（4.9）回顾推论y 4.7，η（f）=ρ（f 1d）是现金加法（4.8）和凸加法（4.9）。由于fu是一个确定性函数，因此可以很容易地检查η和η是否具有强一致（条件）的定律不变的单变量CRM。因此，我们在F¨ollmer（2014）的框架内。结果表明，单变量标准差必须是线性的或熵型的，即fu（x）=ax+b或fu（x）=-ae-βx+b，x∈ R、 对于常数a、b、β∈ R，a，β>0，这意味着ηH（F）=EP[-F | H]或ηH（F）=βlogEP公司e-βFHη也是如此。显然，这也会对聚合函数∧=H=f产生影响-1uo u自x 7起→ u（x1d）=fu（x）为线性或指数形式。例如，可能的聚合将由u（x，…，xd）=aPdi=1wixi+b给出，其中wi∈ （0，1）对于i=1。。。，d使得Pdi=1wi=1，因为fu（x）=ax+b。在这种情况下，聚合函数仅∧（x）=Pdi=1wixi。推论4.9。在T heorem 4.6的情况下，假设ηa和ηHarede定义在所有L上∞（F） 。那么{η，ηH}是强一致的当且仅当η=-欧盟-1（EP[eu（F）]）和ηH=-欧盟-1（EP[eu（F）| H）]，对于连续且严格递增的效用函数eu:R→ R、 此外，相应的（条件）聚集函数由∧=-fρo f-1uo u和∧H=-fρo f-1uo 啊o u、 式中，aH（F）=αF+β，F∈ L∞（F） ，是由α，β给出的正α传递∈ L∞（H） P（α>0）=1。证据由于η是定律不变量，因此引理4.3得出ηHis conditionallylaw不变量。此外，fη≡ fηH≡ - id，即η和ηHare归一化常数。因此，通过定理4.5，我们得到η=-欧盟-1（EP[eu（F）]）和ηH=-欧盟-1（EP[eu（F）| H）]，对于连续且严格递增的函数eu:R→ R、 从下面的引理4.10中可以看出，U和U是eu的一种有效转换。

这反过来又意味着UH=▄啊o U、 式中▄aH（F）=▄αF+▄β表示▄α，▄β∈ L∞（H） P（|α>0）=1。最后我们得到σ（fρH（a，ω），a∈ R） -条件聚集函数∧His由∧H=U给出-1小时o u=u-1.o a-1小时o u=-fρo f-1uo a-1小时o u、 自倒数aH起：=a-如果a ffne函数为a ffne，则结果如下。引理4.10。设Uh为定理4中的随机效用。6和le teUH:Im∧H→ L∞（F） 是另一个严格等距、F-局部、充分满足Lebesgue性质和Uh（Im∧H）的函数∩ L∞（H） （） L∞（H） ，这样EU-1小时以弗所（F）你好= U-1H（EP[UH（F）| H]），对于所有F∈ Im∧H.（4.10）UH的新的、可测量的正a ffne变换，即存在α，β∈ L∞（H） P（α>0）=1，使得所有F的euh（F）=αUH（F）+β∈ Im∧H.证明。我们在定理4.6中看到o ∧H=u，其中u严格递增且连续。ThusX：=Im UH=u（L∞d（F）） L∞（F） 所以F或所有F∈ X存在一个F-简单r andomvariables（Fn）n序列∈N X使Fn→ F P-a.s.此外，通过中值定理，我们可以找到每个X，Y∈ L∞d（F）和λ∈ L∞（F） 使用0≤ λ≤ 1一个rando m变量Z，使得{-kXkd，∞, -kY kd，∞} ≤ Z≤最大{kXkd，∞, kY kd，∞} 对于所有P-几乎所有ω∈ Ohmλ（ω）uX（ω）+ （1）- λ） u型Y（ω）= uZ（ω）1d其中X（·）、Y（·）和λ（·）是X、Y和λ的任意代表。事实上，可以通过一个可测选择参数来表明，Z可以被选择为F-可测，因此X在λF+（1）的意义上是F-条件凸的- λ） G级∈ X代表所有F，G∈ X和λ∈ L∞（F） 使用0≤ λ≤ 1、下一步定义严格的isotone和F-local函数vh:X→ L∞（F） ；X 7→嗯U-1H（F）,iseUH=VHo UH此外，很容易看出，VHful填充了Lebesgueproperty和VH（X∩ L∞（H） （） L∞（H） 。我们证明了VH是一个函数，即VH（F）=αF+β，对于所有F∈ X，其中α，β∈ L∞（F） 。

