模型不确定性下的Fatou贴近度

2022-5-27 14:23:17

模型不确定性下的Fatou封闭性Marco-Maggis*,米兰大学数学系，ItalyThilo Meyer Brandis+，Gregor Svindland数学研究所，德国慕尼黑大学2018年2月28日摘要我们提供了一个关于P-拟序有界随机变量空间中弱闭单调凸集的Fatou闭性的特征，其中P是一类概率测度（可能是非支配的）。我们的结果应用于资产定价的基本定理或凸风险度量的对偶表示。关键词：容量、Fatou封闭性/性质、顺序封闭性、模型不确定性下的凸性、资产定价基本定理。MSC（2010）：31A15，46A20，46E30，60A99，91B30.1简介一个归因于Grothendieck（[Gr54，p321，练习1]）的新结果，基于Krein-Smulian定理，刻画了L∞P： =L∞(Ohm, F、 P），其中(Ohm, F、 P）是一个概率空间，通过一个称为Fatouclosedness的属性，如下所示：定理1.1。让A L∞Pbe凸面。等价物为：（i）A为弱*-闭合（即σ（L）中闭合∞P、 LP））。*电子邮件：marco。maggis@unimi.it+电子邮件：meyerbra@math.lmu.de电子邮件：svindla@math.lmu.de（ii）A是Fatou关闭的，即如果（Xn）n∈N A是一个有界序列，它几乎肯定会将P收敛到X，然后收敛到X∈ A、请注意，L∞从这个角度来看，定理1.1中的性质（ii）等于a的序列序闭度，这实际上意味着自L∞Phas可数上确界，即每一个具有上确界的非空子集都包含一个具有相同上确界的可数子集。定理1.1非常有用，经常应用于数学金融文献中，例如资产定价基本定理的分类，参见。

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kedemingshi

2022-5-27 14:23:20

[DS94]或[DS06]，或在凸风险函数的双重表示中，参见例如[FS04]。在所有情况下，问题是L的范数对偶∞Pc包含所需的奇异元素，而在弱*-对偶（L∞P、 σ（L∞P、 LP））对偶空间的元素用σ-加性测度来识别。然而，由于弱*-拓扑通常不是第一个可数的，因此验证某些集合是弱*-闭的通常是相当具有挑战性的。这就是定理1.1证明有用的地方。本文的目的是研究当概率测度P被上的一类概率测度P代替时，定理1.1的存在性(Ohm, F）。一般来说，P d类不允许存在支配概率。例如，该结果的应用领域是数学金融领域，目前有很多精力推导资产定价基本定理的版本，以及研究[Be13、BK12、BN15、BFM15、Nu14、Vo14]中所谓稳健框架中凸风险函数的表示形式。这种框架越来越流行，用来描述决策者必须处理模型模糊性带来的不确定性。这里，决策者考虑的概率模型P类代表了她对正确概率模型的模糊程度。如果P={P}，则没有歧义。在许多解释模型模糊度P的研究中，事实上证明它是一类非支配的概率度量，请参见[BK12、BN15、BFM15、Nu14]及其参考文献。我们将在鲁棒概率框架中展示定理1.1的一个版本(Ohm, F、 P），见定理3.9。Letc（A）：=su pP∈PP（A），A∈ F、表示P产生的容量。

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2022-5-27 14:23:24

关于凸集A和onL的若干条件∞cwe获得（WC）A之间的等效性 L∞cisσ（L∞c、 cac）-关闭，（FC）A L∞cis Fatou闭包：对于任何有界序列{Xn} A和X∈ L∞csuchthat Xn→ X P-准肯定有X∈ A、其中L∞cand和CAC是L∞Pand lp分别由容量c给出，P拟纯收敛意味着eachQ下的Q-几乎肯定收敛∈ P、我们在A上需要的条件是单调性（A=A+（L∞c） +）和一种称为P敏感性的属性。单调性在经济应用中通常是令人满意的，我们表明P敏感性确实是一个必要条件（WC）<=> （FC），请参阅位置3.8。如果P占主导地位，则P敏感性总是充满。另一项对我们证明（WC）至关重要的要求<=> （FC）是指CAC的对偶空间可以用L表示∞c、这个条件暗示了Banach格L的序完备性∞c、即L的任何有界子集存在上确界∞c、 seeProposition 3.10，因此它对应于[Co12，STZ11]中的聚集类型结果。如果L∞cis顺序完成，则属性（FC）等于顺序闭合度A。然而，订单完整性并不意味着L∞Cpossses the countable supperty，see Example 3.11，因此即使在这种情况下（FC）通常也不会实现A的闭度。我们还提供了一个反例，表明对于非支配P，没有（WC）的证明<=> （FC）无进一步要求，如P-灵敏度，参见示例3.4。此外，我们还说明了许多条件，尤其是在P上，人们会首先想到确保（WC）<=> （FC），确实意味着P是占优的，所以我们回到定理1.1。

