例如，我们可以选择seez作为最小方差策略。为了证明解的唯一性，我们必须引入另一个过程，比较[22]。为了测量精确的BSDE与其近似值之间的差异，我们发现可以方便地为适应的向量值过程引入以下（半）范数：kXtkβ=Eeβttr（X>tXt）1/2，kXkβ，2=ZTkXukβdu1/2，kXkβ，∞= sup0≤T≤TXTKβ。以下定理表明，方程（69）的解近似于系统（57）的后向部分的解。定理5.2假设终值ξ和驱动因子f是Lipschitz连续的：|ξ（~s）-ξ（s）|≤ KξKs-sk | f（t，s，y，z）- f（t，s，y，z）|≤ Kf公司k▄s-sk+ky-yk+kz- zk公司.（70）然后存在常数c，c，c>0，这取决于时间范围T，因此以下不等式成立：keY- Y kβ，∞≤ ckeS公司-Sk2，∞,keZt公司- Ztkβ，2≤ ckeS公司-Sk2，∞,中兴通讯βuEZ> u（英寸- P）Zu杜邦≤ ckeS公司-Sk2，∞.（71）该定理的证明见附录A.3。因此，解决方案（Y，Z）可以由主要风险因素驱动的过程（eY，eZ）近似。此外，（71）中的第三项性质表明Z的剩余部分很小。24 A.Lesniewski和A.Richter6数值结果在本节中，我们讨论了使用蒙特卡罗方法求解连续FBSDE的一般数值框架。此类方程包括上文讨论的简化基本BSDE。作为应用，我们提出了一种计算交易对手信用风险值^V的算法。

然后用一个简单的例子说明了该方法。6.1离散化FBS简要回顾前后向系统离散化的方法DST=u（t，St）dt+σ（t，St）dWt，S=S，-dYt=f（t，St，Yt，Zt）dt- Z> tdWt，YT=ξ（ST）。（72）这种方法是经典的，最初由Bouchaud和Touzi在[7]中提出。对于正向过程S，我们采用标准的离散化方案（如[26]），如asEuler或Milstein方案（对于后者，假设适当的可积条件）。设π={t=0<t<…<tm=t}表示正则时间网格，其中i=ti+1- ti。特别是，对于Euler格式，近似采用以下离散正向过程的形式：sπ=s，Si+1：=sπti+1=sπti+u（ti，sπti）i+σ（ti，Sπti）Wi，其中我∈ {0，…，m- 1} 以及Wi=Wti+1- Wti。为了近似FBSDE（72）的后向部分，我们设置Si：=Sπti，Yi：=YπtiandZi=Zπti。这导致以下系统：Yi=Yi+1+f（Si，Yi，Zi）我- Z> 我Wi。（73）从终端条件ym=ξ（Sm）开始，我们继续查找所有i=m的yi和zi-1.请注意，（73）中的彝语不适用，取决于Zi。这两个问题可以通过采用条件期望来解决，条件期望导致toyi=Ei[Yi]=Ei[Yi+1]+f（Si，Yi，Zi）i、 其中，我们使用了符号Ei[·]=Eti[·]。这个隐式格式可以通过Yi=Ei[Yi+1+f（Si，Yi+1，Zi）转换为显式格式i] 。为了确定Zi，我们将（73）乘以一个增量WI并接受有条件的期望。此yields0=Ei[YiWi]=Ei[彝语+1Wi]- Zi公司i、 管理交易对手信用风险25，因此我们得到Zi的以下表达式：Zi=iEi[易建联+1Wi]。因此，我们得到了以下离散时间方案，用于求解系统（72）的后向部分：Ym=ξ（Sm），Zi=iEi公司彝语+1Wi公司,Yi=Ei彝语+1+f（Si，彝语+1，Zi）我,（74）对于i=m-1.0

