相比之下，在图2中，银行间事前估值函数是根据外部资产冲击后的价值Ae（t）计算的，这明显随外部资产的外部冲击而变化。评估网络贡献程度的另一种方法如下。让我们想象一下，每家银行都想用标准的默顿方法评估其交易对手的银行间资产。这相当于使用估值函数（15）并在交易对手权益的账面价值中对其进行评估。因此，贷款人i通过因子Vij（Mj（t））将其银行间资产Aij（t）贴现给借款人j。如果使用事前估价进行相同的估价，则贴现系数e等于Vij（e*j（t））。在图2的右侧面板中，我们展示了这些贴现因子之间的差异，即采用标准默顿法进行的银行间债权估值的贴现因子与采用σi（T）的事前估值函数（16）进行的银行间债权估值之间的差异- t） =0.5，适用于所有银行。在本例中，从图2的右侧面板中，我们可以看到，对于持有a银行债权的C银行，这种差异可以大于60%（当α=1时）。由于C银行持有的银行间资产的账面价值相当于0.8，使用默顿模型，我们会高估其绝对价值0.8·0.6≈ 0.5，约为C银行股权账面价值的50%（等于本例中的1）。此外，对外部资产的冲击越大，两个贴现因子之间的差异就越大。6、结论在本文中，我们引入了一个通用的框架，对金融机构的银行间债权进行事前和网络调整估值。

一方面，我们的框架包含了一些最广泛使用的金融传染模型（Eisenberg和Noe，2001；Fur fine，2003；Rogers和Veraart，2013；Bardocia等人，2015），从精确意义上讲，该模型与这些模型在估值函数和参数的特定选择上是等效的。在0上。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0冲击0。00.20.40.60.81.0进一步线性DREx ante EN0。000.080.000.210.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0冲击0。000.62图2：压力测试，包括对所有银行的外部资产施加外部冲击，并重新评估银行间债权。左图：网络贡献（衡量为银行间资产重估造成的相对损失）作为外部冲击的函数，用于几个估值函数。右面板：对于示例网络中的三家银行中的每一家，显示了与使用标准默顿法进行的银行间债权估值相关的贴现因子和与使用事前EN进行的银行间债权估值相关的贴现因子之间的差异。另一方面，我们的框架还涉及到文学史（Fischer，2014；Suzuki，2002），当不同公司之间存在债务交叉持有时，对默顿索赔进行估价。我们的主要结果是，在对估值函数的温和假设下，估值问题有一个最大的解决方案，即所有银行的股权都最大的解决方案。此外，我们还提供了一个简单的迭代算法来计算这种解。最后，我们展示了如何从清算模型导出事前估价模型，即。

从到期时形成估值的模型。我们框架的一个自然应用是设计压力测试，以评估负债网络中银行投资组合的损失，以外部资产受到冲击为条件，从而确定资本需求和风险价值。事实上，对于银行外部资产的任何特定冲击，都对应着银行股票的不同估值。因此，通过假设未知的冲击分布，可以得出相应的均衡损失分布。这样的分布可以作为任何公理化风险度量的输入。最后，我们可以将我们的框架嵌入到一个有非金融机构、家庭和ZF的全面经济中。事实上，Gray等人（2010年）构建了默顿模型的扩展，虽然abstr从单个企业的网络出发，但重点关注部门资产负债表之间的相互联系，从而允许讨论部门资产负债表之间的主要传输渠道。数据可用性声明ntData Sharement不适用于本文，因为本研究中未创建或分析新数据。网络估值框架的Python实现，包括此处生成的所有估值函数，可从以下网站获得：https://github.com/marcobardoscia/neva.AcknowledgmentsAll作者对这项研究的概念作出了贡献。PB、MB和FC得出了结果。MDE、GV、GC和SB审查了研究结果及其意义。PB、MB和SB编写了手册。PB、MB、FC、MDE、GC和SB编辑并修订了手稿。苏黎世大学银行和财务系聘用PB、MB、MDE和GV时，编制了本文件的第一版。P B和MB感谢伦敦Formathematic Sc ie nc es研究所在这项工作的早期阶段提供的物质支持。

