买卖价差下期权价格的一致性

2022-5-25 14:42:18

买卖价差下期权价格的一致性Tefan GerholdTUWiensgerhold@fam.tuwien.ac.atI.Cetin G¨ul¨um*杜文斯梅尔。塞汀。gueluem@gmx.netJuly2017年8月17日摘要考虑到单一标的的欧洲看涨期权价格的有限集合，我们想知道何时存在与这些价格一致的市场模型。与之前的研究不同，我们允许模型中的基础交易以买卖价差进行。那么，主要的问题是，为了解释给定的价格，这个价差必须有多大（就确定性范围而言）。我们在单个到期的情况下完全解决了这个问题，并给出了多个到期的部分结果。对于后者，我们的主要数学工具是peacocks近似的最新结果[S.Gerhold，I.C.G¨ul¨um，arXiv:1512.06640]。关键词：交易成本、买卖价差、看涨期权、鞅、孔雀、斯特拉森定理。1引言将鞅与给定的期权价格进行校准是数学金融的一个中心主题，因此，这是一个很自然的问题，期权价格集允许这样的价格，而期权价格集不允许这样的价格。请注意，我们对近似模型校准不感兴趣，但对期权价格的一致性感兴趣，这意味着无套利模型能够精确地拟合给定的价格。换言之，我们希望在给定的价格中检测套利。我们不考虑连续买入价格表面，但仅限于（实际上更相关的）罢工和到期次数众多的情况。因此，考虑到金融资产上有很多欧洲看涨期权。在无摩擦的情况下，一致性问题是很好理解的：Carr和Madan[4]假设利率、股息和买卖价差为零，并推导出无套利模型存在的必要和充分条件。从本质上讲，给定的买入价格不得允许日历套利或完全套利。

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2022-5-25 14:42:21

Davis和Hobson[6]将利率和股息计算在内，得出了类似的结果。他们还描述了明确的套利策略，只要存在套利。Buehler已经完成了与Concurrent相关的工作[2]。Carr和Cousot[3]超越了存在性，提出了具有实际吸引力的校准鞅的显式构造。最近，Tavin[18]考虑了多种资产的期权，并研究了在这种情况下是否存在套利策略*我们感谢奥地利科学基金（FWF）在P 24880赠款项下的财政支持。我们感谢匿名裁判以及柏林、第12届德国概率与统计日（波鸿）、勒芒、乌尔姆、维也纳、奥伯沃尔法赫和第9届BFS大会（纽约）的研讨会和会议参与者提出的有用问题和意见。背景斯波伊达（Spoida）[16]给出了一组价格的一致性条件，这些价格不仅包含了货币，还包含数字屏障选项。许多相关参考文献参见【11】。与几乎所有数学金融结果一样，市场摩擦的稳健性是评估这些结果实际吸引力的一个重要问题。令人惊讶的是，人们似乎对这方面的一致性问题知之甚少，唯一的例外是库索的一篇论文[5]。他允许期权的正买卖价差，但不允许基础价差，并确定了价格条件，从而确定了解释它们的无障碍模型的存在。本文的创新之处在于，我们允许在基础上进行买卖价差。如果不对该价差的大小进行任何进一步的假设，结果表明，标的证券的报价与看涨期权的报价之间没有任何联系：任何试图利用不合理价格的策略都可能因标的证券的巨大买卖价差而变得不可能（见示例2.3和命题4.1）。

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2022-5-25 14:42:24

在这方面，问题不在于w.r.t.在基础上引入利差。然而，任意大的价差似乎值得怀疑，因为对于液体底层来说，价差通常很紧。因此，我们明确指出，适当的问题不是“给定价格何时一致”，而是“需要多大的潜在资产的阿比德ask利差来解释它们？”因此，我们设定了一个界限 ≥ 0关于折扣价格的价差，并希望确定这就产生了一个解释给定价格的模型。然后，我们将认购价格参考为-一致的（无障碍的）。为了确定看涨期权的支付，我们使用在买卖价差内演变的任意参考价格过程。我们证明（命题2.5），如果该参考过程是标的物的投标和风险价格的算术平均值，则一致性问题不会发生显著变化。回想一下，上述文献[4,5,6]中用于构建无套利模型的主要技术工具是斯特拉森定理[17]，或其修正。在金融背景下，该定理表明存在期权价格随到期日增加的鞅模型。如果允许在基础资产上进行价差，则后一种资产将发生违约。因此，我们将采用我们最近的配套论文[9]中的一些结果，该论文讨论了拉森定理的变体和孔雀近似度量序列（过程增加了W.r.t.凸阶）。我们假设离散的交易时间和有限的概率空间；如果不这样做，预计在可处理性或现实性方面不会有任何收获。在单一到期的情况下，我们得到的simpleexplicit条件等价于-一致性（定理3.1）。另一方面，多周期问题似乎具有挑战性。

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2022-5-25 14:42:28

我们提供了两个部分结果：对于-一致性（定理5.3）和充分的半显式条件（定理4.3）。在这里，“半显式”的意思是：我们的一致性定义要求存在两个度量序列，它们不是“相距太远”，其中一个是孔雀。它们对应于一致的价格体系。我们的结果没有说明参考价格过程的存在，但包含了孔雀存在的明确条件。本文的结构如下。在第2节中，我们描述了我们的设置，并给出了问题的精确公式。此外，还解释了孔雀和近似测量序列的重要性。然后，在第3节中，我们给出了单期有界买卖价差的无套利模型存在的必要和充分条件。我们关于多周期问题的主要结果包含在第4节中。在这里，我们调用了[9]中的主要结果。多个到期日的必要（但更明确）条件见第5节。第6节结束。2 bid-ask-spreadsOur时间索引集下的一致性问题将是T={0，…，T}，其中1≤ T∈ N、 0表示今天。通过稍微滥用术语，我们将T中的整数称为“到期日”，而不是“到期指数”。我们写T*= T中正时间集的{1，…，T}。每当我们谈论“给定价格”或类似的内容时，我们指的是以下数据：正确定性银行账户（B（t））t∈Twith B（0）=1，（2.1）打击0<Kt，1<Kt，2<···<Kt，Nt，Nt≥ 1，t∈ T*, （2.2）相应的看涨期权买卖价格（时间零点）0<rt，iresp。0<rt，i，1≤ 我≤ Nt，t∈ T*, （2.3）以及标的0<S的当前买入价和卖出价≤ s

