然而，在投资期结束时，const MV strategy0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0时间（年）0.00.51.01.52.02.5对冲=0.1H=0.3H=0.5（a）对冲0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0时间（年）3.03.54.04.55.05.5股票中的美元金额0.1H=0.3H=0.5（b）股票中的美元金额图1：对冲期限和美元金额const MV策略。我们设定波动率的波动率σ=0.3，平均逆转速度κ=0.3，风险溢价参数θ=1.5，相关性ρ=-0.7，投资h原点T=3，无风险利率Υ=0.01，风险规避γ=0.5。H=0.5对应于经典的赫斯顿模型情况。如果股票价格较低，则倾向于投资更多。我们将这种现象称为投资地平线效应。这不同于在Han和Wong（2020a）中获得的预先承诺的MVP策略。当股票波动率为零时，均衡策略会逐渐减少股票头寸，直到投资期结束。相反，当股票波动剧烈时，均衡策略建议在足够长的投资期内相对稳定地持有股票，但在投资期接近尾声时迅速削减持股。后一种现象也发生在有头寸限制的最优投资问题中，但该问题对头寸没有约束。事实上，通过推导（4.1）和（4.2）的渐近估计，可以从数学上显示投资期限效应。我们参考以下推论。推论4.1。假设α∈ (, 1). 然后，对于足够大的T值- t、 积分trλ（s-t） λds在α上增加。对于足够小的T值-t、 RTtRλ（s-t） λds在α上递减。使用不同的投资期限，可以进一步增强图1中的行为。如图2所示，如果波动更剧烈，期限相对较短（如1年）的投资者只会有更多的股票需求。

如果投资期限足够长（如10年）且波动性更大，投资者在前8年购买较少，在剩余时间购买较多。投资于该股票的财富减少量可能高达经典赫斯顿对手的40%。如果其他变量不变，波动性粗糙度的增加会降低长期保持更多股票敞口的意愿。粗糙度对具有长期规划视野的投资者的投资决策没有重大影响。4.1.2 Log mv对于分数核，Riccati-Volterra方程（3.32）可以使用分数亚当斯方法进行数值求解，详见El Euch and Rosenbaum（2019年，第5.1节）。推论3.2中的假设在图3和4中的设置中得到验证。备注3.5满足了假设（3.39）。对数MV均衡策略中也观察到了投资期限效应。如图3所示，当收益率较低时，投资者最初购买较少，后来购买较多。这与const MV对应项一致。然而，这两个标准之间存在着重大差异。对于常数MV情况，偏好粗糙的时机，如图1中曲线之间的相互作用所示，不受风险规避γ异质性的影响。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0时间（年）3.03.23.43.63.84.0股票中的美元金额=0.1H=0.3H=0.5（a）短期投资期限0.2 4 6 8 10时间（年）4681012股票中的美元金额=0.1H=0.3H=0.5（b）长期投资期限图2：不同投资期限的const MV策略的美元金额。

我们按照图1.0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0时间（年）0.000.020.040.060.080.100.120.14HedgeH=0.1H=0.3H=0.5（a）Hedge0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0时间（年）1.001.021.041.061.081.101.121.14比例H=0.1H=0.3H=0.5（b）比例图3：对冲期限以及对数MV策略的股票财富比例。所有p参数如图1所示。log MV案例并非如此。如图4所示，当对数MV投资者更厌恶风险（即风险厌恶参数γ更大）时，他们更喜欢提前进行粗略估计。这表明，如果平均粗糙度发生变化并增加，那么尽早选择粗糙度可以将风险降至最低。4.1.3与预承诺MVP和CRRA实用程序的比较我们首先总结了const MV、log MV、预承诺MVP和CRRA实用程序案例的参数依赖性比较。所有四种策略都取决于风险溢价θ、风险厌恶γ、股票与波动率之间的相关性ρ、波动率的波动率σ、均值回复速度κ、投资原点T和赫斯特参数h。为简单起见，我们将这七个参数作为主要参数。CRRA和log MV策略具有最简单的参数依赖性。只有主要参数影响库存需求。const-MV策略依赖于另一个参数，即无风险利率。预先提交的MVP策略取决于所有参数。有趣的是，预先承诺的MVP策略是唯一依赖于长期平均波动水平的策略。表2总结了比较以及财富依赖性。Han和Wong（2020a）观察到，在敏感性分析中，波动性的波动性对epre承诺的MVP有重大影响。

