模糊条件下的稳健Markowitz均值-方差投资组合选择

2022-5-26 19:59:16

模糊协方差矩阵下的稳健Markowitz均值方差投资组合选择*Amine ISMAIL+Huyên PHAM2017年3月14日摘要本文研究了一个稳健的连续时间Markowitz投资组合选择问题，其中模型的不确定性对多个风险资产的协方差矩阵具有影响。该问题被表述为一组非占优概率测度上的min-ma x均值-方差问题，该问题由McKean-Vlasov动态规划方法解决，该方法允许我们根据Wasserstein概率测度空间中的aBellman-Isaacs方程来描述解。我们为最优稳健投资组合策略提供了明确的解决方案，并在波动率不确定和两种风险资产之间相关性不明确的情况下说明了我们的结果。然后，我们以闭合形式导出鲁棒有效前沿，并获得任何鲁棒有效投资组合策略的夏普比的下界。最后，我们比较了稳健投资者和不规范模型投资者的夏普比率表现。MSC分类：91G10、91G80、60H30关键词：连续时间马科维茨问题、协方差矩阵不确定性、模糊相关、McKean-Vlasov、动态规划、Wasserstein空间。1简介马科维茨均值-方差投资组合选择问题（Markowitz mean-variance portfolio s Selection problem）[25]，最初在单周期模型中考虑，是现代投资组合分配理论的基石。投资决策规则是根据给定金融风险（由投资组合方差量化）的预期回报最大化的目标制定的，并引出了效率边界的概念，该概念提出了回报与风险之间权衡的简单说明。

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2022-5-26 19:59:19

在金融业中使用Markowitz高效的投资组合策略已变得相当流行，这主要是由于其自然而直观的公式。*本作品由NATIXIS和LPMA之间的CIFRE合作发布。我们要感谢Carmine D e Franco、Johan Nicole和Nizar Touzi的有益讨论。我们感谢裁判员和AE的众多评论，这些评论有助于改进本文的第一版。+Natixis、股票市场和LPMA，巴黎迪德罗大学，ami。ismael@gmail.comLPMA，巴黎狄德罗大学和CREST-ENSAE，巴黎狄德罗大学pham。fr.本文作者的工作是ANR项目CAESARS（ANR-15-CE05-0024）的一部分，也得到了FiME和“金融与可持续发展”EDF-CACIB主席的支持。在连续时间动态环境中，均值-方差准则由于方差项的存在，与预期的终端财富成非线性关系，并导致所谓的时间不一致性。随机控制问题中的这种非标准特性产生了各种解决方法。[38]中的第一种方法是将均值方差问题嵌入到辅助标准控制问题中，该问题可以通过使用随机线性二次理论来解决。第二种方法依赖于这样一种观察，即动态均值-方差问题可以重新表述为McKeanVlasov类型的控制问题，其中成本函数可能非线性地依赖于财富状态过程的规律。在[2]中已经解决了这个问题，作者推导出了Pontryagin极大值原理的一个版本。最近，论文【29】开发了一种控制McKean-Vlasov动态的通用动态规划方法，并将其应用于解决均值-方差投资组合选择问题。

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2022-5-26 19:59:24

我们还引用了最近的论文【13】，其中均值-方差问题被视为受控多组分弱相互作用系统族的McKeanVlasov极限。这些初始问题用标准动态规划法求解，而原始问题的解则是通过越界得到的。在上述引用的论文中，连续时间Markowitz问题基本上是在Black-Scholes模型的框架内研究的，并且已经进行了大量的研究，通过包含随机参数的模型来扩展这一设置。在这些大型文献中，我们引用了最近的一篇论文[8]，该论文使用随机相关模型来考虑风险资产之间的相关风险。在所有这些工作中，假设投资者对控制价格过程的随机动力学有着完美的了解，这是“正确的“必须首先指定模型，然后必须准确估计或校准参数。然而，在金融领域，模型显然是对现实的近似，而且在模型中，估计问题是一个难题。例如，众所周知，由于异步数据和超前滞后效应，资产之间的相关性估计可能极不准确ect，尤其是当资产数量较大，且相关估计收敛到其真实值的速度低于基于全套边际观测值的波动率估计时，请参见。g、【18】、【16】和【1】。另一方面，最优投资组合通常对模型和参数敏感，如果参数不准确，则可能表现不佳。

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2022-5-26 19:59:27

因此，由于错误的模型和度量而导致的模型错误指定的影响是交易策略实际实施中的一个重要问题，通常被视为模型风险。为了解决与不确定性或模棱两可的模型参数相关的模型风险，稳健方法是数学金融领域一个值得注意的研究方向，它包括在最坏情况下对所有可能的模型做出决策。一种常见的稳健建模方法是考虑一系列概率测度，这些概率测度代表投资者对模型参数的所有优先信念。例如，漂移不确定性是通过一组支配概率测度通过Girsanov定理建模的，并且在[15]中首先在投资组合选择的背景下进行了考虑，然后在文献中进行了大量研究，参见最近的论文[20]和其中的参考文献。在这里，我们关注风险资产协方差矩阵的不确定性或模糊性，假设瞬时收益率（漂移）已知（或考虑到我们对其价值有很强的信心）。【3】、【24】或【10】在期权定价的背景下考虑了不确定波动率模型，而【26】、【22】则考虑了基于预期效用准则的稳健投资组合优化。正如【14】中所述，我们还对两种风险资产之间具有模糊相关性的设置感兴趣，因为如上所述，在实践中很难从市场信息准确推断相关参数。本文研究了不确定条件下多风险资产波动率和相关性的robu s t Markowitz均值-方差投资组合选择问题。在经济和工程文献中，大多数单周期或多周期模型都考虑了稳健均值方差问题，参见[12]、[30]和[23]。

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2022-5-26 19:59:31

在此，在我们的连续时间建模中，我们采用了[11]中与预测理论相关的概率框架[28]（另见[35]），以捕获协方差矩阵上的模型不确定性和模糊性，从而得出一组非预期概率测度。我们还对先验协方差矩阵集做了一些凹性假设。从数学角度来看，与具有预期性的稳健问题相比，我们面临两个额外的困难：（i）由于非线性方差项，经典随机微分对策方法无法先验地解决这一问题，（ii）此外，由于均值和方差的最坏情况不同，把它放进一个最小-最大问题并不简单。然后我们将采用以下方法。我们考虑了一个稳健的均值-方差准则，它实际上被公式化为一个极小-极大问题，并给出了它与稳健的Markowitz问题的后验关系。我们采用McKean-Vlasov动态规划方法解决了前一个问题：我们首先将稳健均值-方差问题转化为一个确定性微分博弈问题，在先验概率测度为状态变量的情况下，利用财富过程的规律。然后，采用动态规划原理中的最优性参数，并使用[5]和[7]中导出的概率测度流的最新链式规则，提出了一个验证定理，该定理根据Wasserstein概率测度空间中的Bellman-Isaacs方程给出了最优策略和性能。

