强一致多元条件风险测度

2022-5-25 17:03:49

强一致的多元条件风险度量Hannes Ho ffmann*Thilo Meyer Brandis公司*格雷戈·斯文德兰*2018年7月18日摘要我们考虑具有强一致性多元条件风险度量的族。我们表明，在强一致性条件下，这些家族将adecomposition纳入条件聚集函数和一个单变量条件风险度量，如Ho Off mann等人（2016）所述。此外，与F¨ollmer（2014）中的单变量情况类似，我们证明了底层不变性的强一致性意味着多元条件风险度量必然是多元条件确定性等价物。关键词：多元风险度量、系统风险度量、强一致性、系统风险、法律不变性、条件确定性等价物。MSC 2010分类：91B30、91G991简介近年来多元风险度量研究ρ：L∞d（F）→ R、（1.1）在给定的未来时间范围T内，将风险水平ρ（X）关联到随机风险因素的d维向量X=（X，…，Xd）的重要性日益增加。这里，我∞d（F）表示概率空间上d维有界随机向量的空间(Ohm, F、 P），即为了技术上的简单性，我们将分析限制在边界风险因子X上。*德国慕尼黑大学数学系，Theresienstr asse 39，80333慕尼黑。电子邮件：hannes。ho OFF公司mann@math.lmu.de，梅耶-brandis@math.lmu.de还有gregor。svindland@math.lmu.de.A确定性风险度量静态观点（1.1）的自然延伸是考虑允许在不同信息下进行风险度量的条件风险度量。条件多元风险度量是一个映射ρG:L∞d（F）→ L∞（G），（1.2）与d维风险因子关联的G-可测有界随机变量，其中G F是一个次σ代数。我们将ρG（X）解释为给定信息G的X风险。

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2022-5-25 17:03:52

在目前的文献中，条件风险度量主要是在单变量动态风险度量的框架内进行研究的，其中一个调整风险度量以响应随时间推移而显示的信息流。有关单变量dynamicrisk测度的详细概述，请读者参阅Acciaio和Penner（2011）或Tutsch（2007）。研究条件多变量风险度量的一个可能动机是将单变量风险度量扩展到多变量动态风险度量，并研究随着时间的推移出现新信息时系统风险会发生什么的问题。然而，在多变量风险度量的背景下，除了动态条件外，还出现了第二个有趣且重要的条件维度：以空间信息为条件的风险度量，以识别系统相关结构。在这种情况下，G代表子系统状态的示例信息，人们感兴趣的是以下类型的问题：如果系统处于困境，系统的总体风险会受到怎样的影响？或者，考虑到整个系统都处于困境，单个机构的风险会受到怎样的影响？在F¨ollmer（2014）和F¨ollmer及Kl¨uppelberg（2014）中，作者在单变量条件风险度量的背景下分析了这种空间条件，即所谓的空间风险度量。这些问题很重要的另一个应用领域是系统风险度量，它度量金融网络的风险。尤其是Adrian和Brunnermeier（2011）的系统性风险衡量指标CoVaR o或Acharya et a l的系统性预期短缺。

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2022-5-25 17:03:56

（2010）可被视为条件多变量风险度量的示例。在处理条件风险度量系列时，经常强制要求条件风险度量在信息流动方面以某种方式保持一致。特别是，在一元动态风险度量中，通常研究所谓的强一致性；c、 f.D etlefsen和Scandolo（2005）；Cheridito等人（2006年）；Cheriditoand Kupper（20-11）；Kupper和Schachermayer（200 9）；Penner（2007）。具有相应σ-代数的两个单变量条件风险测度ρGandρhw H F称为强一致if，对于所有X，Y∈ L∞（F） ρH（X）≤ ρH（Y）==> ρG（X）≤ ρG（Y），（1.3）即强一致性表明，如果给定信息h，Y的风险高于X，那么该风险偏好在信息较少的情况下也成立。本文旨在研究多变量条件风险测度的强一致性概念。请注意，（1.3）中强一致性的动机和解释在扩展到多重情况时仍然非常有意义。与单变量情况类似，我们因此定义了两个多变量条件风险度量ρ和ρHwithG的强一致性 H F a s in（1.3）对于L中的任何d维风险向量X和Y∞d（F）。作为第一个主要结果，我们证明了强一致多变量条件风险度量的任何家族的成员都必须满足以下条件：ρG（X）=ηG（λG（X）），（1.4），其中ηG:L∞（F）→ L∞（G）是一个单变量条件风险度量，且∧G:L∞d（F）→ L∞（F）是一个（有条件的）聚合函数。

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2022-5-25 17:03:59

这一多元条件风险度量子类对应于这样一种观点，即我们先对风险因素X进行分类，然后再评估聚合值的风险。事实上，多变量条件风险度量的许多突出例子都属于类型（1.4），例如Cont等人（2013）的传染指数或系统风险文献中Brunnermeier和Cheridito（2014）的SystRisk。Chen et al.（2013）是第一个在有限状态空间上公理化描述这种直观的多变量风险度量类型的人，Kromer et al.（2016）将其扩展到了一般Lp空间，而Hoffemann et al.（2016）研究了条件框架。我们还注意到，在Kro mer et a l.（2014）中，作者研究了风险度量随时间的一致性，如（1.4）所示。然而，他们对一致性的定义与我们的定义（1.3）不同，因为他们同时要求基础单变量风险度量和（1.4）中的聚合函数的一致性。我们在这里要求的多元条件风险度量的强一致族在单变量情况下自动满足的一个要求是，它包含一个终端风险度量ρF:L∞d（F）→ L∞（F）信息不足F。这种终端风险度量只不过是风险X组成部分的状态聚合规则∈ L∞d（F）。在单变量情况下，如果X∈ L∞（F），当然不需要聚合。实际上，让终端风险度量对应于身份映射，即。

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2022-5-25 17:04:02

ρF=- 我们有一个单变量风险度量ρgw和G F与ρfbymonoticity非常一致，因此，这种与家族其他风险度量非常一致的终端风险度量的存在没有进一步的限制。然而，在真正多变量的情况下，在完全信息下，也有一条规则可以对维度上的风险进行聚合，这是非常简单的，并且该模型中的风险度量应该与该终端聚合规则一致。如前所述，如果是这种情况，我们会证明家族成员必然是f型（1.4）。事实上，我们表明，通过强一致性，风险度量继承了Ho ffemann等人（2016）提出的终端风险度量的一种称为风险反张力的属性。该属性是本质公理，允许类型（1.4）的分解；见定理3.12。沿着这一结果的路径，我们描述了塔特性的强一致性。众所周知，如Tutsch（2007），对于以常数（ηg（a）=-a所有a∈ L∞（G），强一致性（1.3）等价于以下塔的性质：ρG（X）=ρG- ρH（X）对于所有X∈ L∞（F）。（1.5）在分析强稠度时，执行公式（1.5）通常比（1.3）更有用。然而，公式（1.5）不能以正确的方式扩展到多变量情况。首先，注意（1.5）在多变量情况下没有得到很好的定义，因为ρH（X）不是一个d维随机向量，而是一个随机数。其次，同样在单变量情况下，等效性（1.3）<=> （1.5）仅适用于归一化常数的风险度量，在货币单变量情况下，通过要求此类风险度量满足现金可加性（ηG（X+a）=ηG（X），暗示达到归一化-a）。