然而，在const MV中未观察到这一点，预承诺的MVP被目标终端财富所取代。0.1 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0风险规避γ1.751.801.851.90选择粗糙度的时间图4：选择粗糙度的时间。图e 1中任意两条曲线之间的相互作用并不相同。因此，我们仅考虑H=0.1和H=0.5。γ ∈ [0.1, 10]. 其他参数与图1相同。类型参数依赖性财富依赖性CRRA主要参数ProportionalLog MV主要参数ProportionalConst MV主要参数，无风险利率ΥNoPre-committed所有参数：主要参数，初始财富M，LinearMVPinitial volatilityν，ris k-free rateΥ，波动率平均水平φ表2：参数和策略财富依赖性总结。记录MV投资者。或者，投资期限对于时间一致的备选方案至关重要。Dai等人（2020年）认为，对数MV和CRRA标准是类似的。他们的战略结构几乎相同。当波动性很粗糙时，这种相似性得以保持，但粗糙度的影响是不同的。在短期投资期限内（例如，1年），CRRA投资者在波动性较大时会减少对股票的分配（Han和Wong，2020b）。记录MV投资者的相反操作。在长期投资期内（例如10年），CRRA和log MV投资者仍然对粗糙度有不同的偏好。4.1.4线性受控Volterra过程为了进一步丰富分析，我们在状态过程（3.45）下对目标（3.44）进行了数值研究。为简单起见，考虑常数参数B、D、σ和分数0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0时间（年）-1-0.50.00.51.0控制h=0.1H=0.3H=0.5图5：状态过程下的平衡控制（3.45）。

我们将B，D，σ=1，风险规避γ=1，时间范围T=3.0 500 1000 1500 2000 2500time（天）3.03.54.04.55.05.56.06.57.0美元金额设置为Stockrougheston（a）Cons T-MV0 500 1000 1500 2000 2500time（天）1.001.021.041.061.081.101.121.141.16比例rougheston（B）Log MV图6：const MV策略的美元财富金额和Log MV策略的D比例财富金额。在这两种情况下，粗糙度都会产生显著影响。内核然后，平衡控制（3.52）降低到^ut=BγD（T- t）-HΓ（H+）-σD。当H=1/2时，^utis为常数。如果状态过程是粗糙的，H<1/2，那么^utis在开始时较大，在结束时较小，如图5所示。此外，这种现象在不同的时间范围内是相同的。由于分数核与对照一起出现，与粗糙的赫斯顿模型相比，它表现出明显的效果。当代理人更倾向于规避风险时（γ越大），^utis越小。在γ的极端情况下→ ∞, 消除了粗糙度的影响→ -σ/D.4.2模拟研究在敏感性分析中，我们只改变粗糙度水平。一般来说，这是不现实的，因为其他参数也可能更改。例如，Abi Jaber（2019）；Abi Jaber andEl Euch（2019年）记录了波动率粗糙度和成分之间的联系，以及快速均值回归。还观察到，为了捕捉深层的短期波动率偏斜，使用经典的赫斯顿模型进行校准通常会导致更大的平均反转速度κ和更大的波动率σ波动率。在本节中，我们利用隐含波动率（IV）中的信息。理论上，基于已实现波动率和隐含波动率的粗糙度估计应该一致。然而，这在现实中并不成立。IV表面代表了当前对未来的看法。

尤其是，ATMskew的爆炸性增长表明了短期的下行风险，如盈利公告（Glassermand He，2019）。由于IV表面下的真实p参数未知，我们首次采用Abi Jaber（2019）中的模拟IV表面。根据模拟的IV数据，投资者校准了Heston和r ou gh Heston模型的参数集。我们对比了从校准的p参数中引入的两种策略。赫斯顿模型下的投资者（以下简称赫斯顿投资者）使用了Abi Jaber（2019年，表6）中的校准参数。粗略赫斯顿模型下的投资者（以下简称粗略投资者）使用Abi Jaber（2019年，表4）。使用Abi Jaber（2019）中的提升Heston方法模拟方差过程。Abi Jaber（2019，方程式（23）和（26））中给出了模拟参数。我们设定m=1，Υ=0.01，θ=1.5，T=10，γ=0.5。此外，我们还为库存流程实现了E-uler方案。模拟以250个时间步运行1年，相当于每年250个交易日。图（6a）描绘了const MV investor股票中的美元金额，图（6b）描绘了log MV investor股票中的财富比例。2.4 2.6 2.8 3.0 3.2粗略投资者的最终财富050100150200250samples（a）2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7赫斯顿投资者的最终财富0501000150200250300samples（b）图7：const MV案例的最终财富分布。粗略的投资者获得了最大财富，样本均值为2.868，样本方差为0.015。Hestoninvestor的样本平均数为2.337，方差为0.007.1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70粗略投资者的最终财富0501000150200250300Samples（a）1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 Heston Investor的最终财富0501000150200250300Samples（b）图8：对数MV案例的最终财富分布。

