粗糙波动的时间不一致性

2022-6-24 11:46:47

粗糙波动的时间不一致性*Bingyan Han+Hoi Ying Wong2021年12月21日摘要本文考虑Volterra过程和时间不一致偏好下的均衡策略，包括均值-方差投资组合选择（MVP）。利用泛函It^o演算方法，我们克服了Volterra过程中的非马尔可夫和非半鞅困难。然后，在博弈论框架下，用一个扩展路径依赖的Hamilton-Jacobi-Bellman方程组来描述均衡策略。提供了验证定理。我们导出了三个问题的显式解，包括具有常数风险厌恶的MVP、对数旋转的MVP和具有线性受控Volterra过程的均值-方差目标。我们还彻底研究了波动率粗糙度对均衡策略的影响。数值实验表明，波动率粗糙的交易规则优于经典规则。关键词：时间不一致性、粗糙波动性、函数It^o演算、均值方差组合选择、Volterra-Heston模型。数学科目分类：91G80、91A80、60G22、60 H20。JEL分类：C72、C73、G11.1简介投资组合选择是数学金融中的一个基本且领先的问题。由Markowitz（1952）首创的均值-方差投资组合选择（MVP）被公认为是现代投资组合理论的核心。其直观灵活的配方吸引了众多研究人员的注意，他们试图加强原始框架。示例包括但不限于L i和Ng（2000）；周和李（2000）；Basak and Chabakauri（2010年）；Czichowsky（2013）；比约克等人（2014）；何和江（2019）；Dai等人（2020年）。与预期效用理论（Merton，1969）相反，MVP支持方差算子引起的时间不一致性。

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2022-6-24 11:46:50

当初始值为（t，x）的投资者意识到，当s>t时，衍生策略在随后的s状态（s，Xs）不再是最优的，就会出现时间不一致。正如Strotz（1955）所指出的，时间一致性是任何合理的战略决策和优化的基本要求。代理人只能选择他/她不会偏离的策略。Basak和Chabakauri（2010）认为，MVP有一个调整条款，即p提供“一种激励，鼓励投资者在不久的将来偏离其最佳战略。”然而，Li和Ng（2000）等研究；周和李（2000）忽略了时间不一致性，只提供了预先承诺的策略。*本文的早期版本以“Volterra过程的时间一致性反馈策略”为题进行了分发和引用。作者要感谢两位匿名审稿人和编辑的精彩阅读和宝贵评论，这大大改进了手稿。Bingyan Han获得UIC启动研究基金的支持（参考号：R72021109）。+BNU-HKBU联合国际学院科学技术部，中国广东珠海，bingyanhan@uic.edu.cn香港中文大学统计系，中国香港特别行政区，hywong@cuhk.edu.hkTime-不一致性在最优性的概念上产生了大量有争议的观点。一种补救方法是考虑一种均衡策略。目的是在当前经纪人和他/她未来的自己之间模拟一场游戏，并将游戏的非平衡作为策略。基于不同的方法，有几种治疗方法可用。Ekeland和Pirvu（2008年）；Bj¨ork等人（2014、2017）遵循经典的动态编程框架，推导出一个扩展的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来描述平衡。Hu等人。

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2022-6-24 11:46:53

（2012）在开环优化中制定博弈，并通过随机最大值原理推导等式。Yong（2012）；Czichowsky（2013）考虑在整个规划时间h原点上进行划分，并通过取极限获得平衡。通过定点论证，Huang和Zhou（2018）进一步区分了强平衡和弱平衡。相关讨论包括He和Jiang（2019）以及其中的参考文献。在本文中，我们利用扩展的HJB方法来实现其广泛的应用，包括MVP。刘（2007）；Basak和Ch ab akauri（2010年）；Dai等人（2020年）证明，随机波动性的套期保值需求可能占总均衡股票敞口的很大一部分。因此，波动率的现实建模在投资决策中起着不可或缺的作用。我们使用Gatheral等人（2018）最近提出的粗糙波动率模型。在这项开创性的工作中，Gathereal等人（2018）使用分数布朗运动（fBm）来证明波动的粗糙性。Fukasawa等人（2019年）通过制定严格的统计估计和推断，进一步证实了波动率甚至比Gatheralet等人（2018年）报告的波动率还要粗略。这些模型与金融时间序列的一些程式化事实相一致，并具有一些理想的理论特性。他们捕获了隐含波动性（IV）表面的期限结构，尤其是当自然度接近零时，货币（M）倾斜的爆炸（Al\'os等人，2007；Gatheral等人，2018；El Euch和Rosenbaum，2019），平滑波动模型无法做到这一点。

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2022-6-24 11:46:57

高波动率模型的示例包括fBm（Gatheral et al.，2018）、分数Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程（Fouque and Hu，20192018）、粗糙Bergomi（rBergomi）模型（Bayer et al.，2016）、分数Heston模型（Guennoun et al.，2018）和粗糙Heston模型（El Euch and Rosenbaum，2019）。Rough-Heston模型受到了特别的关注，并扩展到Volterra-Heston模型（Abi-Jaber et al.，2019）和a ffne远期方差（AFV）模型（Gatherel an dKeller-Restel，2019）。El Euchand Rosenbaum（2019）通过高频率交易中的metaord er s、Jusselin和Rosenbaum（2020）通过无套利性质、Glasserman和He（2019）通过短期下行风险的异质性以及Gathereal等人（2018）通过长记忆行为解释了粗糙波动性的经济解释。然而，就像对波动率的短期或长期依赖性的研究一样，对粗糙波动率的理解仍在发展中。我们对粗糙波动率所描述的更现实的随机金融环境下的均衡策略感兴趣。我们是第一个探索具有粗糙波动性的时间不一致性的人，尽管相关的工作，如Fouque和Hu（2019）；Han和Wong（2020a，b）；Fouque和Hu（2018）；B¨auerle和Desmettre（2020），其中的参考文献可用于粗糙波动下的替代投资组合问题。尽管有经验证据表明存在高波动性，但其非马尔可夫和非半鞅性质对平衡的经典方法提出了挑战。我们还考虑了er-Volterra过程的一般性。文献中以前的结果不能直接用于解决Volterra过程下的平衡策略。Hu等人（2012）考虑了线性非马尔可夫系统，但其应用仅限于线性四次控制问题。

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2022-6-24 11:47:00

Czichowsky（2013）中的局部均值方差（LMVE）方法可以处理半鞅，但Volterra过程通常不是半鞅。为了解决这些困难，我们采用了一种称为函数I t^o Calculus的通用方法，其应用程序远远超出了时间不一致性和粗糙波动性。Dupir e（2019）首先为非预期泛函开发了一种路径演算，其动机是定价和享乐路径依赖衍生品。通过定义时间和空间导数，经典的It^o公式被扩展到Cont和Fourni^e（2013）中p ath-d依赖函数的函数I t^o公式；杜皮尔（2019）。函数It^o演算适用于一类广泛的优化和决策问题。为了更好地纳入金融和保险风险，Siu（2016）考虑了函数It^o演算在具有非马尔可夫跳差过程的凸风险度量中的应用。Cvitani\'c等人（2017年）使用Dupire的功能It^o Calculust来激励他们在委托代理问题中对合同的定义。在Cont和Fou rni\'e（2013）的框架下；Dupire（2019），S chied et al.（2018）提出了Fernholz随机投资组合理论中主公式的两个路径版本，并用经验数据阐明了它们的表现。Saporito（2019）app将函数It^o演算应用于随机微分和时滞最优控制问题。然而，上述文献依赖于半鞅假设，而Volterra-Heston模型和一般Volterra过程是非半鞅。最近，Viensand Zhang（2019）开发了一个功能强大的工具包，用于分析Volterra过程的函数。

