金融系统中的网络估值

2022-5-25 10:02:04

此外，我们还提供了一个定点算法来确定网络估值及其收敛条件。关键词：金融网络、传染、系统性风险、信用风险、市值损失1。引言不确定性和相互依赖性是金融系统的两个基本特征。虽然资产未来价值的不确定性传统上在金融文献中非常重要（Merton，1974；Black and Cox，1976；Leland and Toft，1996；Du ffe and Singleton，1999；Lando，2009），但金融债权价值的相互依存性，尤其是在日益相互关联的金融体系中，最近才进行了调查（Rochet和Tirole，1996年；Freixa s等人，2000年；Allen和Gale，2001年；Gray等人，2010年），主要是在2008年金融危机之后（Stiglitz，2010年；Allen和C arletti，2013年；Lewandowska，2015年；Elliott等人，2014年；Acemo glu等人，2015年；Glasserman和Young，2015年；Amini等人，2016a；Battiston等人，2016b；Bardocia等人，2017年）。所表达的任何观点仅为作者的观点，因此不能被视为代表英国央行或英国国家银行政策的观点。该文件不应被报道为代表了欧洲央行（ECB）或欧洲系统风险委员会（ESRB）或其任何成员机构的观点。这些观点是作者的观点。此处使用的术语不确定性是指对未来值缺乏确定性的一般意义，无论此类值的概率分布是否已知。不确定性和相互依存性的共同存在是实践中最相关的情况，但这种情况下的资产估值仍然是金融经济学中的一个公开问题。事实上，在日常业务中，金融机构需要为其对交易对手的债权分配经济价值。

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2022-5-25 10:02:07

例如，交易对手是否会在到期时实际支付债务将取决于交易对手在到期时的财务状况，其他机构只知道这种状况，但存在一定的不确定性，例如，因为他们对房地产部门的贷款价值发生了异源变化。比如说，机构A的债务是A的债权人的资产。如果A上有更多信息可用，其债权人将出售这些资产，并将这些信息纳入其资产负债表的估值中。随着A的债权人的更多信息现在可用，A的债权人将反过来更新自己资产的估值，等等。忽视其相互关联性或不确定性可能导致系统风险的错误估计。一方面，不考虑相互关联性相当于只考虑直接风险，而忽略了对交易对手国的潜在间接风险，等等。事实上，这可能反映在交易对手义务的高估和过度冒险的激励中。另一方面，忽视不确定性意味着认为损失在到期之前无法实现。

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kedemingshi

2022-5-25 10:02:11

相比之下，根据国际清算银行（BIS）的数据，金融危机期间，国内机构承受的最大损失不是由于实际交易对手违约，而是由于交易对手信誉恶化后，按市价重新评估债务。2008年AIG的案例说明了已实现损失的传播与“按市值计价”损失之间的区别，即机构信誉的恶化可以在合同到期之前通过网络井传播（Glasserman和Young，2016）。我们的主要贡献是引入一个资产评估框架，同时考虑到由所谓银行间资产网络连接的资产负债表的相互依赖性以及银行外部（即非银行间）资产未来价值的不确定性。该框架抽象了如何进行估值的细节。这些细节被封装到估价函数中。一旦选择了估值函数，该框架将简化为特定模式l。该框架包括两个模型系列。如果估价严格在银行间债权到期之前进行，我们有一个事前估价模型。如果在到期时进行估值，则该模型描述了银行间债权的清算。在此，我们提供了适用于与框架兼容的所有模型的一般结果。

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2022-5-25 10:02:15

特别是，我们将问题转化为一组固定的机构股票估值方程。我们证明了一个对所有机构都是最优的解的存在性，并且我们提供了一个简单的算法来计算任意精度的解。我们的第二个贡献是，通过适当选择估值函数，我们的框架恢复了文献中先前介绍的几个清算模型（Eisenberg和Noe，2001；Rogers和Ve raart，2013）和事前估值模型（Fur fine，2003；Bardocia et al.，2015）。最后，通过我们的框架，我们在清算模型和事前估价模型之间建立了特定的联系。特别是，我们从inEisenberg和Noe（2001）（EN）介绍的模型开始，我们表明，通过对其方程在事前不确定性上的平均，我们得到了我们的框架所隐含的意义上的事前估价模型。从这个角度来看，事前估价模型可以看作是相应清算模型的向前扩展。我们的工作与几代文学有关。首先，调整合同价值巴塞尔银行监管委员会表示，“大约三分之二的交易对手信用风险损失是由于信用估值调整（CVA）损失造成的，只有大约三分之一是由于实际失误造成的”，见巴塞尔银行监管委员会（2011年）。在两个交易对手之间解释其可能违约的风险在文献中通常被称为信用估值调整（CVA），参见Sorensen和Bollie r（1994）；Bielecki和Rutkowski（2013年）。