粗略的投资者获得了最大财富，样本均值为1.546，样本方差为0.0013。Hestoninvestor的样本平均值为1.519，样本方差为0.0011。在这种情况下，如果采用粗糙的赫斯顿模型，投资者的要求会更高。波动率变化极大地改变了投资决策。rough const MV投资者几乎是赫斯顿投资者的两倍。粗略记录MV投资者增加了近10%的股票需求。这些结果很有趣。粗糙赫斯顿模型的优势在于，它能更好地捕捉短期债券的波动性。换言之，粗略的赫斯顿模型捕捉到了短期下行风险，而经典的赫斯顿模型却未能做到这一点。令人惊讶的是，在几乎整个时间范围内，下行风险都会改变投资。我们将这些调整解释为对冲风险。图7和图8显示了采用粗糙赫斯顿模型或经典赫斯顿模型的const MV和logMV投资者的终端财富分布。图7和图8有5000条模拟路径。高风险投资者倾向于获得更高的最终财富，但差异较大。这可能是因为它们承担了粗糙度所代表的短期风险。与常量MV情况相比，图8中的对数MV情况看起来较为保守。然而，图7中的const MV情况和图8中的log MV情况并不具有可比性。风险规避γ设置为0.5，但一个用于财富，另一个用于对数回报。这种规模使得实际的风险规避水平有所不同。4.3实证研究为了进一步阐明考虑粗糙波动性的必要性，我们根据真实金融数据评估了战略的绩效。我们通过沃顿研究数据服务从OptionMetrics下载CBOE标准普尔500期权数据。我们能获得的最近一年时间段为2018年5月1日至2019年5月1日。美国。

在此期间，股市相对波动，在2018年10月和2018年12月暴跌。由于校准粗糙的赫斯顿模型需要计算工作量，我们采用以下程序来实施交易策略。将投资期限视为1个月。该模型根据当月第一个交易日观察到的欧洲看涨期权数据进行校准。然后，我们使用校准后的参数进行整个月的交易。投资组合按每日频率重新平衡（即步长等于1/250）。为简单起见，我们忽略了交易成本和价格影响。本月后，我们将重新校准并实施下一个月投资期的交易规则。总的来说，对于每个模型，我们在一年内有12组校准参数。表3和表4报告了校准结果的样本平均值和样本标准偏差（std）。在表3中，校准的Hurst参数约为0.15，略有差异。因此，波动率粗糙度是股票市场中一个长期存在的事实。在表4中，进一步证实了经典的赫斯顿模型倾向于产生更大的平均反转速度κ和波动率σ的波动率。参数Hκρσ平均值（std）0.1576（0.0170）0.2378（0.0817）-0.7611（0.0648）0.4259（0.1173）表3：粗略赫斯顿模型的校准值。我们使用类似于Glasserman和He（2019）中使用的程序清理期权数据。仅包括具有合理未平仓利率和波动率波动性的合同。我们限制到期日最长为1年。为简单起见，我们只报告策略中出现的参数值。参数κρσ平均值（std）3.6887（1.2201）-0.6095（0.0768）1.9928（1.9930）表4：经典Heston模型的校准值。表3中的相同选项数据集为us版。

确定了较大的κ和σ值。在表5和表6中，我们给出了几种风险规避水平下的最终财富和夏普比率。在const MV和log MV案例中，粗糙波动率下的交易策略主导了经典的赫斯顿对应策略（Basak和Chabakauri，2010；Dai等人，2020），具有更高的最终财富和更好的夏普比率。这证实了粗糙的赫斯顿模型抓住了经典赫斯顿模型错过的机会。因此，粗糙波动率模型是波动率建模的一种有吸引力的替代方法。此外，logMV标准下的交易策略对风险均衡的选择不太敏感。图9说明了风险规避等于2的特殊情况。即使在2018年10月和12月的市场低迷期间，Const MV策略也能产生更高的收益，而log MV策略则更为稳定。对数MV策略产生较低的夏普比率，主要是由于较低的超额回报。此外，我们强调，直接比较常量MV和对数MV案例是不公平的，因为实际风险厌恶偏好不同。5结论性意见本文利用泛函It^o演算深入研究了粗糙随机环境中时间不一致偏好下的均衡策略。波动率粗糙度显著改变了投资需求。我们的总体框架还包括Volterraγ0.5 1 2 5 10 rough 1.7965（1.0503）1.4084（1.0488）1.2143（1.0463）1.0978（1.0442）1.0590（1.0441）Heston 1.5733（0.8682）1.2968（0.8071）1.1585（0.78 72）1.0755（0.7755）1.0479。我们设定初始财富M=1，无风险利率Υ=0.02。风险溢价参数θ是使用滚动窗口法估计的，风速大小为3年。

