金融的概率方面 - 外文文献专区

2022-5-5 00:34:50

伯努利19（4），2013，1306–13 26DOI:10.3150/12-BEJSP05德国柏林10099洪堡大学金融学教授奥利默尔和亚历山大·希丁研究所的概率论。电子邮件：foellmer@math.hu-柏林。德国曼海姆大学数学研究所，曼海姆，68131。电子邮件：schied@uni-曼海姆。在过去几十年中，先进的概率方法对金融领域产生了重大影响，无论是在学术界还是在金融行业。相反，金融问题刺激了概率领域的新研究方向。在这篇调查论文中，我们回顾了其中的一些发展，并指出了一些可能值得进一步调查的领域。我们首先回顾了套利定价理论的基础知识，特别强调了不完全市场，以及“现实世界”概率测度及其等价的可干预测度所起的不同作用。然后我们关注模型模糊性的问题，也被称为奈特不确定性。我们介绍了两个案例研究，其中可以用数学术语处理奈特不确定性。第一个案例研究涉及衍生工具的套期保值，如严格意义上的方差互换。第二个涉及凸性和一致性风险度量所规定的资本要求和偏好。在最后两部分中，我们讨论了现代金融市场中算法交易急剧增加所产生的数学问题。关键词：算法交易；套利定价理论；一致性风险度量；凸度量；套期保值；不完全市场；骑士式的不确定性；市场影响模型；模型不确定性；风险的货币计量；这是一种可悲的微积分；价格影响；超边缘；方差swap1。

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2022-5-5 00:34:53

60年代中期，人们开始在学术融资的背景下系统地使用先进的概率方法。它由Paul Samuelson[92]在麻省理工学院首创，并受到路易·巴切利尔博士论文[5]的重新发现的极大刺激，该论文于1900年在巴黎根据亨里波因卡的一份报告进行了辩护。在这篇论文中，布朗运动作为流动性金融资产价格波动的数学模型出现。萨缪尔森认为价格应该保持正态，于是向我们推荐了几何布朗运动，该运动很快就成为了阿提斯运动，是ISI/BS在伯努利发表的原始文章的电子版，2013年，第19卷，第4期，1306–1326年。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。1350-7265摄氏度 2013年ISI/BS2 H.F¨ollmer和A.Schied标准参考模型。1973年，布莱克、斯科尔斯[9]和默顿[82]推导出了这种情况下看涨期权价格的最终公式。为什么布朗运动出现在金融环境中？这是第一个粗略的论点。在每一个固定时间，股票价格都可以被视为一个临时均衡，由大量的买入或卖出决定组成，以随机或不太独立的方式进行：许多硬币被连续抛出，因此布朗运动应该作为中心极限定理的体现而出现。这就是J·卡西迪在《市场如何失灵》一书中所说的“投币式金融观”。

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2022-5-5 00:34:56

这个粗略的论点可以通过使用微观经济学假设来重新定义，即对代理人的行为以及他们对随机需求的评估方式，然后应用不变性原理，通常可以将价格波动描述为一个由布朗运动或更一般地说，由L’evyprocess驱动的奇异微分方程的解；例如，参见[48]及其参考文献。然而，在这一点上，回忆一下[71]中引用的庞加莱科学与方法[90]的以下警告是有启发性的：当男性彼此失去联系时，他们不再随机地、独立地做出决定，他们会对其他人做出反应。有多种原因在起作用，它们困扰着他们，把他们从一边拉到另一边。但有一件事是这些影响无法摧毁的，那就是它们的行为倾向像Pansurge的纸片。这就是被保存下来的东西。因此，就在现代概率方法在金融领域的应用之初，我们发现了一个警告信号，指出了相互作用和羊群效应，这可能会导致中心极限定理的前瞻性应用无效。戴维·克雷普斯（David Kreps）在他的《资本市场上的三个E论》（Three es says on Capital Markets）[78]中使用了一种不同的论证，几何布朗运动似乎是一种理性预期均衡。假设代理通过最大化预期效用来计算他们的需求。如果他们的偏好是由幂效用函数给出的，如果他们的主观期望是由几何布朗运动描述的，那么由此产生的价格等式将是几何布朗运动。因此，几何布朗运动被描述为基于高度复杂的代理的偏好和期望的聚集问题的固定点。

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2022-5-5 00:35:00

在这里，庞加莱的警告再次让人对这种论点中隐含的理性假设产生了一些怀疑。Bachelier本人并没有引用中心极限定理，也没有用预期效用来论证。相反，他从一个简单的均衡论点开始：“市场，也就是说，投机者群体，似乎不应该相信某一时刻的涨跌，因为每一个报价都有和卖家一样多的买家。”。因此，“投机者的数学预期为零”。现代经济学认为，价格过程应该是概率测度P下的鞅*它描述了市场的总体信念。假设连续路径和增量的平稳性要求，则价格过程实际上是布朗运动。目前的主流观点是什么？首先，数学、金融和经济学各部门有一个广泛的跨学科共识，即金融3的概率方面，流动金融资产的计算价格波动应被视为一个随机过程X=（Xt）0≤T≤一些潜在的概率空间(Ohm, F、 P）。直觉通常是客观的：这样的概率测度P存在，它至少可以通过统计和计量经济学方法部分识别，并且它应该满足某些先验约束。这些限制对应于某种程度的市场效率。在最强形式下，市场效率要求X是P下的鞅。