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2022-5-25 17:04:05

对于多变量风险度量，既没有现金可加性概念的规范扩展，也不清楚这样的属性是否是可取的。因此，在第一步中，我们推导出了强一致性递归公式（1.5）的推广，该公式不一定适用于现金加性多元风险度量。事实上，在一些典型的规律性假设下，我们的研究结果之一是两个多元条件风险度量ρ和ρhw，其中GH 对于所有X，F是强一致的当且仅当∈ L∞d（F）ρG（X）=ρGf-1ρH（ρH（X））1d, （1.6）其中1d是所有条目均等于1的d维向量，f-1ρHis函数fρ与ρHgiven by fρH:L相关的（定义良好的）逆∞（H）→ L∞（H）；α7→ ρH（α1d）。（1.7）map fρhd描述了系统的风险，其中每个组件都配备了相同数量的（H常数）现金α。注意，如果ρ是一个在常数上归一化的单变量风险度量，那么fρH=- id减去identitymap，（1.6）减为（1.5）。在这个意义上，对于多元风险度量ρH，适用于我们目的的常数归一化属性的推广是要求fρH=- id.此外，我们注意到，通过将ρH（X）：=-f-1ρHo ρH（X）。（1.8）那么ρHis是一个多变量条件风险度量，fρH=- id.在研究了一般多元条件风险测度族的强相合性之后，我们进一步给出了强相合多元条件风险测度的一个特征，它也是条件律不变的。与之前相比，我们不要求在完整信息下的风险度量保持一致，但要求在重要信息下的初始风险度量保持一致{, Ohm}.

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2022-5-25 17:04:09

这些研究是由F¨ollmer（20 14）获得的单变量风险度量结果引发的，其中表明，单变量、强一致性、条件、现金加性、凸性风险度量的唯一家族是条件熵风险度量家族，即条件风险度量是F r mρH（X）=的条件确定性等价物-u-1（EP[u（X）| H]），X∈ L∞（F），具有确定性效用函数u（x）=a+beβxor u（x）=a+bx，其中a∈ Rand b，β>0是常数。我们还注意到，Kupper和Schachermayer（2009）通过一个替代性证明，在动态风险度量的情况下显示了这种特征。在多元情况下，我们将看到，多元条件律不变条件风险度量的每个强一致族都包含ρH（X）=fρH类型的r isk度量f-1uEP【u（X）| H】, 十、∈ L∞d（F），（1.9），其中u:Rd→ R是多元效用函数，fu（x）：=u（x1d），x∈ R、换句话说，它们可以分解为函数fρHin（1.7），应用于多元条件确定性等价物f-1uEP【u（X）| H】. 对于单变量条件确定性等价物及其动态行为的研究，我们请感兴趣的读者参考Fritt elli和Maggis（2011）。此外，我们将从（1.9）中导出分解（1.4），即根据u和fu。论文的结构在第2节中，我们介绍了我们的假设和多元条件风险度量。此外，我们给出了（1.7）中定义的函数fρ的定义和一些辅助结果。在第3节和第4节中，我们证明了上述两个强一致条件风险度量的主要结果，其中第4节研究了法律不变情况。

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2022-5-25 17:04:13

在整个第5节中，我们将这些结果扩展到多阶段条件风险度量的族。2本文的定义和基本结果(Ohm, F、 P）是概率空间。对于d∈ N我们用byL表示∞d（F）：={X=（X，…，Xd）：Xi∈ L∞(Ohm, F、 P）i} F-可测，P-几乎肯定（a.s.）有界随机向量的等价类空间。配备标准kXkd时为aBanach space，∞:= 最大值=1，。。。，dkXik公司∞其中kf k∞:= esssup | F |是F的上确界范数∈ L∞(Ohm, F、 P）。我们将在Rdand L上使用通常的组件方式或派生∞d（F），即x=（x，…，xd）≥ 对于x，y，y=（y，…，yd）∈ Rdif且仅当xi≥ Yi对于所有i=1，d、和similarlyX≥ Y当且仅当Xi≥ YiP-a.s.所有i=1。。。，d、此外，1D和0D分别注意其条目均等于1或均等于0的d维向量。定义2.1。让G F、条件风险度量（CRM）是ρG:L的函数∞d（F）→ L∞（G），具有以下性质：i）存在零风险头寸，即0∈ ImρG.ii）严格反张力：X≥ Y和P（X>Y）>0表示ρG（X）≤ ρG（Y）和PρG（X）<ρG（Y）> 0.iii）G-位置：对于所有A∈ G我们有ρG（XA+YAC）=ρG（X）A+ρG（Y）AC.iv）勒贝格性质：If（Xn）n∈N L∞d（F）是k·kd，∞-有界序列使得Xn→ X P-a.s.，则ρG（X）=limn→∞ρG（Xn）P-a。s、我们注意到，定义2.1中的特性是条件风险度量文献中的标准。请注意，文献中有时也认为严格的反例性具有很强的敏感性。为了强调维度，我们通常将术语单变量条件风险度量用于定义2.1中定义的条件风险度量，d=1，我们通常用ηG表示。对于d>1，风险度量ρGof定义2.1称为多变量条件风险度量。单变量CRM的标准假设是现金可加性，即。

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mingdashike22

2022-5-25 17:04:17

ηG（X+α）=ηG（X）- α代表所有α∈ L∞（G），这尤其意味着我们假设了风险度量ηGon（G）-常数α的某种行为∈ L∞（G）这对一致性的研究很有帮助。由于我们不需要该属性-鉴于多元模拟很难确定，要求可能也不合理-我们将不得不以以下方式提取CRM onconstants的行为。定义2.2。对于每个CRMρGwe，引入函数ρG:L∞（G）→ L∞（G）；α7→ ρG（α1d）和相应的逆函数f-1ρG：Im fρG→ L∞（G）；β7→ α使得fρG（α）=β。备注2.3。ρg的严格反单调性不等于反函数f-1ρGin定义2.2定义良好。确实让β∈ Im fρGandα，α∈L∞（G）使得fρG（α）=β=fρG（α）。假设P（A）>0，其中：={α>α}∈ G、然后通过严格的反张性和G-局域性，我们得到βA+ρG（0d）AC=ρG（αd）A+ρG（0d）AC=ρG（αdA）≤ ρG（αdA）=ρG（αd）A+ρG（0d）AC=βA+ρG（0d）AC，该不等式对正概率严格，这是一个矛盾。因此，P（α>α）=0。对于{α<α}的相同论点产生α=αP-a.s。接下来，我们将证明ρg的性质转移到fρ和f-1ρG.自f域起-1ρg可能只是L的子集∞（G），我们需要调整f的Lebesgue属性的定义-1ρg按以下方式计算：If（βn）n∈N Im fρGis由某个β、β上下界的序列∈ Im fρG，即β≤ βn≤ 所有n的β∈ N、这样βN→ βP-a.s.，然后f-1ρG（βn）→ f-1ρG（β）P-a.s.请注意，如果doma中的∞（G）。fρGor f的“严格反单调性”和“局部性”性质-1ρGare定义类似于定义2.1（ii）和（iii）。引理2.4。设fρ和f-1定义2.2中的ρGbe。