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2022-5-25 10:02:18

在其最基本的形式中，C VA是由一家机构计算的，即如果其交易对手违约，其将遭受的损失的风险中性预期。在实践中，为了计算这种预期，通常需要对交易对手的违约概率假设一个特定的外生到突变过程。此外，正如inBanerjee和Feinstein（2018）所指出的那样，CVA仅捕获由于直接交易对手的潜在违约而产生的调整，而非独立交易对手的调整。相反，在我们的框架中，违约概率是内生计算的（第5节），并考虑了直接和间接交易对手的信誉。其次，由于我们的框架包括清算模型，因此它与关于相互承担义务的机构之间支付清算的文献自然相关。清算支付最常用的模式是EN模式l，该模式已扩展到非零银行成本的情况，如Rogers和Veraart（2013）（RV）、交叉持股（Suzuki，2002）、任意的索赔优先级结构（Fischer，2014）和时变资产负债表（Banerjee et al.，2018）。EN和RV都可以从我们的FRA工作中明确恢复。建立网络估值模型的早期尝试可以追溯到Fur fine（2003）的工作，他引入了一个级联违约模型，其中银行间资产的价值等于其面值，只要债务人没有违约，否则等于零。此外，还可以从我们的框架中显式恢复毛发模型。在一连串违约的模型中，只要一个机构不违约，其信用价值的恶化对其债权人没有任何后果。

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2022-5-25 10:02:21

为了克服这一限制，Battiston等人（2012）引入了一种简单的机制，即所谓的AllededeBtrank；Bardocia等人（2015年）；Battiston等人（2016a），基于债务人权益的相对冲击线性传递到债权人银行间资产的假设。进一步的扩展将该模型推广到非线性传输机制（Bardos c ia等人，2016、2017）。DebtRank c也可以从我们的框架中显式恢复。上述所有模型都是直接传染模型，冲击通过直接暴露传播。我们注意到，在没有违约的情况下，冲击的传播可能由于间接传染而发生，例如在投资组合和转售重叠的情况下（Cifuntes et al.，2005；Caccioli et al.，2014；Amini et al.，2016b；Cont和Schaanning，2017；Feinstein，2017）。最近，Veraart（2020）采用了与我们类似的方法，但其中引入了估值机制作为假设。与Elsinger et al.（2006b，a）相似，本文引用了康特拉斯特的观点；Fischer（2014），估值机制是从清算机制衍生出来的。Inlesinger等人（2006年b，a）；Fischer（2014）评估只能由完全了解所有机构银行间资产的代理人进行。Collin Dufresne et al.（20 04）和Cossin and Schellhorn（2007）介绍了类似的设置。然而，在实践中，银行间资产对机构间的金融风险进行编码，因此是保密的。通常，即使监管机构对银行间资产的详细结构也只有部分看法。

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2022-5-25 10:02:25

事实上，另一部分文献专门关注试图根据完全公开的可用信息“重建”银行间资产（Anand e t al.，2015；Gandy and Veraart，201 6；Cimini et al.，2015；Squartini et al.，2017，2018）或评估其错误估计的影响（Feinstein et al.，2018）。根据上述考虑，在我们的框架中，机构被认为只需要了解自己的银行间资产，而估值是由所有机构共同进行的。然而，我们强调，由于我们的估值是作为固定点方程系统的解出现的，违约机构不会按特定顺序违约，而是同时违约。因此，我们的方法不太适合捕捉双边CVA（Gregory，2009；Brigo and Capponi，2010），这也解释了违约可能发生的顺序。tutions。基本理念是，每家机构对其银行间资产进行估值，这反映在其股权价值上。持有对该机构债权的交易对手反过来会更新其自身银行间资产的估值，这最终会反映在其自身股票的价值上。我们的论文描述了这个评估过程的解决方案。2、框架我们考虑由相互签订信贷合同的n家机构（以下简称“银行”）组成的金融体系。这些合同在时间T到期，而银行在时间T对其资产进行估值≤ T在时间t，我们用Lij（t）表示i银行对j银行负债的账面价值，用Aji（t）表示j银行相应资产的账面价值，Aji（t）=Lij（t）表示一致性。

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2022-5-25 10:02:28

我们将这些数量称为银行间资产和负债。我们指出，一般而言，银行间资产和负债的账面价值可能取决于时间，但它们是确定性的，而且至关重要的是，它们不包含任何有关交易对手信用度的信息。在这方面，如果i没有违约，没有人会认为Aji（T）是jis期望在到期时从i恢复的一个数量。同样，如果i银行和j银行在t至t期间没有规定额外的合同，则可以将Aji（t）视为Aji（t）的贴现价值。银行也有外部资产和负债，即非银行间资产和负债。例如，外部资产包括对实体部门的贷款，而外部负债包括存款。在时间t，我们用Aei（t）表示i银行外部资产的账面价值，用Lei（t）表示其外部负债的账面价值。外部负债是确定的，而外部资产则遵循一个不确定的过程。每家银行在估值时间t观察其外部资产，但在t（不包括）到到期日t（包括）之间的任何时间，这些资产通常是未知的，除非t=t。最后，我们用Mi（t）表示银行权益的账面价值，即其总资产和负债之间的差异，按账面价值计算：Mi（t）=Aei（t）- Lei（t）+nXj=1Aij（t）-nXj=1Lij（t）。（1）在时间t，银行对自己的银行间资产进行估值。例如，对于i银行而言，此类估值的目的是将i债务人的信誉信息纳入i银行间资产的价值中。估价原则上取决于i可用的信息。在不丧失一般性的情况下，我们按照以下方式编写银行间资产估价：Aij（t）Vij（Oi（t）），（2）其中Oi（t）是信息，即。

