美式期权分割方法的数值研究

2022-5-26 22:10:21

初始条件由s的payoff，u（s，s，0）=φ（s，s）（3）来描述≥ 0，s≥ 对于s=0和s=0，分别通过施加（2）给出0和边界条件。（2）中的三个条件自然会导致（s，s，t）域的分解：早期运动区域是所有点（s，s，t）的集合，其中u=φ成立，连续区域是所有点（s，s，t）的集合u型/t=Au保持。这两个区域的jo int边界称为早期练习边界或自由边界。*安特卫普大学数学和计算机科学系，Middelheimlaan 1，B-2020安特卫普，比利时。电子邮件：{karel.inthout，radoslav.valkov}@uantwerpen。是对于大多数美式期权，期权价值函数和早期的行使边界在m的（半）封闭分析中都是未知的。因此，人们求助于数值方法进行近似。按照直线法，首先离散空间变量（s，s）中的PDCP（2），然后离散时间变量t。这会导致每个时间步中的线性完整性问题（LCP）。文献中提出了各种方法来处理这些LCP。在本文中，我们研究了三种现代分裂方法：显式支付（EP）方法、伊科宁-托瓦宁（IT）方法和和平人-拉赫福德（PR）方法。IT分裂方法在[12，13]中引入，最近在[5]中与交替方向隐式（ADI）格式结合用于时间离散化。文献[14]中提出了PR方法。目前，与IT拆分方法相关的收敛理论似乎在文献中受到限制。本文的主要目的是通过对时间离散误差的数值研究，更深入地了解其收敛特性。

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2022-5-26 22:10:24

此外，所有拆分方法都与流行的惩罚（P）方法进行了比较，该方法于[3、17、18]年引入美国期权估值。我们的论文概要如下。在第2节中，对PDCP（2）进行了适当的空间离散化。第3节描述了考虑中的时间离散化方法：θ-EP方法、θ-IT方法、PR方法、θ-P方法和ADI-IT方法家族。第4节对IT方法和PR方法进行了有启发性的解释。随后，根据第5节的规定，对上述所有方法的时间离散化误差进行了一个示例数值研究，其中考虑了五种美式选项。结论见第6.2节空间离散。PDCP（2）的数值解从（1）定义的空间微分算子的离散开始。为此，首先将无界空间域截断为一个正方形（0，Smax）×（0，Smax），给定值Smaxhosen足够大。我们规定了远场边界s=Smax和s=Smax处的齐次Neumann条件，与考虑中的支付一致。对于空间离散化，采用合适的非均匀笛卡尔网格（s1，i，s2，j）表示0≤ 我≤ m、 0个≤ j≤ m、其中0=sk，0<sk，1<…<sk，mk=s当k=1，2时，网格在第k个空间方向上的轴。使用非均匀网格而不是均匀网格可以显著提高效率。这里我们考虑的是[4，5]中使用的网格类型。让k∈ {1，2}，[Sleft，Sright]是[0，Smax]的任意给定子区间，该子区间在第k方向上具有实际意义。设参数d>0，设等距点ξmin=ξ<ξ<…<ξmk=ξmaxbe，ξmin=sinh-1.-Sleftd公司,ξint=右侧- Sleftd，ξmax=ξint+sinh-1.Smax公司- 右侧.注：tξmin<0<ξint<ξmax。

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2022-5-26 22:10:28

网格0=sk，0<sk，1<…<sk，mk=Smaxis，然后通过转换sk，l=Д（ξl）（0≤ l≤ mk），其中Д（ξ）=Sleft+d sinh（ξ）（用于ξmin≤ ξ≤ 0），Sleft+dξ（对于0<ξ≤ ξint），Sright+d sinh（ξ- ξint）（对于ξint<ξ≤ ξmax）。通过构造，该网格在间隔内是均匀的【Sleft，Sright】，而在间隔外是不均匀的，其中间隔外的网格宽度总是大于间隔内的网格宽度。参数d控制位于内部的网格点的分数。允许ξ=ξ- ξ。很容易看出，上述网格是光滑的，因为存在实常数C，C，C>0，因此网格宽度hk，l=sk，l- sk，l-1满意度Cξ≤ 香港，l≤ Cξ和| hk，l+1- 香港，l |≤ C类(ξ）对于我们的应用，如果期权的给定执行价格K>0恰好位于两个连续网格点之间的中间位置，则对精度有利。这可以通过上述类型的网格实现，如下所示。确定一个间隔【Sleft，Sright】，使K位于中间。然后K=Д（ξint/2）。让我们≥ 1是任意给定的整数，取ξ=ξint- 2ξminν，因此ξmin=ξ<ξ<…<ξν=ξint-ξmin。它认为sk，ν=Д（ξint-ξmin）=Sleft+SRRIGHT。点ξint/2是间隔[ξmin，ξint]的中间- ξmin]和正好位于两个连续ξ-网格点的中间，无论何时ν为o dd。这意味着，无论何时ν为奇数，K正好位于两个连续sk网格点的中间。然后让mk=mk（ν）是最小的整数，如mkξ≥ ξ最大值- ξminand res tξmaxtoξmin+mkξ。使用有限差分对运算符A进行离散化。让f：R→ R beany给出了光滑函数。设{xl}l∈Zbe任意给定的网格点递增序列和xl=xl-xl码-1对于所有l。