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2022-5-5 00:35:03

然而，主流观点认为，市场效率的一个较弱且更灵活的版本是假设的，即缺乏安全（而不仅仅是统计）的套利机会。换句话说，价格过程不应允许任何交易策略在没有任何下行风险的情况下，相对于无风险回报产生正预期收益。如果这是以适当的方式确定的，则没有套利机会的特征可以是存在一个等价的nt鞅测度，即一个等价于P的概率测度P*使得适当折扣的价格过程X是P*下的（局部）鞅。这种特性通常被称为资产定价的基本定理。Harrison和Kreps[58]中出现了一个初步版本，其定义形式为Delbaen和Schachermayer[27–29]；另见卡巴诺夫[68]和严[108]。因此，一个经济假设，即没有套利机会，可以保证P*6= ,如果我们用P表示*等价鞅测度集P*. 由于J acod、Yor和其他人在70年代和80年代随机过程的“一般理论”中的众所周知的结果，这意味着过程X是原始测度P下的半鞅，因此是Bichtele r和Dellacherie意义上的随机积分器。这使得oneto可以应用It^o微积分的技术。此外，根据Wolfgang Doeblin[32]提出并由I.Monroe[84,8,5]完成的一系列论证，X是一个随机时间变化的aBrownian运动。这样，布朗运动在当前的一般环境中重新出现，尽管不一定以非常方便的方式出现。2.衍生工具和完美Hedging的范例衍生工具，或或有权益，指定了场景ω上的持续支付（ω）∈ Ohm 这将会实现。

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2022-5-5 00:35:06

例如，一个执行价为C且到期日为T的欧式看涨期权的付息为H（ω）=（XT（ω）- c） +。此类未定权益的买方应支付的公平价格是多少？换句话说，公平确定性与不确定结果H的等价物是什么？这是一个经典问题，标准答案可以追溯到概率论的创始人，尤其是雅各布·伯努利。它说，你应该把概率作为不同场景ω的符号，并计算出随机变量H相对于结果概率测度P的期望值ep[H]=ZH dp。继Daniel Berno ulli[6]之后，人们可能希望增加风险溢价，以便考虑到4 H·F¨ollmer和a·Schiedrisk厌恶。更准确地说，我们可以用一个严格递增和凹的效用函数来描述风险规避，并计算出H的π（H）作为确定性等价物-1（EP[u（H）]）。微分π（H）-EP[u（H）]由詹森不等式确定为正，然后被解释为风险溢价。但在我们目前的财务背景下，在以下唯一性假设（1）下，布莱克和斯科尔斯[9]以及默顿[82]的基本见解导致了一个截然不同的结果。特别是，没有理由支持风险溢价，因为以下论点表明，在这种情况下不存在内在风险。考虑一个金融市场模型，如P*6= . 在许多情况下，特别是对于几何布朗运动等简单的扩散模型，等价鞅测度实际上是唯一的，即| P*| = 1.

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2022-5-5 00:35:10

（1）等价鞅测度的唯一性意味着该模型在以下意义上是完整的：任何未定权益H都可以用某种常数和某种可预测过程ξ=（ξt）0表示，P-几乎可以肯定地表示为形式mh=V+ZTξtdXt（2）≤T≤Tsuch认为随机积分是有意义的。对于几何布朗运动等简单的扩散模型，这种表示遵循了It^o定理，即布朗运动的泛函可以表示为布朗运动的随机积分；一般情况见[91]，因为在等价的martinga-le测度下随机积分的期望*是零，常数V=E*[H] 。在财务方面，通过动态交易策略，表述（2）相当于或有权益的完美复制。事实上，It^o对随机积分的非预期构造允许我们将（2）中的随机积分解释为自融资交易策略产生的累积净ga，考虑到在每个时间t持有标的资产的ξt。常量vc现在可以被视为完美复制或完美对冲所需的初始资本，或有索赔的赔偿。但这意味着索赔的唯一无套利价格由π（H）=V=E给出*[H] ，（3）因为任何其他价格都会提供无风险盈利的机会。例如，如果实际价格高于该价格，则可以以该价格出售索赔，使用较小的金额来实施套期保值策略，该策略生成最终必须支付的随机金额H，并保留价格和Vas之间的差异，从而获得无风险收益。因此，唯一性假设（1）给出了定价和对冲金融衍生品问题的简单答案。

