提供的支持。

INdAM GNAMPA通过UFMBAZ-2017/0000327和UFMBAZ-2018/000349项目部分支持K.Colaneri的工作。本文的一部分是在K.Colaneri通过A.Pascoli 20，06123 Perugia，Italy与佩鲁贾大学经济系以及英国利兹利兹大学数学学院（LS2 9JT）合作时撰写的。M、 Sz"olgyenyis受AXA研究基金资助，“随机微分时间滤波估计的数值方法0 212时间滤波估计0 212图4：使用EM算法的参数估计作为输入计算的马尔可夫链Y（虚线）和相应滤波器（直线）的轨迹。左图：参数集1的结果（带马尔可夫切换）；右图：图状态e（e）中参数集2（noMarkov切换）的结果由值1（值2）表示，Byt=πt1+（1- πt）2。参数集1的估计参数如下：bcup=993；bcup=875；bcdown=842；bcdown=960。对于参数集2，我们得到bcup=940；bcup=941；bcdown=945；bcdown=957。时间过滤估计0 112图5：根据2012年6月21日谷歌股价计算得出的BY轨迹，采样频率为1秒。（数据来自LOBSTER数据库，请参阅https://lobsterdata.com)不规则系数方程及其在风险理论和数学金融中的应用“.本文的一部分是在M.Szolgyenyi与瑞士应用数学学院和RiskLab（瑞士苏黎世理工学院，R"amistrasse 101，8092Zurich，Switzerland）以及奥地利维也纳经济和商业大学统计与数学研究所（Welthandelsplatz 1，1020 Vienna，Austria）合作时撰写的。设置和筛选：证明和附加结果引理A.1。假设假设2.1成立。修正m>w/T，并考虑一些FS adaptedstrategyν，其值在[0，m]中。

定义：=0∨ sup公司ZR（z+2z）ηP（t，e，ν，dz）：（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，m].然后C<∞, E（（Sνt））≤ 截面，和（RtSνs-dMRs）0≤T≤这是一个真正的鞅。证据为了简化符号，我们为Sνt编写了St。我们从St的界开始。首先注意，C是由假设2.1确定的。在跳转时间tnr时，它保持STn=STn-（1+RTn）和森林- STn公司-= STn公司-RTn+2STn-RTn。因此，St=S+RtRRSs-（z+2z）uR（dz，ds），我们得到E（St）=S+EZtZRSs（z+2z）ηP（s，Ys-νs-, dz）ds≤ S+CZtE不锈钢ds，所以E（（Sνt））≤ SeCtby Gronwall不等式。表明R·Ss-dMRsis是一个真鞅，我们证明了这个过程具有可积的二次变差。自从R·Ss-dMRst=RtRRSs-zuR（dz，ds），我们有Z·Ss-dMRsT= EZtSsZRzηP（s，Ys-, νs-dz）ds≤ SCZteCsds，每t∈ [0，T]，其中▄C=supRRzηP（t，e，ν，dz）：t∈ [0，T]，e∈ E、 ν∈ [0，米]根据假设2.1确定。引理3.1的证明。条件（2.8）和（2.9）暗示▄Z是真鞅，参见Protterand Shimbo【32】。此外，β（t，Yt-, νt-, z） >-1，自dηPt（t，ei，ν；dz）/dηQt（dz）（z） 假设>0。这意味着Ezt>0，因此P和Q是等价的。随机测度的Girsanov定理（见[11，VIII，定理T10]）表明，在P下，uR（dt，dz）具有可预测的补偿器（β（t，Yt-, νt，z）+1）ηQt（dz）dt。根据β的定义，这等于ηP（t，Yt-, νt，dz）dt。此外，eZ和Y是正交的，因为R和Y没有共同的跳跃，所以Y的定律在P和Q下是相同的。定理3.2的证明。我们的推导类似于[5，定理3.24]的证明，该证明处理了观测过程是漂移布朗运动的经典情况。回想一下，对于函数f:E→ R f（Yt）的半鞅分解由f（Yt）=f（Y）+RthQf，Ysids+Mft给出，其中mf是真（f，Q）-鞅。

