定义8.2（Ef supermarting ale族）一个可容许的平方可积族U：=（U（S），S∈ T0，T）被认为是Ef supermartingale家族∈ T0，Tsuch thatS≤ S’a.S.、EfS、S’（U（S’））≤ U（S）a.S.definition 8.3（右上半连续族）容许族U：=（U（S），S∈T0，T）被称为右上半连续（沿停止时间）族，如果对于T0中的任何（τn）非递增序列，和T0中的任何τ，tuchτ=lim↓ τn，我们有u（τ）≥ 林尚→∞U（τn）a.s。引理8。3设U：=（U（S），S∈ T0，T）成为Ef supermartingale家族。然后，（U（S），S∈T0，T）是右上半连续（沿停止时间）族。证明：Letτ∈ T0，Tand let（τn）∈ TIN0，Tbe停止时间的非递增序列→+∞τn=τa.s.，对于所有n∈ 在{τ<T}上，τn>τa.s，以及类似的limn→+∞U（τn）存在a.s.因为U是Ef超鞅族，并且序列（τn）是非递增的，所以我们有Efτ，τn（U（τn））≤ Efτ，τn+1（U（τn+1））≤ U（τ）a.s.因此，序列（Efτ，τn（U（τn）））为非减量和U（τ）≥ lim公司↑ Efτ，τn（U（τn））。该不等式，结合BSDE关于终端时间和终端条件的连续性性质（参考文献[38，A.6]在一般过滤的情况下仍然成立），给出了su（τ）≥ 画→+∞Efτ，τn（U（τn））=Efτ，τ（limn→+∞U（τn））=limn→+∞U（τn）a.s.22 M.GRIGOROVA等人根据Dellacherie和Lenglart的引理5[6]，族（U（s））因此是右上半连续的（沿停止时间）。定理8.1值族V=（V（S），S∈ （5.1）中定义的T0，T）是Ef Supermartingalfamily。特别是，V=（V（S），S∈ T0，T）是定义8.3意义上的右上半圆形（沿停止时间）族。证明：我们从Lemma8.1知道V=（V（S），S∈ T0，T）是一个平方可积容许族。让我们∈ T0，接地S′端∈ TS，T。

我们将证明EfS，S′（V（S′））≤ V（S）a.S.，这将证明V是Ef supermartingale族。根据引理8.2，存在一个序列（τn）n∈Nof停止时间，使得τn≥ S′a.S.和V（S′）=limn→∞↑ EfS′，τn（ξτn）a.s.利用这个等式、BSDE的连续性和条件F期望的一致性，我们得到了EfS，s′（V（s′）=EfS，s′（limn→∞↑ EfS′，τn（ξτn））=limn→∞EfS，S′（EfS′，τn（ξτn））=limn→∞EfS，τn（ξτn）≤ 五（S）。因此，V是Ef supermartingale族。这个性质，加上Lemma8.3，使得V是一个右上半连续（沿停止时间）族。8.2。聚集和斯奈尔特性。对值familyV=（V（S），S）使用上述结果∈ T0，T），我们证明了以下定理，它将经典最优停止理论的一些结果（更准确地说，引理3.4中的断言（i））推广到具有f-期望的最优停止问题的情况。定理8.2（聚合和斯奈尔表征）存在一个唯一的RightUpper半连续可选过程，用（Vt）t表示∈[0，T]，它聚合了值族V=（V（S），S∈ T0，T）。此外，（Vt）t∈[0，T]是支付过程ξ的Ef-Snell包络，即大于或等于ξ的最小强Ef超鞅。证明：根据定理8.1，值族V=（V（S），S∈ T0，T）是右上半连续族（或Dellacherie Lenglart[6]词汇表中的右上半连续T0，T-系统）。应用Dellacherie-Lenglart（[6]）的定理4，给出了一个唯一的（直到可识别的）右上半连续可选过程（Vt）t的存在性∈[0，T]聚合了价值族（V（S），S∈ T0，T）。从该聚合属性，即属性vs=V（S）a.S。