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2022-5-25 14:42:31

（2.4）我们写D（t）=B（t）-1对于到期时间为t，和Kt的零息票债券的时间零价格，i=D（t）Kt，如果贴现罢工。符号Ct（K）表示到期日和行使日为K的看涨期权。在标的证券存在买卖价差的情况下，如何确定期权的支付金额并不明显；这个问题似乎在交易成本文献中被忽视了。事实上，假设一个代理持有一个行使价为100美元的看涨期权，到期日T=1买入和卖出分别为S=99美元。S=101美元。然后，代理人可能希望行使以99美元而不是100美元获得证券的期权，或者他可能会放弃期权，理由是花费100美元将为他赢得清算价值仅为99美元的头寸。如果不做进一步的假设，就无法确定行使决策。实际上，标的证券的报价是实际交易发生的最后一个价格。然后，该价格触发现金结算期权。然而，这种方法在我们的设置中是不可行的，因为我们的设置中不包括订单。在交易成本下期权定价的文献中，通常假设标的物的买卖是中间价的常数倍数（通常假设为几何布朗运动）。然后，该中间价被用作决定是否应行使期权的触发器，然后再进行实物交割【1、7、19】。不过，这种恒定比例的中间价引发行使的假设似乎有些特别。为了以一种节约的方式处理这个问题，我们假设看涨期权是现金结算的，使用的是参考价格过程SC。这个过程在买卖价差内发展。它本身不是一种交易资产，只是用于固定看涨期权支付（SCt- K） +对于走向K和成熟度t。

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2022-5-25 14:42:34

这笔款项立即转入银行账户，无需支付任何费用。定义2.1。模型由有限概率空间组成(Ohm, F、 P）离散过滤（Ft）t∈t三个自适应随机过程S、S和SC，满足0<St≤ SCt公司≤ St，t∈ T*. （2.5）很明显，Stand ST表示投标响应。在时间t时询问标的物的价格。请注意，在我们的术语中，初始出价和要价是给定价格的一部分（见（2.4）），因此定义2.1中的过程通过时间t进行索引*= {1，…，T}，而不是通过T={0，…，T}。至于参考价格过程SC，我们不坚持特定定义（例如，SC=（S+S）），但允许在买卖价差内进行任何调整。我们现在对期权价格的一致性进行了定义，考虑到基础和期权的买卖价差（任意大）。随机变量之间的方程和不等式通常被理解为几乎肯定成立。定义2.2。价格（2.1）–（2.4）与无套利一致，前提是存在一个模型（定义2.1的意义上），即oE[（D（t）SCt- kt，i）+]∈ [rt，i，rt，i]，1≤ 我≤ Nt，t∈ T*,o 有一个过程*)T∈Tsuch那条街≤ s*T≤ Stfor t∈ 并使（D（T）S*t） t型∈Tisa P-鞅。r、 t.过滤（Ft）t∈T、这对*, P）被称为一致价格体系。流程S*也被称为影子价格。根据卡巴诺夫（Kabanov）和斯特里克（Stricker）[13]（另见[14]），这些要求产生了一个无套利模型，包括标的期权和每个看涨期权的买入和卖出价格过程。事实上，对于成熟度为t和strike为Kt的看涨期权，我可以rt，i{s=0}+B（s）E[（D（t）SCt- kt，i）+Fs]1{s>0}s∈Tas投标价格流程（与询价类似），以及B（s）E[（D（t）SCt- kt，i）+Fs]s∈Tas定义2.2第二部分中的流程。

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2022-5-25 14:42:38

我们建议Schachermayer的新书【15】第1节作为FTAP在比例交易成本下的可访问介绍。如引言所述，如果根据定义2.2定义一致性，则基础和期权的当前价格之间没有相互作用，这似乎没有什么意义。作为一个例子，以下两个时期的例子显示了在存在足够大的价差的情况下，无摩擦的sarbitrage策略可能会失败；下面的命题4.1给出了一般结果。示例2.3。设c>0为任意值。我们设置k：=k1，1=k2，1=1，假设B（1）=B（2）=1，S=2，r：=r1，1=r1，1=c+1，r：=r2，1=r2，1=1。因此，C（k）“太贵”，如果没有摩擦，购买C（k）-C（k）将是一个套利机会（如果C（k）到期，出售一个单位的股票）。特别是，违反了[6]中推论4.2和[5]中等式（5）的第一个条件：它们都表示≤ ris是缺乏套利策略的必要条件。但对于价差，我们可以选择任意大的c，但上述价格仍将保持一致，没有套利。事实上，我们可以定义如下确定性模型：S=S=2，S=2c+2，S=2，SC=（S+S）。注意（SC- k） +=1和（SC- k） +=c+1。该模型无套利（见下文第4.1条）。特别是考虑portfolioC（k）- C（k）：短通话-C（k）在货币中完成支付-（c+1）。这不能通过做空股票来弥补，因为它的出价保持在2。在t=1时做空股票的情况下，该策略在t=2时的支付为（SC- k）+- （SC- k）+- （S）- S） =-c<0。因此，我们的重点将是一个更强的一致性概念，即基础上的贴现利差是有界的。

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2022-5-25 14:42:42

因此，我们的目标是确定需要多大的价差来解释给定的期权价格。请注意，我们没有提到物理概率度量，因为它与我们的研究无关。定义2.4。允许 ≥ 0.那么价格（2.1）–（2.4）为-与无套利一致，或只是-一致，如果一致（定义2.2）且满足以下条件，则- St公司≤ B（t），t∈ T，（2.6）SCt≥ B（t），t∈ T*. （2.7）界限（2.7）是对参考价格SC的附加温和假设，具有可分割性，并且考虑到市场价格和价差的实际规模是有意义的（回想一下≤ SC）。同样，在我们的主要结果中-一致性我们假设所有折扣罢工kt，i大于. 如果 = 0且（2.3）和（2.4）中的买卖价格一致，则我们从[6]中恢复无摩擦一致性定义。如上所述，我们不坚持对参考价格SC进行任何具体定义。然而，不难看出，选择SC=（S+S）会产生几乎相同的概念-一致性提案2.5。允许 ≥ 0并假设我们对无套利模型感兴趣，其中，除了定义2.4的要求外，我们还有thatSCt=St+St，t∈ T*. （2.8）然后我们用算术方法计算价格（2.1）-（2.4）-一致的对于 ≥ 0，价格算术上为2-一致当且仅当它们是-一致的证据首先，假设存在一个算术2-一致的模型，对应的随机过程St、St、SCt、S*t、我们确定新的出价和要价St：=SCt∧ s*横截面：=横截面∨s*t、那么（2.8）意味着St-St公司≤ B（t）. 因此，模型由St、St、SCt、S组成*tis公司-一致的相反，假设给定的价格为-一致的然后存在进程扫描*关于概率空间(Ohm, F、 P）使| SCt- s*t |≤ B（t） a、 s。