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2022-5-25 17:04:21

然后fρ和f-1ρgarestrilly是一个titone，G-局部，完全填充Lebesgue属性。证据对于fρG，紧接着是ρG的定义和相应性质。关于f的性质-1ρG，我们从证明严格反序开始。Letβ，β∈ Im fρGsuch thatβ≥ β和P（β>β）>0。假设P（A）>0，其中A：=f-1ρG（β）>f-1ρG（β）∈ G、那么βA+fρG（0）AC=fρGf-1ρG（β）A+fρG（0）AC=fρGf-1ρG（β）A≤ fρGf-1ρG（β）A= βA+fρG（0）AC，并且由于fρGis严格反作用，该不等式在正概率集上是严格的。这当然与β相矛盾≥ β。因此f-1ρG（β）≤ f-1ρG（β）。此外，asP（β>β）=PfρGf-1ρG（β）> fρGf-1ρG（β）> 0我们必须有f-1ρG（β）6=f-1ρG（β），正概率，即Pf-1ρG（β）<f-1ρG（β）> 0。现在我们显示f-1ρGis G-局部。Letβ，β∈ Im fρ气井和A∈ G bearbitrary。进一步设αi=f-1ρG（βi），i=1，2，即fρG（αi）=βi。那么我们得到fρG（αA+αAC）=fρG（α）A+fρG（α）AC=βA+βAC。因此f-1ρG（βA+βAC）=αA+αAC。最后，对于Lebesgue性质，让β，β∈ Im fρGand let（βn）n∈N 带β的Im fρGbea序列≤ βn≤ 所有n的β∈ N和βN→ βP-a.s.考虑有界序列βun：=supk≥nβ和βdn：=infk≥nβk，n∈ 几乎肯定单调收敛到β的N，即βun↓ βP-a.s.a和βdn↑ βP-a.s.自β起≤ βun≤ 所有n的β∈ N通过f的反张力-1ρGyields f-1ρG（β）≤ f-1ρG（βun）≤f-1ρG（β），我们观察到f-1ρG（βun）n∈Nis一致有界inL∞（G）。注意，通过同样的论证f-1ρG（βdn）n∈Nandf-1ρG（βn）n∈L中的Nare一致有界∞（G）。接下来我们将展示βun∈ 所有n的Im fρgf∈ N、修复N∈ N和set recursivelyAnn-1： ={βun=β}和Ank：={βun=βk}\\k-1[i=n-1Ani，k≥ n、然后，根据归纳法，Ank∈ G、 k级≥ n- 1、自sup{β，βk:k≥ n} =最大{β，βk:k≥ n} ，我们有Sk公司≥n-1银行Cis a P-nullset。

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2022-5-25 17:04:26

它遵循fρGthatfρGf的fro-mG局域性和Lebesgue性质-1ρG（β）Ann-1+Xk≥nf公司-1ρG（βk）Ank！=βAnn-1+fρGlimm→∞mXk=nf-1ρG（βk）Ank！Sk公司≥nAnk=βAnn-1+limm→∞mXk=nβkAnk+fρG（0）Sk≥mAnk！=βAnn-1+Xk≥nβkAnk=βun，表示βun∈ Im fρG。通过类似的论证，我们得到了βdn∈ Im fρG.回想一下βun↓ βP-a.s.通过f的反张力-1ρg表示序列f-1ρG（βun）n∈Nis异酮，因此α=limn→∞f-L中存在1ρG（βun）∞（G）。根据fρg的反张性和Lebesgue性质，β=limn→∞βun=limn→∞fρGf-1ρG（βun）= fρG（α），因此α=f-1ρG（β）。类似地，我们得到fρG（^α）=β，对于^α=limn→∞f-1ρG（βdn），因此^α=α=f-1ρG（β）。因此，通过f的反单调性-1ρGf-1ρG（β）=limn→∞f-1ρG（βun）≤ lim信息→∞f-1ρG（βn）≤ lim支持→∞f-1ρG（βn）≤ 画→∞f-1ρG（βdn）=f-1ρG（β），so limn→∞f-1ρG（βn）=f-1ρG（β），即f-1ρGhas勒贝格性质。稍后需要进行的一个重要观察是f的域-1ρGis等于ρG的imag e，即f-对于所有X，1ρG（ρG（X））定义良好∈ L∞d（F）。引理2.5。对于CRMρG:L∞d（F）→ L∞（G）它认为ρG（L∞d（F））=FρG（L∞（G））。证据显然，ρG（L∞d（F）） fρG（L∞（G））。对于反向包含，让X∈ L∞d（F）。我们的目的是证明存在α*∈ L∞（G）使得ρG（X）=fρG（α*). （2.1）定义：=α∈ L∞（G）：fρG（α）≥ ρG（X）.像-kXkd，∞d≤ 十、≤ kXkd，∞我们有那个-kXkd，∞∈ P，所以P 6=.此外，P从上方以kXkd为界，∞因为如果A：={α>kXkd，∞} 对于α∈ L∞（G）具有正概率，然后通过G-局部性和严格反tonicyfρG（α）A=fρG（αA）A≤ fρG（kXkd，∞A） A=fρG（kXkd，∞)A.≤ ρG（X）a其中第一个不等式对正概率严格，因此α6∈ P从光泽度来看，P也是向上的。因此，fo rα*:= 这里是一致有界序列（αn）n∈N P使得α*= 画→∞αnP-a.s。；参见F¨ollmer and Schied（2011）定理A.33。

