，θN（t）），0≤ t型≤ T≤\'\'T, 它描述了投资于基准主要证券账户SBB的单位，并构成关联投资组合的自我融资部分。相应的基准值过程为BVV=θ（t）>bB（t）+η（t），其中η=η（t），0≤ t型≤ T≤\'\'Tη（0）=0监控非自融资部分，因此我们可以编写EBVv（t）=bVv（0）+Ztθ（s）>dbB（s）+η（t）。过程η监控额外资本的流入/流出，从而衡量战略成本，参见Du和Platen（2016）中的推论4.2。当监控过程是局部鞅时，我们说策略v是平均自我融资，参见Du和Platen（2016）中的定义4.4。此外，当监控部分η与主要证券账户正交时，在η（t）bB（t）形成向量局部鞅的意义上，我们说交易策略v具有正交基准盈亏，参见Du和Platen（2016）中的定义5.1。考虑到VbH（T），所有平均自我融资交易策略的集合，这些策略提供了最终基准回报bH（T）P-a.s.，具有正交基准收益和损失，请参见Du和Platen（2016）中的定义5.2，我们认为∈ VbH（T）是风险最小化的基准，如果对于所有策略v∈ VbH（T），我们有thatbVev（T）≤bVv（t）P-a.s.每0≤ t型≤ T≤参见Du和Platen（2016）中的定义5.3。基准风险最小化概念的实际应用需要对基准未定权益提供可分割表示，这将在真实世界概率测度P下给出。

在4/2模型的可处理马尔可夫环境中，可以明确地获得这种表示，因此一种表示形式bh（T）=EhbH（T）中的基准或有类别（T）Fti+ZTtθ（s）>dbB（s）+η（T）-η（t），（6.1）见Du和Platen（2016）中的方程式（6.1），存在基准风险最小化策略vforbH（t）。总之，为了确定策略，首先要计算（6.1）中的条件预期，由于4/2模型的分析可处理性，在我们的案例中这将是很简单的。在第二步中，应用It^o公式可以识别价格过程BVV的自我融资部分中可能持有的股份。最后，监控部分由η（t）=bVv（t）给出-θ（t）>bB（t），当与bB（t）相乘时，需要零漂移。在下一小节中，我们对以日元计价的零息票债券执行此程序，其中，根据第5节中讨论的校准结果，我们观察到风险中性范式的失败。请注意，第5节的校准指的是假设短期利率为常数的模型。我们认识到这是一种简化。请注意，我们也可以使用一个单位的储蓄账户来证明风险中性方法失败的后果。然而，采用短期利率常数，我们可以很容易地说明违反风险中性帕拉迪格姆（risk neutralparadigm）对零息票债券的影响。通过允许非零投影向量Hi，Giin（3.7），可以很容易地引入随机短速率。对于存在随机利率的套期保值方案的示例，我们参考Baldeaux et al。

（2015a）。6.2长期零息票债券的定价在本小节中，我们首先量化了在假设利率不变的情况下，违反经典风险中性假设对以日元为本币的零息票债券定价的影响。如果在该市场中可以进行风险中性估值，那么，这种基本证券的定价和套期保值将是微不足道的：它将包括保持日元的有效汇率(-rJP Y（T-t） ）在BJP的国内银行账户中，任何其他资产中都没有。然而，对于校准后的市场，我们表明，在4/2模型下，日元货币很可能不存在风险中性概率度量，因此不允许风险中性定价。因此，我们使用真实世界定价公式（2.11）在真实世界概率度量下对零息票债券进行定价。回想一下，在我们的随机波动性背景下，市场是不完整的，因此完美的对冲是不可能的。如前所述，我们采用了Du和Platen（2016）制定的基准风险最小化，并找到了相应的平均自我融资合规策略，以实现回报。第一步是使用真实世界定价公式确定零息票债券的真实世界价格。假设本国货币的指数为i=1，设置为d=2。然后，我们重点研究支付一单位本币的本币零息票债券价值：P（t，t）=D（t）ED（T）英尺= D（t）ψt，t（i，0），其中ψt，t（i，0）=ψt，t（i，0，…，0），见（4.2）。