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2022-5-26 19:59:35

接下来，我们将此解析偏微分方程描述的解决方案应用于robustmean-variance问题，并表明pr问题可以简化为两个步骤：首先，我们确定最坏情况，值得注意的是，它对应于通过最小化风险溢价获得的常数方差/协方差矩阵，这是模型的直接输入。其次，在已知瞬时收益率和最坏情况常数协方差矩阵的Black-Scholes模型中，我们得到了最优均值-方差策略。我们用两个例子来说明我们的结果：不确定的波动率和两种风险资产之间的模糊相关性。此外，我们能够明确推导鲁棒Markowitz问题的相应鲁棒有效前沿。特别地，我们得到了任何稳健有效投资组合策略的Sh arpe比率的下限，该下限与协方差矩阵上的任何建模无关。稳健的均值-方差投资组合策略如何帮助提高投资者的绩效？我们通过使用模拟来评估和比较robus t投资者和使用错误模型实施均值方差策略的简单投资者的锐度，解决了这一问题，在两个示例中：（i）在Fir s t示例中，假设股票价格的真实动态由赫斯顿型随机波动率模型控制，该模型使波动率有界，简单投资者认为风险资产受具有恒定波动率的Black-Scholes模型控制，（ii）在第二个示例中，两种资产的价格实际上由随机相关模型给出，但简单投资者认为风险资产之间存在恒定的相关性。

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2022-5-26 19:59:38

我们的结果表明，稳健的夏普比率可以比错误的夏普比率或一些描述真实动力学的参数选择表现得更好。论文的其余部分组织如下。第2节阐述了鲁棒马科维茨均值-方差问题的概率框架。在第3节中，我们介绍了解决问题的麦肯-弗拉索夫动态规划方法。在第4节中，我们推导了包含不确定性、波动性和模糊相关性的模糊协方差矩阵的显式解。第5节致力于验证封闭形式下的稳健性前沿，最后第6节讨论了稳健性投资者与特定投资者相比的优势。2问题公式我们考虑一个金融市场，其中有一项无风险资产，假设其常数等于一（零利率），并且在有限的投资期限内有d只风险股票[0，T]。我们使用【10】、【28】或【35】中的概率设置，对风险资产波动率矩阵的不确定性进行建模。我们通过以下方式定义规范状态空间：Ohm = {ω=（ω（t））t∈[0，T]∈C（[0，T]；Rn）：ω（0）=0}表示驱动d风险资产的连续路径，以及可能的m（非交易）因子过程（n=d+m），由F的Borelσ场表示，并用‘‘B=（’Bt）T’表示∈[0，T]标准过程，即“Bt（ω）=ω（T），通过P维纳测度，即在P下使“B”成为n-d瞬时布朗运动，通过F=（Ft）0≤t型≤t规范过滤，即“B”产生的自然过滤。我们区分“B”的d维成分，用B表示，代表风险资产的连续路径，以及其他（n- d） -尺寸分量用ˇB表示。投资者知道（或已经估计）常数漂移B=（B。

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2022-5-26 19:59:41

，bd）∈ Rdof资产，但不确定d r isky资产的波动率矩阵（可能是随机的）。我们采用了[11]中定义的模糊波动率的概念，这意味着投资者只知道协方差矩阵属于某个先验紧集Γof SD>+，即Rd×d中的严格正定义矩阵集。我们假设Γ=Γ（Θ）由Rq的先验凸集Θ参数化，即存在一些可测函数γ：Rq→ Sd>+s.t.任意∑∈ 对于某些θ，Γ的形式为∑=γ（θ）∈ Θ。对于任意∑∈Γ，我们用σ=其平方根矩阵表示，我们通常用其平方根矩阵识别协方差矩阵，称为波动率矩阵。下面是这种建模的一些示例：示例1（不确定的波动性）。在维度d=1中，这是通过ghΓ=Θ=[σ，\'σ]建模的，正常数为0<σ≤ \'\'σ<∞, 参见【3】、【24】。通过0<σi的Θ=dYi=1[σi，(R)σi]对具有零相关性的多元资产情况的扩展进行建模≤ \'\'σi<∞, i=1，d、和γ（θ）=σ、。0。。。。。。。。。0。σd, 对于θ=（σ，…，σd）。示例2（不明确的相关性）。[14]最近考虑了维度d=2中风险资产之间相关性的不确定性，并可在此处用Θ=[, \'\'] (-1，1），γ（θ）=σσσσθσσθ！，对于一些已知的正常数σ和σ，表示资产的边际波动率，其中θ表示在和‘.

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2022-5-26 19:59:46

d的多元资产的推广≥ 2也可以在我们的框架内完成，使用相关矩阵的参数形式，例如d（d- 1） /2角度坐标如【31】所示。我们用VΘ表示F-逐步可测过程集∑=（t）的值为Γ=Γ（Θ），并引入先验概率测度集PΘ：PΘ=Pσ：∑∈ VΘ,其中，Pσ是上的P概率度量(Ohm, FT）由Pvia引起：Pσ：=Po （\'Bσ）-1，σt：=σt，Bσt：=ZtσsdBs，0≤ t型≤ T、 P- a、 “Bσ”是Rn值过程Ohm 定义为“Bσ：=（BσˇB）”。在任意Pσ∑下∈ VΘ，过程B是一个鞅，因此从[21]中可以看出，它是一个二次变量，由：d<B>t=∑tdt给出。备注2.1波动性中的模糊性导致PΘ中的一组先验概率，这些概率是不等价的，实际上是相互奇异的。这种先验概率集Pσ的规范与[28]中介绍的G-布朗运动理论密切相关，需要[10]中指出的准肯定分析工具，以及[35]中的进一步研究。特别地，我们说，一个属性持有PΘ-准肯定（PΘ-q、 s.在s短），如果它保持Pσ- a、所有Pσ的s∈ PΘ。d风险资产的价格过程S由DST=diag（St）给出bdt+dBt），0≤ t型≤ T、 PΘ- q、 s.每个Pσ下的备注2.2∈ PΘ，表示∑∈ VΘ，我们有dBt=σtdWσtw，其中Wσ是Pσ下的布朗运动，因此价格过程受PσbydSt=diag（St）控制bdt+σtdWσt），0≤ t型≤ T、 Pσ- a、 s。投资组合战略α=（αt）0≤t型≤T、表示投资于d个风险集的金额，是一个d维F-逐步可测过程，在Rd的某个闭凸集中取值，满足可积条件suppσ∈PΘEσhZTαt∑tαtdti<∞, （2.1）并用α表示∈ A、在这里表示矩阵的转置，Eσ表示Pσ下的期望。