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2022-5-25 10:02:31

我在时间t进行银行间资产估值时使用的变量和参数列表。我们称之为Vijinterbank估值函数，在此阶段，它只是银行间资产估值与其账面价值之间的比率。由于i的银行间估值功能的目的是说明i债务人的cr可编辑性，因此我们可以证明Oi（t）包括关于他们的信息。Oi（t）的变量和参数的精确列表将取决于特定的估值模型，但在所有情况下，这些都是确定性的，因为它们在时间t时由i观察到。此外，我们注意到，总体而言，在此之前，我们使用Aei（t）表示的是在时间t时实现i银行外部资产的随机过程的符号有点滥用，对于s>t，我们用Aei（s）表示与时间s时银行i的外部资产相对应的随机变量。Vijdepe的形式在i和j上都明确表示。这反映了不同的银行可以使用不同的模型对其银行间资产进行集合估值，并且一家银行可以使用不同的模型对不同的银行间资产进行估值。同样，银行也对其外部资产进行估值。在本例中，我们编写：Aei（t）Vei（Oei（t））。（3）类似地，Oei（t）是信息，即i在时间t和we c all Vei执行外部资产估值时使用的变量和参数列表，即外部资产估值与其账面价值、外部估值函数之间的比率。例如，外部估值功能可用于核算外部资产出售所隐含的损失。

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2022-5-25 10:02:34

让我们想象一下，s银行将以一定的杠杆率为目标，每当偏离目标时，他们都会通过以低于市场价格出售外部资产的方式去杠杆化（inGreenwood et al.（2015）描述了一种类似的机制）；Battiston等人（2016a）；Cont和Schaanning（2017））。然后，外部估值函数将被解释为出售外部资产时的折扣。该贴现系数将取决于i银行的杠杆率和其他数量，例如市场价格和外部资产的流动性，这将是EI（t）的一部分。此外，在此情况下，Oei（t）的变量和参数部分的精确列表将取决于特定的估值模型，但类似于Oi（t），这些都是确定性的。银行不会对其负债进行估值。这一假设的基本原理是，银行不得基于自身的信誉或其债权人的信誉对其负债进行贴现。这与预计贷方将试图向债务人全额偿还其贷款的预期是一致的。通过将资产账面价值替换为（1）中的资产估值，我们获得了银行i的股权估值（以下简称：Ei（t）=Aei（t）Vei（Oei（t））- Lei（t）+nXj=1Aij（t）Vij（Oi（t））-nXj=1Lij（t）。（4）我们假设，对于所有银行而言，银行间资产和负债的总账面价值以及t时外部资产和负债的账面价值都是公开信息。例如，在每个季度t，这些价值可以从银行的财务账户中提取。然而，银行间资产（因此也包括银行间负债）的个别价值不是公开的，并且是两个参与交易的交易对手所知的。在我们的框架中，这确实是唯一一条私人信息。

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能者818

2022-5-25 10:02:39

我们认为，股票也是公共信息的一部分，它包含了资产估值。例如，如果银行将其需求估值告知其交易对手，就会发生这种情况。在下文中，我们明确强调估值函数对股票的依赖性，将其写为Vei（E（t）| Oe′i（t））和Vij（E（t）| O′i（t）），其中eOe′i（t）和O′i（t）是i在时间t分别用于对股票以外的外部和银行间资产进行估值的变量和参数列表。通常，Oi（t）=O′i（t）∪ {E（t）}和Oei（t）=Oei′i（t）∪ {E（t）}。这允许我们将（4）重写为：Ei（t）=Aei（t）Vei（E（t）| Oe′i（t））- Lei（t）+nXj=1Aij（t）Vij（E（t）| O′i（t））-nXj=1Lij（t）。（5）（5）右侧的第三项说明了i对其直接交易对手的银行间资产估值。然而，通过联名求解（5），我们不仅可以计算出i银行在t时的银行间资产总账面价值等于Jaij（t），而且银行间负债的总账面价值等于Jaij（t）。直接交易对手的影响，以及交易对手的交易对手产生的真正网络影响，等等。在fa c t中，i的交易对手的（5）类似物包括对其自身直接交易对手（i的间接交易对手）的银行间资产估值。因此，所有i的（5）联合解决方案有效地考虑了所有间接交易对手的银行间资产估值。当t<t时，s银行进行适当的事前估价。外部资产遵循随机过程，因此其到期（账面）价值在时间t未知。反过来，这会对银行的到期偿付能力产生不确定性。

