具有价格影响的部分信息下的最优清算

2022-5-25 09:57:31

部分信息下具有价格影响的最优清算*Zehra Eksi+Rüdiger FreyMichaela Sz"olgyenyi§abstract我们研究了市场模型中的最优清算问题，其中投标价格遵循几何纯跳跃过程，其局部特征由不可观察的有限状态马尔可夫链和清算率驱动。该模型与高频数据的样式化行为一致，如蜱虫数据的离散性和有序流中的聚类。我们在分析中包括了暂时和永久影响。我们使用随机滤波将最优清算问题简化为完全信息下的等价优化问题。这导致了分段确定马尔可夫过程（PDMP）的随机控制问题。我们对这个问题进行了详细的数学分析。特别地，我们推导了该值函数的最优性方程，将该值函数刻画为相关动态规划方程的连续粘性解，并证明了一个新的比较结果。本文最后用数值结果说明了部分信息和价格影响对价值函数和最优清算率的影响。关键词：最优清算、随机过滤、分段确定马尔可夫过程、粘性解和比较原理。1简介在金融市场中，交易员经常面临在短时间内出售大量给定资产的任务。这导致了大量关于最优投资组合执行的研究，很大程度上是在市场影响模型的背景下进行的。在这些模型中，可以直接说明agiven交易策略对资产出价的影响，而基本价格（即如果交易者不活跃，价格）通常被建模为一个差异化过程。

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2022-5-25 09:57:34

然而，投资组合清算策略的执行频率相对较高。因此，健全的市场影响模型应与Cartea等人[13]或Cont[17]所讨论的高频数据的关键风格化事实相一致。首先，在固定时间尺度上，资产的出价最好用纯跳跃过程来描述，因为实际上价格是在由刻度大小定义的离散网格上移动的。*罗马大学经济系Tor Vergata，Via Columbia 2，00133 Roma，Italykatia。colaneri@uniroma2.it+维也纳经济和商业大学（WU）统计和数学研究所，Welthandelsplatz 1，1020 Vienna，Austria，zehra。eksi@wu.ac.at维也纳经济和商业大学统计与数学研究所（WU），ruediger。frey@wu.ac.at，通讯作者§克莱根福大学统计系，Universit"atstrasse 65-67，9020 Klagenfurt，Austria，michaela。szoelgyenyi@aau.atSecond，订单流在时间上是聚集的：有随机的时段，有大量的买入订单，也有大量的卖出订单，其间有较平静的时段，交易活动较少。Cont【17】将此归因于这样一个事实，即许多观察到的订单都是以小块执行的较大父订单的组成部分。事件间时间聚类的另一个原因是新信息到达率的随机波动，参见Andersen[4]。

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能者818

2022-5-25 09:57:38

第三，收益率在短时间间隔内的分布是强非高斯分布，但具有重尾和在零附近的大质量；在某种程度上，这是前两个程式化事实的结果。最后，还有一个永久性的价格影响，即实施清算战略将价格推低。为了捕捉这些程式化事实，我们将投标价格建模为带有Markovswitching的标记点过程，其局部特征（强度和跳跃大小分布）取决于交易者的当前清算率ν和有限状态Markov链Y的值Y。当地特征取决于ν，这一事实被用来模拟永久性价格影响。马尔可夫切换允许我们按照顺序重现观察到的聚类。我们的框架包括在一个Y状态下具有高强度向下跳跃和在另一个Y状态下具有高强度向上跳跃的模型，以及事件间时间由指数分布的混合给出的模型。我们将过程Y视为生成聚类的抽象建模设备，因此假设交易者无法观察到Y。这与集群的经济来源（如其他投资者的交易活动）无法直接观察到这一事实是一致的。先前在高频数据的统计建模中考虑了带有部分信息（无价格影响）的马尔可夫调制标记点过程，例如，参见Cvitanic等人【19】或Cartea和Jaimungal【12】；然而，我们是研究这种情况下最优清算的第一人。分析具有部分信息的控制问题的第一步是通过随机滤波在完全信息下建立一个等价问题，从而推导出用于我们设置的随机滤波方程。

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kedemingshi

2022-5-25 09:57:41

这些方程描述了截至时间t的投标价格历史记录下的YT条件分布动态。请注意，这为将投标价格建模为标记点过程提供了进一步的理论基础。事实上，短期回报的强非正态性意味着，对于具有不同观测过程的模型，使用高频数据作为经典滤波方程数值解的输入是有问题的，因为产生的滤波器可能变得不稳定。为了克服这个问题，我们更喜欢在pointprocess框架中工作。我们使用参考概率方法对我们的模型进行了严格的构造，并推导了滤波方程。我们最终得到一个控制问题，其状态过程（用X表示）由股票价格、库存水平和过滤过程组成。我们对这个问题进行了详细的数学分析。资产收益动态的形式表明，X是一个分段确定的马尔可夫过程（PDMP），因此我们依赖控制理论进行PDMP；Davis（22）或B"auerleand Rieder（9）对这一理论进行了全面介绍。我们建立了值函数的动态规划方程，并在问题的数据上推导了保证值函数连续性的条件。这需要仔细分析接近状态空间边界的值函数的行为。作为下一步，我们将值函数描述为Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）部分积分微分方程的唯一连续粘性解，并给出了一个示例，表明通常HJB方程不允许经典解。此外，我们还证明了HJB方程的一个新的比较定理，该定理在更一般的PDMP设置中是有效的。