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2022-5-26 19:59:49

给定投资组合策略α∈ A、首字母大写x∈ R、自筹财富过程Xα的演化由dxαt=α给出tdiag（St）-1dSt=αt型bdt+dBt），0≤ t型≤ T、 Xα=X，PΘ- q、 s.（2.2）注释2.3给出α∈ A、（2.2）的PΘ-拟必然聚集解的存在性由[27]中的定理2.2根据Zermelo-Fraenkel集合理论和公理选择（ZFC）加上连续统假设来保证。此外，对于α∈ A、从备注2.2可以看出，Xα在任何Pσ下的演化∈ PΘ，∑∈ Vθ由dxαt=α给出t（bdt+σtdWσt），0≤ t型≤ T、 Xα=X，Pσ- a、 s.（2.3），其中Wσ是Pσ下的布朗运动，我们有suppσ∈PΘEσsup0≤t型≤T | XαT|< ∞.给定风险规避参数λ>0，模糊波动率下的最坏情况均值方差函数为jwc（α）=supPσ∈PΘλVarσ（XαT）- Eσ[XαT]< ∞, α∈ A、其中Varσ（X）表示Pσ下X的方差，然后将稳健平均方差组合选择问题表示为V=infα∈AJwc（α）=infα∈AsupPσ∈PΘλVarσ（XαT）- Eσ[XαT]. （2.4）稳健均值-方差投资组合选择问题的一个相关问题是robustMarkow-itz问题，其公式如下：假设方差风险θ>0，（α上的最大值∈ A、 E（α）：=infPσ∈PΘEσ[XαT]受R（α）：=supPσ∈PΘVarσ（XαT）≤ θ。（2.5）如果存在（2.5）的解决方案，则称为稳健有效的投资组合策略。换言之，如果金融风险由最终财富的最坏情况方差来衡量，机器人高效的投资组合策略可以最大化最坏情况下的预期最终财富。该对（R（^αθ）、E（^αθ））被称为鲁棒有效点，当所有鲁棒有效点的集合发生变化时，被称为鲁棒有效前沿。

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2022-5-26 19:59:52

根据标准的对流优化理论，约束优化问题（2.5）通过对偶关系与拉格朗日优化问题联系在一起，拉格朗日优化问题定义为NFα∈A.λR（α）- E（α）= infα∈λsupPσ∈PΘVarσ（XαT）- infPσ∈PΘEσ[XαT]o.注意，当PΘ是单态时，该拉格朗日优化问题等于P问题（2.4），但与（2.4）有先验区别。在接下来的两节中，我们都将解决稳健均值-方差投资组合选择问题（2.4），并在最后一节中表明，它实际上与拉格朗日优化问题（Lagrangian optimization p problem）具有对偶性，从而导致稳健马科维茨问题（2.5）的解决和稳健有效前沿的构建。3 McKean-Vlasov逼近问题（2.4）可以看作是一个零和随机微分对策问题，收益/成本函数j（α，σ）=λVarσ（XαT）- Eσ[XαT]，α∈ A、 ∑∈ VΘ，（3.1），因此V=infα∈Asup∑∈VΘJ（α，σ）。这一微分对策问题的特点是，通过方差项，s状态过程定律具有非线性依赖性，使得问题在先验时间上不一致。遵循[4]和[29]中关于控制问题的思想，我们首先将问题重新表述为确定性差异博弈问题，考虑到支配风险资产的概率定律的不确定性。

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2022-5-26 19:59:55

对于任何α∈A、和t∈ [0，T]，让我们用ρα，σT=PσXαT表示Pσ下的Xα定律，σ∑∈ VΘ，定义了一个在R上平方可积概率测度的Wasserstein空间P（R）中取值的确定性过程，当配备Wasserstein条件W:W（u，u′）=infn时，wh ich是一个计量空间ZR×R | x- y |π（dx，dy）: π∈ 带边缘u和u′oWe的P（R×R）也设置kuk：=W（u，δ）=R | x |u（dx）.我们还介绍了以下方便的符号：对于任何u∈ P（R），我们表示为？u：=ZRxu（dx），Var（u）：=ZR（x- u）u（dx）。我们可以重写（3.1）中的函数和最坏情况下的平均方差函数asJwc（α）=sup∑∈VΘJ（α，σ）=sup∑∈VΘλVar（ρα，σT）-ρα，σT, α∈ A、（3.2）因此，稳健均值-方差投资组合选择问题被重新表述为一个确定性差分博弈问题，受控状态变量ρα，σ在有限维空间P（R）中取值。为了解决这个问题，我们使用一般的动态规划最优性原则，在我们的上下文中采用以下公式：最优性原则集{Vα，σ，α∈ A、 ∑∈ VΘ}是一系列形式为Vα，σt=V（t，ρα，σt）的确定性过程，对于[0，t]×P（R）上满足（i）V（t，u）=λVar（u）的实值可测函数V- u，对于任何u∈ P（R）（ii）t∈ [0，T]7-→ sup∑∈VΘVα，σ是所有α的非减量∈ A（iii）t∈ [0，T]7-→ sup∑∈VΘVα*,σ是某些α的非递增（因此为常数）*∈ A、那么，α*是鲁棒平均方差问题（2.4）的最优控制f，最优值v=v（0，δx）=Jwc（α*). （3.3）事实上，观察任何α在时间t=0时，ρα，σ=δxf∈ A、 ∑∈ VΘ，由于Xα等于常数X，这意味着在Vα时，σ=V（0，δX）不依赖于α∈ A、 ∑∈ VΘ。根据性质（i）和（ii），我们得到了所有α∈ A、 v（0，δx）=sup∑∈VΘVα，σ≤ sup∑∈VΘVα，σT=sup∑∈VΘV（T，ρα，σT）=sup∑∈VΘJ（α，σ）=Jwc（α），乘以（3.2）。