注意，模拟该系统需要对条件期望值Ei[·]进行数值估计。我们将在下一节讨论这个问题。6.2通过Longstaff-Schwartz回归的条件期望（74）中计算条件期望值的一种实用而有力的方法是Longstaff-Schwartz回归方法，该方法最初是为美式期权定价而开发的【29】（另见【5】）。我们使用这种方法的一种变体，它涉及埃尔米特多项式。这种选择是很自然的，因为包含高斯随机变量的Hermite多项式的条件期望的表达式导致了方便的闭式表达式。设Hek（x），k=0，1。，表示对应于标准高斯测度du（x）=（2π）的第k个归一化Hermite多项式-1/2e-x/2dx。对于多指数k=（k，…，kn），其中每个kai都是非负整数，我们定义了hek（x）=nYa=1Heka（xa）。（75）这些函数构成希尔伯特空间L的正交基Rn，un, 其中unis是n维中的标准高斯度量，dun（x）=（2π）-n/2e-x> x/2dnx。Hek（x）的关键特性是以下χ的加法公式∈ [0，1]和w，x∈ 注册护士：Hek(√χw+p1- χx）=X0≤J≤K千焦1/2χ| j |/2（1- χ） | k-j |/2Hej（w）Hek-j（x）。（76）因此，对于unyields，在x上积分以下条件规则：E赫克(√χw+p1- χx）| w= χ| k |/2Hek（w），E赫克(√χw+p1- χx）xa | w= χ| k-1 |/2（1- χ） 1/2Hek（w）华盛顿州。（77）这里，w，x是独立的n维标准正态随机变量。后一条规则是使用加法公式（76）和Hermite多项式相对于标准高斯测度的正交性建立的。我们将使用这些规则来估计（74）中的条件期望值。26 A.Lesniewski和A.RichterWe设置Wti=√tiwi，对于i=1，m、 其中wii是一个n维标准正态随机变量。

我们注意到WI+1=√χiwi+p1- χiXi，（78），其中χi=ti/ti+1，其中xi为标准正常值，与wi无关。在下文中，weshall将此分解与（77）结合使用。现在，我们假设以下线性结构：Yi+1=Xk：| k|≤Kgk，i+1Hek（wi+1），（79），其中K是埃尔米特多项式阶的截止值。这只是随机变量Yi+1在正交基Hek（wi+1）中的截断展开。傅立叶系数的值通过普通最小二乘回归进行估计。然后，作为条件规则（77）的一个序列，Ei[Yi+1]=Xk：| k|≤Kgk，i+1χ| k |/2iHek（wi）。（80）换句话说，在Wii上调节Yi+1相当于将其傅里叶系数gk乘以因子χk |/2i。实际上，Zigven by（74）的公式很难使用。相反，我们使用Hermite架构找到了一个明确的表达，这在我们的实验中得到了验证。命题6.1以下恒等式成立：Zi=WiEi[彝语+1]=√tiXk公司≤Kgk，i+1χk/2ikHek-1（wi）。（81）证明：在一维情况下建立（81）是足够的。使用（78）和（76），我们很容易发现EI[Hek（wi+1）Wi]=piEi[嘿(√χiwi+p1- χiXi）Xi]=我√tiχk/2iHek（wi）wi，其中我们还使用了第二个标识（77）。因此，使用（74），我们发现thatZi=iEi公司Xk公司≤千克，i+1千克（wi+1）Wi公司=Xk公司≤Kgk，i+1χk/2iHek（wi）Wi。将其与（80）进行比较，我们发现（81）成立。现在我们已经找到了Zi的实际表示，我们继续计算Yiin（74）。为此，我们重复（79）和（80）中的计算，用Yi+1代替Yi+1+f（Si，Yi，Zi）i、 管理交易对手信用风险276.3^VIn的数值解为了数值解基本BSDE，我们进行如下操作。首先，我们选择风险因素的数量，如第5节所示。

然后，我们生成N条多因素布朗运动路径，以模拟基础投资组合的动力学。使用谱分解方法生成布朗路径，实际的选择可能是N=10000。接下来，我们通过求解（72）的正向方程来模拟资产价格过程。我们使用价格过程S作为输入，以确定不受缔约方信用风险影响的净额结算集的（8）值V。模型中的另一个关键输入是默认强度λ带λC。选择λ带λC确定性是最简单的可能和常用的选择。然而，这不允许对错误/正确的道路风险进行建模【10】、【18】、【14】。另一方面，建模随机违约率需要一种随机动态。标准方法包括对λ带λCas扩散过程进行建模。这些扩散的布朗驱动因素与驱动标的资产的布朗运动相关联。这些关联程度的符号可以量化错误方向风险对交易对手信贷的影响。应用接受-拒绝方法求解λ带λCand的扩散，然后生成默认时间τCandτB。接下来，求解简化的基本BSDE^V（24）。由于简化的基本BSDE为形式（72），因此可以直接应用第6.1节和第6.2节中讨论的数值方法。出于实际目的，我们可以选择K，即埃尔米特多项式的最大阶数，作为一个小整数2≤ K≤ 这种选择在精度和计算性能之间提供了合理的平衡。最后，我们通过使用公式（23）进行上述计算，得出交易对手信贷风险投资组合价值^V。6.4数值说明在本节中，我们通过将上述数值方法应用于具有已知显式解的简单BSD来说明上述数值方法。