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2022-5-25 10:02:43

直观地说，银行间资产的估值（通过估值函数）包含了债权人对其债务人在到期时能够履行其义务的可能性的估计，从而产生了这种不确定性。公式（5）在t=t时也有效，即如果银行在到期时进行估值。在这种情况下，外部资产的（账面）价值没有不确定性。尽管如此，信贷机构在实际收到债务人的付款之前，仍然不能完全确定其银行间资产的价值。其直接债务人是否能够交付此类款项，可能取决于其债务人的债务人是否能够交付款项。在这种情况下，我们的框架与一种设定相一致，即估值发生在付款到期时，但在付款交付之前。然后，银行间估值功能将纳入信贷机构对其债务人支付款项可能性的估计。从这个意义上讲，（5）的联合解决方案相当于清算银行之间的付款。在本节中，我们将介绍估值函数的精确定义，这将使我们能够验证无论其具体函数形式如何都适用的一般结果。得出的这些结果将不依赖于任何进一步的假设。在第5节中，我们将推导一组特定的估值函数，并详细讨论其经济意义。正如预期的那样，银行用于进行估值的信息取决于特定的估值模型。例如，对于第5节中推导的银行间估值函数，O′i（t）将包括i的交易对手的外部资产a t时间t、其波动性和到期距离t- t、原则上，估值函数可以依赖于所有银行的股权，但在几乎所有的例子中，我们将使它们对股权的依赖变得更加简单。

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kedemingshi

2022-5-25 10:02:46

因为根据定义，外部资产独立于任何特定国家，因此在大多数情况下，外部估值功能将仅取决于执行估值的银行的权益，即（3）将读取VEI（Ei（t）| Oe′i（t））。类似地，由于银行间估值函数旨在捕捉银行间资产的信贷风险，因此银行间估值函数将仅取决于债务人的权益，即（2）将重新调整（Ej（t）| O′i（t））。然而，我们在第3节中证明的结果适用于估值函数依赖于任何子银行股权的更一般情况。这激发了以下定义。定义2.1。给定一个整数q≤ n、 a功能V：Rq→ [0，1]被称为可行赋值函数，当且仅当：1。这是不减损的：E≤ E′=>V（E）≤V（E′），E、 E′∈ Rq2。从上面看是连续的。第一个观察结果是，可行的估值函数取0到1之间的值。这与（2）和（3）相结合，对应于假设银行间资产和外部资产的价值不能超过其账面价值。这对于银行间资产来说是显而易见的，因为债权人预计收回的金额不能超过合同的账面价值。如前所述，外部估值功能将允许我们建模因零售而产生的破产成本。从这个角度来看，这一假设与银行不能期望通过出售非流动资产获利的事实是一致的。第二个观察结果是，可行的估值函数是非递减的。

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2022-5-25 10:02:50

对于银行间资产，这对应于假设信贷合同是非特定的，即一家银行的银行间资产估值不能因为另一家银行的权益（例如其债务人的权益）减少而增加。我们已经提到，在第ns4节和第5节中考虑的所有情况下，银行间估值功能仅取决于债务人的权益。在这些特殊情况下，我们还有limEj（t）→+∞Vij（Ej（t）| O′i（t））=1。这一点很简单，即当j银行的权益非常大时，i银行将j银行视为c银行，即相应的银行间资产按账面价值计算。然而，定义2并未明确要求该属性。1事实上，第3节中的结果是不必要的。在这种情况下，可以解释表达式Aij（t）[1- Vij（Ej（t）| O′i（t））]作为CVA损失。事实上，这是i银行间资产对j的账面价值与其包含j信贷价值信息的估值之间的差异。实际上，当银行间估值函数等于1时，它等于零，对应于不需要应用信用估值调整的情况。对于外部资产，这意味着其价值无法通过持有该资产的银行（或任何其他银行）的股本减少而提高。上述连续性假设主要是技术性的，允许我们处理不连续估值函数的合并情况。事实上，我们将介绍的大多数估值函数都是连续的（即从上到下）。估值函数的不连续性对应于股票价值发生微小变化后资产估值的大幅跃升。

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2022-5-25 10:02:53

例如，让我们想象一下这样一种情况，即银行间估值函数捕捉到了一种极其简单的情况，即只要债务人拥有正权益，债权人就以账面价值作为银行间资产的集合，而其他情况下，他们则将银行间资产视为一文不值。当一个债务人的权益完全等于零，即该债务人的资产和负债完全相等时，债权人该怎么办？ab ove的连续性意味着在这种情况下，债权人仍应以账面价值获取银行间资产。由于所有估值函数都取区间[0，1]中的值，因此所有股票Ei（t）的上下边界如下：mi（t）≡ -Lei（t）-nXj=1Lij（t）≤ Ei（t）≤ Mi（t）。（6）通过引入以下映射：Φ：ni=1[米（t），米（t）]→Ni=1[mi（t），mi（t）]（7a）Φ=（Φ，…，Φn）（7b）Φi（E（t））=Aei（t）Vei（E（t）| Oe′i（t））- Lei（t）+nXj=1Aij（t）Vij（E（t）| O′i（t））-nXj=1Lij（t），（7c）方程（5）的集合可以用紧凑的形式重写：E（t）=Φ（E（t））。（8）因此，执行估值减少到求解E（t）的F点方程。在固定点计算的估值函数可以解释为网络调整贴现。这种非投机合同的概念类似于Schuldenzucker等人（2019）提出的概念，并在Banerjee和Feinstein（2019）中进一步扩展。因素。贴现系数的通常概念反映了一个事实，即资产的现值不同于其未来价值。估值函数还考虑了直接交易对手风险和网络效应，这两种效应在固定点完全纳入估值。为了实现一个一致的网络，即银行间债权的调整估值，有必要证明（8）的解的存在性。主要结果我们现在概述了适用于一般估值函数的最一般结果。