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2022-5-26 22:10:31

为了近似f的一阶和二阶导数，我们考虑以下著名的有限差分公式：f′（xl）≈ αf（xl）+αf（xl+1），（4a）f′（xl）≈ β-1f（xl-1） +βf（xl）+βf（xl+1），（4b）f′（xl）≈ δ-1f（xl-1） +δf（xl）+δf（xl+1）（4c），带α=-1.xl+1，α=xl+1，β-1个=-xl+1xl码(xl码+xl+1），β=xl+1-xl码xl码xl+1，β=xl码xl+1(xl码+xl+1），δ-1个=xl码(xl码+xl+1），δ=-2.xl码xl+1，δ=xl+1(xl码+xl+1）。近似值（4a）是一阶正向公式。近似值（4b）、（4c）都是二阶中心公式，只要网格是光滑的。用于条款的离散化u型/sk（k=1，2）在Au中，取公式（4c）。对于术语u型/sk（k=1，2）公式（4b）应用于每个网格点sk，lsuch，相应的系数sk，lβ-1+σksk，lδ-1为非负，否则使用公式（4a）。文献中经常使用这种矢量项的混合中心/前向离散化。对于交叉导数项u型/s用于u型/su型/sare相继应用。关于空间域的边界，在sk=0时，所有涉及第k方向的空间导数项都消失，因此边界的这一部分可以简单地处理（k=1，2）。在sk=SmaxtheNeumann条件下，直接产生u型/斯坎德u型/使用虚拟点sk，mk+1>Smax近似滑雪板，其中该点的值通过直线ar外推确定（k=1，2）。给定的空间离散化导致半离散PDCP系统U（t）≥ U、 U′（t）≥ AU（t），（U（t）- U） T（U′（T）- AU（t））=0（5），表示0<t≤ T，其中U（0）=U。这里U（T）表示表示空间网格上期权价值函数U（·，·，T）的半离散近似的M×1向量，其中M=（M+1）（M+1）。给出了M×M矩阵A和初始M×1向量UAR，其中后者在空间网格上重新表示了支付函数φ。

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2022-5-26 22:10:36

向量不等式应作复合解释，符号表示转置。考虑到有限差分公式的选择和边界条件，很容易得出以下结论：-每当相关性ρ=0时，A始终是M矩阵。这一特性在计算金融学中被广泛使用，以证明数值方法的良好性能。如果ρ6=0，则-当应用混合导数的标准有限差分公式时，A通常不再是M矩阵。有先进的技术可以克服这一问题，但目前我们将坚持上述标准离散化。3时间离散化对于所获得的半离散PDCP系统的时间离散化（5），我们在第n3.1节中使用了著名的θ-方法族。这方面的特殊实例是θ=的Crank–Nicolson（CN）方法和θ=1的向后Euler（BE）方法。接下来，在第3.2节中，考虑了三个重要的交替方向隐式（ADI）格式族。3.1θ-方法let参数θ>0。让我表示M×M单位矩阵。允许t=带整数N的t/N≥ 1be给定的时间步长，并让时间gr id点tn=nt表示整数0≤ n≤ N、 θ-方法适用于（5）定义近似值Un≈ n=1，2，…，依次为U（tn），N拜恩≥ U、（6a）（I）- θtA）Un≥ （I+（1- θ）tA）Un-1，（6b）（联合国- U） T（（I- θtA）Un- （I+（1- θ）tA）Un-1） =0。（6c）完全离散的PDCP（6）形成了向量Un的线性互补问题（LCP）。文献中对LCP的解决方案给予了很大的关注。我们将在以下几个近似方法中考虑，这些方法在当前的时间依赖环境中很流行。明确的支付（EP）方法可以说是最常用于金融实践的方法。它产生了简单方法（7），生成n=1，2。

