模糊性下的道德风险

2022-5-26 17:04:50

含糊不清情况下的道德风险*Dylan Possama"i+2018年8月12日摘要本文通过增加代理人和委托人产出波动性的不确定性，扩展了Holmstr"om和Milg-rom问题[47]。我们通过选择产出的最坏波动率，精确地研究了“自然”对代理人和委托人的影响。我们解决了与此框架相关的第一个最佳和第二个最佳问题，并证明了最优合同是一类类似于[14，15]的合同，与输出及其二次变化呈线性关系。我们将我们的结果与文献[47]中的经典问题进行了比较。关键词：风险分担、道德风险、委托代理、二阶BSDE、波动性不确定性、Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs PDEs。AMS 2000科目分类：91B40、93E20。JEL学科分类：C61、C73、D82、J33、M52.1简介总体而言，经济学家们现在已经普遍认识到，经济学中几乎所有的东西在某种程度上都是一种激励因素：努力工作、生产、学习、投资、合理消费的激励因素。。。激励措施重要性的核心在于，引用B.Salanié[79]“信息不对称在经济关系hips中普遍存在，也就是说，客户比公司更了解自己的品味，公司比政府更了解自己的成本，所有代理人都采取了至少部分不可观察的行动”。从70年代开始，合同理论就是从这一认识发展而来的，这种情况是无法复制的运用一般均衡理论。在相应的典型情况下，委托人（主动签订合同的人）对代理人（接受或拒绝合同的人）的行为（可能）没有完全了解。

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2022-5-26 17:04:53

目标是设计一个合同，使委托人的效用最大化，而代理人的效用保持在给定的水平。当然，最优契约的形式通常取决于这些行为是否可观察/可收缩，以及委托人是否不知道代理人的特征。此类问题主要有三种类型：第一种最佳情况或风险分担，其中双方拥有相同的信息；第二种情况，即道德风险，代理人的行为是隐藏的或不可收缩的；隐藏代理类型的第三种情况或逆向选择。我们不会研究最后一个问题，请感兴趣的读者参考[13、16、19、80、93]。这些问题有着根本的联系*奇堡埃科尔理工学院CMAP。mastrolia@polytechnique.edu.这项工作的一部分是在作者在巴黎奥菲大学（UniversitéParis D auphine）攻读博士学位期间完成的，我们衷心感谢他的支持。+巴黎大学-巴黎理工大学多芬分校，法国巴黎中央研究院，Ceremede，75016，possamai@ceremade.dauphine.fr.to设计最佳激励，因此在很多情况下都存在。

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2022-5-26 17:04:56

除了对员工最佳薪酬的显著应用之外，人们还可以思考信息不完善、政策工具有限的监管机构如何激励银行完全按照社会主义利益运营，公司如何以最佳方式补偿高管，关于银行如何实现抵押贷款的最佳证券化，或者投资者应如何向其投资组合经理支付报酬（更多示例请参见Bolton和Dewatripont[6]orLa Offont和Martimort[49]）。风险分担问题的早期研究可以在Borch【7】、Wilson【99】或Ross【78】中找到。从那时起，出现了大量文献，解决了非常普遍的风险分担问题，例如在一个具有多个代理和递归实用程序的框架中（见Du ffe et al.（25）或Dumas et al.（26），或用于研究投资组合经理的最佳补偿（见Ou Yang【60】或Cadenilas et al.（11））。从数学的角度来看，这些问题通常可以用它们的对偶公式或所谓的随机最大值原理来解决，它可以通过前向-后向随机微分方程的耦合系统来描述委托人和代理人的最优选择（续集中的FBSDE）（参见Cvitani'c和Zhang的非常好的专著【20】中的系统介绍）。几乎所有这些工作中的一个主要发现是，人们可以找到一个最优合同，该合同与代理人管理的产出的终值呈线性关系（这一结果已在[78]中获得），并且可以与他的绩效进行比较。

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2022-5-26 17:04:59

在特定情况下，甚至可以有马尔可夫最优合约，该合约是作为输出终值的（可能线性）函数给出的（详情请特别参见[11]）。关于所谓的道德风险问题，关于连续时间委托代理问题的第一篇论文是Holmstr"om和Milgrom的开创性论文【47】。他们考虑了具有指数效用函数的委托人和代理人，发现最优契约是线性的。Sch"attler和Sung【83，84】、Sung【90，91】、Müller【54，55】、Hellwig和Schmidt【46】利用随机控制理论中的经典动态规划和鞅方法对他们的工作进行了推广（更多参考请参见Sung【92】的调查论文）。Williams【97】和Cvitani'c、Wan和Zhang【17，18】的论文使用随机最大值原理和FBSDEs来描述更一般效用函数的最佳补偿。最近，Djehiche和Hegelsson也采用了这种方法。

