针对一致性风险措施的多币种准备金

2022-6-2 17:22:09

针对一致性风险度量的多币种准备金*1,2，Seb Armstrong+1和Abdelkarem Berkaoui3华威大学图灵研究所穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学2018年9月19日摘要我们研究了在一般一致风险度量下，多种货币的动态风险准备金问题。reserver要求以时间一致的方式，通过买入现金来对冲风险。我们表明，当（且仅当）Delbaen的m-稳定性条件[5]的推广称为可选V-m稳定性时，以多种货币储备投资组合V是时间一致的。在此背景下，我们证明了资产定价基本定理的一个版本。我们认为，这个问题相当于在一个交易成本成比例且最终期限无摩擦的市场中，跨一揽子货币的动态交易（而不仅仅是成对交易）。1简介【1】中介绍了一致性风险度量（CRM）。一个重要的例子是基于芝加哥商品交易所的保证金要求。Ba sel III允许使用平均值atRisk（一种连贯的风险度量，不同于广泛使用的风险价值（VaR）度量，它不连贯），为某些基于衍生品的负债保留风险资本[14]。许多金融机构出于监管或其他原因测试其准备金，而连贯风险度量的动态版本正是这一过程的模型。在[8]中，我们概述了一种基于CRM的风险准备金方法。正如反复指出的那样，使用CRM的潜在缺点是时间一致性问题（参见示例[2]和其中的参考文献）：人们可以将time-t准备金视为一种负债，在稍后的时间t支付，其本身就是一种负债，在时间t支付。

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2022-6-2 17:22:13

这一系列版本表明（例如），实施CRM中隐含的准备金要求的监管机构实际上需要一系列准备金ρt（X）——在准备金被审计的每个时间点一个——用于负债X，因此可以认为，实际上需要一个初始准备金ρo · · · o ρT-1（X）。Delbaen[5]给出了一个必要且有效的条件，称为乘法稳定性（此后称为m-稳定性），使后一个量等于ρ（X），这通常不成立，尽管不等式ρo · · · o ρT-1（X）≥ ρ（X）*Saul D.Jacka非常感谢EPSRC赠款EP/P00377X/1提供的资金，也非常感谢图灵研究所在EPSRC赠款EP/N510129/1下提供的财政支持。电子邮件：s.d。jacka@warwick.ac.ukDepartment英国华威考文垂统计大学CV4 7AL+Seb Armstrong感谢EPSRC博士培训合作计划/M508184/1提供的资金。电子邮件：s。armstrong@warwick.ac.ukDepartment英国华威考文垂大学统计学院CV4 7AL电子邮件：berkaoui@yahoo.frCollege科学伊玛目穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学。O、 84880号信箱，利雅得11681沙特阿拉伯。特别是，Ris k的平均值或尾值（也称为预期差额）通常不具有时间一致性。在CRM的背景下，通常会将资产和负债折现为时间价值。由于客户关系管理是对t时应付金额的货币风险度量，我们认为可以明确地认为，负债是以t时单位表示的，因此在0时，风险或准备金是以t时应付的零息债券（或货币）单位表示的。

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2022-6-2 17:22:19

当然，一旦采用这种方法，很明显，我们的资产组合不仅需要对应于会计单位，我们还应该考虑持有多种货币或资产以履行其服务功能的可能性。在[8]中，我们展示了多个货币如何允许时间一致性的扩展版本：可预测的V时间一致性。我们设想了一套编号为0、1、…、，d随机终值V=（V，V，…，vd）（以区分的计算单位给出），并给出了时间一致的多as集合对任何特定CRM有效的必要条件和有效条件（见[8]的定理2.15）。CRM的例子包括不完全无摩擦市场中的超高价格和（正如我们所看到的）具有比例交易成本的市场中的最小捐赠。在本文中，我们考虑了一种更强大的多资产时间一致性，它对应于明确调整投资组合（因此似乎适用于可能交易作为储备持有的资产的情况），这两种情况都包括在内。我们将此版本称为optionaltime一致性，并将其视为许多情况下的适当设置，包括上面提到的情况。我们将给出必要且充分的条件，使A，与CRM相对应的可接受索赔锥ρ，可以表示为在时间t时可接受的基础as集合中交易的总和（在适当的顶部理论中的闭包）（定理3.13）。然后，我们将展示在这种情况下，我们获得了CRM资产定价基本定理的一个版本（Theorem4.5）。

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2022-6-2 17:22:23

最后，在理论em 6.1中，我们将展示可选的时间一致的CRM与由Jouini和Kallal【10】引入的、由Cvitanicand Karatzas【4】、Kabanov【11】开发的按比例交易成本进行交易的模型的推广（对应于允许的一揽子资产交易）之间的等价性，卡巴诺夫（Kabanov）和斯特里克（Stricker）（见[13]），Schachermayer（见[15]）和Jacka、Berkaoui和Warren（见[9]）等进一步研究。有关最新进展，请参见Bielecki、Cialenco和Rodriguez【3】及其调查报告【2】。2预备保险人通过投资适当谨慎且流动性充足的资产（通常为债券）或任何其他普遍同意始终持有正值的资产，为未来金融风险储备。我们称之为资产数量（assetsnum\'eraires），例如货币等纸面资产和实物商品。储备充足的金额可确保保险人承担的风险为保险人和（可能）监管机构、客户及其代理人所接受。在某些情况下，可以清楚地选择纳米线；在其他国家，情况并非如此，例如当保险公司为多种货币的索赔保留准备金时。在悲观或“worstrealistic”情况下，通常通过“谨慎”计算预期值来计算储量。我们假设形成准备金的最低金额由共同租金风险度量（CRM）建模；有关CRM的介绍，请参见[7]。我们假设有编号为（0，…，d）的有限数量的可用性。我们通过在离散时间T=0，1，…，调整以“货币”为单位持有的储备投资组合，研究了在终端时间T为风险储备的问题，T数值（计算单位）的终值表示为V=（V，V。

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2022-6-2 17:22:26

，vd），我们假设每个Vi都是一个严格正的、可测量的、bo-unded rando m变量，V的欧几里德范数为0。因此，为了对V中元素的任何投资组合Y进行估值，我们取内积Y·V，相反，任何有界X都可以用Y有界的形式Y·V来表示。我们将投资组合Y视为在终端时间T时的负债Y·V。一致性风险度量是一种储备机制：我们假设一个被保险人r在每个时间t根据一个条件一致性风险度量ρt储备风险。他们为一个随机索赔X储备金额ρt（X）。因此，持有风险索赔X并适当储备的总位置应该始终是保险人可以接受的。时间t的可接受索赔集合由具有非正ρt的可测有界随机变量组成。我们可以说，对于索赔X ifX，时间t上的订单组合y保留了时间t- Yt·V∈ 在2.1注释We fix a terminal time T∈ N、离散时间集T：={0，1，…，T}。我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P是参考度量或客观度量。过滤（Ft）t∈t描述每个时间点可用的信息。所有F-可测随机变量的空间表示为DL=L(Ohm, F、 P）；我们表示L(Ohm, 所有P-可积（分别为P-本质边界）Ft-可测随机变量的空间为Lt（分别为L∞t）。Ft可测（分别可积；本质有界）Rd+1值随机变量的空间表示为Lt=L(Ohm, Ft，P；Rd+1）（分别为Lt；L∞t）。下标“+”表示空间的正正序，“++”表示严格正性；例如，非负（分别为严格正）本质上有界的随机变量集isL∞+（分别为∞++).