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2022-6-24 11:47:03

启发式地，他们的方法旨在通过在路径ω中加入辅助非预期过程Θt（2.7）来“恢复”Volterra过程的流动特性。他们优美的结果使我们能够推导出定理2.16中的扩展路径相关HJB（PHJB）方程系统，这扩展了Zhao等人（2014）的结果；比约克等人（2014、2017）；Dai等人（2020年），除了粗糙波动下的投资组合选择之外，还有潜在的应用。然而，我们强调，即使考虑到现有的结果，PHJB系统的开发也不是微不足道的。我们还提供了比约克等人（2017）提出的未解决的未来问题的一个例子：“目前的理论在很大程度上取决于马尔可夫结构。如果没有这一假设，看看能做些什么会很有趣。”Bj¨ork et al.（2017）在第3节中，我们将Volterra过程的一般框架应用于Rough波动下的时间一致性（TC）MVP。我们将处于恶劣环境下的代理人称为粗暴投资者。当波动更剧烈时，一个粗鲁的投资者应该多多少少买进吗？他/她应该什么时候改变自己对粗野的偏好？此外，根据经验数据，粗略的策略的可行性如何？我们观察到波动率粗糙度显著增加了对冲需求。此外，粗糙投资者对粗糙度的态度取决于心中的支付功能。通过推导巴沙克和沙巴卡里经典问题的显式解决方案（2010年）；Dai等人（2020年），我们对时间不一致性和粗糙度之间的复杂关系进行了深入的分析和理清。我们的发现提倡将高波动率模型作为Basak和Chabakauri（2010）采用的经典模型的有希望的替代方案；Dai等人（2020年）。o第3.1节考虑了Volterra-Heston模型下具有恒定风险规避的TC-MVP（Basak和Chabakauri，2010）。

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2022-6-24 11:47:06

这被称为const MV案例。在我们的敏感性分析中，我们发现，当投资期限较长时，const-MV策略表明对波动性更平稳的股票的需求较高。在较短的投资期限内，CONST MV策略增加了对波动性较大的股票的敞口。我们将这种现象称为投资期限效应。在const MV案例中，这种影响的变化点与投资者的风险厌恶无关。在一项模拟研究中，我们发现，粗糙的投资者比圆滑的投资者要求高达40%的利润第3.2节研究了粗糙随机环境下TC-MVP的对数回报（Dai等人，2020）。这被称为对数MV案例。合同MV案例中的投资期限效应保留在日志MV案例中。然而，主要区别在于，当投资者开始偏好粗糙时，风险厌恶的异质性就会发生变化。一个更为厌恶风险的投资者更早地经历了磨难。一般来说，log-MV案有利于破产，因此比const-MV案更为保守。如模拟研究所述，与Dai等人（2020年）相比，粗略投资者的股票需求最多增加9%。此外，与恒定相对风险规避（CRRA）效用相比，对数MV标准意味着不同的粗糙度相关行为第3.3节研究了均值-方差（MV）目标和线性受控Volterra过程的问题。与投资组合选择不同，卷积和控制一起出现在状态过程中（3.45）。我们设法推导出一个明确的策略，该策略展示了我们的框架对受控Volterra状态过程问题的潜在应用通过第4.3节中的实证研究，我们强调了具有粗糙波动性的交易策略主导了Basak和Chabakauri（2010）的所有经典对应策略；Dai等人（2020年）。

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2022-6-24 11:47:08

即使在2018年5月至2019年4月动荡不安的美国股市下，他们也能以更好的夏普比率获得更多的终端财富。实证绩效证实了我们提出的策略在捕捉市场动向方面更有效的说法。本文的主要内容如下。第2节描述了Volterra过程的一般框架。第2.2节将Volterra-Heston模型视为剧烈波动的主要例子。第2.4节推导了扩展的PHJB方程组。第3节讨论了使用MV目标解决三个问题的方法。第4节介绍了数值研究。最后，第5节对本文进行了总结。Viens和Zhang（2019）中的函数It^o演算在附录A中总结为一篇完整的文章。所有数学证明均遵循附录B.2问题公式2.1 Volterra过程假设T>0为确定性有限投资期。我们首先提出了一个一般模型，其应用超出了粗糙波动率。考虑[0，T]上的受控n维随机Volterraintegral方程（SVIE）：Xut=x+Ztu（T；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dr+Ztσ（t；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dWr，（2.1）其中Xur∧·指进程（Xus）0的整个过去路径≤s≤r、 W是一个d维标准布朗运动，u，σ用合适的维数表示。反馈策略u是k维确定性可测函数。我们在定义2.6中提供了对允许策略的严格定义。本文中（2.1）的主要例子是（2.6）和（2.4）中的二维过程（Mu，ν）。同样值得一提的是，SVIE（2.1）一般是非马尔可夫和非半鞅的。我们考虑反馈策略u（r，Xur∧·) 取决于whole路径Xur∧·而不是像Basak和Chabakauri（2010年）那样，对流程的当前值Xurof进行单独计算；比约克等人（2017）；Dai等人。

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2022-6-24 11:47:11

(2020). 这种设置更为合理，因为投资者总是可以根据观察到的过程历史做出决策。在正式确定均衡反馈策略之前，我们在本文中采用以下长期假设。假设2.1。受控SVIE（2.1）在某个完全概率空间上存在唯一的律内连续弱解（Xu，W）(Ohm, F、 P）过滤F={Ft}0≤t型≤t满足通常条件。（Xu，W）为F适应型且HSUP0≤t型≤T | Xut | pi<∞, （2.2）对于任何p≥ 1、如Viens和Zhang（2019）附录所述，足够大的弯矩恒量就足够了。然而，这个p并不明确。由于我们的主要关注点是时间不一致性，因此我们不寻求可能更一般的条件来验证本文中的假设2.1。我们验证假设2.1 f或第3节中的一些示例，并请感兴趣的读者参考Abi Jaberet al.（2019）；Viens和Zhang（2019），以获取进一步结果。实际上，由于u是一种反馈策略，我们可以将uuan和σuin（2.14）分别视为漂移和差异。Abi Jaber等人（2019年）的ou T控制结果；Viens和Zhang（2019）随后适用于我们的案例。与Viens和Zhang（2019）的假设3.1相比，假设2.1进一步要求（2.1）承认独特的法律解决方案。对于给定的反馈策略u，我们的问题自然会在u下获得唯一的奖励函数（2.15），这要求SVIE（2.1）定律是唯一的。我们还需要（2.1）的连续解。当考虑反馈策略时，这种情况相对较小。在这种情况下，串联路径（2.8）随后被调整为连续路径。一旦给出反馈策略u，我们将弱解（Xu，W）转化为（2.1）。虽然概率空间和布朗运动也是SVIE（2.1）解的一部分，但Xu的分布是唯一的。