现在，根据定理4.1，我们得到了k=1。。。，dαk=-ρkσkbk；λk=-ρkσkak；uk=ρkakκkσk+ρkak;νk=ρkbk-κkθkσk+ρkbk+ρkσkbk;Ak=（κk+σkρkak），并且（4.7）中超几何函数的参数变为βk（t，Vk）4（λk+Kk（t））=Vkσk（κk+σkρkak）e√Ak（T-t）- 1.-1、参数mkbecomesmk=σk |κkθk-σk- ρkσkbk |。由于我们考虑日元为本国货币的情况，根据表1m，我们得到κθ-σ- ρσb> 0；m=-σκθ-σ- ρσb> 注意，对于k=1，我们有+m- α+κθσ=σκθ- ρσb= m+1，这意味着反超计量函数变成了一个简单的指数，而在ψsimpli fies的表达式中，因子k=1，因此对公式没有贡献。

这并不奇怪，因为它与存在风险中性度量的波动性因素有关，与简化条件预期的鞅部分有关。k=2的情况有所不同，结果是+m- α+κθσ=1。现在（4.7）中的表达式变成ψt，t（i，0）=e-Y（t）扩展-ρabτ-ρκσ（b- aθ）τ+κθστ√Aσm级科思√Aτ+ 1.新罕布什尔州√Aτ1+mΓ（1+m）。Vmexp五、√Aτ1.- 科思√Aτ.F1，1+m，V√Aσe√Aτ- 1.-1.=经验值-ρabτ-ρκσ（b- aθ）τ+κθστ√Aσm级科思√Aτ+ 1.新罕布什尔州√Aτ1+mΓ（1+m）。Vmexp-五、√Aσe√Aτ- 1.-1..F1，1+m，V√Aσe√Aτ- 1.-1..使用Kummer变换e-zF（a，b，z）=F（b-a、 b、，-z） ，见Abramowitz和Stegun（1965）中的方程式（13.1.27），我们得到ψt，t（i，0）=e-Y（t）扩展-ρabτ-ρκσ（b- aθ）τ+κθστ√Aσm级科思√Aτ+ 1.新罕布什尔州√Aτ1+mΓ（1+m）。VmF公司m、 1+米，-五、√Aσe√Aτ- 1.-1..现在我们使用关系F（a，a+1，-z） =az-aγ（a，z），见Abramowitz和Stegun（1965）中的方程式（13.6.10），其中γ（a，z）表示定义为γ（a，z）的（较低）不完整γ函数：=Zzta-1e级-tdt。经过一些计算，我们最终得到了零息票债券的价格asP（t，t）=e-rτγm、 五√Aσe√Aτ- 1.-1.Γ（m），（6.2），我们记得√A=κ+σρA和τ=T- t、 我们观察到函数ψt，t（i，0）相对于τ=t递减-t、 因此，我们可以分析确认，风险中性假设的失败对零息票债券等长期证券的价格有直接影响。在表4中，我们计算了不存在风险中性概率度量的日元市场中零息票债券的价格。我们强调，我们获得的价格明显低于风险中性方法通常给出的价格。