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2022-5-25 09:57:45

为了确保数值格式收敛到值函数，需要一个比较原则，见Barles和Souganidis【7】。本文最后有一节介绍了应用程序。我们讨论了最优清算率和预期清算率的性质，并使用HJB方程的有限差分近似来分析临时和永久价格影响参数对最优清算率形式的影响。除其他外，我们发现，对于某些参数星座，最优策略显示了交易者令人惊讶的赌博行为，这是无法预先猜测的，我们给出了基于HJB方程形式的经济解释。此外，我们还研究了使用过滤模型产生的额外清算利润，并报告了一项小型校准研究的结果，该研究为我们的模型提供了进一步的支持。我们继续简要讨论现有文献，重点讨论市场影响模型。第一个贡献是Bertsimas和Lo【10】，他们分析了风险中性代理在线性和纯粹永久价格影响模型中的最优组合执行问题。阿尔姆格伦（Almgren）和克里斯（Chriss）[1]对该模型进行了推广，他们还考虑了风险规避和临时价格影响。此后，市场影响模型得到了广泛的研究。重要贡献包括He和Mamaysky【29】、Schied和Sch"oneborn【34】、Schied【33】、Guo和Zervos【28】、Casgrain和Jaimungal【14】。所有这些模型都在（离散化的）差异框架中工作。从方法论的角度来看，我们的分析还与B"auerleand Rieder等纯跳跃过程的预期效用最大化相关文献[8]。对PDMPs控制理论的重要贡献包括Davis【22】、Almudevar【3】、Costa和Dufour【18】。

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2022-5-25 09:57:49

Davis和Farid曾考虑过PDMP控制问题的粘度解决方案【23】。论文概要如下。在第2节中，我们介绍了我们的模型、主要假设和优化问题。在第3节中，我们推导了模型的滤波方程。第4节包含通过PDMP技术对优化问题的数学分析。在第5节中，我们提供了值函数的粘度解特征。最后，在第6节中，我们给出了数值实验的结果。附录包含了一些传统证据。2模型2。1我们在过滤概率空间中研究的最优清算问题(Ohm, F、 F，P），其中过滤F={Ft}t≥0满足正常条件。这里F是全局过滤，即所有考虑的过程都是F适应的，P是历史概率度量。我们考虑一个交易者，在给定的时间范围T内，必须在[0，T]期间清算w>0单位的给定证券（称为续集中的股票）。我们用S=（St）0表示投标价格过程≤T≤Tand FS是S生成的正确的连续和完整过滤。我们假设交易员以非负的FS适应率ν=（νt）0出售股票≤T≤T、因此，她的库存，即她在时间T持有的股份数量∈ [0，T]由绝对连续过程wt=w给出-Ztνudu，0≤ T≤ T、（2.1）库存动态（2.1）是一种实际交易的程式化模型，其中订单是在离散的时间点下达的。我们的解释遵循了有关价格影响模型的文献，如Almgren和Chriss【1】或Cartea等人【13】，第6.2节。我们将时间间隔[0，T]拆分为固定长度δ的小子间隔，从而划分为0=T<T<···<tn=T。每次tj时，投资者都会决定她想要在这段时间内清算的库存量【tj，tj+1】。

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大多数88

2022-5-25 09:57:53

该数量用FStj可测量的非负交易率νtj=（Wtj）来描述- Wtj+1）/δ，j=0，N- 1、我们假设此次股票销售产生的收入由（νtjδ）Stj（1）给出- f（νtj）），j=0，N- 1.（2.2）此处为Stj（1- f（νtj））是每股的执行价格，非负、连续和递增函数f表示临时价格影响。（2.2）的一个简单解释是，νtjδ股票是按市场订单出售的，数量f（νtj）以一种程式化的方式描述了订单“遍历订单”时对执行价格的影响。更抽象地说，人们可能会将（2.2）视为（预期）一些超高频交易算法的收入，用于清算儿童订单νtjδover（tj，tj+1），例如Lehalle等人【31】。请注意，f所描述的价格影响纯粹是暂时的，因为它只涉及当前交易的执行价格。永久价格影响（交易对S动态的影响）在下一节。现在考虑一个离散的股票销售列表{νt，…，νtn-1} 并通过νt=n定义相关的持续时间清算策略ν-1Xj=0νtj（tj，tj+1）（t），0≤ T≤ T对于小δ，离散交易产生的库存过程近似等于（2.1），离散交易的累积收入过程近似等于绝对连续现金流ztνsSs（1- f（νs））ds，0≤ T≤ T、（2.3）在本文中，我们研究了绝对连续库存动力学（2.1）和回收流（2.3）。这有助于与文献进行比较，并允许我们使用随机演算和连续时间随机控制的工具。现在我们详细描述清算问题的组成部分。首先，我们考虑临时价格影响。

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kedemingshi

2022-5-25 09:57:56

经验证据表明，f可以建模为幂函数，f（ν）=cfν，0<<1，参见Cartea等人[13]，第6.7节或Almgren等人[2]。在这种情况下，νf（ν），以ν的速率进行交易的成本正在增加，严格凸且呈非线性增长，即limν→∞f（ν）=∞. 在我们分析的理论部分，我们没有明确规定f的函数形式，但我们始终假设νf（ν）是递增的，并且随着超线性增长而严格凸。其次，为了说明在时间T之前并非所有股份都已售出的情况，我们通过h（WT）ST对剩余股份头寸的值进行建模。这里h是h（w）的递增、连续和凹函数≤ 棒h（0）=0。我们还观察了差异（WT- h（WT））表示对非零终端库存头寸的处罚。第三，我们将交易员定义为FSadapted策略。此外，观察到νf（ν）的凸性和超线性增长意味着映射ν7→ νSt（1-f（ν））（按ν出售股票产生的瞬时收入）在νmax>0时有一个唯一的最大值。因此，代理人以大于νmax的速率清算股票永远不是最优的。因此，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设清算速率以νmax为界，我们称清算策略ν=（νt）0≤T≤t如果ν为FSadapted且如果νt，则允许∈ [0，νmax]对于所有0≤ T≤ T对于largeνlarge，f的精确形式很难根据经验估计，因为对清算率施加上界有助于数学分析，因为关于分段确定性马尔可夫过程控制的现有结果依赖于紧凑控制空间的假设。需要超出典型订单规模进行推断。因此，很难精确估计νmax的值。