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2022-6-24 11:47:14

在概率测度P下，我们将E[·]和E[·| Ft]分别表示为期望和条件期望，这是一般控制u下弱解的一部分。如Viens和Zhang（2019），我们使用F=FXu，W.2.2示例：Volterra-Heston模型考虑二维s标准布朗运动W，（W，W）。（2.1）的一个重要示例是经典Heston m odel El Eu ch和Rosenbaum（2019）的粗略版本：νt=ν+Γ（H+）Zt（t-r） H-1/2κ(φ - νr）dr+Γ（H+）Zt（t-r） H类-1/2σ√νrdBr，（2.3），其中Γ（·）是伽马函数，H是赫斯特参数。dBr=ρdW1r+p1- ρdW2randν、κ、φ和σ是正常数。股票价格与波动性之间的相关系数ρ也保持不变。当H=1/2时，模型简化为Basak和Chabakauri（2010）采用的经典Heston模型；Dai等人（2020年）。（2.3）的波动轨迹几乎肯定具有更高的规律性- ε、对于所有ε>0，如El Euch和R osenbaum（2019）所示。因此，（2.3）被称为粗糙Heston模型，Hurst参数H是波动率粗糙度的指数。H越小，波动性越剧烈。El E uch和Rosenbaum（2019年，第5.2节）的H值为0.1，表明粗糙的Heston模型为波动率偏差提供了显著的结果，包括极短到期的情况。因此，它捕获了ATM倾斜爆炸所隐含的短期风险。Abi Jaber et al.（2019）中的Volterra-Heston模型扩展了r ough-Heston模型（2.3），如下所示：νt=ν+κZtK（t- r）（φ- νr）dr+ZtK（t- r） σ√νrdBr，（2.4），其中K（·）是核函数。通过设置K（t）=tH-1/2Γ（H+1/2），即分数核，（2.4）恢复（2.3）。根据Abi Jaber等人（2019），我们对核函数施加以下假设。假设2.2。核K是严格正且完全单调的。

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2022-6-24 11:47:17

存在τ∈ （0，2）使得Rhk（t）dt=O（hτ）和Rt（K（t+h）-K（t））dt=O（hτ），每t<∞.如Abi Jaber等人（2019年）；Basak和Chabakauri（2010年）；Dai等人（2020），风险资产（股票）价格STI假设如下：dSt=St（Υt+θνt）dt+St√νtdW1t，S>0，（2.5），确定性有界无风险率Υt>0，常数θ6=0。风险的市场价格或风险概率由θ给出√νt.这种风险溢价规范在文献中广泛使用，如Basak和Chabakauri（2010年，第2.2节）和Dai等人（2020年）；B–Auerlean和Desmettre（2020年）。风险收益率Υt>0是市场上可用的无风险资产的回报。事实上，如备注3.6所示，一般赫斯顿规范（Liu，2007；Basak and Chabakaur i，2010；Dai等人，2020）也是可处理的。我们采用（2.5）简化表示。我们引用了Abi Jaber等人（2019）的以下结果，这保证了Volterra-Heston模型的存在性和弱唯一性。定理2.3（Abi Jaber等人（2019年，定理7.1））。在假设2.2下，随机Volterra方程（2.4）-（2.5）具有唯一的定律R≥0×R≥任意初始条件（S，ν）的0值连续弱解∈ R≥0×R≥0、备注2.4。（2.4）-（2.5）的路径唯一性通常仍然是一个悬而未决的问题。我们提到Abi Jaber和El Euch（2019，命题B.3）是与内核K相关的结果∈C（[0，T]，R）和Mytnik和Salisbury（2015年，命题8.1），用于某些光滑的果仁。然而，（2.4）-（2.5）的强唯一性对于奇异核是开放的。对于弱解，布朗运动可以根据需要自由构造。在续集中，我们将一个解（S，ν，W，W）固定到（2.4）-（2.5），因为其他解具有相同的规律。

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2022-6-24 11:47:21

此外，对于Volterra-Heston模型，边界点0可能是可触及的，并且边界点0的属性是开放的。将股票中的财富金额乘以√νtand表示为投资策略u。让Mutbe成为财富过程。然后，相互满足=ΥtMut+θ√νtutdt+utdW1t，Mu>0。（2.6）很明显，（2.6）和（2.4）中的（Mu，ν）是Volterra过程（2.1）的特例。我们以统一的方式处理（2.1）中的一般时间不一致性问题，而应用程序侧重于（2.6）和（2.4）。2.3时间不一致偏好下的均衡对于时间不一致问题，我们必须考虑从时间t开始的状态过程∈ [0，T）.对于s≥ t、一般状态过程（2.1）可分解如下：Xus=x+Ztu（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dr+Ztσ（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dWr+Zstu（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dr+Zstσ（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dWr。继Viens和Z hang（2019年）之后，我们定义了美国x+Ztu（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dr+Ztσ（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))dWr，t≤ s≤ T、（2.7）T 7→ Θt，usis 0的半鞅≤ t型≤ s、使用Θt，us，我们将路径ω连接为ωs=（XutΘt，u）s，Xus{0≤s<t}+Θt，us{t≤s≤T}。（2.8）虽然ω在[0，T]上定义，但它适用于Ft。ω是P-a.s.连续的。对Θt，usis的解释如下：Θt，us=EhXus-Zstu（s；r，Xur∧·, u（r，Xur∧·))博士Fti，（2.9），与修改后的正向过程相关（Keller-Restel等人，2018）。它代表了未来进程分布的当前视图。特别是，如果我们考虑Volterra-Heston模型（2.4），那么Θts=ν+κZtK（s- r）（φ- νr）dr+ZtK（s）- r） σ√νrdBr，（2.10），对应于Θt，uin（2.7）的方差部分。由于u没有出现在varianceprocess中，因此我们将其从表示法中排除，这将成为Θt。