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能者818

2022-6-2 17:22:29

类似地，下标“-”表示空间的负正切。2.2定义和众所周知的结果我们回顾了一些定义和概念。每次t∈ T、我们希望利用当时可用的所有信息对货币风险进行定价。以下定义改编自【6】：定义2.1。A映射ρt:L∞→ L∞t对于t∈ T是一个条件凸风险测度，如果对于所有X，Y∈ L∞,它具有以下属性：o条件现金不变性：对于所有m∈ L∞t、 ρt（X+m）=ρt（X）+m P-几乎肯定；o单调性：如果X≤ Y P-几乎肯定，然后ρt（X）≤ ρt（Y）；o条件凸性：对于所有λ∈ L∞twith 0≤ λ ≤ 1，ρt（λX+（1- λ） Y）≤ λρt（X）+（1- λ） ρt（Y）P-几乎可以肯定；o归一化：ρt（0）=0 P-几乎可以肯定。此外，如果条件凸风险度量也满足o条件正同质性：对于所有λ∈ L∞twithλ≥ 0，ρt（λX）=λρt（X）P-几乎可以肯定。我们的兴趣主要在于负债的储备和定价。我们将正随机变量X视为要对冲的负债，将负X视为信贷，这解释了我们在现金不变性方面的（非传统）选择，以及单调性的方向。定义2.2。对于任何有界序列（Xn）n，凸风险度量满足Fatou性质≥1.L∞收敛到X∈ L∞在概率中，我们有ρt（X）≤ lim信息→∞ρt（Xn）。Fatou性质等价于从上到下的连续性：ρtis continuous fr om over if，where（Xn）n≥1. L∞非累加序列的Xn→ X P-a.s.，然后ρt（Xn）→ ρt（X）P-a.s.作为n→ ∞如[1]所示，只要Fatou属性成立，我们就可以表示ρtasρt（X）=ess supQ∈QEQ【X | Ft】。概率测度Q的表示集由P支配，即Q<< P表示任意Q∈ Q

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2022-6-2 17:22:33

在本节和后续章节中，我们确定了集合Q的概率测度Q及其RadonNikodym导数，或密度，关于P，dQdP。我们相信，将从上下文中清楚使用哪个版本。我们还将通过∧qq来说明Q的密度，并通过∧Qt来说明Q对ftq的限制密度。回想一下，得到的过程是一个P-鞅。条件凸定价测度ρt:L的时间t接受集∞→ L∞tisAt={X∈ L∞: ρt（X）≤ 0}.对于以下结果，我们将读者转到[7]和[6]。我们装备空间L∞和弱者在一起*拓扑σ（L∞, 五十）因此拓扑对偶将是L。当一组C的索赔是无套利的∩ L∞+ {0}，或者更准确地说是C∩ L∞+ {[0]}，其中[0]表示几乎肯定等于0的随机变量的等价类。提案2.3。定义（At）0≤t型≤t是动态条件相干pricingmeasu reρt:L的接受集∞→ L∞t满足Fatou属性并设置A=A。则A为弱*-闭凸锥在有界正可测随机变量相乘下是稳定的，包含∞-, 而且是无套利的。备注2.4。通常，在支付流（Xt）0上定义动态条件一致性风险度量≤t型≤T、然而，将参考度量P扩展为概率度量的标准技巧Ohm ×{0，…T}使我们能够将我们的研究简化为单一支付案例（有关如何实现这一点的更多详细信息，请参见[8]第3.3节）。3可选表示和多币种时间一致性3.1时间一致性为索赔X投保的保险人需要持有一系列投资组合Y、Y、，YT（每个时间点一个，在该时间点上，准备金计算将进行ma de），以便风险得到充分的预留，并且在任何一次投资组合交换中都不会假设不可接受的风险。

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2022-6-2 17:22:36

也就是说，在可选的情况下，从时间t开始- 1直到时间t之前，保险人持有保单-1.∈ L∞（英尺-1）该数字为X的可接受储备，并希望兑换成新的储备组合Yt。只有在调整风险可接受的情况下，即ρt（Yt·V），保险人才可转换为新的投资组合yti- 年初至今-1·V）≤ 因此，所有的风险转移都会在时间t瞬间发生（我们将在第6节中看到，与交易设置的分析并非巧合）。这与[8]中提出的可预测的情况形成了对比，其中的想法是时间-（t-1）准备金是时间t所需的hedging投资组合的充足准备金。在可预测的情况下，可接受的风险在时间点t之间进行- 1和t，而在可选情况下，需要在时间t进行已知数量的明确交换，以更新储备组合。我们应该说，如果该属性从初始储备ρ（X）开始（至少在限制意义上）适用于每个索赔X，则动态风险度量是（可选）V时间一致的。定义3.1。动态凸风险测度ρ=（ρt）t=0，。。。，对于任何X，可选V时间一致if∈ A、我们可以找到序列xnina和序列πn=（πnt）t=0，。。。，T-1这样πnt∈ L∞（Ft）和（i）Xn→ X几乎肯定（1）（ii）对于each t，ρt（πnt·V）≤ 每年0英镑。；在L中∞, i、 e.，Atis在拓扑σ（L）中闭合∞t、 Lt）（iii）对于ea ch n∈ N、 T型-1Xt=0πnt·V=XnP几乎可以肯定。备注3。2、通过子序列性质，我们可以用Lw中的收敛代替（1）中几乎确定的收敛，而不影响定义。我们认为tπntas是在时间t为概率Xn保留的储备。3.2索赔的可代表性我们可以将可选的V时间一致性视为投资组合序列的一个条件，该组合可以使索赔X更具优势。