确定流程= （eZt） 0个≤T≤特比耶兹t： =eZt1+eZt，注意EZt<1/ 每t∈ [0，T]。现在我们开始计算f（Y）。注意[eZ, Y]t=0，每t∈ [0，T]，因为R和Y没有公共跳跃。因此，我们从It^o的产品规则中得到简单tf（Yt）=简单T-hQf、Ytidt+eZT-dMft公司- f（Yt-)简单T-ZRβ（t，Yt-, νt-, z） 1+eZt公司-ηQt（dz）dt+f（Yt-)简单T-ZRβ（t，Yt-, ν、 z）1+eZt公司-（1+β（t，Yt-, νt-, z） ）uR（dt，dz）。（A.1）接下来，我们展示了RteZ公司s-dMfs | FSt= 0.根据条件期望的定义，这等于赫特斯s-dMfs= 0表示每个有界、FSt可测量的随机变量H.define an（FS，Q）-鞅由Hu=EQH | FSu, 0≤ U≤ T≤ T，注意H=Ht。通过随机测度的鞅表示定理，如[30，Ch.III，Theorem4.37]或[11，Ch.VIII，定理T8]，我们得到有界FS可预测随机函数φ，使得ht=H+ZtZRφ（s，z）（uR（ds，dz）- ηQ（dz）ds），0≤ T≤ T现在，应用It^oproduct规则，并对每个t使用[Mf，H]t=[Y，R]t=0∈ [0，T]，我们得到了Htztezs-dMfs=ZtHs-简单s-dMfs+ZtZRZseZ公司U-dMfuφ（s，z）uR（ds，dz）- ηQ（dz）ds.上述表达式右侧的两个积分都是鞅。这源于马尔可夫链Y的有限状态性质和z的有界性因此，取期望值，我们得到EQ赫特斯s-dMfs= 声明为0。现在请注意，对于t∈ [0，T]和一个广义可积Ft可测随机变量U it holdsthatEQU | FSt= 均衡器U | FST; （A.2）这可以用类似于[5，命题3.15]的论点来证明。根据（A.1）中的条件期望，应用（A.2）和富比尼定理，我们得到了每个t∈ [0，T]，等式简单tf（Yt）| FSt=π（f）1++ZtEQ公司简单s-hQf，Ysi | FSTds+ZtZREQf（Ys-)简单s-β（s，Ys-, νs-, z） 1+eZs公司-（1+β（s，Ys-, ν、 z））| FST！uR（ds，dz）-ZtZREQ公司f（Ys-)简单s-β（s，Ys-, νs-, z） 1+eZs公司-| FST公司ηQs（dz）ds。

（A.3）注意，对于每个t∈ [0，T]，eZt<eZtand这是可积的。由于β以假设为界，通过支配收敛，我们得到以下三个极限：→0EQ简单tf（Yt）| FSt= 均衡器eZtf（Yt）| FSt,lim公司→0ZtEQ简单s-hQf，Ysi | FSTds=ZtEQeZs公司-hQf，Ysi | FSTds，lim→0ZtZREQf（Ys-)简单s-β（s，Ys-, νs-, z） 1+eZs公司-| FST公司ηQs（dz）ds=ZREQf（Ys-)eZs公司-β（s，Ys-, νs-, z） | FSTηQs（dz）ds。最后，我们考虑（A.3）中关于uR（ds，dz）的积分。设{Tn，Zn}是过程R的跳跃时间序列和相应的跳跃大小。用n（t）表示跳到时间t的次数，因此Tn（t）是t之前的最后一个跳跃时间。然后→0ZtZREQf（Ys-)简单s-β（s，Ys-, ν、 z）1+eZs公司-（1+β（s，Ys-, ν、 z））| FST！uR（ds，dz）=lim→0n（t）Xn=1EQf（YT-n） eZ公司T-nβ（Tn，YT-n、 ν，RTn）1+eZT公司-n（1＋β（Tn，YT-n、 νT-NRTn））| FST=n（t）Xn=1EQf（YT-n） eZT公司-nβ（Tn，YT-n、 νT-NRTn）| FST=ZtZREQ公司f（Ys-)eZs公司-β（s，Ys-, νs-, z） | FSTuR（ds，dz）。将之前得到的结果组合起来eZtf（Yt）| FST= π（f）+ZtEQeZs公司-hQf，Ysi | FSTds+ZtZREQf（Ys-)eZs公司-β（s，Ys-, νs-, z） | FSTuR（ds，dz）- ηQs（dz）,因此，定理的主张来自（A.2）。B通过MDMs优化：引理4.1的证明和附加结果证明。为了证明这一说法，我们证明向量场的一阶导数在ν中一致有界。的组成部分G魔杖G使用假设2，全部为0和。1，的非零分量Gπi，i=1，K、 可以估计如下。对于i 6=k，gk+3πi=qik公司-πkZRuk（t，ν，π，z）ηP（t，ei，ν，dz）- πkKXj=1πjZRuk（t，ν，π，z）πiηP（t，ej，ν，dz）< maxi，kqik+πkZRuk（t，ν，π，z）ηP（t，ei，ν，dz）+πkKXj=1πjZRdηP（t，ei，ν）/dηQt（z）dηP（t，ek，ν）/dηQt（z）PKl=1πldηP（t，el，ν）/dηQt（z）ηP（t，ej，ν，dz），这小于maxi，kqik+（M+M）λmax。