PB、MB、MDE、GV、SB和GC根据第610704号（FET项目SIMPOL）和第640772号（FET项目DOLFINS）赠款协议确认欧盟FP 7和地平线2020研究与创新项目的资金。SB承认瑞士国家基金会教授职位。PP00P1-144689。GC承认根据第31753 2号赠款协议（FET IP项目多路复用）、第654024号赠款协议（SoBigData）、第676547号赠款协议（Coe GSS）、第952026号赠款协议（人道AI网）和第871042号赠款协议（SoBigData++），资助了欧洲联盟的FP7和地平线2020研究与创新项目。FC感谢经济及社会研究理事会（ESRC）在资助系统性风险中心（ES/K002309/1）方面的支持。参考Acemoglu，D.、Ozdaglar，A.和Tahbaz Salehi，A.（2015）。金融网络中的系统性风险和稳定性。《美国经济评论》，105（2）：564–608。Allen，F.和Carletti，E.（2013年）。什么是系统性风险？《货币、信贷和银行杂志》，45（1）：121–127。Allen，F.和Gale，D.（2001年）。金融合作区。《政治经济学杂志》，10 8（1）：1–33。Amini，H.、Cont，R.和Minca，A.（2016a）。金融网络的抗传染能力。数学金融，26（2）：329–365。Amini，H.、Filipovi\'c，D.和Minca，A.（2016b）。具有清算成本的支付系统平衡点的唯一性。运筹学快报，44（1）：1-5。Anand，K.、Craig，B.和Von Peter，G.（2015年）。填补空白：网络结构和银行间传染。定量金融，15（4）：625–636。Banerjee，T.、Bernstein，A.和Feinstein，Z.（2018年）。金融网络中的动态清算和传染。https://arxiv.org/abs/1801.02091.Banerjee，T.和Feinstein，Z.（2018）。具有共同捐赠的金融网络中的债务和股权定价。https://arxiv.org/abs/1810.01372.Banerjee，T.a和Feinstein，Z.（20 19）。

或有付款对金融网络系统风险的影响。数学与金融经济学，13（4）：617–636。Bardosc ia，M.、Battiston，S.、Caccioli，F.和Caldarelli，G.（2015）。DebtRank：冲击传播的微观基础。PLoS One，10（6）：e0134888。Bardosc ia，M.、Battiston，S.、Caccioli，F.和Caldarelli，G.（2017）。金融网络不稳定的途径。《自然通讯》，8:14416。Bardosc ia，M.、Caccioli，F.、Caldarelli，G.、Perotti，J.I.和Vivaldo，G.（2016）。复杂网络中的遇险传播：非线性债务等级案例。PloS One，11（10）：e0163825。巴塞尔银行监管委员会（2011年）。巴塞尔协议III：针对更多抗性银行和银行系统的全球监管框架。http://www.bis.org/publ/bcbs189.pdf.Battiston，S.，Caldarelli，G.，D\'Errico，M.，和Gurciullo，S.（2016a）。利用网络：基于DebtRank的astress测试框架。统计和风险建模，33（3-4）：1-33。Battiston，S.，Caldarelli，G.，May，R.M.，Roukny，T.，和Stig litz，J.E.（2016b）。金融网络复杂性的代价。《美国国家科学院院刊》，113（36）：10031–10036。Battiston，S.、Puliga，M.、Kaushik，R.、Tasca，P.和Caldarelli，G.（2012年）。DebtRank：TooCentral会失败吗？金融网络、美联储和系统性风险。科学报告，2:1–6。Bielecki，T.R.和Rutkowski，M.（2013）。信用风险：建模、估价和对冲。SpringerScience&Business Me dia公司。Black，F.a和Cox，J.C.（1976年）。评估公司证券：债券契约条款的一些影响。《金融杂志》，31（2）：351–367。Brigo，D.和Capponi，A.（2010年）。双边交易对手风险，适用于CDS。风险，23（3）：85。Caccioli，F.、Shrestha，M.、Moore，C.和Far mer，J.D.（2014）。稳定性：对投资组合重叠导致的金融传染的分析。