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大多数88

2022-5-25 09:58:00

所以，在第2.3节中，我们证明了最优清算问题的值对该参数的精确值相当不敏感。最后，我们描述了交易者的目标。固定一些允许的清算策略ν，并用ρ表示≥ 0交易者的（主观）贴现率。ν产生的收入的预期贴现值等于j（ν）=EZτe-ρuνuSνu（1- f（νu））du+e-ρτSντh（Wτ）. （2.4）此处Sν表示给定交易者遵循策略ν的出价（见第2.2节），而FSstopping timeτ由τ：=inf{t给出≥ 0：重量≤ 0}∧ T（2.5）交易者的目标是最大化（2.4）所有可接受的策略；相应的最佳值用J表示*.注意，（2.4）中目标函数的形式意味着交易者是风险中性的。在我们的设置中，风险中性似乎是一个合理的假设，因为时间段[0，T]相当短，而且交易者被定义为纯卖出策略，因此她可能承担的风险是有限的。将风险规避纳入我们的模型的一个简单方法是将惩罚形式包括在内-Rτe-ρuSuWudu转化为奖励函数。这样的条款会惩罚执行缓慢和高价格风险的hencestrategies。Cartea等人【13】第6.5.2.2节“投标价格动态”中讨论了类似的观点。为了捕捉高频价格轨迹的离散性质，我们将投标价格建模为马尔可夫调制的几何有限活动纯跳跃过程。设Y=（Yt）0≤T≤连续时间有限状态马尔可夫链(Ohm, F、 F，P）状态空间E={E，E，…，eK}（eK是RK中的第k个单位向量），生成矩阵Q=（qij）i，j=1，。。。，K初始分布π=（π，···，πK）。投标价格具有动态St=St-dRt，S=S∈ （0，∞) ,其中返回进程R=（Rt）0≤T≤这是一个有限的活动纯跳跃过程。

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2022-5-25 09:58:03

此外，我认为Rt：=Rt- Rt公司-> -1表示所有t，因此S是严格正的。请注意，FSis等于FR，即返回过程R生成的过滤；在续集中，我们将以可更改的方式使用这两种过滤器。用uR表示与R相关的随机度量，用uR（dt，dz）定义：=Xu≥0，Ru6=0δ{u，Ru}（dt，dz），并通过ηPthe（F，P）-uR的双重可预测投影（或补偿随机测度）。Weassume，ηPis是绝对连续的，形式为ηP（t，Yt-, νt-; dz）dt，对于R上的有限测度ηP（t，e，ν；dz），并且过程R和Y没有公共跳跃。因此R和Yare是正交的，即[R，Y]t≡ 0表示所有t∈ [0，T]，P-a.s.测度ηP（T，e，ν；dz）是一个至关重要的数量，因为它决定了概率P下关于过滤F的投标价格规律。ηP依赖于当前清算率的事实可以用来模拟永久价格影响；ηPon Yt的依赖性-可用于在高频数据中观察到的事件间持续时间内产生聚类，并模拟其他市场交易活动的反馈效应。最后，ηpC的时间依赖性可用于模拟高频数据观察到的强日内季节性模式。下面的示例2.3更详细地解释了这些方面。接下来，我们将为我们的设置提供进一步的动力。高频价格轨迹的离散性质如图1所示，其中我们绘制了以1秒频率采样的谷歌股价，以及相应回报的QQ图。后一个图清楚地显示了收益率是强非高斯的。（2.2）中的离散化参数δ通常为564。2 564.4 564.6 564.8 565.0投标价格15:58:02 15:58:32 15:59:02-4.-2 0 2 4-1.5-1-0.5 0.0 0.5理论量采样量图1：高频返回特性。

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2022-5-25 09:58:06

左图：2012年6月21日谷歌股价在15:58:02至15:59:02之间以1秒的频率采样；右图：对应退货的QQ图。几分钟的量级，因此比图1中使用的时间尺度大，因此在δ-时间尺度上，S的离散近似值可能有意义。在我们的partialinformation设置中，点流程框架更合适，原因如下。由于过程Y不可直接观察，最优清算率νt取决于交易员对市场状态的估计，由条件状态概率πit=P（Yt=ei | FSt），i=1，K、例如，在下面的示例2.3中，很明显，如果处于良好状态的条件概率很高（πtclose-toone），交易者可能希望等待价格上涨。在数学术语中，这意味着必须将过滤过程（πt，…，πKt）0相加≤T≤t问题的状态变量。后者解决了由返回观测驱动的K维SDE（称为Kushner-Stratonovich方程）。这里出现了以下问题。在最优清算问题的数值分析中，需要在非常小的时间尺度上解决SDE，以充分利用可用信息。如果使用R的扩散模型，这会导致数值上的困难，这主要是因为高频返回是强非高斯的。因此，我们倾向于将回报建模为标记点过程。

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2022-5-25 09:58:10

因此，用于计算过滤过程π的模型与用于最优清算问题本身的模型之间的一致性意味着后一个问题应在点过程框架中进行分析。第6.3节中给出的模拟andreal数据的小型校准研究为我们的设置提供了进一步的实证支持。这里我们使用的事实是，对于ν≡ 0该模型是一个具有点过程观测的hiddenMarkov模型，我们应用期望最大化（EM），例如，我们在第6.3节中使用1秒返回值进行校准研究。马尔可夫调制点过程估计Y的生成矩阵和补偿器ηP的参数的方法。有趣的是，考虑投标价格相对于完整信息过滤F的半鞅分解。表示所有（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，νmax]ηPbyηP（T，E，ν）的平均值：=ZRzηP（T，E，ν；dz）；（2.6）ηP（t，e，ν）在下面的假设2.1下存在。修正一些清算策略ν。然后返回过程的鞅部分MRt由MRt=Rt给出-RtηP（s，Ys-, νs-)ds，适用于所有t∈ [0，T]和S方程的F-半鞅分解st=S+ZtSs-dMRs+ZtSs-ηP（s，Ys-, νs-)ds，t∈ [0，T]。（2.7）在续集中，我们假设对于所有（t，e）∈ [0，T]×E，映射ν7→ ηP（t，e，ν）在[0，∞), 也就是说，S的半鞅分解（2.7）中的漂移在液化率上正在减小。这类似于Almgren和Chriss[1]中的永久价格影响模型，其中清算增加了投标价格的负漂移。最后，我们介绍了补偿器ηP的一些技术假设。假设2.1。有一个确定性的有限度量ηQon R，其支持度由supp（η）表示，是(-1.∞), 对于所有（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，∞) 测量值ηP（t，e，ν；dz）等于ηQ（dz）。