对于每个S∈ T0，T，从定理8.1中，我们推断出我们在这里使用的过程，年表（在[6]的词汇和符号中）是所有停止时间的年表，也就是说，Θ=T0，T；因此[Θ]=Θ=T0，T。具有f-期望的最优停止：不规则情况23（Vt）T∈[0，T]是一个强Ef超鞅。此外，我们有VS=V（S）≥ ξSa。s、 对于每个人∈ T0，T，这意味着Vt≥ ξt，对于所有t∈ [0，T]，a.s.现在让我们证明过程（Vt）T∈[0，T]是大于或等于ξ的最小强Ef supermartingalege。Let（V′t）t∈[0，T]是一个强Ef超鞅，使得V′T≥ ξt，对于所有t∈ [0，T]，a.s.让我们∈ T0，T。我们有V′τ≥ ξτa.s.所有τ∈ TS，T。因此，EfS，τ（V′τ）≥EfS，τ（ξτ）a.s.，其中我们使用了条件f-期望的单调性。另一方面，利用过程（V′t）的强Ef超鞅性质∈[0，T]，我们有V\'S≥ EfS，所有τ的τ（V′τ）a.s∈ TS，T。因此，V′S≥ EfS，τ（ξτ）a.s.对于所有τ∈ 通过取τ上的本质上确界∈ 在不等式中，我们得到V′≥ ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）=V（S）=VSa。s、 因此，对于所有s∈ T0，T，我们有V′≥ VSa。s、 ，这就产生了V′t≥ Vt，对于所有t∈ [0，T]，a.s.因此证明是完整的。具有完全不规则障碍物和一般过滤的非线性反射BSDE：有用特性。我们现在的目标是根据非线性RBSDE的解，为非线性问题（5.1）建立一个最小的特征（从而将理论3.1从经典线性情况推广到非线性情况）。为此，我们需要首先建立一些关于具有完全不规则障碍的非线性RBSDE的结果，尤其是此类RBSDE的比较结果。本节致力于这些结果（这是我们解决问题方法（5.1）的RBSDE部分）。

这一节的结果扩展并完成了我们从[17]开始的工作，其中假设了障碍物上的RightUpperSemiconductinuity。让我们注意到，来自【17】的comparisontheorem证明不能适用于这里考虑的完全不规则的框架；相反，我们依赖于田中式的强（不规则）半鞅公式。备注9。1（直接法的“瓶颈”）人们可能想知道，通过对问题（5.1）的价值过程（Vt）进行直接研究，是否可以获得非线性最优停止问题（5.1）的最小特征，类似于第3.1小节中经典线性情况下所做的。在经典情况下，我们对（Vt）应用了dmertens分解；然后，我们通过使用Lemma3.1（iii）中区间[S，τλS]上的鞅性质，直接展示了过程Ada和Ac（参见Lemma3.2和3.3）的极小性质，其elf依赖于Maingueneau的惩罚方法（参见Remark3.3和d 3.2）。在非线性情况下，Mertens分解由Ef Mertens分解推广（参见定理7.1）。然而，由于函数Ef的凸性不足，无法通过Maingueneau的方法获得Lemma3.4[（iii）]（nam ely，Ef鞅性质）在非线性情况下的相似性（即使在非负ξ的情况下，也不能得到），并且在额外假设f（t，0，0，0）=0的情况下，这确保了Ef的非负性24 M.GRIGOROVA ET AL。9.1。田中型配方奶粉。下面的引理将用于证明具有不规则障碍物的RBSDE的比较定理。