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2022-6-24 11:47:25

我们进一步表示方差过程的串联路径ω，如下所示：ωνs=（νtΘt）s，νs{0≤s<t}+Θts{t≤s≤T}。（2.11）对于Θtsin（2.10），Viens和Z hang（2019年，方程式（5.11））表明，Θtscan be represented by the forward variance curve E[νs | Ft]。因此，Θt可以与金融产品CT（如差异掉期）大致复制。在时间t，对于实现的路径ω，我们有以下内容：Xt，ω，us=ωs+Zstu（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dr+Zstσ（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dWr，t≤ s≤ T、 Xt，ω，us=ωs，0≤ s<t，（2.12），其中符号Xusis替换为Xt，ω，Ust，以突出其对t和路径ω的依赖性。对于t≤ s≤ T，ΘT，usis然后解释如下：ΘT，us=ωs=x+Ztu（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dr+Ztσ（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dWr。（2.13）对于给定的反馈策略u，设uu（t；r，ω），u（t；r，ωr∧·, u（r，ωr∧·)), σu（t；r，ω），σ（t；r，ωr∧·, u（r，ωr∧·)). （2.14）由于我们可以用相同的奇点来考虑uu和σu，因此我们只会遇到两种情况。如果limr→tuu（t；r，·）=∞ 和limr→tσu（t；r，·）=∞, 这被称为单数情况；否则，如果limr→tuu（t；r，·）<∞ 和limr→tσu（t；r，·）<∞, 这被称为常规病例Viens和Zhang（2019）。我们介绍了奖励函数如下：J（t，ω；u），EhZTtC（t，ωt，r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dr+F（t，ωt，Xt，ω，uT∧·)Fti+G（t，ωt，E[Xt，ω，uT | Ft]，（2.15），其中Xt，ω，uis由（2.12）给出。功能（2.15）将嵌套MV标准（3.4）作为特例。由于缺乏流动资产，SVIE（2.1）的时间不一致（Viens和Zhang，2019）。然而，我们关注目标函数J的时间不一致性问题，这源于其对当前时间t、当前状态ωt和非线性函数G的依赖性。因此，函数（2.15）不满足Bellman最优性原则。

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2022-6-24 11:47:28

在当前时间t最大化（2.15）的策略在未来某个时间可能不再是最优的。Werefer读者阅读Basak和Chabakau ri（2010）；赵等（2014）；比约克等人（2014、2017）；Daiet等人（2020年），了解（2.15）的动机和示例。从概念上讲，非马尔可夫属性意味着仅仅记录当前状态是不够的。需要Ftis提供更多信息。对于Volterra过程，级联路径ω是有效的。此外，通过将奖励J写成ω=Xu的函数tΘt，u大于Xut∧·只是，J在mildconditions下保留了一些很好的正则性属性，例如连续性。为了进一步澄清，尽管uis是Xut的一个功能∧·, 由于所涉及的随机积分，在一致收敛条件下，依赖关系是完全不连续的。读者可参考Viens和Zhang（2019，备注3.2）了解具体示例。Viens和Zhang（2019）发现，可以通过包含Θt，u来恢复FLOW属性，从而得出Functionat^o公式。第3节使用特定的例子更具体地阐明了基本原理。设m是多项式增长率的一般正值，其可能从直线到直线e变化。由上确界范数| |ω| | T，sup0≤t型≤在附录A中定义的T |ωT |，我们在| |·| | T.假设2.5下引入ω的连续性。F和G的性质：（1）。对于任何固定的s和y，F是ω的多项式增长。即| F（s，y，ω）|≤ C[1+| |ω| | mT]，（2.16）对于某些常数C，m>0。(2). 对于任何固定的s和y，G（s，y，z）在z上是连续可微的。类似地，对于给定的反馈策略u，letCu（t，ω，s，y），C（s，y，t，ωt∧·, u（t，ωt∧·)). （2.17）定义2.6。u被认为是一个可接受的策略，用u表示∈ U、如果（1）。假设2.1成立。(2).

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2022-6-24 11:47:32

（a）如果uuan和σuar是正则的，那么对于固定的t∈ [0，T]，假设uu（T；r，ω）和σu（T；r，ω）在r中是右连续的∈ [0，t]和ω中的连续∈ Ohm. tuu（t；r，·）和tσu（t；r，·）e xi st代表t∈ [r，T]。对于Д=uu，σu，tuu，tσu，|Д（t；r，ω）|≤ C[1+| |ω| | mT]，（2.18）对于某些常数C，m>0。（b）如果uuan和σuar为单数，则对于固定t∈ [0，T]，假设uu（T；r，ω）和σu（T；r，ω）在r中是右连续的∈ [0，t）和ω中的连续∈ Ohm. 对于Д=uu，σu，假设tИ（t；r，·）e xi sts用于t∈ （r，T），并且存在0<H<1/2，使得对于任何0≤ r<t≤ T，|Д（T；r，ω）|≤ C[1+| |ω| | mT]（t- r） H-1/2, (2.19)|tД（t；r，ω）|≤ C[1+| |ω| | mT]（t- r） H-3/2，（2.20）对于某些常数C，m>0。(3). 对于任何固定的s和y，CUI在（t，ω）中是连续的。多项式在ω中均匀增长的Cuis，即| Cu（t，ω，s，y）|≤ C[1+| |ω| | mT]，（2.21）对于某些常数C，m>0。(4). 对于任何固定的s和y，Ehsupt≤r≤TC（s，y，r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))+F（s，y，Xt，ω，uT∧·)Fti（2.22）+G（s，y，E[Xt，ω，uT | Ft]）≤ C[1+| |ω| | mT]，对于一些常数C，m>0，这些常数与t无关。作为在t时是最优的策略，在t之后可能不再是最优的，代理会主动偏离它。Strotz（1955）；Ekeland和Pirvu（2008年）；Bj¨ork等人（2017）认为，任何理性的代理人都应该只选择她不会偏离的策略。非正式地说，意识到时间不一致的代理人可以在不同的未来时间将自己视为不同的代理人。时间t处的代理通过选择控制函数u（t，·），在时间t处精确控制状态。候选容许均衡策略^u应具有以下性质：如果对于每个r>t，代理在r时选择^u（r，·），则代理在t时选择^u（t，·）是最理想的。这种均衡策略是通过归纳法向后制定的。

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2022-6-24 11:47:35

因此，导出的^u不会偏离。上述非正式论点在离散时间内效果良好；但在连续时间内，控制Lebesgue测度为零的时间集对状态过程没有影响。T hus，允许代理在时间T作用于一个非常小的间隔[T，T+h），然后将h发送到零。形式上，让u（r，ωr∧·) 是一个也可接受的确定性映射。与Bj¨ork等人（2014、2017）在同一条道路上扰动^u；Dai等人（2020年）；He和Jiang（2019）得出以下结论：uh（r，ωr∧·) =u（r，ωr∧·), t型≤ r<t+h，^u（r，ωr∧·), t+h≤ r≤ T、（2.23）如果我们用uhas Xuh表示SVIE（2.1）的解，则反馈ack策略如下：uh（r，Xuhr∧·) =u（r，Xuhr∧·), t型≤ r<t+h，^u（r，Xuhr∧·), t+h≤ r≤ T、（2.24）反馈（闭环）公式的一个关键特征是，通过Xuh，扰动g^u对[T，T+h]隐含影响[T+h，T]上的策略。这与开环策略不同，【t+h，t】上的值保持不变（Hu等人，2012年）。粗略地说，候选平衡^u应满足以下性质：如果[t+h，t]处的所有试剂都同意使用^u，那么在时间t处的试剂最好采用^u。从数学上讲，我们有以下定义。定义2.7。考虑任意t的候选平衡定律^u∈ [0，T）和u∈ U、其中U在定义2.6中定义，uhas在（2.23）中定义，^U是一种（弱）均衡策略↓0J（t，ω；^u）- J（t，ω；uh）h≥ 0，（2.25）对于任何ω∈∧（^u，t）。在定义2.7中，我们考虑支持概念的路径依赖对应项。∧（^u，t）是X^u路径的支持tΘt，^u在F上的条件。支撑是ω的集合∈ Ohm 使得ω的任何邻域在X^u分布下都有正测度tΘt，^u.度量由范数| |·| | t导出。