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2022-5-25 17:04:29

因此，α*∈L∞（G） andfρG（α*) = 画→∞fρG（αn）≥ ρG（X），即α*∈ PLetB：={fρG（α*) > ρG（X）}，并注意到Lebesgue性质为b=[n∈N{fρG（α*+ 1/n）>ρG（X）}P-a.s。因此，如果P（B）>0，则对于某些Bn，P（Bn）>0的结果如下：={fρG（α*+ 1/n）>ρG（X）}。请注意，Bn∈ G和α*BCn+（α*+ 1/n）十亿∈ Pby fρG的G-局域性。但这与α的定义相矛盾*. 因此，P（B）=0。有时，从以下意义上规范CRM是有用的：定义2.6。我们称之为CRMρG:L∞d（F）→ L∞（G）常数ρG（α）=-α代表所有α∈ L∞（G）。确实让ρG:L∞d（F）→ L∞（G）成为客户关系管理者并定义ρG：=-f-1ρGo ρG。然后ρGis是一个CRM（引理2.4和引理2.5），在上述常数的归一化意义上进行归一化。我们将ρG称为ρG.3强一致性的标准化CRM。在本节中，我们研究了CRM的一致性。我们考虑了文献中最常用的单变量风险度量的一致性条件，即强一致性，并将其推广到多变量情况。我们参考了Detlefsen和Scandolo（2005年）、Cheridito等人（2006年）、Cheridito和Kupper（2011年）、Kupper和Schachermayer（2009年）以及Penner（2007年），了解关于单变量风险度量强一致性的更多信息。Kromer et al.（2014）还研究了多重风险度量的一种一致性，然而，正如我们将在下面的备注4.11中指出的那样，他们对一致性的定义与我们的方法不同。对于这一部分的剩余部分，我们假设G和H是f的两个子σ-代数，使得G H、设ρG:L∞d（F）→ L∞（G）和ρH:L∞d（F）→ L∞（H）对应的CRM。定义3.1（强一致性）。如果ρH（X），则称对{ρG，ρH}为强相合≤ ρH（Y）=> ρG（X）≤ ρG（Y）（X，Y∈ L∞d（F））。

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2022-5-25 17:04:33

（3.1）高度一致性表明，如果几乎可以肯定的是，在信息较多的所有州，一种风险优先于另一种风险，那么这种偏好已经包含较少的信息。我们的第一个结果表明，强一致性可以通过递归关系式等效定义。引理3.2。等价物为：（i）{ρG，ρH}强相合；（ii）对于所有X∈ L∞d（F）它认为ρG（X）=ρGf-1ρHρH（X）d,其中f-1定义2.2中定义了ρHwas。证据（一）=>（ii）：作为f或a ll X∈ L∞d（F）ρH（X）=ρHf-1ρH（ρH（X））1d,从强相合性来看，ρG（X）=ρGf-1ρH（ρH（X））1d.（二）=>（i）：设X，Y∈ L∞d（F）为ρH（X）≤ ρH（Y）。然后通过反张力-1ρHandρGit fo允许ρG（X）=ρGf-1ρHρH（X）d≤ ρGf-1ρHρH（Y）d= ρG（Y）。备注3.3。设ηGandηHbe为两个单变量CRM，其中ηHis nor化为常数，即ηH（α）=-α代表所有α∈ L∞（H）。那么fηH（α）=f-1ηH（α）=-α和强稠度等价于t oηG（F）=ηG- ηH（F）, F∈ L∞（F）。备注3.4。如果{ρG，ρH}是强一致的，则定义2.6中定义的一对归一化标准参考值{ρG，ρH}也是强一致的，反之亦然。因为f′ρG=f′ρH=- i标准化CRM的强一致性相当于‘ρG（F）=‘ρG- (R)ρH（F）1d, F∈ L∞（F），类似于备注3.3。在下面的引理中，我们将证明{ρG，ρH}的强一致性唯一地决定了归一化的CRM'ρH引理3.5。如果{ρG，ρH}是非常一致的，那么ρgunique确定标准化CRM'ρH=-f-1ρHo ρH.证明。假设有两个关于ρG强一致的标准差ρHandρh，即ρGf-1ρHρH（X）d= ρG（X）=ρGf-1ρHρH（X）d, 十、∈ L∞d（F）。我们将显示f-1ρH（ρH（X））=f-1ρH（ρH（X））。假设存在anX∈ L∞d（F）这样的that A：=nf-1ρH（ρH（X））>f-1ρH（ρH（X））o∈ H具有正可能性。

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2022-5-25 17:04:38

然后，通过ρHandρH的H-局部性，我们得到ρG（XA）=ρGf-1ρHρH（XA）d= ρGf-1ρHρH（X）广告≤ ρGf-1ρHρH（X）广告= ρGf-1ρHρH（XA）d= ρG（XA）。（3.2）其中不等式（3.2）严格以正概率作为ρGis严格antitone，因此我们有一个矛盾。还原ρHandρhin的角色A的定义证明了引理。在Hoffemann等人（2016）中，我们研究了在何种条件下（多变量）条件风险度量可以如（1.4）所示分解，即分解为条件聚集函数和单变量条件风险度量。我们将证明{ρG，ρF}的强一致性已经足以保证ρ和ρF的组成（1.4）。为此，我们需要澄清条件聚集函数的含义：定义3.6。我们称函数∧：L∞d（F）→ L∞（F）如果条件聚集函数满足以下特性：严格等渗性：X≥ Y和P（X>Y）>0表示∧（X）≥ ∧（Y）和P∧（X）>∧（Y）> 0。F-局部性：∧（XA+YAC）=∧（X）A+所有A的∧（Y）AC∈ FLebesgue性质：对于任何一致有界序列（Xn）n∈Nin L公司∞d（F）使Xn→ X P-a.s.，我们有∧（X）=limn→∞∧（Xn）P-a.s.此外，对于H F、如果在∧（l）中加上∧，我们称∧为H条件聚集函数∞d（J）） L∞（J）对于所有H J F、备注3.7。H-条件聚合函数的名称是指∧（x）∈ L∞（H）对于所有x∈ 因此，每个条件聚合函数至少是一个F条件聚合函数。对于条件风险度量，我们定义为：定义3.8。对于条件聚集函数∧：L∞d（F）→ L∞（F） letf∧：L∞（F）→ L∞（F）；F 7级→ ∧（F 1d）和F-1∧：Im f∧→ L∞（F）；G 7→ F∧（F）=G引理3.9。

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何人来此

2022-5-25 17:04:41

Let∧：L∞d（F）→ L∞（F）是条件聚合函数。然后f∧和f-1∧是严格的等通、F-局部和完全的Lebesgue性质。此外，∧（L∞d（F））=F∧（L∞（F））和∧（X）=∧f-1∧（λ（X））1d对于所有X∈L∞d（F）。f的充分性-1∧如下备注2.3所示。此外，引理3.9的pro类似于引理2.4和引理2.5的证明，因此在此省略。为了说明强一致性CRM的分解结果，我们首先回顾Ho ffemann等人（2016）的ma-In结果，该结果适用于提案3.11中本论文的框架，我们需要以下定义。定义3.10。我们说一个函数ρG:L∞d（F）→ L∞（G）如果对于所有X，则为连续实现ρG（·，·）∈ L∞d（F）存在一个等价类ρG（X）的代表ρG（X，·），使得eρG:Rd×Ohm → R（x，ω）7→ ρG（x，ω）在其第一个参数P-a.s.命题3.11中是连续的。设ρG:L∞d（F）→ L∞（G）作为一个CRM，假设存在一个满足风险反张力的连续实现ρG（·，·），即ρG（X（ω），ω）≥ eρG（Y（ω），ω）P-a.s.，表示ρG（X）≥ ρG（Y）。然后存在一个G条件聚集函数∧G:l∞d（F）→ L∞（F）一元CRMηG:Im∧G→ L∞（G）使得ρG（X）=ηG（λG（X）），对于所有X∈ L∞d（F）和ηG（λG（X））=-∧G（X）表示所有X∈ L∞d（G）。（3.3）这种分解是唯一的。证据自ρGis antitone起，Rd x 7→ ρG（x）是反酮。Ho ffemann等人（2016年）定理2中已经证明了这一点。10该性质与ρGHA是一个连续实现这一事实相结合，它完全有可能对函数∧G:L的存在和唯一性产生反单调性问题∞d（F）→ L∞（F）这是一个等通函数，F-局部函数，完全满足勒贝格性质和函数ηG:Im∧G→ L∞（G）这是一个反音，ρG=ηGo ∧GandηG∧G（x）= -∧G（x）表示所有x∈ Rd.（3.4）注意，在Ho ffemann等人的定理2.10的证明中。