注意，affinity可以通过VH（λF+（1）等效表示- λ） G）=λVH（F）+（1- λ） 所有F、G的VH（G）∈ X和λ∈ L∞（F） 使用0≤ λ≤ 1、我们假设vh不是一个函数，即有F，G∈ X和λ∈ L∞（F） 使用0≤ λ≤ 1这样p（VH（λF+（1- λ） G）6=λVH（F）+（1- λ） VH（G））>0。（4.11）首先注意，必须假设（4.11）适用于确定性F，Gandλ。要了解这一点，假设vh对确定性值有效，但对X的整体无效，即（4.11）对某些F，G有效∈ X和λ∈ L∞（F） 使用0≤ λ≤ 1、我们知道存在F-简单函数（Fn）n的序列∈N、 （Gn）N∈N 十、∩ S和（λn）n∈N L∞（F）∩ 带0的S≤ λn≤ 1对于所有n∈ N使Fn→ F、 Gn公司→ G、 λn→ λP-a.s.，其中s在命题3.11的证明中定义。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Fn=Pkni=1FniAni，Gn=Pkni=1gnani，λn=Pkni=1λniani具有相同的点F-划分（Ani）i=1，。。。，千牛。根据F-局部性和Lebesgue性质以及自Fni、Gni、λni∈ R对于所有i=1。。。，克南德n∈ N我们有vh（λF+（1- λ） G）=limn→∞VH（λnFn+（1- λn）Gn）=limn→∞VHknXi=1（λniFni+（1- λni）Gni）Ani！=画→∞knXi=1VHλniFni+（1- λni）GniAni=limn→∞knXi=1λniVH（Fni）+（1- λni）VH（Gni）Ani=limn→∞λnVH（Fn）+（1- λn）VH（Gn）=λVH（F）+（1- λ） VH（G），与（4.11）相矛盾。此外，我们假设0<λ<1，因为否则这将与lso矛盾（4.11）。最后，我们假设w.l.o.g.thatA：={VH（λF+（1- λ） G）<λVH（F）+（1- λ） VH（G）}∈ Hhas正概率。下一个定义H：=FA+GAC，H：=G，然后是HI∈ 十、∩ L∞（H） ，i=1，2，并通过VHVH（λH+（1）的F-位置- λ） H）≤ λVH（H）+（1- λ） VH（H），且不等式对正概率严格。自(Ohm, P、 F）如果H存在B，则无条件无原子∈ F，其中p（B）=λ，且与H无关。

自H起，H∈ X和X是F条件凸X H：=HB+HBC∈ 十、现在根据VH的F位置，VH（X∩ L∞（H） （） L∞（H） 和B⊥⊥ H we getEP【VH（H）| H】=EP【VH（HB+HBC）| H】=VH（H）EP【B | H】+VH（H）EP【BC | H】=VH（H）EP【B】+VH（H）EP【BC】=λVH（H）+（1- λ） VH（小时）≥ VH（λH+（1- λ） H）=VH（EP【HB+HBC | H】）=VH（EP【H | H】），且不等式严格具有正概率。此外，X=Uhim Uhim意味着aeH的存在∈ Im∧hs这样H=UH（eH）。通常我们会-1小时以弗所（eH）你好= U-1小时五、-1小时EPhVH呃（呃）你好= U-1小时五、-1H（EP[VH（H）| H]）≥ U-1小时五、-1H（VH（EP[H | H]））= U-1H（EP【H | H】）=U-1小时EPhUH（eH）你好,这个不等式对于正概率是严格的，因为-1手动U-Harestricly isotone（c.f.引理2.4）。因此，我们有（4.10）的期望矛盾，因此VHis a ffne，即对于所有F，VH（F）=αF+β∈ X，其中α，β∈ L∞（F） 。此外，因为我们知道VH（x）∈ L∞（H） 对于所有x∈ R∩ X，我们得到α，β实际上是H-可测的。α>0紧跟着Euh，U-1严格等渗。备注4.11。我们的一致性概念是根据多变量ECRM定义的。与Kromer et al.（2014）相反，先验假设多变量CRM为可分解形式ρ=ηo ∧如（3.7）所示，通过要求{ηG，ηH}和{∧G，ρH}的强一致性来定义{ρG，ρH}的“一致性”。注意，这些一致性定义是不等价的，特别是{ηG，ηH}和{∧G，ρH}的强一致性并不意味着{ρG，ρH}的强一致性。Kromer等人（2014）还研究了{ρG，ρH}的强一致性与{ηG，ηH}和{∧G，ρH}的强一致性之间的相互作用。正如推论4.9所示，在法律不变的情况下，这一要求是相当严格的。5一系列条件风险度量的一致性到目前为止，我们只考虑了两个多重CRM的一致性。