对于i=k，我们得到gi+3πi=检验指导书- 2πiZRui（t，ν，π，z）ηP（t，ei，ν，dz）-Xj6=iπjZRui（t，ν，π，z）ηP（t，ej，ν，dz）-πiKXj=1πjZRui（t，ν，π，z）πiηP（t，ej，ν，dz）< maxiqii（M+3M）λmax引理的证明4.6。首先，我们估计（4.3）中介绍的奖励函数。自从f≥ 0，e-ρt≤ 1和h（w）≤ w、 我们得到r（ex，α）≤ sRτИe-∧αuαudu+se-∧ατИwατИ。部分积分给定zτИe-∧αuαudu=- wαue-∧αuτИ-ZτИλαue-∧αuwαudu≤ W- E-∧ατφwατφ，因此r（ex，α）≤ 软件。接下来我们估计QLb（ex，α）。回想一下“ηPfrom（2.6）”的定义，并让cη：=supηP（t，e，0）：（t，e）∈ [0，T]×E. 它认为qlb（ex，α）=ZτИeγ（T-（u+t））e-∧αuKXj=1πjswαu（1+(R)ηP（t+u，ej，αu））du≤sweγ（T-t） cηZτИe-γudu，这里我们使用了wαu≤ w和e-∧αu<1。最后一项以b（ex）cηγ为界，而dm收缩为γ>cη。命题4.8的证明需要以下引理。引理B.1。考虑函数v∈ Cb。然后映射（ex，ν）7→\'Qv（ex，ν）是continuousoneX×[0，νmax]。证据需要说明的是，对于j=1，K映射（t，w，s，π，ν）7→ZRv公司t、 s（1+z），π（1+u（t，ν，π，z），πK（1+uK（t，ν，π，z）ηj（t，ν，dz）是连续的一个x×[0，νmax]，其中ηj（t，ν，dz）：=η（t，ej，ν，dz）。考虑一个有元素的序列（tn，νn，πn）---→N→∞（t，ν，π）。注意，对于足够大的n，集合{sn（1+z）：z∈supp（η）}包含在紧子集[s，s]中 （0，∞). 此外，v在紧集[0，T]×[0，w]×[s，s]×SK×[0，νmax]上一致连续。然后，假设4.7-（2）意味着序列{vn}与vn（z）：=vtn，sn（1+z），πn（1+u）（tn，νn，πn，z）。πKn（1+uKn（tn，νn，πn，z）在z上一致收敛∈ supp（η）到v（z）：=v（t，s，π，ν，z）。因此，以下估计成立：Zsupp（η）vn（z）ηj（tn，νn，dz）-Zsupp（η）v（z）ηj（t，ν，dz）≤Zsupp（η）vn（z）- v（z）ηj（tn，νn，dz）+Zsupp（η）v（z）ηj（tn，νn，dz）-Zsupp（η）v（z）ηj（t，ν，dz）.

