通过有界回归组合Alpha

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收藏 2022-05-30

英文标题：
《Combining Alphas via Bounded Regression》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We give an explicit algorithm and source code for combining alpha streams via bounded regression. In practical applications typically there is insufficient history to compute a sample covariance matrix (SCM) for a large number of alphas. To compute alpha allocation weights, one then resorts to (weighted) regression over SCM principal components. Regression often produces alpha weights with insufficient diversification and/or skewed distribution against, e.g., turnover. This can be rectified by imposing bounds on alpha weights within the regression procedure. Bounded regression can also be applied to stock and other asset portfolio construction. We discuss illustrative examples.
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中文摘要：
我们给出了通过有界回归组合alpha流的显式算法和源代码。在实际应用中，通常没有足够的历史来计算大量字母的样本协方差矩阵（SCM）。为了计算alpha分配权重，可以对SCM主成分进行（加权）回归。回归通常会产生阿尔法权重，其多样化和/或分布不均，例如营业额。这可以通过在回归过程中对alpha权重施加边界来纠正。有界回归也可以应用于股票和其他资产组合的构建。我们讨论示例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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何人来此

2022-5-30 09:51:17

通过有界回归组合alpha Zura Kakushadze§+1§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，Stamford，CT 06905+第比利斯自由大学商学院和物理学院240，David Agmashenebeli Alley，第比利斯，0159，乔治亚州（2015年1月7日；2015年10月22日修订）摘要我们给出了组合alpha streamsvia有界回归的显式算法和源代码。在实际应用中，通常无法计算大量Alphas的样本协方差矩阵（SCM）。为了计算alpha分配权重，可以对SCM主成分进行（加权）回归。回归通常会产生差异不足和/或分布不均的α权重，例如营业额。这可以通过在回归过程中对α权重施加边界来纠正。有界回归也可以应用于股票和其他资产组合的构建。我们讨论示例。关键词：对冲基金、alpha流、alpha权重、投资组合周转率、投资分配、加权回归、多元化、界限、优化、因子模型Szura Kakusha dze博士是Quantigicrolutions LLC的总裁，也是第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER：此地址由相应的作者使用，除了表明其在出版物中的职业职责外，没有其他目的。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也绝不代表Quantigic Solutions LLC（网站www.Quantigic）的观点。或其任何其他联系人。1简介随着技术的进步，阿尔法流的数量不断增加。其中许多是昙花一现的，寿命相对较短。

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mingdashike22

2022-5-30 09:51:20

因此，在实际应用中，通常没有足够的历史来计算大量alpha流的样本协方差矩阵（SCM）——SCM是奇异的。因此，在lpha投资组合优化中直接使用SCM不是一种选择。规避这一困难的一种方法是为alphastreams建立一个f因子模型[56]。由于alpha业务的高度保密性，此类f-actor模型必须在内部构建——没有针对alpha流的“标准化”FactoryModel的商业提供商。与股票的因子模型一样，Alpha的此类模型构建需要一定的专业知识和时间开销。因此，在实践中，人们通常会采取更简单的方法。正如【56】中更详细地讨论的那样，可以对SCM进行变形，使其非奇异，然后将如此变形的SCM用于（例如）Alpha组合的Sharpe比率优化。对于小变形，这将减少到阿尔法流预期回报的横截面加权回归[56]。综合权重是字母的倒数示例方差。负荷矩阵的列（经验值返回重新回归值）只不过是对应于其正（即非消失）特征值的CM的前K个主分量【56】。回归通常会产生阿尔法权重，其多样性不足和/或分布不均匀，例如营业额。因此，如果一些预期回报率下降，那么，尽管非均匀回归权重（抑制更易波动的α），相应的α权重可能会大于多样性考虑所期望的。此外，主成分对营业额等数量一无所知。获得更“全面”的投资组合构成的一个简单方法是设定alpha权重的界限。

