最优策略对应于具有恒定方差矩阵‘∑的市场中的最优均值-方差组合策略。什么时候> +, 这意味着一种资产明显支配着另一种资产，最好通过价差交易投资两种资产，即买入一种资产，卖出另一种资产（回想一下，在这种情况下，κκ<0），最坏的情况对应的相关性最低，其中价差交易的收益最小。什么时候≤ +≤ \'\', 最好投资其中一只股票，但不能同时投资两只股票，因为定向交易不适合高相关性，而利差交易不适合低相关性。然后，风险资产的选择自然会选择瞬时夏普比率最高的资产。我们注意到[14]中对效用函数稳健投资组合优化得出了类似的解释，但在本文中，作者通过区分四种情况得出了最坏的情况（见定理2.2）：（1）“κ”κ>0和κκ≥ 0，（2）“κ”κ≤ 0和κκ<0，（3）κ≤ 0和κκ≥ 0和（4）“κ”κ>0和κκ<0。与【14】相比，我们进一步推动了计算，并将方差风险比“κ”和“κ”的不同情况简化为明确的描述，在相关性方面有三种情况, , 和+. 实际上，如引理4.2所示，我们的案例1，分别是。2，分别。定理4.2中的3分别等价于它们的情形（1）。（2） ，分别为。（3） 看来他们的最后一个案子（4）永远不会发生。我们还要指出，对于相关模糊下的单周期均值-方差问题，在[23]（见第2条）中对三种情况的相关性进行了类似的描述。

5稳健有效前沿我们用U（θ）表示，在最坏情况方差风险θ>0的情况下，最优最坏情况预期终端财富，即U（θ）=supnE（α）：α∈ A、 R（α）≤ θ}，其中我们回顾了稳健马科维茨问题（2.5）的符号：E（α）：=infPσ∈PΘEσ[XαT]，R（α）：=supPσ∈PΘVarσ（XαT）。通过凸集A中Xαw.r.t.α的线性，X的凸性（分别为线性）∈ L（FT，Pσ）7→ Varσ（X）（分别为Eσ[X]），很容易看出函数ui是凹的。r、 t.θ∈ （0，∞).我们考虑条件（IC）下第4节的一般框架，并强调V=V（λ）和α的依赖性*= α*,λ、 风险规避参数λ：V（λ）=infα的稳健均值-方差投资组合选择p问题（2.4）的最优成本和最优投资组合策略∈AsupPσ∈PΘλVarσ（XαT）- Eσ[XαT]= 供应σ∈PΘλVarσ（Xα*,λT）- Eσ[Xα*,λT].从第4.1节的（4.14）中，我们可以回忆起V（λ）=-4λhexpR（θ*)T- 1i- x、 （5.1）式中，R（θ）=bγ（θ）-1b和θ*= arg最小θ∈ΘR（θ）。此外，一个重要的观察结果（见（4.13））是预期的最优终端财富Eσ[Xα*,λT]在任何先验概率测量下，Pσ实际上并不取决于∑∈ VΘ，因此：E（α*,λ） =Eσ[Xα*,λT]=：(R)ρ*,λT，∑∈ VΘ，（5.2）带ρ*,λT=x+2λhexpR（θ*)T- 1i。（5.3）通过采用凸优化理论中的标准参数，我们展示了稳健均值-方差问题和稳健马科维茨问题之间的对偶关系，即：V（λ）=infθ>0λθ- U（θ）, λ>0，U（θ）=infλ>0λθ- V（λ）, θ>0。（5.4）事实上，对于固定θ>0和任何ε>0，存在一个ε-最优控制U（θ），即控制θαε∈ A s.t.U（θ）≤ E（|αε）+ε和R（|αε）≤ θ。