（B.1）最后，（B.1）中的第一项可以通过λmaxsup{| vn（z）估计- v（z）|：z∈ supp（η）}，当vn一致收敛到v时，它收敛到零；（B.1）中的第二项通过假设4.7-（1）（映射（t，ν）的连续性）7收敛到零→ ηj（弱拓扑中的t，ν，dz）。C有限差分近似的收敛Barles和Souganidis【7】引入了数值格式收敛到HJB方程粘度解的条件。这些条件是一致性，这意味着微分算子收敛到微分算子，稳定性，即当时间和空间步长收敛到零时，有限微分算子保持有界，以及单调性，这意味着映射Vtk7→ （6.2）中的Vtk+1是单调的。此外，极限HJB方程的比较原则需要保持不变。在续篇中，我们给出了示例2.3的离散化格式，在第6节中进行了数值处理，并验证了上述条件。对于微分算子的离散化，我们使用Fleming和Soner【24，第九章】中所述的标准微分方案。为了满足单调性条件，我们需要使用迎风格式对一阶项进行适当离散：根据系数的符号，我们使用前向或后向差分算子。在例2.3中，积分w.r.t.η产生一个和，该和通过网格点之间的插值计算。对于将s作为状态变量的HJB方程，验证Barles和Souganidis【7】、Dang和Forsyth【21】的收敛条件比验证简化后的方程更容易。通过使用s中V的齐性，简化方程的收敛性如下，。设m，mbe为w，π方向的步长。在我们的计算中，我们选择m=10和m=1/20。对于固定时间点tkwe，确定控制ν=ν*tk（s，w，π），通过最大化H，见（6.1）。

HJB方程的离散化版本为V（tk+1，s，w，π）=V（tk，s，w，π）+（tk+1- tk）h- ζ（tk，w，π）V（tk，s，w，π）+ζ（tk，w，π）V（tk，s，w- m、 π）+（ζ（tk，w，π）+ζ（tk，w，π）|）V（tk，s，w，π+m）+（ζ（tk，w，π）- |ζ（tk，w，π）|）V（tk，s，w，π- m） +λ（tk，w，π）Vtk，s（1- θ） ，w，πcdownπcdown+（1- π） cdown公司+ λ（tk，w，π）Vtk，s（1+θ），w，πcupπcup+（1- π） 杯子i+（tk+1- tk）（ν- cfν+1）s，（C.1）其中ζ（tk，w，π）=νm，ζ（tk，w，π）=（πq+（1- π） q）- π（1- π）（1+aν*tk（w，π））（cdown- cdown）+杯- 杯子,λ（tk，w，π）=（πcdown+（1- π） cdown）（1+aν），λ（tk，w，π）=（πcup+（1- π） cup），ζ（tk，w，π）=ρ+ζ（tk，w，π）+ζ（tk，w，π）+λ（tk，w，π）+λ（tk，w，π）。在活动边界上，我们设置V=h。由于使用了迎风格式，在边界的非活动部分，（C.1）的解是内生的，即通过状态空间内部的Vin值确定的。请注意，这符合定义5.2中极限方程的边界条件公式。通过施工，该方案是一致的。为了获得稳定性，我们需要选择非常小的时间步长，即tk+1- tk公司≤ 1/ζ（tk，w，π）。单调性要求微分算子系数的正性和积分项的适当正交权重（后者见Dang和Forsyth[21]）。在我们的上下文中，这是成立的，因为ζ、λ、λ是正的，并且V（tk、s、w、π+m）、V（tk、s、w、π）的系数- m） 通过构造是正的（我们使用的构造是将系数ζ分解为正负部分的一种容易实现的方法）。因此，ζ也是正的。由于我们在定理5.3中也证明了比较原理成立，并且值函数是我们的HJB方程的唯一粘度解，因此我们得到了所提格式对值函数的收敛性。参考文献【1】R.Almgren和N.Chriss。