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mingdashike22

2022-5-26 17:05:05

桑尼科夫（Sannikov）[81]在《道德风险设置》杂志上发表了一篇较新的开创性论文，他找到了一个易于处理的模型，用以解决代理人退休的随机时间和连续付款的问题，而不是在最终时间一次性付款。从那时起，不断增长的文献扩展了上述模型，包括跳跃式的输出过程[5、12、62、63、101]、不完善的信息和学习[1、21、39、40、44、71]、资产定价[61]、执行公司补偿[43]或抵押合同[67]（更多参考文献请参见启发性调查文件[82]）。与第一个最佳问题相比，道德风险案例对应于委托人和代理人之间的斯塔克伯格式博弈，即委托人将首先尝试计算代理人对给定合同的反应函数（即给定合同的代理人选择的最佳行动），并利用这个动作使他在所有可接受的合同上的效用最大化。这种方法并不总是有效的，因为在给定任意报酬（可能是非马尔可夫）的情况下，可能很难解决代理人的随机控制问题，而且委托人也可能很难在所有此类合同中实现最大化。此外，代理的最优控制（如果存在的话）以高度非线性的方式依赖于给定的契约，这使得委托人的优化问题更加困难和模糊。由于这些原因，如上所述，文献中也采用Pontryaginmaximal原理的随机版本来处理最一般形式的问题。尽管如此，这些标准方法都不能解决当代理还控制输出的离子效率，而不仅仅是漂移时的问题。

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2022-5-26 17:05:08

基于文献中的这一差距，Cvitani'c、Possama"i和Touzi【14，15】最近通过一种不同的方法，制定了一种解决问题的一般方法，见Miller和Yang【53】。对于每一个可能的代理人的控制过程，他们描述了与其激励相容的合同。动态规划和所谓的BSDE和2BSDE表明，在温和的条件下，委托人的问题总是可以以一种等效的方式重写为一个标准的随机控制问题，涉及两个状态变量，即输出本身以及代理的连续效用（或值函数），桑尼科夫（Sannikov）在[81]的具体背景中指出的一种特性，这一特性已经为经济学家所熟知，甚至在离散时间模型中也是如此，参见Spear和Srivastrava[88]。[14]的一个重要发现是，在委托投资组合管理问题的背景下，将Holmstr"om和Milgrom问题[47]推广到代理人可以控制（多维）输出过程的波动性的背景下，在第一个风险和道德风险问题中，最优合同都是路径依赖的，他们最重要的是使用输出过程的二次变化（另请参见[50]中的相关问题）。我们在本文中的目标是研究Holmstr"om和Milgrom问题的另一个推广[47]，即代理仅控制输出漂移，但扭曲之处在于，主代理和代理都可能对输出的波动性有一些不确定性，并且只相信它位于给定的R+区间内。这就是所谓的波动率模糊情况，最近在数学金融界、丹尼斯和马丁尼的开创性论文[22]以及经济学文献中都受到了广泛关注，例如，参见[34，35]。

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2022-5-26 17:05:11

从数学的角度来看，每件事都似乎委托人和代理人对合约问题都有一种“最坏情况”的方法，从这个意义上说，他们的行为就像“大自然”通过选择最坏的产出波动性来与他们作对。从数学上讲，这意味着委托人和代理人效用标准包含了这样一个事实，即他们正在与“自然”进行零和博弈。此外，我们对代理人和委托人关于可能波动情景的信念没有任何限制，因为他们的波动间隔可能有也可能没有非空的交叉点，尽管之前文献中没有考虑过波动性模糊性对最优合约的影响，Weinschenk[96]研究了漂移模糊性对离散时间线性合同的影响，Szydlowski[95]和Miao及Rivera[52]研究了漂移模糊性对Sannikov模型[81]的扩展，其中包括对代理的效用成本的模糊性。我们的论文也属于关于学习最优契约的文献，关于这些文献，我们可以参考威廉姆斯（Williams）[98]，普拉特（Prat）和约万诺维奇（Jovanovic）[71]，他（Weiand Yu）[45]，或戈洛索夫（Golosov），特罗什金（Troshkin）和齐文斯基（Tsyvinski）[41]，法希（Farhi）和沃宁（Werning）[36]f）的开创性论文，以探讨最优动态税收背景下的学习模型，帕万（Pavan，Segal和Toikka【64】和Garrett和Pavan【38】表示具有可转移效用的模型，DeMarzo和Sannikov【21】表示校长和代理人都从输出中了解未来的可操作性。然而，我们模型的学习特性涉及委托人和代理人本身的风险厌恶。本文的首要任务是解决风险分担问题。

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2022-5-26 17:05:15

令人惊讶的是，这个问题比经典情况下涉及的更多，因为它采用了一种非常不寻常的形式，即两个不同集合之和的上确界。尽管如此，我们提供了一种通用的方法来解决这个问题，它首先关注一个子类合同，类似于[14，15]中获得的合同，然后使用变分法和凸分析来论证子类中的最优合同应该是所有可接受合同中的最优合同。我们成功地将其用于“非学习”模型，即委托人和代理人都不会随着时间的推移更新他们对波动性的信念。尽管有限制，但这个基准模型有一个很好的特性，即所有内容都变得完全明确，并说明了我们的方法如何在实践中应用。我们还强调了一个令人惊讶的影响，我们将其解释为一种类似套利的行为，对应于委托人和代理人的波动区间在本文完成后的情况，我们已经了解到Sung正在准备的一篇论文，其中作者研究了一个与我们类似的问题。由于本文件【94】的预印本已在本手稿修订期间出现，我们将在下文第5节中解释并详细说明两者之间的主要差异。我们要感谢其中一位裁判提出的这一解释。完全不相交。在这种情况下，问题退化了，委托人实际上可以使用适当的契约序列达到效用0（我们提醒读者，指数效用是- 经验值(-Rpx），使其从上方以0为界）。接下来，我们集中讨论第二个最好的问题。