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2022-5-25 09:58:14

此外，对于每个νmax<∞ 有一个常数M>0，这样M-1<dηP（t，e，ν）dηQ（z）<M表示所有（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，νmax]。（2.8）该假设意味着，对于每个固定的νmax，都有一个λmax<∞ 这样SUP{ηP（t，e，ν；R）：（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，νmax]}≤ λmax；（2.9）特别是与S跳跃相关的计数过程是P-非爆炸的。此外，它还提供了一个存在参考概率测度的充分条件，即概率测度Q等价于P on(Ohm, FT），使得在Q下，uRis是一个泊松随机测度，强度测度ηQ（dz），与Y和ν无关。这在第3节分析交易员的过滤问题时是必要的。注意，ηPandηqimpliessthat对于所有（t，e，ν）的等价性∈ [0，T]×E×[0，∞) ηPis的支撑等于supp（η）。supp（η）是紧凑型的假设没有限制性，因为实际上投标价格一次只移动几个滴答声。以下示例用于说明我们的框架；第6节将讨论这些问题。示例2.2。考虑返回过程R遵循双变量点过程的情况，即有两种可能的跳跃大小，R∈ {-θ、 θ}对于某些θ>0。在这个例子中，我们假设S的动力学与Y和t无关。此外，向上跳跃的强度λ+是常数，等于cup>0，强度λ-向下跳跃的速度取决于坡度，由λ给出-（ν） =cdown（1+aν），对于常数cdown，a>0。注意，选择λ-, S向下跳跃的强度在清算率ν中呈线性增加。函数ηPfrom（2.6）由ηP（ν）=θ（cup）给出-cdown（1+aν））明显独立于tand e，且在ν中呈线性递减。

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2022-5-25 09:58:17

文献中经常考虑永久价格影响的线性模型，因为它们具有理论和实证优势；参见instanceAlmgren等人【2】或Gatheral和Schied【27】。示例2.3。现在，我们推广示例2.2，并允许ηPto依赖于状态过程Y。我们考虑一个状态空间为E={E，E}的两状态马尔可夫链Y，我们假设eis是“好”状态，ea是“坏”状态，其意义如下：在状态E中，股票向上移动的强度大于状态E；另一方面，e中ethan状态下向下移动的强度更大。因此，我们选择常数cup>cup>0，cdown>cdown>0和价格影响参数a>0，并设置i=1，2，λ+（ei，ν）=（cup，cup）ei和λ-（ei，ν）=（1+aν）（cdown，cdown）ei。那么，ηP（ei，ν，dz）=λ+（ei，ν）δ{θ}（dz）+λ-（ei，ν）δ{-θ} （dz），对于i=1，2。自cup>cup以来，美国平均有更多的采购订单；这可能代表另一位交易员正在执行大型买入计划的情况。类似地，由于cdown>cdown，在e州平均有更多的sellorders，例如，因为另一个交易者正在执行一个大型卖出计划。ηp的形式表明，永久价格影响是线性的，与向下移动的强度成比例，因此在“坏”状态下更大，在好状态下更大。注意，在我们的一般设置中，这个示例可以通过多种方式增强。

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2022-5-25 09:58:21

例如，过渡强度CUPIAN和CDOWNIAN以及流动性参数a可能取决于时间，以反映这样一个事实：在大多数市场上，一天中的交易活动都是在一天的开始和结束时发生的交易多于在中间。此外，可以引入市场横向移动的另一种状态，或者可以考虑流动性参数a依赖于Y的情况。2.3在前一节中，我们已经看到，具有由超线性和凸函数νf（ν）描述的临时价格影响意味着清算策略的内生上限νmax。然而，如果函数f的确切形式未知，则很难估计该值。在本节中，我们提供了一个稳健性结果，表明清算的最佳收益几乎与νmax的精确值无关。为此，我们定义了J*,如果交易者使用FS adaptedstrategies withνt，则mas为最佳清算值≤ m表示所有t，并在命题2.4中证明J*,m的错界独立。现在序列{J*,m} m级∈Nis明显在增加，因为m越高意味着转换器可以在更大的策略集上进行优化。因此，{J*,m} m级∈这是导致结果的原因。提案2.4。假设假设2.1成立，函数（t，e，ν）→ （2.6）中的ηP（t，e，ν）在ν中递减，设置η=0∨ sup{ηP（t，e，0）- ρ： t型∈ [0，T]，e∈ E} 。然后supm>0J*,M≤ wSeηT。注意，J上的上界*对应于无价格模型中存货的清算值，其中投标价格的预期值以最大速率η+ρ增长。证据用[0，m]中的值固定一些FS适应策略ν，用Sν表示相应的投标价格，并删除νt=e-ρtSνt。

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2022-5-25 09:58:25

因为Wt=w-Rtνsds我们通过部分积分得到zτνseSνsds=-ZτeSνsdWs=Sw-eSντWτ+ZτWsdeSνs.自h（W）起≤ w和f（ν）≥ 因此我们得到zτνueSνu（1- f（νu））du+eSντh（Wτ）≤ZτνueSνudu+eSντWτ=Sw+ZτWudeSνu。注意，RτWudeSνu=RτWueSνudMRu+RτWueSνu（ηP（u，Yu-, νu-) - ρ）杜。此外，处理器·∧τWueSνudMRuis是真鞅。作为0≤ 吴≤ w、引理a.1证明中的类似论点表明，该过程是可积二次变分的。自ηP（u，Yu-, νu-) - ρ≤ η、 τ≤ T和Wu≤ w、 we getJ（ν）≤ Sw+EZτWueSνu（ηP（u，Yu-, νu-) - ρ）杜邦≤ Sw+EZTweSνuηdu. （2.10）接下来，我们显示EeSνt≤ 为此，请注意引理A.1，R·SνS-Dmrs是真鞅，所以eSνt= S+E中兴通讯νu（ηP（u，Yu-, νu-) - ρ）杜邦≤ S+η中兴通讯eSνudu，并且该主张源自Gronwall不等式。使用（2.10），我们最终得到J（ν）≤Sw（1+RTηeηudu）=SweηT，从而得出结果。3部分信息和过滤在本节中，我们推导了模型的过滤方程。例如，Frey和Schmidt【25】、Ceci和Colaneri【15、16】考虑了点过程观测的过滤。本文献主要基于创新方法。在本文中，我们通过参考概率方法解决过滤问题。这种方法依赖于等效概率测度的存在，使得观测过程由具有独立于马尔可夫链的双重可预测投影的随机测度驱动，参见Brémaud【11，第6章】。参考概率方法允许我们对模型进行严格的构造，见引理3.1.3.1参考概率。