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2022-5-26 19:59:58

由于α在A中是任意的，因此得出：v（0，δx）≤ infα∈AJwc（α）=V。类似地，根据性质（i）和（iii），我们得到V（0，δx）=sup∑∈VΘJ（α*, σ） =Jwc（α*) ≥ 五、这证明了（3.3）。为了构造满足上述条件（i）、（ii）、（iii）的过程Vα，σt=V（t，ρα，σt），以满足最优性原则，我们将依赖P.L.Lions引入的Wasserstein空间中导数的最新概念，以及我们在附录中回顾的概率度量流的相应链规则（It^o’s公式）。P（R）上函数φ（u）的导数（如果存在）表示为uИ（u），是从R到R的函数，以L（u）表示，当函数x的版本∈ R 7→ uИ（u）（x）是可区分的，我们表示为x个uИ（u）（x）其衍生物。假设v（t，u）是光滑的[0，t]×P（R），即w.R.t.连续可微于t，部分为Cw。r、 t.u（见附录B），我们通过公式（A.2）（回顾（2.3））：dVα，σt=dV（t，ρα，σt）=Dα，σtdt，（3.4），其中Dα，σt=tv（t，ρα，σt）+EσH类(uv（t，ρα，σt）（Xαt），x个uv（t，ρα，σt）（Xαt），αt，∑t）, （3.5）对于H，在R×R×Rd×Sd>+上定义的函数为H（p，M，a，∑）=pab+Ma∑a.（3.6）我们陈述了函数H的一些简单性质，这允许我们引入一些有用的符号。引理3.1适用于所有（p，M）∈ R×（0，∞), 一∈ A、我们有SUP∑∈ΓH（p，M，a，∑）=H（p，M，a，^∑（a））<∞, 带∑（a）∈ arg max∑∈Γa∑a.存在一个可测函数（p，M）∈ R×（0，∞) 7.→ 一*（p，M）∈ A这样的*（p，M）：=infa∈Asup∑∈ΓH（p，M，a，∑）=sup∑∈ΓH（p、M、a*（p，M），∑）。（3.7）证明。固定（p，M）∈ R×（0，∞), 一∈ A、很明显，连续函数∑7→ H（p，M，a，∑）在由∑（a）给出的∑（a）点上的紧集上达到最大值∈ arg max∑∈Γa∑a，来自H的表达式，因此不依赖于（p，M）。

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2022-5-26 20:00:02

函数a 7的副凸性→ |很明显，有趣的是∈ A 7→\'H（p，M，a）：=sup∑∈ΓH（p，M，a，∑）也是凸的。此外，由于H（p，M，a）≥ 帕b+Ma∑a，有∑正定义，我们看到当| a |变为完整时，H（p，M，a）变为完整。接下来是7→\'H（p，M，a）在s ome a上的闭凸集a上达到其最大值*（p，M）可通过H的连续性和Carathéodory型可测选择定理来选择可测值，参见例[37]。现在，我们可以为稳健平均方差投资组合选择问题陈述一个分析验证定理，该定理提供了最优投资组合策略的特征。定理3.1（验证定理）设v为满足[0，T]×P（R）的光滑函数x个uv（t，u）（x）>0表示所有（t，x，u）∈[0，T）×R×P（R），假设v是Bellman-Isaacs部分微分方程（PDE）的解：tv（t，u）+ZRH*uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x）u（dx）=0，（t，u）∈ [0，T）×P（R）v（T，u）=λVar（u）- u，u∈ P（R），（3.8）s.t.函数（x，u）∈ R×P（R）7→ ^a（t，x，u）：=a*(uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x））是Lipschitz，对于任何t∈ [0，T]，和RT | a（T，0，δ）| dt<∞. 对于任意∑∈ VΘ，用XPσ表示Pσ下McKean-Vlasov SDE的解：dXt=^a（t，Xt，PσXt）[bdt+σtdWσt]，0≤ t型≤ T、 X=X，Pσ- p、 s.（3.9）和s证明了过程族{XPσ，σ∈ VΘ}可以聚集成PΘ-拟聚集解，即存在X*s、 t.X公司*t=XPσt，0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s。，∑∈ VΘ。然后，过程族{a（t，XPσt，PσXPσt），0≤ t型≤ T、 ∑∈ VΘ}也可以聚合，即存在一个过程α*s、 t.α*t=^a（t，XPσt，PσXPσt）0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s。，∑∈ VΘ，（3.10）和过程α*定义a中的投资组合策略，该策略最适合（2.4），即V=Jwc（α*), 我们有V=V（0，δx）。备注3.1 1。

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2022-5-26 20:00:05

在标准随机控制问题中，当标准涉及状态过程定律的线性函数时，我们寻找一个值函数v（t，u），它在u中也是线性的，因此对于一些光滑函数，v（t，u）=Rw（t，x）u（dx）的形式是标准Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程的[0，t]×R解。在这种情况下，x个uv（t，u）（x）=Dxw（t，x），以及验证定理中的上述条件：x个uv（t，u）（x）>0表示所有（t，x，u），这意味着我们寻找一个凸函数w，它通常来自终端成本的凸性和财富过程的线性动力学。对于均值-方差标准，条件x个uv（t，u）（x）>0与方差惩罚参数λ的正性相关，请参见（4.15）。2、对于固定∑∈ VΘ，McKeanVlasov SDE（3.9）的Pσ-解XPσ在^a上的Lipschitz条件和^a（.，0，δ）的平方可积条件下的存在唯一性遵循标准参数（回想一下∑）∈ VΘ是有界的），如[33]或[19]，我们有估计值：Eσsup0≤t型≤T | XPσT|≤ C（1+ZT |^a（t，0，ρ*t） |dt< ∞, （3.11）对于某些正常数C，取决于函数x 7上的Lipschitz条件→^a（t，x，ρ*t），与∑无关。上述验证理论中的关键假设是，一个人可以聚合一系列过程{XPσ，∑∈ VΘ}以确定通用流程X*定义PΘ-准肯定。下一节将更精确地讨论这一点，其中表明，当先验概率度量与协方差矩阵上的不确定性相关（见定理4.1），但与漂移不确定性相关（见备注4.3），则满足聚合条件。

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2022-5-26 20:00:08

一旦满足此聚合条件，我们注意到Rd值过程的第i个分量{a（t，XPσt，PσXPσt），0≤t型≤ T}表示氡尼科德姆导数^ai（T，XPσT，PσXPσT）=d<X*, Bi>td<Bi>t，0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s。，∑∈ VΘ，其中<X*, Bi>是与X相关的二次协变（协方差）过程*Bi，定义为PΘ-准肯定。因此，过程族{a（T，XPσT，PσXPσT），0≤t型≤ T、 ∑∈ VΘ}可以聚合成α*如（3.10）所示，我们很容易从（3.11）中看到α*满足可积条件（2.1），因此位于A。通过构造，我们可以看到X*= Xα*相关的（自我融资）财富过程，验证定理的剩余点是检查α*是最优的，如下所示。定理3.1的证明。必须检查（确定性）过程族vα，σt=v（t，ρα，σt），0≤ t型≤ 用PDE（3.8）的v解，T满足α的最优性原则条件*. 条件（i）已经满足，鉴于（3.4），其必须检查（ii）对于所有α∈ A、存在∑，取决于α∈ Vθs.t.Dα，’σt≥ 0,0≤ t型≤ T和（iii）Dα*,σt≤ 0，0≤ t型≤ T，对于所有∑∈ VΘ，保持正确。