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2022-5-26 22:10:39

，N近似值Bun≈ U（tn）。θ-EP法：（I）- θtA）(R)Un=（I+（1- θ）tA）尿素氮-1，（7a）bUn=max{Un，U}（7b），其中bu=U，其中任意两个向量的最大值应为componentwise。方法（7）可以被视为一种分步分裂技术，其中一种先通过忽略美式约束来执行时间步，然后明确应用该约束，比较[1]。更准确地说，后者意味着将“Uno”投影到向量V的闭凸子空间∈ RMV满意V≥ U、 θ-EP方法的每个时间步的计算成本基本上与期权的欧洲对应方相同，这是非常有利的。Ikonen–Toivanen（IT）操作符拆分方法【12，13】具有相同的计算成本。它产生θ-It方法：（I- θtA）(R)Un=（I+（1- θ）tA）尿素氮-1+tbλn-1，（8a）小面包-“”联合国- t（bλn-bλn-1） =0，bUn≥ U、 bλn≥ 0，（bUn- U） Tbλn=0（8b），其中bλ=0。矢量b和辅助矢量bλnare分两个阶段计算。在第一阶段，由线性s系统（8a）定义的中间近似值。在第二阶段，\'Unandbλn-1更新为UNADBλnby（8b）。很容易看出，对于这些更新，有一个简单的公式bUn=最大值- tbλn-1，Uo，bλn=最大值n0，bλn-1+（U-联合国）/到（9）狮子与梅西尔（Lions&Mercier）[14]考虑了一种相关的方法，其灵感来自于原始的和平人-拉赫福德（PR）分裂计划[15]。它可以表示为PR方法：（I-tA）(R)Un=bUn-1个+tbλn-1，（10a）（bUn=最大值（一）+tA）’Un，U,bλn=最大值0，U- （一）+tA）’Un/(t）。（10b）第4节应给出IT分割方法和PR方法的有用解释。设Large>0为任意固定的大ge数和整数κ≥ 1、【3、17、18】中提出了美式期权估值的惩罚方法。它产生θ-P方法：我- θtA+P（k）n\'U（k+1）n=（I+（1- θ）tA）尿素氮-1+P（k）Nu，对于k=0，1。

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2022-5-26 22:10:43

，κ- 1和bun=(R)U（κ）n.（11）这在每个时间步中形成一个迭代。此处“U（0）n=bUn”-1和P（k）n（对于0≤ k<κ）定义为当U（k）n，l<U0，land zero时，第l个对角线条目等于大的对角线矩阵。在每个时间步中，必须求解κ线性系统，涉及不同的矩阵。因此，从计算上讲，惩罚方法的每一时间步成本要高于上述三种方法。一个自然收敛准则ismaxl |'U（k+1）n，l-\'U（k）n，l | max{1，| U（k+1）n，l |}<tol或P（k+1）n=P（k）n，（12），给定的公差tol>0。让我们注意一下计算机的机器精度。选择惩罚因子的经验法则是thenLarge≈ α=10的αtol-（13）我们有≈ 10-16并选择tol=10-7和大=10。在我们的应用程序中，每个时间步的平均迭代次数κ介于1到2之间。P.A.Forsyth向作者建议。3.2 ADI模式ADI模式对于半离散多维偏微分方程的时间离散化很有吸引力，因为其每一时间步的计算成本与半圆盘重定时的空间网格点数量M成正比，这是最优的。对于e格式，矩阵A被拆分为A=A+A+A。（14）这里，A的A部分对应于混合导数项的半离散化。只要相关ρ不为零，该矩阵就不为零。接下来，A和A分别对应于s方向和s方向上所有空间导数项的半离散化，并且还包含-国际扶轮社。

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2022-5-26 22:10:47

这两个矩阵本质上是三对角的（也就是说，直到可能的置换）。在有关欧式期权数值估值的文献中，考虑了三个主要的ADI方案家族：道格拉斯（Douglas）方案、修改后的克雷格-斯奈德（Craig–Sneyd）（MCS）方案和亨多弗-维沃（Hundsdorfer–Verwer）（HV）方案，例如【7】。在[5，6]中，通过将这些模式与IT拆分方法相结合，这些模式已被用于美式期权的数值估值，从而产生了所谓的ADI-IT方法：Do-IT方法：Y=（I+tA）尿素氮-1+tbλn-1，Yj=Yj-1+θ泰姬陵Yj公司-小面包-1.（j=1，2），\'Un=Y，bUn=最大值\'Un- tbλn-1，Uo，bλn=最大值n0，bλn-1+（U-联合国）/到（15） MCS-IT方法：Y=（I+tA）尿素氮-1+tbλn-1，Yj=Yj-1+θ泰姬陵Yj公司-小面包-1.（j=1，2），eY=Y+θt A+(- θ）助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+θ泰姬陵eYj公司-小面包-1.（j=1，2），\'Un=eY，bUn=maxn\'Un- tbλn-1，Uo，bλn=最大值n0，bλn-1+（U-联合国）/到（16） HV-IT方法：Y=（I+tA）尿素氮-1+tbλn-1，Yj=Yj-1+θ泰姬陵Yj公司-小面包-1.（j=1，2），eY=Y+助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+θ泰姬陵eYj公司- Y（j=1，2），\'Un=eY，bUn=maxn\'Un- tbλn-1，Uo，bλn=最大值n0，bλn-1+（U-联合国）/到（17） Do-IT方法构成了基本的ADI-IT方法。MCS-IT和HV-IT方法对该方法进行了不同的扩展，每个时间步需要大约两倍的计算工作量。在上述ADI-IT方法中，分隔始终以显式方式处理，而A和A部分则以隐式方式处理。在每个时间步中，线性系统必须用两个矩阵I来求解- θTajj=1，2。由于这些矩阵都是三对角矩阵，可以通过预先计算一次它们的LU分解，然后在所有时间步中使用这些分解，来非常高效地解决问题。