“Rough”表示Rough-Heston模型下的策略，“Heston”表示经典Heston模型下的策略。γ0.5 1 2 5 10粗糙度1.2120（0.8945）1.1739（0.9199）1.1303（0.9517）1.0798（0.9920）1.0540（1.0145）赫斯顿1.1971（0.8415）1.1550（0.8291）1.1113（0.81 39）1.0664（0.7954）1.0455（0.7864）表6：对数MV策略的性能。采用表5中的相同参数。2018-052018-072018-092018-112019-012019-032019-050.850.900.951.001.051.101.151.20S&P IndexConst-RoughConst-Heston（a）Cons t-MV2018-052018-072018-092018-112019-012019-032019-050.900.951.001.051.10S&P IndexLog-RoughLog-Heston（b）Log MVFigure 9：const MV和Log MV标准下的财富路径，风险规避γ=2。其他参数的设置如表5所示。标准普尔500指数被标准化，初始值为1。如表5和表6所示，使用粗糙赫斯顿模型的交易策略实现了更高的终端财富和更好的夏普比率。log-MV准则下的策略比const-MV情形下的策略更稳定。具有潜在应用的过程不具有粗挥发性。还有几个有趣的问题有待于将来的研究。第一个是定义2.12中扩展PHJB方程组解的存在性和唯一性。二是Volterra过程下的时间不一致开环控制问题。函数It^o微积分的简要总结（Viens and Zhang，2019）LetOhm , C（[0，T]，Rn）b e具有连续路径的样本空间，“”Ohm , D（[0，T]，Rn）b e具有c\'adl\'ag（右连续，左极限）路径的样本空间，以及Ohmt、 C（[t，t]，Rn），∧，[0，t]×Ohm,\'∧，n（t，ω）∈ [0，T]×\'”Ohm : ω[t，t]∈ Ohmto，| |ω| | T，sup0≤t型≤T |ωT |，d（（T，ω），（T′，ω′），| T- t′|+| |ω- ω′| | T.设C（'∧）为函数空间f：'∧→ R、 wh ich在d下是连续的。

Forf公司∈ C（(R)∧），定义时间导数如下：tf（t，ω），limδ↓0f（t+δ，ω）- f（t，ω）δ，对于所有（t，ω）∈“∧，（A.1），只要存在限制。给定（t，ω）∈\'∧，相对于ω的空间导数，表示为ωf（t，ω）是Ohm定义为关于ω1[t，t]的Fr'echet导数。即f（t，ω+η1[t，t]）- f（t，ω）=hωf（t，ω），ηi+o（| |η1[t，t]| | t），对于任何η∈ Ohmt、 （A.2）Fur thermore，ωf（t，ω）满足Gateaux导数的定义：hωf（t，ω），ηi=limε→0f（t，ω+εη1[t，t]）- f（t，ω）ε，对于任何η∈ Ohmt、 （A.3）扰动在[t，t]上，而不是在[0，t]上。如果η∈ Ohm对于某些s<t，导数被理解为：ωf（t，ω），ηi，hωf（t，ω），η1[t，t]i.（A.4）二阶导数ωωf（t，ω）定义为Ohmt×Ohmt： h类ωf（t，ω+η[t，t]），ηi- h类ωf（t，ω），ηi=hωωf（t，ω），（η，η）i+o（| |η[t，t]| | t），（A.5）对于任何η，η∈ Ohmt、 如果η，η∈ Ohm对于某些s<t，衍生工具的理解方式与（A.4）相同。关于这些衍生品的适用性，我们请读者参考Viens和Zhang（2019年，提案3.7）。我们从Viens和Zhang（2019）中引入了两个空间，即C1,2+（λ）和C1,2+，α（λ），其中Viens和Zhang（2019，定理3.10和3.17）中的函数It^o公式适用。定义A.1（Viens和Zhang（2019，定义3.3））。假设f∈ C（(R)∧）和ωfexists for all（t，ω）∈Λ.(1). 如果存在常数C，m>0，ωf称为多项式增长h类ωf（t，ω），ηi≤ C[1+| |ω| | mT]| |η1[t，t]| | t， （t，ω）∈Λ, η ∈ Ohm. （A.6）（2）。ωf是连续的，如果，对于所有η∈ Ohm, 映射（t，ω）∈Λ 7→ h类ωf（t，ω），ηi在d.（3）下是连续的。如果存在常数C，m>0，ωωf称为多项式增长h类ωf（t，ω），（η，η）i≤ C[1+| |ω| | mT]| |η[t，t]| | t |η[t，t]| t， （t，ω）∈Λ, η, η∈ Ohm. （A.7）（4）。

ωωf是连续的，如果对于所有η，η∈ Ohm, 映射（t，η，η）∈Λ7→h类ωωf（t，ω），（η，η）i在d′（（t，ω，ω），（t′，ω′，ω′）下连续，| t-t′|+| |ω-ω′| | T+| |ω- ω′| | T，其中∧，（t，ω，ω）∈ [0，T]×\'”Ohm ×Ohm : ω[t，t]，ω[t，t]∈ Ohmt型.定义A.2（Viens和Zhang（2019，定义3.4））。设C1,2（(R)∧） C（(R)∧）是具有连续导数的所有f的集合tf，ωf，ωωf在∧上。设C1,2+（？∧）为所有f的集合∈ C1,2（(R)∧），使得所有导数都具有多项式增长和hωωf（t，ω），（η，η）i在ω中随多项式增长局部一致连续，即存在一个常数m＞0和一个连续函数的有界模. 对于所有（t，ω），（t，ω′）∈\'∧和η∈ Ohmt、 我们有h类ωωf（t，ω）- ωωf（t，ω′），（η，η）i≤1+| |ω| mT+| |ω′| mT||η1【t，t】| | t(||ω - ω′| | T）。（A.8）C1,2+（λ）的定义与C1,2+（∧）的定义相同，其中∧替换为∧。定义A.3（Viens和Zhang（2019，定义3.16））。f∈ C1,2+（λ）以α的速率对角消失∈ （0，1），用f表示∈ C1,2+，α（λ），如果存在鳍C1,2+（？∧）的延伸，仍然用f表示，因此对于每0≤ t<t，0<δ≤ T- t、 和η，η，η∈ Ohmt包含在[t，t+δ]：（1）中的支架。 ω ∈Ohm 满足ω1[t，t]∈ Ohmt，h类ωf（t，ω），ηi≤ C[1+| |ω| | mT]| |η| | Tδα，（A.9）h类ωf（t，ω），（η，η）i≤ C[1+| |ω| | mT]|η||η|Tδ2α；（A.10）（2）。对于任何其他ω′∈Ohm 满足ω′[t，t]∈ Ohmt，h类ωf（t，ω）- ωf（t，ω′），ηi≤1+| |ω| mT+| |ω′| mT||η| | T(||ω - ω′| | T）Δα，（A.11）h类ωωf（t，ω）- ωωf（t，ω′），（η，η）i≤1+| |ω| mT+| |ω′| mT|η||η|T(||ω - ω′| | T）δ2α。（A.12）常数m>0表示多项式增长率，以及 是连续函数的有界模。α表示时间对角线上的奇点水平。最后，定理2.11引用了函数It^of公式。B结果证明B。引理的证明2.10证明。