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2022-5-25 10:02:56

证据见附录。定理3.1（最大和最小解的存在性）。如果映射Φ中的所有赋值函数取[0，1]中的值且不递减，则方程组（8）允许最大解max（t）和最小解Emin（t）。上述结果表明，解集是非空的，对于任何解E*（t），埃米尼（t）≤ E*i（t）≤ Emaxi（t），对于所有i.在解决方案集中，最伟大的解决方案是所有银行最理想的结果，因为它同时将个人和总损失降至最低。相反，最小的解决方案对应于最坏的情况，因为它同时最大化了个人和总损失。让我们明确地注意到，每个解决方案*（t） of（8）对应于迭代映射的固定点E（k+1）（t）=Φ（E（k）（t）），（9），反之亦然。等式（9）定义了Picard迭代算法，在pr inc中，iple提供了一种以任意精度计算解的方法，如下所示。从任意E（0）（t）开始迭代映射并不保证可以得到解Emax（t）或Emin（t）。事实上，根据选择的起点，可以找到（8）的不同溶液。此外，一些解可能是不稳定的，在某种意义上说，尽管不能满足（8），但为Picard迭代算法选择一个任意接近（但不等于）此类解的起点，可能会导致迭代映射收敛到（8）的另一个解。求最小和最大解的问题这个问题通过以下两个定理来解决。定理3.2（收敛到最大解）。如果映射Φ中的所有赋值函数都是可行的，并且如果E（0）（t）=M（t），则：1。序列{E（k）（t）}是单调非递增的：K≥ 0，E（k+1）（t）≤ E（k）（t），2。序列{E（k）（t）}收敛：limk→∞E（k）（t）=E∞（t），3。

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2022-5-25 10:03:01

E∞（t）是（8）和毛皮thermore E的溶液∞（t） =Emax（t）。理论3。2表明，如果迭代的起点是E（0）（t）=M（t），这对应于以账面价值获取所有资产，则迭代映射（9）收敛到最大解max（t）。orem 3.2保证，对于所有大于0的K，存在K（），因此对于所有K>K（），我们有| | E（K）（t）- Emax（t）| |<。换句话说，一旦选择了精度，从股票账面价值M（t）开始，经过有限次迭代后，icard算法提供的等式（9）在精度范围内无法与最大解区分。然而，K（）并非先验知识，在每个时间步，必须检查是否已达到所需的精度。经过必要的修改，可以证明：定理3.3（收敛到最小解）。如果映射中的所有赋值函数Φtakevalues在[0，1]中是非递减的，并且从下面开始是连续的，并且如果E（0）（t）=m（t），则：1。序列{E（k）（t）}是单调的非递减：K≥ 0，E（k+1）（t）≥ E（k）（t），2。序列{E（k）（t）}收敛：limk→∞E（k）（t）=E∞（t），3。E∞（t）是（8）和毛皮thermore E的溶液∞（t） =Emin（t）。与定理3之后证明的考虑类似。2在这种情况下也成立，这意味着Theorem 3.3提供了在最坏情况下计算股票的直观方法。Takentogether，理论3。2和3.3中，提供了一种简单的算法方法，以检查当估值函数连续时（从上到下），在数值精度范围内（8）的解是否唯一。现在让我们把这些结果放在现有文献的背景下。

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2022-5-25 10:03:04

为了证明解决方案的存在性，Suzuki（2002）和Fis cher（2014）利用了Brouwer-Schauder不动点定理，该定理要求企业支付的款项是所有企业支付款项的连续函数。连续性假设不允许计入违约成本。然而，inSuzuki（2002）和Fischer（2014），迭代映射不需要是单调的，允许对一些具有特定函数形式的竞争进行建模。由于Brouwer-Schauder不动点定理没有给出任何关于解空间结构的信息（例如，存在最大和最小解），因此必须有唯一的解。为了证明唯一性，Suzuki（2002）和Fischer（2014）提出了另一个假设，即所有权矩阵（类似于我们的银行间资产矩阵）是严格的亚随机矩阵，这意味着对于任何给定级别的债务交叉持股，每家公司都必须同时持有具有相同优先级的外债。继Eisenberg和Noe（2001）（参见alsoGlasserman和Young（2016）），我们使用了Knas ter Tarski固定点定理，该定理要求估值函数是单调的，防止了导数的直接建模，并且不必连续。因此，违约成本和类似机制可以很容易地在我们的框架中得到调节（见第4节）。通过Knaster-Tarski不动点定理，我们不仅证明了解的存在性，而且还证明了最大解和最小解的存在性。