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2022-5-5 00:35:13

注意，ans wer只涉及唯一的等价martinga le测度P*. 概率测度P的作用*是作为资产定价的财务5复杂一致性检查的可能性方面，而不是为了预测。最初的概率度量P就是为了达到这个目的，但在这里，它只在定义一类空集时才有意义。正如我们将在第五节中看到的那样。下面的1，我们实际上可以完全消除P，如果我们想要限制可能的空间。3.不完全性是新概率问题的来源一旦金融市场模型变得更加现实，承认不确定性的来源比交易金融工具更多，等价鞅测度就不再是唯一的，这意味着|P*|= ∞.结果，完美对冲的范式崩溃，内在风险出现在衍生品层面。那么这个模型就叫做不完整模型。从数学的角度来看，不完全性已被证明是随机分析中新公共关系问题的丰富来源。特别是，它激发了概率分解定理的新版本，如Kunita–Watanabe分解和Doob–Meyer分解。考虑支付和到期日均为非负的衍生工具。可接受的对冲策略由初始资本和可预测的过程ξ给出，使得由vt=V+ZtξsdXs（4）定义的最终投资组合过程V保持非负。在到期日T，任何此类策略都会将或有权益分解为一个完全对冲的部分，从而如前一节所述通过套利定价，并产生剩余的对冲误差CT。

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2022-5-5 00:35:17

不同的经济偏好会导致不同的战略选择，从而导致对主张的不同分解。假设一个人想要在平均平方意义上最小化关于给定概率测度P的套期保值误差。这相当于未定权益H在s空间L（P）上的投影到随机积分子空间上。在有效的市场炒作的强大形式下，这就是P∈ P*, 利用平方可积鞅空间中的Kunita–Watanabe分解来解决这个投影问题；见[50]。如果人们放弃这一假设，考虑/∈ P*, 结果分解问题通常可以归结为Kunita–Watanaberepresentation关于合适的最小鞅测度的应用；参考[47]。More6 H.F¨ollmer和A.Schiedge一般来说，不完全金融市场的均值-方差套期保值方法是Kunita–Watanabe分解的新版本以及关于半鞅的随机积分空间闭式性质的新结果的来源；例如，参见调查[49]和[102]。然而，从财务角度来看，均值-方差法无法捕捉基本的不对称性：其主要目的是控制差额，定义为正部分C+T=（H- VT）套期保值错误的定义。如果坚持将缺口保持在0以下，那么就会导致Doob–Meyer分解的一个显著的新扩展。考虑processUt=ess supP的右连续版本U*∈P*E*[H | Ft]，0≤ T≤ 现在注意tu是一个P*-超级马丁格尔，也就是说，在纽约P*∈ P*.如[37,42,76]中日益增加的普遍性所示，任何非负P*-supermartingaleU允许formUt=U+ZtξsdXs的分解- 在第（6）步中，有一些可选的（但通常不可预测的）过程A。

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2022-5-5 00:35:20

但是随机积分是P*-局部鞅和so（6）可以被视为经典Doob–Meyer分解的新版本，它同时适用于所有P*∈ P*. 在特殊情况（5）中，这种可选的分解可以解释为一个超边际过程：从初始资本V=U开始，应用交易策略ξ，然后从（4）中定义的生成的投资组合价值V中依次提取累积a金额At，最终得到最终值UT=H，UT可以被描述为时间t所需的最小资本，以便通过从时间t到时间t运行的动态交易策略来覆盖突发事件。为了保持安全，超级边缘可能会将一个巨大的首都和一座山绑在一起，因此它通常被认为过于保守。但是，即使放松了对s短球的零容忍度，上升二边形的数学仍然很重要。例如，假设一个人对预期损失EP施加了一些界限[l（C+T）]，定义了一些凸损失函数的中间值l. 然后，由此产生的有效套期保值问题可以分为一个统计决策表m，该决策表m通过随机测试魟解决，以及一个动态超边缘表m，用于修改后的索赔H=魟H；见[43]。更普遍的是，有效的套期保值问题可以嵌入到不完全金融市场的动态投资组合优化问题中，该问题的标准通常是根据预期效用制定的。从[69,70,104]中的最优随机控制和[74,75]中的凸对偶的角度来看，关于此类动态优化问题有大量文献。注意，在不完全金融市场的这些优化问题中，概率测度P确实明确地出现，与超边缘方法相反。

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2022-5-5 00:35:23

但它是在偏好水平上实现的，即以预期效用的形式。一旦一个人承认模型的不确定性，并考虑第5节所述的稳健偏好。2融资的概率方面7下面，出现了稳健优化的新问题；例如，参见[40,61,95,96]和调查[46]。另一个新的方向是分析参考结构的时间动力学，如[86,87]所示。P对P*正如我们所见，数学金融的标准设置是概率的，它包括两种概率度量。一方面，它假设存在一个客观的概率测度P，通常称为“现实世界”或“历史”概率测度。另一方面，没有套利意味着等价鞅测度P的存在*, 这应该被解释为一个反映当前“市场信念”的始终如一的公关体系。从数学的角度来看，这些测度的共存及其相互密度的明确描述是技术练习的丰富来源，而Girsanov变换允许人们在P和P之间自由来回移动*. 然而，在概念层面上，他们的角色之间存在着重大差异。概率测度P通常被视为一个概率模型，试图捕捉过去观察到的典型模式；在隐式平稳性假设下，它被用作前瞻性预测方案。虽然人们经常承认，任何特定的P选择都会涉及相当大的模型风险，但人们普遍认为存在一个真正的概率度量，概率模型在接近这一现实时正在变得更好。然而，Bruno de Finetti[25,26]认为，这个问题比模型风险问题更为根本。