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kedemingshi

2022-5-30 09:51:23

这就是我们在这里讨论的方法。当单个alpha流在单独的执行平台上交易时，alpha权重为非负。通过在同一执行平台（我们在此采用的框架）上组合和交易多个alpha流，可以通过在不同alpha流之间进行内部交叉交易来节省交易成本（与走向市场相对应）。然后alpha权重可以为负。当alpha权重可以同时取正值和负值时，边界回归问题就简单了。它归结为我们在第2节讨论的一种迭代算法。这个算法hm实际上可以从一个优化算法中派生出来，这里的“alpha”（遵循常见的交易者行话）通常意味着人们可能希望交易的任何合理的“预期回报”，不一定与“学术”alpha相同。在实践中，通常可能无法获得有关alpha如何构建的详细信息，例如，唯一可用的数据可能是头寸数据，因此“alpha”是一系列指令，用于在某些时间t，t。有关对冲基金知识的部分列表，请参见[1]-[20]以及其中的参考文献。有关投资组合优化和相关文献的Partialist，请参见，例如，[21]-[55]及其参考文献。纠正这种情况的一种方法是将基于营业额的因素添加到负荷矩阵中【56】。有关最近的讨论，请参见[57]。在[58]中讨论的边界（在因子模型背景下），采用o优化的回归极限。我们还在附录A中给出了有界回归算法的R源代码。附录B包含一些法律术语。我们在第3节中得出结论，在第3节中，我们还讨论了有界整合，交易成本如下【59】。2有界回归2.1符号我们有N个αi，i=1，N、每个α实际上是一个时间序列αi（ts），s=0，1。

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nandehutu2022

2022-5-30 09:51:26

，M，其中是最近的时间。αi以下指αi（t）。设Cijbe为N个时间序列αi（ts）的样本协方差矩阵（SCM）。如果M<N，则只有M个Cijare非零的特征值，而其余的特征值“小”，这些值是通过计算舍入而扭曲的零。Alphasαi与权重wi相结合。任何杠杆都包括在αi的定义中，即如果给定的α由j标记∈ {1，…，N}在杠杆率为α′j（这是一个原始的、无杠杆的α）和相应的杠杆率为Lj:1之前，我们定义αj≡ Ljα′j。根据这一定义，权重满足条件nxi=1 | wi |=1（1）。在这里，我们允许权重为负值，因为我们感兴趣的是阿尔法在同一执行平台上交易，并且阿尔法之间的交易是交叉的，所以我们实际上是在交易组合的阿尔法α≡PNi=1αiwi。2.2加权回归当SCM Cijis为单数且没有其他矩阵（例如，因子模型）来替代它时，可以对SCM进行变形，使其成为非单数，然后在（例如）阿尔法组合的夏普比率优化中使用所述变形SCM【56】。对于小变形，这将减少到alphastream预期收益的横截面加权回归[56]。回归权重zi（不要与α权重wi混淆）是α：zi的逆样本方差≡ 1/Cii。荷载矩阵的列∧iA，A=1，K、对预期回报进行回归的，只不过是SCMC的前K个主成分，对应于其正（即非消失）特征值。然而，现在我们将保持∧iAgeneral（例如，人们可能希望在∧iA中包括其他风险因素[56]）。实际上，这假设在任何alpha时间序列中都没有N/As。