作为比较，在表3中，我们比较了美元货币面额，从确定性短期利率的（微不足道的）风险中性公式中获得的价格，以及零息票债券的实际价格公式的相应应用，如定理4.1所示。由于根据我们对美元货币面额的校准，存在一个风险中性指标QUS（见表2中相应的Feller测试），我们观察到风险中性和现实世界的定价公式是一致的，因此，为我们提供了（2.10）中强调的对应关系的具体示例。注意（6.2）中的P（t，t）<e-rτ，这意味着在基准方法下，与将金额e-在风险中性范式下提出的国内货币市场账户中的rτ。另一方面，基准风险最小化需要更复杂的对冲策略。在下文第6.3小节中，我们描述了涉及GOP和两个货币市场账户的此类对冲。我们没有在定价程序中引入某种不一致性，因为基准方法允许正式关联金额-rτ为我们恒定利率设置下零息票债券的价格。请注意，这不是最低可能价格，因为不存在等效的风险中性概率度量。另一方面，实际世界定价公式提供了给定模型下的最小可能价格。这两个自我融资的价格过程的存在并不会带来有经济意义的套利机会，因为从长期来看，这个市场中表现最好的投资组合，即GOP，不会在限定时间内爆发。

正如Loewenstein和Willard（2000）指出的那样，与等价风险中性概率测度的存在等价的经典无套利概念限制性太强。人们可能会想，从经典理论的角度来看，观察到的“定价难题”是否代表着冷漠或边缘化的局面。为了回答这个问题，我们使用表5的校准参数重复定价实验。表7-11列出了主要提供者提供的所有到期债券的相应零息票债券价格。请注意，在这个实验中，从10年以上的到期日开始，经典方法和基准方法之间的差异变得很大，因为基准风险最小化会导致更低的价格。通过比较违反Feller检验和定价结果，我们观察到这两种现象之间存在一对一的对应关系。6.3长期零息票债券的动态对冲在本小节中，我们制定了分析的第二部分，该部分涉及确定基准风险最小化战略的动态部分，即基准主要证券账户的持有量和非自我融资/监控部分。首先，我们计算与零息票债券基准价格相关的鞅表示的SDE，即wedenote乘以^P（t，t）=P（t，t）/D（t）。我们得到了^P（t，t）=- ψt，t（i，0）apV（t）+bpV（t）！dZ（t）- ψt，t（i，0）apV（t）+bpV（t）！dZ（t）+e-rτD（t）Γ（m）√Aσe√Aτ- 1.!m、 电动汽车√Aσe√Aτ-1.-1Vm-1/2σρdZ（t）+q1- ρdZ⊥（t）,我们根据Du和Platen（2016）的命题7.1，将其改写为asd^P（t，t）=x（t）dZ（t）+x（t）dZ（t）+x（t）dZ（t⊥（t） ，（6.3），隐式引入各自的速记符号x、x、x。

让我们回顾一下，主要基准资产向量的组成部分^B（t）=B（t）D（t），^B（t）=B（t）S1,2（t）D（t）=B（t）D（t），^B（t）=B（t）S1,3（t）D（t）=B（t）D（t），其中，对于i=1，2，3，我们有D^Bi（t）=-^Bi（t）aipV（t）+bipV（t）！dZ（t）-^Bi（t）aipV（t）+bipV（t）！dZ（t）。我们在Du和Platen（2016）的方程式（7.2）中引入3×3矩阵Φi，ktas，形式为Φi，k（t）=aikpVk（t）+自行车√Vk（t），k=1，2；i=1，2，31，k=3；i=1、2、3。（6.4）我们现在确定向量ξ（t）=(-x（t），-x（t），ψt，t（i，0）- x（t））>，因此对自筹部分的投资如下所示：θ（t）=Diag-1（^B（t））Φi，kt>-1ξ（t），（6.5）见Du和Platen（2016）中的方程式（7.4）。策略的非自我融资或监控部分由局部鞅η（t）=Ztx（s）dZ给出⊥（s） ，与^B正交的（6.6）。因此，条件期望（6.2）、向量（6.5）和局部鞅（6.6）完全确定了以日元计价的零息票债券的基准风险最小化策略。向量θ（t）描述了主要证券账户中持有的单位数量，而（6.6）中的不可对冲部分η（t）形成了一个与基准主要证券账户正交的局部鞅。回想一下，正交性意味着乘积η（t）^B（t）形成一个向量局部鞅。在这个意义上，对冲误差η（t）被最小化。4/2模型的一个特例是3/2模型或最小市场模型，在这种情况下，可以看到对冲只涉及共和党和国内货币市场账户，参见Platen和Heath（2010）。如Baldeaux et al.（2015b）所示，在许多年的到期日之前，上述策略主要投资于GOP，随后越来越多地投资于国内货币市场账户。因此，上述战略使得4/2模式下的财务规划更加严格。