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2022-5-25 09:58:28

我们从过滤概率空间开始(Ohm, F、 F，Q），其支持具有状态空间E和生成器矩阵Q的马尔可夫链Y，以及具有补偿器ηQ（dz）dt的独立泊松随机测度urw，如假设2.1.2所示；Q被称为参考概率度量。请注意，Y和urimpiles的独立性使得R和yh没有公共跳跃。对于（t，e，ν，z）∈ [0，T]×E×[0，νmax]×supp（η），我们通过β（T，E，ν，z）定义函数β：=dηP（T，E，ν；dz）dηQ（dz）（z）- 1，即β（t，e，ν，z）+1是度量ηP（t，e，ν；dz）相对于ηQ（dz）的Radon-Nikodym导数。我们用FR表示uR生成的过滤。用νt固定一些FR适应的清算策略ν∈ [0，νmax]，t≤ T和T的定义∈ [0，T]随机指数z byeZt=1+ZtZReZs-β（s，Ys-, νs-, z）uR（ds，dz）- ηQ（dz）ds. （3.1）那么我们得到以下结果。引理3.1。以假设2.1为准。那么过程是一个严格正鞅，等式为eZT公司= 1、通过设置DPDQ确定FTP上的度量值PFT=eZT。然后P和Q是等价的，在P下，随机测度uRhas补偿器ηP。引理的证明推迟到附录A。请注意，引理3.1给出了第2.2节中介绍的模型的严格构造。使用测量变更方法的优点在于，泊松随机测量u和观察过滤框架是外生的。如果试图直接构造循环，则会出现循环，因为过程R取决于策略ν，而策略ν又适用于过滤FR.3.2过滤方程。对于函数f:E→ R、我们将滤波器π（f）作为过程f（Y）在滤波器FS上的可选投影，即π（f）是一个cádlág过程，因此对于所有t∈ [0，T]，它认为πT（f）=Ef（Yt）| FSt.

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2022-5-25 09:58:31

注意，由于Y是有限状态马尔可夫链f（Yt）=hf，所有t的Yti∈ [0，T]，其中h，i表示Rk上的标量积，且fi=f（ei），i∈ {1，…，K}，因此马尔可夫链的函数可以用K向量识别。让所有t∈ [0，T]和i∈ {1，…，K}，πit:=E{Yt=ei}| FSt. 然后，我们可以将滤波器表示为πt（f）=KXi=1fiπit=hf，πti，0≤ T≤ T、本节的目的是推导过程π=（π，…，πK）的动力学。为此，我们首先观察到，根据Kallianpur-Striebel公式，我们得到πt（f）：=pt（f）pt（1）表示所有t∈ [0，T]，其中p（f）表示过滤器的非规范化版本，由pt（f）定义：=等式eZthf，Yti | FSt, 0≤ T≤ T、（3.2）p（f）的动力学在下一个定理中给出。定理3.2（Zakai方程）。假设假设2.1成立，让f:E→ R、那么，不管怎样∈ [0，T]，非正规化滤波器（3.2）求解方程：pt（f）=π（f）+Ztps（Qf）ds+ZtZRps-（β（z）f）（uR（ds，dz）- ηQs（dz）ds），（3.3），其中pt-（β（z）f）=等式f（Yt-)eZt公司-β（t，Yt-, νt-, z） | FSt和pt（Qf）=等式eZthQf，Yti | FSt.我们现在提供了证明的总体思路，详细信息见附录A。请考虑（3.1）中定义的过程和一些函数f:E→ R、然后根据It^o的公式，乘积eztf（Yt）具有以下（Q，F）-半鞅分解eztf（Yt）=F（Y）+ZteZshQf，Ytids+ZteZsdMfs+ZteZsf（Ys）ZRβ（s，Ys-, νs-, z）uR（ds，dz）- ηQs（dz）ds,其中Mf=（Mf）0≤T≤这是F（Y）的半鞅分解中出现的真（F，Q）-鞅。将关于FStyields的条件期望作为结果，因为它可以显示：RteZsdMfs | FSt= 我们引入符号πt-（ηP（dz））：=KXi=1πit-ηP（t，ei，νt，dz），0≤ T≤ T、通过应用[11，Ch.II，定理T14]，很容易看出πT-（ηP（dz））dt给出度量uR的（FS，P）-双可预测投影。

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2022-5-25 09:58:34

下一个命题提供了条件状态概率的动力学。提案3.3。过程π=（π，…，πK）求解以下方程组：πit=πi+ZtKXj=1qjiπjsds+ZtZRπis-ui（s，νs-, πs，z）（uR（ds，dz）- πs-（ηP（dz））ds），（3.4）每t∈ [0，T]和1≤ 我≤ K、式中，ui（t，ν，π，z）：=（dηP（t，ei，ν）/dηQ（z）PKj=1πj（dηP（t，ej，ν）/dηQ（z）- 1.证明。根据Kallianpur-Striebel公式，我们得到πt（f）：=pt（f）pt（1），对于每个t∈ [0，T]。然后，通过（3.3）和It^o公式，我们得到了归一化滤波器π（f）的动力学。claimedresult是通过为每个i设置f（Yt）=1{Yt=ei}来获得的∈ {1，…，K}。请注意，过滤方程（3.4）不取决于ηQ的特定选择。例如，过滤方程2.3。下面我们给出了过程π的动力学，例如2.3。对于两态马尔可夫链，有必要指定π=π的动力学，因为π=1- π。定义两点流程NUPT=PTn≤t型{RTn=θ}和Ndownt=PTn≤t型{RTn公司=-θ} ，对于所有t∈ [0，T]，计算返回过程的向上和向下跳跃。很容易看出，对于每个（ν，π，z）∈ [0，νmax]×[0，1]×{-θ、 θ}，函数u（ν，π，z）=λ+（e，ν）πλ+（e，ν）+（1- π） λ+（e，ν）{z=θ}+λ-（e，ν）πλ-（e，ν）+（1- π） λ-（e，ν）{z=-θ} 。（3.5）通过推论3.3，我们得到πt=πt的以下方程：dπt=qπt+q（1- πt）dt+πt（1- πt）（λ+（e，νt）+λ-（e，νt））- （λ+（e，νt）+λ-（e，νt））dt+πt-λ+（e，νt）πt-λ+（e，νt）+（1- πt-)λ+（e，νt）- 1.dNupt+πt-λ-（e，νt）πt-λ-（e，νt）+（1- πt-)λ-（e，νt）- 1.dNdownt公司。（3.6）4控制问题I：通过PDMPsWe进行分析我们首先简要概述了我们对控制问题的分析（2.4）。在下面的命题4.3中，我们表明Kushner-Stratonovich方程（3.4）有唯一的解。