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2022-5-26 20:00:13

给定α∈ A、考虑p进程‘∑∈ VΘ定义为∑t=^∑（αt），0≤ t型≤ T，其中∑（.）引理3.1中定义。回顾（3.5）中Dα，’σ的表达，我们得出∈ [0，T]，Dα，\'σT=E\'σtv（t，ρα，’σt）+H(uv（t，ρα，’σt）（Xαt），x个uv（t，ραt）（Xαt），αt，^∑（αt））= E’σtv（t，ρα，’σt）+supγ∈ΓH(uv（t，ρα，’σt）（Xαt），x个uv（t，ρα，’σt）（Xαt），αt，γ）≥ E’σtv（t，ρα，’σt）+H*(uv（t，ρα，’σt）（Xαt），x个uv（t，ρα，’σt）（Xαt））= 0，其中第二个等式来自∑t=^∑（αt）的定义≥ fr Om事实上H*（p，M）≤ supγ∈ΓH（p，M，a，γ），对于所有a∈ A、最后一个等式=点（t，ρα，’σt）处v满足的PDE（3.8）的0，并且回顾ρα，’σ是XαtunderP’σ的定律。这证明了条件（ii）。另一方面，让我们考虑普适过程α*∈ A在（3.10）中定义。那么我们就有了∑∈ VΘ和t∈ [0，T]，Dα*,σt=Eσtv（t，ρα*,σt）+H(uv（t，ρα*,σt）（X*t），则，x个uv（t，ρα*,σt）（X*t），α*t、 ∑t）≤ Eσtv（t，ρα*,σt）+supγ∈ΓH(uv（t，ρα*,σt）（X*t），则，x个uv（t，ρα*,σt）（X*t），α*t、 γ）= Eσtv（t，ρα*,σt）+H*(uv（t，ρα*,σt）（X*t），则，x个uv（t，ρα*,σt）（X*t）（）= 0，其中第二个等式源自α的定义*和关系（3.7）。这个证明条件（iii），并结束了这个定理的证明。4显式解决方案我们在本节中提供了Bellman Isaacs P DE（3.8）的显式解决方案，从而解决了当A=Rd时的稳健均值-方差投资组合选择问题（2.4），以及满足凹假设的协方差矩阵上的一类先验模型Γ。协方差矩阵的重新分配参数化：存在一些凸s etΘ Rq和可测函数γ：Rq→ Sd>+s.t.任意∑∈ 对于某些θin，Γ=Γ（Θ）的形式为∑=γ（θ）。我们假设（IC）A=Rd，γ：Rq→ Sd>+为凹形，即对于所有θ，θ∈ Θ，γ（θ）+γ（θ） γ（θ+θ）.

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2022-5-26 20:00:17

（4.1）请注意，在第2节详述的不确定性波动率和模糊相关性的示例1和示例2中，这一假设基本上得到了满足，其中我们在（4.1）中实际得到了等式。让我们用R表示（平方）风险溢价函数：R（θ）：=bγ（θ）-1b，θ∈ Θ。（4.2）下一个引理提供了（3.6）中哈密顿函数H的一个关键结果，这将有助于解释我们的问题。引理4.1让条件（IC）保持不变。那么，对于所有p∈ R、 M>0，我们有*（p，M）=-pMb公司（∑）*)-1b（4.3）=H（p，M，a*（p，M），∑*)其中∑*= γ（θ*) 是由∑定义的常数，单位为Γ=Γ（Θ）*∈ arg最小值∑∈Γb∑-1b级, i、 e.θ*∈ arg最小θ∈ΘR（θ）。（4.4）此外*, ∑*) 是H的鞍点，即所有p的鞍点∈ R、 M>0，（H（p，M，a*（p，M），∑）≤ H（p、M、a*（p，M），∑*) = H*（p，M），∑∈ Γ，H（p，M，a，∑）*) ≥ H（p、M、a*（p，M），∑*) = H*（p，M），一∈ Rd、（4.5）和a*明确给出：a*（p，M）=-pM（∑）*)-1b。（4.6）证明。用H表示R×R×Rd×Θ上定义的函数，用H（p，M，a，θ）：=H（p，M，a，γ（θ））=pab+Maγ（θ）a。在γin（IC）的凹度假设下，我们清楚地看到，对于固定（p，M）∈ R×（0，∞), 函数H（p，M，，..）在a中是凸的∈ Rd，和位于凸紧集Θ的θ中的凹。通过最小-最大定理（参见[36]中的定理45.8），我们得到了所谓的Isaacs关系：infa∈Rdsupθ∈ΘИH（p，M，a，θ）=supθ∈Θinfa∈RdH（p，M，a，θ），即。