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kedemingshi

2022-6-24 11:47:38

粗略地说，支持包含路径的所有可能情况。我们参考He和Jiang（2019）了解考虑支持而非整个空间的理由Ohm.备注2.8。与He和Jiang（2019）相似，支持的定义不同于文献中的标准定义。我们向读者提供了H e和Jiang（2019，定义2）下的脚注，以了解更多详细信息。在SVIE（2.1）下刻画支撑∧（^u，t）仍然是一个悬而未决的问题。我们知道的相关工作包括Kalinin（2019）。然而，在我们考虑的例子中，支持是明确的，并且相对容易获得。备注2.9。正如比约克等人（2017，备注3.5）所述，（2.25）下的^u可能只是一个稳定点。最近的工作也考虑了以下条件下的平衡：J（t，ω；uh）≤ J（t，ω；^u），（2.26），其中Uh在某些集合中选择。He和Jiang（2019）阐明了三个概念，即强平衡、正则平衡和弱平衡。Huang和Zhou（2018）考虑了一个随机控制问题，即某些马尔可夫链的生成器可以控制，其定义如（2.26）中所述。然而，应首先考虑弱平衡，因为其他类型的平衡策略处于可能限制性太强的条件下。为了强调概率也是弱解的一部分，将均衡控制下的期望和条件期望分别表示为^E[·]和^E[·| Ft]。Eh[·]和[·| Ft]处于扰动控制uhin（2.23）下。因此，在定义2.7中，J（t，ω；^u）在^E[·| Ft]之下，J（t，ω；uh）在Eh[·| Ft]之下。2.4扩展路径相关HJB方程以下符号很有用。定义FU（t，ω，s，y），EhF（s，y，Xt，ω，uT∧·)Fti，（2.27）gu（t，ω），EXt，ω，uT英尺, （2.28）cr，u（t，ω，s，y），EhC（s，y，r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))Fti。

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大多数88

2022-6-24 11:47:41

（2.29）当u=^u时，表示f（t，ω，s，y），^EhF（s，y，Xt，ω，uT∧·)Fti，（2.30）g（t，ω），^EXt，ω，^uT英尺, （2.31）cr（t，ω，s，y），^EhC（s，y，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Fti。（2.32）我们的惯例是，最后两个参数（s，y）保留为国家依赖。当没有路径依赖时，这些辅助功能被简化为Bj¨ork et al.（2017）中的对应功能。首先，我们推导了一个递归关系，它将Bj¨ork和Murgoci（2014，Lemma3.3）扩展到适用于我们问题的非马尔可夫情况。为此，我们研究了时间t+h的问题。表示路径ωt+hs=ωs，0≤ s<t，Xt，ω，us，t≤ s<t+h，Θt+h，us，t+h≤ s≤ T、（2.33）式中，ΘT+h，us=x+Zt+hu（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dr+Zt+hσ（s；r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))dWr。注意，ωt+his适用于Ft+hb，而不是Ft。为了使符号紧凑，我们写下以下内容：ωt+hs=（Xt，ω，ut+hΘt+h，u）s，Xt，ω，us{0≤s<t+h}+Θt+h，us{t+h≤s≤T}。（2.34）Θt+h，仅在【t+h，t】上定义。Xt，ω，us6=ωsfor s∈ （t，t+h）和Θt+h，us6=ωsfor s∈ [t+h，t]。引理2.10。对于一般容许反馈策略u，奖励函数J满足以下递归：J（t，ω；u）=EJ（t+h，ωt+h；u）英尺-nZTt+hEcr，u（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）英尺dr（2.35）-中兴通讯cr，u（t+h，ωt+h，t，ωt）英尺dro公司-Efu（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）英尺- Efu（t+h，ωt+h，t，ωt）英尺-EG（t+h，ωt+ht+h，gu（t+h，ωt+h））英尺- Gt、 ωt，Egu（t+h，ωt+h）英尺.引理2.10的证明仅适用于条件期望的tower性质，而不依赖于泛函It^o公式。然而，验证定理确实需要Viens和Zhang（2019，定理3.10和定理3.17）中的函数It^o公式，引用为第2.11条。

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能者818

2022-6-24 11:47:44

定理2.11中的导数和空间C1,2+（λ）和C1,2+，α（λ）在inViens和Zhang（2019）中定义，附录A.定理2.11（Viens和Zhang（2019，定理3.10和定理3.17））中也对其进行了简要审查。假设定义2.6的（1）（2）成立。让f∈ C1,2+（λ）对于正则情况或f∈ 具有β，α+H的奇点情形的C1,2+，α（λ）-> 对于奇点情况，常数H在定义2.6（2）中定义。然后，df（t，XutΘt，u）=tf（t，XutΘt，u）dt+hωf（t，XutΘt，u），ut，uidt+hωωf（t，XutΘt，u），（σt，u，σt，u）idt+hωf（t，XutΘt，u），σt，uidWt，P- a、 s.，（2.36）其中，对于Д=u，σ，符号Дt，us，Дu（s；t，·）强调了对s的依赖性∈ [t，t]。对于单数情况，与ω相关的导数定义如下：hωf（t，ω），Дt，ui，limδ↓0小时ωf（t，ω），Дδ，t，ui，Д=u，σ，（2.37）hωωf（t，ω），（σt，u，σt，u）i，limδ↓0小时ωωf（t，ω），∑δ，t，u，σδ，t，u）i，（2.38），其中Дδ，t，us，Дu（s∨（t+δ）；t、 ·）对于0<δ≤ T-t、是截断函数。它还强调了对s的依赖∈ [t，t]。定义值函数如下：V（t，ω）=J（t，ω；^u）。（2.39）对于满足假设2.14的一般容许控制u和函数f（t，ω），后面给出，表示运算符Auf如下：（Auf）（t，ω），tf（t，ω）+hωf（t，ω），ut，ui+hωωf（t，ω），（σt，u，σt，u）i，（2.40），其中我们省略了ut，uan和σt，u中的参数。对于常规情况，（2.40）中的导数在（A.1），（A.2）和（A.5）中定义，而（2.37）和（2.38）中的导数用于单数情况。运算符仅适用于括号内的变量。例如，（Auf）（t，ω，t，ωt）操作ont，ω，t，ωt，而（Auf，y）（t，ω）只操作t，ω。定义2.12。扩展的PHJB方程系统定义如下：（1）。