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2022-5-5 00:35:27

他怀疑将客观概率P[A]与以下类型的金融事件联系起来是否合理：A={与ISIN x的主权债券不会违约}。另一方面，概率P*[A] ，或者更确切地说是一种期待*[H] 债券产生的贴现未来现金流中，每日在金融市场上分配，直接通过债券的当前市场价格或信用违约互换（CDS）等工具的价格，为债券违约提供保险。因此概率测度P*反映了市场上大量下注的总赔率。这与德费内蒂所说的概率不存在是一致的，但一个人当然不能以一定的赔率在给定的事件上下注。De Finetti对不同赌注的赔率规定了一致性规则，他使用强调的“你”来强调结果概率测量的主观性质*. 在单个代理人的层面上，这些一致性规则可能被视为另一种非常乐观的理性要求。但是，如果我们用“金融市场”取代德菲内蒂的“你”，这一要求将变得更加迫切，因为市场比任何给定的个人都更能通过套利实现一致性。事实上，在概念和技术层面上，资产定价的基本原理和德芬蒂对概率测度P的重构之间存在着密切的联系*从一个持续的投注系统；例如，参见[10,94]。8 H.F¨ollmer和A.SchiedApart从这些基础方面来看，用“客观”概率测度预测金融发展的尝试很难被描述为成功的故事，尤其是考虑到最近的金融危机。

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2022-5-5 00:35:30

另一方面，在任何给定的时间t，市场对未来发展的当前预测都是已知的，即鞅测度P*t、更准确地说，当时的市场观点是由条件概率分布P给出的*t[·| Ft]on^Ft（7），其中fti是描述t时可用信息的σ场，而^fti是由到期日为t>t的交易或有权益的支付产生的σ场。到期日为t的看涨期权或看跌期权的当前价格提供了关于P的边际分布的信息*时间t>t时的t[·| Ft]，更多外部期权的当前价格提供了关于多维边际的信息。这一前瞻性的“三月演讲”是当前定量分析的重要组成部分。在任何给定时间t，市场对未来的当前看法，如条件定价度量P所示*t[·| Ft]在不同的声明中是一致的，尤其是在不同的历史中是时间一致的。但是，这个一致的图像可能会在t+1的一天之间发生变化，并且它可能会以一种时间不一致的方式发生变化。当然，从规范的角度来看，不同日期的时间一致性可能是可取的，在数学金融文献中，这通常被认为是理所当然的。在数学上，它相当于要求（7）中的条件分布都长到相同的鞅测度P*∈ P*. 在完整金融市场模型的虚拟世界中，由于等价鞅测度是唯一的，因此时间一致性将自动保持。在金融市场模型不完整的大世界中，更重要的是在现实中，人们应该期待时间不一致。在我们的标准框架中，这将通过spaceP中的流程来描述*鞅测度。

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2022-5-5 00:35:33

这种流动可能是持续的，但也可能包括突然的政权更迭。让我们用P表示*u鞅测度的类P*∈ P*使得价格函数X是P下的一致可积鞅*. 通常情况下，两个P*UIandP*NUI:=P*\\ P*你不是空的。X在测度P下的行为*∈ P*NUI经常被解释为泡沫；参见[66,67]。第一次喝马丁酒会让人发痒*∈ P*UI，它不显示气泡，到另一个可测量的P*∈ P*NUIwould因此将泡沫的突然出现描述为[66]。但是空间中的流动*也可以从P移到s低*对P*如[7]中所述，这将导致气泡作为次鞅缓慢地诞生。对P*这将涉及金融市场的微观结构，即代理人的动态行为，具有三元性和相互作用的偏好和期望，特别强调“羊群效应”，即引发泡沫和崩盘的效应。到目前为止，有各种各样的玩具模型，比如[41]和其中的参考文献，试图捕捉其中的一些影响。但真正令人信服的微观结构模型为现实世界的预测提供了严重的可能性，但目前还没有出现。然而，越来越多的人需要通过考虑金融市场上实际使用的各种交易算法，来补充噪声传播者和信息交易者的经典微观经济图景。在某种程度上，这可能使对由此产生的价格动态的分析更容易处理，因为交易算法的结构比单个代理的行为特征更透明，更容易建模。

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2022-5-5 00:35:37

虽然这些算法的社会效用可能存在争议，但从数学角度尽可能清楚地理解它们的影响是很重要的。特别是，这种理解对于任何试图设计一个智能监管框架的尝试都是至关重要的，因为它不会创造新的套利机会，从而在金融系统中产生新的不稳定来源。在第六节和第七节中，我们将描述一些最简单的数学问题，这些问题与交易算法的相互作用有关。5.奈特不确定性近年来，从业者和学术界越来越意识到过度依赖特定概率模型以及由此产生的“控制错觉”所造成的问题；例如，参见[60]中的第4.9节。因此，人们重新关注模型不确定性或模型模糊性的问题，也被称为奈特不确定性，以纪念弗兰克·奈特[7 3]，他在经济决策理论的背景下引入了“风险”和“不确定性”之间的区别。在这里，“风险”指的是概率测量已知的情况（“已知未知”），而“不确定性”指的是情况并非如此（“未知未知”）。在对近期次贷危机的分析中，TurnerReview[105]区分了“数学建模风险”和奈特不确定性，因此似乎表明奈特不确定性超出了数学分析的范围。我们不同意这个结论。相反，我们认为奈特的不确定性是新数学问题的丰富来源。最近的两项发展表明了这一点，其中明确考虑了模型的不确定性。

