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投资组合质量的界限
mingdashike22
238 9
2022-05-26
英文标题：
《Bounds on Portfolio Quality》
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作者：
Steven E. Pav
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The signal-noise ratio of a portfolio of p assets, its expected return divided by its risk, is couched as an estimation problem on the sphere. When the portfolio is built using noisy data, the expected value of the signal-noise ratio is bounded from above via a Cramer-Rao bound, for the case of Gaussian returns. The bound holds for `biased\' estimators, thus there appears to be no bias-variance tradeoff for the problem of maximizing the signal-noise ratio. An approximate distribution of the signal-noise ratio for the Markowitz portfolio is given, and shown to be fairly accurate via Monte Carlo simulations, for Gaussian returns as well as more exotic returns distributions. These findings imply that if the maximal population signal-noise ratio grows slower than the universe size to the 1/4 power, there may be no diversification benefit, rather expected signal-noise ratio can decrease with additional assets. As a practical matter, this may explain why the Markowitz portfolio is typically applied to small asset universes. Finally, the theorem is expanded to cover more general models of returns and trading schemes, including the conditional expectation case where mean returns are linear in some observable features, subspace constraints (i.e., dimensionality reduction), and hedging constraints.
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中文摘要：
将p资产组合的信噪比（预期收益除以风险）表述为一个球面上的估计问题。当使用含噪数据构建投资组合时，对于高斯回报的情况，信噪比的期望值通过Cramer-Rao界从上而下。“有偏”估计量的界成立，因此，对于最大化信噪比的问题，似乎没有偏差-方差权衡。给出了马科维茨投资组合信噪比的近似分布，并通过蒙特卡罗模拟表明，对于高斯收益以及更奇异的收益分布，该分布相当准确。这些发现意味着，如果最大总体信噪比的增长速度慢于宇宙大小的1/4次方，则可能没有多样化的好处，相反，随着资产的增加，预期的信噪比会降低。作为一个实际问题，这可以解释为什么马科维茨投资组合通常适用于小型资产领域。最后，该定理被扩展到涵盖更一般的回报和交易方案模型，包括条件期望情况，其中平均回报在一些可观察特征中是线性的，子空间约束（即维数减少）和对冲约束。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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kedemingshi
2022-5-26 10:33:14
投资组合质量界限Steven E.Pav*2018年8月28日摘要p资产组合的信噪比，其预期收益除以风险，被表述为sphere Sp上的一个估计问题-当使用噪声数据构建投资组合时，对于高斯回报的情况，信号噪声比的期望值通过Cram'er-Rao界从上而下。“有偏”估计量的界成立，因此对于最大化信噪比的问题，似乎没有偏差-方差权衡。给出了马科维茨投资组合的信号噪声的近似分布，并通过蒙特卡罗模拟表明，对于高斯收益以及更多的exoticreturns分布，该分布是相当准确的。这些发现意味着，如果最大总体信噪比的增长速度慢于宇宙大小对功率的增长速度，则可能不会产生多元化效益，相反，预期的信噪比会随着额外资产的增加而降低。作为一个实际问题，这可能解释了为什么马科维茨投资组合通常适用于小型资产组合。最后，该定理被扩展到涵盖更一般的回报和交易方案模型，包括条件期望情况，其中平均回报在一些可观察特征、子空间约束（即维数减少）和对冲约束中是线性的。1简介假设p资产的预期收益率为u，收益协方差为∑，则投资组合定义为ν*=df∑-1u，（1）非正式地称为“马科维茨投资组合”，在投资组合理论中起着核心作用。[20，3]按比例扩展，它解决了经典的均值方差优化，以及（总体）夏普比最大化问题：maxνν>u√ν> ∑ν。（2） 在实践中，马科维茨投资组合的声誉受损，而且很少（如果有的话）在没有任何修改的情况下使用。
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何人来此
2022-5-26 10:33:17