《银行与金融杂志》，46:233–245。Cifuntes，R.、Ferruc c i，G.和Shin，H.S.（2005）。流动性风险和传染。《欧洲经济协会杂志》，3（2-3）：556-566。Cimini，G.、Squartini，T.、Garlaschelli，D.和Gabrielli，A.（2015）。重建经济和金融网络的系统风险分析。科学报告，5:15758。Collin Dufresne，P.，Goldstein，R.，和Hugonnier，J.（2004）。可违约证券估值的一般公式。《计量经济学》，72（5）：1377–1407。Cont，R.和Schaanning，E.（2017）。甩卖、间接传染和系统性压力测试。https://ssrn.com/abstract=2541114.Cossin，D.和Schellhorn，H.（2007）。网络经济中的信用风险。《管理科学》，53（10）：1604-1617。D\'Errico，M.和Roukny，T.（2018年）。压缩场外交易市场。https://arxiv.org/abs/1705.07155.Duffe，D.和Singleton，K.J.（1999年）。可违约债券的期限结构建模。《金融研究评论》，12（4）：687–7 20。Eisenberg，L.和Noe，T.H.（2001年）。金融系统中的系统性风险。管理科学，47（2）：236–249。Elliott，M.、Golub，B.和Jackson，M.O.（2014）。金融网络和传染。《美国经济评论》，104（10）：3115–3153。Elsinger，H.、Lehar，A.和Summer，M.（2006a）。银行系统风险评估。管理科学，52（9）：1301–1314。Elsinger，H.、Lehar，A.和Summer，M.（2006b）。使用市场信息进行银行系统风险评估。《国际中央银行杂志》，3月。Feinstein，Z.（2017）。金融传染和资产清算策略。《运营研究快报》，45（2）：109–114。Feinstein，Z.、Pang，W.、Rudlo Off，B.、Schaanning，E.、Stur m，S.和Wildman，m.（2018）。eisenberg–noe清算向量对单个银行间负债的敏感性。暹罗金融数学杂志，9（4）：1286-1325。Fischer，T.（2014）。

系统性风险下的无套利定价：交叉所有权会计。数学金融，2 4（1）：97–124。Freixas，X.、Parigi，B.M.和Ro chet，J.-C.（2000年）。系统性风险、银行间关系和中央银行提供的流动性。《货币、信贷和银行杂志》，32:611–6 38。Fur fine，C.H.（2003年）。银行间风险敞口：量化传染风险。《货币、信贷与银行杂志》，35（1）：111–129。Gandy，A.和Veraart，L.A.（2016）。金融网络系统风险评估的贝叶斯方法。管理科学，63（12）：4428–4446。Glasserman，P.和Young，H.P.（2015）。金融网络中的传染可能性有多大？《银行与金融杂志》，50:383–399。Glasserman，P.和Young，H.P.（2016）。金融网络中的传染。《经济文学杂志》，54（3）：779-831。Gray，D.、Merton，R.C.和Bodie，Z.（2010）。衡量和管理宏观金融风险和金融稳定性：一个新框架。中央银行、分析和经济政策系列，15:125–157。Greenwood，R.、L andier，A.和Thesmar，D.（2015年）。弱势银行。《金融经济学杂志》，115（3）：471–485。Gregor y，J.（2009）。在交易对手信用风险问题上持两面态度。风险，22（2）：86–90。Hain，J.和Fischer，T.（2015年）。金融互联结构模型的估值算法。https://arxiv.org/abs/1501.07402.Lando，D.（2009年）。信用风险建模：理论与应用。普林斯顿大学出版社，普林斯顿。Leland，H.E.和Toft，K.B.（1996年）。最优资本结构、内生破产和信贷期限结构。《金融杂志》，51（3）：987–101 9。Lewandowska，O.（20-15）。银行系统性风险监管的OTC清算安排：模拟方法。《货币、信贷和银行杂志》，47（6）：1177-1203。默顿，R.C.（1974）。