这个引理可以看作是[37，第四章]定理66从右连续半鞅的情形到强可选半鞅的更一般情形的推广。引理9。1（田中型公式）设X是分解X=X+M+a+B的（实值）强可选半鞅，其中M是局部（cadlag）鞅，a是有限变化的右连续适应过程，因此a=0，B是有限变化的左连续适应纯不连续过程，因此B=0。让f：R-→ Rbe是一个凸函数。然后，f（X）是强可选半鞅。此外，通过f′表示凸函数f的左导数，我们得到f（Xt）=f（X）+Z]0，t]f′（Xs-)d（As+Ms）+Z[0，t[f′（Xs）dBs++Kt，其中K是一个非减量适应过程（通常不为左连续或右连续），包括Kt=f（Xt）- f（Xt-) - f′（Xt-)Xtand公司+Kt=f（Xt+）- f（Xt）- f′（Xt）+Xt。证明：我们的证明遵循了[37，第四章]定理66的证明，并做了适当的修改。第1步。我们认为X是有界的；更准确地说，我们假设存在N∈ 因为| X |≤ N我们知道（参见[37]）存在一个两次连续可微凸函数序列（fn），使得（fn）收敛于f，（f′n）从下面收敛到f′。通过将Gal\'chouk-Lenglart公式（参见，例如，[17]中的定理A.3]）应用于fn（Xt），我们得到了所有τ∈ T0，T（9.1）fn（Xτ）=fn（X）+Z]0，τ]f′n（Xs-)d（As+Ms）+Z[0，τ[f′n（Xs）dBs）+Knτ，a.s.，其中（9.2）Knτ：=X0<s≤τfn（Xs）- fn（Xs-) - f′n（Xs-)Xs型+X0≤s<τfn（Xs+）- fn（Xs）- f′n（Xs）+Xs型+Z] 0，τ]f′n（Xs-)dhMc、Mcisa。s、 通过证明方程（9.1）中的其他项收敛，我们证明了（Knτ）是一个收敛序列。

收敛因子]0，τ]f′n（Xs-)d（As+Ms）-→n→∞R] 0，τ]f′（Xs-)d（As+Ms）带f-期望的最优停止：不规则情况25通过使用与[37，Thorem 66，Ch.IV]证明中相同的参数来显示。通过使用支配收敛来显示特定于非右连续情形的r[0，τ[f′n（Xs）dBs+）项的收敛性。我们得出结论，（Knτ）收敛，weset Kτ：=limn→∞Knτ。将过程（Kt）调整为调整过程的极限。此外，我们从公式（9.2）和fn的凸性中得出，对于每个n，t中的knitsnondecreating。因此，极限kt是不减的。第2步。我们处理一般情况，其中X不一定是有界的，使用类似于[37，Th.66，Ch.IV]中使用的局部化参数。9.2。比较定理。定理9.1（比较）Letξ∈ S、 ξ′∈ Sbe两个过程。设f和d f′为满足假设5.1的Lipschitz驱动。设（Y，Z，k，h，A，C）（分别为（Y′，Z′，k′，h′，A′，C′）是与障碍物ξ（分别为ξ′）和驱动器f（分别为f′）相关的RBSDE的解。如果ξt≤ ξ′t，0≤ t型≤ T a.s.和f（T，Y′T，Z′T，k′T）≤ f′（t，Y′t，Z′t，k′t），0≤ t型≤ T dP dt-a.s.，然后，Yt≤ Y′t，0≤ t型≤ T a.s.证明：我们设置“Yt=Yt”- Y′t，’Zt=Zt- Z′t，’kt=kt- k′t，’At=At- A′t，\'Ct=Ct- C′t，’ht=ht- h′t和'ft=f（t，Yt-, Zt，kt）- f′（t，Y′t-, Z′t，k′t）。然后-d’Yt=’ftdt+d’At+d’Ct--(R)ZtdWt-ZE'kt（e）'N（dt，de）- d'ht，其中'YT=0。将引理9.1应用于‘Yt’的正部分，我们得到（9.3）’Y+t=-Z] t，t]{Ys->0}ZsdWs-Z] t，t]ZE{Ys->0}ks（e）~N（ds，de）-Z] t，t]{Ys->0}d'hs+Z]t，t]{Ys->0}个fsds+Z]t，t]{个->0}d'As+Z[t，t[{Ys>0}d'Cs+（Kt- KT）。我们设置δt：=f（t，Yt-,Zt，kt）-f（t，Y′t-,Zt，kt）Yt--是的-{年初至今-6=0}和βt：=f（t，Y′t-,Zt，kt）-f（t，Y′t-,Z′t，kt）Zt-Z′t{Zt6=0}。由于f的Lipschitz连续性，过程δ和β是有界的。