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2022-5-26 22:10:50

因此，每个ADI ITmethod的每个时间步的计算成本与空间网格点的数量M直接成比例，这是非常有利的。关于基本的ADI方案，它认为MCS和HV方案对于任何值θ都有一个等于2的类一致性顺序（即对于fixed nonsi ffode s系统）。我们提到θ=的MCS方案是所谓的Cra ig–Sneyd（CS）方案。对于theDo格式，如果Ais非零，则经典一致性阶仅等于1。这个较低的阶数是因为在这个方案中，分离是在一个简单的病房内处理的。4 IT方法和PR方法的解释在本节中，我们对IT拆分方法和PR方法进行了有启发性的解释。通过辅助变量λ（t）重写半离散PDCP（5），通常称为拉格朗日乘数：U′（t）=AU（t）+λ（t），（18a）U（t）≥ U、 λ（t）≥ 0，（U（t）- U） Tλ（T）=0。（18b）假设λ（t）已知，并以拆分形式asU′（t）=F（t，U（t））+G（t，U（t）），F（t，V）=AV和G（t，V）=λ（t）（0）写入ODE系统（18a）≤ t型≤ 电视∈ RM）。假设-1.≈ U（tn-1）给出并考虑bun≈ 定义单位：U（tn）Y=尿素氮-1+t F（tn-1，小面包-1） +t G（tn-1，小面包-1），Y=Y+θt型F（tn，Y）- F（tn-1，小面包-（1）,Z=Y+θt型G（tn，Z）- G（tn-1，小面包-（1）,bUn=Z.（19）上述a可被视为（18a）的道格拉斯型分裂方案，涉及两个参数θ，θ，比较，例如[11]。请注意，此处的拆分不同于第3.2节中考虑的定向拆分。在方案（19）和θ-IT方法（8）之间有一个简单的关系：取θ=θ和θ=1时，写出Y=’unan，并用近似值bλqf代替λ（tq）来表示q∈ {n- 1，n}，很容易看出，（19）与（8b）的第一行一起变成（8a）。

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2022-5-26 22:10:53

（8b）的第二行是对θ-IT方法的补充，它形成了t=tn处互补条件（18b）的离散类比。我们提到，如果θ=1，则在[14]中给出了相关的算子理论推导，称为道格拉斯-拉赫福德方案。在嵌套到（19）由（14）引起的函数F的方向分裂后，θ-IT方法的上述解释直接扩展到所有ADI-IT方法（15）、（16）、（17）。考虑下一个（18a）的Peaceman-Rachford型分裂方案，Y=尿素氮-1个+t F（tn-1/2，Y）+t G（tn-1，小面包-1），Z=Y+t F（tn-1/2，Y）+t G（tn，Z），bUn=Z.（20）详细说明（20），然后用q的近似值bλqf替换λ（tq）∈ {n- 1，n}，givesbUn=（I+tA）’Un+tbλn，其中“未定义为（10a）”。t=tnreadsbUn时互补条件（18b）的具体类似物≥ U、 bλn≥ 0，（bUn- U） Tbλn=0。对于任何给定的ε>0，tobUn，这是等效的- U=最大值，bUn- U- εbλnoandbλn=最大值n0，bλn- （发髻- U） /εo.选择ε=t并插入上述BUNyiels（10b）表达式。因此，可将PRmethod（10）视为从Peaceman-Rachford型分裂方案中获得，并指出相关分裂不是定向的。这种解释与[14]中给出的操作员理论解释相对应。我们认为，通过在（19）中选择θ=θ=θ，可以获得θ-IT方法的自然变体。这导致（8），除了更新的第一行（8b）中的步长t由θ代替t、因此，在（9）中发生相同的替换。事实证明，对于θ=θ的这个方差，它的方法与PR方法是等价的。5数值研究在下文中，我们对第3节中描述的时间离散化方法进行了广泛的数值实验。

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2022-5-26 22:10:57

我们的主要目标是研究它们在（5）数值解中的实际收敛行为，并评估它们的相对性能。为此，我们研究了t=t=N时的时间离散化误差t、在自然利益区域，由BE定义(t；m） =最大{| Ul（T）-bUN，l |：0≤ i、 j≤ m、 K<s1，i，s2，j<K}。（21）这里，U（T）表示T=T的半离散PDCP（5）的精确解，l=l（i，j）表示指数，使得分量Ul（T）和bun，lcorres汇集到空间网格点（s1，i，s2，j）。在我们的实验中，两个空间方向上的网格点数量始终相同，m=m=m。对于每个给定的m，通过使用θ=和N=10m时间步长的θ-P方法计算U（T）的参考解。显然，（21）测量了最大范数的时间误差，这是金融实践中最相关的范数。注意，空间离散化误差不包含在（21）中。我们在此详细研究了由于时间离散化本身引起的误差。这将带来重要的新见解。我们采用与m成正比的时间步数N，这形成了应用程序中的常见情况。