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2022-6-2 17:22:40

给定一个V时间一致的动态CRM（ρt），我们可以（至少在极限意义上）将X表示为初始储量ρ（X）和（t+1）调整值在0，1。T（此处设置Y-1是L中ρ（Y.V）=ρ（X）的任何向量，例如ρ（X）ρ（V.1）1:X=ρ（X）+TXt=0（Yt- 年初至今-1） ·V，其中每次调整满足ρt（（Yt- 年初至今-1） ·V）≤ 0、每次调整Yt- 年初至今-1是具有t-可接受估值的Ft可测量投资组合；我们称这种投资组合的集合为Kt（A，V）。我们试图回答以下问题：“我是否有可能通过一系列此类调整来代表A中的每项索赔？”给定L中的任意圆锥体D∞和我们的数量向量V，我们定义了将D附着到床上的portfoliosattaining D的集合（V）={Y∈ L∞: Y·V∈ D} 。Ft可测量的时间t可接受投资组合集表示为dkt（A，V）：=At（V）∩ L∞（英尺）。（2）定义3.3。L中的圆锥体A∞被称为可选的V代表性ifA（V）=⊕Tt=0Kt（A，V），（3），其中在弱*拓扑结构。如果是这种情况，我们还说A由V可选表示。当V固定时，如果（3）成立，我们还说A（V）可选表示。备注3.4。这是一个简单的练习，可以证明kt（A，V）={X∈ L∞（Ft，Rd+1）：αX∈ A表示任意α∈ L∞+（英尺）}。（4）在接下来的内容和定理3.18的证明中，重复使用了该特征。从现在起，在没有歧义的情况下，我们将为Kt（A，V）3.3稳定性编写Kt。我们在标准随机基础上回顾Delbaen的m-稳定性条件(Ohm, F、（Ft）t=0，。。。，T、 P）：定义3.5（Delbaen[5]）。一组概率测度Q L(Ohm, F、 P）对于elementsQ，Q是m-稳定的∈ Q、关联密度鞅∧Qt=EhdQdPFtiand∧Qt=EhdQdPFti，对于每个停止时间τ，定义为lt的鞅=∧t的QT≤ t的τ∧Qτ∧Qτ∧qt≥ τ在Q中定义元素Q。

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2022-6-2 17:22:43

概率测度Q也由Q的性质定义Fτ=QFτ和Q（·| Fτ）=Q（·| Fτ）Pa.s.，因此Q将定律qa和Qat时间τ粘贴在一起。当粘贴两个度量值时，我们在一个时间段内允许额外的自由度，并且仅粘贴满足与V：定义3.6相关的一致性条件的度量值，从而推广了m-稳定性。设τ为停止时间，Q，Qbe两个概率测度绝对连续，r e sp e ct为P⊕Qand Qconsists of alleQ的可选过去项的optτQof，使得（i）~QFτ=QFτ和（ii）对于任何A∈ FT，eQ（A | F（τ+1）∧T） =Q（A | F（τ+1）∧T）。我们通过在粘贴的两个度量项和“一步密度”项下写入任意粘贴，明确了时间段（τ，τ+1）上的自由度：引理3.7。对于τa停止时间和Q，Qtwo概率度量，Q⊕optτQ=（等式<< P：∧eQ=∧QτR∧Q∧Q（τ+1）∧T、对于s ome R∈ L+（F（τ+1）∧T） s.T.E[R | Fτ]=1）定义3.8。当τ为停止时间时，如果Q，Q，则概率测度集Q可选为V-m-st∈ Q、安第克∈ Q⊕optτQ具有（附加）性质，即eeq[V | Fτ]=EQ[V | Fτ]，（5）EQ也在Q中。示例3.9。很容易检查给定的（Ft）0≤t型≤T-适应有界过程X，X的等价鞅测度的集合QX是可选的XT-m稳定的。请注意，可选为1-m稳定的集自动为m稳定，反之则为假。以下建议给出了双锥A（V）可选V-m稳定性的等价定义*.提案3。10、假设在不丧失一般性的情况下，定价测度集Q是凸的且闭合的（s o密度集在L的拓扑中是闭合的），并且设D=A（V）*. 以下是等效的：（i）Q是可选的V-m-稳定的（ii）对于每个t∈ {0, 1, . . .

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2022-6-2 17:22:46

，T}，无论何时Y，W∈ D是存在Z的∈ D、事件F∈ Ft，正随机变量α，β∈ L+（Ft+1），αY，βW∈ Land X：=FαY+FcβW s atities[X | Ft]=E[Z | Ft]，（6）那么X是D的一个成员。可以在附录a中找到证明。定义3.11。我们可以说，一个任意锥 Lt满足提案n3.10的条件（ii）是可选的m-稳定。引理3.12。假设V是d+1个数的集合，d是L中的凸锥∞. 然后（V）*= D*五、证据见附录A。1.3.4等价理论第一个结果是一组等价于可选V时间一致性的条件，包括V代表性的精确陈述，以及与定义风险度量的概率度量凸集Q相关的双重特征。这一结果类似于[8]中获得的这些概念的可预测版本。为了证明V-m-稳定性和V-代表性的等效性，我们找到了每个Kt的对偶，其中包含了A（V）的所有可选预映像*在时间t，除了证明V可选代表性和可选V-m-稳定性的等价性外，可选m-稳定凸锥A（V）的可选前像*时间t是对时间t持有的一组投资组合的对偶的具体描述，目的是在时间t保持一个可接受的头寸。我们将数量V的向量，一个一致的度量ρ=（ρt）乘以一个封闭的、凸的概率度量集Q，并将Atto作为t的ρt的接受集∈ T、我们的两个主要结果之一是Orem 3.13。以下是等效的：（i）（ρt）t∈可选V-时间一致性；（ii）A可选地由V表示；（iii）Q可选地是V-m-稳定的。示例3.14。