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能者818

2022-5-25 09:58:37

然后，标准参数确保不完全信息下的原始控制问题等价于状态过程等于（K+2）-维过程X=（W，S，π）的完全信息下的控制问题。这个过程是Davis（22）意义上的PDMP，即X的轨迹由一个确定性部分组成，该部分求解一个普通微分方程（ODE），其间穿插着随机跳跃。因此，为了解决最优清算问题，我们将控制理论应用于PDMPs。该理论基于这样一个观察结果：PDMP的控制问题在时间上是离散的：粗略地说，在过程的每个跳跃时间，我们都选择一个控制策略，以跟踪到下一个跳跃时间或直到成熟。因此，我们可以将PDMP的控制问题与离散时间内连续马尔可夫决策模型（MDM）的控制问题联系起来。利用这一联系，我们证明了最优清算问题的值函数是连续的，这是MDM的动态规划或最优性方程的唯一解。这些结果是第5.4.1节“作为PDMP控制问题的最优清算”中值函数粘度解特征的基础。从具有过滤功能的交易员的角度来看，时间t时的经济系统状态∈ [0，T]由Xt=（Wt，St，πT）给出。由于使用自治马尔可夫过程更方便，我们将时间纳入状态和定义：=（t，Xt）。X-iseX=[0，T]×X的状态空间，其中X=[0，w]×R+×sk，其中sk是K维单纯形。设ν为交易员遵循的清算策略。

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能者818

2022-5-25 09:58:41

从（2.1）、（3.4）和（2.1）、（3.4）可以看出，投标价格是一个纯跳跃过程，在跳跃时间之间，状态过程遵循ODE deXt=g（eXt，νt）dt，其中向量字段g（ex，ν）∈ RK+3由g（ex，ν）=1，g（ex，ν）=-ν、 g（ex，ν）=0，对于k=1，K、 gk+3（ex，ν）=KXj=1qjkπj- πkKXj=1πjZRuk（t，ν，π，z）ηP（t，ej，ν，dz）。对于我们的分析，我们需要g.引理4.1的以下正则性。在假设2.1下，函数g在ex中是Lipschitz连续的，在（t，ν）中是一致的∈ [0，T]×[0，νmax]；Lipschitz常数用Kg表示。证明推迟到附录B。状态进程的跳跃率由λ（eXt）给出-, νt-), 对于所有t∈ （0，T），其中对于每（ex，ν）∈eX×[0，νmax]，λ（eX，ν）=λ（t，w，s，π，ν）：=KXj=1πjηP（t，ej，ν，R）。接下来，我们确定控制x跳跃的转换内核qext。用{Tn}n表示∈X的跳跃次数的N序列。从（3.4）可以看出，对于任何可测函数f:eX→ R+，QeXf（ex，ν）：=Ef（eXTn）| Tn=t，XTn-= x、 νTn-= ν=λ（ex，ν）QeXf（ex，ν），其中QeXf（ex，ν）=KXj=1πjZRf给出的非规范化核qaxist、 w，s（1+z），π（1+u），πK（1+uK）ηP（t，ej，ν，dz）。这里ui是ui（t，ν，π，z）的缩写。综上所述，eX是一种PDMP，其特征由向量场g、跳跃率λ和过渡核QeX给出。PDMPs使用所谓的开环控制是控制理论的标准。在当前情况下，这意味着交易者在每个跳跃时间Tn<τ选择一个清算政策ν，以跟进到Tn+1∧ τ。此策略可能取决于状态extn=（Tn，XTn）。定义4.2。用A表示可测映射集α：[0，T]→ [0，νmax]。

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何人来此

2022-5-25 09:58:45

允许的开环清算策略是映射序列{νn}n∈n带νn：eX→ A.时间t的液化率由νt=P给出∞n=0（Tn∧τ、 Tn+1∧τ] （t）νn（t- Tn，eXTn）。从Brémaud【11，定理T34，附录A2】可以看出，可接受的策略是定义4.2中给出的形式，但对于fstn可测映射νn：Ohm → A代表每n∈ N、这可能取决于系统的整个历史。马尔可夫决策模型的一般结果（见B"auelle和Rieder[9，定理2.2.3]）表明，如果我们考虑较小类别的可容许开环策略，则交易者的预期收益保持不变，因此我们可能会将自己限制在这一类。提案4.3。假设2.1成立。对于每个容许的清算策略{νn}n∈与每个初始值ex相比，存在一个具有上述特征g、λ和QeXas的唯一PDMP。特别是Kushner Stratonovic方程（3.4）有一个唯一的解。证据引理4.1意味着对于α∈ A ODE deXt=g（eXt，αt）dt有一个唯一的解决方案，因此跳跃之间的状态过程是明确的。在任何跳变时间Tn，ext根据可观察数据（Tn，RTn）。此外，由于跳跃强度以λmax为界，因此跳跃时间不能累积。用P{νn}（t，x）（相当于P{νn}ex）表示状态过程定律，前提是Xt=x∈ 交易者使用开环策略{νn}n∈N、与可容许清算策略{νN}N相关的奖励函数∈由V（t，x，{νn}n）定义∈N） =E{νN}（t，x）Zτte-ρ（u-t） νuSu（1- f（νu））du+eρ（τ）-t） h（Wτ）Sτ,部分信息下清算问题的值函数为V（t，x）=sup{V（t，x，{νn}n∈N）：{νN}N∈不允许的清算策略}。（4.1）备注4.4。