关于公司债务定价：利率风险结构。《金融杂志》，29（2）：44 9–470。Rochet，J.C.和Tirole，J.（1996年）。银行间借贷和系统风险管理k.《货币、信贷和银行杂志》，28（4）：733-762。罗杰斯，L。C、 G.和Veraart，L.A.M.（2013）。银行间网络的故障与救援。管理科学，59（4）：882–898。Schuldenzucker，S.、Seuken，S.和Battiston，S.（2019年）。违约模糊性：信贷违约掉期在金融网络中产生了新的系统性风险。《管理科学》，66（5）：1783-2290。Sorensen，E.H.和Bollie r，T.F.（1994年）。定价掉期违约风险。《金融分析师杂志》，50（3）：23–33。Squartini，T.、Caldarelli，G.、Cimini，G.、Gabrielli，A.和Garlaschelli，D.（2018）。网络重构方法：经济和金融系统案例。《物理报告》，757:1–47。Squartini，T.、Cimini，G.、Gabrielli，A.和Garlaschelli，D.（2017）。通过密度采样进行网络重建。应用网络科学，2（1）：3。Stiglitz，J.E.（2010）。风险与全球经济架构：为什么全面金融一体化可能不可取。《美国经济评论》，100（2）：3 88–92。铃木，T.（2002）。评估公司债务：股票和债务交叉持有的影响。《日本运筹学学会期刊》，45（2）：123–144。Veraart，L.A.（2020年）。金融网络中的困境和违约传染。数学金融，https://doi.org/10.1111/mafi.12247.Appendix:定理和命题的证明为了保证可读性，在证明中，只要不存在歧义风险，我们就抑制了对t的显式依赖。理论3。1（最大和最小解的存在性）。如果映射Φ中的所有赋值函数取[0，1]中的值且不递减，则方程组（8）允许最大解max（t）和最小解Emin（t）。证据

为了证明这一点，我们只需要证明：（a）函数Φ将一个完整的晶格映射到它自己，Φ：λ→ ∧，（b）函数Φ是保序函数。为了证明（a），我们注意到，如果估值函数可行，那么：E∈Rnmi=-Lei公司-XjLij≤ Φi（E）≤ Aei公司- Lei+XjAij-XjLij=m因此∧=ni=1【mi，mi】是一个完整的晶格，使得Φ：∧→ ∧，这证明了（a）。由于Φ是E中单调非递减函数的线性组合，那么E、 E′如果E≤ E′，后接Φ（E）≤ Φ（E′），其中∧中的偏序关系为分量关系，即x≤ y i FF公司i xi≤ 易。所以条件（a）和（b）都成立，克纳斯特-塔斯基定理也适用。（8）的解集S是一个完整的格，因此它是非空的（空集不能包含自己的上确界），更重要的是，它允许上确界解Emax和下确界解Emin，从而E*∈ S、 埃敏≤ E*≤ Emax。定理3.2（收敛到最大解）。如果映射Φ中的所有赋值函数都是可行的，并且如果E（0）（t）=M（t），则：1。序列{E（k）（t）}是单调非递增的：K≥ 0，E（k+1）（t）≤ E（k）（t），2。序列{E（k）（t）}收敛：limk→∞E（k）（t）=E∞（t） ，3。E∞（t） 是（8）的解，而且是E∞（t） =Emax（t）。证据归纳法可以证明这种收敛性。对于n=0，我们有E（1）=Φ（E（0））≤ M=E（0）假设现在声明对所有0都是真的≤ M≤ n、 thenE（n+1）=Φ（E（n））≤ Φ（E（n-1） ）=E（n），其中我们使用了Φ是单调非递减的事实和E（n）≤ E（n-1） 通过假设，我们知道{E（n）}是下有界且单调非递增的，通过Monoto-ne收敛定理，我们得到了E*= 画→∞E（n）=infn{E（n）}存在并且是有限的。通过假设Φ从上面是连续的，因为在定理（3.2）的假设下，我们知道赋值函数是可行的，因此Φ（E*) = Φ（limnE（n））=limnΦ（E（n））=limnE（n+1）=E*所以E*∈ s