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2022-5-27 14:23:29

因此，本文的另一个贡献是对人们在试图将定理1.1推广到robustcase时可能遇到的谬误提供了更深入的见解。本文的结构如下：第2节提供了一系列有用的注释，这些注释将贯穿全文。第3节包含了本文的主要结果，尤其是定理3.9是定理1.1的健壮版本。最后，第4节收集了第3.9条在数学金融领域的应用。在这里，我们并不假设领导者熟悉数学金融。然而，我们尽量保持陈述的简洁，参考相关文献了解更多背景信息。2注释为了清晰起见，我们在这里提出了一份我们将在本文中使用的基本注释和定义列表。让(Ohm, F）是任何可测量的空间。（i） ba：={u：F→ R |u是完全相加的}和ca：={u：F→ R |u是σ-添加剂}。这两个都是Banach格，一旦赋予总变化范数T V和|u|=u++u-其中u=u+- u-是Jordan分解（有关更多详细信息，请参见[AB06]）。（ii）ba+（分别为ca+）是所有正加性（分别为。

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2022-5-27 14:23:33

σ-加法）设置函数(Ohm, F）。（iii）在没有任何参考概率度量的情况下，我们有以下随机变量集SL：={f：Ohm → R | f是f-measure ab le}，L+：={f∈ L | f（ω）≥ 0， ω∈ Ohm},L∞:= {f∈ L | f是边界}。特别是L∞是（逐点）上确界范数k·k下的Banach空间∞带双空格ba。（四）M ca+是上所有概率度量的集合(Ohm, F）。（v）在本文中，我们确定了一组概率测度P M、（vi）我们引入了次线性期望c（f）：=supQ∈PEQ【f】，f∈ L+，通过滥用符号，我们定义了A的容量c（A）：=c（1A）∈ F、（vii）LetbP，eP M、 bP支配EP，用EP表示<<bP，如果全部为A∈ F：支持∈bPP（A）=0=> 支持∈ePP（A）=0。我们说两类BP和EP是等价的，用BP表示≈eP，ifeP<<bP和bP<<eP。（viii）如果声明对任何q持有q-几乎肯定（A.s.），则声明持有P-准肯定（q.s.）∈ P、（ix）由c支配的完全可加（或可数可加）集函数的空间由bac={u给出∈ ba |u<< c} （相应的cac={u∈ ca |u<< c} ）。此处u<< cmeans：对于某些A，c（A）=0∈ F表示u（A）=0。当P={Q}时，为了简单起见，我们将写baQor-caqf。（x）我们考虑商空间Lc：=L/~其中，等效性由f给出~ g级<=> P∈ P:P（f=g）=1。我们将使用大写字母来区分随机变量的等价类x∈ LCF代表∈ 十、带f∈ 五十、如果P={Q}，我们将写Qin而不是Lc。Radon-Nikodym定理（[AB06，Th eorem 13.18]）的一个众所周知的结果是，Caqm可以与LQ识别。（xi）对于任何f，g∈ L和P∈ M、我们写f≤ g P-a.s.当且仅当P（f≤ g） =1。类似f≤ g P-q.s.当且仅当f≤ g P-所有P的a.s∈ P、这个关系是L上的偏序，它也包括LCX上的偏序≤ Y forX，Y∈ Lcif且仅当f≤ g P-q.s。

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2022-5-27 14:23:42

对于任何f∈ X和g∈ Y（xii）我们定义∞c： =L∞/~并赋予这个空间normkXkc，∞:= inf{m |P∈ P:P（| X |）≤ m） =1}。（L）∞c、 k·kc，∞) 是具有相同偏序的Banach格≤ 与信用证相同。其标准为bac。如果P={Q}，我们写L∞Q和k·kQ，∞为了简单起见。注意k·kc，∞对于P的任何选择，都不能是顺序连续的。为了简单起见，如果没有混淆的风险，我们将遵循通常的惯例，用L中的随机变量所诱导的等价类来识别L中的随机变量（在Lc中，L∞c、 LQor L公司∞Q）反之亦然。3为了得到定理1.1的稳健版本，我们首先回顾非平凡蕴涵（ii）的p屋顶=> （i）定理1.1的思想是应用Krein-Smulian定理，这意味着我们只需要证明集合：=A∩ {X∈ L∞P | kXkP，∞≤ K} 对于任何常数K>0，都是弱*-闭合的。现在我们可以调用L的可数sup属性∞Pto发现（ii）意味着（i），请参见【AB03，定义1.43和后续讨论】。但是，在我们设想的强健环境中∞C通常不具有此属性（参见示例3.11），我们通过包含以下内容的方法提供了一个替代参数：i：（L）∞P、 σ（L∞P、 LP））→ （LP，σ（LP，L∞P））（3.1）注意i是连续的。现在，由于A是Fatou闭的，即在有界P-A.s.收敛下是闭的，因此i（CK）是Banach空间的闭子集（LP，EP[|·|]），因此i（CK）也是弱的（即σ（LP，L∞P））由凸性封闭，因此最终CKmustbe弱*-由i的连续性封闭。证明定理1.1稳健版本的自然方法是“稳健”空间，并尝试重复上述论点。这有两个自然的候选者：LetHc：={X∈ L | c（| X |）<∞}, 标准kXkc：=c（| X |）。然后很容易证明（Hc，k·kc）是一个Banach晶格。