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2022-5-26 22:11:01

考虑以下方法：oBE-EP：（7）θ=1oBE-IT：（8）θ=1oBE-P：（11）θ=1oCN-EP：（7）θ=1/2oCN-IT：（8）θ=1/2oCN-P：（11）θ=1/2oPR：（10）和oDo IT：（15）θ=1/2oCS-IT：（16）θ=1/3oHV-IT：（17）θ=1/（2）+√2）方法（15）、（16）、（17）选择的θ值是由[8，9]中基础ADI方案获得的有利无条件稳定性结果决定的。众所周知，在金融应用中，支付函数φ通常在一个或多个给定点上是非光滑的，这对数值解方法的精度有不利影响。对于空间离散，可以通过构建空间网格来缓解这种影响，使这些非光滑点的坐标始终恰好位于两个连续网格点之间的中间。第2节考虑了这种结构。随后，对于温度或阻尼，常用的方法是应用后向Euler阻尼，也称为Rannachertime步进。在欧洲选项的情况下，这意味着前几个时间步全部被两个步长的子步所取代后向欧拉法的t/2。与此类似，我们总是将θ-EP、θ-IT和θ-P方法的前两个时间步中的每一个替换为两个步长为的子步使用θ=1的相同方法的t/2。接下来，为了阻尼PRmethod和所有ADI-IT方法，使用θ-IT方法，θ=1.5.1单资产美式期权。我们从Black-Scholes框架下单资产美式期权的特例开始。相关（一维）空间微分算子isA=σss+rss- r

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2022-5-26 22:11:04

（22）空间离散化如第2节所述，其中对于非均匀网格，取以下参数值，d=K/3，Sleft=0.8K，Sright=1.2K，Smax=5K。（23）作为第一个示例，我们考虑一种美式看跌期权，其payoffφ（s）=max（K-s、 0）（对于s≥ 0），然后选择财务参数值Sr=0.02，σ=0.40，T=0.5，K=100。（24）图1显示，除ADI-IT方法外，上述所有方法的时间离散化误差为(t；m）对于N=m和20个介于10和1000之间的不同值m，由适当奇数ν的相等数量给出（见第2节）。我们观察到，BE-EP、B E-IT、BE-P三种方法得到的误差非常接近。正如预期的那样，它们表现出一种反向收敛行为。用EP、CN-IT、CN-P、PR四种方法得到的误差小得多。在这四种方法中，CN-EP方法的精确度最低。CN-IT、CN-P、P r方法的误差相对较近，其收敛阶约为1.3。很明显，这一顺序明显低于2，这是由于期权价值函数在早期行使边界附近的非光滑性，参见例[3]。接下来，我们将选择一个更具挑战性的美国黄油选项，参见【10】。它具有nonc onvex payoffφ（s）=max（s- K、 0）-最多2个-K、 0）+最大值- K、 0）罢工K<Kand K=（K+K）/2。与上述类似，图2显示了财务参数值Sr=0.02、σ=0.40、T=0.5、K=80、K=120的所有方法的时间离散化误差。（25）BE-IT、BE-P、CN-IT、CN-P、PR方法揭示了一个整洁的一阶收敛行为。显式Payoff方法BE-EP和CN-EP总是产生较大的误差，并且随着N=m的增加，收敛速度非常慢。

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2022-5-26 22:11:08

我们提到，对于后一种方法，时间误差s在走向K附近最大（这始终是黄油fly选项的早期练习点）。对于单一资产美国认沽期权和黄油期权的大量额外实验支持了我们的上述结论。可以预见，基于CN的方法通常比基于be的方法更精确。此外，发现PR方法通常比CN-it方法更准确。研究拉格朗日乘子向量bλn提供了进一步有用的见解。图3和图4分别显示了美式看跌期权和黄油期权的拉格朗日乘数bλn，域[0，K]×中的iversus（s1，i，tn）（0，T）对于BE-IT方法，m=100。乘数不为零的子域代表早期锻炼区域。很明显，对于黄油选项，该区域形成了走向K的一个新邻域。用CN-ITmethod或PR-method替代BE-IT方法，其结果与图3和图4中的结果基本相同。增加m后，美式看跌期权的结果与图3和图4中的结果相同主要因素大致相同，但对于美国黄油期货，最大值以l与m成正比的方式增长。后一种现象可以从精确的黄油期货期权价值函数在所有时间的走向K处的非光滑性（扭结）来解释，这使得美国黄油期货的数值估值比美国看跌期权的数值估值更具挑战性。文献[3]表明，通过采用合适的自适应可变步长，而不是恒定步长s，可以恢复CN-P方法的二阶收敛性。第3节中的所有临时分离方法都直接扩展到可变步长。在此，我们考虑预先确定的时间网格点（也可与[13，16]进行比较）tn=nN型T表示n=0，1，2，N