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2022-6-2 17:22:50

[一般示例]给定正X∈ LT，以及一系列随机、闭合的凸集I：=（It）t=0，。。。，Tin Rd+1，每一个都可以用r（Rd+1，Ft）进行测量，相关效应σ-alg ebra（见[9]的备注4.2），letQXI：={Q~ P：等式【X | Ft】∈ 对于每个t}，则qxi可选地是X-m稳定的。请注意，X不必在L中∞.要恢复emm的情况，只需将X取为MT，即正P-鞅的终值，并将其取为单态{MT}。当然，mt不一定在L中∞, 但我们可以通过取V=（V，…，vd），其中vi=MiTPjMjT，并将Q定义为集合Q：={Q：Q=PjMjTPjE▄QMjT∧▄qf或某些▄Q∈ QMTI}。我们分两步给出了定理3.13的pro。首先，我们将展示可选VRE可呈现性和可选V-m稳定性的等价性。在证明了Ar比特率定价基本理论的一个版本——定理4.5之后，给出了可选V时间一致性和可选代表性等价性的证明。定义3.15。对于D L+，我们定义，对于每个时间t，D byMt的可选预映像（D）：={Z∈ L：αt∈ Lt，+，Z′∈ d如αtZ′所示∈ L（Rd+1）和E[Z | Ft]=αtE[Z′Ft]}。（7）集合D的可选预映像 L+是理解任意稳定凸锥的关键，如以下两个引理所示：引理3.16。假设D L+。如果D是可选的稳定凸锥，则D=T\\T=0Mt（D）。如果S 五十、我们用conv（S）表示S.引理3.17的凸包的Lof中的闭包。假设D L+，定义[D]：=T\\T=0（convMt（D）），（其中Mt（D）如（7）所定义）。则（a）[D]是包含D的最小稳定闭凸锥；（b） D=[D]当且仅当D是L中的稳定闭凸锥。我们在附录a中证明了这两个引理。定理m3.13中状态（ii）和（iii）等式的证明取决于以下定理3.18。对于任何t∈ {0，1，…，T- 1} ，Kt=（Mt（A（V））*))*.

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2022-6-2 17:22:53

（8）附录A给出了证明。1、因此，我们将陈述（参见定义3.3）中的每个“总和”描述为V.定理证明3.13（ii）和（iii）的等效性中可接受投资组合集合的对偶的可选预映像的对偶。假设a（V）是弱的*-闭凸锥∞（Rd+1）无套利，因此A（V）**= A（V）。回想一下，A（V）是可选的r代表ifA（V）=⊕Tt=0Kt。由于命题3.10，我们必须证明两个条件（ii’）A（V）的等价性是可选的可重新呈现的；和（iii’）A（V）*可选为V- m-稳定。（ii’）=> （iii’）：假设A（V）是可选的，则根据定理3.18得出A（V）=⊕tKt=⊕tMt（A（V）*)*.采用双重方法，我们发现a（V）*= ∩tMt（A（V）*)**= ∩tconvMt（A（V）*)其中第二个等式来自于双曲线r定理。因此，A（V）*= [答（五）*], 因此，BYLEMA3.17，A（V）*是可选的稳定。（iii’）=> （ii’）：假设A（V）是弱*-闭凸锥，注意A（V）*是一个闭的凸锥（L，σ（L，L∞)). 进一步假设A（V）*稳定，A（V）*= ∩tMt（A（V）*) 引理3.16=∩tK公司*tby公式（8）。现在我们可以应用双极定理来推导a（V）≡ A（V）**= ⊕Tkt和A（V）可根据需要选择性地呈现。4多货币储备的基本定理在导言中宣布，我们现在讨论aV可选代表性接受集A分解的闭合性质。通过类比[15]中的定义，我们定义了一个交易锥，如下所示：定义4.1。C 如果C在陆地上闭合，则L（Rd+1，Ft）被称为（time-t）交易锥，C在乘以非负、有界、Ft可测量的随机变量后闭合。我们回顾了[9]中的引理4.6，为了便于参考，我们在这里引用了引理（适当地重新措辞）：定理4.2。

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2022-6-2 17:22:57

设C是L（F）中的闭凸锥，则C在L的（标量）元素相乘下是稳定的∞+（F）（9）当且仅当存在随机闭锥mc，使得c={X∈ L（F）：X∈ MCa。s、 }。（10）我们将证明，如果A是V-表示的，那么（Kt）0≤t型≤T、锥Kt的L-闭包是交易锥，其和是闭合的，等于A（V）的L-闭包，是无套利的。这是资产定价（FTAP）的（第一）基本定理的一个版本。对于本节其余部分，Lor L中的闭包将由简单的上划线表示，而*集合S的闭包将被表示为WWE集合a（V）：=a（V），L中a（V）的闭包。回想一下，a（V）在V时是无套利的∩ L+={0}，并定义交易条件={X∈ Lt：cX∈ A（V）适用于所有c∈ L∞+（英尺）}。请注意，Lof CT中的闭合紧随A（V）闭合之后。引理4.3。对于每个t，kt是一个交易锥，如果X∈ Ltthen X公司∈ Kti ff X.EQ【V | Ft】≤ 0表示所有Q∈Q、证明。现在如果X∈ L∞t然后X∈ Ktif且仅当等式【X.V | Ft】=X时。当量【V | Ft】≤ 0表示所有Q∈ Q、由此得出Kt={X∈ Lt:X.EQ【V | Ft】≤ 0表示所有Q∈ Q} 这显然是一个交易锥。它来自于定理4.2和引理4.3，即引理4.4。有随机闭合锥MCtand MKtsuch thatCt={Y∈ Lt：Y∈ MCta。s、 }Kt={Y∈ Lt：Y∈ MKta。s、 }和MKtiscone（{EQ[V | Ft）]：Q的极性（在Rd+1中）∈ Q} ，由{EQ[V | Ft）]：Q生成的随机闭合锥∈ Q} 。我们现在给出本节的主要定理：定理4.5。集合G：=⊕tCtis在L中闭合，无套利，等于H：=⊕tKt（A，V）。此外，如果A是V-可表示的，那么它们的公共值是A（V），然后是A，Lof A中的闭包是给定的Nbya=A（V）。V=⊕tKt（A，V）。五、（11）证明。证明分三步进行。我们将展示：1。G在L.2中闭合。Ct=Kt（A，V）（G是无轨道的）建立G和H的等式。