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2022-6-24 11:47:47

函数V satisfiessupu∈Un（AuV）（t，ω）+C（t，ωt，t，ωt∧·, u（t，ωt∧·)) -ZTt（Aucr）（t，ω，t，ωt）dr+ZTt（Auct，ωt，r）（t，ω）dr- （Auf）（t，ω，t，ωt）+（Auft，ωt）（t，ω）-Au（G g）（t，ω）+yG（t，ωt，g（t，ω））（Aug）（t，ω）o=0，0≤ t型≤ T、 V（T，ω）=F（T，ωT，ω）+G（T，ωT，ωT）。（2.41）Le t^u是达到最高境界的战略。(2). 对于每个固定的s和y，fs，y（t，ω）定义如下：（A^ufs，y）（t，ω）=0，0≤ t型≤ T、 fs，y（T，ω）=F（s，y，ω）。(2.42)(3). 函数g满足（A^ug）（t，ω）=0，0≤ t型≤ T、 g（T，ω）=ωT.（2.43）（4）。对于由（A^ucs，y，r）（t，ω）=0，0定义的每个固定s，r和y，cs，y，ris≤ t型≤ r、（2.44）cs，y，r（r，ω）=C（s，y，r，ωr∧·,^u（r，ωr∧·)).(5). 这些符号具有以下含义：f（t，ω，s，y）=fs，y（t，ω），cr（t，ω，s，y）=cs，y，r（t，ω），（G g）（t，ω）=g（t，ωt，g（t，ω）），yG（t，ωt，y）=Gy（t，ωt，y）。(6). 概率解释如下：fs，y（t，ω）=^EF（s，y，Xt，ω，^uT∧·)英尺, g（t，ω）=^EXt，ω，^uT英尺,cs，y，r（t，ω）=^EhC（s，y，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Fti，0≤ t型≤ r、 ω的上述等式（2.41）-（2.44）∈∧（^u，t），t∈ [0，T]。备注2.13。（2.41）-（2.44）中的空间区域表示为∧（^u，t），t∈ [0，T]，这与定义2.7一致。例如，对于inBj¨ork等人（2014年）提出的具有国家依赖性风险规避的MVP，假设财富隐含为正。这意味着Bj¨ork等人（2014，定义2）中的系统适用于区域M>0，而不是M∈ R、我们必须强调对ω和ωt的依赖性∧·在（2.41）-（2.44）中。虽然函数sv、cr、cs、y、r、f、fs、y和g通常依赖于整个路径ω，但策略u仅依赖于ωt∧·, 到时间t.C的路径（t，ωt，t，ωt∧·, u（t，ωt∧·)) 也仅取决于ωt∧·. 这源于（2.8）中路径的定义以及u和C仅依赖于Xu而不依赖于Θt这一事实。

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大多数88

2022-6-24 11:47:50

如果没有路径依赖，则（2.41）-（2.44）中的系统将减少到Bj¨orket al.（2017）中的系统。我们对定义2.12中出现在扩展PHJB系统中的泛函施加正则性条件（假设2.14）。这一条件验证了所有衍生工具都得到了很好的定义，尽管它不是最温和的条件。实际上，我们要求泛函上有空间导数Ohm 而不仅仅是在∧（^u，t）上。假设2.14。对于常规情况，（1）。五、 f、G g、 g级∈ C1,2+（λ）；(2). 对于任何固定的s和y、fs、y∈ C1,2+（λ）；(3). 对于任何固定的r∈ [0，T]，cr∈ C1,2+（[0，r]×Ohm); 和（4）。对于任何固定的s、y和r∈ [0，T]，cs，y，r∈ C1,2+（[0，r]×Ohm).对于单数情况，让α∈ (0, 1).(1). 五、 f、G g、 g级∈ C1,2+，α（λ）。(2). 对于任何固定的s和y、fs、y∈ C1,2+，α（λ）；(3). 对于任何固定的r∈ [0，T]，cr∈ C1,2+，α（[0，r]×Ohm); 和（4）。对于任何固定的s、y和任何固定的r∈ [0，T]，cs，y，r∈ C1,2+，α（[0，r]×Ohm).此外，β，α+H-> 0，其中，对于特殊情况，常数H在定义2.6（2）中定义。我们经常遇到要求为真鞅的随机积分。引理2.15对于相关的调整非常有用。为了便于记法，我们表示hωf，σt，ui·W，R·thωf（r，XurΘr，u），σr，uidwr供以后使用。引理2.15。假设u是可容许的。设f为一般泛函，f∈ C1,2+（λ）表示正则情况或f∈ C1,2+，α（λ），对于奇异情况，β，α+H- 1/2 > 0. 然后，EhZTth类ωf（r，XurΘr，u），σr，ui博士Fti<∞, （2.45），这意味着hωf，σt，ui·W是真鞅。我们现在可以提供验证定理，这是本文的主要结果之一。这与Bj¨ork等人（2017，定理5.2）的精神相同，但引用了引理2.10和2.15以及Viens和Zhang（2019）中的函数I t^o公式。

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2022-6-24 11:47:53

证明包括两个步骤。首先，我们表明定义2.12（6）中的解释认为V（t，ω）=J（t，ω；^u）。应用泛函It^o公式和L emma 2.15证明了定义2.12（6）中三个函数的鞅性质。V（t，ω）=J（t，ω；^u）在第2.12条规定的条件下以类似的方式进行验证。其次，我们证明了^u确实是定义2.7下的均衡策略。引理2.10中与uh的递归关系给出了j（t，ω；uh）的一种表示。带有Uh的PHJB方程（2.41）暗示了一个与V（t，ω）相关的不等式，根据第一步，该不等式等于J（t，ω；^u）。根据需要，将这两个面d进行比较，得出（2.25）。在包括Θt在内的整个证明中，Ure覆盖了流性质，克服了非马尔可夫和非半鞅困难。定理2.16（验证定理）。假设定义2.12（2.41）-（2.44）中的扩展PHJB系统允许满足假设2.14的解决方案（V、f、g、fs、y、cr、cs、y、r）。如果^Ureizes the supremum in（2.41）for V and^u is acceptable，则^u是定义2.7意义上的平衡定律，V是相应的V值函数。3例在本节中，我们研究了波动率粗糙度的影响。我们将一般框架应用于一些特定的决策情况，并给出了显式或半封闭形式的解决方案。其中包括具有恒定风险规避的TC-MVP（Basak和Chabakauri，2010年）、TC-MVPfor log returns（Dai等人，2020年）和具有线性受控Volterra过程的MV目标。我们将具有恒定风险规避的TC-MVP称为常量MV案例，将logreturns的TC-MVP称为log MV案例。我们关注Volterra-Heston模型，这是VIE（2.1）的一种特殊形式。预解的概念经常被使用。

