因此，我们还研究了使用向量v，1时的收敛行为。我们测试了向量v的所有可能回声∈ {0，1}\\{0}并观察到v=[1，1，0]最佳可能选择是平滑有效计算篮子期权价格的回报21个正交点-15-10-5d=3，C=27.4031aSG+CSaSG+CS2MC+CSN-1/2N-1N-2正交点-15-10-5d=3，C=27.4031aSG+CSMC+CSN-1/2N-1N-2图9。[28]中的示例错误，d=3个资产。在左侧，我们将向量1替换为v=[1，1，0]时的收敛性包括在内. 在右侧，我们使用修正的波动率σ=0.1365。对于本例。在图9的左侧，我们将图8右侧的结果与（aSG+CS2）表示的v的最佳选择进行比较，并观察到改进的收敛性，其中λ1的大小与v=0.00109的大小相同，即λ1的可见时间与λ一样高。然而，与λ2相比，λ1，vis仍然非常小，v=0.03294，因此，收敛性的改善并不是那么特别。这导致了这样一种情况，即所考虑的示例不太适合我们所提出的方法。特别是，与其他波动率相比，σ=0.0365的低值似乎对平滑度有负面影响。因此，我们还测试了该示例的修正波动率σ=0.1365。这种情况下，图9右侧h和侧边的结果也显示了显著改善的收敛性。此外，D的条目由λ=0.01034、λ=0.02255和λ=0.00526给出，这表明波动性的差异对λ的大小以及平滑度的影响。结论在篮子期权的背景下，我们表明，基础的阿古斯成分固有的平滑特性可用于缓和被积函数（支付函数），而无需引入额外偏差。

获得了光滑的被积函数后，我们可以直接应用（自适应）稀疏g rid方法。我们观察到，这些方法在低维和中高维方面都非常有效。例如，与（Q）MC方法相比，25维的误差可以提高两个数量级。在维数3中，我们甚至得到指数收敛。虽然平滑方法的实际边界在很大程度上取决于问题，但在我们所考虑的示例中，我们观察到自适应稀疏gr-id方法对于高达35维的平滑被积函数有很好的结果。我们还通过引入平滑支付来讨论了MC和QMC方法的改进。在蒙特卡罗的情况下，我们没有观察到计算误差的显著改善，因为方差减少似乎可以忽略不计。对于QMC方法的Sobol数，更准确地说，我们确实看到了常数中的一些改进。正如所料，利率保持不变。22 C.BAYER、M.SIEBENMORGEN和R.Tempone我们注意到，这项工作中使用的方法并不局限于多元Black-Scholes或方差Gamma设置中的篮子选项，而是可以相当广泛地推广。例如，SDE corr的Euler离散化的每一步都对应于aGaussian混合模型。因此，最终被积函数的条件期望，在除最后一个外的所有布朗增量的情况下，以Payoff函数w.r.t.到正态分布的高斯积分的形式，可能具有复杂的平均向量和协方差矩阵。如果这个积分可以显式计算，那么我们就可以直接得到报酬的软化，而不会引入偏差。即使不能以闭合形式计算积分，也可能有使用数值积分的用例。

例如，在篮子期权的情况下，将一维对数正态积分与回归/插值（以避免对每个新（稀疏）网格点重新计算一维积分）结合起来进行快速、高精度的数值积分，可能比应用于完整问题的数值积分技术更有效。最后，请注意，该技术也有明显的局限性。就目前而言，考虑到本文研究的一篮子期权的变化，即最佳看涨期权。这里，支付由Maxi=1，。。。dSiT- K+对于对数正态分布，相关变量位于（Black-Scholes设置中）。显然，我们可以使用引理3.1构造一个公共正态因子Y和其他因子Y，Yd（所有共同正常，Y独立于其余部分），因此SiT=eYeYi。因此，为了获得最佳看涨期权的价格，我们得到“maxi=1，…dSiT- K！+#=E“eYmaxi=1，…deYi- K！+#。通过条件实验，我们得到了应用于maxi=1，。。。德伊，这仍然是一个非sm-ooth支付。在这种情况下，软化只能消除一个不规则源，而不是所有不规则源。事实上，正如本研究目前所述，当期权支付的d为连续曲面时，条件经验步骤最有效。确认。R、 Tempone是KAUST Strategic Research Initiative（计算科学与工程不确定性量化中心）的成员。C、 拜耳和M.Siebenmorgen获得了R对这项工作相关研究访问的支持。Tempone的KAUST基线基金。参考文献【1】Nico Achtsis、Ronald Cools和Dirk Nuyens。Heston模型下障碍期权定价的条件抽样，第253–269页。施普林格柏林海德堡，柏林，海德堡，2013年。[2] Nico Achtsis、Ronald Cools和Dirk Nuyens。

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