我们注意到'ft=δt'Yt+βt'Zt+f（Y′t-, Z′t，kt）- f（Y′t-, Z′t，k′t）+Дt，其中Дt：=f（Y′t-, Z′t，k′t）- f′（Y′t-, Z′t，k′t）。使用该值，再加上假设5.1，我们得到（9.4）英尺≤ δt'Yt+βt'Zt+hγt，'ktiν，+Дt0≤ t型≤ T、 dP dt公司- a、 e.，其中我们设置了γt：=θY′t-,Z′t，k′t，ktt。对于τ∈ T0，T，letΓτ，·是以下正向SDE dΓτ，s=Γτ，s的唯一解-[δsds+βsdWs+REγs（e）~N（ds，de）]，初始条件（初始时间τ）τ，τ=1。为了简化符号，我们将s表示为Γτ，sbyΓsfor s≥ τ。26 M.GRIGOROVA等人通过将Gal\'chouk-Lenglart公式应用于产品（Γt'Y+t），并使用thathhc，W i=0，我们得到（9.5）Γτ'Y+τ=- （Mθ- Mτ）-ZθτΓs（(R)Y+s-δs+(R)Zs{Ys->0}βs-\'fs{\'Ys->0}）ds+ZθτΓs-{Ys->0}d'Acs+Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}“”作为-ZθτΓs-dKcs公司-ZθτΓs-dKd，-s+ZθτΓs{Ys>0}d'Cs-ZθτΓsdKd，+s-Xτ<s≤θΓsY+s。其中工艺M由M定义：=MW+MN+Mh，MWt：=RtΓs-（1{年）->0}Zs+？Y+s-βs）dWs和MNt：=RtREΓs-（\'ks（e）1{\'Ys->0}+(R)Y+s-γs（e））~N（ds，de），Mht：=RtΓs-{Ys->0}d个。请注意，通过经典参数（使用Burkholder-Davis-Gundy不等式），Stochastic积分MW、MN和MH是鞅。因此，M是一个鞅（期望值等于零）。根据Γ的定义，我们得到了Γτ=1，它给出了ΓτY+τ=\'Y+τ。此外，我们有RθτΓs{Ys>0}d'Cs=RθτΓs{Ys>0}dc-RθτΓs{Ys>0}dC′。对于第一项，它保持srθτΓs{Ys>0}dC=0。实际上，{Ys>0}={Ys>Y′s} {Ys>ξs}（作为Y′s≥ ξ′s≥ξs）。这与C的Skorokhod条件一起给出了等式。第二个任期-RθτΓs{Ys>0}dC′s≤ 0，asΓ≥ 0和dC′是非负度量。因此，RθτΓs{Ys>0}d'Cs≤ 同样，我们得到θτΓs-{Ys->0}d个Acs≤ 实际上，RθτΓs-{Ys->0}d'Acs=RθτΓs-{Ys->0}个DAC-RθτΓs-{Ys->0}dA′cs。对于第一项，我们有θτΓs-{Ys->0}dAcs=0。