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能者818

2022-6-24 11:47:56

[0]上的内核R，∞) 称为K ifK的预解式或第二类预解式* R（t）=R* K（t）=K（t）- R（t）， t型≥ 0，（3.1）其中* 表示卷积运算：K* R（t）=ZtK（t- s） R（s）ds， t>0。（3.2）如果可能，通过右连续性将积分扩展到t=0。Gripenberg等人（1990年）发现了这些定义的进一步性质；Abi Jaber等人（2019年）。表1中提供了内核的示例。设Rλ为λK的预解式，使得λK* Rλ=Rλ* （λK）=λK- Rλ。（3.3）如果λ=0，Rλ/λ=K，Rλ=0。常数分数（幂律）指数alk（t）c ctα-1Γ（α）ce-βtR（t）ce-ctctα-1Eα，α(-ctα）ce-βte-表1：核K及其分解式R.Eα，β（z）=P的示例∞n=0znΓ（αn+β）是MittagLe-fronger函数。S ee El Euch和Rosenbaum（2019年，附录ix A.1）的财产。常数c 6=0。与方差不同，财富过程（2.6）没有卷积特征。粗略地说，一定的马尔可夫性质因此得以保持。对财富的依赖并没有影响到整个行业。下面的例子说明了这一点。3.1常量MV：恒定风险规避下的TC-MVP考虑Volterra-Heston模型（2.4）和财富（2.6）下Basak和Chabakauri（2010）的TC-MVP：Et【MuT】-γVart[MuT]=EthMuT-γ（MuT）i+γ（Et[MuT]），（3.4），其中常数γ>0反映风险规避水平。（2.15）中的一般奖励函数变成SF（t，ωt，Mt，ω，uT∧·) = MuT公司-γ（MuT），G（t，ωt，y）=γy.（3.5）为了求解定义2.12中的PHJB方程组，我们强调cr=0，并且fis不依赖于状态。考虑V in（2.41）和g in（2.43）的以下Ansatz。

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2022-6-24 11:47:59

用M表示t时的当前财富，并在（2.10）中定义：V（t，ω）=Vt、 M，Θt【t，t】= V（t）M+ZTtV（s）Θtsds+V（t），（3.6）g（t，ω）=gt、 M，Θt【t，t】= g（t）M+ZTtg（s）Θtsds+g（t），（3.7），其中V、V、g和gare是确定性连续可微函数，并满足可积条件。这意味着函数V和g仅依赖于当前财富M和Θt[t，t]。由于V和g是Θt[t，t]的线性泛函，直接计算如下：（AuV）（t，ω）=V（t）M- V（t）ν+˙V（t）（3.8）+（ΥM+θ√νu）V（t）+（κφ- κν）ZTtV（s）K（s- t） ds，（Aug）（t，ω）=g（t）M- g（t）ν+˙g（t）（3.9）+（ΥM+θ√νu）g（t）+（κφ- κν）ZTtg（s）K（s- t） ds，Au（G g）（t，ω）=γgt、 M，Θt【t，t】（Aug）（t，ω）+γg（t）u+σρu√νγg（t）ZTtg（s）K（s- t） ds+γZTtg（s）K（s- t） ds公司σν, (3.10)yG（t，ωt，g（t，ω））=γgt、 M，Θt【t，t】. （3.11）我们使用ων在时间t连续且Θtt=νt，ν的事实。定义2.12中的方程式（2.41）成为假设∈Un˙V（t）M- V（t）ν+˙V（t）+（ΥM+θ√νu）V（t）+（κφ- κν）ZTtV（s）K（s- t） ds公司-γg（t）u- σρu√νγg（t）ZTtg（s）K（s- t） ds公司-γZTtg（s）K（s- t） ds公司σνo=0，V（T）=1，V（T）=0。（3.12）因此，^u（t，νt）=θV（t）- γσρg（t）RTtg（s）K（s- t） dsγg（t）√νt.（3.13）Fur thermore，我们有g（t）=1，g（t）=0，和（A^ug）（t，ω）=g（t）M- g（t）ν+˙g（t）+ΥMg（t）+θνV（t）γg（t）- ρσθνZTtg（s）K（s- t） ds+（κφ- κν）ZTtg（s）K（s- t） ds=0。（3.14）通过分离变量并从（3.12）和（3.14）中认识到g（t）=V（t），我们得到以下结果：˙g（t）+Υtg（t）=0，g（t）=1，（3.15）g（t）+（κ+ρσθ）ZTtg（s）K（s- t） ds公司-θγ=0，（3.16）˙g（t）+κφZTtg（s）K（s- t） ds=0，g（t）=0（3.17）和˙V（t）+ΥtV（t）=0，V（t）=1，（3.18）V（t）+κztv（s）K（s- t） ds+γσZTtg（s）K（s- t） ds公司-θ - γσρRTtg（s）K（s- t） ds公司2γ=0，（3.19）˙V（t）+κφZTtV（s）K（s- t） ds=0，V（t）=0。（3.20）可以明确解决（3.15）–（3.20）中的系统。首先，g（t）=V（t）=eRTtΥsds。

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2022-6-24 11:48:02

（3.16）是一个线性Volterra积分方程（VIE）。可用Gripenberg等人（1990，方程式（1.3），第77页）确定存在性和唯一性。设λ=κ+ρσθ，并回想Rλ是λK的溶剂：g（t）=θγ-θγZTtRλ（s- t） ds。（3.21）此外，一个有用的结果是zttg（s）K（s- t） ds=θγZTtRλ（s- t） λds。（3.22）然后可以直接求解GCA。Vin（3.19）也是一个线性VIE，可以用与V后求解g.Vis相同的方法求解。虽然计算简单，但它很长。因此，我们忽略它。最终，^u（t，νt）=θγe-RTtΥsds√νt-ρσθγe-RTtΥsdsZTtRλ（s- t） λds√νt.（3.23）那么财富过程的支持度是R。（3.23）中的第一项与恒定波动率情况相同。第二项可以解释为对随机波动性的随机性进行对冲。粗糙度通过预解式Rλ改变对冲。验证（3.23）中的^u在定义2.6的意义上是可接受的很简单。事实上，鉴于Abi Jaber等人（2019年，引理3.1）对ν的矩估计，假设2.1成立。定义2.6中的其他要求是直接的。我们在下面的引理中总结了上述分析。引理3.1。Volterra-Heston模型（2.4）下的问题（3.4）具有（3.23）给出的均衡策略^u，这在定义2.6的意义上是可以接受的。值函数由（3.6）给出，V、V和V分别由（3.18）、（3.19）和（3.20）给出。（2.43）中的g由（3.7）给出，g、g和g分别由（3.15）、（3.16）和（3.17）给出。3.2对数MV：对数回报的TC-MVP Dai等人（2020年）认为，基于对数回报的分析更合理，而不是考虑终端财富的偏好。衍生均衡策略依赖于财富，不会在长期内卖空具有正超额回报的风险资产。假设股票中的财富比例为π。