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2022-5-26 17:05:18

我们的第一个贡献是使用Soner、Touzi和Zhang[87]开发的二阶BSDE理论，更准确地说，使用Possama"i、Tan和Zhou[69]获得的最新适定性结果，以获得任何有效可积合约的代理价值函数的概率表示。特别是，这种表示方式可以方便地访问代理选择的最优操作。然后，遵循[14，15]的思想，我们将注意力集中在一个子类合同上，对于该子类合同，可以使用经典的动态规划类型参数来解决主要问题。然后，主要的问题是证明该限制实际上没有失去一般性。我们强调，尽管这种方法在精神上与[15]中使用的方法相似，但我们不能使用他们的预防方法。事实上，我们的问题本质上是不同的，因为代理人本身并不控制产出的波动，而是忍受它。因此，我们必须完全不同地进行，并提供一个一般的论点，用偏微分方程技术表明，原始问题和次优问题的值函数实际上解决了相同的偏微分方程，这意味着它们在该偏微分方程的解的唯一性方面是相等的。我们认为，这种普遍做法实际上可以适用于许多情况，是我们的主要贡献之一。此外，我们得到了一个非常普遍的结果，即如果委托人和代理人的信念完全不同，那么问题总是会退化，并且委托人可以达到效用0，从而使第二个最佳和第一个最佳问题相同。

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2022-5-26 17:05:22

这一结果再次表明，有必要摆脱这些类似套利的情况。为了简单明了，我们还通过直接方法解决了上述“非学习”模型中的问题，其中两个值函数的识别实际上可以通过简单（但繁琐）代数获得，构造适当的紧上下边界？论文的其余部分组织如下。我们在第二节介绍了模型和承包问题。然后，第3节专门讨论风险分担问题，而第4节处理道德风险案例。最后，我们在第5节中介绍了一些可能的扩展。附录重新整理了一些技术证明。2模型2.1随机基础从给出所有必要的符号和定义开始，使我们能够考虑问题的所谓“弱”表述。在本文中，我们将用R表示*+正实数的集合。允许Ohm:= {ω∈ C（[0，T]，R），ω=0}是具有一致范数| |ω| | T的正则空间∞:= sup0≤t型≤T |ωT |。然后我们用B表示正则过程，p维纳测度，F：={Ft}0≤t型≤t由B和F+生成的过滤：={F+t，0≤ t型≤ T}，F的右极限，其中F+T：=∩s> tFs。我们将用M表示(Ohm) 上的所有概率度量集(Ohm, 英尺）。我们还回顾了所谓的通用过滤F:= {Ft} 0个≤t型≤Tde定义如下Ft： =\\P∈M级(Ohm)FPt，其中FPt是P.下对有限维空间的任何赋范向量空间（E，k·kE）和(Ohm, FT），我们用h（E，X）表示所有X的集合-具有E值的渐进可测量过程。

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2022-5-26 17:05:25

此外，对于所有p>0和所有p∈ M级(Ohm), 我们用Hp（P，E，X）表示元素H满足ephrtkhtkpetti<+∞.这些空间的本地化版本由Hploc（P、E、X）表示。对于任意子集P M级(Ohm), a P-极轴集是P-所有P的可忽略设置∈ P、我们说一个财产-准-如果它在某个P之外-极轴集。我们还表示为HpP（E，X）：=TP∈PHploc（P、E、X）。最后，我们介绍以下过滤GP：={GPt}0≤t型≤t在后续GPT中有用：=Ft型∨ NP，t≤ T、其中NP是P的集合-极轴集及其右连续极限，表示为GP，+。让我们使用符号R+:= （0+∞). 对于所有α∈ Hloc（P，R+, F），我们定义了以下概率度量(Ohm, F） Pα：=Po （Xα）-其中Xαt：=Ztα1/2sds，t∈ [0，T]，P- a、 s.（2.1）我们用pst表示(Ohm, 英尺）。我们从[48]中回忆起，二次变化过程hBi在任何P∈ PS，并取从R+到R的所有非递减连续函数集中的值+. 对于任何p>0bHpP（E，X），我们表示：=γ∈ H（E，X），支持∈政治公众人物ZTkγtkpEdhBit< +∞.我们将用bα表示关于Lebesgue测度的hBi的路径密度。最后，我们从[86]中回忆起∈ pssaties Blumenthal零一定律和鞅表示性质。Byde定义，对于任何P∈ PSWPt：=Ztbα-1/2分贝，P- a、 s.，是a（P，F）-布朗运动。注意概率在P∈ P验证以下两个完成的过滤等于（FWP）P，（2.2），其中FWP是工艺WP的自然（原始）过滤。wp对潜在概率测度的依赖性主要是由于随机积分的构造一般只在几乎确定的意义上进行。