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2022-5-25 14:42:47

然后我们简单地设置St=SCt- B（t）和St=SCt+B（t）, 从而构造了一个算术2-一致的模型。请注意，命题2.5的陈述并不具有一致性（而不是一致性），如果我们用CT=pSt+（1）替换（2.8）也不成立- p） St，t∈ T*,其中p∈ [0，1]和p 6=。过程（D（t）SCt）t∈t不必是鞅，因为SCI不在市场上交易。不过，期权价格为我们提供了一些有关SC流程边际的信息。另一方面，过程（D（t）S*t） t型∈这是一个鞅，但我们没有关于它的边值的信息，除了*T- SCt |≤ B（t）。这意味着∞LD（t）SCt, LD（t）S*T≤ , T∈ T*, （2.9）其中W∞表示单位Wasserstein距离，L表示随机变量定律。距离W∞定义为M，即R上的概率测度集，具有有限的平均值，byW∞（u，ν）=inf kX- Y k公司∞, u，ν∈ M、最小值覆盖所有概率空间(Ohm, F、 P）和带有边缘（u，ν）的随机对（X，Y）。有关W的一些参考资料，请参见[9]∞. 对于 ≥ 0和随机变量X和Y，条件w∞（LX，LY）≤ 等价于随机变量概率空间的存在性~ LX，Y~ LY使| X- Y |≤ a、 s.（这是Strassen的另一个结果，请参阅下面的位置4.6。）定义2.6。设u，ν为M中的两个度量值。然后我们说u在凸序中小于ν，在符号u中≤cν，if对于每个凸函数φ：R→ 我们有Rφdu≤Rφdν，只要两个积分都定义得很好。一系列度量值（ut）t∈T*在M中，如果us，则称为孔雀≤cut适用于所有s≤ t英寸t*（参见[12]中的定义1.3）。对于u∈ M和x∈ R我们定义u（x）=ZR（y- x） +u（dy），（2.10）u的调用函数。测量值u的平均值将由Eu=Ryu（dy）表示。

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nandehutu2022

2022-5-25 14:42:50

这些概念对于构建-一致的价格，由下面的引理明确表示。从证明中可以明显看出，序列（ut）由（折扣）参考价格的边缘组成，而（νt）给出了买卖价差内鞅的边缘。证明使用了我们的配套论文（引理9.1 in[9]）中的耦合结果。引理2.7。对于 ≥ 0价格（2.1）–（2.4）为-与无套利一致，当且仅当S- s≤ 并且有一系列严格支持的措施（ut）t∈T*和（νt）t∈T*以M表示：（i）Rut（kt，i）∈ [rt，i，rt，i]对于所有t∈ T*而我∈ {1，…，Nt}，和ut([, ∞)) = t为1∈ T*,（ii）（νt）t∈T*孔雀及其平均满意度∈ 【S，S】和（iii）W∞（ut，νt）≤ 对于所有t∈ T*.证据Let（ut）t∈T*和（νt）t∈T*如上所述。回想一下，Strassen定理（文献[17]中的定理8）断言，任何孔雀都是鞅的边缘序列。因此，存在一个带有鞅（eSt）t的有限过滤概率空间∈t这是测试的法则∈ T*.从（iii）和定义2.6之前的备注中可以看出，存在一个概率空间，其中包含过程^M和^sce，因此^Mt~ νt，D（t）^SCt~ ut和| Mt- D（t）^SCt |≤ 对于t∈ T*.正如[9]中定理9.2的证明一样，很容易看出有限支持条件意味着存在具有这些性质的有限概率空间。su-efficiency语句现在很容易遵循[9]中的引理9.1。事实上，这个引理产生了一个具有适应过程（St）t的有限过滤概率空间∈Tand（SCt）t∈T*满足ˇS是一个鞅，ˇSt~ νtand D（t）SCt~ ut用于t∈ T*,o |ˇSt- D（t）SCt |≤ 对于t∈ T*.然后需要定义*t： =B（t）ˇSt，St：=SCt∧ s*t、 St：=SCt∨ s*t、 t型∈ T*,获得无套利模型。

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nandehutu2022

2022-5-25 14:42:54

注意，（ii）中的第二个断言确保≤ s*T≤ t的保留∈ 不仅仅是T*.相反，假设给定的价格为-一致的对于t∈ T*, 定义D（t）SCt定律和S定律*t、然后很容易看到所述条件得到满足。至于有限支撑条件，请注意定义2.1中的概率空间是有限的。为了准备模型独立和弱套利的核心概念，我们现在在银行账户、基础资产和看涨期权中定义了中国的静态交易策略。这里，半静态意味着看涨期权的位置在时间零点固定。定义与模型无关；一旦选择了一个模型（定义2.1），t-交易期内的风险股数量即变为φt（Su）1≤u<t，（SCu）1≤u<t，（Su）1≤u<t, T∈ T*. （2.11）定义2.8。（i）半静态投资组合或半静态交易策略是一种三重Φ=（φt）t∈T*, （φt）t∈T*, （φt，i）t∈T*, 我∈{1，…，Nt},其中φ∈ R、 φt：（0，∞)3吨→ 对于t，R是Borel可测量的∈ T*, 与φ和φt类似，i∈ R代表t∈ T*, 我∈ {1，…，Nt}。这里，φt表示对银行账户的投资，φt表示从t- 1至t，φt，i∈ R是到期日为t的期权数量∈ T*还有strike Kt，投资者在timezero购买的。（ii）如果φt+1（st）=B（t+1）B（t）φt（st），则半静态投资组合称为自融资-1） +NtXi=1φt，i（sCt- Kt，i）+-φt+1（st）- φt（st-（1）+st公司+φt+1（st）- φt（st-（1）-1的暂挂≤ t<t和su，sCu，su∈ （0，∞), 1.≤ U≤ t、其中：=（su）1≤U≤t、（sCu）1≤U≤t、（su）1≤U≤T.