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2022-5-25 17:04:45

（2016）通过设置∧G（X）（ω）=-eρG（X（ω），ω），这意味着∧gis必然是F-局部的，尽管本文中没有直接提到这一点。事实上，在Ho Off mann等人（2016年）中，我们根本没有要求或提及位置。有待证明的是∧Gis是G-条件聚集函数，ηGisa是Im∧G上的单变量CRM，（3.3）成立。首先，我们证明了Flocality和（3.4）意味着（3.3）。为此，用S表示F-可测简单随机向量集，即X∈ S如果X的形式为X=Pki=1xiAi，其中k∈ N、 xi∈ Rdand Ai∈ F、 i=1。。。，k、重新不相交集，使得P（Ai）>0且P（Ski=1Ai）=1。现在让X∈ L∞d（G）。拾取一致有界序列（Xn）n∈N个=Pkni=1xniAnin∈N 因此Ani∈ G对于所有i=1，千牛，牛∈ N、和Xn→ X P-a.s.然后通过（3.4），F-局部性和∧GandρGwe的Lebesgue性质推断-∧G（X）=- 画→∞∧G（Xn）=limn→∞knXi=1-∧G（xni）Ani=limn→∞knXi=1ρG（xni）Ani=limn→∞ρG（Xn）=ρG（X），这证明了（3.3）。接下来，我们证明∧Gis是G-条件聚集函数。但需要验证的缺失属性是严格的反单调性和∧Gis G-条件。后者摘自Ho Off mann et al.（2016）L emma 3.1。对于严格反张性，设X，Y∈ L∞d（F）带X≥ 这样P（X>Y）>0。然后根据∧Gwe的等渗性得到∧G（X）≥ ∧G（Y）。假设∧G（X）=∧G（Y）P-a.s.，那么ρG（X）=ηG（λG（X））=ηG（λG（Y））=ρG（Y），这与ρG的严格反张性相矛盾。因此∧Gful填充了aG条件聚集函数的所有性质。对于f或ηG，注意引理3.9对于所有f∈ Im∧Gwe有ηG（F）=ηG∧Gf-1∧G（F）1d= ρGf-1∧G（F）1d, （3.5）其中f-1∧定义3.8中定义的GWA。自ρGand f起-1∧Gare严格单调，G-局部，完全满足勒贝格性质，ηG也是如此，即ηGis是唯一的CRMon Im∧G。定理3.12。

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mingdashike22

2022-5-25 17:04:48

设ρG:L∞d（F）→ L∞（G）和ρF:L∞d（F）→ L∞（F）请注意{ρG，ρF}是强一致的。此外，假设f-1ρFo ρF（x）∈ R代表所有x∈ Rd.（3.6）如果ρGhas连续实现ρG（·，·），则存在一个G-条件聚集函数∧G:L∞d（F）→ L∞（F）一元CRMηG:Im∧G→L∞（G） ρG（X）=ηG∧G（X）对于所有X∈ L∞d（F）（3.7）和ηG∧G（X）= -∧G（X）表示所有X∈ L∞d（G）。设∧F：=-ρFandηF：=- 使ρF=ηFo 对于F-条件聚集函数∧F和单变量CRMηF，则∧F（X）≤ ∧F（Y）==> ∧G（X）≤ ∧G（Y）（X，Y∈ L∞d（F）），（3.8），即∧和∧非常一致。相反，假设CRMρG:L∞d（F）→ L∞（G）满足（3.7），则{ρG，ρF}在ρF=-∧Gis a CRM。我们注意到，在定理3.12中，我们需要对{ρG，ρF}的一致性，其中ρFis是给定完整信息F的CRM。请注意，ρFis（除符号外）只是定义3中定义的条件聚集函数。因此ρGis要求在全信息条件下与某些聚集函数保持一致。这也解释了∧F。对于d=1，这种一致性是由单调性自动决定的（聚合只是恒等函数），显然，断言是微不足道的。对于更高维度，定理3.12指出，如果存在与ρG一致的聚集函数，则ρGis自动为（3.7）型。显然，如果我们已经知道（3.7）保持不变，那么ρGis与ρF=-∧G。

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2022-5-25 17:04:52

与完整信息下的聚合保持一致是一个非常自然的要求，因为即使在完整信息下，因此没有风险，通常损失仍需要以某种方式聚合，因此信息较少的任何CRM都应遵守此聚合。另请注意，条件（3.6）是标准化常数的略微加强，后者通过标准化f的定义自动满足-1ρFo ρF；见上文。定理3.12的以下pro基于两个观察结果：ρf命题3.11中定义的必然风险对酮。内部的强一致性意味着ρFis的风险反单调性（向后）传递给ρG，因此命题3.11适用。定理3.12的证明：如果我们已经知道（3.7）成立，那么通过ηGit的反单调性，可以得出{ρG，-∧G}是强一致的，并且-∧G:L∞d（F）→ L∞（F）也是一个CRM。从而证明了定理3.12的最后一个断言。为了展示定理3.12的第一部分，我们回顾，为了应用命题3.11，唯一有待展示的属性是ρG的风险反单调性：为此，我们首先考虑简单随机向量x，Y∈ S，其中S在命题3.11的证明中定义。请注意，假设X=Pni=1xiAi，则不会失去一般性∈ S和Y=Pni=1yiAi∈ S、即分区（Ai）i=1，。。。，nof公司Ohm 对于X和Y是相同的。假设eρG（X（ω），ω）≥ eρG（Y（ω），ω）P-a.s.因此eρG（xi，ω）≥ eρG（yi，ω）表示所有ω∈ Ai\\N，i=1。。。，n、其中n是P-空集。我们声称这意味着-1ρGρG（xi）≤ f-1ρGρG（yi）对于所有i=1。。。，n、（3.9）为了验证这一点，我们首先注意到，由于ρ和ρ表现出强烈的一致性，并且通过（3.6）我们得到了所有x∈ Rdthatf公司-1ρGρG（x）= f-1ρGρGf-1ρFρF（x）d= f-1ρFρF（x）∈ R