在本节中，我们将强相合性的结果推广到多期CRM的族。我们从一些激励性的例子开始。示例5.1（动态风险度量）。如果有人感兴趣的是在时间增长到终端时间T>0的情况下的动态风险度量，可以用一系列的CRM（ρT）T来建模∈[0，T]和过滤（Ft）T∈[0，T]使得ρT:L∞d（英尺）→ L∞（英尺）。在系统性风险度量中，对间隔时间大于时间的变化信息进行条件反射是一个有趣的问题。在这种情况下，如例5.1所示，多元CRM系列不一定通过过滤进行索引。为了进一步说明这一点，我们回顾了F¨ollmer（2014）在单变量框架中引入的空间风险度量的多变量版本。示例5.2（多变量空间风险度量）。设I={1，…，d}表示一组金融机构，设（S，S）为可测空间。各金融机构i∈ 我可能处于某种状态∈ S、 以及Ohm = SI={ω=（ω）i∈一： ωI∈ S} 表示系统的所有可能状态。然后是σ-代数FJonOhm 它是由j在j坐标上的正则投影生成的∈ J描述金融机构子系统内的可观察信息J 一、 最后设P为概率测度o n(Ohm, F） ，其中F：=FI。然后，利用CRMs（ρJ）J族对不同空间信息下的风险演化进行建模一、 其中每个ρJ:L∞d（F）→ L∞（FJ），即ρJis根据子系统J内金融机构的状态信息确定的系统风险。从监管机构的角度来看，以空间信息为条件的系统风险度量有助于识别系统相关结构，即。

在分析问题时，如：“考虑到某一特定机构或机构子集团处于困境，该系统会受到多大影响？”，或者“鉴于系统处于困境，特定机构或机构子集团的弹性如何？”。在例5.2中，空间条件化基于σ-代数，该代数由给定子系统内机构的所有可能状态生成。为了处理前面提到的这类问题，我们可以考虑对空间中更细粒度的信息进行条件反射。例如，在Adrian和Brunnermeier（2011）的系统性风险度量CoVaR精神或Acharya等人（2010）的系统性预期Shor tfall精神中，可以对给定子系统的单一危机事件进行条件化，例如，子系统内的所有公告机构在风险水平上都低于各自的价值。在实施例5.1和实施例5.2中，采用一维信息结构对CRM系列进行索引。然而，在Frittelli和Maggis（2011）中，他们提出了基于一维信息结构的条件确定性等价物，这是由于代理的效用可能随时间而变化的事实：示例5.3（条件确定性等价物）。让(Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P）是一个无自然过滤的概率空间，让ut:R×Ohm → R是一个函数，在第一个参数中严格递增且连续，在第二个参数中可测量所有t∈ R+。假设范围Rt：={ut（x，ω）：x∈ R} 与ω无关∈ Ohm, 那个Rt Rsfor所有s≤ t、 用u表示u的路径逆函数-1t（y）∈ L∞（Ft）全部∈ Rt，其中ut（x）和u-1t（y）是ut（x，·）和u的简写-1t（y，·），分别为。

然后，向后条件确定性等价物由cs给出，t:L∞（英尺）→ L∞（Fs）；F 7级→ Cs，t（F）=-u-1秒EP[ut（F）| Fs].Frittelli和Maggis（2011）提案1.1表明∈ R+，我们有（Ct，T）T族≤这是一致的，即所有的≤ t型≤ TCt，T（F）≥ Ct，T（G）==> Cs，T（F）≥ Cs，T（G）（F，G∈ L∞（英尺））。此外，在空间信息条件的背景下，二维信息结构可能很有意义，例如，可以表示金融系统中局部不同的风险度量政策。示例5.4（当地监管政策）。在示例5.2中，letI={1，…，d}是一个金融机构网络，与不同级别的监管机构相关，监管政策可能不同。例如，把我想象成欧洲金融体系。然后，欧洲当局的监管政策可能与国家层面的政策有所不同，而国家层面的政策又可能与区域政策有所不同。要将这些不同的监管观点纳入空间风险度量的框架，可以考虑一系列CRM（ρJ，K）JK一、 其中，每个ρJ，K:L∞d（FK）→ L∞（FJ）。这里，第一个指数J的含义与示例5.2中的相同，即风险衡量是根据子系统J中的机构状态进行的。第二个指数K确定了子系统K、f中普遍存在的风险管理监管政策类型，或根据欧洲（K=i）、国家、，或区域标准。尽管监管政策可能会因权威级别的不同而有所不同，但这些政策在某种程度上保持一致仍然是可取的，即：。