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2022-5-26 22:11:11

（26）在t=0附近，相应的步长最小（这是选项值和早期锻炼边界变化最强的地方），并且它们与n呈线性增长。图5和图6分别是在这些可变步长的情况下得到的图1和图2的类似物。实际上，对于CN-P方法，观察到了有利的s二阶收敛行为。我们注意到，在PUT选项的情况下，在早期练习边界附近可能会出现相对较大的时间误差，导致图5中出现“pe aks”，参见als o【3】。然而，在步长可变的情况下，CN-P方法通常比欠考虑的所有其他方法准确得多。对于其他方法，与恒定步长相比，采用可变步长不会导致精度的显著提高。由于CN-P方法基本上精确求解了每个时间步的惯性LCP，因此我们得出结论，对于其他基于CN的方法（包括PR），每个时间步的LCP近似解产生的误差主导了CN时间步产生的误差；注意，时间离散化误差（21）可以看作这两个误差的总和，sinc e U（T）-bUN=（U（T）-UN）+（UN-bUN）未定义（6）。10-310-210-110-610-510-410-310-210-11001/MBE图1：美式看跌期权和参数（2 4）。时间误差be(t；m）相对于1/m，n=m，10≤ m级≤ 固定步长。BE-EP：浅色项目符号，BE-IT：浅色正方形，BE-P：浅色三角形，CN-EP：深色项目符号，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色钻石。10-310-210-110-610-510-410-310-210-11001/MBE图2：美国黄油FLY选项和参数（25）。时间误差be(t；m）相对于1/m，N=m，10≤ m级≤ 固定步长。

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2022-5-26 22:11:14

BE-EP：浅色项目符号，BE-IT：浅色正方形，BE-P：浅色三角形，CN-EP：深色项目符号，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色钻石。05010015000.10.20.30.40.500.511.522.5tsλ图3：美式看跌期权和参数（24）。对于BE-IT方法，拉格朗日乘数bλn，iversus（s1，i，tn）in[0，K]×（0，T）]，m=100.0501015000.10.20.30.40.502004006008001000tsλ图4：美国黄油fly选项和参数（25）。对于BE-IT方法，在[0，K]×（0，T]中的Lagra-nge乘数bλn，iversus（s1，i，tn），m=100.10-310-210-110-610-510-410-310-210-11001/MBE图5：美式看跌期权和参数（2 4）。时间误差be(t；m）相对于1/m，n=m，10≤ m级≤ 1000、可变步长s、BE-EP：浅色项目符号、BE-IT：浅色正方形、BE-P：浅色三角形、CN-EP：深色项目符号、CN-IT：深色正方形、CN-P：深色三角形、PR：深色钻石。10-310-210-110-610-510-410-310-210-11001/MBE图6：美国黄油FLY选项和参数（25）。时间误差be(t；m）与1/m相比，N=m为1 0≤ m级≤ 可变步长。BE-EP：浅色项目符号，BE-IT：浅色正方形s，BE-P：浅色三角形，CN-EP：深色项目符号，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色钻石。5.2双资产美式期权我们接下来考虑几个双资产美式期权的数值实验。PDCP（2）的空间离散化在第2节中描述的非均匀网格上进行，参数值为（23）。对于时间离散化，除使用显式Payoff方法外，我们采用本节开头列出的所有方法。作为第一个示例，采用了至少两种资产价格的美式看跌期权。Ithas payoffφ（s，s）=最大值（K- s、 0），s=最小值（s，s）。我们从[18]中选择财务参数值，r=0.05，σ=0.30，σ=0.30，ρ=0.50，T=0.5，K=40。（27）图7显示了t=t的数值近似早期练习区域。

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2022-5-26 22:11:17

我们计算出时间离散化误差为(t；m）对于N=m的恒定步长和10到200之间的15个不同值，对应于相等数量的奇数ν。图9显示了基于θ的方法得到的结果。与单ass e t美式看跌期权的情况类似，BE-IT和B e-P方法的误差非常接近，并显示出近似的一阶收敛行为。此外，与之前一样，基于CN的方法的误差非常小，并且彼此相对接近，并且显示出近似等于1.3的收敛阶。图10显示了正在考虑的四种ADI-IT方法的结果。CS-IT、MCS-IT和HV-IT方法获得的精度与基于CN的方法大致相同，接近。因此，这三种ADI IT方法的观测收敛阶也大约等于1.3。与更先进的ADI-IT方法相比，Do-IT方法的准确度要低得多，但它比BE-IT和BE-P方法更准确。观察到的Do-IT方法的收敛速度比1稍小。作为第二个例子，我们考虑两种资产价格算术平均值上的美式看跌期权，其payofffφ（s，s）=max（K-s、 0），s=（s+s）/2。图8显示了t=t时的数字近似早期运动区域。对于该选项，图11和图12分别为图9和图10的类似物。比较不同方法获得的精度，在最小看跌期权的情况下，得出了相同的结论，但PR方法除外，PR方法通常比其他方法更精确。