投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[2] R.Almgren、C.Thum、E.Hauptmann和H.Li。直接估计股票市场影响。《风险》，18（5752）：2005年10月。[3] A.阿尔穆德瓦尔。分段确定马尔可夫过程最优控制的动态规划算法。《暹罗控制与优化杂志》，40（2）：525–5392001。[4] 安徒生。收益波动率和交易量：随机波动率的信息流解释。《金融杂志》，51（1）：169–204，1996年。[5] 贝恩和克里斯恩。随机滤波基础，第3卷。斯普林格，2009年。[6] G.巴勒斯。哈密尔顿-雅可比方程的解。Springer Verlag，1994年。[7] G.Barles和P.E.Souganidis。完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。渐近分析，4:271–2831991。[8] N.B"auelle和U.Rieder。purejump市场中投资组合优化问题的MDP算法。《金融与随机》，13（4）：591–6112009年。[9] N.B"auelle和U.Rieder。马尔可夫决策过程及其在金融领域的应用。SpringerScience&Business Media，2011年。[10] D.Bertsimas和A.W.Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1（1）：1–501998年。[11] P.Brémaud。点过程和队列：鞅动力学。统计学中的斯普林格级数。Springer Verlag，纽约海德堡-柏林，1981年。[12] A.Cartea和S.Jaimungal。为算法和高频交易建模资产价格。《应用数学金融》，20（6）：512–5472013。[13] 'A。Cartea、S.Jaimungal和J.Penalva。算法和高频交易。剑桥大学出版社，2015年。[14] P.Casgrain和S.Jaimungal。具有潜在阿尔法模型学习的交易算法。《数学金融》，29:735–7722019。[15] C.Ceci和K.Colaneri。跳跃扩散观测的非线性滤波。

《不适用概率进展》，44（3）：678–7012012。[16] C.Ceci和K.Colaneri。跳跃扩散观测的非线性滤波Zakai方程：存在性和唯一性。《应用数学与优化》，69（1）：47–822014。[17] R.Cont.高频财务数据的统计建模。IEEE信号处理杂志，28（5）：16–252011。[18] O.L.Costa和F.Dufour。分段确定MarkovP过程的连续平均控制。Springer，2013年。[19] J.Cvitanic、B.Rozovskii和I.Zaliapin。根据离散观测的扩散数据对波动率值进行数值估计。计算金融杂志，9（4）：12006年。[20] C.Damian、Z.Eksi和R.Frey。基于高斯噪声和点过程信息的马尔可夫链EM算法：理论和数值实验。《统计与风险建模》，35:51–722018。[21]D.M.Dang和P.A.Forsyth。跳跃扩散下的连续时间均值-方差最优投资组合配置：一种数值脉冲控制方法。《偏微分方程的数值方法》，30:664–6982014。[22]M.H.A.Davis。《马尔可夫模型与优化》，第49卷。CRC出版社，1993年。[23]Mark H.A.Davis和M.Farid。分段确定性过程和粘度解。InStochastic分析、控制、优化和应用，第249–268页。斯普林格，1999年。【24】W.H.Fleming和H.M.Soner。受控马尔可夫过程和粘度解。Springer，纽约，第二版，2006年。[25]R.Frey和T.Schmidt。通过非线性过滤的创新方法对信贷衍生品进行定价和对冲。《金融与随机》，16（1）：105–133，2012年。【26】J.Gatheral和A.Schied。Almgren和Chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行。《国际理论与应用金融杂志》，14（03）：353–3682011。【27】J.Gatheral和A.Schied。

市场影响的动态模型和订单执行算法。J.P.Jean-Pierre Fouke和J.A.Langsam，《系统风险手册》，第579-599页。2013年[28]X.Guo和M.Zervos。具有乘性价格影响的最优执行。《暹罗金融数学杂志》，6（1）：281–3062015。【29】H.He和H.Mamaysky。具有价格影响的动态交易政策。《经济动力学与控制杂志》，29（5）：891-9302005。【30】J.Jacod和A.N.Shiryaev。随机过程的极限定理。斯普林格出版社，第二版，2003年。[31]C.A.Lehalle、O.Mounjid和M.Rosenbaum。基于流动性的最佳交易策略。arXiv预印本arXiv:1803.056902018。[32]P.Protter和K.Shimbo。无套利和一般半鞅。《马尔可夫过程和相关主题：托马斯·G·库尔茨的一个Festschrift》，4:267–2832008年。【33】A.斯奇德。在Almgren–Chriss框架中实现最佳订单执行的稳健策略。《应用数学金融》，20（3）：264–2862013。【34】A.Schied和T.Sch"oneborn。非流动性市场中的风险规避和最优清算策略动态。《金融与随机》，13（2）：181–204，2009年。