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2022-6-2 17:23:00

A（V）=H，如果A是可重复的且A=A（V）。五、 1的证明。我们回顾了定义4.6中的定义2.6和引理2.7（合理地重新表述）。Suppos e J是L中的凸锥之和：J=M+…+M×…的所有元素。×MT其分量几乎肯定和为0，空策略（关于分解M+…+MT）并用N（M×…×MT）表示它们的集合。为方便起见，我们表示C×。×CTby C。引理4.7。（Ka banov等人[12]中的引理2）假设j=M+…+MTI是将J分解为交易锥；如果N（M×…×MT）是一个向量空间，并且每个MT在L中是闭合的，那么J是闭合的。由于我们已经确定每个cti是一个交易锥，将引理4.7应用于G的分解，我们只需要证明零策略N（C）形成一个向量s空间。参数是标准的：因为G是一个圆锥，我们只需要证明ξ=（ξ，…，ξT）∈ N（C）表示-ξ ∈ N（C）。为此，给定ξ∈ N（C）、fix a t和a b基础非负C∈ 那么，既然ξ为空，-cξt=bξ+。bξt-1+（b- c） ξt+bξt+1+…+bξT，和中的每一项都清楚地在相关的Cs中，因此在A中。因为c和T是任意的，-ξt∈ 每个t和so的CTF-ξ ∈ N（C）。从（4）中可以清楚地看出，Kt 因此，通过关闭CTkt 计算机断层扫描。因此H G、 2的证明。回想一下[9]，H的一致价格过程是（MKt）中的鞅*在每个时间步。因为∧qTvqt是这样一个鞅（对于任何Q∈ Q），根据定理4，交易锥Kt（A，V）序列的一致价格过程集合是非空的。第11页（共9页），H无放射性。一致的价格流程⊕t计算（MCt）中的鞅值*在每个时间步。

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能者818

2022-6-2 17:23:04

我们现在声称，对于每个t，（MCt）*= （MKt）*.一旦我们确定了这一点，就可以在Rd+1中取随机极锥。首先，观察Ct Kt（A，V）表示（MCt）* （MKt）*几乎可以肯定。因此，假设（MCt）*是（MKt）的stric t子集*. 然后存在Q∈ Q使得p（等式[V | Ft]6∈ MCt）>0。对于该Q，我们形成一致的价格过程Zt=∧QtEQ[V | Ft]∈ （MKt）*. 形成摩擦跨接conesCt（Z）：={X∈ Lt:X·Zt≤ 0}我们有一个套利fr e e和闭合coneeA=⊕来自FTAP的tCt（Z）。ClearlyeA包含A（V），因此Ct（Z）包含在Ct中，而Zt∈ MCta。s、，与严格包含的假设相矛盾。3的证明。如果A是V-表示的，那么A（V）=(⊕tKt）w=⊕tKt=Hbut，因为我们已经建立了d，H是闭合的。最后，由于千吨级。V很明显 H、 V.相反，因为A=A（V）。V=⊕Ktw。V=⊕千吨级。五、因此 HV5完成定理3.13的证明：定理3.13（i）和（ii）的等价性。我们将使用定理4.5的结果，即如果可选的V-可表示thenA（V）=⊕tKt（A，V）和A=⊕tKt（A，V）。五、（12）其中，超脚本0表示Lor L中的闭包。现在定义（iv）：A ⊕tKt（A，V）。五、（13）清楚（12）=>（13）因此（ii）=>（四）。很明显，（iv）=>（i）。相反，根据定理4.5，⊕tKtis在L中闭合，而（i）告诉我们⊕千吨级。V=⊕因此，我们得出结论（i）=>（四）。现在有足够的证据证明（iv）=>（二）。假设（iv）保持不变。我们将展示 ⊕tKt。或者，等效地（因为A是闭合凸锥），即(⊕tKt。五）* A.*. （14）定义=(⊕Ts=tKs。五）*和Bt：=L∞∩ ⊕Ts=tKs。VNow，自（L∞∩⊕tKt。五、)* A.*我们可以通过证明、归纳来证明（14） B*t对于每个t.（15），显然（15）都适用于t=t，因为KT={X∈ L∞: 十、五≤ 0 a.s.}和KT={X∈ 五十：十、五≤ 0 a.s.}so BT=L∞-= 千吨级。五、现在假设（15）对t=u+1成立。取任意Z∈ Guand X公司∈ 日分。

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2022-6-2 17:23:07

那么X=αu.V+Y，对于某些Y∈ ⊕Ts=u+1Ks。V和αu∈ Ku。对于整数n>0，设置Fn={| |αu | | |≤ n}，然后是αuFn∈ 宽迪1Fn=X1Fn- αuFn∈ L∞（自X起∈ L∞). 因为，对于任何t≥ u、 kT是c在乘法byFn下损失的，因此Y 1Fn∈ Bu+1，X1Fn=αu.V1Fn+Y 1，因此X1Fn∈ 日分。自Z起∈ Gu+1根据诱导作用，EZX1Fn=EZ（Y 1Fn+αu.V1Fn）≤ EZ（αu.V1Fn）。现在αu.V1Fn∈ Ku。V和Z∈ （Ku.V）*so E[ZX1Fn]≤ 因此，通过支配收敛，E[ZX]≤ 0，因为X是Buit的任意元素，所以Z∈ B*uand so Gu公司 B*u、建立诱导型STEP。我们实际上已经证明了一些额外的东西：推论5.1。如果A是V-表示的，那么Bis弱*闭且等于A.Proof。根据定理4.5，如果A是V-可表示的，那么A=⊕Ts=0公里。五、 soB=L∞∩ (⊕Ts=0公里。五） =L∞∩ A. A、既然A是V-可表示的，那么A=⊕tKt。五、 B**, 来自（15），但B**= BsoA=B=B。备注5.2。当然，如果A是V-m-可表示的，那么我们可以用弱的*-收敛，代价是采用网络而不是序列。由此推论，如果A是V时间一致的，那么给定X∈ A我们可以形成储量的序列，使得RT.V=X，每个增量πt：=RT- Rt公司-1在Kt中，因此π是Kt元素的最确定极限。6将定价机制与具有比例交易成本的市场相关联第4节将可选代表性CRM与交易锥联系起来，在本节中，我们将储备机制与具有交易成本的市场中的对冲策略直接关联。这是通过向市场添加额外的时间段（T，T+1）和交易成本来实现的，在该时间段内，所有人都将重新兑现的现金定位到基本金额v中。

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2022-6-2 17:23:10

我们这样做的方式是，引入一些不利的风险，迫使厌恶风险的代理人在时间T，而不是在额外期限内抛售。设e=（1，0，…，0），ed=（0，…，0，1）表示Rd+1的规范基。回想一下，在有交易成本的市场中，基本设置有一组资产（实验室填0，…，d）和随机买卖价格πi，jt，在每个交易时间t∈ {0，…，T}。因此，πi，jt是在时间t可交换为一单位资产j的资产i的单位数。相应的交易锥，我们用▄Kt（πt）表示，由这些交易共同评定消费可能性，因此▄Kt（πt）是由向量的非负Ft可测倍数生成的（闭合）锥-EI和ej- πijtei，fori，j∈ {0，1，…，d}。zero endowment提供的一组权利要求是bt（π）=TMt=0Kt（πt）。我们（最初）假设在Lis中BT（π）是无套利的。注意，由于[9]中的定理1.2，我们可以（并且应该）假设，如果必要，通过将投标修改为k价格，Bt（π）关闭。该定理的证明还证明了最终交易锥的零策略形成了avector spa ce。我们表示在由AQ收集的绝对连续概率测度Q生成的风险测度下，可接受索赔集的L-闭包。我们将展示每个市场对应于CRMTheorem 6.1。