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2022-5-27 14:23:45

但在稳健的情况下，还有另一个候选者，即Mc：=L∞它也是一个范数为k·kc的Banach格。这些空间最近在文献中进行了研究，参见[DHP11]和[Nu14]，它们似乎是不确定性下emb ed财务建模的自然环境。很明显，我∞c Mc公司 Hc公司信用证。请注意，包含的技巧（3.1）要求Lp的n或mdual可以用L来识别∞P、特别是对于LPS的子集，在后一种情况下，LPS被视为caP的表示。因此，读者可以很容易地检查，如果范数对偶M，我们可以保存上述论点*坎德H*cof MCA和Hc分别满足M*c ca或H*c 下面的g定理3.1表明，只有当P是占优的时，才是这种情况。为此，用z表示：={（An）n∈N F |安↓ 和c（An）6→ 0}，（3.2），其中↓ 意味着 An+1，An6=, n∈ N、和TN∈NAn=, c不连续的集合的递减序列。定理3.1。考虑以下条件：（i）Z=.（ii）M*c 约（iii）H*c ca.然后（i）<==> （二）<== （iii）。特别是，如果Z=, 然后存在一个可数子步骤 P使EP≈ P、因此有一个概率测度Q∈ Msuch that{Q}≈ P、证明。（一）=> （ii）：根据命题A.2，对于任何l∈ M*C此处为u∈ 对于所有简单随机变量X，l（X）=RX du。此外，u∈ cac，因为c（A）=0意味着L（1A）=0，A∈ F、任意X的起始值∈ L∞cand任意n∈ N根据积分理论中常用的近似方法，有一个简单的随机变量Xnsuch | X-Xn |<1/n P-q.s.，so kX- Xnkc<1/n，l的连续性和支配收敛定理M（X）=limn→∞l（Xn）=limn→∞ZXndu=所有X的ZX du∈ L∞c

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kedemingshi

2022-5-27 14:23:54

我们记得在[DHP11]命题18中，以下关系是shownmc={X∈ Hc | limn→∞kX1{| X|≥n} kc=0}。因此，对于X∈ （Mc）+我们通过单调收敛得到l（X）=limn→∞l（X1{| X|≤n} ）=limn→∞ZX1{| X|≤n} du=ZX du。最后，分解X∈ Mcinto X+- 十、-带X+，X-∈ （Mc）+和l的线性，积分显示（ii）。（二）=> （i）和（iii）=> （i）直接从命题A.2开始，这个定理的最后一个陈述是命题A.1。备注3.2。请注意，Z= 等价于k·kc的顺序连续性。根据定理3.1，如果P不是占优的，那么Z 6= 因此，范数k·kcon Mcor hc不是顺序连续的。还要注意的是，定理3.1的最后一条陈述的反方向不是真的，即Z 6=并不意味着P不占优势。要看到这一点，让我们↓ 并选取概率度量Pn的序列，使得Pn（An）=1表示所有n∈ N、设P={Pn | N∈ N} 。那么，很明显，对于每个n，k1Ankc=1。因此，k·kc不是顺序连续的，Z 6= 安图斯M*c6类然而，我们有{Q}≈ P表示Q=P∞n=1nPn。调用条件（WC）A L∞cisσ（L∞c、 cac）-关闭。（FC）A L∞cis Fatou closed：对于任何有界序列Xn A和X∈ L∞csuch thatXn→ X P-q.s.我们有X∈ A、很容易验证始终（WC）==> （FC）由于任何有界P-q.s.收敛序列也在σ（L）中收敛∞c、 cac）至相同限值。然而，通常没有（FC）的限制==> （WC）即使A是凸的，也需要A的单调性，即A+（L∞c） +=A，此外，不充分：定理3.3。让A L∞cbe凸和单调。如果没有关于P或A的进一步假设，则不存在（FC）的证据=> （WC）。下面的例子3.4给出了定理3.3的证明，其中我们给出了（FC）的反例==> （WC）假设连续统假设。所以在连续体假设（FC）下==> （WC）确实是错误的。