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何人来此

2022-5-30 09:51:30

如果某些或所有LPHA时间序列以非均匀方式包含N/A，并且通过省略此类成对N/A来计算相关矩阵，则产生的相关矩阵可能具有负特征值，这些特征值不是由于计算舍入而扭曲的零。权重wi由：wi=γziεi（2）给出，其中εi是αiover∧iA（无截距，除非截距包含在∧iA中，即–见下文）与回归权重zi的横截面回归残差：εi=αi-NXj=1zjαjKXA，B=1∧iA∧jBQ-1AB（3），其中Q-1ABis是Qab的倒数≡NXi=1zi∧iA∧iB（4），通过（1）确定（2）中的总体事实rγ。请注意，我们有A.∈ {1，…，K}：NXi=1wi∧iA=0（5），因此，权重wi为中性w.r.t。由荷载矩阵∧iA列定义的风险因素。2.3边界由于权重wi可以有任意一个符号，我们将假设权重sw的上下限-我≤ wi公司≤ w+i（6）满足条件SW-我≤ 0（7）w+i≥ 0（8）瓦-i<w+i（9）最后一个条件不是限制性的：如果对于一些用i标记的α，我们有w-i=w+i，那么我们可以简单地设置wi=w-我将这个α从下面的有界回归过程中完全排除。此外，如果出于任何原因，我们希望给定wi没有上限/下限，我们可以简单地设置w±i=±1。界限可用于多样化目的：例如，人们可能希望要求α的权重不大于某个固定（小）百分位ξ，即| wi |≤ ξ、所以w±i=±ξ。人们也可能希望抑制高营业额Alpha的贡献，例如，通过要求| wi |≤eξifτi≥ τ*, 式中，τiis为营业额，τ*是一些营业额，而ξ是一些（小）百分位数。边界也可用于限制低电容相位的权重。Etc.2.4运行有界回归so，我们如何在回归的上下文中施加界限？这里有两个微妙之处。

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能者818

2022-5-30 09:51:33

首先，我们希望保留事实上的r中立性（5），它在同时重定标wi下是不变的→ ζwi（其中ζ为常数）。如果我们简单地将一些值设置为它们的上界或下界，这通常会破坏缩放不变性，因此属性（5）将丢失。其次，我们必须保持正规化条件（1）。事实上，正是这种归一化条件允许有意义地设置边界w±i，因为回归本身并不能在（2）中获得总体归一化系数γ，这是由于重标度不变性wi→ ζwi。这里我们讨论有界回归算法。为了节省空间，我们跳过了后面的详细推导，直接在因子模型的上下文中采用带界优化的回归极限，这两个都在[5-8]中进行了详细讨论。让我们定义指数i的以下子集∈ J≡ {1。

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kedemingshi

2022-5-30 09:51:36

，N}：wi=w+i，i∈ J+（10）wi=w-i、我∈ J-（11） J≡ J+∪ J-（12） eJ公司≡ J\\J（13）进一步，删除αi≡ γαi（14）yA≡xi∈eJzieαi∧iA+Xi∈J+w+i∧iA+Xi∈J-w-i∧iA（15）此处营业额（每iod超过一个月，例如每日营业额）定义为比率τi≡ i在相应的totaldollar holdings Ii（long plus shor t）上标记为d的alpha交易的总美元Di（多头加空头）的Di/Ii。亚太地区I*对于给定的α，我们指的是投资水平Ii的值，对于该投资水平，损益Pi（Ii）最大化（考虑非线性影响）。由于我们在这里考虑的回归是用回归权重zi=1/Cii进行加权的，这已经控制了α波动的风险敞口，因此，只有当希望进一步抑制波动性α时，基于波动性施加界限才会产生差异。优化的回归极限本质上等于极限ξi≡ ηeξi，η→ 0，eξi=固定，其中ξi是因子模型中的特定（特殊）风险，因子载荷矩阵与回归载荷矩阵∧iA（和K×K因子协方差矩阵在回归极限中不重要）相同–详情见【5 8】。其中γ将被确定（见下文）。那么我们有wi=zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！，我∈eJ（16）我∈ J+：zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！≥ w+i（17）我∈ J-: zieαi-KXA，B=1∧iAeQ-1AByB！≤ w-i（18）其中：-1是K×K矩阵的逆q:eQAB≡xi∈eJzi∧iA∧iB（19）这里的载荷矩阵∧i必须是Eq可逆的。另外，请注意，WI，i∈eJ由（1 6）给出，wi=w+i，i∈ J+和wi=w-i、我∈ J-满足（5），因为他们应该满足。注意，对于给定的γ值，（15）求解雅吉文J+和J-. 另一方面，（17）和（18）确定J+和J-就yA而言。然后迭代求解整个系统，其中在初始迭代时，取J（0）=J，因此J+（0）和J-（0）为空。然而，我们仍然需要对γ进行fix。

