结果如下表6所示。总的来说，我们在三个模型中观察到了不同的图片。在pand pof theCEV模型中，波动性相对较小的情景，我们没有看到任何差异。因此，在波动性较小且方差ζ弹性中等的情况下，去美国化似乎是可行的。在另一个世纪，我们观察到，如果我们在定价奇异期权时校准看跌期权4.5非美国化的影响，则校准非美国化价格会导致更高的奇异期权价格。v Heston Mertonbarrier lookback barrier lookback barrier lookbackptrue 9.93 10.118.75 8.80 3.86 25.70PutAm 9.93 10.108.74 8.78 3.92 25.86DeAm 9.93 10.014.54 4.86 3.98 26.09oomAm 9.93 10.118.73 8.78 3.9325.86DeAm 10.13 11.138.27 8.37 3.88 25.77ptrue 10.13 11.142.28 2.73 2.57 22.97PutAm 10.14 11.142.28 2.73 2.49 22.73DeAm 11.47 14.592.07 2.54 2.56 22.94oomAm 10.12 11.102.27 2.73 2.64 23.24DeAm 9.95 10.404.32 4.57 2.43 22.75ptrue 11.60 14.931.15 1.80 6.65 37.35PutAm 12.48 17.831.15 1.80 6.78 37.88DeAm 13.53 23.851.86 2.77 6.50 36.51oomAm 11.56 14.811.14 1.80 6.76 37.85DeAm 10.07 10.911.40 2.086.17 37.63ptrue 13.56 24.080.83 1.86 10.17 54.99PutAm 13.54 24.000.83 1.86 10.14 55.00DeAm 14.14 30.871.04 2.21 10.11 54.98oomAm 13.51 23.810.83 1.86 10.18 54.99DeAm 10.60 12.370.94 2.05 9.42 55.54ptrue 14.76 43.400.02 0.52 15.63 76 Putam 14.80 43.990.02 0.52 15.48 75.69DeAm 14.78 43.500.03 0.67 15.99 75.97oomAm 14.74 42.810.02 0.52 15.58 76.06DeAm 11.68 15.130.02 0.56 13.98 75.01 GoogleDataAM14.21 32.10 0.69 1.51 4.03 28.91DeAm 14.12 30.700.67 1.47 4.03 28.93表6仅限障碍期权和回望期权的价格概述，如果我们校准货币外期权，则更低的奇异期权价格。

因此，通常较低的校准σ值与通过校准非美国化期权获得的增加的ζ值相结合，会对奇异期权的定价产生这种影响。对于Heston模型，我们发现，在de–Americanizeddata的校准导致ξ和ρ值不同的情况下，奇异期权价格存在差异。更准确地说，在所有这些情况下，相应的壁垒和回望价格都过高。这意味着非美国化导致了国外期权的系统性定价过高。对于默顿模型，我们看到了回溯选项的巨大差异，但更有趣的是，我们观察到了向下和向外屏障选项的差异。这反映了这样一个事实，即不同校准的跳跃强度以及相应调整的跳跃平均值和标准偏差可以在路径上抑制去美国化效应，而选项不能像屏障选项那样消失。在高利率环境下，当标的资产的波动性更大时，非美国化方法会导致CEV模型中不同的奇异期权价格。仅使用看跌期权时，奇异期权价格往往较高；当考虑到货币期权以外的情况时，奇异期权的价格往往较低。在theHeston模型中，我们观察到了与CEV模型相似的情况，但是这里没有一般性的陈述能够支持较高和较低的奇异期权价格。关于默顿模型，当考虑下行和无障碍期权时，奇异期权价格的差异更加明显。5结论在本文中，我们通过进行精度研究，将这种方法的实证结果与通过解决局部波动率、随机波动率和跳跃扩散模型的相关变分不等式得到的结果进行比较，来研究非美国化方法。

在第2页，我们提出了关于德美化方法在（i）利率变化、（ii）到期日变化方面的稳健性的关键问题；（iii）货币内和货币外期权，以及（iv）持续和不连续的模型，以及不断增加的交易强度。首先，着眼于定价，我们观察到，非美国化会导致更大的错误（i）利率更高，（ii）期限更高，（iii）货币区域内，（iv）波动性和/或相关性更高的情景下的连续模型，以及跳跃强度更高的跳跃模型。其次，我们研究了在高利率环境下，针对一组特定的到期日和罢工，对合成数据的模型校准。在数值上，我们观察到，与基准相比，非美国化方法的校准结果存在明显差异。对于连续模型，主要差异在于产生的波动率参数。对于跳跃模型，非美国化方法低估了跳跃强度，尤其是在跳跃强度较高的环境中，而跳跃的平均值和标准差被高估。在校准谷歌市场数据时，会出现任何差异，这可以用极低的利率环境来解释。这与问题（i）的结果一致。在最后一步中，我们研究了模型校准中的非美国化对奇异期权定价的影响。在这里，奇异期权价格起着衡量不同校准模型参数之间距离的作用。在大多数情况下，我们观察到，奇异期权价格与基准价格相当接近。然而，我们观察到所有研究模型都存在严重的异常值。