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2022-5-27 14:23:57

请注意，由于连续体假设与人们所认为的标准数学公理没有冲突，因此当然没有办法超越（FC）==> （WC）即使我们不相信连续统假设。示例3.4。考虑度量空间(Ohm, F） =（[0，1]，P（[0，1]），其中P（[0，1]）表示[0，1]的幂集。假设连续统假设。Banach和Kuratowski已经证明，对于与R具有相同基数的任何集合I，在（I，P（I））上没有度量u，因此对于所有ω，u（I）=1，u（{ω}）=0∈ 我例如参见[Du02，定理m C.1]。因此，任何概率度量u超过(Ohm, F）必须是加权狄拉克测度的可数和，即u=P∞i=1aiδωiwhere ai≥ 0，Pni=1ai=1，ωi∈ Ohm,我∈ N、（回想一下ω∈ Ohm 和A∈ F： Δω（A）=1当且仅当ω∈ A和Δω（A）=0，否则。）事实上，让u∈ M、让：={ω∈ Ohm | u（{ω}）>0}。那么S最多可以是可数的（考虑集合Sn：={ω∈ Ohm | u（{ω}）>1/n}，n∈ N、注意S=Sn∈NSn）。现在假设u（[0，1]\\S）>0，则as[0，1]\\S具有与[0，1]相同的基数，这意味着存在一个原子，用于度量u限制为[0，1]\\S，即存在^ω∈ [0，1]\\S使得u（[0，1]\\S）u（{ω}）>0。这显然与S的定义相矛盾。设P：={Δω|ω∈ [0，1]}是所有Dirac测度的集合。Thenc（| X |）=supω∈[0,1]| X（ω）|，所以结果是∞c=Mc=Hc=L∞. 因此，（L∞c）*= M*c=H*c=ba，asc（A）=0等于A=, 我们还有cac=ca。考虑setC：={1A | 6=A [0，1]是可数}，设A是序列有界P-q.s.收敛下C的凸闭包。然后1 6∈ A：实际上，任何X=Pni=1aiAi，ai≥ 0，Pni=1ai=1，1ai∈ C、在凸面hullof C Saties 0中≤ 十、≤ 1AX其中AX：=Sni=1AII可计数。

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2022-5-27 14:24:00

设Xkbe为C的凸包中的任意序列，则为0≤ Xk公司≤ 1B，k∈ N、其中B：=Sk∈纳克斯基斯可数。因此，对于所有ω，Xk（ω）=0∈ [0，1]\\B，so 1 6∈ A、现在考虑由A引导的[0，1]的所有可数子集的族G≤ B当且仅当A B、考虑网络{1A | A∈ G} C、那么对于任何概率度量u，都有一个∈ G（即A=S）使得对于所有B∈ G带B≥ A我们有rbdu=1=R1 du。因此，1位于σ（L∞c、 A的cac）-闭包。为了使表示更简单，到目前为止，我们不需要A的单调性，但如上所述的相同参数表明，i f A是-C+（L∞c） +序列的下边界P-q.s.收敛，这是凸的和单调的，然后-1 6∈ A但是-1是σ（L）的一个元素∞c、 cac）-A的闭包。定理3.3的一个结果是，我们需要要求Ain上的附加属性，以便具有（FC）<==> （WC）。3.1 P敏感性，ca*c=L∞c、和（FC）<==> （WC）A上允许证明（FC）的简单属性<==> （WC）要求Convex设置 L∞cbehaves as in the dominated case，即存在参考概率∈ 使得A在有界P-A.s.收敛下是闭合的。在这个假设下，整个问题可以归结为定理1.1。显然，这个假设太强了。然而，它给出了我们将在下文中介绍的P-敏感性的概念。给定概率Q∈ Msuch that{Q}<< P我们定义线性映射jQ:L∞c→L∞Qby Q（jQ（X）=X）=1，即jQ（X）是L中的等价类∞Q这样，jQ（X）的任何代表和X的任何代表都是相同的。由于caQ（可与LQ识别）是cac的子集，我们推断jQ：（L∞c、 σ（L∞c、 cac））→（L）∞Q、 σ（L∞Q、 LQ）是连续的。定义3.5。

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2022-5-27 14:24:05

A组A L∞如果存在集合Q，则称为P敏感CI MwithQ公司<< P使得jq（X）∈ jQ（A）适用于所有Q∈ Q表示X∈ Aor等效值ya=\\Q∈Qj公司-1季度o jQ（A）。集合Q将被称为（A，P）的约化集合。备注3.6。假设P是占优的。然后Halmos-Savage引理（参见[HS49]，引理7）保证了可数子类{Pi}的存在∞i=1{Pi}∞i=1≈ P、设P=PiPi。然后是P≈ {P}，所以空间L∞CCA可识别为L∞P、因此，在这种情况下，任何集合A L∞cis自动对P敏感，其还原集Q={P}。示例3.7。例3.4中的集合A不是P敏感的，因为c（A）=0意味着A=, 任意一组概率Q P满意度Q<< P、让Q∈ Mbe任意AND：={ω∈ [0，1]| Q（{ω}）>0}这样Q=Pω∈aω>0且pω的Saωδω∈Saω=1。然后1S∈ A由A定义，因此1∈ jQ（A），或者更精确地说，1和1在L中构成相同的等价类∞Q、自Q起∈ Mwas武断，我们有1个∈TQ公司∈Qj公司-1季度o jQ（A）。正如我们所知16∈ A、集合A不区分P。实际上，P敏感性是（FC）的必要条件<==> （WC）。提案3.8。任意凸集A L∞C为σ（L∞c、 cac）-关闭（即满意度（WC））对P敏感。证据如果A= 或A=L∞c、这个断言很琐碎。现在假设th为6= an d A 6=L∞c、 A为σ（L∞c、 cac）-闭且凸，函数ρ（X）：=δ（X | A）：=如果X，则为0∈ A.∞ 其他，X∈ L∞c、是凸的且σ（L∞c、 cac）下半连续。因此，根据Fenchel-Moreau定理（见[ET99，命题4.1]），存在ρ的对偶表示，即ρ（X）=supu∈QZX du- ρ*（u）其中Q：={u∈ cac |ρ*（u）<∞} 是一个凸集，ρ*（u）：=supX∈AZX du，u∈ cac。A 6=L∞cimplies Q%{0}，因此，A=\\u∈Q十、∈ L∞c | ZX du≤ ρ*（u）=\\u∈Q \\{0}十、∈ L∞c | ZX du≤ ρ*（u）.设Q：={|u| |u|(Ohm)| u∈ Q \\{0}} 需要注意的是▄Q<< P自Q起 cac。ConsiderX公司∈\\Q∈Qj-1季度o jQ（A）。修复Q∈Q和ν∈ Q使得Q=|ν| |ν|(Ohm).