这是由于{Ys-> 0}={Ys-> Y’s-}  {Ys->ξs}（作为Y′s≥ ξ′s≥ ξs，因此Y′s-≥ξs），以及Ac的Skorokhod条件。对于第二项，我们有-RθτΓs-{Ys->0}dA′cs≤ 0、我们还有-RθτΓs-dKcs公司≤ 0和-RθτΓsdKd，+s≤ 因此，（9.6）Y+τ≤ - （Mθ- Mτ）-ZθτΓs（(R)Y+s-δs+(R)Zs{Ys->0}βs-\'fs{\'Ys->0}）ds+Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}“”作为-ZθτΓs-dKd，-s-Xτ<s≤θΓsY+s。我们计算最后一个termPτ<s≤θΓsY+s.Let（ps）是与随机测度N上的泊松相关的点过程（参见[8，VIII第2.67节]或[24，第III节§d]）。我们有Γs=Γs-γs（ps）和\'Y+s=具有f-期望的最佳停车：不规则情况27{\'Ys->0}ks（ps）- 1{年->0}“”作为+Kd，-s+1{Ys->0}(R)hs。因此，（9.7）Xτ<s≤θΓs？Y+s==Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}γs（ps）(R)ks（ps）-Xτ<s≤θΓs-γs（ps）（1{Ys->0}“”作为- Kd，-s- 1{年->0}\'hs）=ZθτZEΓs-{Ys->0}γs（e）(R)ks（e）N（ds，de）-Xτ<s≤θΓs-γs（ps）（1{Ys->0}“”作为- Kd，-s- 1{年->0}\'hs）=ZθτZEΓs-{Ys->0}γs（e）~ks（e）~N（ds，de）+ZθτΓs-{Ys->0}hγs，\'ksiνds-Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}γs（ps）\'As+Xτ<s≤θΓs-γs（ps）Kd，-s+Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}γs（ps）(R)hs。通过将该表达式插入方程式（9.6）中，并将“ds”中的术语和“dKd”中的术语放在一起，-s“，以及中的术语”“As”，我们得到（9.8）Y+τ≤ - （Mθ- Mτ）-ZθτΓs-（(R)Y+s-δs+(R)Zs{Ys->0}βs+1{'Ys->0}hγs，\'ksiν-\'fs{\'Ys->0}）ds+Xτ<s≤θΓs-{Ys->0}（1+γs（ps））“”作为-Xτ<s≤θΓs-（1+γs（ps））Kd，-s- （￠Mθ）-Mτ）-Zθτd[(R)h，Z·ZEΓs-{Ys->0}γs（e）~N（ds，de）]s，其中▄Mt：=RtREΓs-{Ys->0}γs（e）(R)ks（e）~N（ds，de）。请注意，根据经典参数（对于上面的M），随机积分M是一个鞅，期望值等于零。我们有-RθτΓs-（(R)Y+s-{Ys->0}δs+(R)Zs{Ys->0}βs+1{'Ys->0}hγs，\'ksiν-\'fs{\'Ys->0}）ds≤RθτΓs-{Ys->0}Дsds，由于不平等（9.4）。术语-Pτ<s≤θΓs-（1+γs（ps））Kd，-sis非正，as 1+γs≥ 假设为0 5.1。

termPτ<s≤θΓs-{Ys->0}（1+γs（ps））由于1+γs，Asis不正≥ 0，至Skorokhod条件阿桑托A’s≥ 0（细节与上述推理中d'C的细节相似）。自从∈ M2，⊥, 通过Remark2.1，我们得出上述不等式（9.8）最后一项的期望值等于0。此外，术语θτΓs-{Ys->0}Дsds是非正的，因为Дs=f（Y′s，Z′s，k′s）- f′（Y′，Z′，k′）≤ 0 dP ds-a.s.通过定理的假设。我们得出结论，E[(R)Y+τ]≤ 0，这意味着“Y+τ=0 a.s”。因此证明是完整的。备注9。2注意，由于障碍物的不规则性以及跳跃的存在，我们无法采用文献中迄今为止使用的方法（参见[13]、[5]、[39]和[17]）来显示RBSDE的比较定理。28 M.GRIGOROVA等人，9.3。RBSDE诱导的非线性算子。斯内尔特性。我们引入了非线性算子Reff（与给定的非线性驱动f相关），并提供了一些有用的性质。特别是，我们证明了该非线性算子与Ef-Snell包络算子一致（参见定理9.2）。定义9.1（非线性算子Reff）设f为Lipschitz驱动因素。对于过程（ξt）∈ S、 我们用Reff[ξ]表示反射BSD的解的第一个分量，其具有（较低）势垒ξ和Lipschitz驱动因子f。根据定理4.1，很好地定义了运算符Reff[·]。此外，Reff[·]的值为inS2，rusc，其中S2，rusc：={φ∈ S： φ为r.u.S.c.}（参见备注2.3）。在下面的命题中，我们给出了算子Reff的一些性质。请注意，过程之间的相等（或不相等）应理解为“不可区分”意义。我们回顾了强Ef超鞅的概念。定义9.2设φ为S中的一个过程。设f为Lipschitz驱动因素。该过程φ被认为是一个强大的Ef超级马丁格尔（分别为。