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2022-5-5 00:35:40

不安全感。1.我们展示了在不引入任何概率度量的情况下，如何开发金融主题中的一些关键对冲论点。另一个例子是第5节中描述的资本要求和凸风险衡量偏好的具体说明。2.这里的分析与概率度量的具体选择无关。相反，我们考虑了一整类概率模型，并采用了保守的最坏估计方法。5.1. 无风险享乐考虑一个有一种风险和一种无风险资产的金融市场。在主流金融中，风险集合的价格演化通常被建模为一个定义在某种概率空间上的随机过程。然而，在这里，我们将在一个充满挑战的环境中工作。我们假设资产价格的演化由一个连续的非负轨迹（Xt）0给出≤T≤T.与之前一样，为了简单起见，我们假设无风险资产或“债券”的价格由Bt=1给出。现在我们讨论在这样一个市场中进行动态交易的可能性。为此，考虑一种交易策略（ξt，ηt）0≤T≤T、式中，ξT表示天空资产中的股份数量，ηT表示时间T时持有的债券中的股份数量。投资组合（ξT，ηT）的价值由vt=ξtXt+ηtBt=ξtXt+ηT给出。（8）在这个框架中讨论投资或对冲策略，重要的是要确定自己的融资交易策略。从离散时间框架传递到连续时间限制表明策略（ξt，ηt）为0≤T≤如果（8）中的价值过程满足关系vt=V+ZtξsdXs，0，则应称为自我融资≤ T≤ T、（9）其中积分是非对抗性黎曼和的极限：ZtξsdXs:=limn↑∞Xtni≤tξtni-1（Xtni）- Xtni-1). （10）在这里，我们可以取tni=i2-N

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2022-5-5 00:35:43

根据[38]中的结果，当轨迹X允许连续二次变化[X]t=limn时，这是可能的↑∞Xtni≤t（Xtni- Xtni-1), 0 ≤ T≤ T、对于连续函数g，如果ξ的形式为ξT=g（Xt，At，…，Akt），其第一个参数是可微的，对于连续轨迹（Ait），则为0≤T≤有界变异。在这种情况下，在[38]中可以看出，它的公式在以下严格的路径意义下适用于任何c-函数：f（Xt）=f（X）+Ztf′（Xs）dXs+Ztf′（Xs）d[X]s。（11）注意，（11）中的第二个积分可以定义为经典的Stieltjes积分，因为[X]是t的一个非减量函数。正如[39]中指出的，紧接着，非常数轨迹X必须具有非平凡的二次变化，以排除套利机会。事实上，否则（11）就简化为微积分的标准基本定理，f（Xt）=f（X）+Rtf′（Xs）dXs，并通过（9）自我融资策略yξt=2（Xt）- 十） ηt=（Xt- 十）- ξtxt将产生严格正的财富Vt=（Xt- 十）在初始资本中，V=0。例如，上述无概率交易框架可用于分析[36]或[98]中所述模型特定对冲策略的对冲误差和稳健性。在某些特殊情况下，甚至可以找到完全建模的11个独立对冲策略的概率方面。我们现在将通过将[88]和[33]中的参数转移到我们的无概率设置来说明方差互换的情况。varianceswap是一种路径依赖型金融衍生工具，Payoff H=nXi=1（log Xti+1）- 在时间T处记录Xti），其中0<T<·tn=T为固定时间点。这些时间点经常出现，因此Xtis是风险资产在第i个交易日结束时的收盘价；参见[14,15,53]了解方差互换的背景。

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可人4

2022-5-5 00:35:46

当n足够大时，可以用对数X的四次变化（即H）来近似地表示变量互换的收益≈ [logx]T=ZTXtd[X]T.（12）这里，第二个恒等式如下，例如，来自[103]中的命题2.2.10。另一方面，将It^o的公式（11）应用于函数f（x）=log x yieldslog XT- 日志X=ZTXtdXt-ZTXtd[X]t.（13）将（12）和（13）放在一起意味着≈ZTXtd[X]t=2对数X- 2对数XT+2ZTXtdXt。（14）（14）右侧的It^o积分可以被视为初始投资为零的自融资交易策略的终值，否则在每个时间t内都会考虑风险资产的ξt=2/Xtshares。为了解释（14）中的两个对数项，我们应用布里登-利岑伯格公式，h（XT）=h（X）+h′（X）（XT）- 十） +ZX（K）- XT+h′（K）dK（15）+Z∞X（XT）- K） +h′′（K）dK（例如，[45]，练习1.3.3）对函数h（x）=logx和获得h≈ -X（XT）- 十） +ZX（K）- XT）+KdK+Z∞X（XT）- K） +KdK（16）+2ZTXtdXt。也就是说，H可以通过卖出2/Xzero的ice远期合约、持有2/KdK的组合期权、到期时间为12小时的卖出期权和看涨期权来对冲。Follmer和A.Schiedach strike K，并使用ξT=2/Xt的自融资交易策略。这种对冲策略最显著的特点是它与模型无关。也就是说，（16）独立于价格过程X的可能概率动态是有效的。因此，套期保值策略不受可能因此类概率动态的错误指定而导致的模型风险的影响。对于Payoff nXi=1Xti（log Xti+1）的所谓伽马或熵WAP，与obtaine d for方差掉期类似的结果也有效- log Xti）以及Payoff nXi=1{A的走廊方差互换≤Xti≤B} （日志Xti+1）- logXti），对于一些实际数字A、B，A<B。