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2022-5-25 14:42:58

（2.12）（iii）对于价格（2.1）–（2.4），半静态投资组合的初始投资组合值Φ由Φ：=φ+（φ）+S给出- （φ）-S+Xt∈T*NtXi=1（φt，i）+rt，i- （φt，i）-rt，i.这是建立投资组合Φ的成本。（iv）T时的清算价值定义为Φ（sT）：=B（T）B（T- 1） φT（sT-1） +NTXi=1φT，i（sCT- KT，i）+-φT（sT-（1）-sT公司+φT（sT-（1）+sT.定义了半静态投资组合后，我们现在可以制定两个有用的套利概念。定义2.9。允许 ≥ 0、价格（2.1）–（2.4）允许在利差范围内进行模型独立套利, 如果我们能够在银行账户、基础资产和期权中形成一个自我融资的半静态投资组合Φ，那么初始投资组合价值rΦ为负值，以下情况成立：对于所有实数st、sCt、st∈ （0，∞), 1.≤ T≤ T，满足度0<st≤ sCt公司≤ st，t∈ T*,st公司- st公司≤ B（t），t∈ T*,sCt公司≥ B（t），t∈ T*,（参见（2.5）、（2.6）和（2.7）），我们有LΦ（sT）≥ 定义2.10。允许 ≥ 0、价格（2.1）–（2.4）允许差价范围的弱套利机会如果没有模型独立的套利策略（关于扩散界), 但对于满足（2.6）和（2.7）的任何模型，存在一个半静态投资组合Φ，使得初始投资组合值rΦ为非正，LΦ（（Su）1≤U≤T、（SCu）1≤U≤T、（Su）1≤U≤T）≥ 0，andPLΦ（（Su）1≤u≤T、（SCu）1≤U≤T、（Su）1≤U≤T） >0> 0.大多数情况下，我们会 ≥ 0和只写模型独立套利，意味着模型独立套利关于利差边界, 弱套利也是如此。弱套利（即模型相关套利）的概念首次在[6]中使用，作者举例强调了弱套利和模型独立套利之间的区别。关键的区别在于，弱套利机会可能取决于模型的空集。

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nandehutu2022

2022-5-25 14:43:03

E、例如，假设我们想根据某个看涨期权是否会在货币中以正概率到期，使用两种不同的套利策略。此类投资组合可能表现出弱套利（定义2.10），但不会表现出模型独立性（定义2.9）。3单一到期：-一致性在本节中，我们描述-在所有期权到期日一致的特殊情况下，一致性（根据定义2.4）。单一到期日的一致性条件类似于[6]的定理3.1和[5]的命题3。除了此处给出的条件外，我们还必须假设SCI的平均值与S“足够接近”。we fix t=1∈ 为了便于记法，我们通常会删除时间索引，也就是说，我们写的是Ri而不是r1，ietc。在无摩擦的情况下，可以通过点击k=0的选项识别基础。在这里，我们将做一些类似的事情：在下一个定理的公式中，我们设置k=, 好像我们会引入一个带有罢工的选项B（1），但我们想到C(B（1））作为基础。r=S的选择- 2. 定理3.1中的r=Smade可以如下激励：-与无套利一致，（2.7）意味着具有行使权的期权的贴现预期收益B（1）必须满足YD（1）E[（SC- B（1））+]=D（1）E[SC]- .此外，为了保证一致价格体系的存在，D（1）E[SC]必须位于闭区间内- , S+], 这意味着行使B（1）的期权的价格在间隔时间内有tolie- 2., S] 。

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能者818

2022-5-25 14:43:06

因此，在定理3.1（见附录）的证明中，我们将使用符号Ct(B（t））作为参考，以及-Ct(B（t））作为基准空头头寸加上额外存款2的参考在银行账户中。在制定单一到期日的主要结果之前，我们回顾一下，KJ定义了黄油期货合约（到期日为1）- KiC（Ki）-千焦- Ki+Kl- 千焦C（Kj）+Kl- KjC（Kl），其中0≤ i<j<l≤ N、而且它的收益是非负的。看涨期权价差是一个由平仓和短期看涨期权组成的投资组合，其中短期看涨期权具有较大的行权。定理3.1。允许 ≥ 0，并考虑第2节开头的价格，T=1，k> （见（2.7）后的备注）。此外，为了便于记法（见以上备注），weset k=, r=S- 2., r=S。那么价格是-一致（见定义2.4），前提是以下条件成立：（i）所有黄油差价均具有非负的时间0价格，即rl- rjkl公司- 千焦≥rj公司- 里基- ki，0≤ i<j<l≤ N、（3.1）（ii）认购价格令人满意- 里克尔- ki公司≥ -1，0≤ i<l≤ N、（3.2）（iii）所有看涨期权价差都有非负的时间0价格，即rj≤ ri，0≤ i<j≤ N、（3.3）（iv）如果看涨期权价差为零成本，则相关期权的出价为零。askprice，即rj=ri=> rj=ri=0，0≤ i<j≤ N、（3.4）此外，只要（i）–（iii）中的任何一个条件不满足，就存在一个模型独立套利。最后，如果（i）–（iii）持有但（iv）失败，则存在较弱的套利机会。该定理在附录A和附录B中得到了证明。我们得出结论，Davis和Hobson[6]在无摩擦情况下发现的一致性/弱套利/模型独立套利的三分法在买卖价差下仍然存在（至少在一个周期内）。对于 = 0和ri=ri=ri，定理3.1中的条件简化为0≥ri+1- riki+1- ki公司≥国际扶轮社- 国际扶轮社-1ki- ki公司-1.≥ -1，对于i∈ {1。

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2022-5-25 14:43:09

N- 1} ，andri=ri-1对于i，Implies ri=0∈ {1，…，N}。这些正是[6]中定理3.1所要求的条件。备注3.2。请注意，与无摩擦的情况相比，我们不必要求出价或出价随着罢工的增加而降低，以获得-与无套利一致。这意味着我们不需要ri≥ rjor ri≥ 对于i<j，如以下示例所示。考虑两种看涨期权，其中 = 0（标的资产无息差），价格由S=S=5，ri=i+5，ri=1+i，ki=i表示i=1，2。我们假设银行账户在到期前保持不变。这些价格和影子价格的可能选择-1 0 1 2 3 4 5 60 2 4 6 8罢工价格rBid价格rShadow价格eRu图1：该示例表明，没有必要将要价与。投标价格下降。r、 t.罢工。该行表示δ的调用函数。ei：=D（1）E[（SC- Ki）+]如图1所示。（注意，附录A中定理3.1的证明中引入了影子价格。）显然，定理3.1中的所有条件都满足，因此存在无套利模型。例如，我们可以选择u=δ，其中δ表示狄拉克δ。这个例子表明，在我们的环境中，从无套利的角度来看可以接受的价格不一定具有经济意义：由于到期时C（K）的支付永远不会超过C（K）的支付，C（K）的效用差异要价不应高于C（K）的效用差异要价。根据定理3.1，很容易显式计算所有因此，给定的价格是-一致，这就完成了-单周期情况下的一致性问题。