强Ef鞅），如果Efσ，τ（φτ）≤ σ上的φσa.s.（分别为Efσ，τ（φτ）=φσa.s.）≤ τ、 对于所有σ，τ∈ T0，T。在一般过滤的情况下，使用上述比较定理和强（r.u.s.c.）Ef超鞅的Ef Mertens分解（参见定理7.1），我们可以说明运算符reff满足以下性质。命题9.1（算子Reff的性质）设f是满足假设5.1的Lipschitz驱动。运算符引用：S→ S2，定义9.1中定义的rusc具有以下特性：1。运算符Reffis是非减量的，即对于ξ，ξ′∈ S确认ξ≤ ξ′我们有reff[ξ]≤ Reff[ξ′]。2、如果ξ∈ Sis a（r.u.s.c.）强Ef超鞅，则Reff[ξ]=ξ。3、各ξ∈ S、 Reff[ξ]是一个强Ef超鞅，满足Reff[ξ]≥ ξ。证明：第一个结论来自我们对具有不规则障碍物的反射BSDE的比较定理（定理9.1）。让我们来证明第二种说法。设ξ为s中的（r.u.s.c.）强Ef超鞅。通过定义Reff，我们必须证明ξ是与驾驶员f和障碍物ξ相关的反射BSDE的解。在一般过滤的情况下，通过强（r.u.s.c.）Ef超鞅的Ef Mertens分解（定理7.1），以及引理2.1，存在（Z，k，h，a，c）∈ IH×IHν×M2，⊥×S×S具有f-期望的最优停车：不规则情况29-dξt=f（t，ξt，Zt，kt）dt- ZtdWt公司-ZEkt（e）~N（dt，de）- dht+dAt+dCt-, 0≤ t型≤ T、 其中，A是可预测的右连续非减量，A=0，C是自适应的右连续非减量，且完全不连续，C0-= 此外，这里基本满足了索罗霍德条件（RBSDE）。因此，ξ=Reff[ξ]，这是期望的结论。它仍然显示第三个断言。通过定义，过程Reff[ξ]等于Y，其中（Y，Z，k，h，A，C）是我们反映的BSDE的解。

因此，Reff[ξ]=Y加入了分解（7.1），根据定理7.1，这意味着Reff[ξ]=Y是一个强ef超鞅。此外，根据定义，Reff[ξ]=Y大于或等于阻力ξ。借助上述命题，我们证明了过程Reff[ξ]，即具有（不规则）障碍ξ的RBSDE解的第一个分量，在大于或等于ξ的最小强Ef超鞅项下具有特征。定理9.2（算子Reffand和Ef-Snell包络算子）设ξbea过程为满足假设5.1的Lipschitz驱动。第一个分量Y=反射BSDE的解的Reff[ξ]，参数（ξ，f）与ξ的Ef-Snell包络线一致，即，最小的强Ef超鞅大于或等于ξ。证明：根据命题9.1的第三个断言，过程Y=Reff[ξ]是一个满足Y的强ef超鞅≥ ξ。它仍然显示最小属性。设Y′是一个强Ef超鞅，使得Y′≥ ξ。我们有Reff[Y′]≥ Reff[ξ]，由于运算符Reff的非增量s（参见命题9.1，第一断言）。另一方面，Reff[Y′）=Y′（由于命题9.1，第二断言）和Reff[ξ]=Y。因此，Y′≥ Y，这是期望的结论。在右连续左受限障碍物ξ的情况下，上述特征已在【39】中建立；在[17，Prop.4.4]中，它被推广到右上半连续障碍物的情况。然而，让我们注意到，在[39]和[17]中给出的证明的论点不能适应我们的一般框架。10、在完全不规则的情况下，根据RBSDE对价值过程的微小描述。以下定理是30 M.GRIGOROVA等人定理9.2和定理8.2的直接结果。