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大多数88

2022-5-30 09:51:41

这是通过一个单独的操作过程完成的，我们将在下面描述。因为我们有两次迭代，为了保证（快速）收敛，J±迭代（即对于给定的γ值）可以按如下方式进行。让bw（s）这样我∈ J：w-我≤ bw（s）i≤ w+i（20）A.∈ {1，…，K}：NXi=1bw（s）i∧iA=0（21），在（s+1）次迭代中，设w（s+1）ibe由（16）给出，用于i∈eJ（s），w（s+1）i=w±i或i∈ J±（s）。该解满足（5），但可能不满足边界。乐琪≡ w（s+1）i- bw（s）i（22）hi（t）≡ bw（s）i+t qi，t∈ [0，1]（23）然后bw（s+1）i≡ 高（t*) = bw（s）i+t*qi（24）如果∧Ia的列由CM Cijcorres的前K个主成分组成，则为正特征值。然而，如上所述，我们将荷载矩阵保持为通用。其中t*是t的最大值，使得hi（t）满足界限。我们有：qi>0：pi≡ 最小值w（s+1）i，w+i（25）qi<0:pi≡ 最大值w（s+1）i，w-我（26）t*= 明皮- bw（s）iqiqi6=0，i∈ J（27）现在，在每个步骤中，我们可以通过我∈ J+（s+1）：bw（s+1）i=w+i（28）我∈ J-（s+1）：bw（s+1）i=w-i（29），其中bw（s+1）i按上述方式迭代计算，我们可以取bw（0）i≡ 初始化迭代时为0。与（17）和（18），（28）和（29）不同，在每次迭代中，向J±一个（或几个）元素添加新元素。收敛准则由J+（s+1）=J+（s）（30）J给出-（s+1）=J-（s）（31）这些标准基于离散量，不受计算（机器）精度影响。然而，在实践中，（28）和（29）中的等式是在一定公差（或机器精度）内理解的–见附录a中的R代码。

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mingdashike22

2022-5-30 09:51:44

我们将通过ewi在最终迭代中表示bw（s+1）iat的值（对于给定的γ值）。最后，通过另一个迭代程序确定γ，如下所示（我们使用上标a表示γ迭代，以区别于用于J±迭代的上标s）：γ（a+1）=γ（a）PNi=1ew（a）i（32）式中，ew（a）iis按上述公式计算，γ=γ（a）。为了实现快速收敛，初始值γ（0）可以设置如下：γ（0）=PNi=1zi |εi |（33），其中εi是（3）给出的加权回归（无界）的残差。γ迭代的收敛准则由γ（a+1）=γ（a）（34）给出，在某些预设计算公差（或机器精度）范围内理解。附录A中给出了上述算法hm的R代码以及一些额外的解释性文档。请注意，该代码不是为了“花哨”或以任何其他方式优化速度而编写的。相反，它的唯一目的是以一种简单易懂的方式演示上述有界回归算法。附录B.2.5《股票投资组合的应用》中给出了与该代码相关的一些法律术语。我们在计算lpha流投资组合权重的背景下讨论了有界回归算法。然而，该算法非常通用，并且通过适当的符号识别，可以应用于股票或其他合适工具的投资组合。事实上，它也可以在金融之外应用。在这里，为了明确起见，我们将重点关注股票投资组合，事实上，我们将假设它们是美元中性的，因此允许多头和空头头寸。2.5.1建立交易Let us首先讨论建立交易，即我们从零头寸开始，建立N只股票的投资组合。我们的索引i∈ {1，…，N}≡ J现在标记股票。