族（ρJ，K）JK我不仅应该与指数J所暗示的或有信息保持一致，而且应该与指数K所暗示的不同政策保持一致。在下文中，将考虑这个问题。∈I×I:H T}。在下文中，我们用ρH表示，Ta多元CRM映射为L∞d（T）T o L∞（H） 我们考虑了（ρH，T）（H，T）型的标准参考模型族∈E、 为了比较不同信息下两个随机风险因素的风险，我们在本节其余部分假设ρH，T（L∞d（T））=ρH，T（L∞d（T）），对于所有（H，T），（H，T）∈ E、 有时，只考虑E的一个子家族，其中第二σ-代数是固定的，也会很方便。在这种情况下，我们用E（T）表示相应的索引集：={H∈ 一： H类 T}对于T∈ 一、 请注意，示例5.1和示例5.2中讨论的CRM系列的结构包含在该框架中，让I：={F}。定义5.5。一类crm（ρH，T）（H，T）∈对于llG，Eis强烈一致 H T∩ TρH，T（X）≥ ρH，T（Y）==> ρG，T（X）≥ ρG，T（Y），（X∈ L∞（T） ，Y∈ L∞d（T））。可以很容易地检查Frittellian和Maggis（201 1）（参见示例5.3）的条件确定性等价物是否具有强一致性。类似于toLemma 3。2强一致性相当于CRM之间的以下递归关系。引理5.6。

Let（ρH，T）（H，T）∈Ebe系列的CRM，则以下声明等效：（i）（ρH，T）（H，T）∈Eis强一致性；（ii）对于所有G H T∩ 串联X∈ L∞d（T）ρG，T（X）=ρG，Tf-1ρH，TρH，T（X）d.很明显，我们在前面章节中的结果将传递给CRM系列。我们在下文中通过将定理3.12和定理4.5的直截了当扩展到一系列CRM来说明这一点。定理5.7。Let（ρH，T）（H，T）∈Ebe是一系列高度一致的CRM。此外，如果存在T∈ Isuch thatf公司-1ρT，To ρT，T（x）∈ Rx个∈ Rd，（5.1）然后是每个多变量CRMρH，Tof亚家族（ρH，T）H∈具有连续实现ρH，T（·，·）的E（T）可分解为H条件聚合函数∧H，T:L∞d（T）→ L∞（T）和单一CRMηH，T:Im∧H，T→L∞（H） ρH，T=ηH，To ∧H，TandρH，T（X）=ηH，T∧H，T（X）= -∧H，T（X）表示所有X∈ L∞d（H）。此外，对于ρH，T，H∈ 对于存在分解的E（T），相应的条件聚集函数是强一致的。定理5.8。Let（ρH，T）（H，T）∈Ebe是一个CRM系列。此外，假设存在（G，T）∈ E因此(Ohm, T，P）是给定G的条件无原子概率空间(Ohm, G、 P）为原子e ss，ρT：=ρ{,Ohm},这是法律不变的。