我们现在要证明的是*= Emax。首先，我们需要建立一个初步结果，即E（n）≥ Emax，n、 通过归纳推理，对于E（0）的初始点来说，这是非常正确的≥ Emax。假设在给定的n，E（\'n）下为真≥ Emaxthen，由于Φ是订单预服务，E（\'n+1）=Φ（E（\'n））≥ Φ（Emax）=EmaxNow，知道E（n）≥ Emax，n我们有那个E*= infn{E（n）}≥ Emax。但是E*∈ S、 亨西*= Emax。定理3.3（收敛到最小解）。如果映射中的所有赋值函数Φtakevalues在[0，1]中是非递减的，并且从下面开始是连续的，并且如果E（0）（t）=m（t），则：1。序列{E（k）（t）}是单调的非递减：K≥ 0，E（k+1）（t）≥ E（k）（t），2。序列{E（k）（t）}收敛：limk→∞E（k）（t）=E∞（t） ，3。E∞（t） 是（8）的解，而且是E∞（t） =Emin（t）。证据归纳法可以证明这种收敛性。对于n=0，我们有E（1）=Φ（E（0））≥ m=E（0）假设现在声明对所有0都是真的≤ M≤ n、 thenE（n+1）=Φ（E（n））≥ Φ（E（n-1） ）=E（n），其中我们使用了Φ是单调非递减的事实和E（n）≥ E（n-1） 根据假设。我们知道{E（n）}在上有界且单调不递减，通过单调收敛定理我们得到了*= limnE（n）=supn{E（n）}存在并且是有限的。假设Φ从m以下连续，因此Φ（E*) = Φ（limnE（n））=limn→∞Φ（E（n））=limn→∞E（n+1）=E*所以E*∈ S、 我们现在要证明的是*= 埃敏。首先，我们需要建立一个初步结果，即E（n）≤ 埃敏，n、 通过归纳推理，对于E（0）的初始点来说，这是非常正确的≤ 埃敏。假设在给定的n，E（\'n）下为真≤ Eminthen，因为Φ是订单预服务，所以E（\'n+1）=Φ（E（\'n））≤ Φ（Emin）=EminNow，知道E（n）≤ 埃敏，n我们有那个E*= supn{E（n）}≤ 埃敏。但是E*∈ S、 亨西*= 埃敏。提案3.1（DAG）。

如果银行间资产定义的矩阵Aij（t）是DAG的邻接矩阵，Vei（Ei（t））=1，i： 1。图（9）在有限的迭代次数内收敛，2。（8）的解是唯一的。证据我们将来源银行定义为不持有银行间资产的银行，即S={i:Aij=0，j} ，如果银行同业拆借矩阵是DAG，则为非空集。然后，我们根据与源库集S的最大图距离来划分库，分区为{Sd}dmaxd=0。从初始条件M开始，银行在零次迭代中收敛到其账面价值a，因为它们的权益不依赖于任何其他银行的权益（也不依赖于它们自己的）。中的银行在一次迭代中收敛，因为它们的权益仅取决于S中银行的权益。通过归纳，Sdmaxconverge中的银行在Dmax中收敛。从初始条件开始，mbanks在一次迭代中收敛到其账面价值，因为Picard迭代算法在一次迭代中准确地校正了其股票的价值。因此，Φ（dmax）（M）=Φ（dmax+1）（M），因此所有银行收敛到Emin=Emaxin（最多）dmax+1次迭代。命题4.1（Eisenberg和No e）。如果t=t和：1。Vei（Ei（T））=1，i，2。Vij（Ej（T））=Ej（T）≥0个+Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，i、 jPj（T）=Lej（T）+PiLji（T），其中（8）的解与Eisenberg和Noe（2001）中引入的映射Φ的解之间存在一对一的对应关系。证据如前所述，在EN中，估值发生在到期时，t=t。在（i）有限责任、（ii）债务优先于权益、（iii）按比例还款的假设下，计算清算支付向量p*（T）whos e组件p*i（T）是银行i向其合作伙伴支付的总金额。