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2022-6-24 11:48:06

Mπ是与π相对应的财富过程。表示Lπt，ln Mπt。为了便于记法，我们写Lt=Lπt。下面是dlt=[Υt+θνtπt-πtνt]dt+√νtπtdW1t。（3.24）考虑Dai et al.（2020）在Volterra-Heston模型（2.4）和logreturn（3.24）下的TC-MVP:et【LT】-γVart[LT]=EthLT-γ（LT）i+γ（Et[LT]）。（3.25）对于V in（2.41）和g in（2.43），我们稍微滥用了符号，尝试了以下Ansatz：V（t，ω）=Vt、 L，Θt【t，t】= L+ZTtV（s）Θtsds+V（t），（3.26）g（t，ω）=gt、 L，Θt【t，t】= L+ZTtg（s）Θtsds+g（t），（3.27），其中Vand gare确定性连续可微函数，Vand g满足适当的可积条件。定义2.12中的方程式（2.41）变为SUSPπ∈联合国- V（t）ν+˙V（t）+Υ+θνπ-νπ+ (κφ - κν）ZTtV（s）K（s- t） ds公司-γνπ- γρσνπZTtg（s）K（s- t） ds公司-γZTtg（s）K（s- t） ds公司σνo=0，V（T）=0。（3.28）因此，^πt=θ-γρσRTtg（s）K（s- t） ds1+γ。（3.29）Fur Themore，（A^πg）（t，ω）=0引起- g（t）ν+˙g（t）+Υ+θν1+γθ -γρσZTtg（s）K（s- t） ds公司-ν2(1 + γ)θ -γρσZTtg（s）K（s- t） ds公司+ (κφ - κν）ZTtg（s）K（s- t） ds=0，g（t）=0。（3.30）通过分离变量，我们得到（t）=（1+2γ）θ2（1+γ）-κ +γρσθ(1 + γ)ZTtg（s）K（s- t） ds公司-γρσ2(1 + γ)ZTtg（s）K（s- t） ds公司. （3.31）Letψ（T- t） =RTtg（s）K（s- t） ds，然后用核K（·）卷积（3.31）的两边，并改变t- t到t。这产生以下Riccati-Volterra方程：ψ（t）=ZtK（t- s） h类-γρσ2（1+γ）ψ（s）-κ +γρσθ(1 + γ)ψ（s）+（1+2γ）θ2（1+γ）ids。（3.32）Fur thermore，V（t）+κZTtV（s）K（s- t） ds+γσψ（t- t）-2(1 + γ)[θ - γρσψ（T- t） ]=0，（3.33）˙V（t）+Υt+κφZTtV（s）K（s）- t） ds=0，V（t）=0，（3.34）˙g（t）+Υt+κφψ（t- t） =0，g（t）=0。（3.35）推论3.2。假设κ+γρσθ（1+γ）>0。然后，（3.32）在[0，T]上有一个唯一的全局连续解。定义（w），γρσ2（1+γ）w-κ +γρσθ(1 + γ)w-（1+2γ）θ2（1+γ），Hw+Hw+H。

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2022-6-24 11:48:10

（3.36）那么，0<ψ（t）≤ -r（t）<-w*, t>0，（3.37），带w*=-H-√H-4HH2H<0且r（t），Q-1.RtK（s）ds, 其中Q（w）=-RwduH（u）。此外，系统（3.33）-（3.35）在[0，T]上有唯一的连续解（V，V，g）。最终，平衡策略表示为：^πt=θ1+γ-γρσ1+γψ（T- t）。（3.38）关于^π的可容许性，我们有以下关于假设2.1的结果。推论3.3。假设（3.32）在[0，T]上有唯一的连续解。假设^EhecRTνsdsi<∞, （3.39）常数c表示如下：c=maxn2p |θ| supt∈[0，T]|^πT |，（8p- 2p）支持∈[0，T]^πto，对于某些p>1。（3.40）那么，财富M*满足以下条件∈[0，T]| M*t | pi<∞. （3.41）因此，我们有以下引理。引理3.4。Volterra-Heston模型（2.4）下的问题（3.25）有一个平衡策略^π，由（3.38）给出。如果假设（3.39）适用于足够大的常数c>0，则平衡策略（3.38）在定义2.6的意义上是可以接受的。值函数由（3.26）给出，Vand v分别由（3.33）和（3.34）给出。g in（2.43）分别为（3.27）和（3.31）以及（3.35）。备注3.5。对于特定的分数核K（t）=tH-1/2Γ（H+1/2），假设（3.39）在时间范围T足够小时，保持足够大的常数c>0。见Gerhold等人（2019年）。备注3.6。对于Basak和Chabakauri（2010）中考虑的一般赫斯顿规范；Dai等人（2020年），dSt=St（Υt+θν1+δ2δt）dt+Stν2δtdW1t。（3.42）平衡策略为^πt=hθ1+γ-γρσ1+γψ（T- t） iνδ-12δt.（3.43）相关证据和可采性验证是相同的。3.3线性控制Volterra过程下的TC-MV在本节中，我们考虑与第3.1节中相同的目标（3.44）：EthXuT-γ（XuT）i+γ（Et[XuT]）。（3.44）然而，状态过程Xu是（3.45）给出的一维线性控制Volterra过程。

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能者818

2022-6-24 11:48:14

B、 B、D和σ是一维本质上有界的确定性可测函数：Xut=x+ZtK（t- r）（Brur+br）dr+ZtK（t- r）（Drur+σr）dWr。（3.45）考虑V和g.Θt的以下Ansatz，如（2.7）所定义，但u=u.V（t，ω）=V（t）Θt，^uT+V（t），（3.46）g（t，ω）=g（t）Θt，^uT+g（t），（3.47），其中V、V、g和gare是确定性连续可微分函数。类似地，我们有（AuV）（t，ω）=V（t）t，uT+，V（t）+V（t）K（t- t）（Btut+bt），（Aug）（t，ω）=g（t）t，g（t）+g（t）K（t- t）（Btut+bt），Au（G g）（t，ω）=γg（t，ω）（Aug）（t，ω）+γg（t）K（t- t）（Dtut+σt）。定义2.12 Isupu中的方程式（2.41）∈Un˙V（t）Θt，^uT+˙V（t）+V（t）K（t- t）（Btut+bt）-γg（t）K（t- t）（Dtut+σt）o=0，V（t）=1，V（t）=0。（3.48）与（A^ug）（t，ω）=0一起，我们得到以下结果：V（t）=g（t）=1，（3.49）˙V（t）+（Bt-γK（T- t） Dtσt）2γDt+K（t- t）英国电信-γK（T- t） σt=0，V（t）=0，（3.50）˙g（t）+Bt-γK（T- t） DtBtσtγDt+K（t- t） bt=0，g（t）=0。（3.51）平衡控制为^ut=Bt- γK（T- t） DtσtγK（t- t） Dt。（3.52）当K=id时，溶液减少至Hu等人（2012年，第4节）中的溶液。验证（3.52）的可容许性很简单，如下所示：引理3.7。假设假设2.2成立，Dt≥ δ > 0. 然后，（3.50）和（3.51）在[0，T]上允许唯一解。（3.52）在定义2.6的意义上，是在状态（3.45）下MV目标（3.44）的容许均衡策略。4数值分析在本节中，我们数值分析了粗糙度对库存需求的影响以及对稳定性的改善。我们主要关注粗糙的赫斯顿模型（El-Euch和Rosenbaum，2019），即核K（t）=tH-1/2Γ（H+1/2），H∈ （0，1/2）。我们从三个角度进行了这项数值研究。首先，我们通过仅改变粗糙度和筛选其他参数来进行敏感性分析。然而，粗糙度可能与其他变量有着密切的相互作用。

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