对上述用于基本BSDE的方法的更全面分析将在单独出版物中介绍，见【27】。具体而言，考虑以下非线性BSDE：-dYt公司=αYt+β| Zt |+γ>Ut- γ> θ（α- γ> 1）（T- t）dt公司- Z> tdWt公司- U> tdJt，Yτ∧T=ea>WTτ>T+（θτ=τ+…+θnτ=τn）1τ≤T、 （82）计数过程Jt=（1τ≤T1τn≤t） >，第一个默认时间τ=τ∧ . . . ∧ τn和常数实值向量θ=（θ，…，θn）>。此外，α、β∈ R和a，γ∈ 注册护士。注意，此BSDE有一个随机时间范围τ，在该时间范围内发生跳跃。如第A.1节所述，BSDE可以减少到一个没有跳跃且具有最佳时间范围的值。根据定理A.1，简化的BSDE由下式给出-dYt=（αYt+β| Zt+γ>（θ- Yt）- γ> θ（α- γ> 1）（T- t） ）dt- Z> tdWt，YT=ea>WT.（83）此BSDE有一个显式解决方案，它读取（YT，Zt）=Mt，a（Mt- γ> θ（T- t） （）, （84）28 A.Lesniewski和A.RichterwhereMt=经验值a> a+β| a |+α-γ>（T- t） +a>重量+ γ> θ（T- t） ，（85）对于所有t∈ [0，T]。（82）的解（Y，Z，U）现在从简化的BSDEasYt=Mtt<τ+（θτ=τ+…+θnτ=τn）1t的解中获得≥τ、 Zt=a（Mt- γ> θ（T- t） ）1t≤τ、 Ut=（θ）- Mt）1吨≤τ。（86）我们现在将构造简化BSDE的数值解（83）。更准确地说，在n=1的情况下，我们将数值解与其显式解（84）进行比较。我们假设时间范围T=1，并选择以下参数值：a=-1.2，α=0.5，β=0.1，γ=2，θ=1。我们将时间间隔划分为m=250个子间隔，并生成N=20000条蒙特卡罗路径。为了估计条件期望值，我们选择K=4的Hermite架构（79），（81）。图1显示了模拟Y和Z的代表性蒙特卡罗轨迹。这里，黑线是精确解的路径（84），而红线是根据上述算法计算的数值近似值。

请注意，Y的近似路径非常接近精确轨迹。然而，代表Z的路径差别更大。显然，BSDE的Z过程的数值解收敛速度比Y过程的数值解慢。图1另一方面，Y和Z的预期值是BSDE精确解的近似值。如图2所示。图2最后，图3显示了Y和Z的期望值与精确解的期望值之间的相对误差。图3A技术结果和证明在本节中，我们展示了本文中使用的SDE和BSDE的一般结果。首先，我们感兴趣的是如何将带跳跃的基本BSDE转换为简化的基本BSDE。管理交易对手信用风险29A。1将跳跃BSDE转换为布朗BSDE基本BSDE可以更一般地表示为一个方程-dYt=f（t，Yt，Zt，Ut）dt- Z> tdWt公司- U> tdJt，t∈ [0，τ∧ T]，Yτ∧T=1τ>Tξ+1τ≤T（θττ=τ+…+θmττ=τm），（87）由n维布朗运动W和计数过程Jt=（1τ）驱动≤T1τm≤t） >。此BSDE的解决方案是满足（87）的自适应随机过程集（Y、Z、U）。驱动器f：R+×R×Rn×Rm→ R是给定的确定性函数，τ=τ∧ . . . ∧τmdenotest第一次默认时间。BSDE有一个可能的随机时间范围，更准确地说，其终值取决于默认事件是否在固定时间范围T之前发生。在这种情况下，BSDE在自适应随机过程θ=（θ，…，θm）>的入口的随机时间τ处停止。否则，BSDE将以FT可测量的随机变量ξ作为最终值进行到最终时间T。虽然跳BSDE处理起来相当复杂，但我们所处的特殊情况是，只有一次跳转发生，而且它发生在BSDE的最末端。