然后是亚家族（ρH，T）H∈E（T）是严格一致的当且仅当且仅当每个H∈ E（T）CRMρH，其形式为ρH，T（X）=gH，Tf-1吨EP【uT（X）| H】, 对于所有X∈ L∞d（T），（5.2），其中uT:Rd→ R严格递增且连续，f-1uT：Im fuT→R是fuT的唯一反函数：R→ Rx 7→ uT（x1d）和gH，T:L∞（H）→ L∞（H） 是严格的antitone、H-local、Full fills the Lebe sgue property and 0∈ 特别是对于任何类型（5.2）的CRM，我们有gH，T=fρH，T，其中fρH，在定义2.2中定义。注意，后一个结果是前一节的两个CRM案例的扩展，仅将强一致性用作亚科中元素的成对强一致性（ρH，T）（H，T）∈（ρH，T）（H，T）的E（T）∈E、 但是，Ifi不仅仅包含一个σ-代数，那么定义5.5中给出的强一致性定义也对这些亚科与不同集合E（t）之间的关系有影响∈ 一、 假设2。为了有足够多的亚科，我们假设在本节的其余部分，I=I=：I。命题5.9。Let（ρH，T）（H，T）∈Ebe一个强一致的族，使得（5.2）适用于所有（H，T）∈ E、 那么对于所有的T，T∈ I和H∈ T∩ T、 H类∈ 一、 ρH，T（X）=fρH，Tf-1吨aT，TEP【uT（X）| H】+bH，T，T,式中，T∈ R+\\{0}，bH，T，T∈ L∞（H） 和EP【bH，T，T | G】=所有G的bG，T，T∈ I带G H、 为了证明命题5.9，我们需要一些辅助引理，因此proo f推迟到本节末尾。从命题5.9可以看出，一个ny强一致族（ρH，T）（H，T）∈E（假设2下）基本上是条件确定性等价物的一个f族，如Frittelli和Maggis（2011）：推论5.10。

在命题5.9的情况下，如果aT，T=1，bH，T，T=0，则所有H T∩ t此处H∈ I和T，T∈ 一、 如果ρT，则皮重为所有T的标准常数∈ 一、 然后（ρH，T）（H，T）∈Esatis fiesρH，T（X）=-f-1小时EP【uT（X）| H】, 十、∈ L∞d（T）。（5.3）证明。如果所有H的aT，T=1和bH，T，T=0 T∩ T、 那么ρH，T（X）=fρH，Tf-1吨EP【uT（X）| H】,因此，通过选择T=H，并且由于ρH，His no r对我们得到的常数进行了计算（5.3）。接下来，我们准备命题5.9的证明：引理5.11。让u：Rd→ R是确定性效用，即u是严格递增的连续的，设G和H是F的s次σ-代数，使得G H、 然后内普[u（L∞d（H））| G]=u（L∞d（G））。“证明。””: 显而易见。””: 确定CRMρG:L∞d（H）→ L∞（G） ；X 7→-EP[u（X）| G]。引理2.5表示EP[u（L∞d（H））| G]=-ρG（L∞d（H））=-fρG（L∞（G） ）=EP[u（L∞（G） 1d）| G] EP[u（L∞d（G））| G]=u（L∞d（G））。引理5.12。对于任意T∈ 我让uT：Rd→ R为确定性效用，定义XH：=uT（L∞d（H））所有H∈ E（T）。此外，让pH:XH→ L∞（H） 是这样的函数，即pHis H-local、严格的isotone和Full fills the Lebesgue属性。如果所有G、H∈ E（T）带G H和H原子l e ss表示所有F的Pg（EP[F | G]）=EP[pH（F）| G]∈ XH，（5.4）thenpH（F）=aF+βH，其中a∈ R+\\{0}和βH∈ L∞（H） 因此，EP[βH | G]=βG。注意，（5.4）由引理5.11很好地定义。证据首先，我们考虑G是平凡σ-代数的情况。我们写：=p{Ohm,}. 注意，由于p是一个确定性函数，p（EP[F]）是法律不变性的，因此（5.4）也是EP[pH（F）]。现在假设存在x，y∈ X：=X{Ohm,}pH值（x）- pH（y）6∈ R、 即存在一个c∈ R使得P（pH（x）≤ pH（y）+c）∈ （0，1）。