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能者818

2022-5-26 20:00:20

infa公司∈Rdsup∑∈ΓH（p，M，a，∑）=sup∑∈Γinfa∈RdH（p，M，a，∑）。我们使用偏序关于d×d-对称矩阵集：M N<=> N- M为正定义<=> 一（N）- M） a≥ 0表示所有a∈ 通过平方完成，我们可以将函数H重写为：H（p，M，a，∑）=Ma+pM∑-1b级∑（a+pM∑）-1b级-pMb公司∑-1b，（4.7）我们从中获得∈RdH（p，M，a，∑）=H（p，M，’a（p，M，∑），∑）=-pMb公司∑-1b，（4.8）其中我们设置：(R)a（p，M，∑）：=-pM∑-1b，然后是H的显式表达式*（p，M）H*（p，M）=sup∑∈Γinfa∈RdH（p，M，a，∑）=-pMinf∑∈Γb∑-1b=-pMb公司（∑）*)-1b。现在让我们检查（a）的鞍点性质*, ∑*). 通过定义*（p，M），我们有SUP∑∈ΓH（p、M、a*（p，M），∑）=infa∈Rdsup∑∈ΓH（p，M，a，∑）=sup∑∈Γinfa∈RdH（p，M，a，∑）=H*（p，M）=infa∈RdH（p，M，a，∑）*) ≤ H（p，M，a，∑）*), 一∈ Rd，其中我们在第二个等式Isaacs条件中使用，在最后一个等式中注意到th at∑*达到∑7的上确界→ infa公司∈RdH（p，M，a，∑）乘以（4.8）。然后我们推导出h（p，M，a*（p，M），∑*) ≤ sup∑∈ΓH（p、M、a*（p，M），∑）=H*（p，M）≤ H（p，M，a，∑）*), 一∈ Rd，表示（4.5）中的第二个不等式。同样，我们有∈AH（p，M，a，∑）*) = s向上∑∈Γinfa∈RdH（p，M，a，∑）=infa∈Rdsup∑∈ΓH（p，M，a，∑）=H*（p，M）=sup∑∈ΓH（p、M、a*（p，M），∑）≥ H（p、M、a*（p，M），∑），∑∈ 这意味着h（p，M，a*（p，M），∑*) ≥ infa公司∈RdH（p，M，a，∑）*) = H*（p，M）≥ H（p、M、a*（p，M），∑），∑∈ Γ。这证明了（4.5）中的第一个不等式，因此具有鞍点性质，并且*（p，M）=H（p，M，a*（p，M），∑*).另一方面，通过将关系式（4.8）应用于∑=*, 我们有*（p，M）=H（p，M，’a（p，M，∑）*), ∑*),结合了（a）的鞍点性质*, ∑）表明：H（p，M，a*（p，M），∑*)= H（p，M，’a（p，M，∑）*), ∑*) = H*（p，M），然后根据H的表达式（4.7）：M一*（p，M）- \'a（p，M，∑）*)∑*（a）- \'a（p，M，∑）*)+ H*（p，M）=H*（p，M）。这证明*（p，M）=a（p，M，∑）*), i、 e.表达式（4.6）。

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2022-5-26 20:00:23

备注4.1在条件（IC）下，如果验证定理3.1的条件满足Bellman-Isaacs PDE（3.8）的解v和最优反馈控制α*, 然后我们从鞍点关系（4.5）中看到，漂移Dα，σtof the deterministic p process Vα，σt=V（t，ρα，σt）满足所有α∈ A、 ∑∈ VΘ，Dα，σ*t型≥ Dα*,σ*t=0≥ Dα*,σt，0≤ t型≤ T、 a.s.，其中σ*= （∑）*). 这意味着过程（i）Vα，σ*对于所有α，这是不减损的∈ A、（ii）过程Vα*,σ是所有∑的非递增f∈ VΘ，从中我们可以很容易地推断出它们的min-max性质：V=V（0，δx）=infα∈Asup∑∈VΘJ（α，σ）=sup∑∈VΘinfα∈AJ（α，σ）=J（α*, σ*).这特别表明σ*, 这是根据（4.4）明确计算的常数，即最小化风险溢价，是鲁棒均值方差问题的最优最坏情况波动率f。第4.1条假设（I C）成立。然后，在[0，T]×P（R）上定义的函数为v（T，u）=K（T）Var（u）- u+χ（t），（4.9）带K（t）=λexp- R*（T- t）χ（t）=-4λhexpR*（T- t）- 1i，0≤ t型≤ T、 R*= b（∑）*)-1b，（4.10）是行李员Isaacs PDE（3.8）的解决方案。证据我们寻找（3.8）的函数解，其形式为：v（t，u）=K（t）Var（u）+Y（t）(R)u+χ（t），（4.11）对于某些连续可微分函数K>0，Y和χon[0，t]。

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2022-5-26 20:00:26

这样的函数是光滑的，我们有uv（t，u）（x）=2K（t）（x- u）+Y（t），x个uv（t，u）（x）=2K（t）>0，由H的表达式得出*在（4.3）中，我们得到tv（t，u）+ZRH*uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x）u（dx）=˙K（t）Var（u）+˙Y（t）(R)u+˙χ（t）-b（∑）*)-1bZ4K（t）（x）- u）+Y（t）+4K（t）Y（t）（x- u）2K（t）u（dx）=˙K（t）- b（∑）*)-1bK（吨）Var（u）+Y（t）(R)u++χ（t）-b（∑）*)-1bY（t）K（t）。因此，（4.11）中的v满足Bellman-Isaacs PDE（3.8）i f K，Y和χ满足普通微分方程组：˙K（t）- b（∑）*)-1bK（t）=0，K（t）=λ˙Y（t）=0，Y（t）=-1˙χ（t）-b（∑）*)-1bY（t）K（t）=0，χ（t）=0，这导致显式解Y=-1，K，χ如（4.10）所示。对于一类一般的协方差矩阵不确定性m od el满足（IC），我们现在可以提供鲁棒平均方差问题的完整而明确的解决方案。定理4.1让条件（IC）成立。（2.4）存在一个最优鲁棒平均方差策略解，由α显式给出*t=hx+2λexpR*T-十、*ti（∑）*)-1b，0≤ t型≤ T、 PΘ- q、 s.（4.12），其中R*= b（∑）*)-1b是对应于最坏情况协方差矩阵参数∑的最小风险溢价*, 以及相应的最优财富过程X*, 任意Pσ∑下的H最小收益∈ VΘ由：Eσ[X]给出*T] =x+2λhexpR*T- 1i。（4.13）此外，最优成本由v=v（0，δx）=-4λ经验值R*T- 1.- x、（4.14）证明。让我们考虑（4.9）中的函数v（t，u），它满足Bellman-Isaacs PDE（3.8）。对于[0，T]×P（R）上的光滑函数，我们有uv（t，u）（x）=2K（t）（x- (R)u）- 1.x个uv（t，u）（x）=2K（t）>0，（4.15），K如（4.10）所示。从表达式a*在（4.6）中，验证定理3.1中最佳反馈控制的候选^a（t，x，u）等于：^a（t，x，u）：=a*(uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x））=-hx公司- \'u-2K（t）i∑*)-1b，显然是Lipsch-itz in（x，u）。