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2022-5-5 00:35:50

更多扩展请参见[24]。请注意，Br Eden–Litzenberger公式（15）可以被视为标准“普通”期权和看涨期权中期权h（XT）的简单静态、无模型对冲。在某些情况下，静态对冲（或超边缘）可以为路径依赖的衍生工具（如障碍或回望期权）构建；参见，例如[12,23,62]。如果不确定性被限定为一类合适的情景，则严格的路径方法也可用于以无概率的方式制定第2节的关键套期保值论证。为此，我们在[0，∞) ×[0，T]并将可能的场景限制在集合中Ohm[0，T]上所有非负连续函数ω的σ，使得坐标过程Xt（ω）=ω（T）允许绝对连续的二次变化d[X（ω）]T=σ（Xt（ω），T）Xt（ω）dt。考虑一个形式为H=H（XT）的导数。正如[8]或[39]中所解释的，我们现在可以使用路径It^o公式（11）的时间依赖性来构造一个形式为ξt（ω）=Fx（Xt（ω），t）的完美对冲，其中F用边界条件F（x，t）=h（x）解一个合适的抛物方程。此外，Paul L’evy的一个定理暗示存在一个精确的概率测度P*在spac上Ohmσ使得坐标过程X变成P下的马丁酒*. 衍生工具H的价格被定义为完美套期保值的初始成本，然后可以按照（3）计算为预期价值E*[H] 当然了*.为了将前面的构造扩展到更多的奇异选项，可以使用最近在[34]和[21]中开发的严格路径形式的Malliavin演算。关于粗糙路径的另一种原生路径方法，请参见[52,80].5.2。

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2022-5-5 00:35:53

货币风险衡量与给定财务状况的盈亏或损益相关的资本要求被指定为最低资本，该最低资本应添加到该状况中，以使该状况从监管机构的角度来看是可接受的。这种想法可以通过货币风险度量的概念形式化。财务的概率方面13损益表描述了给定交易期结束时的不确定净货币结果，因此将其建模为可测量空间上的实值可测量函数X(Ohm, F）可能发生的情况。我们定义了此类损益的线性空间x和非空子集a X与被认为可接受的职位相关。我们要求X包含所有常数，Y∈ A.多愁善感≥ X代表一些X∈ A.由ρ（X）定义的X上的函数ρ：=inf{m∈ R | X+m∈ A} （17）被称为货币风险度量，值ρ（X）被解释为P&L X对财务状况的资本要求。货币风险度量的标准示例是某一水平的风险价值λ∈ (0, 1). 由概率测度P描述的一个给定概率模型(Ohm, F），如果短缺概率P[X<0]不超过λ水平，则X被视为可接受的风险价值。由此产生的货币风险度量（17）由P下X的分布的λ-分位数给出，直到阿米努斯符号。风险价值在实践中被广泛使用。但它也有一些不足之处。特别是，它不计入可能短缺的规模，因此会在鼓励风险集中的同时惩罚多元化。对这些缺陷的认识推动了Artzner、Delbaen、Eber和Heath[3]在90年代末提出的货币风险度量一般理论的公理化方法。但也有其他缺点。

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2022-5-5 00:35:57

例如，为了应对最近的金融危机，《特纳评论》——对全球银行业危机的监管回应[105]强调过度依赖单一概率模型P，从而引发了奈特不确定性问题。我们现在将勾勒出凸r isk测度理论中的关键要素。正如我们将看到的，这一理论不仅解决了多元化不应受到资本要求惩罚的问题。它还提供了一个案例研究，说明如何在数学框架内处理骑士的不确定性。为了实现多元化应该被鼓励而不是被货币风险度量惩罚的想法，我们要求接受集A是凸的。在这种情况下，通过（17）定义的货币风险度量ρ被称为凸风险度量，因为a的凸性相当于ρ的凸性。当A是偶凸锥时，ρ称为相干r-isk测度。最后一篇论文[3]引入了一致ris k测度的概念；[59]、[51]和[44]分别介绍了从一致风险度量到凸风险度量的后续扩展。凸对偶意味着凸风险度量通常采用ρ（X）=supQ的形式∈Qρ{EQ[-X]- α（Q）}，（18）其中Qρ是一类概率测度，α：Qρ→ R∪ {+∞} 是一种惩罚功能。因此，资本需求的确定如下：针对每个概率测度Q计算预期的位置损失∈ Qρ并被惩罚α（Q）惩罚；然后，在Qρ类中，一方接受最严重的惩罚预期损失。鉴于模型的不确定性，本程序可解释如下。没有预先确定的概率度量是14 H·F¨ollmer和A·Schied，但概率度量是Q∈ Qρ确实是通过凸二元性进入的，并承担压力测试的角色。