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2022-5-25 17:04:56

（3.10）这里我们还使用了归一化-f-1ρGo ρGis在常数上归一化。换句话说，f-1ρGρG（xi）和f-1ρGρG（yi）是实数。接下来我们定义：={ω∈ Ohm | eρG（xi，ω）≥ eρG（yi，ω）}∈ G.然后（Ai\\N）对于所有i=1，…，Biand-henceP（Bi）>0。。。，n、利用f的反单调性和G-局部性-1ρGwe obta inf-1ρGρG（xi）Bi=f-1ρGρG（xi）BiBi公司≤ f-1ρGρG（yi）BiBi=f-1ρGρG（yi）Bi。作为f-1ρGρG（yi）确实是实数，（3.9）如下。现在通过{ρG，ρF}的强相合性，ρFand F的F-局部性-1ρF和by（3.10）以及ρG（X）=ρG中ρGwe obta的熵f-1ρFρF（X）d= ρGnXi=1f-1ρFρF（xi）援助！=ρGnXi=1f-1ρGρG（xi）帮助≥ ρGnXi=1f-1ρGρG（yi）援助！=ρG（Y），它证明了简单随机向量X，Y的风险反单调性∈ S、对于generalX，Y∈ L∞d（F）和eρG（X（ω），ω）≥ P-a.e.ω的eρG（Y（ω），ω）∈ Ohm 我们可以找到有界序列（Xn）n∈N、（Yn）N∈N 因此，对于n，XnX andYnY P-a.S→ ∞. 然后通过反张力ρG（Xn（ω），ω）≥ eρG（X（ω），ω）≥ eρG（Y（ω），ω）≥ 对于P-a.s，eρG（Yn（ω），ω）。因此，ρG（Xn）≥ ρG（Yn）和ρGyieldρG（X）=limn的Lebegue性质→∞ρG（Xn）≥ 画→∞ρG（Yn）=ρG（Y）。因此，ρGis风险对抗，我们应用命题3.11。因此，存在一个G条件聚集函数∧G:L∞d（F）→ L∞（F）一元CRMηG:Im∧G→ L∞（G） ρG=ηGo ∧GandηG∧G（X）= -∧G（X）表示所有X∈ L∞d（G）。设X，Y∈ L∞d（F）这样的that∧F（X）=-ρF（X）≤ -ρF（Y）=∧F（Y）和let（Xn）n∈N S和（Yn）n∈N S是一致有界序列，例如n的XnX和YnY P-a.S→ ∞ . 同样，假设给定n的x和yn∈ N在同一部分上定义，即Xn=Pkni=1xnianian和Yn=Pkni=1xnianian。

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2022-5-25 17:05:00

通过ρFit的F-局部性和反单调性，可以得出∈ NknXi=1ρF（xni）Ani≥ ρF（X）≥ ρF（Y）≥knXi=1ρF（yni）Ani。作为f-1ρFoρF（xni）和F-1ρFo根据假设（3.6），ρF（yni）是实数，如上计算所示，F-1ρFo ρF（xni）≤ f-1ρFo ρF（yni）在Ani上，我们得到，如上所述-1ρFo ρF（xni）≤ f-1ρFo ρF（yni），i=1，千牛。Nowstrong一致性和（3.3）意味着-∧G（xni）=ρG（xni）=ρG（f-1ρFo ρF（xni））≥ ρG（f-1ρFo ρF（yni））=ρG（yni）=-∧G（yni），因此通过∧G∧G（Xn）=knXi=1∧G（xni）Ani的G-局部性≤knXi=1∧G（yni）Ani=∧G（Yn）。最后，我们用L-ebesgue性质得出结论：∧G（X）=limn→∞∧G（Xn）≤ 画→∞∧G（Yn）=∧G（Y）。备注3.13。从引理3.9可知，反函数f-1∧Gof∧吉西索通且∧G（X）=∧Gf-1∧G∧G（X））1d对于所有X∈ L∞d（F）。因此，可以如引理3.2所示，（3.8）相当于tof-1∧G∧G（X）= f-1∧F∧F（X）, 对于所有X∈ L∞d（F）。注意，我们无法编写上述两个CRMρ和ρFas的强一致性的递归形式，因为fρGis仅定义在L上∞（G）而不是在L上∞（F）与F∧G相反，在以下定理中，我们总结了我们从CRMs上的命题3.11和定理3.12得出的结论，这扩展了Hoffemann等人（2016）的结果，以获得强一致性：定理3.14。如果ρG:L∞d（F）→ L∞（G）是一个连续实现ρG（·，·）且满足-1ρGo ρG（x）∈ R代表所有x∈ Rd，则以下三种说法是等价的（i）ρG（·，·）是风险-反酮；（ii）ρGis可分解，如（3.7）所示；（iii）具有某种聚集函数∧：L的ρGis stron-gly-con s i支架∞d（F）→L∞（F），即{ρG，-∧}是强一致的。证据定理3.12显示了（ii）和（iii）的等价性，（i）意味着（ii）遵循Pro位置3.11。

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2022-5-25 17:05:03

最后，定理3.12的证明表明（iii）意味着（i）。4条件定律不变性和强一致性在上一节中，如果没有另外说明，在本节中，G和H是F的两个子σ-代数，使得G H、设ρG:L∞d（F）→L∞（G）和ρH:L∞d（F）→ L∞（H）是相应的CRM。定义4.1。当X，Y的G-条件分布uX（·| G）和uY（·| G）时，如果ρG（X）=ρG（Y），则CRMρGis条件定律不变∈ L∞d（F）相等，即如果P（X∈ A | G）=P（Y∈ A | G）适用于所有钻孔∈ B（Rd）。如果G={, Ohm} 是平凡的，ρGis的条件律不变性也参考了aslaw不变性。在定律不变的情况下，我们通常需要对基本概率空间进行更多的正则化(Ohm, F、 P）：定义4.2。我们这么说(Ohm, F、 P）无原子，如果(Ohm, F、 P）支持连续分布的随机om变量；条件无原子给定H F、如果(Ohm, F、 P）支持一个连续分布的随机变量，该随机变量依赖于H。下一个引理表明，条件律不变性通过强一致性从ρG（前向）传递到ρhb。该证明基于F¨ollmer（2014）。引理4.3。如果{ρG，ρH}是强相合的且ρGis是条件律不变的，那么ρHis也是条件律不变的。证据设X，Y∈ L∞（F）使得uX（·| H）=uY（·| H），并让A：={ρH（X）>ρH（Y）}∈ H、然后，随机变量XA和YA具有与给定G相同的条件分布，与ρG中的ρHwe obta具有条件律不变性，并且与ρG中的ρHwe obta强一致f-1ρHρH（X）A+ρH（0d）ACd= ρG（XA）=ρG（YA）=ρGf-1ρHρH（Y）A+ρH（0d）ACd.另一方面，通过ρGand f的严格反单调性-1ρHρGf-1ρHρH（X）A+ρH（0d）ACd≥ ρGf-1ρHρH（Y）A+ρH（0d）ACd,当P（A）>0时，该不等式对正概率是严格的。