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kedemingshi

2022-5-26 22:11:21

CN-P和PR方法观测到的收敛阶分别约为1.1和1.3，而对于所有其他方法，它们的收敛阶略小于其中一种方法。作为第三个示例，我们选择了一个美式黄油期货期权，其最大资产价格为两个，付款φ（s，s）=max（s- K、 0）-最多2个-K、 0）+最大值- K、 0），s=最大值（s，s），K=（K+K）/2。对于该选项，早期练习区域包含所有点（s，K）和（K，s），0≤ s、 s≤ K、我们选择初始参数值Sr=0.05，σ=σ=0.30，ρ=0.50，T=0.5，K=32，K=48。（28）基于θ的方法和ADI-IT方法获得的时间误差分别显示在图13和14中。其结果与上述所有（一种和两种资产）美式期权示例中的结果截然不同，且不如前者有利。对于BE-IT、BE-P和CN-P方法，观察到整洁的t阶收敛。其中，CN-P法最为准确。对于所有其他方法，收敛行为尚不清楚。我们注意到，设置相关性ρ=0，或用PR方法而不是CN-P方法计算参考溶液，不会改变这一结论。对于m=500的双资产Americ anbutter fly期权的后续实验表明，对于CN-IT和PR方法，m=N的收敛性为0.5级。在本例中，ADI-IT方法的收敛行为很难理解，需要进一步研究。采用与可变s步大小相对应的时间网格点（2-6），可以大大提高CN-P方法的精度。在双资产流动选项的情况下，观察到平滑的二阶收敛行为。

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2022-5-26 22:11:24

对于上述两种资产认沽期权，当临时误差（21）的兴趣区域与早期行使边界不相交时，可获得如此有利的结果。6结论本文对一系列当代时间离散化方法进行了充分的数值研究，这些方法用于PDCP建模一种和两种资产美国式期权的公允价值。为此，对时间离散误差（21）进行了详细的数值研究。这里考虑了最大范数，时间步数N与每个空间方向上网格点m的数量成正比。数值实验选择了五个美式选项：1-a资产出售、1-a资产出售、2-a资产出售最小值、2-a资产出售算术平均值和2-a资产出售最大值。对于时间离散，选择了后向Euler（BE）和Crank–Nicolson（CN）方法以及三种ADI方案：Douglas（Do）、Modified Craig–Sneyd（MCS）和Hundsdorfer–Verwer（HV）。对于每个时间步中发生的LCP的数值处理，考虑了显式Payoff（EP）方法、Ikonen–Toivanen（IT）分裂方法和惩罚（P）方法。此外，还选择了与CN-IT方法相关的Peaceman-Rachford（PR）方法。对于ADI格式，本文只研究了与IT分裂方法的结合。两种明确的支付方法，BE-EP和CN-EP，仅用于一种资产。

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2022-5-26 22:11:27

单资产认沽期权的时间收敛顺序为1.0，但单资产黄油期货期权的时间误差较大，收敛速度较慢。相反，对于上述所有五种方法，BE-IT和BE-P方法的时间收敛顺序总是接近1.0，CN-P方法的收敛顺序在1.0和1.3之间。通过采用合适的可变步长，确定临时网格点（26），CN-P方法显示，只要早期练习基础不包含在感兴趣的区域中，就有一个接近2.0的有利收敛顺序。不幸的是，对于正在考虑的所有其他方法，使用这些可变步长并不能改善其收敛性能。CN-IT和PR方法始终显示出大约1.0到1.3之间的收敛顺序，但两种资产的奶油价格期权除外，在这种情况下，它似乎减少到0.5。关于ADI-IT方法，θ=1/2的Do-IT方法对于两个a sset看跌期权的收敛顺序大约等于1.0。θ=1/3和θ=1/2的MCS-IT方法和θ=1/（2）的HV-IT方法+√2）显示这两个选项的收敛阶分别约等于1.3和1.0。在双资产奶油期权的情况下，ADI-IT方法的收敛行为尚不清楚。上述关于采用利润分割法的方法的时间收敛行为的观察结果在文献中似乎是非常新的。只有对于BE-IT方法，我们才知道直接相关的理论结果，见[5]。本文的数值结果与理论结果一致。对于使用惩罚方法的方法，我们的观察结果与[3]中的（理论和实践）结果非常吻合。

