然后我们将L扩展到一个调用函数，它的相关度量将是D（1）SC定律∈{1，…，N}可以被解释为具有罢工（ks）s的期权的影子价格∈{1，…，N}。在开始之前，我们将介绍一些符号。对于j，l∈ {1，…，N}，j<l我们用fj，l表示连接（kj，rj）和（kl，rl）的线，即fj，l（x）=rj+rl- rjkl公司- 千焦·（x）- kj）。如果esis知道一些∈ {0…，N}，那么我们表示连接（ks，es）和（ki，ri），i∈{s+1，…，N}乘以gs，i，即gs，i（x）=es+ri- eski公司- ks·（x）- ks）。（ks，es）和（kj，rj），j的线性插值∈ {s+1，…，N}将由hs，j，hs，j（x）=es+rj表示- eskj公司- ks·（x）- ks）。我们将这些线的坡度分别称为fj、l、gs、iand hs、JR。首先，我们将构造e。为了获得所有所需的属性-这将在证明结束时变得清晰-ehas to satisfye≥ 最大值0≤j<l≤Nfj，l（k），（A.1）和≤ 最小0≤我≤N（ki+ri- k） 。（A.2）我们会争辩说，我们可以选择这样一个显示Fj，l（k）的eby≤ ki+ri- k、 i、j、l∈ {0，…，N}，j≤ l、 （A.3）使用（3.2）两次，我们可以立即看到（A.3）适用于i≥ j、 fj，l（k）≤ rj+千焦- K≤ ri+ki- k、 另一方面，如果i<j，我们将（A.3）的右侧改写为hi（k），其中hi（x）=-x+ri+ki。然后从（3.1）得到Fj，l（ki）≤ ri=hi（ki），作为fj，l≥ -1=hi，不等式如下。上述推理表明，（A.1）和（A.2）存在esuch。接下来，我们要为给定的e构造e。它必须满足要求≥ 最大值1≤j<l≤Nfj，l（k）∨ （e+k- k） （A.4）安第斯≤ 最小1≤我≤Ng0，i（k）。（A.5）我们将再次论证，考虑到相应的不等式，我们可以选择这样一个eby。首先注意，不等式e+k- K≤ g0，i（k），i∈ {1，…，N}，直接来自（A.1）。接下来我们要证明fj，l（k）≤ g0、i（k）、i、j、l∈ {1，…，N}，j<l。

（A.6）因此，请注意fj，l（k）≤ e=g0，i（k）。如果i<j（A.6）遵循（3.1），因为fj，l（ki）≤ ri=g0，i（ki）。对于i=j，我们可以简化以下事实：≤ 因此我们得到fj，l（ki）≤ ri=g0，i（ki）。对于i>j，我们可以使用fj，l（k）≤ e=h0，j（k）至getfj，l（k）≤ h0，j（k）≤ g0，i（k），其中最后一个不等式来自以下事实：h0，j（k）=g0，i（k）=e，且h0，j=rj- ekj公司- K≤国际扶轮社- eki公司- k=g0，即在最后一步中，我们使用了e≥ fj，i（k）。现在假设我们已经构造了e。es公司-1，s∈ 1.N然后对于r∈ {1，…s-1} 我们有那个≥呃-1+er-1.- 呃-2kr-1.- 韩元-2·（kr- 韩元-（1）∨ 最大功率≤j<l≤Nfj，l（kr），（A.7）ander≤ minr公司≤我≤Ngr公司-1，i（kr）。（A.8）注意，对于r=1，我们需要一个适当的e-1和k-以便（A.7）保持。例如，我们可以设置k-1=-1和e-1=e- （k+1）·（e）- e） /（k- k） 。我们想表明，我们可以选择（A.7）和（A.8）对r=s保持不变的essuch。首先，它们是-1+es-1.- es公司-2公里-1.- 堪萨斯州-2·（ks- 堪萨斯州-（1）≤ gs公司-1，i（ks），i∈ {s，…，N}，等价于脚趾-1.- es公司-2公里-1.- 堪萨斯州-2.≤国际扶轮社- es公司-1ki- 堪萨斯州-1这同样相当于脚趾-1.≤ gs公司-2，i（ks-1） 并通过（A.8）保持。不等式fj，l（ks）≤ gs公司-1，i（ks），i，j，l∈ {s，…，N}，j<l，可以使用与之前相同的参数显示：首先，我们注意到fj，l（ks-（1）≤ es公司-1=gs-1，i（ks），然后我们区分i<j，i=j和i>j。我们现在构建了一个有限序列（es）∈{0，…，N}。观察所有s∈ {0，…，N}上述es的界限，即（A.1）和（A.2），对于s=0，（A.4）和（A.5），对于s=1，（A.7）和（A.8），对于s>1，确保es∈ [卢比，卢比]。用L表示：[k，kN]→ R点（ks，es），s的线性插值∈ {0，…，N}。