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2022-5-26 17:05:29

为了获得更好的美容效果，我们希望能够找到这个家族的通用聚合器。使用[57]的结果，例如假设我们在通常的ZFC框架下工作，并且除了连续统假设之外，实际上存在这个族的聚合版本，我们用W表示，它是F-自适应和a（P，FP）-每P的布朗运动∈ PS.我们在本文中的重点将放在PS.Definition 2.1的以下子集上。PMI是PSCON的子类，包含所有P∈ PSsuch正则过程B是a（P，F）-一致可积鞅。我们坚持这样一个事实，如果一个人不想假设这样一个公理，这对我们这部分工作来说不是问题，他只需要继续与家庭（WP）P合作∈然而，当在文件中定义可接受合同集时，我们需要它来定义随机积分的聚合版本。如果人们不想使用它，这意味着我们必须将CSBto中的控制过程Z限制为具有足够规则轨迹的过程，以应用Karandikar的路径积分理论。然而，根据标准密度结果，它不应改变主体的值函数。代理人的行为将被视为F-可预测过程是在紧集[0，amax]中取值（对于每个ω）。该上限对应于代理的最大效用，我们假设委托人知道该上限。我们认为，这种假设是合理的，因为我们在这里假设委托人知道代理人的关键特征，并且后者不能任意施加更大的影响。我们用A来表示这个集合。接下来，对于任何子集P P和任何a∈ A、我们定义nePa：=Q、 s.t.dQdP=EZTasbα-1/2个DWS, P- a、 s.、f或某些P∈ P.我们还表示PA：=∪一∈APa。

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2022-5-26 17:05:34

特别是对于每个P∈ PAthere ex ists a unique pair（αP，aP）∈Hloc（P，R+, F） ×A使得bt=ZtaPsds+Zt（αPs）1/2dWaPs，P- a、 s.，（2.3），其中dWaPs：=dWs- （αPs）-1/2 PSDS，P- a、 s.是a（Pa，FPa）-根据Girsanov定理得出的布朗运动。更准确地说，对于任何P∈ PA，我们必须有dpdpα=EZTasbα-1/2分贝,对于某些（α，a）∈ Hloc（P，R+, F） ×A和下列等式保持ap（B·）=A（B·）和αP（B·）=α（W·），dt×P- a、 e.为了简单起见，我们有时会表示概率度量P∈ P的任意子集的PASby Pαa Pm，我们也表示任何（t，P）∈ [0，T]×PP（P，T+）：=nP′∈ P、 P′=P，在F+to上。我们还记得，对于Ohm 和F-停止时间τ取[0，T]中的值，存在一类正则条件概率分布（简称r.c.p.d.）（pτω）ω∈Ohm（参见例如Stroock和Varadhan[89]），满足（i）的每ω∈ Ohm, Pτω是(Ohm, 英尺）。（ii）对于每个E∈ FT，映射ω7-→ Pτω（E）是Fτ-可测量的（iii）族（Pτω）ω∈Ohm是P对Fτ的条件概率测度的一个版本，即对于每个可积ft-可测随机变量ξ我们有EP[ξ| Fτ]（ω）=EPτωξ, 对于P- a、 e.ω∈ Ohm.（iv）对于每个ω∈ Ohm , Pτω(Ohmωτ）=1，其中Ohmωτ：=ω∈ Ohm, ω（s）=ω（s），0≤ s≤ τ（ω）.此外，给出了一些P和一个族（Qω）ω∈Ohm这样ω7-→ Qω是Fτ-可测和Qω(Ohmωτ）=所有ω的1∈ Ohm, 然后可以定义串联概率测度PτQ·byPτQ·A.:=ZOhmQωA.P（dω），A.∈ FT.我们在结束本介绍部分时注意到∈ A只影响B分解（2.3）中的漂移，我们直接得到Pm的任何P、Psubsets的漂移一∈ A、 P∩ P6= <==> 一∈ A、宾夕法尼亚州∩ Pa6=.

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2022-5-26 17:05:37

（2.4）显然，当前框架对包含逆向选择的模型的扩展，也就是说，校长实际上并不完全了解代理人的所有特征，这不仅在数学上是有趣的，而且从应用的角度来看也是有趣的。然而，我们相信这将导致一个更困难的问题，并留给未来的研究。2.2有限时间范围内的收缩问题2.2.1环境集我们考虑Holmstr"om和Milgrom经典问题的推广[47]，并确定给定时间范围T>0。在这里，代理人和委托人都观察结果过程B，但委托人可能不观察代理人选择的行动，并且他们都对合同采取“最坏情况”的方法，从某种意义上说，他们的行为就像“自然”通过选择最坏的产出波动性来与他们作对。更准确地说，合同就是金融时报-可测量的随机变量，仅对应于代理人在时间T收到的工资。然后，代理对项目的波动性有一些信念，这些信念可以归纳为一个族（PA（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 对于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, PA（t，ω） Pm。（t，ω）中的依赖性允许代理对波动性的信念随时间和观察到的随机性而变化，也就是说随输出过程B的演变和历史而变化。同样，我们引入了一个家族（PP（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm与校长的信仰有关。注意，对于任何ω，ω=0∈ Ohm, t=0时的这些集合不依赖于Ohm, 因此，对于任何ω，我们将使用简化的符号PA:=PA（0，ω）和PP:=PP（0，ω∈ Ohm. 我们强调，这些族不能完全任意选择，必须满足一定数量的稳定性和可测性，这是随机控制理论中的经典。