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2022-5-25 10:03:07

值得注意的是，理论3。2表明，如果估价的起点是索赔的boo k值，则可获得最大t解，从而提供了一个明确的规定，即使存在多个解，也可进行估价。从实践的角度来看，理解算法何时可以在有限的迭代次数中终止可能很重要。这些结果通常被证明是特定模型的特殊结果，这意味着它们对估值函数的显式函数形式做出了假设（Hain和Fischer，2015）。相反，我们表明，无论银行间估值函数的函数形式如何，这种结果都适用于银行间负债网络的特定拓扑，即DAG（有向无环图）。该结果特别相关的一个具体应用是曝光压缩（D\'Errico和Roukny，2018）。事实上，尽管在实践中很少实现完美的压缩，但用于压缩expo-Sure的技术最终会将任何银行间网络转换为DAG。提案3.1（DAG）。如果银行间资产定义的矩阵Aij（t）是DAG的邻接矩阵，Vei（Ei（t））=1，i： 1。图（9）在有限的迭代次数内收敛，2。（8）的解是唯一的。然而，inSchuldenzucker等人（2019年）表明，在存在信用违约掉期的情况下，可能存在多种解决方案，或者根本没有解决方案。4、与现有传染病模型的关系我们现在通过提供一些相关示例，强调第2节中概述的框架的一般性。更具体地说，我们表明，文献中熟知的四种不同模型可以作为特殊情况加以涵盖。

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2022-5-25 10:03:10

在下文中，我们用x>0表示与条件x>0定义的集合相关的指标函数，并用（x）+x的正部分表示，即（x）+=（x+| x |）/2。命题4.1（Eisenberg和No e）。如果t=t和：1。Vei（Ei（T））=1，i，2。Vij（Ej（T））=Ej（T）≥0个+Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，i、 jPj（T）=Lej（T）+PiLji（T），其中（8）的解与Eisenberg和Noe（2001）中引入的映射Φ的解之间存在一对一的对应关系。根据附录（A.1）中的证明，意味着i银行收到j银行总付款的一小部分Lij（T）/（Lej（T）+PiLji（T）），这意味着外部负债和银行间负债具有相同的优先级。从（A.2b）中，我们可以看出，权益是在支付了外部和银行间负债之后剩下的，因此它比这两种负债都少。命题4.2（罗杰斯和维拉特）。如果t=t和：1。Vei（Ei（T））=1，i，2。Vij（Ej（T））=Ej（T）≥0个+（α- β） Aej（T）(R)pj（T）+βEj（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，i、 jPj（T）=Lej（T）+PiLji（T），其中（8）的解与Rogers和Veraart（2013）介绍的mapΦ的解之间存在一对一的对应关系。让我们注意到，除非α=β=1，否则Vijis不是一个连续函数。当一家银行违约时，向其交易对手支付的款项有两笔供款。首先，其外部资产按系数α折现- β。第二，其总资产（Ei（p*（T））+π（T））+按系数β贴现。鉴于总资产是银行间资产和外部资产的总和，将这两个术语相加，即按系数α对外部资产进行贴现，按系数β对银行间资产进行贴现。这意味着，当银行违约时，其外部（银行间）资产将突然经历α的相对损失- 1（β- 1），例如，由于有必要在转售中对其进行清算。提案4.3（补充）。

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2022-5-25 10:03:15

如果：1。Vei（Ei（t））=1，i、 2。Vij（Ej（t））=Ej（t）≥0+REj（t）<0，i、 j，在（8）的解和Fur fine（2003）中引入的mapΦ的解之间存在一对一的对应关系。命题4.4（线性债务等级）。如果：1。Vei（Ei（t））=1，i、 2。Vij（Ej（t））=最小值E+j（t）Mj（t），1, i、 j，在（8）的最大解和Bardocia等人（2015）介绍的递归映射（DebtRank的线性版本）的解之间存在一对一的对应关系。在图1中，我们绘制了几个银行间估值函数：EN（见命题4.1）、Fur（见命题4.3）、Linear debortrank（见命题4.4）和事前EN，这将在第5节中介绍。-3.-2.-借款方权益。00.20.40.60.81.0ENFur filinear DREx ante ENFigure 1：作为借款人权益函数的银行间估值函数。参数如下。EN：’p=2，最终：R=1，线性债务等级：M=2.5，事前EN：Ae=1，’p=2，σ=1.5。如前所述，从清算到事前估价，一方面，清算模型允许计算银行在到期时向其交易对手支付的款项。另一方面，通过标准信贷结构模型对公司债务进行到期前评估，允许每个信贷机构只对其直接债务人进行说明，而忽略了债权人和债务人形成复杂互联网络时债务人可能产生的间接影响。本节的目的是说明如何使用第2节中介绍的框架来弥补这一差距。简言之，我们采用了一个清洁模型，我们表明，在第2节规定的意义上，通过计算预期值的事前不确定性，可以得到一个适当的事前估价模型。在这里，我们使用EN模型作为起始清算模型，但原则上也可以使用不同的清算模式L。