根据条件期望的tower性质和cr、u、fu、gu和ωt+h的定义，J（t，ω；u）=ZTtEhEhC（t，ωt，r，Xt，ω，ur∧·, u（r，Xt，ω，ur∧·))英尺+高Ftidr+EhEhF（t，ωt，Xt，ω，uT∧·)英尺+高Fti+Gt、 ωt，EEXt，ω，uT英尺+小时英尺=ZTtEhcr，u（t+h，ωt+h，t，ωt）Ftidr（B.1）+Ehfu（t+h，ωt+h，t，ωt）Fti+Gt、 ωt，Egu（t+h，ωt+h）英尺.同时，（2.15）中奖励函数的定义表明：J（t+h，ωt+h；u）=EhZTt+hC（t+h，ωt+ht+h，r，Xt+h，ωt+h，ur∧·, u（r，Xt+h，ωt+h，ur∧·))博士Ft+hi+EF（t+h，ωt+ht+h，Xt+h，ωt+h，uT∧·)英尺+小时+ G（t+h，ωt+ht+h，E[Xt+h，ωt+h，uT | Ft+h]）=ZTt+hcr，u（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）dr+fu（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h），G（t+h，ωt+ht+h，gu（t+h，ωt+h）），（B.2）其中，Xt t+h，ωt+h，us=ωt+hs+Zst+h（us；r，Xt+h，ωt+h，ur∧·, u（r，Xt+h，ωt+h，ur∧·))dr+Zst+hσ（s；r，Xt+h，ωt+h，ur∧·, u（r，Xt+h，ωt+h，ur∧·))dWr，t+h≤ s≤ T、 Xt+h，ωT+h，us=ωT+hs，0≤ s<t+h.（B.3）在（B.2）的两侧取fta处的条件期望得到以下结果：EhJ（t+h，ωt+h；u）Fti=ZTt+hEhcr，u（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）Ftidr+Ehfu（t+h，ωt+h，t+h，ωt+ht+h）Fti+EhG（t+h，ωt+ht+h，gu（t+h，ωt+h））Fti。（B.4）结果通过组合（B.1）和（B.4）得出。B、 引理的证明2.15证明。设m是一个一般正值，它可能因直线而异。我们首先给出了常规情况的证明。根据第2.6条第（1）-（2）款，假设ωf具有多项式增长，EhZTth类ωf（r，XurΘr，u），σr，ui博士Fti（B.5）≤ CEhsupt公司≤r≤Th类ωf（r，XurΘr，u），σr，uiFti公司≤ CEh公司1+s upt≤r≤Tsup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | m支持≤r≤Tsupr公司≤s≤T |σu（s；r，Xur∧·)|Fti公司≤ CEh公司1+s upt≤r≤Tsup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | mFti公司≤ CEh公司1+sup0≤s≤T | Xus | pFti<∞.对于奇异情况，对于[r，T]，考虑分区r=r∞< ... < rk<…<r=T，其中Rk=r+T-rk。