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2022-5-26 17:05:40

其中大多数都是非常技术性的，因此我们将避免对其进行评论，而是将感兴趣的读者引荐给【69】。我们将在本文中始终假设以下假设2.1。对于ψ=A，P，每个（t，ω）有（i）∈ [0，T]×Ohm, 一个有Pψ（t，ω）=Pψ（t，ω·∧t）和P(Ohmωt）=1，每当P∈ Pψ（t，ω）。Pψ的图[[Pψ]]，由[[Pψ]]定义：={（t，ω，P）：P∈ Pψ（t，ω）}，在[0，t]×中是上半解析的Ohm ×M(Ohm).（ii）Pψ在条件下是稳定的，即对于每个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 每个P∈ Pψ（t，ω）和F-停止时间τ取[t，t]中的值，有一个r.c.p.d.（Pw）w族∈Ohm这样Pw∈ Pψ（τ（w），w），对于P- a、东西方∈ Ohm.（iii）Pψ在串联下是稳定的，即对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和P∈ Pψ（t，ω）与a F-停止时间τ取[t，t]中的值，如果（Qw）w∈Ohm是一系列概率测度，使得qw∈ Pψ（τ（w），w）表示所有w∈ Ohm 和w 7-→ Qwis Fτ-可测量，然后串联概率测量τQ·∈ Pψ（t，ω）。我们还需要考虑这些家族诱导的bα的支持。定义2.2。对于ψ=A，P，我们表示，对于y（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 由Dψ（t，ω）r的最小闭子集+例如P（{w∈ Ohm, bαs（w）∈ Dψ（t+s，ωtw），用于a.e.s∈ [0，T- t] }）=1，其中串联路径ωtw公司∈ Ohm 定义为（ωtw）（s）：=ω（s）1s≤t+（w（s）- ω（t））1s∈（t，t），s∈ [0，T]。让我们以歧义集的激励示例来结束本节。示例2.1（学习和非学习模型）。这里我们想到的主要例子是对应于所谓的随机G-Nutz在[58]中介绍了期望。

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2022-5-26 17:05:44

其思想是直接指定bα的支持，并考虑，对于ψ=A，P，集值过程Dψ：[0，T]×Ohm 7.-→ 2R级+在图形的意义上，它是逐步可测量的——可测量性，也就是说，对于所有∈ [0，T]，我们有（s，ω，A）∈ [0，t]×Ohm ×R+, A.∈ Dψ（s，ω）∈ B（[0，t]）英尺 B（R+),他在第3节的风险分担问题中观察到了这一点，但在第4节的道德风险案例中却没有观察到。式中，B（[0，t]）和B（R+) 波雷尔是σ吗-[0，t]与R的代数+. 在这种情况下，为任何（t，ω）定义了集合Pψ（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 作为概率测度P的集合∈ M级(Ohm) 这样bαs（w）∈ Dψ（s+t，ω）tw），用于ds 数据处理- a、 e.（s、w）∈ [0，T- t] ×Ohm.Nutz和van Handel在[59]中已经证明，集合Pψ（t，ω）确实满足假设2.1。例如，我们可以假设存在过程（αP，αA，αP，αA）∈H（R*+, F）对于任何（t，ω）∈ [0，T]×OhmDA（t，ω）=[αAt（ω），αAt（ω）]，DP（t，ω）=[αPt（ω），αPt（ω）]。这通常会导致一个模型，在该模型中，委托人和代理人估计输出的波动性将存在于区间内，其界限可能会随着输出过程的路径而变化。对这种情况的一种解释是，委托人和代理人都通过观察输出过程B的过去实现情况来更新他们的信念，因此存在某种学习效果。在本文中，我们将通过将其与一些Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs偏微分方程联系起来，解释如何解决与此类框架相关的道德风险问题。然而，我们将在唯一一种情况下进一步说明我们的结果，据我们所知，这种情况导致完全明确的计算，对应于假设αP，αA，αP，αAare为常数过程。在这种情况下，代理和校长没有随着时间学习。