它给出了valueprocess（Vt）t的“微小特征”∈非线性问题（5.1）的[0，T]。定理10.1（RBSDE的特征化）Let（ξt）t∈[0，T]是砂中的过程，让f是满足假设5.1的Lipschitz干燥器。价值过程（Vt）t∈[0，T]聚合族V=（V（S），S∈ （5.1）定义的T0，T）与第一组分（Yt）T一致∈具有驱动因子f和障碍ξ的RBSDE解的[0，T]。换句话说，我们有∈ T0，T，（10.1）YS=VS=ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）a.s。利用这个定理，我们得到了以下推论，它将经典最优停止理论的一些结果（更准确地说，Lemma3.4中的断言（ii）和（iii））推广到了具有（非线性）f-期望的最优停止问题的情况。备注10。1在ξ完全不规则的情况下，让我们总结一下我们对非线性最优停止问题（5.1）的两部分方法：首先，我们对问题（5.1）应用了直接方法，它表明值族（V（s））∈T0，t可通过可选进程（Vt）t聚合∈[0，T]，然后，将（Vt）描述为（完全不规则的）支付过程（ξT）的f-Snell包络。另一方面，我们应用了RBSDE方法，该方法包括在RBSDE上建立一些结果，这些结果具有完全不规则的障碍（特别是存在性、唯一性和比较结果）和运算符Reff的一些有用属性，然后利用这些性质证明RBSDE的唯一解（Yt）等于完全不规则障碍物的Ef-Snell包络。

然后，我们从这两部分（直接部分和RBSDE部分）推断出（Yt）和（Vt）重合，这为价值过程（Vt）提供了一个极小的特征。最后，让我们把非线性最优停止问题（5.1）的一些结果放在一起：i）o对于任何奖励过程ξ∈ S、 对于所有t，a.S.（定理10.1），我们有最小特征vt=Yt=Refft[ξ]。o同时，（Vt）t∈[0，T]是支付过程ξ的Ef-Snell包络线（定理8.2）。ii）此外，如果ξ为右-u.s.c.，则对于任何s∈ T0，T，对于任何ε>0的问题，在时间S存在一个Lε最优停止时间。（定理6.1）。iii）此外，如果ξ沿停车时间也是左u.s.c.，则对于任何s∈ T0，T，在时间S存在问题的最佳停止时间（定理6.2）。我们强调，这些性质的证明（参见命题9.1）在很大程度上依赖于强Ef超鞅的Ef Mertens分解（参见定理7.1），这是在r.u.s.c.案例中建立的初步结果（定理6.1）的直接结果。具有f-期望的最佳停车：不规则情况3111。理论10.1.11.1的应用。适用于支付完全不规则的美式期权。在下面的示例中，我们设置E：=R，ν（de）：=λδ（de），其中λ是一个正常数，其中δ表示1处的狄拉克测度。

过程Nt：=N（[0，t]×{1}）是一个带有参数λ的泊松过程，我们有▄Nt：=▄N（[0，t]×{1}）=Nt- λt。我们假设过滤是与W和N相关的自然过滤。我们考虑一个金融市场，该市场由一个无风险资产（其价格过程为dSt=Strtdt）和两个有价格过程S的风险资产（其价格过程为：dSt=St）组成-【utdt+σtdWt+βtdNt】；dSt=St-[utdt+σtdWt+βtdNt]。我们假设过程σ、σ、β、β、r、u、u是可预测和有界的，其中βit>- 1表示i=1，2。设ut：=（u，u）′，并设∑t：=（σt，βt）为2×2矩阵，其中第一列σt：=（σt，σt）′，第二列βt：=（βt，βt）′。我们假设∑是可逆的，∑的系数-1有界。我们考虑一位可以投资其初始财富x的代理人∈ 三项资产中的R。对于i=1，2，我们用ДIt表示投资于IthRisk ass et的金额。属于H×Hν的过程Д=（Д，Д）′将被称为投资组合策略。在时间t时，相关投资组合（或财富）的价值用Xx，аt（或simplyby Xt）表示。在完美市场的情况下，我们有dxt=（rtXt+Дt（ut- rt）+Дt（ut- rt））dt+（Дtσt+Дtσt）dWt+（Дtβt+Дtβt）d？Nt=（rtXt+Д′t（ut- rt1）dt+Д′tσtdWt+Д′tβtdNt，其中1=（1，1）′。更一般地说，我们将假设市场可能存在一些不完善之处，这是通过财富动态的非线性近似性来考虑的，并包含在满足假设5.1的Lipschitz驱动因素中（参见。