然后，EhZTth类ωf（r，XurΘr，u），σr，ui博士Fti（B.6）=EhZTtlimδ↓0小时ωf（r，XurΘr，u），σδ，r，ui博士Fti=EhZTtlimδ↓0∞Xk=0小时ωf（r，XurΘr，u），σδ，r，uss∈[rk+1，rk）i博士Fti公司≤ CEhZTt公司1+sup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | mlimδ↓0∞Xk=0 | |σδ，r，uss∈[rk+1，rk）| | T（rk- rk+1）α博士Fti，其中我们假设f以α的速率对角消失∈ （0，1）以及ωf是最后一个不等式中的线性算子。根据定义2.6中的（2），对于单数情况，∞Xk=0 | |σδ，r，uss∈[rk+1，rk）| | T（rk- rk+1）α（B.7）≤ C1+sup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | m∞Xk=0rk+1∨ （r+δ）- rH-1/2T- rk+1α.对于任何0<δ≤ T- r、 存在一个整数z，使得T-rz+1<δ≤T-rz。然后∞Xk=0rk+1∨ （r+δ）- rH-1/2T- rk+1α=z-1Xk=0T- rk+1H-1/2T- rk+1α+∞Xk=zδH-1/2T-rk+1α=z-1Xk=0T- rk+1β+δH-1/2T- rz+1α∞Xk=0αk、 （B.8）注意-rz+1<δ意味着T-rz+1α< δα. 我们获得以下信息：∞Xk=0 | |σδ，r，uss∈[rk+1，rk）| | T（rk- rk+1）α≤ C1+sup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | m（T- r） β+Δβ. （B.9）最后，EhZTth类ωf（r，XurΘr，u），σr，ui博士Fti（B.10）≤ CEhZTt公司1+sup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | m（T- r） 2βdrFti公司≤ CEh公司1+s upt≤r≤Tsup0≤s≤T |（XurΘr，u）s | mFti公司≤ CEh公司1+sup0≤s≤T | Xus | pFti<∞,根据需要。B、 3定理的证明2.16证明。首先，我们表明定义2.12（6）中的解释成立，V（t，ω）=J（t，ω；^u）。通过（2.42），（2.43），（2.44）和引理2.15，fs，y（t，X^utΘt，^u），g（t，X^utΘt，^u）和cs，y，r（t，X^utΘt，u）是鞅。根据（2.42）、（2.43）和（2.44）中的边界条件，注意ω=Xt，ω，^utΘt，^u，我们推导如下：fs，y（t，ω）=^EF（s，y，Xt，ω，^uT∧·)英尺, g（t，ω）=^EXt，ω，^uT英尺,cs，y，r（t，ω）=^EhC（s，y，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Fti，0≤ t型≤ r、 通过定义2.12的（1）-（4），（A^uV）（t，ω）+C（t，ωt，t，ωt∧·,^u（t，ωt∧·)) -ZTt（A^ucr）（t，ω，t，ωt）dr- （A^uf）（t，ω，t，ωt）- A^u（G g） （t，ω）=0。

（B.11）由于^u是可容许的，V满足假设2.14，我们将OREM 2.11中的函数It^o公式应用于V，然后声称hωV，σt，^ui·^W是真鞅，其中布朗运动^W是^u下弱解的一部分。与（B.11）一起，我们得到如下结果：^EhV（t，Xt，ω，^uT∧·)Fti=^EhV（T，Xt，ω，^uTΘT，^u）Fti=V（t，Xt，ω，^utΘt，^u）+^EhZTt（A^uV）（s，Xt，ω，^usΘs，^u）dsFti=V（t，ω）-^EhZTtC（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us∧·,^u（s，Xt，ω，^us∧·))ds公司Fti（B.12）+^EhZTtZTs（A^ucr）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）drdsFti+^EhZTt（A^uf）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）dsFti+^EhZTtA^u（G g） （s，Xt，ω，^usΘs，^u）dsFti。对于第三项，Fubini定理在假设2.14和定义2.6（1）-（2）中的条件下，在crby导数的多项式增长率条件下成立。Lemma2.15表明hωcr，σt，^ui·W是真鞅。

因此，CRT的定义导致^EhZTtZTs（A^ucr）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）drdsFti=^EhZTtZrt（A^ucr）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）dsdrFti=ZTt^EhZrt（A^ucr）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）dsFtidr=ZTtn^Ehcr（r，Xt，ω，^urΘr，^u，r，Xt，ω，^ur）Fti公司-cr（t，Xt，ω，^utΘt，^u，t，Xt，ω，^ut）odr=ZTtn^EhC（r，Xt，ω，^ur，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Fti公司-^EhC（t，Xt，ω，^ut，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Ftiodr。对于第四项，我们使用相同的参数：^EhZTt（A^uf）（s，Xt，ω，^usΘs，^u，s，Xt，ω，^us）dsFti=^Ehf（T，Xt，ω，^uTΘT，^u，T，Xt，ω，^uT）Fti公司- f（t，Xt，ω，^utΘt，^u，t，Xt，ω，^ut）=^EhF（t，Xt，ω，^ut，Xt，ω，^ut∧·)Fti公司-^EhF（t，ωt，Xt，ω，^uT∧·)Fti。同样，对于第五个术语，^EhZTtA^u（G g） （s，Xt，ω，^usΘs，^u）dsFti=^Eh（G g） （T，Xt，ω，^uTΘT，^u）Fti公司- （G） g） （t，Xt，ω，^utΘt，^u）=^EhG（t，Xt，ω，^uT，Xt，ω，^uT）Fti公司- G（t，ωt，^E[Xt，ω，^uT | Ft]）。根据（2.41）中的边界条件，我们得到如下结果：V（t，ω）=^EhV（t，Xt，ω，^uT∧·)Fti+ZTt^EhC（t，Xt，ω，^ut，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Ftidr公司-^EhF（T，Xt，ω，^uT，Xt，ω，^uT∧·)Fti+^EhF（t，ωt，Xt，ω，^uT∧·)Fti公司-^EhG（T，Xt，ω，^uT，Xt，ω，^uT）Fti+G（t，ωt，^E[Xt，ω，^uT | Ft]）=ZTt^EhC（t，Xt，ω，^uT，r，Xt，ω，^ur∧·,^u（r，Xt，ω，^ur∧·))Ftidr+^EhF（t，ωt，Xt，ω，^uT∧·)Fti+G（t，ωt，^E[Xt，ω，^uT | Ft]）=J（t，ω；^u）。换言之，我们验证了V是具有^u的值函数。接下来，我们证明了^u确实是定义2.7下的均衡策略。我们在引理2.10 w中应用了厄尔曲线关系。