因此，对于所有λ>0，V（λ）≤ 供应σ∈PΘλVarσ（X|αεT）- Eσ[X|αεT]≤ λsupPσ∈PΘVarσ（X|αεT）- infPσ∈PΘEσ[X|αεT]=λR（|αε）- E（|αε）≤ λθ- U（θ）+ε。由于ε是任意的，且上述关系适用于任何固定的θ>0，这表明V（λ）≤ infθ>0λθ- U（θ）, λ>0。（5.5）相反，对于固定λ>0，让我们考虑最优控制α*,λ∈ A表示V（λ），s etθλ：=R（α*,λ） 这绝对是正的，因为终端财富Xα*,λ不是常数。然后，通过定义U（λ），我们得到e（α*,λ）≤ U（λ），s o乘以（5.2）V（λ）=supPσ∈PΘλVarσ（Xα*,λT）- Eσ[Xα*,λT]= λR（α*,λ）- E（α*,λ） （5.6）≥ λθλ-U（λ）。与（5.5）一起，这显示了（5.4）中的第一个对偶关系，即相对于U的芬切勒让德变换，且λ在该变换中达到最大值：V（λ）=infθ>0λθ- U（θ）= λθλ- U（λ）。（5.7）通过U的凹性，我们推导出（例如[32]）（5.4）中的第二个对偶关系，即V的Uishe-Fenchel-Legendre变换。接下来，从Vin（5.1）的显式表达式中观察到（0）上的严格凹函数，∞), 带V′（0+）=∞, V′(∞) = 0。然后，对于任何固定的θ>0，存在唯一的λθ>0，达到λ的最大值∈ （0，∞) 7.→ λθ-V（λ），以V′（λθ）=θ为特征，由λθ=sexp显式给出R（θ*)T- 14θ。（5.8）关系式（5.8）给出了稳健马科维茨问题中方差风险与稳健均值方差问题中拉格朗日乘数之间的明确联系。然后将该拉格朗日乘数λ解释为风险规避参数：λθ越大，方差风险θ越低。根据对偶关系（5.4），我们得到：V（λθ）=λθθ- U（θ）=infθ′>0[λθθ′”- U（θ′），这意味着θ达到了θ′的上限∈ （0，∞) 7.→ λθθ′-U（θ′）。由于Vis strictlyconcave，其Fenchel-Legendre变换Uis也是严格凹的（参见例[32]），因此这是唯一的。回顾（5.7），这表明θ=θλ=R（α*,λθ）。

结合（5.6），我们得到：U（θ）=λθθ- V（λθ）=λθR（α*,λθ）-λθR（α*,λθ）- E（α*,λθ）= E（α*,λθ），证明了^αθ=α*,λθ是稳健马科维茨问题U（θ）的一种解决方案，即在最坏情况方差风险θ>0的情况下，Arobast有效的投资组合策略。从（5.2）、（5.3）和（5.8）中，我们得到了鲁棒有效前沿的显式形式：U（θ）=e（^αθ）=ρ*,λθT=x+√θqexpR（θ*)T- 1，θ>0（5.9）=x+qR（^αθ）qexpR（θ*)T- 1、为了总结上述讨论，我们得到以下结果：（IC）下的定理5.1，鲁棒Markowitz问题（2.5）的有效边界由关系式（5.9）明确给出。关系式（5.9）明确确定了最坏情况平均值（回报）和最坏情况方差（风险）之间的权衡，并且可以颠倒：给定预期回报水平m>x，稳健投资者可以承担的风险为：m=U-1（m）=（m- x） 经验值R（θ*)T- 1，m>x。请注意，稳健有效前沿（5.9）涉及一个平方根形状，如马科维茨问题中的经典有效前沿，参见例[38]。让我们考虑投资组合策略的夏普比率α∈ A，由s（α）=E【XαT】定义- xqVar（XαT），即在tru e历史概率度量下评估的每un it的预期收益超过标准偏差。

通过对稳健马科维茨问题的定义，并根据关系式（5.9），我们得到了任何稳健有效投资组合策略的Sh arpe比的下界≥E（^αθ）- xqR（^αθ）=qexpR（θ*)T- 1=：S。换句话说，稳健的投资者可以实现至少大于S>0的夏普比率，并且该下界对于协方差矩阵上的任何模型错误都是稳健的。6稳健的夏普比率与模型误判在本节中，我们通过两个例子说明稳健的均值-方差组合策略如何有助于保护投资者免受模型误判，有时还可以提高特定参数选择的夏普比率。6.1赫斯顿型随机波动率模型我们考虑一个只有一项风险资产的市场，并假设股票价格的真实动态由赫斯顿型随机波动率模型给出（dSt=st（bdt+σtdWt）dσt=κ（σ∞- σt）dt+ηq（σt- σ） （(R)σ- σt）dWt（6.1），其中W，W是真实概率测度P下的两个布朗运动，具有负相关 代表杠杆效应，κ>0，σ∞∈ [σ，\'σ]，0<σ≤ \'\'σ<∞. 与原始Heston随机波动率模型相比，其中方差σt遵循CoxIngersoll-Ross过程，因此其值为（0，∞), 这里我们考虑一种变化，其中方差遵循Wright-Fisher动力学，且有界，值为[σ，\'σ]。我们现在考虑一个简单的投资者，他知道漂移b，但由于认为它等于常数σ，因此错误地指定了波动率。换言之，她/他认为股票价格受参数（b，|σ）的Black-Scholes模型控制。