未知的人口参数u和∑必须根据样本进行估计，从而产生价值可疑的可行投资组合。Michaud甚至将均值-方差优化称为“误差最大化”[23]取而代之的是，提出了许多投资组合构建方法来取代马科维茨投资组合，其中一些*spav@alumni.cmu.edu作者感谢罗摩克里希纳·卡卡拉分享他的研究成果。根据patching推测的理论缺陷，其他人则依赖简单的神经理论。[7、30、3]实践人员通常采用降维启发式方法来缓解估计错误，从而有效减少组合优化问题中的自由变量数量。这种策略的一个版本将数十种甚至数百种股票的回报描述为少数“因子”回报（加上一些“特殊”术语）的线性组合；然后将投资组合问题归结为对要素投资组合的优化。如果人口参数是确定的，缩小可行投资组合集只会降低最优投资组合效用。然而，总体参数通常只能进行弱估计，降维是常见的做法。在本文中，一个上限是建立在一个可行投资组合的信噪比的期望值上的，定义为投资组合的预期收益除以其风险，收益和风险使用（未知）总体参数来衡量，以及“期望值”接管用于估计投资组合的样本的实现。该界限平衡了“效应大小，\'pnu>∑”-1u，资产数量为p，并且只是某种形式的维度缩减。
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nandehutu2022
2022-5-26 10:33:21
例如，可以确定，如果通过向投资领域添加额外资产，pu>∑-1u以低于p1/4的速率增长，预期信噪比的上限可以降低。2投资组合信噪比T x是p资产的相对收益向量，期望值u和协方差∑。这些资产的投资组合预期回报率大于u，方差大于∑ν。将投资组合的信噪比定义为收益率的信噪比：q（^ν）=df^ν>up^ν>∑ν（3）。可以将信噪比视为投资组合的一种“质量”指标，如下所示：未来收益率的夏普比统计在所定义的信噪比中是“随机单调的”，即如果q（^ν）≤ q（^ν）然后^ν>x（一阶）的夏普比随机决定了^ν>x的夏普比。请注意，投资组合信噪比受总体Markowitz投资组合所实现的信噪比的限制，ν*:|q（^ν）|≤ ζ*=dfpu>∑-1u=q（ν*) = q∑-1u. （4） 通过引入风险变换，我们可以在“风险空间”中几何地解释投资组合信噪比：q（^ν）=^ν>∑∑-1up^ν>∑ν=∑>/2^ν>∑>/2ν*q∑>/2^ν>∑>/2^ν. （5） 现在通过q（^ν）可以取的最大绝对值进行归一化：q（^ν）ζ*=∑>/2^ν>∑>/2ν*q∑>/2^ν>∑>/2^νq∑>/2ν*>∑>/2ν*,=∑>/2^νq∑>/2^ν>∑>/2^ν>∑>/2ν*q∑>/2ν*>∑>/2ν*,= fS公司∑>/2^ν>fS公司∑>/2ν*,式中，Fs（x）=dfx√x> x（6）是将非零向量x带到单位球体的投影操作符。即q（^ν）/ζ*可以视为单位球面上两个向量的点积（假设^ν和ν*是非零向量），即fS∑>/2^ν和fS∑>/2ν*. 设θ为fS之间的角度∑>/2^ν和fS∑>/2ν*,因此q（^ν）=ζ*cosθ。实际上，投资组合^ν是使用随机变量x的NI.i.d.观测值构建的。
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何人来此
2022-5-26 10:33:24
用n×p矩阵X表示这些观测值，并且通过滥用旋转，将给定X的^ν（X）表示为给定X的^ν的估计量。用相同的符号写出θ（X）。我们将限制^ν（X）的期望值。为了求助于Cram'er-Rao界，通常必须假设估计量是无偏的。对于这个问题，需要一个较弱的条件。假设2.1（方向独立性）。假设EHFS∑>/2^ν（X）i=cnζ*fS公司∑>/2ν*+ bn（u，∑），（7），其中bn（u，∑）是“偏差”项，与fS正交∑>/2ν*, and可以是u和∑的任意函数。注意，通过bn（u，∑）和fS的正交性∑>/2ν*, 期望值的线性，E[cosθ（X）]=Eq（^ν）ζ*= EfS公司∑>/2^ν（X）>fS公司∑>/2ν*= 中国大陆ζ*. （8） 因此| cn（x）|≤ 1，我们期望cn（x）≥ 0表示“理智”投资组合估值器。此外，我们期望cn（x）→ 0作为nx→ 0，对于非零x，cn（x）→ 1 asn→ ∞.当bn（u，∑）是零向量时，估计量是Watson术语中的“平行估计量”，或者是Hendricks意义上的“无偏”。[12，11]注意，方程7对于任何方向等变投资组合估值器都是满足的，即对于任何正交H，（H>H=Ip=HH>），一个具有XH>= H^ν（X）。然而，我们应该认识到，并非所有的投资组合估值器都满足这一假设。例如，考虑一个估计量，它的集中度永远不会大于p-其在任何一项资产中的总配置比例；该估计量不具有方向独立性，因为当ν*= ζ*e、 “一对N分配”估计器也没有。[7] 我们必须排除其他“病理”病例。假设2.2（剩余独立性）。
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可人4
2022-5-26 10:33:28
假设剩余物的分布∑>/2^ν（X）- EhfS∑>/2^ν（X）iis独立于∑>/2ν*.这种假设可以防止我们对1/N分配做出错误的断言，例如，在1/N分配几乎等于ν的情况下*. [7] 设y为p-变量随机变量。Thentr（Var（y））=trEh（y- E[y]（y- E[y]）>i,= tr公司Eyy>- tr公司E[y]E[y]>,= Ey> y型- E[y]>E[y]。（9） 通过方程7，并使用bn（u，∑）和fS的正交性∑>/2ν*, 我们现在有风险值fS公司∑>/2^ν（X）= 1.-中国大陆ζ*+ b> n（u，∑）bn（u，∑）≤ 1.- 中国大陆ζ*, （10） 我们将约束fS的方差∑>/2^ν（X）通过Cram'er Rao下界，从而在cn上建立上界ζ*.定义η=df∑>/2ν*= ∑-1/2u。（11） 注意η>η=u>∑-1u=ζ*. 使用方程式10左侧的Cram'er-Rao下界，然后使用期望中η的定义，我们得到了[24]ntrDI公司-1ηD>≤ 1.- 中国大陆η> η, （12） 其中D=dfdcnη> ηη√η> ηdη。（13） 这里我们采用导数来遵循“分子布局”惯例，这意味着梯度是一个行向量。此导数的形式为d=cnη> ηpη>ηη>+cnη> ηIpη>η-ηη>η>η！。（14） 为了计算Fisher信息Iη，我们必须确定回报的可能性x。虽然正态分布对资产回报率的影响很小[6]，但它是一种方便的分布。假设2.3（正常回报）。假设x是多元正态分布，x~ N（u，∑）。对于多元正态收益率，以∑为条件，对数似然性取形式log f（η| x）=c-（十）- u）>∑-1（x- u），=c（x）+η>∑-1/2倍-η> η，（15）从似然函数中删除“干扰参数”。FisherInformation为负，即Hessian对η的对数可能性的期望。在这种情况下，我们有simplyIη=-E对数f（η| x）ηη>= Ip。
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