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2022-5-5 00:36:00

集合Qρ可视为一类似然概率模型，其中每个模型Q∈ 根据惩罚α（Q）的大小，Qρ或多或少地被严格取值。通过这种方式，模型的不确定性得到了明确的考虑。关于Q（ρ）到ρ（ε）的情形，Q（ε）到ρ（ε）＝s（ε）＝s（ε）＝s∈QρEQ[-十] ，（19）也就是说，在最坏的情况下，Qρ类的预期损失。在无套利但可能不完整的金融市场模型中，上行风险度量ρ（X）=supP*∈P*E*[-十] ，显然是一个连贯的风险度量。相应的接受集A由所有X组成，可以找到初始资本V=0的动态交易策略和最终结果VT，从而组合头寸X+VT的支付效果为非负概率1。在数学金融的背景下，一致性和凸性风险度量的历史始于上述开创性论文[3]。然而，在更广泛的数学背景下，在博弈论和Choquetintegration[30,99]、稳健统计[63,64]和精算保费原则[31,57]等领域有着相当长的公关历史。风险度量也隐含地出现在微观经济学的参照物理论中。空间X上的首选项通常由一些实用功能Uon X表示。

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2022-5-5 00:36:03

根据冯·诺依曼、摩根斯特恩[106]和萨维奇[93]提出的理性公理，对于某些递增连续函数U和某些概率测度P，U采用预期效用的形式，即U（X）=EP[U（X）]（20）(Ohm, F）。正如Gilboa和Schmeidler[56]在80年代末所示，理性公理的自然放松意味着线性风险度量-（20）中的EP[·]应通过一般一致性风险度量ρ：U（X）=-ρ（u（X））=infQ∈QρEQ[u（X）]。最近，麦克切罗尼、马里纳奇和拉斯蒂基尼[81]进一步放松了理性主义。在他们的公理设置中，ρ现在是一个凸风险度量，因此偏好的数值表示采用公式（X）=-ρ（u（X））=infQ∈Qρ{EQ[u（X）]+α（Q）}。经典的ris k厌恶被效用函数u的凹性所捕获，而-ρ对应于模型不确定性厌恶的行为假设；参见[56]、[81]和[45]。金融的概率方面156。价格形成、市场微观结构和算法交易的出现当L.Bachelier和P.A.Samuelson建立了他们的资产价格过程模型时，指令通常由经纪人在交易坑中发出信号来执行。但近年来，金融市场的运作方式发生了巨大变化。我们现在将讨论这一变化给数学金融带来的一些新挑战。1971年，世界上第一家电子股票交易所纳斯达克成立。在随后的十年里，在市场放松管制和技术进步措施的推动下，越来越多的交易场所被放弃，取而代之的是完全电子化的交易。这种电子交易基本上有两种不同的指令，即限价指令和市场指令。

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2022-5-5 00:36:08

限价指令是指以特定价格买卖一定数量股份的指令。它被收集在电子限额订单簿中，直到有匹配的销售或购买订单。市价指令是指以当前可用的最佳价格购买或出售一定数量的股票的指令。因此，它根据价格优先级使用限价订单。当在最佳价格下所有限制订单的总规模大于传入匹配订单的规模时，限制订单通常根据先进先出规则执行。因此，在这个微观层面上，资产价格动态不是由一维扩散过程表示的，而是由整个限价订单簿的演变表示的，从数学角度来看，整个限价订单簿可以被视为一个复杂的排队系统。因此，它至少在原则上可以进行数学建模。通过一个合适的t型手模型，人们可以尝试“缩小”微观图像，并在介观差异尺度上描述中间价的极限动态（即，最佳买入和卖出限价指令之间的平均值）。这可能会导致对数学金融标准建模范式的确认，或发现新类型的资产价格动态。在[4,11,19,20,22]中进行了与此类问题有关的初步研究，例如[19]在扩散极限中找到了一个单身汉类型的模型。电子交易场所的出现促进了计算机下单的使用，并且很快出现了算法和高频交易的新现象。如今，限价订单簿以毫秒为单位按时间间隔更新，这样就没有人能够跟踪高效流动资产的价格演变。因此，做市商和许多其他交易员必须使用计算机。