我们发现，在CEV模型（p）和Heston模型（p）中，奇异期权价格相差约50%，在Merton模型（p）中相差约10%，见表6。然而，在CEV模型和theReferencesMerton模型中，当校准为货币外期权而不是仅为看跌期权时，差异往往更大，而在Heston模型中，我们对不同场景的情况有不同的看法。简言之，去美国化的方法风险在很大程度上取决于利率环境。对于低兴趣环境，非美国化造成的错误小到可以忽略不计，当首选快速运行时，可以使用非美国化方法。然而，对于更高的利率环境，非美国化会导致无法控制的异常值。因此，由于非美国化方法无法提供误差控制，我们强烈建议在校准中采用由误差估计员证明的定价方法。我们将股息纳入未来的研究。跳跃扩散模型的数值结果和对利率的敏感性表明，离散和连续红利可能会加剧非美国化方法造成的误差。感谢David Criens、Maximilian Mair和Jan Maruhn的宝贵反馈。

此外，我们感谢2015年3月30日至4月1日在慕尼黑、2016年第12届德国概率与统计日、2016年3月1日至4日在波鸿、2016年9月12日至14日在维也纳举行的2016年维也纳数学金融大会的与会者以及2015年毕马威卓越中心风险管理研究日的与会者，慕尼黑。资助这项工作的部分资金来自：DFG赠款WO671/11-1；国际研究训练组织IGDK1754，由德国研究基金会（DFG）和澳大利亚研究基金会（FWF）资助；毕马威风险管理卓越中心。参考Sachdou，Y.和O.Pironeau（2005）。期权定价的计算方法，第30卷。暹罗。Bauer，R.（2012年）。赫斯顿模型中的快速校准。外交部长杜维恩。Carr，P.和D.B.M adan（1999年）。期权估值和快速F-ourier变换。《计算金融杂志》2（4），61–73。参考Carr，P.和L.Wu（2010）。股票期权和信用违约掉期：估值和估值的联合框架。《金融计量经济学杂志》8（4），409–449。CBOE（2009）。芝加哥期权交易所波动率指数-波动率指数。CBOE。查普曼，R.（2001）。精神错乱的内卷。离散数学231（1），121–122。Clarke，N.和K.Parrott（1999年）。随机波动美式期权定价的多重网格。应用数学金融6（3），177–195。Cox，J.C.（1975）。期权定价注释i：差异的恒定弹性。斯坦福特大学，未出版地址。考克斯、J.C.、S.A.罗斯和M.鲁宾斯坦（1979年）。期权定价：一种简化的方法。《金融经济学杂志》7（3），229–263。Detlefsen，K.和W.Haerdle（2006年）。外来选项的校准风险。SFB 649讨论文件2006-001。Düring，B.和M.Fournié（2012年）。随机波动率模型中期权定价的高阶紧有限差分格式。

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因此，鉴于（Müller和Stoyan，2002，T heorem 3.4.2），对于每个idn，都存在一个概率空间pOhmi、 Fi，Piq支持随机变量xiand yisuch that xi“QBpuq，yi”QBpuq，and pi“yi | xi‰”xiPi-a.s.让我们定义一下Ohm :“nai”1Ohmi、 F：“n–i”1Fi，P：“n–i”1Pi，并将xind yi扩展到POhm, F、 Pq通过设置xipω。。。，ωnq：“xipωiq，yipω，…，ωnq：”yipωiq。现在，很容易看到，对于可测量的A，BARPpxiP A，xjP Bq“PpxiP AqPpxjP Bq，i“j，PpyiP A，yjP Bq”PpyiP AqPpyjP Bq，i“j，（17）和更多PpxiP A，yjP Bq”PpxiP AqPpyjP Bq，i“j.（18）从（17）中，我们得出以下结论：x：“px，…，xnq"px，…，xnq“：x，y：“py，…，ynq-，ynq“：y。此外，鉴于（18），我们还获得了额外的Lemmaatherefore，x通过应用（Müller和Stoyan，2002，定理3.4.2），我们得到了XdcxY。现在让我们注意以下基本事实：如果f:U尼R是凹的，g:R尼R是凸的且递减的，其中UARn，那么g"f:U尼R是凸的。这一事实的一个应用是hfpz。。。，znq：“n'zi”1zi，n偶数，gpzq：“pK'zq”，凸阶XdcxY产生了这个主张。注意，通过引理A.2 f是凹的。lA.2额外的引理A.1关注二叉树中的一个节点，让X“Q Bpuq”和Y“QBpuq w with u.Let1.u，uěert`？e2r公司 t'1和2。u、 udp'ertk'1q'？每tk\'1q\'4ertk2k“kor u，uěp'ertk“1q”？每tk\'1q\'4ertk2k“ertk，满足。那么，就凸阶而言，随机变量X小于随机变量Y，即XdcxY。证明（Müller和Stoyan，2002，定理1.5.3和定理1.5.7）它支持toshow1。ErXs“ErY s2。ErpX'kq'sdErpY'kq'sSince p如（1）中所示被设置为风险中性概率，它适用于ErXs“er”的任何u因此，满足了第一个条件。