为了符合其注释，我们还引入了义务向量“p（T）”，定义为“pi（T）=Lei（T）+PjLij（T），这是i银行的总负债。Eisenberg和Noe（2001）表明：*i（T）=最小值ei（T）+XjLji（T）p*j（T）(R)pj（T），(R)pi（T）, （A.1）式中，ei（T）=Aei（T）。等式（A.1）c可等效改写为：p*i（T）=pi（T）Ei（p*（T））≥0+[Ei（p*（T））+π（T）]+Ei（p*（T））<0，（A.2a），其中EI（p（T））=Aei（T）- Lei（T）+XjAij（T）pj（T）(R)pj（T）-XjLij（T）。（A.2b）通过选择命题4.1的假设中的估值函数，上述方程等价于（5）。事实上，当Ej（T）>0时，j银行的现金流足以支付其到期款项，因此p（T）=p*（T）。相反，当Ej（T）<0时，j银行利用其剩余资产[Ej（T）+pj（T）]+尽可能按比例偿还其债权人。命题4.2（罗杰斯和维拉特）。如果t=t和：1。Vei（Ei（T））=1，i，2。Vij（Ej（T））=Ej（T）≥0个+（α- β） Aej（T）(R)pj（T）+βEj（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，i、 jPj（T）=Lej（T）+PiLji（T），其中（8）的解与Rogers和Veraart（2013）介绍的mapΦ的解之间存在一对一的对应关系。证据这个证明完全类似于命题4的证明。1、与（A.2a）类似，作为权益函数的付款如下所示：p*i（T）=pi（T）Ei（p*（T））≥0+小时（α- β） Aei（T）+β（Ei（p*（T）+π（T）+iEi（p*（T））<0。提案4.3（补充）。如果：1。Vei（Ei（t））=1，i、 2。Vij（Ej（t））=Ej（t）≥0+REj（t）<0，i、 j，在（8）的解和Fur fine（2003）中引入的mapΦ的解之间存在一对一的对应关系。证据

根据最终算法，非负资产的交易对手始终能够全额偿还其债务，而如果其债务为负，则只会偿还其中的一小部分。这正是命题4.3 ac c中的估价函数的含义。命题4.4（线性债务等级）。如果：1。Vei（Ei（t））=1，i、 2。Vij（Ej（t））=最小值E+j（t）Mj（t），1, i、 j，在（8）的最大解和Bardocia等人（2015）介绍的递归映射（DebtRank的线性版本）的解之间存在一对一的对应关系。证据证明对应关系的最简单方法是从M（t）开始，计算迭代映射（9）的增量变化，在这种情况下，迭代映射为：E（k+1）i（t）- E（k）i（t）=PjAij（t）E（k）j（t）+-E（k-1） j（t）+Mj（t），对于所有i.从M（t）werecover（7）inBardosc ia et al.（2015）开始Picard迭代算法，其中M（t）用E（0）表示。一旦Bardocia等人（2015年）的迭代图中j组的权益变为零，它将不再变化，这与上文得出的增量变化一致。提案5.1。在接近到期日的限额内，即→ T，银行间估值函数（15）收敛于EN的银行间估值函数（命题4.1）。证据首先我们注意到→ 外部资产的变化进入zer o，概率接近1，因此从（14）我们得到pDj（Ej（T））→Ej（T）<0且ρj（Ej（T））→Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，命题很容易从中得出。