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2022-5-25 14:43:13

请注意，（3.1）–（3.4）显然必须满足i、j、l>0的条件，因为这些条件取决于仅适用于i=0（另请参见下面的命题4.1）。推论3.3。假设给定价格满足方程（3.1）–（3.4），i、j、l>0。Thenfor公司 ≥ 0价格为-与无套利一致当且仅当满意度： ≥ 最大值s- S、 S-国际扶轮社- ki公司, 千焦-rj公司- Srl公司- rj公司·吉隆坡- 千焦,1.≤ 我≤ N、 1个≤ j<l≤ N使得rl>rj， ≤ 最小值k、千焦-rj公司- Srl公司- rj公司·吉隆坡- 千焦, 1.≤ j<l≤ N使rl<rj。证据首先，不平等 ≥ s- 沙 ≤ K以下为定义-一致性（见（2.6）和（2.7））。剩余的不平等随后在（3.1）和（3.2）中设置i=0。4多重到期：一致性和-一致性正如导言中所述，我们的主要目标是找到基础的买入卖出价差的最小界限，使我们能够复制给定的期权价格。以下结果表明，如果未施加此类约束，则情况属实（另见示例2.3）。在我们的措辞中，我们确认了一致性条件（定义2.2），而不是-一致性（定义2.4）。重新调用定理3.1中使用并在前面解释的符号，其中（3.1）-（3.4）中允许i=0，从而导致这些条件依赖于沙S。在下面的命题中，另一方面，我们需要i，j，l≥ 因此，在检查期权价格的一致性时，标的资产的当前买入价和卖出价是不相关的。因此-一致性似乎比一致性更有意义。提案4.1。价格（2.1）–（2.4）与无套利一致（见定义2.2），当且仅当∈ T*, 定理3.1中的条件（3.1）–（3.4）适用于i、j、l∈ {1，…，Nt}。证据通过模仿定理3.1第一部分对i，j，l>0的证明，我们发现这些条件是必要的。

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2022-5-25 14:43:18

现在Fix t∈ T*并假设条件成立。正如定理3.1的效率证明一样，我们可以构造et，1，et，2，et，nt这样et，i∈ [rt，i，rt，i]。点（kt，i，et，i）i的线性插值lto∈然后可以将{1，…，Nt}扩展为测度ut的调用函数（参见定理3.1的效率证明的最后部分）。我们定义了随机变量SCt，其中D（t）SCt定律由ut给出。然后我们得到了D（t）E[（SCt- Kt，i）+]=et，i∈ [rt，i，rt，i]，i∈ {1，…Nt}。此外，我们选择s∈ [S，S]并为所有t设置νt=δS（Dirac delta）∈ T*. 显然，（νt）t∈T*是一只孔雀*t=B（t）s，这意味着D（t）s*T~ νt.最后，我们定义了St=S*T∧ SCtand St=S*T∨ 并由此构建了一个无套利模型。为我们的主要结果做准备-在多周期模型中的一致性，我们现在回想一下[9]的主要结果，它给出了引理2.7中孔雀（νt）存在的标准。还记得符号W∞, M在定义2.6之前引入。根据[9]中的第3.2条 > 0，测量值u∈ M、和M∈ [Eu- , Eu+], 集合{ν∈ M：W∞（u，ν）≤ , Eν=m}具有最小和最大的元素，它们各自的调用函数可以通过u的调用函数Ru（参见（2.10））明确表示如下：Rminu（x；m，) =m+Ru（x- ) -Eu+∨ Ru（x+),Rmaxu（x；m，) = conv公司m+Ru（·+) -Eu- , Ru（·）- )（x），其中conv表示凸包。文[9]的主要定理给出了在W中存在孔雀的一个等价条件∞-距离一系列给定的度量。定理4.2（文献[9]中的定理3.5]）。允许 > 0和（un）n∈Nbe M中的一个序列，使得i：=\\n∈N[EuN- , Eun+]不为空。然后存在一只孔雀（νn）n∈Nsuch茅草∞（un，νn）≤ , 适用于所有n∈ N、（4.1）当且仅当对于某些m∈ I和for all N∈ N、 x。

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2022-5-25 14:43:21

，xN∈ R、我们有rminu（x；m，) +NXn=2Run（xn+σn）- Run（xn-1+σn）≤ RmaxuN+1（xN；m，). （4.2）这里，σn=sgn（xn-1.- xn）取决于xn-1和xn。在这种情况下，可以选择Seeν=Eν=···=m。我们现在可以给出多周期的部分解-一致性问题。必须假设引理2.7中度量ut的存在性（DSC的边缘），但孔雀的存在性（νt）可以使用定理4.2用相当明确的条件来代替。定理4.3。对于 ≥ 0价格（2.1）–（2.4）为-与无套利一致，当且仅当S- s≤ 并且有一系列明确支持的措施（ut）t∈T*其中：（i）Rut（kt，i）∈ [rt，i，rt，i]对于所有t∈ T*而我∈ {1，…，Nt}，和ut([, ∞)) = t为1∈ T*,（ii）有ism∈\\T∈T*[Eut- , Eut+] ∩ 这样，对于所有N∈ {1，…，T- 1} 和x，xN公司∈ RRminu（x；m，) +NXn=2Run（xn+σn）- Run（xn-1+σn）≤ RmaxuN+1（xN；m，),式中，σnis如定理4.2所示，且un：=uT或n>T。证据引理2.7和定理4.2的立即数。由于我们允许任意参考价格过程科学定义2.1和2.2，我们的一致性概念相当薄弱。它可以通过要求界（2.6）仅以一定的概率而不是几乎肯定的概率保持来进一步削弱。然而，根据以下定理，只要价格一致，我们总能找到这样一个模型。定理4.4。让p∈ （0，1）和 ≥ 对于给定的价格（2.1）–（2.4），以下是等效的：（i）价格满足定义2.4(-一致性），但将（2.6）替换为最弱条件pSt公司- St公司≥ B（t）≤ p、 t型∈ T（ii）价格与无套利一致。为了证明定理4.4，我们采用了文献[9]中关于修正Prokhorov距离的结果。定义4.5。