给定一个带系数u的随机变量X和一个带系数uau的随机变量Y，我们可以区分第二种情况5。案例1：uauauauak.显然，在任何情况下，这两个选项都不属于mon ey和ErpX\'kq\'s“0”ErpY\'kq\'s。案例2：uauauakau.A.2其他LemmataHere、ErpX\'kq\'s“0”和ErpY\'kq\'s“ppuqpu'kq'0，因为在向上的情况下，第二个期权在货币中。因此，第二个条件i满足。案例3：uauakauau。在这种情况下，两个期权都在相应的向上情况下在货币中。ErpX'kq's'ErpY'kq's“ppuqpu kq”uert'uu'1'uert'uu'1'k^uert'1u'1'uert’1u’1˙。函数ppuq“uert'1u'1是单调递减函数，因为导数ppuq'er图尔t\'2upu\'1q的根为ua，b“1？1'e2r三t、 但由于er在r“0”的情况下，导数在u“1”处没有根或根。然而，在二叉树的指定中，它必须保持ua因此，导数没有任何根。从pp2qa0开始，单调递减性质如下。因此，\'uert'1u'1'uert'1u'1'0。如果添加函数gpuq“uert'uu'1单调递增，ErpX'kq'sdErpY'kq's紧随其后。g的导数由gpuq“u'2uer”给出t\'1pu\'1q。导数的根是ua，b“ert？e2r公司 t'1。因此t'？e2r公司 t’1或uěert`？e2r公司 t'1函数是单调递增的。来自uěer在二叉树中，它遵循ErpX’kq’sdErpY’kq’s ifuěert`？e2r公司 t'1。案例4：uakauauau。在这种情况下，一个选项是货币的向上和向下情况，而第二个选项仅在相应的向上情况下的货币中。ErpX'kq's“ppuqpu'kq'p1'p PUQPU'kq”ert'k.ErpX'kq's'ErpY'kq's'ert'k'ppuqpu'kq“er特克乌尔t'1u'1pu'kq'ku'p1'kertqu'ertu'1。

l根由ua，b“p'er给出tk'1q'？每tk\'1q\'4ertk2k。因此，任何一方tk'1q'？每tk\'1q\'4ertk2k“kor由uěp'er提供tk“1q”？每tk\'1q\'4ertk2k“ertk第二个条件满足。B反美化对定价案例5影响的详细结果：kauauauauau。案例4暗示案例5。引理A.2函数f:p0，8qn尼R，f pxq“'sni”1xi对于n偶是凹的。证明Hessian矩阵H“phijq1di，jdnis由hij“0 i”j，nk“1，k‰i，k‰jxki‰j给出。应用莱布尼兹f公式，Hessian矩阵的行列式由detphq“σPSnsgnpσqn'zi”1hiσi给出，（19）其中sn表示n个元素上的对称群，sgnpσq是置换σ的s符号，如果σ为偶数，则为1，如果σ为奇数，则为-1。从hij“0代表i”j可以直接得出，我们只需考虑无序，即固定无点置换。我们用dn表示sn中的无序集，这就产生了Hessian矩阵的行列式，detpHq“σPDnsgnpσqn'zi”1xn'2i。接下来我们应用（Chapman，2001，定理1），它指出对称群SNI中奇偶错乱的差异由p'1qn'1pn'1q给出。因此，Hessian矩阵的确定式由detpHq“p'1qn'1pn'1qn'zi”1xn'2i给出。从xiP p0，8q，i“1，…，n可以看出，对于偶数n，行列式是n负的，而对于us，函数f是凹的。