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kedemingshi

2022-5-27 14:24:08

那么，jQ（X）∈ jQ（A），即有Y∈ a确定jQ（X）=jQ（Y）。注意到在ν下的X=jQ（X）和Y=jQ（Y），下面是zx dν=ZjQ（X）dν=ZjQ（Y）dν=ZY dν≤ ρ*（ν），其中不等式从Y开始∈ A、自Q起∈~Q是任意的，我们得出的结论是indeedRX du≤ ρ*（u）对于所有u∈ Q、因此X∈ A、这表明TQ∈Qj公司-1季度o jQ（A） A、其他包括TQ∈Qj公司-1季度o jQ（A） A是平凡满足的，因此我们得到A是P-敏感的，具有r导出集Q。下面的定理3.9给出了（FC）的条件<==> （WC）对于对流集a L∞c、除了P敏感性外，我们还必须要求th在正常的杜阿尔卡*cof（cac，T V），其中T V表示cac上的总变化范数，可用L表示∞c、 Clearlyany X∈ L∞cmay可与cacbycac上的连续线性泛函识别 u7→ZX du，（3.3）所以我们总是有L∞c 加利福尼亚州*c、然而，ca*c=L∞显然，cis是一个非常强的条件，我们将在命题3.10中用L的序贴近度来描述它∞c、定理3.9。假设ca*c=L∞cand让A L∞cbe凸与单调（A+（L∞c） +=A）。等效值为（i）A满意度（WC）。（ii）A对P敏感且满足（FC）。证据我们已经知道（WC）意味着（FC）和P敏感性。现在假设Ais P敏感和满意度（FC）。自ca起*c=L∞c、根据Krein-Smulian定理，可以证明CK：=A∩ {Z∈ L∞| kZkc，∞≤ K} isσ（L∞c、 cac）-everyK>0时关闭。设Q为（a，P）的约化集，且fix任意K>0和d Q∈ Q、考虑连续包含i：（L）∞Q、 σ（L∞Q、 LQ））→ （LQ，σ（LQ，L∞Q））。在第一步中，我们将讨论CQ，K：=io jQ（CK）是k·kQ：=等式[|···]-在LQ中是闭合的，因为它是凸的，因此遵循CQ，Kisσ（LQ，L∞Q） -闭合，因此jQ（CK）为σ（L∞Q、 LQ）-由i的连续性闭合。为此，let（Yn）n∈N CQ、Kand和Y∈ LQsuchthat kYn- Y kQ→ 0，在不丧失一般性的情况下，我们也可以假设→ YQ-a.s。

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2022-5-27 14:24:18

请注意，Y必须以K为界。选择Xn∈ Ck使得所有n的Yn=jQ（Xn）∈ N和X∈ L∞C使Y=jQ（X）。现在考虑setF：={ω∈ Ohm | Xn（ω）→ X（ω）}（由于通常滥用符号，在F的定义中，我们仍然为等价类Xnand X的任意代表写Xnand X）。根据A的单耳性，我们得到了exn：=XnF+K1Fc∈ CKfor所有n∈ N、 andeXn公司→ X1F+K1Fc=：eX P-q.s.随后eX∈ 因为Q（F）=1，所以Y=jQ（X）=jQ（eX）∈ 因此，jQ（CK）是σ（L∞Q、 LQ）关闭。通过jQ的连续性，前像j-1季度o jQ（CK）是σ（L∞c、 cac）-关闭，也作为{X | kXkc，∞≤ K} isσ（L∞c、 cac）-关闭，我们得出结论aq，K：=j-1季度o jQ（CK）∩ {X | kXkc，∞≤ K} CKand最终也是如此∈QAQ，Kareσ（L∞c、 cac）-关闭。很明显，TQ∈QAK，Q CK。如果我们能展示∈QAQ，K CK，那么我们就完了，因为∈QAQ，K=CK，thusCKisσ（L∞c、 cac）-关闭。为此，让X∈TQ公司∈QAQ，K.然后是jQ（X）∈ jQ（A）代表anyQ∈ Q和X∈ A由P-敏感性决定。此外，根据AK的定义，Qwe还拥有KXKC，∞≤ K、注意，定理3.9证明了[BF09]中介绍和讨论的凸集和单调集的所谓C-性质。让D L∞c、回想一下，D的上确界是D的最小上确界，即X∈ L∞C如Y所示≤ X代表所有Y∈ D、和任何Z∈ L∞csuch Y公司≤ Z代表allY∈ D满意度X≤ Z、 D的上确界由ess supY表示∈DY。这种符号通常用于概率论，它的灵感来自于用它们所产生的等价类来识别随机变量的传统。实际上，对于L中的一组随机变量∞, P-q.s.序中的上确界本质上是唯一的，因此被称为本质上的上确界（ess sup），在这个意义上，它生成的等价类包括∞cis唯一。请注意，在《积极性》杂志上发表的本论文版本中，以下命题3.10包含一个FLAW。