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能者818

2022-5-25 14:43:26

对于p∈ [0，1]和R上的两个概率度量u，ν，我们定义了修正的Prokhorov距离asdPp（u，ν）：=infnh>0：ν（A）≤ u（Ah）+p，对于所有闭合集A Ro。（要确定标准Prokhorov距离，请将右侧的p替换为h。）注意dp=W∞. Strassen首先证明了一个众所周知的结果，然后Dudley对该结果进行了扩展[8，17]，解释了dPpto最小距离联轴器的连接。提案4.6。R，p上的给定度量值u，ν∈ [0，1]和 > 0，存在概率空间(Ohm, F、 P）随机变量X~ u和Y~ ν这样的话十、- Y |>≤ p、（4.3）当且仅当ifdPp（u，ν）≤ . （4.4）以下结果表明，与W∞, 总是存在一个近似的孔雀。r、 t.dPpfor 0<p≤ 这解释了为什么定理4.4中非常弱的一致性条件仅限于（i）。定理4.7（文献[9]中的定理8.3]）。Let（un）n∈Nbe a序列，单位为M， > 0和p∈ （0，1）。那么，对于所有m∈ 存在孔雀（νn）n∈n平均值为m，使得dpp（un，νn）≤ .定理4.4的证明。（i）暗示（ii）定义。为了说明其他含义，我们定义了概率度量（ut）t∈T*在命题4.1的证明中，Rut（kt，i）∈ [rt，i，rt，i]因为我∈ {1，…Nt}和t∈ T*. 现在我们选择s∈ [S，S]。然后根据定理4.7，存在一个孔雀（νt）t∈T*平均值s使得dPp（ut，νt）≤ 对于所有t∈ T*. 我们现在可以使用命题4.6，并按照引理2.7的证明来得出结论，存在随机过程（eSCt）t∈T*和（eS）*t） t型∈T*其边际分布由（ut）t给出∈T*响应。（νt）t∈T*, 以便*t） t型∈T*是鞅之类的eS公司*T-eSCt公司≥ ≤ p、 t型∈ T*.我们使用的耦合引理（引理9.1 in[9]）在[9]中针对特殊情况p=0进行了公式化，但证明通常扩展到p∈ [0，1]。

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可人4

2022-5-25 14:43:30

然后我们简单地把*t=B（t）eS*t、 SCt=B（t）eSCt，St=S*T∧ SCt，且St=S*T∨ SCt。5多个到期日：必要条件-一致性上一节的主要结果（定理4.3）给出了-一致性本节的目标是提供明确的必要条件。对于单一到期日-一致性条件（定理3.1）是[5，6]中无摩擦条件的推广。他们保证，对于每个到期日∈ T*期权价格可以与度量单位ut关联，例如Eut∈ [S，S]（参见引理2.7）。在本节中，我们陈述了多个期间的必要条件。我们的条件（见定义5.1和定理5.3）相当复杂，因此我们预计获得可处理的等效条件可能并不容易。如果期权只有价差，而基础期权没有价差，则有必要将价格与三个或两个不同的到期日进行比较（见【5】中的公式（4）、（5）和（6）以及【6】中的推论4.2），以获得合适的一致性条件。这些条件表明，测量系列（ut）t∈T*是一只孔雀。如果我们考虑标的证券的买卖价差，并希望检查-符合定义2.4的一致性( > 事实证明，我们需要同时涉及所有到期日的条件（这将通过下面的条件（4.2）变得明确）。因此，我们引入了日历垂直篮子（calendarvertical baskets，CVB），即由看涨期权中的各种多头和空头头寸组成的投资组合。我们首先对CVB进行了定义。然后，在引理5.2中，我们将研究涉及CVB空头头寸的特定交易策略。然后，该策略将作为定理5.3中条件的基础，这是本节的主要结果。

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2022-5-25 14:43:34

请注意，我们对aCVB的定义取决于 ≥ 0：定义5.1中定义的合同仅在买卖价差以 ≥ 定义5.1。修复u∈ {1，…，T- 1} 以及 ≥ 0，并假设给出了向量σ=（σ，…，σu），x=（x，…，xu），I=（I，…，iu）和J=（J，…，ju），使得（I）xt∈ R代表所有t∈ {1，…，u}，（ii）σ∈ {-1，1}和σt=sgn（xt-1.- xt）对于所有t∈ {2，…，u}，（iii）jt∈ {0，…，Nt}和kt，jt=xt+σt对于所有t∈ {1，…，u}，（iv）it∈ {0，…，Nt}和任何一个kt，它≤ xt公司-1+σtor it=0表示所有t∈ {2，…，u}。然后，我们用这些参数定义一个日历垂直篮子，即合同CV Bu（σ，x，I，J）=C（K1，J）+uXt=2CtKt，jt- CtKt，it- 2.1{σ=-1} 。（5.1）市场问责。CV Bu（σ，x，I，J）的投标价格由CV Bu（σ，x，I，J）=r1，J+uXt=2给出rt，jt- rt，it- 2.1{σ=-1} ，rCV Bu（σ，x，I，J）=r1，J+uXt=2rt，jt- rt，it+ 2.1{σ=-1} 。（5.2）我们将以u作为CVB的到期日。引理5.2。修理 ≥ 对于定义5.1中的所有参数u、σ、x、I、J，存在一个自融资半静态投资组合Φ，其初始值由rΦ=-rCV Bu（σ，x，I，J），因此对于满足（2.6）和（2.7）的所有模型，以及对于所有t∈ {2，…，u+1}下列条件之一成立：（i）φt≥ 0且φt=0，或（ii）φt≥ kt，j- σtandφt=-特别是，所有相应的现金流均为非负。φt，φtar的参数当然与（2.11）中的参数相同，为了简洁起见，省略了这些参数。在引理5.2的证明中，我们归纳地定义了函数φt，φt。在定义独立于模型的策略时，我们还可以使用定义2.8中的确定性虚拟变量（2.12）作为参数。写（Su）u似乎更自然≤t、（SCu）u≤t、（Su）u≤t、尽管如此。

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2022-5-25 14:43:38

我们只需要记住φt，φtha必须被构造为（Su）u的函数≤t、（SCu）u≤t、（Su）u≤t、不使用这些随机向量的分布。此外，请注意，在定理5.3的后面，我们只需要u<T的情况，因此排除了u=T的情况。引理5.2的证明。假设我们购买合同-CV Bu（σ，x，I，J）=-C（K1，j）+uXt=2CtKt，it- CtKt，jt+ 2.1{σ=-1} ，（5.3）因此，我们获得了rCV Bu（σ，x，I，J）的初始付款。我们必须记住，对于某些t，ift=0∈ {2，…，u}，则（5.3）中的相应表达式表示基础中的长位置，如果对于某些t∈ {1，…，u}，然后表达式-（5.3）中的Ct（Kt，jt）表示基础中的空头头寸加上额外的存款2 在时间0的银行帐户中（请参见第3节的开头）。为了简化符号，我们将写Kt，而不是Kt，itand，jinstead of Kt，jt。我们将归纳地表明，在时间t交易后∈ {1，…，u}我们可以在两种情况中的一种情况下结束：要么投资者持有非负数量的银行单位（即φt+1≥ 0），我们将其称为情景A，或者我们在基础中有一个空头头寸（即φt+1=-1）和φt+1≥ kt，j- σt；我们将其称为场景B。请注意，场景A和B不是不相交的，但这不会成为问题。我们将首先处理σ=-在σ=1的情况下。Westart，t=1，首先假设j>0。若C（K1，j）过期，则我们不在时间1进行交易，得到φ=2 ≥ 0，所以我们在场景A中。否则，我们出售一个单位的基础，因此φ=2 + k1，j+D（1）s- SC公司≥ k1，j+ = k1，j- σ,产生方案B。回顾第2节，D（t）=B（t）-1、如果j=0，则k1，j=.