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大多数88

2022-5-30 09:51:48

我们将通过Hi表示所需的美元（非股票）持有量，并通过I:I表示总美元投资（多头加空头）≡NXi=1 | Hi |（35）Let wi≡ Hi/I.这些是我们的库存权重（类似于alpha权重）。然后我们有了熟悉的规范化条件nxi=1 | wi |=1（36），然而，通常情况下，一个在Hi上影响边界，而不是在wi上。例如，在建立交易的情况下，可能希望对头寸进行限制，以便：i）分配给任何给定股票的总美元投资不超过一个小的百分点ξ–这是一个多元化约束；ii）ADDV（平均每日美元交易量）波动率只有一小部分被交易——这是一个流动性约束（见下文）。在这种情况下，我们有以下关于美元持有量的bo unds Hi:H-我≤ 你好≤ H+i（37）H±i=±minξI，eξVi（38）在这种情况下，上下界是对称的。在某些情况下，例如对于难以借入的股票，我们可能会有一些H-i=0。在其他情况下，可能无法进行各种概括，有些概括比其他概括更直接。希望持有一些股票的多头头寸。等。我们只会假设-我≤ 0和H+i≥ 0，与我们上面讨论的权重界限一致，然后由w±i给出≡ H±i/i（39）最终的结果是，在股票的情况下，ione使用了一些预期回报，而不是αione。其余部分与上述f或适当选择的∧iA完全相同。2.5.2再平衡贸易通过再平衡贸易，我们目前持有的美元为H*和desireddollar holdings Hi。

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nandehutu2022

2022-5-30 09:51:51

在这种情况下，人们可能希望对头寸进行限制，以便：i）分配给任何给定股票的总美元投资i不超过一个小的百分点ξ–这与上述的多元化约束相同；ii）仅交易ADDV Viis的小百分比ξ–这与上述流动性约束相同；Andii）分配给任何现有股票的ADDV-Vi不超过一个小百分比ξ′，这是另一个流动性限制，因为考虑到如果必须迅速清算投资组合（例如，由于不可预见的事件），以降低流动性成本，头寸将根据流动性设定上限。这里ξ′通常比eξ大几倍——只要每个阶段的界限都满足，投资组合就可以分阶段建立。Hinow上的界限为：| Hi |≤ min（ξI，ξ′Vi）（40）| Hi- H*i |≤eξVi（41）更方便的是，根据交易美元金额改写这些界限≡ 你好- H*i： D-我≤ Di公司≤ D+i（42）D+i=最小值min（ξI，ξ′Vi）- H*i、 eξVi≥ 0（43）天-i=最大值-min（ξI，ξ′Vi）- H*我，-eξVi≤ 0（44），我们假设| H*i |≤ min（ξI，ξ′Vi）。此外，我们假设H*IIT自我满意度（5）：A.∈ {1，…，K}：NXi=1H*i∧iA=0（45），则可直接将bo unded回归算法应用于权重wi，定义如下：≡ 你好/我（46）xi≡ Di/I（47）在J±迭代中，我们现在使用XI代替wi，而在γ迭代中，我们仍然使用wi。然后，算法的测试将不变地通过。

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可人4

2022-5-30 09:51:54

然而，让我们注意到，附录A中给出的源代码在编写时考虑了alpha权重，因此在建立交易的情况下，虽然它可以适用于股票投资组合，但需要进行简单的修改以适应再平衡。2.5.3示例：日内均值反转α为了说明算法hm的使用，我们使用它构建了日内均值反转α的投资组合，其荷载矩阵∧Ia在以下5种情况下：i）仅截距（因此K=1）；ii）BICS（彭博行业分类系统）部门；iii）BICS行业；iv）BICS子行业；和v）【60】和BICS子行业的4个风格因素prc、mom、hlv和vol。回归权重是逆样本方差：zi=1/Cii（见下文）。在这种情况下，截距上方的i）-v）包含在载荷ma t rix∧iA中。事实上，我们有∈G∧iA≡ 1，其中G是∧i列的集合，对应于案例ii）中的部门、案例iii）中的行业以及案例iv）和v）中的子行业。因此，由此产生的投资组合实际上是美元中性的。公文包构建和回溯测试与[61]中的内容相同，可以在这里找到更详细的讨论，因此为了节省空间，这里我们只做一个简要的总结。假设投资组合在当日开盘时建立，在当日收盘时清算，因此它们纯粹是盘中交易，第2.5.1节的算法适用于建立交易。每个日期的预期回报Ei被视为Ei=-Ri，其中Ri≡ ln公司Popeni/Pclosei公司, 对于Popenisistoday开盘的每一天，而Pcloseis则是昨天的收盘价，如果截止日期是今天，则会对拆分和股息进行调整。这些是日内均值回归α。ADDV Vi排名前2000位，其中ADDV是根据21个交易日的滚动周期计算的。