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2022-5-25 09:58:48

请注意，补偿器η和过滤器π的动力学与当前出价s无关，清算策略的支付{νn}n∈Nis在s中是正同质的。这意味着清算问题的报酬和价值函数在s中是正同质的，尤其是V（t，w，s，π）=sV（t，w，1，π）。4.2相关马尔可夫决策模型。（4.1）中的优化问题在时间上是离散的，因为控制策略是在离散时间点Tn，n选择的∈ N，这些时间点的状态过程值形成离散时间马尔可夫链（对于Tn<τ）。因此（4.1）可以重写为有限期马尔可夫决策模型中的控制问题。MDM的状态过程由序列{Ln}n给出∈Ln=extnTn<τ且Ln=“” 对于Tn≥ τ、 n个∈ N，其中‘ 是公墓州。为了推导序列{Ln}n的转移核∈和MDM的奖励函数，我们引入了一些符号。对于函数α∈ 由eДαt（ex）或eДt（α，ex）得出的wedenote初值问题的流量Ddtex（t）=geX（t），αtwith initial conditioneX（0）=ex。每当我们想要明确表示对时间的依赖时，我们都会以（t，Дα）的形式写入Дα。此外，我们定义了函数λαubyλαu（ex）=λ（eДαu（ex），αu）=λ（（t+u，Дαu），αu）u∈ [0，T- t] ，我们让∧αu（ex）=Ruλαv（ex）dv。接下来，我们仔细看看x的边界。首先注意，过程π取超平面HK={x中的值∈ RK:PKi=1xi=1}，因此ex包含在集合H=R×HK中，这是RK+3的超平面。当考虑状态空间的边界或内部时，我们总是指相对于H的相对边界或相对内部。

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kedemingshi

2022-5-25 09:58:51

对我们来说，特别重要的是状态空间的活动边界Γ，这是x边界的一部分，可以通过从内点x开始的流速eΓα·（ex）达到∈ int（eX）。只有当w=0，t=t，或过滤过程达到k维单纯形的边界时，才能达到x的边界。后者是不可能的：事实上，如果πi>0，那么对于所有t∈ [0，T]，因为马尔可夫链没有改变其状态的概率是正的，并且由于给定的FStis的条件分布等于Kallianpur-Striebel公式中的无条件分布。因此，活动边界等于Γ=Γ∪ 式中，Γ=[0，T]×{0}×（0，∞) ×SKandΓ={T}×[0，w]×（0，∞) ×SK，（4.2），其中ski是SK的内部，即SK：={x∈ SK:xi>0表示所有i}。在（4.2）中，Γ是与等于零的库存水平相对应的活动边界的侧面部分，Γ是与到期时状态空间的出口相对应的终端边界。在该方程中，我们用τИ=τИ（ex，α）=inf{u表示流量eДα·（ex）fromeX的第一次退出时间≥ 0:eДαu（ex）∈ Γ}。请注意，（2.5）中定义的停止时间τ对应于状态processeX第一次到达活动边界Γ的时间。使用与B"auelle和Rieder[9，第8.2节]或Davis[22，第44节]中类似的参数，很容易看出序列{Ln}n的转换核ql∈QLF提供的Nis（t，x），α=Zτ~n（ex）e-∧αu（ex）QeXf（u+t，Дu（ex），αudu+e-∧ατИ（￠x）f（(R)) ;我们省略了细节。此外，由于公墓州正在吸收，QL{}（“”, α） =1。最后，我们定义了单周期奖励函数r:eX×A→ R+byr（ex，α）=ZτИe-ρue-∧αu（ex）αus（1- f（αu））du+e-ρτИe-∧ατα（ex）h（wτД）s，（4.3）和wτД是eДα的库存成分，我们设置r（“”) = 0

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2022-5-25 09:58:55

对于容许策略{νn}n∈Nwe集J{νn}∞（ex）=E{νn}exP∞n=0r（Ln，νn（Ln））, andJ公司∞（ex）：=supnJ{νn}∞（ex）：{νn}n∈不可接受的清算策略。（4.4）下一个引理表明，具有过渡核ql和单周期报酬r（L，α）的MDM等价于优化问题（4.1）。引理4.5。对于每个容许策略{νn}，它认为V{νn}=J{νn}∞. 因此V=J∞,控制问题（4.1）和（4.4）是等价的。该证明类似于Davis的证明【22，定理44.9】，因此省略。4.3贝尔曼方程。在本节中，我们研究值函数V的Bellman方程。α的定义∈ A和可测函数v:eX→ R+函数Lv（·，α）byLv（ex，α）=R（ex，α）+QLv（ex，α），ex∈例如：。最大奖励算子T由T v（ex）=supα给出∈ALv（ex，α）。由于单周期报酬函数是非负的，我们有一个所谓的正MDM，从B"auelle andRieder[9，定理7.4.3]可以看出，价值函数满足所谓的Bellman或最优方程V（ex）=T V（ex），ex∈例如，V是运算符T的固定点。为了将V描述为与PDMPeX相关的HJB方程的粘度解（见第5节），我们需要一个更强的结果。我们想证明：i.）值函数V是T在适当函数类M中的唯一固定点；ii.）作为起点v∈ 形式为vn+1=T vn，n的M次迭代∈ N1，收敛于V；V是连续的。第i.）点和第ii）点。）遵循下一个引理。引理4.6。定义γ>0时，函数b:eX∪ {} → R+乘以b（ex）=b（t，x）：=sweγ（t-t），ex∈eX和b（“”) = 0