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2022-5-25 14:43:43

在这种情况下，我们不关闭空头头寸，我们得到φ=4 ≥ k1，j- σ, 所以我们也到了场景B。对于归纳步骤，我们将证明分为两部分。在A部分中，我们假设交易时间t后- 1我们在场景A中，在第B部分中，我们将假设在周期t结束时- 1我们在场景B中。A部分：我们将展示，在时间t交易后，我们可以在情况Aor B中结束。首先，我们假设jt，它>0，因此（5.3）中的两个表达式，到期时间t表示期权（而不是基础期权）。在这些假设下，φt系数φt+1≥ D（t）SCt公司- Kt，i+- D（t）SCt公司- Kt，j+.显然，如果Kt，i≤ Kt，jor如果两个期权都到期了，那么φt+1≥ 假设Kt，i>Kt，jand，SCt>Kt，j。这也意味着σt=1。如果是这种情况，我们做空一个单位的基础，φt+1可以从下面开始，如下所示，φt+1≥ D（t）SCt公司- Kt，i+- D（t）SCt公司- Kt，j+ D（t）St≥ kt，j- σt。这对应于情况B。接下来假设jt=0，且它>0。那么我们有kt，j=.交易时间t后，我们将进入场景B，φt+1≥ D（t）SCt公司- Kt，i++ 2. ≥ kt，j- σt。我们继续处理jt>0且它=0的情况。作为kt，j>, 我们可以在时间t，φt+1结束时，关闭基础中的多头头寸，并在方案A中结束≥ D（t）St- D（t）SCt公司- Kt，j+≥ jt=it=0的情况很容易处理，因为多头和空头仓位简单取消。我们完成了A部分。B部分：假设我们在时间t交易后- 1我们处于方案B中，因此φt=kt-1，j- σt-1、首先我们将考虑jt大于0的情况。如果在时间t时，选择权与冲销Kt，jexpires in the money，则我们不会平仓，且φt+1≥ φt+D（t）SCt公司- Kt，i+- D（t）SCt公司- Kt，j= 千吨级-1，j- σt-1+kt，j- kt，i≥ kt，j- σt，这意味着我们将在场景B中结束。

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2022-5-25 14:43:46

现在我们根据xt区分两种情况-1.≤ xt和xt-1> xt，并始终假设Ct（Kt，j）到期时没有钱。如果xt-1.≤ xt，那么我们也有kt，i≤ kt，jandσt=-1、我们平仓，以方案A结束，φt+1≥ φt+D（t）SCt公司- Kt，i+- D（t）St≥ kt，i- σt- kt，i- ≥ 0、如果另一方面为xt-1> xT和σt=1，我们不在时间t交易以保持在方案B中，φt+1≥ φt+D（t）SCt公司- Kt，i+> kt，j- σt。我们继续处理jt=0且它>0的情况。和前面一样，我们有kt，j=, 我们可以失去一个空头仓位以保持在方案B中，φt+1=φt+D（t）SCt公司- Kt，i++ 2. - D（t）St≥ 千吨级-1，j- σt-1.- kt，i+≥ - σt=kt，j- σt。如果jt>0且它=0，则我们区分两种情况：任一Ct（Kt，j）到期，超出货币，在这种情况下，我们取消了基础中的多头和空头头寸，并得到φt+1≥ φt≥ 0，对应于场景A。或者，Ct（Kt，j）在货币中过期。然后我们出售一个基础单元，因此我们最终进入方案B，φt+1≥ φt- D（t）SCt公司- Kt，j+ D（t）St≥ 千吨级-1，j- σt-1+kt，j- ≥ kt，j- σt。在上一个不等式中，我们使用了kt-1，j- σt-1=xt-1.≥ kt，i- σt，和kt，i=.jt=it=0的情况也很容易处理，因为多头和空头位置相互抵消，我们在（t+1）-st周期结束时处于场景B中。因此，当我们在时间u进行交易后，我们要么处于场景A，要么处于场景B，这证明了σ=-σ=1的证明类似。我们将首先表明，在时间1交易后，我们可以在场景A或场景B中进行交易，然后在陈述命题后进行归纳，就像σ=-1、首先我们假设j>0。然后，如果期权C（K1，j）到期，我们处于方案A中；否则我们做空基础，得到φ≥ -D（1）SC公司- K1，j+ D（1）S≥ k1，j- ,对应于场景B。

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2022-5-25 14:43:50

如果j=0，那么我们也有kj，1=, 因此，我们是inscenario B。根据引理5.2，合同买方有一个半静态的、自我融资的交易策略Φ-CV Bu（σ，x，I，J），因此（φu+1，φu+1）仅取决于σu，ku，J（投资者可能在银行账户中有一些盈余）。在下文中，我们将使用此策略并只写-CV Bu（σu，ku，j）分别。rCV Bu（σu，ku，j）代替-CV Bu（σ，x，I，J）分别。rCV Bu（σ，x，I，J）。如果φu≥ 0和φu=0，我们将说日历垂直篮子到期了；否则我们会说它在钱里过期了。下一个定理说明了有界市场中不存在套利的必要条件 ≥ 0、定理5.3。允许 ≥ 0、s、t、u∈ 使得s<T和s<u和i∈ {0，…，Nt}，j∈{0，…，Ns}，l∈ {0，…，Nu}。第2节开头的固定价格，kt，1> 对于allt∈ T然后，对于所有到期日为s的日历垂直篮子∈ T和参数ks，jandσs，以下条件对于-一致性，（i）rCV Bs（σs，ks，j）- rt，iks，j- σs-kt，i+≤ru，l- rCV Bs（σs，ks，j）ku，l+ -ks，j- σs, 如果kt，i+ < ks，j- σs<ku，l+,（5.4）（ii）ru，l- rCV Bs（σs，ks，j）ku，l+ -ks，j- σs≥ -1，如果ks，j- σs<ku，l+, （5.5）（iii）rCV Bs（σs，ks，j）- rt，i≤ 0，如果ks，j- σs≥ kt，i+, （5.6）（iv）rCV Bs（σs，ks，j）- rt，i=0=> rt，i=0，如果ks，j- σs>kt，i+. （5.7）证明。我们假设s<t≤ u和i，l>0。其他案件也可以同样处理。在所有四种情况下（i）–（iv），我们将假设直到时间s，我们都遵循引理5.2中描述的交易策略。（i）如果（5.4）失败，那么我们设置θ=ku，l+ -ks，j- σsku，l- kt，i∈ （0，1）购买θCt（Kt，i）+（1- θ）铜（Ku，l）- CV-Bs（σs，Ks，j），获得初始利润。如果日历垂直篮子CV-Bs（σs，Ks，j）到期，则我们有模型独立套利。