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kedemingshi

2022-5-30 09:51:58

然而，宇宙并不是每天都在重新平衡，而是每21个交易日（详情参见[61]）。样本方差CIIAR是基于相同的21个交易日滚动周期计算的，并且不是每天应用，而是每21个交易日应用一次，与宇宙再平衡相同（详情参见[61]）。我们在5年的时间内进行模拟（更准确地说，从2014年9月5日算起，共252×5个交易日）。年化资本回报率（ROC）的计算方法为每日平均损益除以总（长加短）日内投资水平I（无杠杆），再乘以252。年化夏普比率（SR）计算为每日夏普比率乘以√每股252美分（CPS）计算为总损益除以总交易股份。每一天，Qi=2 | Hi |/Popeni给出了每支股票交易的总股份（建立加清算）（详情参见[61]）。为了进行比较，表1给出了无界限回归的结果。有界回归的结果，desiredholdings的界设置为| Hi |≤ 表2给出了0.01 Vi（48），因此每只股票的ADDV中不超过1%的部分已售出或售出，相应的损益图如图1所示。因此，正如预期的那样，增加流动性界限会对投资组合产生多元化影响，因此夏普比率得到了实质性的改善——与往常一样，代价是（略微）降低paperROC和CPS。请注意，即使流动性边界很紧，4个风格因子prc、mom、hlv和vol【60】也增加了价值，进一步验证了【60】的4因子模型。3结论性意见考虑有界回归的一种方法（但不是唯一的方法）是在有界优化无法实现时，将其作为有界优化的替代方法。

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nandehutu2022

2022-5-30 09:52:02

事实上，如上所述，有界回归是一种在因子模型背景下具有界的零特定风险优化极限。因此，当因子模型不可用时，例如在alpha流的上下文中，可以使用有界回归代替优化。在这方面，我们可以通过包括线性交易成本来进一步扩展上面讨论的有界回归算法，如【59】所示。一种系统的方法是在【58】中所述的因子模型的背景下，从边界和线性交易成本的优化开始，并采取零特定风险限额。阿尔法权重下的非线性交易成本（影响）可以使用[59]中讨论的t近似，使用营业额减少的特殊模型来处理[62]。下面的R码我们给出了统计计算的R（R）包，http://www.r-project.org)我们在正文中讨论的有界回归算法的源代码。entry函数是calc.bounded。lm（），它运行γ迭代循环并调用函数bounded。lm（），它运行J±迭代循环。calc.bounded的args（）。lm（）是：ret，它是alphasαi的N向量（或者更一般地，一些其他返回）；载荷，即N×K载荷矩阵∧iA；权重，是回归权重zi的N向量；upper，是上界w+i的N向量；lower，它是下界w的N向量-i；和prec，这是输出权重wi所需的精度，N向量的计算有界。lm（）返回，必须满足no r ma lizat ion条件（1）。内部，有界。lm（）调用函数calc.bounds（），该函数在每次迭代时计算bw（s+1）iin（24）。代码是直截了当的，不言自明。Jp，Jmin有界。lm（）对应于J±。

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mingdashike22

2022-5-30 09:52:05

一个微妙之处是，当限制∧iAtoeJ时 J、在二元行业分类的情况下（例如，当∧i对应BICS子行业时，可以很小），如此受限的∧i可能有空列，必须省略，下面的代码就是这样做的。

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