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2022-5-27 14:24:22

事实上，证明仅显示以下内容：命题3.10。如果ca*c=L∞cthen L公司∞cis订单完成，即。任何范数有界集D都有一个xi的上确界 L∞c、相反，如果L∞cis订单完成，如果订单连续双[Me91，定义1.3.8]L∞CMA可以与cac识别，然后是ca*c=L∞c、证明。回想一下，ca，因此也是AL sp ace（【AB06，定理10.56]），假设L∞cis订单完成，其订单连续对偶可与cac识别。然后我∞尤其是cis，在【Me91，定义2.4.18】的意义上，它也是耳科完整的。因此，[Me91，定理2.4.22]适用于与[AB06，定理9.22和9.33]不一致的ields ca*c=L∞c、为了证明ca*c=L∞C证明了任意范数有界集D的上确界的存在性 L∞c、注意，由于Cac是AL空间，因此ca*cis是AM空间（[AB06，定理9.27]）。尤其是ca*cis订单完成。这里是订单≥*在ca上*cis由l给出≥*0当且仅当l（u）≥ 0表示所有u∈ （cac）+，和一组S 加利福尼亚州*如果存在h，则cis阶从上方有界∈ 加利福尼亚州*C这样h- l≥*0 f或所有l∈ S、任意范数有界D L∞ca中从上方开始的cis顺序边界*c、因为Ku(Ohm) -RX du≥ 0，u∈ （cac）+，对于常数K>0，它是D上范数的上界，所以（u7→ Ku(Ohm)) ∈ 加利福尼亚州*cis是关于≥*. 因此，存在被视为ca子集的D的最小上界*c、现在假设ca*CCA可识别为L∞c、那么D的最小上界可以用X中的一个元素表示∈ L∞c、这是zx du≥ZY du代表所有u∈ （cac）+以及所有∈ D、考虑针对P的1AdP型措施u∈ P和A∈ F表示X≥ Y代表allY∈ D、和u7→RX du是≥*-order表示X是D的上确界。示例3.11。回顾示例3.4。显然，任何范数有界集D L∞c=L∞由ω7简单给出的容许本质上确界→ 苏比∈DY（ω）。

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2022-5-27 14:24:31

假设连续性假设。让我∈ 加利福尼亚州*C定义X（ω）=l（Δω），ω∈ [0，1]。然后通过线性，对于所有u∈ ca得出l（u）=Pω∈Saωl（Δω）=RX du，其中S：={ω∈ [0，1]|u（{ω}）>0}和aω=u（{ω}），ω∈ S、此外，还可以很容易地验证，在这种情况下∞CDO没有可数sup属性。4定理3.94.1（拟）凸递增泛函的对偶表示的应用在本节中，我们提供了（拟）凸递增泛函的对偶表示。这些结果是研究金融风险度量稳健性的关键。关于凸风险度量的对偶表示，可以在[FS04]中找到详尽的介绍（参见[DK13]中的拟凸情形，以及[CKT15]中的最新发展）。据我们所知，在存在模型不确定性的情况下，文献中唯一可用的结果是[BK12，定理3.1]，这是在范数k·kc下连续函数空间的闭包。定义4.1。A函数f:L∞c→ (-∞, ∞] iso每个λ的拟凸i f∈ [0，1]和X，Y∈ L∞我们有f（λX+（1- λ） Y）≤ 最大{X，Y}（分别为f（λX+（1- λ） Y）≤ λf（X）+（1- λ） f（Y））.oτ-l上某些拓扑τ的低se微连续（l.s.c.）∞每a到岸价∈ R下层集{X∈ L∞c | f（X）≤ a} 是τ-闭合的。oP-敏感，如果较低级别设置{X∈ L∞c | f（X）≤ a} 对P敏感f或everya∈ R、下面的引理提供了一大类P-敏感函数。引理4.2。考虑函数f:L∞c→ [-∞, ∞] 使得f（X）=支持∈QfP（jP（X）），（4.4）对于某些Q 需求fP:L∞P→ [-∞, ∞]. 如果Q<< 那么f是P-敏感的，具有约化集Q证明。从表达式（4.4）中，我们自动得到{X∈ L∞c | f（X）≤ a} =\\P∈Q{X∈ L∞c | fP（jP（X））≤ a} 。作为{X∈ L∞c | fP（jP（X））≤ a} =j-1便士o jP{X∈ L∞c | fP（jP（X））≤ a} ，我们得出结论，f对约化集Q是P敏感的。定理4.3。假设ca*c=L∞c