这就是我们可以用来将上述随机水平跳跃BSDE转换为无跳跃且具有最终时间的方程，即。-dYt=f（t，Yt，Zt，θt- Yt）dt- Z> tdWt，t∈ [0，T]，YT=ξ。（88）以下结果是[25]中定理4.3的推广，使我们有可能用连续BSDE的解来表示跳跃BSDE的解。定理A.1如果一对自适应随机过程（Y，Z）解（88），则（87）的解（Y，Z，U）由yt=Ytt<τ+（θττ=τ+…+θmτ=τm）1t给出≥τ、 Zt=Ztt≤τ、 Ut=（θt- Yt）1t≤τ。（89）证据：我们考虑了三个案例。在第一种情况下，在终止时间之前没有发生违约，即τ>T。在{τ>T}上，我们从（89）得到，Yt=Yt，Zt=Zt，Ut=θT- Ytfor all t公司∈ [0，T]。当（Y，Z）解（88）时，我们得到-dYt=f（t，Yt，Zt，Ut）dt- Z> tdWt，t∈ [0，T]，YT=ξ=1τ>Tξ+1τ≤T（θττ=τ+…+θmττ=τm）。关于{τ>T}。此外，我们知道∧τt∧在{τ>T}上τU>sdJs=0，因此我们导出（87）。在第二种情况下，从现在到T之间发生违约，更精确地说，我们看{τ∈（t，t]}={τ>t}∩ {τ≤ T}。再从（89）我们得到{τ∈ （t，t）}Ys=Ys，Zs=Zs，Us=θs- YS对于所有s<τ。利用（Y，Z）解（88），我们得到Y=Yτ+Zτtf（s，Ys，Zs，Us）ds-ZτtZ>tdWt=（θττ=τ+…+θmττ=τm）+Zτtf（s，Ys，Zs，Us）ds-ZτtZ>tdWt-（θττ=τ+…+θmττ=τm）- Yτ30 A.Lesniewski和A.Richterfor t∈ [0，τ]。（89）中U的定义给出了zτtU>sdJs=U>τ（Jτ- Jτ-)= （θτ）- Yτ）>（Jτ- Jτ-)= （θττ=τ+…+θmττ=τm）- Yτ，表示我们有（87）。最后一种情况考虑了违约发生在时间t之前或时间t时的情况，即τ≤ t、 再次从（89）中，我们得到了Yt=（θττ=τ+…+θmττ=τn），从而得到{τ≤ t} 我们得到t=（θττ=τ+…+θmττ=τm）=1τ>tξ+1τ≤T（θττ=τ+。

+θmττ=τm）+ZT∧τt∧τf（s，Ys，Zs，Us）ds-ZT公司∧τt∧τZ>sdWs-ZT公司∧τt∧τU>sdJs，即积分形式的方程（87）。A、 2线性BSDE连续线性BSDE是具有Y和Z线性驱动器的方程，这意味着我们考虑的是该类型的方程-dYt=（At+BtYt+C>tZt）dt- Z> tdWt，t∈ [0，T]，YT=ξ，（90），具有n维布朗运动W，ft可测随机终值ξ，且A，B，C是自适应随机过程。该方程的解是满足（90）的任何一对自适应过程（Y，Z）。这些是为数不多的BSDE中的一些，至少可以明确找到解决方案的第一部分。从[23，命题2.2]我们得到了t=EthξΓt，t+ZTtAsΓt，sdsi（91），其中，t，s=EZstBudu+C>udWu. （92）这里，E（X）表示随机过程X.a.3因子约化的随机指数。在这一节中，我们证明了定理5.1。证明：我们首先以积分形式重写S安第斯山脉的SDE：St=S+Ztu（u，Su）du+Ztσ（u，Su）dWu，eSt=S+Ztu（u，eSu）du+Ztσ（u，eSu）UdfWu。管理交易对手信用风险31因此，其差额由EST给出- St=Ztu（u，eSu）- u（u，Su）du+Ztσ（u，eSu）- σ（u，Su）UdfWu+Ztσ（u，Su）dWu公司- UdfWu,因此，通过伊藤等距，凯斯特- Stk公司≤kZt公司u（u，eSu）- u（u，Su）duk+kZtσ（u，eSu）- σ（u，Su）UdfWuk+kZtσ（u，Su）dWu公司- UdfWuK≤t1/2Ztku（u，eSu）- u（u，Su）kdu1/2+Ztk（σ（u，eSu）- σ（u，Su））Ukdu1/2+中兴通讯tr公司（英寸- P）σ（u，Su）>σ（u，Su）（In- P）杜邦1/2。请注意，中兴通讯tr公司（英寸- P）σ（u，Su）>σ（u，Su）（In- P）du=中兴通讯tr公司σ（u，Su）>σ（u，Su）- Pσ（u，Su）>σ（u，Su）Pdu=Zt（u） du，在哪里（t） 定义为（61）。