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2022-5-26 20:00:31

Pσ下McKean-Vlasov-SDE（3.9）的解XPσ∈ 因此，PΘ由dxpσt=-hXPσt- Eσ[XPσt]-2K（t）ib（∑）*)-1【bdt+σtdWσt】，0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s.，通过在pσ下取期望值得出：dEσ[XPσt]=R*2K（t）dt，和thusEσ[XPσt]=x+ZtR*2K（s）ds，0≤ t型≤ T、关键的观察结果是，这种期望不取决于∑∈ VΘ。插入SDE（3.9），这可以重写为（我们现在只需写Xt=XPσtto缓解状态）：dXt=-hXt公司- x个-ZtR公司*2K（s）ds-2K（t）ib（∑）*)-1[bdt+dBt]，0≤ t型≤ T、 PΘ- q、 s。。这现在是PΘ下的标准SDE，我们从[34]中的命题6.10知道存在一个PΘ准肯定聚集解X*, i、 e.X公司*= XPσ，Pσ-P.s，对于所有∑∈ VΘ。因此，过程族{a（t，XPσt，PσXPσt），0≤ t型≤ T、 ∑∈ VΘ}可聚合为α定义的PΘ-q.s*t=^a（t，XPσt，PσXPσt），0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s。，∑∈ VΘ=-hX公司*t型- x个-ZtR公司*2K（s）ds-2K（t）i∑*)-1b，0≤ t型≤ T、 PΘ- q、这为fr om（4.10）提供了（4.12）中的表达式。我们从验证理论3.1得出结论，α*是（2.4）的最优解，最优成本等于V=V（0，δx），因此由（4.9）中V的显式形式（4.14）给出。备注4.2虽然原始的r-obust均值-方差问题是一个先验的复杂问题，而n是标准随机微分对策问题，但OREM 4.1中的主要结果信息非常简单，具有直观的解释。它说，这个问题的解决可以简化为两个步骤：首先，我们确定最坏的情况，值得注意的是，它对应于一个常数协方差矩阵∑*通过风险溢价最小化（4.4）获得。

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2022-5-26 20:00:34

该常数直接从模型的输入计算得出：瞬时收益b（假定已知）和将资产协方差矩阵上的不确定性参数化的函数γ（我们将在该问题中给出一些明确计算∑的示例*). 其次，我们得到了具有瞬时收益b和协方差矩阵∑的Black-Scholes模型的最优均值-方差策略*, [38]中推导出了WHOSE表达式，当模型没有不确定性时，我们在此恢复不同的应用程序路径作为特例。备注4.3（关于漂移不确定性）让我们讨论d风险资产漂移存在歧义的情况（但为了简单起见，使用已知协方差矩阵∑）。这是通过考虑提取过程b=（bt）t来建模的∈ VΘ是一个不可观测的过程，已知它只在Rd的给定凸集Θ中有值。

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能者818

2022-5-26 20:00:37

相应的r-obustoptimization问题的哈密顿函数由以下公式给出（滥用符号，我们在协方差矩阵不确定的情况下保持相同的符号）：H（p，M，a，θ）=paθ+Ma∑a，（p，M，a，θ）∈ R×（0，∞) ×Rd×Θ。通过引理4.1中类似的参数，对于固定（p，M）∈ R×（0，∞), 有一个鞍点（a*（p，M），θ*) 对于H（p，M，，.）由A提供*（p，M）=-pM∑-1θ*, θ*∈ arg最小θ∈Θθ∑-1θ.然后，与命题4.1类似，我们发现（4.9）-（4.10）中给出的v是稳健均值-方差问题的关联Bellman-Isaacs偏微分方程的解，其中“最坏情况”风险溢价R*现在由byR提供*= （θ*)∑-1θ*.根据验证理论3.1中的论点，这将导致一个最佳反馈控制的候选形式为^a（T，x，u）：=a*(uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x））=-hx公司- \'u-2K（t）i∑-1θ*,然后，我们必须考虑在任何（等效）先验概率测度Pb，b下的解XPbto，McKean-Vlasov SDE（3.9）∈ VΘ，由DXPBT管理=-hXPbt公司- Eb【XPbt】-2K（t）i（θ*)∑-1【btdt+σdWbt】，0≤ t型≤ T、铅- p、 s。。通过在Pb下取期望，我们得到eb[XPbt]=x+Zt2K（s）（θ*)∑-1Eb【bs】ds，并看到，与协方差矩阵不确定性的情况相比，该期望取决于先验概率测度Pb。相反，进程族{a（t，XPbt，PbXPbt），0≤ t型≤ T、 ∑∈ VΘ}不能聚合为通用进程α*,这将允许我们得出结论α*是一种最佳策略。与经典（稳健）预期效用最大化相比，均值方差框架中的主要问题在于，最优策略仅以反馈形式依赖于财富状态过程，而最优财富过程不仅依赖于财富过程，而且依赖于预期财富过程，这取决于考虑漂移不确定性时的先验概率度量。

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2022-5-26 20:00:41

稳健均值-方差和Markow-itz-p问题是一个具有挑战性的问题，我们的方法无法直接解决，我们推迟到未来研究。4.1示例1：不确定波动率我们考虑示例1所示的具有零相关性的多变量情况下的不确定波动率模型：Θ=dYi=1[σi，\'σi]，0<σi≤ \'\'σi<∞, i=1，d、和γ（θ）=σ、。0。。。。。。。。。0。σd, 对于θ=（σ，…，σd）。在这种情况下，r isk premium函数只由r（θ）：=b给出γ（θ）-1b=dXi=1biσi，对于θ=（σ，…，σd），很明显，最坏情况对应于协方差矩阵∑*=\'∑：=γ（\'θ），其中\'θ=（\'σ，…，\'σd），即对于最高的边际波动率。根据定理4.1，我们得到了不确定波动率下robus t均值方差问题的一个显式最优投资组合策略：α*t=hx+2λexp\'\'R T- 十、*ti‘∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，其中R：=R（(R)θ）=b“∑”-1b。这对应于多维Black-Scholes模型中的最优均值-方差投资组合策略，该模型具有漂移b和协方差矩阵∑的不相关资产，如[38]和[13]所述。财务上的解释是很自然的：最坏的情况对应于最大方差∑，风险厌恶的投资者通过参考这种情况来做出投资组合决策。4.2示例2：模糊相关性我们考虑具有模糊相关性的两个风险资产模型的模型，即Θ=[, \'\'] (-1，1）和γ（θ）=σσσθσσθσ, θ∈ 对于一些已知的正常数σ>0和σ>0。在这种情况下，风险溢价函数由r（θ）：=b给出γ（θ）-1b=1- θβ+β- 2ββθ, （4.16）其中，我们用βi=biσi，i=1，2表示每个风险资产的等值夏普比率。当资产为股票时，其夏普比率通常为正（否则将比无风险债券表现不佳）。