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2022-6-2 17:23:13

对于交易成本矩阵序列（πijt）t=0,1，。。。，T、存在随机基础（eOhm,eF，eF，eP），数值V的向量∈ L∞（e）Ohm,eF，eP；Rd+1），以及一组可选的V-m-稳定概率，即相应的FT可测量可实现索赔集合的结束（在L中）是通过交易基础资产可实现的索赔集合：BT（π）=AQ（V）∩ L（英尺）。证明中的关键因素是在最后增加一个额外的交易期（T，T+1），在该交易期内，所有头寸都被套现为资产0。然而，我们施加了一些非常不利的风险，迫使代理在前一个时间段而不是在额外的时间段内出售。为了生成最终的无摩擦价格，我们增加了一个简单的“硬币旋转”对于其他资产。我们将d个二进制选择（购买或出售其他每个d个数）编码为s{0，1}d，并将u定义为（{0，1}d，2{0，1}d）上的统一度量。因此，我们定义了扩充样本空间EOhm := Ohm ×{0，1}d，并定义乘积西格玛代数和度量：eF：=F 2{0,1}d），eP：=P u.我们通过设置eft：=Ft来增加过滤{, {0，1}d}。我们使用L的明显嵌入∞(Ohm, Ft，P）in L∞（e）Ohm,eFt、eP）；应该从上下文中明确Lwe所指的版本。固定0<ε<1小。定义Rd+1值随机变量V=（V，V，vd），ω∈ Ohm,ω′∈ {0，1}d，由▄v（ω，ω′）=1，（16）▄vi（ω，ω′）=（1- ω′i）（1- ε） πi，0T（ω）+ω′i（1+ε）π0，iT（ω）。（17）对▄V的解释是：在时间T的一个bid-ask-spreathπi，0T（ω），π0，iT（ω）如果num'erairei处于ω状态，我们旋转一枚硬币。如果硬币显示头部（ω′i=1），则集合i的（T+1）价格略高于T-ask价格，并且与在时间T+1时兑现相比，在时间T+1时负持有i会造成损失。

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2022-6-2 17:23:16

如果硬币显示尾部（ω′i=0），则sset i的（T+1）-价格略低于T-bidprice，任何对i的正持有都会造成损失。任何规避风险的代理人都将在时间T兑现为资产0，以避免这些损失。现在，我们用πijT+1定义时间T+1的无摩擦买卖matr ix：=▄vj▄vi。交易锥▄KT+1（πT+1）由向量的正FT+1可测倍数生成-EI和ej- πijT+1ei，对于i，j∈ {0，1，…，d}。定义圆锥体BT+1（π）=BT（π）+KT+1（πT+1）。原始索赔集合的一致价格过程BT（π）isBoT（π）={Z∈ LT（Rd+1）：E[Z | Ft]∈~Kt（πt）*a、 s.对于t=0，1，T}。根据文献[9]的第4.11条，由于BT（π）是封闭的且没有套利，因此BT（π）至少存在一个一致的价格过程。下面的命题表明锥BT+1（π）是无套利的。提案6。2、BT+1（π）有一个完整的价格过程。证据我们通过乘以每个硬币旋转的鞅测度的Radon-Nikodym导数，将BT（π）的一致价格过程推广到BT+1（π）的一致价格过程。对于anyZ∈ BoT、定义λZ>0，使单周期过程Zi/Z，λZvi是每个i的aeP鞅。然后zt+1=ZλZV（18）定义了锥BT+1（π）的一致价格过程。我们首先证明存在这样的λZalways。请注意，Z∈~KT（πT）*给出ω-a.e.，ZjT（ω）ZiT（ω）≤ πijT（ω）≤ πi，0T（ω）π0，jT（ω）<1+ε1- επi，0T（ω）π0，jT（ω）=▄vj（ω，1）▄vi（ω，0），其中▄vj（ω，1）理解为▄vj（ω，ω′）ω′j=1etc。固定ω∈ Ohm i 6=0，我们看到ZiT（ω）：=ZiT（ω）ZT（ω）∈ （▄vi（ω，0），▄vi（ω，1））。这种n个单周期二叉树模型的marting-ale测度由“heads”θ（ω，i）=ZiT的概率确定- vi（ω，0）~vi（ω，1）- vi（ω，0）。现在设置λZ（ω，ω′）=2ddYi=1θ（ω，i）ω′i（1- θ（ω，i））1-ω′i早期，λZis a.s。

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2022-6-2 17:23:19

正且有界，~E[λZ | FT]=1且ZiT+1∈ Lsince▄E【ZiT+1】=▄E【λZ▄ViZT】=E【ZiT】，根据ZiT+1的正性、Fubini定理以及u和λzs的定义，对于任何XT∈ L∞T（Rd+1），EeP[XT·ZT+1]=EP[XT·ZTEeP[（λZV）| FT]]=EP[XT·ZT]。（19）设置XT=A的AEIF∈ FT，对于任何i，我们看到ZT=EeP[ZT+1 | FT]，因此ZT+1是所需的一致价格过程。提案6。3、锥BT+1（π）：=⊕T+1t=0K（πT）在L中是闭合的，并且是无套利的。证据根据[9]的定理4.11，我们得到了Lis套利中BT+1（π）的闭包。我们将显示空策略集N（~K（π），~KT（πT），~KT+1（πT+1））是一个向量空间，从引理4.6得出结论，锥BT+1（π）在L中是闭合的，我们完成了。取（x，…，xT+1）∈ N（~K（π），~KT（πT），~KT+1（πT+1））。Letx=x+···+xT，因此x+xT+1=0。（20）我们看到，t xT+1是一个FT可测量的元素，为▄KT+1（πt+1）。我们声称xT+1∈ BT（π）：自下一个+1∈ BT+1，对于锥BT+1（π）的任何一致价格过程Z，以及任何n∈ N、 0个≥ E[ZT+1xT+1{| | | xT+1{| |<n}]=E[ZTxT+1{| | xT+1{| |<n}]=，所以xT+1{| | xT+1{|<n}∈ BT（π）表示所有n，so xT+1∈ BT（π）的闭包。自xT+1起∈ BT（π），存在y∈~K（π），年初至今∈KT（πT），xT+1=y+····+yT。然后，重写（20），我们看到（x+y）+…+（xT+y+T）=0。由于该总和中的每个术语都在相关的交易锥中，我们看到（x+y），（xT+yT））是inN（▄K，▄K）T。现在，假设这是一个向量空间，所以每个-（xt+yt）∈~Kt（πt），因此，由于~Kt（πt）是一个包含yt的圆锥，每个-xtis单位为▄Kt（πt）。在时间T+1时，买卖价格是无摩擦的，因此xT+1∈~KT+1（πT+1）可写为u- u、其中u∈ lin（~KT+1（πT+1）），和u≥ 0