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2022-5-26 22:11:30

显然，对于适用于适当可变步长的CN-P方法，本文的实验中仅观察到接近或等于2的时间收敛阶。将不同方法的时间误差大小与恒定步长进行比较，实验表明，对于两种方法BE-IT，BE-P-e总是非常相似，对于三种方法CN-IT、CN-P、PR也是如此。后一组被发现总是比前一组更精确。此外，PR方法被证明比CN-IT方法更准确。在两种资产认沽期权的情况下，基于ADI的方法MCS-IT和HV-IT与基于CN的方法具有相似的精度。Do-IT方法的准确度明显低于这些方法。对于相关的可变步长，CN-P方法被发现是所有欠考虑方法中最精确的方法。基于本文讨论的数值实验，并考虑到每个时间步的计算工作量，建议在（2）的数值解中使用MCS-IT和HV-IT方法，只要支付函数和财务参数是标准的，就可以使用这两种资产美式期权。如果Payoff函数更高级，例如（非凸）最大两个资产的butter fly，我们建议使用具有可变步长的CN-P方法。如果普遍适用性很重要，则提倡BE-IT和BE-P方法，这是以牺牲时间精度为代价的。

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nandehutu2022

2022-5-26 22:11:34

作为一般适用性和时间准确性之间的一个组成部分，PR方法是一个很好的候选者。致谢这项工作已得到欧盟在FP7-PEOPLE-2012-ITN计划中的支持，该计划根据赠款协议编号er 304617（FP7 Marie Curie Action，Project Multi-ITN STRIKE Novel Methods in Computative Finance）。0 20 40 60 80 100020406080100s1s2Figure 7：早期锻炼区域，如果t=t，则两项资产美国投入最小值和参数（27）。0 20 40 60 80 100020406080100S1S2图8：两项资产美国平均值和参数（27）的t=t时的早期锻炼区域。10-210-110-510-410-310-210-11/MBE图9:American put上的两个资产最小值和参数（27）。时间误差be(t；m）相对于1/m，N=m，10≤ m级≤ 200、恒定步长。BE-IT：浅色正方形，BE-P：浅色三角形，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色菱形。10-210-110-510-410-310-210-11/MBE图10：美国可投入的两项资产的最小值和参数（27）。时间误差BE(t；m）相对于1/m，N=m，10≤ m级≤ 200.C恒定步长。Do-IT：黑色子弹，CS-IT：黑色方块，MCS-IT：黑色星星，HV-IT：黑色钻石。10-210-110-510-410-310-210-11/M图11：两项资产美国平均值和参数（27）。时间误差be(t；m）相对于1/m，N=m，10≤ m级≤ 200、恒定步长。BE-IT：浅色正方形，BE-P：浅色三角形，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色菱形。10-210-110-510-410-310-210-11/M图12：两项资产美国平均值和参数（27）。时间误差be(t；m）与1/m相比，N=m为10≤ m级≤ 200、恒定步长。做吧：黑色子弹，CS-IT：黑色方块，MCS-IT：黑色星星，HV-IT：黑色钻石。10-210-110-510-410-310-210-11/MBE图13：两项资产美国黄油流量和参数（28）。

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2022-5-26 22:11:37

时间误差(t；m） versus1/m，N=m，10≤ m级≤ 200、恒定步长。BE-IT：轻型正方形，BE-P：轻型三角形，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色钻石。10-210-110-510-410-310-210-11/MBE图14：两项资产美国黄油流量和参数（28）。时间误差(t；m） versus1/m，N=m，10≤ m级≤ 200、恒定步长。Do IT：暗黑子弹，C S-IT：dar ksquares，MCS-IT：暗星，HV-IT：dar k钻石。参考文献【1】G.Barles，Ch.Daher&M.Romano，《金融理论中抛物型方程数值格式的收敛性》，数学。摩登派青年冰毒。应用程序。Sc.5（1995）125–143。[2] A.Berman&R.J.Plemmons，《数学科学中的非负矩阵》，暹罗，1994年。[3] P.A.Forsyth和K.R.Vetzal，《使用apenalty方法评估美式期权的二次收敛》，SIAM J.Sci。公司。23（2002）2095–2122。[4] T.Haentjens&K.J.in’T Hout，《赫斯顿-赫尔-怀特偏微分方程的交替方向隐式有限差分格式》，J.Comp。芬南。16（2012）83–110。[5] T.Haentjens&K.J.in’T Hout，赫斯顿模型下美国期权定价的ADI计划，Appl。数学芬南。22（2015）207–237。[6] T.Haentjens，K.J.in’T Hout&K.Volders，采用Ikonen–Toivanen分割的ADI方案，用于Heston模型中美式看跌期权的定价，摘自：数值分析和应用数学，编辑：T.E.Simos et al.，AIP Conf.Proc。1281（2010）231–234。[7] K.J.in’t Hout&S.Foulon，Hestonl模型中期权定价的有限差异方案与相关性，Int.J.Numer。肛门。摩登派青年7（2010）303–320。[8] K.J.in’t Hout&B.D.Welfert，《应用于具有混合导数项的对流微分方程的ADI格式的稳定性》，应用。数字。数学57（2007）19–35。[9] K.J.in’t Hout&B.D。

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