因此，从[38]中的结果或我们第4.1段中的一个特殊情况来看，当Θ被减少到singleton{σ}时，风险规避参数λ>0且初始资本xis由以下公式得出的“指定错误”投资者的最优均值-方差投资组合策略：Θαt=bΘσhx+2λexpbσT-Xti，0≤ t型≤ T、 （6.2）式中▄XT是具有反馈策略▄α的财富过程。请注意，财富过程X在实际概率测度P下的演化为Xt=～αtdStSt=～αtbdt+～αtσtdWt，这意味着其在P下的预期收益率由de[～Xt]=bE[～αt]dt=b～σhx+2λexp控制bσT- E[~Xt]同上。我们使用的位置（6.2）。因此，P下的超额预期回报率由以下公式明确给出：E[~XT]- x=2λhexpbσT-1i。~xUnder P的方差风险不是明确的，但可以通过N个蒙特卡罗模拟（~Xi）i=1，。。。，P下NofX通孔：Var（XT）N- 1NXi=1退出- E[~XT].然后我们可以计算夏普比S（|α）=E[|XT]-x个√“误认”投资者的Var（~XT）。表1给出了有界Heston随机波动率模型（6.1）模拟中使用的模型参数。

我们使用[9]中的模拟方法来处理波动率的CIR过程的离散化，这意味着当波动率轨迹br达到σ或‘∑的边界时，我们根据其最接近的邻域来预测其值。我们确定投资期限T=1年，风险规避参数λ=5，并对每组参数使用N=500000模拟。另一方面，让我们考虑一个具有风险厌恶参数λ、初始资本x的稳健投资者，他只知道波动率的界限σ、(R)σ，然后遵循一个有效的投资组合策略α*= α*,λ由α给出*t=b'σhx+2λexpb’σT- 十、*ti，0≤ t型≤ T、 然后，她/他在P下的超额预期回报由[X]明确给出*T]- x=2λhexpb’σT-1i。X的方差风险*Tunder P由X的蒙特卡罗模拟近似*然后我们计算夏普比S（α*) =E[X*T]-x个√Var（X*T） 对于稳健的投资者，已知其先验值大于S=qexpb’σT- 1、请注意，稳健投资者的最优策略对应于波动率“σ”不明确的简单投资者的最优策略。表2和图1显示了稳健投资者和潜在投资者的夏普比率，其中波动率||||Μσ不同。由于Sharpe比率是通过蒙特卡罗模拟计算的，因此我们还在表2中加入了一个置信区间。我们发现，稳健投资者的夏普比率比使用错误波动率的简单投资者的表现要好得多：这种差距更为重要，因为错误波动率远离稳定值σ∞真正的波动率，例如当σ=σ时。

另一方面，我们注意到，当错误规定的波动率σ为bκησσ时，简单投资者的夏普比率明显等于稳健投资者的夏普比率∞(R)σρ20%2 1 30%15%30%45%-0.7表1：有界赫斯顿随机波动率模型中使用的参数值。σσ20%σ∞(R)σ50%S 0.4673 0.4673 0.4673 0.4673 0.4673 0.4673S（α*) 0.6831 0.6831 0.6831 0.6831 0.6831 0.683195 S（α）的置信区间*) [0.6817,0.6844][0.6817,0.6844][0.6817,0.6844][[0.6817,0.6844][0.6817,0.6844]S（△α）0.1666 0.1839 0.64 0.6831 0.68995 S（△α）[0.1662,0.1669][0.1835,0.1842][0.6387,0.6412][0.6817,0.6844][0.6795,0.6822]表2：夏普比率S（α*) 对于不同的σ指定值和参数值，如表1所示。等于波动率σ的最坏情况。L et us提到，在我们的参数选择示例中，说明了稳健策略相对于错误的Black-Scholes策略的表现优于稳健策略。