使用Lipschitz连续性，这个yieldskeSt- Stk公司≤ CZtkeSu- 苏克杜1/2+Zt公司（u） 杜邦1/2，（93），其中C是一个常数，明确表示为C=LuT1/2+LσkUk。现在我们将调用经典的Gr¨onwall不等式：如果φ（t）是一个具有φ（t）的非负连续函数≤ α（t）+βZtД（s）ds，其中α（t）是一个非递减函数，β>0，然后是Д（t）≤ α（t）exp（βt）。平方（93），并将上述不等式应用于ν（t）=keSt- Stk，我们得到了- Stk公司≤√Zt公司（u） 杜邦1/2exp（γt），其中我们设置了γ=C。取0的上确界≤ T≤ T提出索赔。现在我们来证明定理5.2.32 A.Lesniewski和A.Richerpoof：（69）和系统的后向部分（57）之间的差异由Eyt给出- Yt=ξ（eST）- ξ（ST）+ZTtf（u、eSu、eYu、eZu）- f（u、Su、Yu、Zu）杜邦-ZTt（eZu- Zu）>UdfWu-ZTtZ>u（UdfWu- dWu）。在下文中，我们调整了用于证明BSDE解存在的参数（参见[23]、[31]）。

伊藤公式在过程eβt（eYt）中的应用- Yt），其中常数β>0稍后将变为零，屈服βt（eYt- Yt）=eβT（ξ（eST）- ξ（ST））+2ZTteβu（eYu- Yu）f（u、eSu、eYu、eZu）- f（u、Su、Yu、Zu）杜邦- 2ZTteβu（eYu- Yu）（eZ>u- Z> uU）dfWu- 2ZTteβu（eYu- Yu）Z>u（UdfWu- dWu）-ZTteβu（eZu- Zu）>P（eZu- Zu）du-ZTteβuZ>u（英寸- P）祖都- βZTteβu（eYu- Yu）du。在这个等式的两边都抱有期望会导致以下身份：keYt- Ytkβ+βZTtkeYu- Yukβdu+ZTtkP（eZu- Zu）kβdu+ZTteβuEZ> u（英寸- P）Zudu=kξ（eST）- ξ（ST）kβ+2ZTtEeβu（eYu- Yu）f（u、eSu、eYu、eZu）- f（u、Su、Yu、Zu）杜。利用终端条件ξ和驱动器f的Lipschitz连续性，我们得到了thatkeYt- Ytkβ+βZTtkeYu- Yukβdu+ZTtkeZu- Zukβdu+ZTteβuEZ> u（英寸- P）Zu杜邦≤ KξkeST- STkβ+2KfZTtEeβu | eYu- 于||伊苏大学- Su |+| eYu- 于+| eZu- 祖|杜。使用初等不等式2ab≤ aλ+bλ，其中λ>0是一个常数，我们发现2 | eYu- 于||伊苏大学- Su |+| eYu- 于+| eZu- 祖|≤ （3+λ）| eYu- Yu |+| eSu- Su |+λ| eZu- 祖|。管理交易对手信用风险33因此，我们得出以下关键不平等：关键- Ytkβ+（β- Kf（3+λ））ZTtkeYu- Yukβdu+（1-Kf/λ）ZTtkeZu- Zukβdu+ZTteβuEZ> u（英寸- P）Zu杜邦≤ KξkeST- STkβ+KfZTtkeSu- Sukβdu。现在，我们选择λ足够大，以便1- Kf/λ>0，然后我们选择βsothatβ- Kf（3+λ）>0。参考文献[1]Andersen，L.、Duf fie，D.和Song，Y.：资金价值调整，工作文件（2016年）。[2] Barles，G.、Buckdahn，R.、Pardoux，E.：《倒向随机微分方程和积分偏微分方程》，随机和随机报告605783（1997）。[3] 巴塞尔银行监管委员会非中央结算衍生工具保证金要求（2015年）。[4] 巴塞尔银行监管委员会巴塞尔III：衡量交易对手信用风险敞口的标准方法：常见问题（2015年）。[5] Bertsekas，D。

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