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2022-5-25 09:58:58

然后，在假设2.1下，b是MDM的一个有界函数，具有转移核Ql和奖励函数r，即存在常数cr，Cq，因此对于所有（ex，α）∈eX×A.| r（eX，α）|≤ crb（ex）和QLb（ex，α）≤ cQb（ex）。此外，对于γ足够大的情况，它认为cQ<1，即MDM正在收缩。证明推迟到附录B。在续集中，我们用BB表示函数集BB：=v：eX→ R使supex∈eX公司v（ex）/b（ex）< ∞,我们定义了v∈ BB标准kvkb=supex∈eX | v（eX）/b（eX）|。那么下面的结果成立了，seeB"auelle和Rieder[9，第7.3节]：a）（Bb，k·k）bis a Banach空间；b） T（Bb） Bb；c） kT v型- T ukb≤ cQkv- ukb。如果MDM是收缩的，则最大报酬算子是（Bb，k·k）b上的收缩，而值函数是Bb的一个元素。因此，巴拿赫不动点定理给出了性质i.）和i.）以上M=Bb。为了建立属性iii.）（V的连续性），我们观察到setCb：={V∈ Bb:v是连续的}是（Bb，k·k）b的闭子集，参见b"auelle和Rieder【9，第7.3节】。此外，我们在Proposition 4.8中显示，在某些连续性条件下（见假设2.1和4.7），T映射到自身。因此，根据Banach的不动点定理，V∈ Cb。假设4.7。1、j的测量ηj（t，ν；dz）∈ {1，…，K}在弱拓扑中是连续的，即对于所有有界和连续φ，映射（t，ν）7→RRφ（z）ηj（dz）在[0，T]×[0，νmax]上是连续的。对于命题3.3中介绍的函数ujintroduced，以下情况成立：对于任何序列{（tn，νn，πn）}n∈Nwith（tn，νn，πn）∈ 每n，[0，T）×0，νmax]×sk∈ N、这样（tn，νN，πN）---→N→∞（t，ν，π），一个haslimn→∞supz公司∈supp（η）| uj（tn，νn，πn，z）- uj（t，ν，π，z）|=0。提案4.8。假设假设假设2.1和4.7成立，并让v∈ Cb。然后T v∈ Cb。证据考虑一些序列exn→ ex代表n→ ∞.

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2022-5-25 09:59:03

自| T v（exn）-T v（ex）|≤ supα∈A | Lv（exn，α）-Lv（ex，α）|，有必要估计差异supα∈A | Lv（exn，α）- Lv（ex，α）|。首先，注意在引理4.1中建立的g的Lipschitz连续性，我们有eИαt（exn）- eИαt（ex）≤ |exn公司- ex |+KgZteДαu（exn）- eИαu（ex）杜。Gronwall不等式因此产生了thatsupt∈[0，T]，α∈A.eИαt（exn）- eИαt（ex）≤ |exn公司- ex | eKgT，（4.5），因此n一致收敛→ ∞ 流量eДα（exn）至eДα（ex）。然而，这并不意味着τИn，即eИα（exn）进入状态空间活动边界的时间，收敛于τИn→ ∞. 为了解决这个问题，我们区分了两种情况：案例1。流量eДα·（ex）在终端边界Γ处退出状态空间ex（见（4.2））。这意味着τД=T- 并且库存水平wu对于u<t是严格正的- t、因此，我们可以从（4.5）中得出结论，τИnConverge to t- t、在假设2.1和4.7下，一致收敛极限→∞supα∈A | Lv（exn，α）- 因此，使用r的定义和映射（ex，ν）的连续性，Lv（ex，α）|=0紧随其后7→在引理B.1中建立的Qv（ex，ν），见附录B案例2。横向边界Γ处存在流速eДα·（ex），因此wτД=0。在这种情况下（4.5）意味着lim infn→∞τИn≥ τИ；然而，这种不平等可能是严格的。我们展示了这种情况下奖励函数的连续性。我们将r（exn，α）分解如下，为简单起见设置ρ=0：r（exn，α）=sZτν∧τИne-∧αu（exn）αu（1- f（αu））du（4.6）+sZτИnτИ∧τИne-∧αu（fxn）αu（1- f（αu））du+se-∧ατИn（exn）h（wτИn）。（4.7）现在从（4.5）得出，（4.6）中的积分收敛于n→ ∞ 至r（ex，α）uniformlyinα∈ A、（4.7）中的术语从上方以swτИ为界∧τИn；这可以通过引理4.6的证明中类似的部分积分论证来证明。此外，wτИ∧τИnConvergesunformally inα∈ A到wτД=0，因此（4.7）收敛到零。

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2022-5-25 09:59:06

接下来，我们转向transitionkernel。我们分解QLv:QLvexn，α=ZτИ∧τИne-∧αu（～xn）Qv（eИu（exn），αu）du+ZτИnτИ∧τИne-∧αu（～xn）Qv（eДαu（exn），αu杜。对于n→ ∞, 第一个积分收敛到QLvex，α使用（4.5）和映射（ex，ν）7的连续性→ Qv（ex，ν）（引理B.1）。要估计第二项，请注意Qv（ex，ν）≤kvkbswλ（ex，ν）（因为λ′Q是概率转移核），所以积分以kvkbswτν为界∧τИnZτИnτИ∧τИnλαue-∧αu（exn）du≤ kvkbswτИ∧τИn，n的最后一项收敛到零→ ∞, α中均匀∈ A、备注4.9。请注意，Lv（·，α）的现有连续性结果，如Davis【22，定理44.11】假设气流Дα以匀速到达活动边界，与所选控制无关。为了在我们的框架中确保这一假设，我们必须对可接受的清算率施加严格的正下界。这在经济学上是对战略空间的难以置信的限制，这就是为什么我们更喜欢依赖直接的论点。我们在下面的定理中总结了这一部分的结果。定理4.10。假设假设假设2.1和4.7成立。然后，值函数V是连续的oneX，满足横向边界Γ中ex的边界条件V（ex）=0，V（T，x）=sh（w）。此外，V是Bb中Bellman或最优性方程V=eT V的唯一解。5控制问题II：粘度解在本节中，我们证明了值函数是与受控马尔可夫过程（W，π）相关的标准HJB方程的粘度解，并推导了该方程的比较原理。

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