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2022-5-25 17:05:06

因此，A必须是P-空集，并且在定义A时交换X和Y表明ρH（X）=ρH（Y）。虽然在定理3.12中，我们必须要求强一致对{ρG，ρH}满足H=F，但在本节中，我们在某种意义上要求相反的极端，即G={, Ohm} 当H F、假设1。对于本节的其余部分，我们假设G={, Ohm}. 对于隐式，我们将写出ρ：=ρG=ρ{,Ohm}.引理4.4。设{ρ，ρH}是强相合的，并假设ρ是定律不变的（因此ρHis的条件l是引理4.3的w-不变）。如果(Ohm, H、 P）是无原子概率空间，X∈ L∞d（F）是H的独立项，thenf-1ρHρH（X）= f-1ρρ（X）.引理4.4的证明改编自Kupper和Schachermayer（2009）。证据我们区分三种情况：o假设f-1ρHρH（X）≤ f-1ρρ（X）严格地说，更小，具有正可能性。然后通过强稠度f-1ρρ（X）= f-1ρρf-1ρHρH（X）d< f-1ρρf-1ρρ（X）d= f-1ρρ（X）,ρ的严格反单调性，这是一个矛盾类似地，它得出结论，f不可能-1ρHρH（X）≥ f-1ρρ（X）和P（f-1ρHρH（X）> f-1ρρ（X）) > 0.o存在A、B∈ H使得P（A）=P（B）>0和f-1ρHρH（X）> f-1ρρ（X）在A和f上-1ρHρH（X）< f-1ρρ（X）在B上，我们得到了a n的任意m=a1dwhere a∈ R t hatρ（XA+mAC）=ρf-1ρHρH（XA+mAC）d= ρf-1ρHρH（X）Ad+mAC< ρf-1ρρ（X）Ad+mAC（4.1）和类似的ρ（XB+mBC）>ρf-1ρρ（X）Bd+mBC. （4.2）然而，由于X与H无关，随机向量XA+mAC在P下的分布与XB+mBC相同。请注意，还有f-1ρρ（X）A+aAC和f-1ρρ（X）B+aBC在P下具有相同的分布。因此，由于ρ是定律不变的，（4.1）和（4.2）产生矛盾。现在，我们可以将F¨ollmer（2014）的表示结果扩展到多变量CRM。定理4.5。让(Ohm, H、 P）无原子，让(Ohm, F、 P）在给定H的条件下无原子。

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2022-5-25 17:05:09

假设ρi s定律不变。那么，{ρ，ρH}是强相合的i f，并且只有当ρ和ρ的形式ρ（X）=gf-1uEP【u（X）】对于所有X∈ L∞d（F）（4.3）和ρH（X）=gHf-1uEP【u（X）| H】对于所有X∈ L∞d（F）（4.4），其中u:Rd→ R严格递增且连续，f-1u：Im fu→ R是U的反向函数：R→ Rx 7→ u（x1d）和g:R→ R和gH:L∞（H）→ L∞（H）一个完全相反的完整Lebesgue属性，0∈ Im g公司∩ Im gH和gHis H-本地。特别是，对于任何类型（4.3）（或（4.4））的CRM，我们有g=fρ（gH=fρH），其中fρ和fρ在定义2.2中定义。通用函数u:Rd→ （4.3）和（4.4）中出现的R可以看作是一个多效用，其中u严格增加意味着x，y∈ Rdwithx≥ y和x 6=y表示u（x）>u（y）。So f-1uEP【u（·）】和f-1uEP【u（·）| H】是（有条件的）确定性等价物——在单变量情况下（d=1），我们显然有f-1u=u-因此，如果ρ和/或ρHin定理4.5在常数上归一化（因此fρ≡ - id或fρH≡ - id），然后ρ和/或ρHequal（负）确定等价。但（4.3）和（4.4）也包括其他重要的风险度量类别。例如，如果fρ=-f或fρH=-fu，则ρH（X）=-EP[u（X）]是一个多元期望效用，而ρH（X）=-EP[u（X）| H]是一个多元条件期望效用。证据对于定理的最后一个断言，请注意，由于u是一个确定性函数，我们有α∈ L∞（H） thatfρH（α）=ρH（α1d）=gHf-1uEP[u（α1d）| H]= 生长激素f-1ufu（α）= gH（α）并分析得出fρ≡ g、接下来，我们证明定理的第一个陈述的有效性：设ρHandρ如（4.4）和（4.3）所示。很容易验证ρ和ρ是（有条件的）法律不变的标准差分格式。

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2022-5-25 17:05:13

此外，由于f-1是严格递增的，GH是严格的antitone和H-local，我们对每个X，Y∈ L∞d（F）和ρH（X）≥ ρH（Y）thatEP[u（X）| H]≤ EP[u（Y）| H]。但这意味着EP[u（X）]≤ EP【u（Y）】，因此ρ（X）≥ ρ（Y），即{ρ，ρH}是强一致的。现在，我们在定理的第一个陈述中证明了必要性：我们在下面假设ρ和ρHare在常数上标准化，并遵循F¨ollmer（2014）定理3.4的方法。这个想法是引入一个优先顺序关于多变量分布u，νon（Rd，B（Rd）），有界支撑由u给出 ν<==> ρ（X）>ρ（Y），带X~ u和Y~ ν。这里B（Rd）表示rdx上的Borelσ代数~ u表示X的分布∈ L∞P下的d（F）为u。众所周知，如果这个优先顺序完全满足一组条件，那么就存在一个冯·诺依曼-摩根斯坦表示，即u ν<==>Zu（x）u（dx）<Zu（x）ν（dx），（4.5），其中u:Rd→ R是一个连续函数。保证（4.5）的充分条件是是连续的，完全符合独立公理；参见F¨ollmerand Schied（2011）Coro llary 2.28。我们参考F¨ollmer和Schied（2011）对优先顺序和上述属性的定义和全面讨论。假设我们已经证明了（4.5）。注意，ρ的严格反张性意味着δx δy任何时候x，y∈ RDX满足≥ yand x 6=y。