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2022-6-2 17:23:22

否te that0≤ u=u- xT+1=u+x∈ BT（π），但由于BT（π）是无套利的，u=0，依此类推-xT+1∈~KT+1（πT+1），因此空策略集是一个向量空间。最终价格V a bove在基因ral中是无界的，因此我们通过归一化来转换这些价格，设置V=（V，…，vd），其中vi：=~viPjvj。最后，我们确定了测量的se t o Q={QZ:Z是BT（π）}的一致价格过程，其中dqzdep：=ZTλZT（~v）PjZj。很容易检查这些是概率测量，因为Z是一致的价格过程，并且是严格正的向量值市场。现在主要结果的证明是：定理证明6.1。我们观察到kt（AQ（V））={X∈ Lt:X.EQ【V | Ft】≤ 所有Q均为0 a.s∈ Q} ={X∈ Lt:X.Zt≤ 0 a.s.对于所有一致的Z}它遵循kt（πt）={Y∈ Lt：Y.Zt≤ 0 a.s.对于所有一致的Z}={Y∈ Lt：Y∈ Kt（Q）}和soBT=AQReferences[1]PhilippeArtzner、FreddyDelbaen、Jean-MarcEber和DavidHeath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–2281999年。[2] Tomasz R.Bielecki、Igor Cialenco和Marcin Pitera。离散时间内动态风险度量和动态性能度量的时间一致性调查：LM度量。概率、不确定性和定量风险，即将出版（4）：669–7092017。[3] Tomasz R.Bie lecki、Igor Cialenco和Rodrigo Rodrig ue z.在具有交易成本的离散时间市场中，对分割和支付证券进行无套利定价。数学金融，25（4）：673-7012015。[4] Jakˇsa Cvitani\'c和Ioannis Karatzas。交易成本下的套期保值和投资组合优化：鞅方法。《数学金融》，6（2）：133–165，1996年。[5] Freddy Delbaen。m-稳定集的结构，尤其是风险中性度量集的结构。《纪念保罗·安德烈·梅耶》，第215-258页。Springer，2006年。[6] Kai Detlefsen和Giacomo Scando lo。

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能者818

2022-6-2 17:23:25

条件和动态凸风险度量。《金融与随机》，9（4）：539–5612005年。[7] 汉斯·福尔默和亚历山大·希德。随机金融：离散时间导论。Walterde Gruyter，2011年。[8] 索尔·杰卡、阿卜杜勒·卡雷姆·伯克奥伊和塞布·阿姆斯特朗。关于一致性风险度量的声明和对冲。http://arxiv.org/pdf/1703.03638, 2017.[9] 索尔·杰卡、阿卜杜勒·卡雷姆·伯克奥伊和乔恩·沃伦。具有交易成本的交易锥无套利和封闭结果。《金融与随机》，12（4）：583–600，2008年。[10] Ely\'es Jouini和H\'edi Kallal。具有交易费用的证券市场中的鞅和rbitrage。《经济理论杂志》，66（1）：178–1971995年。[11] 尤里·姆卡巴诺夫。货币市场交易成本下的套期保值和清算。《金融与随机》，3（2）：237–2481999年。[12] 尤里·M·卡巴诺夫、米克洛斯·拉索尼和克里斯托夫·斯特里克。关于Land中凸子和的闭性，给出了鲁棒无ar比特率性质。《金融与随机》，7（3）：403–411203。[13] 尤里·卡巴诺夫和克里斯托夫·斯特里克。交易成本下的哈里斯-普利斯卡套利定价定理。《数理经济学杂志》，35（2）：185–1962001年。[14] 巴塞尔银行监管委员会。交易账簿的基本审查：修订的市场风险框架。国际清算银行：瑞士巴塞尔，2013年。[15] Walter Schachermayer。有限离散时间内按比例交易成本下资产定价的基本定理。《数学金融》，14（1）：19–482004年。附录A。1子结果的证明引理的证明3.12。先取Z∈ D*. 对于任何X∈ 我们有E[ZV·X]≤ 0和soZV∈ D（V）*, 因此D（V）* D*五、对于反向包含，用Rd+1中的第i个正则基向量表示。首先，自V·α（viej-vjei）=0，我们有α（viej- vjei）∈ D（V）α ∈ L∞.取Z∈ D（V）*. 现在，对于任何i，j∈ {1, . . .

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何人来此

2022-6-2 17:23:29

，d}，α∈ L∞, 我们有[Z·α（viej- vjei）]≤ 将i和j颠倒过来，我们可以写出E[Z·α（viej- vjei）]=0，允许第一个α={Z·（viej-vjei）>0}则α={Z·（viej-vjei）<0}，我们看到事实上，Z·（viej- vjei）=0 a.s.对于任何i，j，所以取i=0，我们得到Zj=Zvja。s、对于每一个j，就有一个ny Z∈ D（V）*对于某些Z，必须为ZV形式∈ 五十、现在，给定C∈ D、取X，使X·V=C（这意味着X∈ D（V）），然后0≥ E[W V·X]=E[W C]，由于C是任意的，因此W∈ D*. 因此D（V）* D*五、命题3.10的证明。通过引理3.12，我们可以写出D=锥{dQdPV:Q∈ Q} 。（一）==> （ii）：我们假设（i）ho lds和fix t∈ {0，1，…，T}，Y，W，Z∈ D、 F级∈ Ft，α，β∈ L+（Ft+1）和X∈ 如（ii）中的假设。我们显示X∈ D通过应用（i）两次。首先，取τ=tF+TFc，确定QZand∧ZtviadQZdP=ZE[Z]和∧Zt=EdQZdP英尺类似地，对于QY，∧Y。注意Z=E[Z]λZV。现在，我们可以选择粘贴QZandQYat时间τ、asbQ、viab∧=∧ZtαE[Y]λYt+1E[Z]λZt∧Y∧Yt+1F+∧ZFc。这是一个n可选粘贴，由于公式（6）：在F上，我们有EαY英尺= EZ英尺, 所以括号中的因子对F的条件Ft期望值为1。我们将应用（i）来推断tbQ∈ Q、为此，我们必须证明ebq[V | Fτ]=EQZ[V | Fτ]。我们计算左手边为beEbQ[V | Fτ]=b∧tEhb∧VFtiF+VFc=EαE[Y]λYt+1E[Z]λZt∧Y∧Yt+1V英尺F+VFc=E[Z | Ft]E[αY | Ft]F+VFc条件（6）表明，o n F，E[αY | Ft]=E[Z | Ft]，因此我们得出结论Bq∈ Q、我们重复上述步骤以停止时间σ=TF+tFc，测量bq和QW，e∧=b∧F+b∧tβE[W]λWt+1E[Z]λZt∧W∧Wt+1Fc。条件（6）给出了EeQ[V | Fτ]=EbQ[V | Fτ]，以及soeQ∈ Q by（i）。很容易证明X=E[Z]E∧V，因此X∈ D根据需要。（二）==> （i）：表示（ii）持有；当τ=T时，则（i）成立。