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kedemingshi

2022-5-25 10:03:18

正如第2节所预期的那样，外部资产遵循随机过程，因此，银行在到期时的价值面临事前不确定性。为简单起见，为了使符号更清晰，我们还将假设无风险利率是常数且等于零。起点是在t<t时对股票进行估值，就像在任何其他信贷结构模型中一样，即通过将t时股票的预期价值置于唯一鞅测度（EMM）Q之上，以t时的过滤为条件：e（t）=EQ[e（t）| F（t）]。（10）计算（10）右侧期望值的一种可行方法是进行蒙特卡罗模拟。这是Fischer（2014）提出的方法，Singer等人（20 06b，a）使用了其变体。这就要求：（i）在假设无套利机会和完整市场的情况下，模拟大量唯一EMM的存在。这些是信贷结构模型中的标准假设。在某种程度上，人们可以用市场价值来确定对独特EMM的期望，可以说，以这种方式计算的市场价值包含了关于交易对手在t和t之间违约的l-ikeliho od的信息。我们还注意到，在我们的框架中，权益是资产A和负债L之间的差异，因此可以是负数。另一方面，股票的市场价格应考虑到股东的有限责任，他们不能进入负资产。然而，在到期时，资产和负债之间差异的市场价格可以通过将股票的市场价格之和max（A）得出- 五十、 0）债务最小市价（L，A），减去负债账面价值L。

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何人来此

2022-5-25 10:03:21

该论点在到期之前也是有效的，只需将股本和债务价格的有条件预期置于风险中性措施之上。与外部资产相关的随机过程直至成熟的轨迹，（ii）对于每个模拟轨迹，用到期时外部as集的模拟值计算清算方程的解，以及（iii）用解清算方程的股票样本平均值近似预期值。然而，执行这些步骤的可能性取决于一个隐含的假设，即有一个代理人完全了解银行间资产。原因是清算方程的解必须针对大量到期外部资产的潜在变现进行计算，而在时间t时，个别银行并不知道这些变现。事实上，拥有完整信息的代理能够模拟到期外部资产的价值，并且，因为她对银行间资产有充分的了解，也能解所有相应的清除方程。相反，如第2节所述，在我们的方法中，每家银行只知道自己的银行间资产。我们通过插入命题4中的赋值函数来启动t。对于气缸组i，1到（10）：Ei（t）=等式[Aei（t）| F（t）]- EQ[Lei（T）| F（T）]+nXj=1EQ[Aij（T）V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]-nXj=1EQ[Lij（T）| F（T）]。（11）因为负债不是n-随机的，我们有等式[Lei（T）| F（T）]=Lei（T）和等式[Lij（T）| F（T）]=Lij（T）。由于无风险利率等于zer o，负债的账面价值不需要在时间t贴现，这意味着Lei（t）=Lei（t）和Lij（t）=Lij（t）。这两种考虑也适用于银行间资产，这意味着EQ[Aij（T）V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]=Aij（T）EQ[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]。关于外部资产，根据E MM的定义，我们的等式[Aei（T）| F（T）]=Aei（T）。等式。

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2022-5-25 10:03:25

（11）现在显示：Ei（t）=Aei（t）- Lei（t）+nXj=1Aij（t）EQ[V（EN）ij（Ej（t））| F（t）]-nXj=1Lij（t）。（12）现在剩下的任务是计算（12）右侧的第三项，即V（EN）ij的预计值：EQ[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]=EQ“Ej（T）≥0个+Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0F（t）#。（13）当估值形成时，银行i必须在时间t计算（13）中的预期值。总之，我们注意到j银行本身可能有债务人。这意味着，对于外部资产随机过程的固定实现，Ej（T）可能取决于j的银行间资产的价值，i不知道这些价值。此外，j的债务人可能有债务人自己（等等），这意味着Ej（T）原则上可能取决于所有银行间资产。因此，当计算（13）中的预期值时，bank i将需要进行n近似。我们认为，银行由于不了解债务人的债务人，因此将债务人权益的变化归因于其外部资产的变化，即（T）≈ E（t）+Ae（t）- Ae（t）。这意味着（13）中的预期值成为Aj（T）分布的预期值，Aj（T）是到期的外部资产，条件是Aj（T）是时间T的（观察到的）外部资产。此外，在计算预期值后，（13）的右侧将是Ej（T）的显式函数。因此，（12）将具有（5）的相同结构，即如果等式[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]是可行的估价函数，我们将有一个exante估价模型。因此，第3节中的所有结果都将适用。定理3.1和3.2将确保存在一个最大解（因此对所有银行都是最优的），并且可以使用Picard迭代算法（9）以任意精度计算该解。