注意ωt+h=Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，thenJ（t，ω；uh）=EhhJ（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh；呃）Fti（B.13）-nZTt+hEhhcr，uh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）Ftidr公司-ZTtEhhcr，uh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）Ftidro公司-nEhhfuh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）Fti公司- Ehhfuh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）Ftio-nEhhG（t+h，Xt，ω，uht+h，guh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh））Fti公司- Gt、 ωt，Ehguh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）英尺o、 当uh=^u在[t+h，t]上时，条件是Ft+h，（Xt，ω，uhs）s∈[t+h，t]具有与（Xt，ω，^us）s相同的分布∈[t+h，t]。那么，J（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh；uh）=V（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）。（B.14）对于t+h≤ r≤ T，cr，uh（T+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）=EhhC（t+h，Xt，ω，uht+h，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))Ft+hi（B.15）=cr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）。当t≤ r≤ t+h，cr，uh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）=C（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·, u（r，Xt，ω，uhr∧·)). （B.16）当t+h时≤ r≤ T，cr，uh（T+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）=EhhC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))Ft+hi=cr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）。

（B.17）类似地，fuh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）（B.18）=EhhF（t+h，Xt，ω，uht+h，Xt，ω，uht∧·)Ft+hi=f（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h），fuh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）=f（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt），（B.19）和guh（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）=EhXt，ω，uhT英尺+小时（B.20）=g（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）。因此，（B.13）减少到j（t，ω；uh）=EhhV（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）Fti（B.21）-nZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺博士-Zt+htEhC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·, u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺博士-ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺dro公司-内赫f（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺- 呃f（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺o-内赫G（t+h，Xt，ω，uht+h，G（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh））英尺- Gt、 ωt，Ehg（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）英尺o、 同时，从V的PHJB方程（2.41），我们应用了泛函It^o公式和引理2.15。注意定义2.6的（2）-（3）中的时间连续性和ω假设的连续性：EhhV（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）Fti公司- V（t，ω）+EhhZt+htC（s，Xt，ω，uhs，s，Xt，ω，uhs∧·, u（s，Xt，ω，uhs∧·))ds公司Fti公司- EhhZt+htZTs（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）drdsFti+EhhZt+htZTs（Auhct，ωt，r）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh）drdsFti（B.22）-nEhhf（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）Fti公司- f（t，ω，t，ωt）o+nEhhf（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）Fti公司- f（t，ω，t，ωt）o-nEhhG（t+h，Xt，ω，uht+h，g（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh））Fti公司- G（t，ωt，G（t，ω））o+nGt、 ωt，Ehg（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）英尺- G（t，ωt，G（t，ω））o≤ o（h）。我们进一步简化了（B.22）中的C、cr和ct、ωt和RTERM。

通过Fubini定理，我们得到了以下结果：EhhZt+htZTs（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）drdsFti=EhhZTtZr∧（t+h）t（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）dsdrFti=Zt+htEhhZrt（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）dsFtidr（B.23）+ZTt+hEhhZt+ht（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）dsFtidr=Zt+htnEhcr（r，Xt，ω，uhrΘr，uh，r，Xt，ω，uhr）英尺- cr（t，ω，t，ωt）odr+ZTt+hnEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺- cr（t，ω，t，ωt）odr。类似地，EhhZt+htZTs（Auhct，ωt，r）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh）drdsFti=Zt+htnEhcr（r，Xt，ω，uhrΘr，uh，t，ωt）英尺-cr（t，ω，t，ωt）odr（B.24）+ZTt+hnEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺- cr（t，ω，t，ωt）odrandZt+htEhcr（r，Xt，ω，uhrΘr，uh，r，Xt，ω，uhr）英尺dr=Zt+htEh呃C（r，Xt，ω，uhr，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))Fr公司英尺dr（B.25）=Zt+htEhC（r，Xt，ω，uhr，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺Zt博士+htEhcr（r，Xt，ω，uhrΘr，uh，t，ωt）英尺dr=Zt+htEhC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺dr.（B.26）根据第2.6条定义（3）-（4）项下的勒贝格差异，我们得出以下结论：Zt+htEhC（r，Xt，ω，uhr，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺dr=Zt+htEhC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·,^u（r，Xt，ω，uhr∧·))英尺dr+o（h）。