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mingdashike22

2022-5-26 17:05:47

显然，这是一种不切实际的情况，在某些情况下会导致类似套利的结果，这将受到评论。然而，我们认为，如果谨慎处理，即使是这种情况也会导致有趣的定性结果，值得彻底治疗。2.2.2委托人和代理人的效用我们现在拥有所有必要的工具，以指定代理人获得的效用，给定合同ξ，建议的效用水平∈ A和一个模糊集（PA（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×OhmuA（ξ，a）：=infP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds,式中，UA（x）：=- 经验值(-RAx）是代理的效用函数，对于某些RA>0，k（x）是他的代价函数，通常假设它是递增的、严格凸的和超线性的。时间0时代理的值函数为thereforeUA（ξ）：=supa∈AinfP公司∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds.类似地，主体的效用，具有一个歧义集（PP（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 当提供合同ξ和建议的服务水平时∈ A isuP（ξ，A）：=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ） ]，（2.5），其中UP（x）：=- 经验值(-RPx）是主体的效用函数。设R<0表示代理的保留实用程序。然后，委托人的问题是根据约束条件（ξ，a），提供合同ξ以及建议的福利水平a，以最大限度地发挥其效用（2.5）≥ R、（2.6）uA（ξ，a）=uA（ξ）。

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2022-5-26 17:05:50

（2.7）第一个约束是所谓的参与约束，而第二个约束是通常的激励相容性条件，说明在合同ξ的情况下，建议的激励水平a应该是代理人的最佳响应。此外，我们将用C表示可接受契约集，也就是说FT集-可测量的随机变量，例如∈PAA公司∪PAPEP[经验（p |ξ）]<+∞, 对于任何p≥ 0，（2.8），我们立即强调，在解决第二个最佳问题时，由于与可积性假设相关的技术原因，我们必须对可接受的契约进行更多的限制。然而，我们将确切声明推迟到第4.3节，因为它需要相当多的准备工作。3第一个最佳：变量演算问题在本节中，我们首先研究校长的第一个最佳问题，因为它将作为我们的主要基准，据我们所知，在现有文献中没有考虑过。此外，我们将看到推导过程比经典情况下复杂得多。如此之多，以至于与经典的Holmstr"om和Milgrom问题相比，令人惊讶的是，最优合约通常与输出BT的最终价值呈非线性，甚至是路径依赖的。回想一下，对于任何合同ξ∈ C和任何推荐的a级福利∈ AuP（ξ，a）=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ）】。主体的值函数为thenUP，FB：=supξ∈Csupa公司∈A.uP（ξ，a）, （3.1）必须满足以下参与约束的FP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds≥ R

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2022-5-26 17:05:54

（3.2）然后可以重写（3.1）定义的主函数的值函数，FB：=supξ∈Csupa公司∈A.infP公司∈PaPEP[向上（BT- ξ） ]+ρinfP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds, （3.3）此处拉格朗日乘数ρ>0，以确保参与约束（3.2）成立。3.1 G–teaux差异性和最优性再次指出，主要的困难在于集合Pa和Ppa过于抽象，无法直接解决一般问题（3.3），尤其是因为我们不知道这两个函数是否实现。为了克服这一主要困难，我们将把可接受的合同限制为委托人和代理人都有最坏情况衡量标准的合同。为了做到这一点，让我们首先介绍一下ψ=A，P，任何合同ξ的以下WorstProbability集合∈ C、以及任何∈ AP公司,aψ（ξ）：=P∈ Paψ，infP∈PaψEPUψ（BT- ξ）= EP公司Uψ（BT- ξ）.但见上文脚注2。然后，我们需要：=ξ∈ C、 P,aψ（ξ）6=, ψ={A，P}，一∈ A..因此，问题（3.3）仅限于合同ineC，FB：=supξ∈eCsupa公司∈A.EP公司,a、 ξP[上（BT- ξ） ]+ρEP,a、 ξaUA公司ξ-ZTk（as）ds, （3.4）其中P,a、 ξa和P,a、 ξP的Pare泛型元素,aA（ξ）和P,aP（ξ）。其次，将上述两个期望写在不同的概率度量下并不十分方便。

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2022-5-26 17:05:57

因此，我们将使用他们的定义，将所有计算带回P下。让我们首先考虑所谓的Morse-Transue空间(Ohm, FT，P）（我们请读者参考声像图[72，73]了解更多详细信息），定义为mφ：=nξ：=Ohm -→ R、可测量，EP[φ（aξ）]<+∞, 对于任何a≥ 0o，其中φ是年轻函数φ（x）：=exp（| x |）- 1、如果Mφ赋有normkξkφ：=supnEP[ξg]，则赋有EP[φ（g）]≤ 1o，它成为（非反射）Banach空间。那么，对于任何一个∈ A和（αP，αA）∈ Hloc（P，R+, F） ×Hloc（P，R+, F），我们考虑mapΞαP，αAa:Mφ-→ Rde定义为αP，αAa（ξ）：=EP“e-卢比RTas（Xa，αP·）ds+RT（αPs）dBs-ξ（Xa，P·）+ ρe-RA公司ξ（Xa，αA·）-RTk（as（Xa，αA·））ds#,用Xa，αP·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αPs（B·））dBs，Xa，αA·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αas（B·））dBs。现在让我们（ξ，a）∈对于ψ={A，P}和每个Pψ∈ P,aψ（ξ）我们关联相应的αψ，（回顾（2.1））。然后我们得到eup，FB=s upξ∈eCsupa公司∈一-αP，,αA，ao。我们首先关注ξ的最大化。可以很容易地检查出ΞαP，,αA，aisaξ中的严格凸映射，它是另外一个适当的连续映射。然而，由于Mφ不存在，我们不能声称它达到了最小值。尽管如此，我们仍然可以使用G’teaux导数来描述极小值。