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2022-5-26 20:00:46

我们可能还想考虑βi为非正的情况，这通常与资产是两支股票之间的收益的情况相对应。在续集中，我们将假设w.l.o.g.（β，β）6=（0，0）（在这种微不足道的情况下，最优投资组合策略显然是从不交易，即α*≡ 0），我们设置：+:=最小值（|β|，|β|）最大值（|β|，|β|）∈ [0，1]，-:= -+. （4.17）让我们也引入极值协方差矩阵∑：=γ（“”) =σ∑∑'σσ\'” σ, ∑：=γ() =σ∑∑σσ σ,及其相应的差异风险比率：‘∑-1b=1- \'\'bσ-b‘σσbσ-b‘σσ=:\'-κ\'-κ, ∑-1b=1- bσ-bσσbσ-bσσ=:κκ.以下结果明确确定了相关性θ*实现最低风险溢价。引理4.2我们根据ββ的符号区分两种情况。一、对于ββ>0，我们有：1。如果‘ < +, 然后θ*= \'\'. 此外，κκ>0和κκ>0.2。如果> +, 然后θ*= . 此外，κκ<0和“κ”κ<0.3。如果+∈ Θ=[, \'\'], 然后θ*= +. 此外，κκ≥ 0和“κ”κ≤ 0.I’。对于ββ≤ 0，我们有：1’。如果‘ < -, 然后θ*= \'\'. 此外，“κ”κ>0和κκ>0.2”。如果> -, 然后θ*= . 此外，κκ<0和‘κ’κ<0.3’。如果-∈ Θ=[, \'\'], 然后θ*= -. 此外，κκ≥ 0和“κ”κ≤ 0.证明。风险溢价函数R在Θ=[, \'\'], 导数为：R′（θ）=-（1）- θ） f（θ），其中f（θ）=ββ（1+θ）- （β+β）θ。对于任何θ∈ Θ，让我们也用κ（θ），κ（θ）表示方差风险比∑（θ）的分量-1b，即κ（θ）=1- θbσ-bθσ, κ（θ）=1- θbσ-bθσ,所以‘κi=κi（’), 和κi=κi(), i=1，2，注意κ（θ）κ（θ）=σ（1- θ） f（θ）。（4.18）I.我们首先考虑ββ>0的情况。在这种情况下，函数f是一个严格的对流分解函数，在θ=β+β2ββ时达到其在R上的最大值≥ 1，这意味着f在(-∞,\'θ]因此在Θ上。因为f（0）=ββ>0且f（1）=- （β-β）≤0，存在唯一+∈ （0，1）s.t。

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2022-5-26 20:00:50

f级(+) = 0，由表达式（4.17）精确给出。然后，我们被引导辨别以下情况：1。\'\' < +.在这种情况下，回顾f在Θ=[, \'\'], 我们看到θ∈ Θ，f（θ）>f(+) = 0，即R′（θ）<0 onΘ，即R在Θ上严格递减，因此：θ*=arg m inθ∈ΘR（θ）=‘. 此外，根据（4.18），对于所有θ，我们的κ（θ）κ（θ）>0∈ 因此：κκ>0和“κ”κ>0.2。> +. 在这种情况下，f（“”) ≤ f级() < f级(+) = 0，因此对于所有θ∈ Θ，f（θ）<0，κ（θ）κ（θ）<0，R′（θ）>0，即R在Θ上急剧增加。这意味着θ*=arg m inθ∈ΘR（θ）=, κκ<0，\'κ\'-κ<0.3。≤ +≤ \'\', i、 e。+∈ Θ。注意，在这种情况下，+严格小于1（重新调用’ < 1），因此β6=β。同样，因为f在减小，所以我们有f（θ）≥ f级(+) = θ为0∈ [, +], 和f（θ）≤ f级(+) = θ为0∈ [+, \'\']. 因此，κ（θ）κ（θ）≥ 0，R′（θ）≤ θ为0∈ [, +], i、 e.R在下降[, +], 和κ（θ）κ（θ）≤ 0，R′（θ）≥ θ为0∈ [+, \'\'], i、 e.R在增加[+, \'\']. 因此，θ*= arg最小θ∈ΘR（θ）=+, 我们还有κκ≥0和“κ”κ≤ 0.I’。最后，我们考虑ββ≤ 0.当ββ<0时，函数f是一个严格凹抛物函数，在θ=β+β2ββ时达到其在R上的最大值≤ -当ββ=0时，f是一个线性函数，具有严格的负斜率。在任何情况下，函数f在[°θ]上严格递减，∞) 因此在Θ上。因为f（0）=ββ≤ 0，f(-1） =（β+β）≥ 0，存在唯一-∈ [-1，0]s.t.f(-) = 0，这正好由（4.17）中的表达式给出，即。-= -+. 然后，通过区分以下情况：-> , -< 和-∈Θ，并按照与C案例I中相同的论点进行，我们得到了1\'，2\'，3\'中描述的结果。

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2022-5-26 20:00:54

通过应用Th eorem 4.1，我们现在可以明确描述模糊关联下的最优策略。定理4.2通过以下情况明确描述问题（2.4）的解：I.如果ββ>0，和1。\'\' < +, 然后由α显式给出最优投资组合策略*t=hx+2λexp\'\'RT-十、*ti‘∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，R=b“∑”-1b，最优成本isV=-4λ经验值\'\'RT- 1.- x、 2。> +, 然后由α显式给出最优投资组合策略*t=hx+2λexpRT公司-十、*ti∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，R=b∑-1b，最优成本isV=-4λ经验值RT公司- 1.- x、 3。≤ +≤ \'\', 然后由α显式给出最优投资组合策略*t型=hx+2λexpβT- 十、*tibσ, 0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，当β>β时，hx+2λexpβT- 十、*tibσ, 0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，当β>β时。最优成本V=-4λ经验值最大（β，β）T- 1.- x、通过误用符号，我们分别写出a=（a，a）或a=aa公司对于R.I\'中的元素。如果ββ≤ 0和1’。\'\' < -, 然后由α显式给出最优投资组合策略*t=hx+2λexp\'\'RT-十、*ti‘∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，最优成本isV=-4λ经验值\'\'RT- 1.- x、此外，“κ”κ>0和κκ>0.2”。> -, 然后由α显式给出最优投资组合策略*t=hx+2λexpRT公司-十、*ti∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，最优成本=-4λ经验值RT公司- 1.- x、此外，κκ<0和‘κ’κ<0.3’。≤ -≤ \'\', 然后由α显式给出最优投资组合策略*t型=hx+2λexpβT- 十、*tibσ, 0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，当β>β时，hx+2λexpβT- 十、*tibσ, 0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，当β>β时。最优成本V=-4λ经验值最大（β，β）T- 1.- x、此外，κκ≥ 0和“κ”κ≤ 0.证明。根据定理4.1中最优投资组合策略和最优成本的公式（4.12）和（4.14），我们只需计算最小风险溢价R*=R（θ*), 和向量（∑）*)-1b带∑*= γ（θ*), 和θ*引理4.2中明确给出。

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