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2022-5-25 14:43:54

否则，我们在时间s有一个基础空头头寸。为了平仓，我们在时间t购买基础θ单位，然后购买1- θ基本时间u的单位。此时u的策略清算值为非负，（ks，j- σs+)B（u）+θ（SCt- Kt，i）+B（u）B（t）+（1- θ）（SCu- Ku，l）++（Ss- SCs）B（u）B（s）- θStB（u）B（t）- （1）- θ）苏≥ （ks，j- σs）B（u）+θB（u）B（t）SCt公司- Kt，i- St公司+ （1）- θ）SCu公司- Ku，l- 苏≥ks，j- σs- θkt，i- （1）- θ） ku，l- B（u）=0。（ii）接下来，假设（5.5）失败。然后购买合同CU（Ku，l）- CV Bs（σs，Ks，j）+ku，l+ - （ks，j- σs）获得初始利润。如果CV Bs（σs，Ks，j）过期，则我们保留投资组合。否则，我们立即进入空头头寸，并在时间u时平仓。此时清算价值为非负，（ks，j- σs+)B（u）+（Ss- SCs）B（u）B（s）+（SCu- Ku，l）+- 苏+ku，l+ - （ks，j- σs）B（u）≥ 0.（iii）如果（5.6）失败，那么我们购买合同Ct（Kt，i）-负成本的CV Bs（σs，ks，j）。再次，我们可以关注CV-Bs（σs，ks，j）在货币中过期的情况。我们在时间s出售一个单位的基础债券，并在时间t平仓。该策略在时间t的清算价值为非负，（ks，j- σs+)B（t）+（Ss- SCs）B（t）B（s）+（SCt- Kt，j）+- St公司≥ 0.（iv）我们将证明不存在-如果（5.7）失败，则模型一致。在每个模型中，如果CV-Bs（σs，ks，j）在货币中失效的概率为零，我们可以简单地卖出CV-Bs（σs，ks，j），并遵循引理5.2中的交易策略，实现（依赖于模型的）套利。另一方面，如果CV-Bs（σs，ks，j）在货币中以正概率到期，那么我们可以使用与（iii）证明中相同的策略。在时间t，投资组合的清算价值为正，概率为正。注意，如果 = 0，则CV Bs（σs，ks，j）的收益与-Cs（Ks，j）。

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可人4

2022-5-25 14:43:58

记住这一点，很容易验证定理5.3中的条件是[5]中等式（4）、（5）和（6）的推广。（5.4）、（5.5）、（5.6）和（5.7）是否也能满足-一致的模型。猜想5.4。给定定理5.3中规定的条件，给定的价格为-当且仅当（5.4）、（5.5）、（5.6）和（5.7）持有时，与无套利一致。每当（5.4）、（5.5）和（5.6）保持但（5.7）失败时，就会出现weakarbitrage。定理5.3可用于发现与给定市场价格相关的套利机会。然而，如何找到满足定义5.1条件的参数可能并不清楚。为方便读者阅读，我们在本节末尾提供了一个算法，该算法可用于根据第2节开头的价格创建CVB。不难看出，它提供了所有可能的参数配置。一旦选择了特定的CVB，其投标价格可通过（5.2）获得。（i）选择j∈ {0，…，N}和σ∈ {-1，1}并设置x=k1，j- σ。（ii）给定{x，…，xt-1} ，{σ，…，σt-1} ，{j，…，jt-1} 而且{我，…，它-1} 首选jt∈ {0，…，Nt}。（iii）在以下情况下选择σt：≥ xt公司-1+ 设置σt=-1、 o如果kt，jt≤ xt公司-1.- 设置σt=1；o如果kt，jt=xt-1条σt∈ {-1，0，1}；o如果kt，jt∈ （xt）-1.- , xt公司-1+) \\ {xt-1} 拾取σt∈ {-1，1}；（iv）设置xt=kt，jt- σt 然后选择它∈ {0，…，Nt}使得≤ xt公司-1+σt 或它=0。（v）重复步骤（ii）至（iv）。6结论我们定义了-一致的价格，这意味着看涨期权和基础期权的一组买入和卖出价格可以用一个模型来解释，该模型的买入和卖出价差以. 对于单一成熟度，我们解决-一致性问题，从无摩擦情况下恢复三分法一致性/weakarbitrage/模型独立套利[6]。

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2022-5-25 14:44:02

可以很容易地计算一致模型存在的扩展边界的间隔。多周期问题似乎相当棘手。作为第一步，我们提供了两个结果：必要的显式条件和等效的半显式条件。对于后者，我们引用了文献[9]中关于孔雀近似的一个最新结果。最后，我们注意到博士论文【10】的第3.3节讨论了简化假设下的多周期问题。特别是，假设只有基础有买卖价差，但没有期权。定理3.1的证明：-一致性首先表明条件是必要的。在整个证明过程中，我们将用Cito ease符号表示optionC（K1，i）。（i）假设1≤ i<j<l使得（3.1）不成立。我们买了一份奶油酱，这是合同bfi，j，l=Kj- KiCi+Kl- KjCl公司-千焦- Ki+Kl- 千焦CJ并获得首次付款。如果SCexpires在区间（Ki，Kl）内，则其到期收益为正，否则为零，因此我们有模型独立套利。如果（3.1）i=0失败，我们购买合同bf0，j，l=Kj- BS+Kl- KjCl公司-千焦- B+吉隆坡- 千焦CJ并做一个初始属性。请注意，S表示基础。到期时，合同的清算价值由KJ给出- BS+Kl- 千焦（SC- 吉隆坡）+-千焦- B+吉隆坡- 千焦（SC- Kj）+始终为非负。（ii）假设（3.2）在1≤ 然后我们买一个看涨期权- Ciand investkl公司- 把钱存入银行账户。这将获得初始利润，到期时，期权产生的现金流至少为Ki- Kl，这意味着我们有套利。现在我们考虑i=0的情况。注意，在这种情况下（3.2）等于torl- Skl+≥ -如果失败，我们购买Cl，出售一个基础单位，然后投资kl+ 在银行账户中。

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