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2022-5-25 17:05:16

因此，u（x）=Ru（s）δx（ds）>Ru（s）δy（ds）=u（y），我们得出结论，u必然如所声称的那样严格增加。现在我们证明（4.5）：连续性的证明完全符合F¨ollmer（2014）定理3.4中的相应证明，因此我们在此省略它。关键特性是独立性公理，该公理指出，对于任意三个分布u，ν，θ，u ν和所有λ∈ （0，1），我们有λu+（1- λ） θ λν+（1- λ） θ。自(Ohm, F、 P）无条件无原子给定H，我们可以找到X，Y，Z∈ L∞d（F）独立于H，因此X~ u，Y~ ν和Z~ θ。此外，由于(Ohm, H、 P）无原子，我们可以找到A∈ H，P（A）=λ。很容易看出XA+ZAC~ λu+（1-λ） θ和YA+ZAC~ λν+（1-λ） θ。此外，由于u ν、我们有ρ（X）≥ ρ（Y）。由于{ρ，ρH}是强相合的，并且ρ是定律不变的，我们从引理4.3知道ρHis条件定律不变。这确保了我们可以将引理4.4应用于独立于H的Random向量X和Y。因此，通过H-ρ的局部性，手动重新校准标记3.4ρ（XA+ZAC）=ρ(-ρH（XA+ZAC）1d）=ρ(-ρH（X）Ad- ρH（Z）ACd）=ρ(-ρ（X）Ad- ρH（Z）AC 1d）≥ ρ(-ρ（Y）Ad- ρH（Z）AC 1d）=ρ（YA+ZAC），相当于λu+（1- λ） θ λν+（1- λ） θ。因此，存在具有连续且严格递增效用函数u:Rd的avon Neumann-Morgenstern代表（4.5）→ R、在下一步中，我们定义fu:R→ Rx 7→ u（x1d）。那么fu是严格递增且连续的，因此f-1存在。设u是（Rd，B（Rd））上有界支撑a和X的一个径向分布~ u。

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2022-5-25 17:05:21

然后ρkXkd，∞d≤ ρ（X）≤ ρ- kXkd，∞d和hencefu(-kXkd，∞) =Zu（x）δ-kXkd，∞d（dx）≤Zu（x）u（dx）≤Zu（x）δkXkd，∞d（dx）=fu（kXkd，∞).中间值定理现在意味着常数c（u）的存在∈ Rsuch thatfu公司c（u）=Zu（x）u（dx）<==> c（u）=f-1uZu（x）u（dx）.最后，由于δc（u）1d≈ u，我们有ρ（X）=ρc（u）1d= -c（u）=-f-1uZu（x）u（dx）= -f-1uEP【u（X）】.因此，我们证明了（4.3）（用g≡ - id）。定义ψH（X）：=-f-1uEP【u（X）| H】, 十、∈ L∞d（F），那么我们在证明的第一部分中看到，ψHis是一个与ρ非常一致的CRM。此外，ψHis在常数上归一化。因此，引理3.5得出ρH=ψH。如果ρ和/或ρ没有标准化的常变量，则考虑标准化的CRM-f-1ρo ρ和-f-1ρHo 定义2.6后引入ρ，结果如下ρ=fρo- (-f-1ρo ρ）ρH=fρHo- (-f-1ρHo ρH）, i、例如，g=fρ，gH=fρH。回忆定理3。12其中，我们证明，如果多元CRMρhis以前瞻性的方式与聚合ρFunder fullinformation F（和ρFful fills（3.6））强一致，则多元CRM可以如（3.7）所示进行分解。下面的定理4.6表明，通过要求ρHin的强一致性（向后看）与ρ给定的平凡信息，我们还可以在定律不变性下获得这样的adecomposition（3.7{, Ohm}.当陈述定理4.6时，我们需要fρHto L的一个推广∞（F）：假设进程R a 7→ fρH（a）允许连续实现。由于ρHis严格是一个整体和H-局部的事实，我们可以找到ρH（·，·）的一个可能的微分，使得efρH:R×Ohm → R：x 7→ 对于所有ω，fρH（x，ω）在第一个参数中是连续且严格递减的∈ Ohm. 请注意，存在一个定义完整的反转EEF-对于所有ω，fρH（·，ω）的1ρH（·，ω）∈ Ohm.

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2022-5-25 17:05:26

现在定义函数fρH:L∞（F）→ L∞（F）；F 7级→efρH（F（ω），ω）（4.6）和'F-1ρH:Im'fρH→ L∞（F）；F 7级→ef公司-1ρH（F（ω），ω），其中我们使用标准的滥用符号识别随机变量FρH（F（ω），ω）oref-1ρH（F（ω），ω）及其在L中生成的等价类∞（F）。通过构造“fρhw”，我们得到了“fρH（L∞（J）） L∞（J）对于所有σ-代数J，使得σ（fρH（a，·），a∈ R） J F、 c.F.Ho Off mann等人（2016）引理3.1。通过定义，fρHis也是f-局部的，并且由于R的连续性，具有勒贝格性质 a 7→efρH（a，ω）。此外，H-局部性和连续性也意味着，对于所有X，fρH（X）=fρH（X∈ H（simplerandom变量近似），因此'fρHis确实是fρHto L的扩展∞（F）。定理4.6。在与定理4.5相同的条件下，让{ρ，ρH}最好地一致。那么ρ可以分解为ρ=ηo ∧，其中∧：L∞d（F）→ L∞（F）；X 7→ -fρf-1u（u（X））是一个{ , Ohm}-条件聚集函数，η：Im∧→ RF 7级→ -U-1（EP[U（F）]）是由（确定性）效用U:Imρ给出的la-w-不变单变量确定性等价物→ Ra 7→ 傅f-1ρ(-（a）这是严格地递增和连续的。

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2022-5-25 17:05:29

此处u:Rd→ R是定理4.5中的多变量函数。如果函数R a 7→ fρH（a）具有连续实现，则ρH可分解为ρH=ηHo ∧H，ηH（λH（X））=-∧H（X），对于所有X∈ L∞d（H），其中∧H:L∞d（F）→ L∞（F）；X 7→ -\'fρH（f-1u（u（X）））是σ（fρH（a，·）：a∈ R）条件聚集函数（fρH（a，·）表示严格递增路径中的连续实现）；oηH:Im∧H→ L∞（H）；F 7级→ -U-1H（EP[UH（F）| H）]是一个单变量条件确定性等价物；o随机效用UH:Im∧H→ L∞（F）；F 7级→ 傅\'\'f-1ρH(-F）isstrictly isotone，F-local，ful fill s Lebesgue property and U-1H（Im UH∩L∞（H）（） L∞（H）（4.6）中给出了fρHis。而且，它是这样的o ∧H=u=uo ∧（4.7）是确定性的，与所选信息H或{Ohm, }.最后我们不得不-1∧Ho ∧H=f-1uo u=f-1∧o 如（3.8）所述，∧，即∧，H}是强一致的。证据根据定理4.5，我们得到ρH（X）=fρHf-1u（EP[u（X）| H]）=\'fρHf-1uEP公司傅\'\'f-1ρH\'fρHf-1u（u（X））H,其中u和fu在定理4.5中给出。因此，回顾UH、ηH和∧H的定义，我们得到ρH=ηHo∧H。可以很容易地看出Uh和U-1H，因此也是∧H，是F-局部的，严格的等距，完全符合勒贝格性质。As'fρH（L∞（J）） L∞（J）对于所有σ-代数J，使得σ（fρH（a，ω）：a∈ R）J F、这同样适用于∧H=-\'fρHo f-1uo 我们得出结论∧His aσ（fρH（a，ω）：a∈ R） -条件聚合函数。

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