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能者818

2022-5-27 14:24:36

让f:L∞c→ (-∞, ∞] 为拟凸（分别为凸），单调非递减（X≤ Y P-q.s.表示f（X）≤ f（Y））和P-敏感函数。以下是等效的：（i）f是σ（L∞c、 cac）-下半连续。（ii）f具有Fatou性质：对于任何有界序列（Xn）n∈N L∞C将P-q.s.收敛到X∈ L∞cwe有f（X）≤ lim信息→∞f（Xn）。（iii）对于任何序列（Xn）n∈N A和X∈ L∞C如此Xn↑ X P-q.s.我们有thatf（Xn）↑ f（X）。（iv）f允许一个双表示，在拟凸的情况下，它是f（X）=supP∈c交流∩MR（EP【X】，P），X∈ L∞c、带双功能R:R×cac→ (-∞, ∞] 给定byR（t，u）：=supt′<tinfY∈L∞cf（Y）| ZY du=t′;在凸的情况下，对偶表示i sf（X）=supu∈（cac）+ZX du- f*（u）, 十、∈ L∞c、其中双重功能f*: cac公司→ (-∞, ∞]) 由F给出*（u）：=supY∈L∞cZY du- f（Y）.此外，如果f（X+c）=f（X）+c，则每X∈ L∞坎德c∈ R则f是必要的凸，f（X）=支持∈c交流∩M{EP[X]- f*（P）}，X∈ L∞c、证明。根据定理3.9（i）当且仅当（ii）满足时成立。（ii）=> （iii）到期时间（X）≤ lim信息→∞f（Xn）≤ f（X），其中最后一个不等式来自单调性。相反（iii）=> （ii）考虑Yn=ess infk≥nXkand注意到Yn↑ X P-q.s。

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2022-5-27 14:24:40

和f（Yn）≤ f（Xn）；参见[FS04，引理4.16]。在凸面情况下（i）<=> （iv）是Fenchel定理（见[ET99，命题4.1]）和关于耳鸣的m（见[FR02，推论7]）。在拟凸情况下，显示（i）=> （iv）是Penot-Volle对偶定理（见附录B）和单调性（见[C3M09，引理8]）的结果，以及（iv）=> （iii）遵循单调收敛定理和R.4.2的定义数学金融中资产定价理论的基本定理基于资产定价的基本定理，它粗略地断言，在没有套利机会的市场（所谓的无套利条件）中，贴现价格是风险中性概率度量下的期望值。这一特征对于发展非市场交易金融工具的定价理论至关重要。在概率空间上的经典支配框架中(Ohm , F、 P）风险中性概率测度是折扣价格过程的鞅测度，相当于参考概率P，详细综述和相关文献参见[DS06]。还要注意的是，无套利条件是必要的，并且能够满足经济均衡的存在，参见示例[Kr81]。众所周知，经典支配框架下资产定价的基本定理与对偶论高度相关。还有一些应用对偶的可靠方法，例如基于扩展阶对偶空间的[Be13]，也就是在[AT01]中引入的所谓超阶对偶。然而，鉴于本文所述的困难，资产定价的鲁棒性基本定理的最新研究没有使用对偶参数，参见[BN15]。

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2022-5-27 14:24:44

然而，根据我们在第3节中推导的条件，我们将看到，有可能调和资产定价的基本理论、超高时效性和对偶理论（L∞c、 cac）使用众所周知的参数。在本节中，我们假设ca*c=L∞cholds正确。我们考虑一个具有终端时间范围的离散时间市场模型∈ N、交易时间I：={0，…，T}。价格过程由P-q.s.有界Rd值随机过程s=（St）t给出∈I=（Sjt）j=1，。。。，dt公司∈离子(Ohm, F），并且我们还假设所有t的计价资产St=1的存在∈ 一、此外，我们将过滤F:={Ft}t∈因此，过程S是F自适应的。用H表示Rd值、F-可预测随机过程的类别，这是所有可接受交易策略的类别。LetC：={X∈ L∞c | X≤ （HoS）TP-q.S.对于某些H∈ H} 式中（HoS）t：=tXk=1dXj=1Hjk（Sjk- Sjk公司-1）是在时间t时自我融资策略的支付∈ I \\{0}，初始投资（HoS）=0，由可预测过程H=（Ht）t给出∈I \\{0}。在此框架中，[BN15]引入了无轨条件（NA（P）），定义如下。定义4.4。如果所描述的市场模型满足无套利条件na（P）（HoS）T，则称为无套利市场模型≥ 0 P-q.s.表示（Hos）T=0 P-q.s。。注意，NA（P）等于C∩ （L）∞c） +={0}。引理4.5。在NA（P）下，如果C对P敏感，那么C是σ（L∞c、 cac）-关闭。证据【BN15，定理2.2】表明，在NA（P）下，锥C在序列的P-q.s.收敛下是闭合的，因此C满足（FC）。我们注意到，[BN15，Theorem2.2]具有完整的一般性，没有[BN15]中假设的潜在概率空间上的乘积结构。因此，应用定理3.9，我们推断C是σ（L∞c、 cac）关闭。假设C是P敏感的。