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2022-5-26 17:06:00

实际上，一个随机变量ξ∈ Mφ使αP最小化，αa必须满足以下性质αP，,αA，a（ξ）[h- ξ]≥ 0，对于任何h∈ Mφ，（3.5），其中ΞαP，,αA，AdonetesΞαP的GΞteaux衍生物，,αA，agiven byeDΞαP，,αA，a（ξ）[h]=EP“RPh（Xa，αP，·)e-卢比RTas（Xa，αP，·)ds+RT（αP，s）星展银行-ξ（Xa，αP，·)- RAh（Xa，αA，·)ρe-RA公司ξ（Xa，A·）-RTk（as（Xa，αA，·))ds公司#.因此，如果合同ξ∈eC满足属性（3.5），对于问题（3.4）来说是最优的。我们坚持认为，在本节中，我们的主要目的是提出一种研究波动率不确定的风险分担问题的一般方法。从我们对这个问题的理解来看，我们认为，对于非常普遍的歧义集pap和PP来说，不首先研究次优问题（3.4）将是极其困难的，因为后者可以用上面更方便的形式来表达。尽管如此，我们将在下面展示，在我们创造的“非学习”模型中，限制实际上没有失去一般性，这给了我们希望在未来的工作中能够处理完全一般的情况。然而，这超出了本文件的范围。话虽如此，让我们更准确地描述我们为解决风险分担问题而提出的操作方法。方法1。该方法分为两个步骤。（1）我们将研究局限于包括ineC在内的一组特定合同，我们凭直觉证明了这一点。如果这个问题可以解决，那么我们可以检查相应的最优合同是否满足（3.5）中的一阶最优条件。（2）有了次优问题（3.4）的解决方案，我们可以尝试证明它实际上与问题（3.3）的值函数一致。当然，我们需要谈谈在上述第一步中选择相关合同子集的问题。

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2022-5-26 17:06:03

如【14，15】所述，当一个人处理一个由代理控制的输出波动性的问题时，相对于输出带的线性（在积分意义上）契约及其二次变化hBi起着根本作用。因此，我们希望（并期望）在以下集合中获得最佳合同：=ξ∈eC，ξ=ZTztdBt+ZTγtdhBit+ZTδtdt，（z，γ，δ）∈ HP（R，F）×bHP（R，F）×H（R，F）.在这种情况下，合同ξ显示为受控扩散过程的终值，我们预计风险分担问题（3.4）可以使用随机控制理论中的技术来解决。这样的一般解决方案再次超出了本文的范围，但我们将通过解决尽可能简单的情况来说明我们的方法（对于这种情况，证明已经远远不是微不足道的）。3.2非学习模型的应用在本节中，我们将说明前面在示例2.1中介绍的“非学习”模型中的解释。我们将看到，我们实际上可以进一步简化上面的seteQ，并引入thesetQ：=nξ∈ C、 ξ=zBT+γhBiT+δ，（z，γ，δ）∈ Ro。请注意，合同假定为C语言，而非ineC语言。这实际上是我们的一个结果，Q欧共体。从现在开始，注意Q中的任何合同ξ都是由相应的三重过程（z，γ，δ）唯一定义的。对于任何三重态（z，γ，δ），我们设置ξz，γ，δ：=zBT+γhBiT+δ。因此，我们旨在解决次优问题FB：=sup（z，γ，δ）∈P（F）supa∈A.infP公司∈PaPEPhUP英国电信- ξz，γ，δi+ρinfP∈PaAEP公司UA公司ξz，γ，δ-ZTk（as）ds.

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mingdashike22

2022-5-26 17:06:07

（3.6）我们坚持这样一个事实，即这种情况不同于最初的Holmstr"om–Milgrom（47）问题，在该问题中，第一个-最好的合同在BT中是线性的，因此更接近于其在[14]中的最新推广，即允许代理人控制产出的波动性，最优合同在其二次变化hBiT中是线性的。尽管如此，在【14】的背景下，道德风险源于输出过程的多维性，而它来自于我们框架中的主体和代理人的最坏情况态度。3.2.1不相交点的退化性PPand PAOur的第一个结果表明，如果主体和代理的模糊集是完全不相交的，则Q中存在契约序列，这样主体可以达到其效用的普遍上界0，同时确保代理仍然收到其保留效用R。定理3.1。（i）假设αP<αA。然后，考虑合同序列（ξn）n∈N建议使用ξn：=nhBiT-TnαA+δ, δ:= T k（amax）-日志(-R） RA我们有limn→+∞对于任意n，uP，FB（ξn，amax）=0，uA（ξn，amax）=R≥ 1.（ii）假设αP>αA.T，考虑合同序列（ξn）n∈N和建议的e或Tamax，ξn：=-nhBiT+TnαA+δ, δ:= T k（amax）-日志(-R） RAwe有限制→+∞对于任意n，uP，FB（ξn，amax）=0，uA（ξn，amax）=R≥ 1、在证明这一结果之前，让我们对其进行评论。我们将看到这样的证明：当委托人和代理人的不确定性集完全不相交时，委托人可以在合同中使用二次变化分量，以使出现在指数中的项可以任意大，但代理人在其效用中根本看不到，当它被构造成在最坏的情况下消失时，cas电子概率度量代理。