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2022-5-25 10:03:28

事实上，（13）的右边是估值函数的期望值，它的值介于0和1之间，因此它也将介于z e ro a和o ne之间。类似地，（13）的右手侧是Ej（T）的非递减函数的预期值，但由于Ej（T）≈ Ej（t）+Aej（t）- Aej（t），也是Ej（t）的非递减函数的期望值。因此，（13）右侧的elf将是Ej（t）的非递减函数。通常，连续性属性将取决于度量Q。稍后将讨论一个具体示例，其中（13）的右侧是连续的，henceEQ[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]是一个估值函数。在我们对这种估值函数进行显式计算之前，有一些观察是有序的。我们强调，该近似值并不意味着j的债务人（或其他银行）对i没有任何影响。事实上，j的债务人的影响在Ej（t）的等式中进行了说明，当计算（13）的固定点时，Ej（t）的等式将输入Ei（t）的等式。在实践中，当（13）迭代求解时，算法的第一步将把可怕的通货膨胀因素的影响纳入股票。第二步将考虑债务人对债务人的影响，等等。另一种解释近似值的方法是，假设银行对银行间资产的估值是独立的风险中性。事实上，如果AIJ是唯一的非零银行间资产，则近似值将是准确的，因为Ej（T）将仅依赖于Aej（T）。

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2022-5-25 10:03:31

从这个意义上讲，BANKI将计算银行间资产的风险净价值，就好像不存在其他信贷合同一样。通过定义Ae≡ Ae（T）- Ae（t）并引入以下简称：pDj（Ej（t））=1- 均衡器Ej（T）≥0 | F（t）= 均衡器Ej（T）<0 | F（T） EQhAej公司<-Ej（t）| Aej（t）i（14a）和：ρj（Ej（t））=等式“Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0F（t）# 均衡器Ej（t）+Aej+(R)pj（t）(R)pj（t）-(R)pj（t）-Ej（t）≤Aej公司<-Ej（t）| Aej（t）,（14b）我们可以用更简洁的形式重写（13）：EQ[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）] 1.- pDj（Ej（t））+ρj（Ej（t））。（15）从（14a）的第二行可以看出，根据定义，pDj（Ej（t））是指j银行到期违约的概率。类似地，从m（14b）可以看出ρj（Ej（t））是一个内生恢复率。事实上，当Ej（T）<0时，Ej（T）+pj（T）等于j的总资产，这小于其负债。因此，ρj（Ej（t））等于当j违约时，到期日j\'sassets的（有条件的）预期价值除以其总负债，即债权人预计可以收回的银行间资产部分的（有条件的）预期价值。从（15）中我们可以看出，估值函数可以被视为对两值概率分布的预期：如果债务人j在到期时没有违约，我将全额收回其银行间资产，而如果j违约，我将收回内生回收率。因此，（15）可以解释为，如果银行间负债的账面价值不变，我们就得到了‘pj（T）=‘pj（T）。Bardo scia et al.（2016）（见其中的（7））和Bardocia et al.（2017）（见补充方法中的（2））对估值机制的内生美国回收率进行了概括，其中回收率是外生的。最后，当我们接近成熟时，（15）中的估值函数接近命题4中的EN估值函数。1、提案5.1。

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2022-5-25 10:03:35

在接近到期日的限额内，即→ T，银行间估值函数（15）收敛于EN的银行间估值函数（命题4.1）。5.1。几何布朗运动的事前估值我们现在在（14）中明确计算违约概率和内生回收率，假设外部资产遵循独立的几何布朗运动：dAei（s）=uiAei（s）ds+σiAei（s）dWi（s）s∈ [t，t]，i.（16）的概率密度函数Aeiin测量值Q为：p(Aei）=p2π（T- t） σi(Aei+Aei（t））e-“日志1+AeiAei（t）+σi（T-t） #2σi（t-t）。（17）从（14）我们得到：pDj（Ej（t））=“1+erf”log（1- Ej（t）/Aej（t））+σj（t- t） /2p2（t- t） σj##Ej（t）<Aej（t）（18a）ρj（Ej（t））=1+Ej（t）–pj（t）pDj（Ej（t））- pDj（Ej（t）+pj（t））+Aej（t）2'pjcj（Ej（t））（18b）带CJ（Ej（t））=- er f“σj（T- t） /2个- 日志1.- Ej（t）/Aej（t）p2（T- t） σj#Ej（t）<Aej（t）- erf“σj（T- t） /2+对数1.- Ej（t）/Aej（t）p2（T- t） σj#Ej（t）<Aej（t）+erf“σj（t- t） /2+对数1.- （Ej（t）+pj（t））/Aej（t）p2（T- t） σj#Ej（t）<Aej（t）-“pj（t）+erf”σj（t- t） /2个- 日志1.- （Ej（t）+pj（t））/Aej（t）p2（T- t） σj#Ej（t）<Aej（t）-(R)pj（t）。通过将（18）插入（15），很容易证明等式[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]实际上是Ej（T）的一个连续函数（从上到下），因此是一个可行的估值函数。5.2。压力测试：Merton vs network Valuation作为概念证明，我们在一个由a、B、C三家银行组成的小型金融系统上进行压力测试。我们选择了一个简单的环形拓扑结构→ B→ C→ A具有以下参数：Ae（t）=1.5Le（t）=0.5A（t）=0 0.8 00 0 0.80.8 0 0, （19）因此，这三家银行的股权账面价值都等于一。总杠杆率，定义为总资产与权益账面价值之间的比率，范围为10.8至2.3。

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