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2022-5-27 14:24:49

因为C是σ（L∞c、 cac）-闭凸锥，双极性定理yieldsC=c=Y∈ L∞c |Q∈ C：等式[Y]≤ 0（4.5）式中C：=C∩ M级=u∈ C |u（1Ohm) = 1.和C：=u∈ cac |十、∈ C:ZX du≤ 0.请注意，自C -（L）∞c） +然后u∈ （cac）+每u∈ Cwhich解释了C.引理4.6。Cis由容量c支配的所有鞅测度的集合，即isC={Q<< P | S是Q-鞅}证明。证明是众所周知的n且简单明了，所以我们只给出基本论点：确实选择任何Q∈ {Q<< P | S是Q-鞅}，设X∈ C和H∈ H等X≤ （HoS）TP-q.S.然后等式[X]≤ 公式[（HoS）T]=（HoS）=0，因为（（HoS）T）T∈Iisa Q-鞅（使用广义条件期望，见[BN15，附录]）。图斯克∈ C、如果Q∈ Cthen EQ[（HoS）T]=任何H的0∈ 并通过在H中选择适当的策略，如A的Hjt=1A∈ 英尺-1，对于i 6=j，Hit=0，对于s 6=t，Hs=0。验证Q是s的鞅测度。定理4.7（资产定价第一基本定理）。假设C是P敏感的。以下是等效的：（i）N A（P）（ii）C≈ pMoreor，超边缘二元性成立，即对于任何X∈ L∞C最小超边缘价格π（X）：=inf{X∈ R |H∈ H s.t.x+（Hos）t≥ X P-q.s.}满意度π（X）=supQ∈CEQ【X】。（4.6）证明。（一）=> （ii）：很明显，c（A）=0意味着supQ∈CQ（A）=0，作为C cac。让B∈ F对于所有Q，Q（B）=0∈ C、因此1B∈ C乘以（4.5），so 1B=0 in L∞cby NA（P），即c（B）=0。（二）=> （i）：让H∈ H使得（HoS）T≥ 0 P-q.s.然后q{（Hos）T≥ 0}=0表示每Q∈ C、因为（HoS）是一个期望值为0的Q-鞅，因此（HoS）T=0P-Q.S。至于超边缘对偶，注意th在π（X）处≤ kXkc，∞自0起∈ H、和asC6= （C 6=L∞c）因此π（X）>-∞.

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2022-5-27 14:24:59

此外，根据（4.5），对于任何y∈ Rhat X- y∈ C当且仅当0≥ supQ公司∈CEQ【X】- y] =-y+supQ∈CEQ[X]证明了（4.6）。定理3.1的辅助结果调用（3.2）中定义的集合Z。提案A.1。如果Z=, 然后存在一个可数子步骤 P使EP≈ P、后者意味着有一个概率测度Q∈ Msuch that{Q}≈ P、证明。我们认为，对于每一个ε>0，都存在P，Pn编号∈ P和δ>0，使得pi（A）<δ，对于所有i=1，n意味着对于所有P∈ 我们有P（A）<ε。假设情况并非如此。然后存在ε>0，使得对于任何P∈ P有一个∈ F和P∈ P满足P（A）<1/2和P（A）≥ ε。那么还有一个∈ F和P∈ P使得P（A）<1/4，P（A）<1/4 while P（A）≥ ε。继续此过程，我们会发现序列（An）n∈N F和d（Pn）n∈N∈ P使得pi（An）<n，i=1，n、和Pn+1（An）≥ ε。考虑N：=Tn∈NSk公司≥纳克。然后，对于每个i，Pi（N）=0∈ N、因为对于所有N>（i- 1） Pi（N）≤∞Xk=nPi（Ak）≤n-1、因此，将上述序列ANBn替换为：=An，N∈ N、我们还有π（Bn）<N，i=1，n、 Pn+1（十亿）≥ ε。现在让En：=Sk≥nBk，n∈ N、因此，En↓ . 但是，对于每个n∈ Nc（英语）≥ Pn+1（En）≥ Pn+1（十亿）≥ ε与Z相矛盾=.现在让δn>0，让P（n），P（n）m（n）∈ 对于所有的P∈ 对于所有i=1，…，当P（n）i（A）<δ时，它保持P（A）<1/n，m（n）。定义u：=∞Xn=1m（n）Xi=1niP（n）i.然后u∈ ca+，且u（A）=0意味着对于所有i=1，…，P（n）i（A）=0，m（n）和n∈ N、最终，这意味着对于所有P∈ 对于所有n，我们有P（A）<1/n∈ N、 henceP（A）=0。星期四：={P（n）i | i∈ {1，…，m（n）}，n∈ N} 和Q：=u(Ohm)u满足断言。提案A.2。设（B，k·k）为随机变量的（等价类）Banach格(Ohm, F）包含所有简单随机变量，以便≤ 关于Bsatis fies 0≤ 1A级≤ 1A′每当A A’代表A，A’∈ F

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