（B.27）因此，（B.23）和（B.24）减少为- EhhZt+htZTs（Auhcr）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh，s，Xt，ω，uhs）drdsFti+EhhZt+htZTs（Auhct，ωt，r）（s，Xt，ω，uhsΘs，uh）drdsFti=-ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺dr（B.28）+ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺dr+o（h）。使用（B.27）中的相同参数得出以下结果：EhhZt+htC（s，Xt，ω，uhs，s，Xt，ω，uhs∧·, u（s，Xt，ω，uhs∧·))ds公司Fti（B.29）=EhZt+htC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·, u（r，Xt，ω，uhr∧·))博士英尺+ o（h）。组合（B.22），（B.28）和（B.29）Yieldsehv（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）Fti公司- V（t，ω）+EhZt+htC（t，ωt，r，Xt，ω，uhr∧·, u（r，Xt，ω，uhr∧·))博士英尺-ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）英尺dr+ZTt+hEhcr（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）英尺dr（B.30）- Ehhf（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t+h，Xt，ω，uht+h）Fti+Ehhf（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh，t，ωt）Fti公司- EhhG（t+h，Xt，ω，uht+h，g（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh））Fti+Gt、 ωt，Ehg（t+h，Xt，ω，uht+hΘt+h，uh）英尺≤ o（h）。与（B.21）相比，我们确定了atJ（t，ω；uh）- V（t，ω）≤ o（h）。（B.31）V（t，ω）=J（t，ω；^u）如前所示，J（t，ω；uh）- J（t，ω；^u）≤ o（h），（B.32）根据需要。B、 3.1推论3.2证明。我们首先证明了ψ的结果。考虑|ψ=-ψ. 那么，ψ满足度ψ=K* H（ψ）。（B.33）w*是H（w）=0的唯一根(-∞, wmax]使用wmax，-H2H。Gatheral和Keller Restel（2019）中的H（w）satis Assumption A.1。因此，Gatheral和Keller-Ressel（2019，定理A.5（A））与A（t）≡ 0表示（B.33）具有唯一的全局连续解，且*< r（t）≤Иψ（t）<0， t>0。（B.34）这给出了ψ的期望结果。（3.33）是一个线性VIE。因此，Vare的存在性和唯一性结果决定了us ingBrunner（2017，定理1.2.3）或Gripenberg等人（1990，方程（1.3），第77页）。

（3.34）和（3.35）是线性常微分方程（ODE）。B、 3.2推论3.3证明。M*under^π由m给出*t=MexphZt（Υs+θ^πsνs-πsνs）ds+Zt√νs^πsd^W1si，（B.35），其中布朗运动是^π下弱解的一部分。Doob的最大不等式和Abi Jaber等人（2019，引理7.3），^Ehsupt∈[0，T]| M*t | pi≤ C^Ehsupt公司∈[0，T]e-Rtθ^πsνsds2pi+C^Ehsupt∈[0，T]经验值-Zt^πsνsds+Zt√νs^πsd^W1s2pi≤ C^Ehe2pRT |θ^πs |νsdsi+C^Ehexp-ZTp^πsνsds+ZT2p^πs√νsd^W1si、 第一项由假设（3.39）确定，常数为2p |θ| supt∈[0，T]|^πT |。第二学期也是有限的。事实上，根据H¨older不等式和假设（3.39），常数（8p- 2p）支持∈[0，T]^πT，^Ehexp-ZTp^πsνsds+ZT2p^πs√νsd^W1s我≤n^Ehe（8p-2p）RT^πsνsdsio1/2n^Ehexp- 8pZT^πsνsds+4pZT^πs√νsd^W1sio1/2<∞.B、 3.3推论证明4.1证明。当λ=0时，该声明可直接验证。我们假设λ6=0。Mainardi（2014，方程式（3.4））或El Euch和Rosenbaum（2019，附录A.1），Fα，λ（T- t） λ~T-t型→∞λ-λΓ(1 - α） （T- t） α。（B.36）注意αΓ(1 - α） （T- t） α=ln（T- t）- ψ(1 - α)Γ(1 - α） （T- t） α>0，（B.37），其中ψ（z）=Γ′（z）Γ（z）是多伽马函数，ψ（1- α) < 0. 我们得到了该计划的第一部分。Fur thermore，Fα，λ（T- t） λ~T-t型→0+（T- t） αΓ（α+1）。（B.38）当T- t很小，（t- t） α在α上递减。最后，（T-t） αΓ（α+1）随α减小。参考SABI Jaber，E.（2019）。提升赫斯顿模型。《定量金融》，19（12），1995-2013年。Abi Jaber，E.和El Euch，O.（2019年）。粗糙波动率模型的多因素近似。暹罗金融数学杂志，10（2），309–349。Abi Jaber，E.、Larsson，M.和Pulido，S.（2019年）。一个有效的Volterra过程。《应用概率年鉴》，29（5），3155–3200。Al\'os，E.、Le\'on，J.A.和Vives，J.（2007年）。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。

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