那么L是凸的，这很容易从fromes看到≥ es公司-1+es-1.- es公司-2公里-1.- 堪萨斯州-2·（ks- 堪萨斯州-1） ，s≥ 2、此外，由（A.4）L（k）=e- 埃克- K≥ -最后，L在{L>0}上严格递减，这很容易从es中看出≤ gs公司-1，N（ks）。因此，L可以扩展为调用函数R，如下所示（见[9]中的命题2.3），R（x）=L（k）+k- x、 x个≤ k、 L（x），x∈ [k，kN]，0，x≥ 千牛。设u为相关度量值。然后Eu=R（0）=L（k）+k∈ [S]- , S+]. 如果Eu<，则通过设置ν（a）=u（a）来确定测量值ν- ) 对于Borel集合A。集合A-  定义为{a-  : A.∈ A} 。然后Eν=Eu+ ∈ [S，S]。类似地，如果Eu>Swe de fineν（A）=u（A+)对于Borel集合A，如果Eu∈ 然后我们简单地设置ν=u。此外，对于x<k，R（x）=-1，因此u有支持[, ∞). 显然，通过定义ν，我们得到了∞（u，ν）≤ . 因此，根据引理2.7，价格为-与无套利一致。B定理3.1的证明：弱套利正如我们在定理3.1的必要性证明的第（iv）部分（见附录A）中所看到的，存在一个依赖于模型的零集的无轨机会。我们将证明存在nomodel独立套利策略。相反，假设有一个。然后我们可以构造一个投资组合φ+φS+PNl=1φlC（Kl），其中φ，φ，φl∈ R、 其初始成本为负，即φ+（φ） +秒- （φ）-s+NXl=1（φl）+rl- （φl）-rl型< 0，且到期清算价值为非负，即φB（1）+（φ） +秒- （φ）-s+NXl=1φl（SC- 吉隆坡）+≥ 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设|φ|+|φ|+PNl=1 |φl |=1。接下来我们构造e，定理3.1的效率证明。很明显，我们有ri=ei=ei+1=···=eN。我们的想法是考虑一个影子价格略有不同的市场，通过下调影子价格，可以从原始影子价格中获得影子价格。

更准确地说，我们设置l=max{l：0≤ L≤ N、 el+kl=e+k}，definez=最小值(-rΦ，el+1+kl+1- 埃尔- 吉隆坡·NPs=l（ks- kl）kl+1- kl，eN·NPs=l（ks- kl）kN- kl），然后将eel=ELF或l≤ l>标高=el的土地- zkl公司- klNPs=l（ks- 吉隆坡）。现在考虑一组修改后的价格，其中第l次通话的出价和要价为0≤ L≤ N、 都是鳗鱼做的。很容易检查这些价格是否满足定理3.1中的所有条件，因此不允许任何套利机会。事实上，z定义中的第二个表达式保证el+1不太小，即el+1- elkl+1- 吉隆坡≥ -1，第三个表达式确保eeN不太小，即eeN≥ 一个简单的计算表明φ+（φ） +秒- （φ）-s+NXl=1φ水平=φ+（φ） +秒- （φ）-s+NXl=1φlel-NXl=l+1φl（el- 鳗鱼）≤ rΦ-NXl=l+1φl（el- 鳗鱼）≤ rΦ+zNXl=l+1 |φl | kl- klNPs=l（ks- 吉隆坡）≤ rΦ+z≤rΦ<0，因此修正市场中的投资组合CΦ具有负成本。但其到期清算价值不变，因此为非负，因此我们为修改后的价格集构建了一个模型独立的风险策略，这是一个矛盾。参考文献[1]M.Bichuch，《使用渐近分析法对交易成本下的或有权益负债进行定价，以获得最佳投资》，Finance Stoch。，18（2014），第651-694页。[2] H.Buehler，《昂贵鞅》，Quant。《金融》，6（2006），第207-218页。[3] P.Carr和L.Cousot，《根据给定隐含效用微笑校准的鞅的显式构造》，暹罗J.金融数学。，3（2012），第182-214页。[4] P.Carr和D.B.Madan，《关于无套利有效条件的说明》，FinanceResearch Letters，2（2005），第125-130页。[5] L.Cousot，《无套利和精确校准的期权价格条件》，《银行与金融杂志》，31（2007），第3377–3397页。[6] M.H.A.Davis和D.G.Hobson，《交易期权价格范围》，数学。《金融》，17（2007），第1-14页。[7] M.H.A.Davis，V.G。

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