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2022-5-5 00:36:11

因此，现在股票市场上的绝大多数订单都是通过计算机算法完成的。[79]中给出了电子市场现状的详细描述。金融市场的计算机化带来了一些可以被视为潜在益处的影响。例如，高频做市商提供的流动性，以及越来越多的电子交易渠道之间的竞争，导致买卖交易量显著下降，从而降低了普通投资者的交易成本。人们还希望计算机程序能比人类投资者更理性地行事，尤其是在危急情况下，从而避免放逐和羊群行为。然而，这些希望受到2010年5月6日Flash16 H·F¨ollmer和A·SchiedCrash事件的严重挑战。当天，在紧张的市场中，一张抛售订单在高频交易者（HFT）的交易算法中引发了一场“烫手山芋游戏”，导致资产价格出现了有史以来最剧烈的下跌，随后在20分钟内出现了s-harp反弹。[18，第3页]中的以下引用给出了一些迹象，表明Flash崩溃确实是由几种交易算法之间的反馈过度引起的：。HFT开始迅速购买合同，然后再相互转售——当相同的订单快速来回传递时，产生了“烫手山芋”效应。在2:45:13和2:45:27之间，HFTs交易了超过27000份合同，占总交易量的49%，而净购买了约200份额外合同。理解为什么交互交易算法最终会出现在这样一个“烫手山芋游戏”中，并在数学模型中重现这种现象，这是一个有趣的挑战。

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2022-5-5 00:36:14

正如我们将在下一节中看到的，已经有一些初步结果可能与这种现象有关。除了可能造成崩溃场景外，电子交易的其他方面也存在潜在问题。例如，某些掠夺性交易算法扫描大型交易执行过程中产生的模式的订单信号。一旦发现如此大规模的交易，掠夺性交易算法就会试图通过建立一个仓位来获得适当的回报，该仓位的价值将因大规模交易产生的价格影响而增加；参见[13,16,101]。为了避免价格冲击和掠夺性交易的不利影响，许多投资者求助于所谓的暗池，在暗池中，其他市场参与者看不到订单。但事实上，许多暗池从“光明”市场获得订单的执行价格有利于掠夺性的交易技术，如基于操纵光明市场价格的“fishing”；参见[72,77,83]。价格影响和订单执行理解算法交易及其潜在收益和风险的关键是价格影响的现象，即执行大额订单会影响基础资产的价格。它是经济主体与市场相互作用的基本机制之一，因此也是相互作用的基本机制之一。价格影响发挥了重要作用的引人注目的例子包括1993年金属行业的崩溃、1998年的TCM危机，或2008年Societ’e G’en’eral公司解除杰罗姆·科维尔的投资组合。但是，在规模小得多的交易中，价格影响也可能是显著的，它属于许多金融机构的日常业务。理解价格影响的第一步是执行单一交易，这是一个可以在多个尺度上进行观察的可行方案。

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2022-5-5 00:36:17

在微观尺度上，人们认为交易规模小到可以通过在限价订单簿中下单来执行。当该订单作为市场订单下发时，它将通过消费订单影响限价订单簿，如果限价订单足够大，则改变相应的最佳价格并扩大买卖价差；参见[1,89,107]。当它包括下达或取消限价订单时，融资的概率方面及其量化影响并不容易描述，但它仍然存在。在这种情况下，贸易的影响是短暂的，最终会减弱，这一事实在下一个介观层面上变得非常重要。许多交易太大，无法在一个订单中执行，因此需要拆分为一系列较小的订单，有时称为“子订单”，然后在一定的时间间隔内分散。在这个介观尺度上，交易算法用于确定每个子订单的大小和时间。这些算法通常基于市场影响模型，即考虑交易策略反馈影响的资产价格随机模型。我们参考[55]对当前可用的一些模型进行调查。在特定模型中，为给定的cos t标准确定最优交易执行策略的问题具有丰富的结构，通常会导致具有内在数学意义的问题。例如，它与有限燃料控制、Choquet容量理论和Dawson–Watanabe supe RProcess等数学主题有关。让我们简略地描述一下[97]中建立的后一种联系。当将最优交易执行问题描述为随机控制问题时，清算约束转化为相应的Ha milto n–Jacobi–Bellman方程的奇异终端条件。

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可人4

2022-5-5 00:36:20

该方程可以进一步简化为具有有限终端条件的拟线性抛物偏微分方程。但是，根据[35]，这些方程与Dawson–Watanabe超过程的拉普拉斯函数有关。最优交易执行策略的存在或不存在以及结构也可以产生关于潜在市场影响模型可行性的信息，甚至可以产生关于价格影响本身性质的信息；参见，例如[2,54,65]。例如，文献[2]表明，单个或多个订单的价格影响必须作为时间的凸函数衰减，以排除在某种程度上让人想起前面提到的“烫手山芋游戏”的振荡贸易执行策略。应该指出的是，文献中现有的市场影响模型都相对简单。特别是，目前还没有一个模型能够以真正令人信服的方式将价格影响的暂时性和非线性结合起来。在宏观层面上，交易的执行与市场中其他代理或算法的行为有关。如上所述，Angent正在执行一项大型交易的事实可能会被泄露给竞争对手，例如通过执行算法生成的订单信号。当竞争对手发现大额交易被执行时，一般认为，如上所述，掠夺性交易是相应的利润最大化策略。这也是[16]通过分析博弈论背景得出的数学结果。然而，通过稍微扩展这种设置，在[101]中发现，在具有充分“弹性”的市场中，日前交易可能会变得不理想，因为价格或价格的影响会迅速衰减。在这样的市场中，竞争对手与大型交易商合作并提供流动性反而是有益的。

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