同样，人们现在可以研究共和党和其他衍生品的欧洲看跌期权（Europeanput）的实际定价和对冲，这可能会比正常风险中性定价的同行便宜得多。7结论在本文中，我们介绍了一个比金融和保险领域经典无套利范式下更通用的建模世界。在根据市场数据校准汇率的灵活模型的背景下，我们展示了如何用比经典风险中性范式下所需的初始资本更少的金额对冲零息票债券。此外，相应的对冲策略不再像风险中性的古典世界那样只投资于固定收益：相反，它建议首先投资于GOP，即风险证券，当到期日越来越近时，固定收益投资比例也越来越大。基于基准方法，这对财务规划师的传统智慧进行了定量验证。他们的经验法则通常在经济文献中通过最优生命周期消费支出和储蓄模型进行了描述，参见Gourinchas和Parker（2002），其中SOUR方法可被视为市场隐含的替代方法。它没有为代表代理人的效用功能设定特定的形式，只要求尽可能少的价格过程，可以合理对冲以交付债券支付。

我们还表明，长期零息票债券的风险中性价格可能显著高于在现实世界概率测度下使用基准法获得的最低可能价格。这些令人惊讶的影响背后的主要数学现象是，在现实世界概率测度下，基准储蓄账户的潜在严格超马尔可夫性，正如我们在外汇期权市场上的校准实践在几个案例中所表明的那样。presentedresults仅代表了一些可以在基准方法下捕获的新现象的示例。在保险领域，有足够的空间进行许多新的研究问题和有趣的相关研究。我们的随机波动率模型考虑了波动率风险的非线性市场价格，这是一个必要的属性，以解释现实世界中风险因素概率测度下的非线性影响。其次，我们在某些特定交易日进行了校准。然而，可以从期权价格时间序列的统计估计中提取更多信息。提出的4/2模型考虑了经典风险中性定价假设失败的可能性，值得进行更多的理论和数值研究。

有鉴于此，本文旨在推动计量经济学的进一步研究。引理3.1的证明首先从（3.1）和（3.8）中观察到，在当前设置中，我们有π（t）=λ（t）和π（t）=λ（t）-pV（t）。考虑到GOP动力学的一般规定，我们立即得出案例1：dD（t）D（t）=r（t）dt+apV（t）apV（t）dt+dZ（t）,dD（t）D（t）=r（t）dt+（a-1） pV（t）（a）- 1） pV（t）dt+dZ（t）,都是赫斯顿型的。对于案例2。，我们有dd（t）D（t）=r（t）dt+bpV（t）bpV（t）dt+dZ（t）！，dD（t）D（t）=r（t）dt+bpV（t）-pV（t）！bpV（t）-pV（t）！dt+dZ（t）！，因此，D遵循3/2模型（见Heston（1997），Platen（1997）），而D遵循4/2模型（见Grasselli（2017））。另一方面，对于案例3。，我们有dd（t）D（t）=r（t）dt+apV（t）+bpV（t）！apV（t）+bpV（t）！dt+dZ（t）！，dD（t）D（t）=r（t）dt+（a- 1） pV（t）+bpV（t）！×（a- 1） pV（t）+bpV（t）！dt+dZ（t）！，都是4/2型流程。B定理4.1的证明我们从直接考虑ψt（ζ）的条件期望开始。我们进行了多次操作，以便可以直接使用Grasselli（2017）的结果。