因为H是无原子空间，我们可以选择A，A，A∈ H，其中P（A）=P（A）：=q>0，使得A {pH（x）≤ pH（y）+c}，A {pH（x）>pH（y）+c}，A：=（A∪ A） C.此外，我们定义：=xA+yA+xA和F：=yA+xA+xA。显然是F，F~ qδy+（1-q） δx，即Fd=F。然而，由于pHis H-局部，我们有EP[pH（F）]+cq=EP[pH（x）A]+EP[（pH（y）+c）A]+EP[pH（x）A]<EP[（pH（y）+c）A]+EP[pH（x）A]+EP[pH（x）A]=EP[pH（F）]+cq，这与F 7的定律不变性相矛盾→ EP[pH（F）]。因此我们得到了pH（x）- pH（y）∈ R代表所有x，y∈ 十、选择arbitraryex∈ X和leta（X）：=pH（X）- pH（ex），x∈ 所以a:X→ R、 定义βH：=pH（ex）∈ L∞（H） ，则pH（x）=a（x）+eβH。函数a是连续的，否则将存在序列（xn）n∈NX带xn→ x个∈ X，但a（xn）6→ a（x）和Lebesgue性质意味着矛盾ph（x）=limn→∞pH（xn）=limn→∞a（xn）+eβH6=a（x）+eβH=pH（x）。让F∈ XH。由于H-可测简单随机向量在L中是稠密的∞d（H），通过xh的定义，存在一系列H-可测单变量（Fn）n∈N XH公司∩ S，Fn=Pkni=1xniAni→ F P-a.s.ThuspH（F）=limn→∞pH（Fn）=limn→∞knXi=1pH（xni）Ani=limn→∞knXi=1a（xni）Ani+eβH=limn→∞aknXi=1xniAni+eβH=limn→∞a（Fn）+eβH=a（F）+eβH。函数XH F 7级→ EP[F]在M上诱导偏好关系：={u：F∈ xH使F~ u}通过u<ν<==> EP【F】≥ EP【G】，F~ u，G~ ν。此外，函数x 7→ p-1（x+E[EβH]）严格增加，且（5.4）EP[F]=p-1（EP[pH（F）]）=p-1.EP【a（F）】+EeβH.因此，EP[a（F）]是<的另一个有效数值表示。众所周知，<的一个数值表示在正a ffinetransformation之前是唯一的（参见F¨ollmer and Schied（2011）定理2.21），即存在▄a，b∈ R、 a>0，使EP[a（F）]=(R)aEP[F]+b，用于所有F∈ XH。

特别是这意味着对于所有x∈ Xa（x）=EP[a（x）]=aEP[x]+b=~ax+b。通过设置b+eβH=：βH∈ L∞（H） 我们得到所有F∈ XHthatpH（F）=a（F）+eβH=～aF+b+eβH=～aF+βH。最后，我们通过（5.4）得出每G 所有F的H和F∈ XGpG（F）=pG（EP[F | G]）=EP[pH（F）| G]=aF+EP[βH | G]，这证明了（βG）G的鞅性质 H、 命题5.9的证明：Let（ρH，T）（H，T）∈Ebe是一个非常一致的家族，如（5.2）适用于所有人（H，T）∈ E、 即ρH，T（X）=fρH，Tf-1吨EP【uT（X）| H】, 对于所有X∈ L∞d（T），我们定义了函数shh，T:uT（L∞d（H））→ L∞（H） ；F 7级→ fρH，To f-1uT（F）和PH，T，T:uT（L∞d（H））→ L∞（H） ；F 7级→ h类-1H，To hH，T（F）。通过强一致性，我们可以获得G H T∩ T、 X个∈ L∞d（T）和F：=EP[uT（X）| H]thatpG，T，T（EP[F | G]）=H-1G，ThG，TEP【EP【uT（X）| H】| G】= h类-1G，T（ρG，T（X））=h-1G，TρG，Tf-1ρH，TρH，T（X）d= EP公司h类-1H，ThH，TEP【uT（X）| H】G= EP[pH，T，T（F）| G]。（5.5）引理5.12（5.5）已满，当且仅当ifpH，T，T（F）=aT，TF+bH，T，T，T，对于所有F∈ uT（L∞d（H）），其中aT，T∈ R+\\{0}，bH，T，T∈ L∞（H） 和EP【bH，T，T | G】=所有G的bG，T，T∈ I带G H、 ThushH，T（F）=hH，T（aT，TF+bH，T，T），F∈ uT（L∞d（H）），这意味着ρH，T（X）=fρH，Tf-1吨aT，TEP【uT（X）| H】+bH，T，T.参考Sacciaio，B.和I.Penner（2011年）。动态风险度量。在J.Di Nunno和B中。Oksendal（编辑），《金融高级数学方法》，第1章。，第11-44页。斯普林格。Acharya，V.、L.Pedersen、T.Philippon和M.Richardson（2010年）。衡量系统风险。SSRN 1573171提供。Adrian，T.和M.K.Brunnermeier（2011年）。科瓦尔。国家经济研究局技术报告。Brunnermeier，M.K.和P.Cheridito（2014年）。衡量和分配系统风险。SSRN 2372472提供。Chen，C.、G.Iyengar和C.C.Moallemi（2013年）。系统风险的公理化方法。管理科学59（6），1373–1388。Cheridito、P.、F.Delbaen和M。

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