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2022-6-2 17:23:32

现在假设（i）对于任何停止时间τ都成立≥ k+1 a.s.，然后在停止时间的下限进行反向归纳。固定任意停止时间eτ≥ k a.s.，定义F={eτ≥ k+1}和停止时间τ*:= eτF+TFc。注意τ*≥ k+1，s inc e Fc={eτ=k}。我们现在取Q，Q∈ Q和Q∈ Q⊕选择满足式（5）的τqt，并借助条件（ii）证明式是Q的一个元素。定义∧i=dQi/dP，i=1，2。粘贴Qand Qat时间τ*, Q*∈ Q⊕optτ*Q、带Rado n-Nikodym导数∧*= Λτ*R*ΛΛ(τ*+1)∧Twith R公司*∈ L+（F（τ*+1)∧T）和E[R*| Fτ*] = 1、我们注意到，e∧：=deQ/dP可以写成∧=eτeR∧（eτ+1）∧T=∧τ*eR∧∧（τ*+1)∧TF+λFc。设置X=e∧V，W=Z=∧V，Y=∧，α=eR/R*, β=1以满足（ii）的假设。因此，X∈ D、 whenceeQ公司∈ Q、这就完成了感应步骤。引理3.16的证明。包含项D ∩Tt=0Mt（D）是微不足道的。在下面，我们写Z | tforE[Z | Ft]。现在Z∈ ∩Tt=0Mt（D），我们的目的是证明Z∈ D、所以，尽管如此∈ {0，1，…，T}，存在βT∈ Lt、+和Zt∈ D使得βtZ∈ 土地Z | t=βtZt | t.defineξt=ZTξt=Ftκtξt+1+fctzt∈ {0，1，…，T- 1} 式中，Ft={βt>0}和κt=βt+1/βt。注Z=Z | t=βTZT | t=βtξTandZ=βκ·κ·t-2ξT-1= βξ.因此，我们只需要证明ξ在锥D中，就可以推断Z=βξ在D中∈ {0，1，…，T}，我们有ξT | T=Zt |和ξT∈ D、我们将从观测ξT=ZT开始，进行反向归纳∈ D、假设s是这样≥ t+1，我们有ξs | s=Zs | sandξs∈ D、 ξt | t=EFtκtξt+1+FctZt英尺= EFtκtZt+1+FctZt英尺现在，如果βt>0，即在事件Ft上，eκtZt+1英尺=βtEβt+1Zt+1英尺=βtE【Z | t+2 | Ft】=Z | t+1βt=Zt |我们得出结论ξt | t=EFtZt | t+FctZt英尺= Zt | t。假设D是稳定的，因此通过稳定性的替代定义（命题3.10），我们可以看到ξt∈ D、引理3.17的证明。

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2022-6-2 17:23:35

很明显，t[D]是L中的一个闭凸锥。为了证明[D]是稳定的，我们使用命题3.10。修复t∈ {0，1，…，T}，假设Y，W∈ [D] a re存在Z∈ [D] ，aset F∈ Ft，正r和om变量α，β∈ L（Ft），αY，βW∈ L（Rd+1）和X：=αYF+βwfcsaties E[X | Ft]=E[Z | Ft]。我们的目的是证明X是[D]的一个成员，也就是X∈convMs（D）0≤ s≤ T- 1、首先考虑s∈ {0，1，…，t- 1}. 根据Ms（D）的定义，Z∈ 转换Ms（D）和E【X | Ft】=E【Z | Ft】==> 十、∈ conv-Ms（D），因为Ms（D）中可积Z的隶属度仅取决于其条件期望E[Z | Fs]。更一般地说，我们显示∈convMs（D）和E【X | Ft】=E【Z | Ft】==> 十、∈ convMs（D）。取一个序列（Zn）转换Ms（D），使Zn→ Z在L中。确定序列Xn：=E【Zn | Ft】+X- E[X | Ft]。请注意Xn→ X为n→ ∞ 对于每个n，E【Xn | Ft】=E【Zn | Ft】。So Xn∈ conv Ms（D），thusX∈convMs（D）。现在考虑s∈ {t，t+1，…，t- 1}. 我们首先选择序列（Yn），（Wn）转换Ms（D），使Yn→ Y和Wn→ L.定义中的W表示n，K∈ N、 Xn，K：={α≤K} αYnF+{β≤K} βWnFc。Xn，K∈ conv Ms（D）遵循以下两个基本属性：1。如果Z∈ 转换Ms（D）和g∈ L∞+（Ft），然后是gZ∈ 转换Ms（D）；和2.if Zi∈ 转换Ms（D），i=1，2，然后Z+Z∈ 转换Ms（D）。让Z∈ Ms（D）。然后αt∈ Lt，+，Z′∈ D使得αtZ∈ Land Z | t=αtZ′t==> αtg∈ Lt，+，Z′∈ D使得αtgZ∈ 陆地gZ | t=αtgZ′，然后取凸面外壳。现在，对于任何K固定，{α≤K} αYn→{α≤K} αY为n→ ∞, 和类似的{β≤K} βWn→{β≤K} βW。由于αY和βW是可积分的，我们现在发送K→ ∞ 要查看thatX=limK→∞画→∞Xn，K∈convMs（D）完成了证明X确实是[D]的成员的证明。对于包含D的稳定闭凸锥的类中f[D]的极小性，我们注意到ifD D′然后【D】 [D′]。

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