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2022-5-26 17:06:10

因此，这是委托人和代理人的最坏情况度量之间的差异，以及他们的不确定性集不相交这一事实的结合，这使得问题恶化。从数学的角度来看，这是一个相当令人惊讶的结果，但从经济学的角度来看，这并不令人惊讶。事实上，首先，在这种情况下，代理人和委托人并不生活在同一个世界，因为他们有完全不同的信仰。此外，他们中没有人从对已实现波动率的观察中学习，也没有人更新自己的信念，这使得这一具体情况相当粗糙。然而，我们仍然相信，它可以作为一个有趣的玩具模型，只要你仔细考虑从中得出的结论。我们稍后将证明，这种现象也总是发生在第二好的情况下。证据（i）第一种情况：αA>αP。我们的目的是证明合同序列（ξn）是合同的最大化序列，允许委托人在建议额外的效用水平时达到效用0。We haveuP（ξn，amax）=infP∈PamaxPEP[向上（BT- ξn）]=infP∈PamaxPEPh公司-e-RP（BT-nRTαPsds+TnαA-δ)i=e-RP（TnαA-δ)infP公司∈PamaxPEPh公司-e-RP（RT（αPs）1/2dwaxs+T amax-nRTαsds）i=-e-RP（T amax+TnαA-δ)支持∈PamaxPEP公司E-RPZT（αPs）1/2dwaxs×经验值RPZTαPSD+RPnZTαPSD= - 经验值-卢比amaxT公司- δ+Tn（αA-αP）-RPTαP,我们使用的事实是，对于任何P∈ PamaxP，我们有经验RPZTαPSD+RPnZTαPSD≤ 经验值TRPαP+RPnTαP, P- a、上面出现的随机指数显然是一个P-任意P的鞅∈ PamaxP，因此s upremum的值是明确的，并可用于测量PαPamax。因此，我们得到uP（ξn，amax）-→ n时为0→ +∞. 自成立以来，FB≤ 0时，我们推断序列（ξn）在n变为+∞.

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2022-5-26 17:06:15

对于任何n∈ N, ξ是可接受的，即ξnsatis fiesinfp∈PamaxAEPhUAξn- Kamax）T我≥ R、 n个∈ N.的确，infP∈PamaxAEP[UA（ξn- T k（amax））]=infP∈PamaxAEP公司[- 经验值(-RA（ξn- T k（amax））]=infP∈PamaxAEP公司- 经验值-RA公司nZTαPsds-TnαA+δ- T k（amax）= - 经验值-RA公司δ- T k（amax）-TnαA支持∈PamaxAEP公司经验值-RAnZTαPsds= -e-RA（δ-T k（amax））=R.（ii）第二种情况：αA<αP。证明类似，因此我们省略了它。3.2.2具有交叉不确定性集的最优合同我们现在应用方法1研究非退化情况。我们介绍以下地图，定义为任意（a、z、γ、δ、αP、αa）∈ A×R×[αP，αP]×[αA，αA]，将在以下情况中发挥重要作用（A，z，γ，δ，αP，αA）：=ΓP（A，z，γ，δ，αP）+ρΓA（A，z，γ，δ，αA），（3.7），其中ΓP（A，z，γ，δ，αP）：=- 经验值卢比δ- （1）- z） ZTasds公司+RP（1- z） +γαPT,ΓA（A，z，γ，δ，αA）：=- 经验值RA公司ZTk（as）ds- zZTasds- δ+拉兹-γαAT.让我们定义Adet子集一系列具有确定性的行为。我们定义了任何（a、z、γ、αP、αa）∈A×R×[αP，αP]×[αA，αA]，G（A，z，γ，αP，αA）：=- ρRPRA+RPRA+RPRPRARP-RARA+RPERARPA+RPRT（k（as）-as）ds×eRARPRA+RP（γT（αP-αA）+T（αPRP（1-z） +αARAz））。当αP=αA时，注意到G（A，z，γ，αP，αA）不依赖于γ，我们将简单地写出G（A，z，αP）：=G（A，z，γ，αP，αP）。为了减少后期的计算，我们将集合Q划分为Qγ：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ<-RP（1- z）,Q |γ|：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q-RP（1- z） <γ<RAz,Qd：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q-RP（1- z） =γ,Qu：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ=RAz,Qγ：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ>RAz,并确定任何（a，ξ）∈ A×CeuP，FB（A，ξ）：=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ） ]+ρinfP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds.以下引理计算了委托人的效用euP，FB（a，ξ），以获得任何合同ξ中建议的效率水平∈ Q、它的证据被归入附录。引理3.1。我们有Q欧共体。

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