[14] 或【10】中的一些示例）。更准确地说，我们假设财富过程Xx，Дt（也就是Xt）满足前向微分方程：（11.1）- dXt=f（t，Xt，Дt′σt，Дt′βt）dt- νt′σtdWt- ^1t′βtdNt；X=X，或等效设置Zt=Дt′σ和kt=Дt′βt，（11.2）- dXt=f（t，Xt，Zt，kt）dt- ZtdWt公司- ktdNt；X=X。注意（Zt，kt）=Дt′∑t，这相当于Дt′=（Zt，kt）∑-1吨。该模型包括完美市场的情况，其中f是由f（t，y，z，k）=-rty公司- （z，k）∑-1t（ut- rt1）。32 M.GRIGOROVA等人评论1 1。1请注意，财富过程Xx，Д是Ef鞅，因为Xx，Д是BSDE与驱动因素f、终端时间T和终端条件Xx，ДT的解。让我们考虑一个与终端时间T和支付函数相关的美式选项，通过一个过程（ξT）∈ S、 与文献中常见的情况一样，期权在时间0时的超边际价格（用u表示）被定义为使卖方能够在任何时候投资于价值大于或等于期权收益的投资组合的最低初始财富。更准确地说，对于每个初始财富x，我们用A（x）表示所有投资组合策略的集合∈H×Hν使得Xx，νt≥ ξt，对于所有t∈ [0，T]a.s.因此，美国期权的超高价格定义为（11.3）u:=inf{x∈ R^1∈ A（x）}。使用值函数（5.1）的最小特征（参见。

定理10.1），我们展示了超边缘p rice u的以下特征，以及超边缘策略的存在性。命题11.1设（ξt）为可选过程，使得E[ess supτ∈T |ξτ|]<∞.（i） 带payoff（ξT）i的美式期权的超边际价格Uo等于时间0时最优停止问题（1.1）的值函数V（0），即（11.4）u=supτ∈T0，TEf0，τ（ξτ）。（ii）我们有u=Y，其中（Y，Z，k，h，A，C）是反射BSDE（2.3）的溶液（h=0）。（iii）投资组合策略，定义为：t′=（Zt，kt）∑-1t，是一种超边缘策略，即属于a（u）。在完美市场（f为线性）和正常支付的情况下，上述结果是文献中众所周知的结果（参见[20]）。即使在perfectmarket的情况下，我们对完全不规则薪酬的结果也是新的。证明：证明依赖于定理10.1和类似于[10]的论点（在RCLL支付和违约的博弈期权的情况下）。首先注意，根据定理10.1，我们有supτ∈T0，TEf0，τ（ξτ）=Y。为了证明上述定理的三个第一断言，因此有必要证明u=Yand^∈ A（Y）。我们首先表明∈ A（Y）。根据（11.2），与初始财富和战略满意度相关的投资组合的价值XY，^Д：如命题11.1的断言（iii）所示，始终达到（11.3）中的上限。具有f-期望的最佳停车：不规则情况33dXY，^Иt=-f（t，XY，^Дt，Zt，kt）dt+dMt，初始条件为XY，^Д=Y，其中Mt：=RtZsdWs+RtksdNs。此外，由于Y是反射BSDE（2.3）（H=0）的解，因此我们得到dYt=-f（t，Yt，Zt，kt）dt+dMt- dAt公司- dCt公司-. 应用前向微分方程的比较结果，我们得出XY，^Дt≥ Yt，对于所有t∈ 自年初至今每年[0，T]≥ ξt，因此得到XY，^Иt≥ ξt对于所有t∈ [0，T]a.s。

由此得出∈ A（Y）。现在，我们显示Y=u。自∈ A（Y），通过定义u（参见（11.3）），我们得出Y≥ u、 现在让我们展示一下≥ Y、 让x∈ R应确保存在一种策略∈ A（x）。我们显示x≥ Y、 自^1起∈ A（x），我们有Xx，νt≥ ξt，对于所有t∈ 每个τ的[0，T]a.s∈ 我们由此得到等式Xx，ντ≥ ξτa.s.通过Ef的非递减性质以及Xx，Д的Ef鞅性质（参见R emark11.1），wethus得到x=Ef0，τ（Xx，Дτ）≥ Ef0，τ（ξτ）。通过取τ的上确界∈ T0，T，我们导出thatx≥ supτ∈T0，TEf0，τ（ξτ）=Y，其中等式符合定理10.1。通过对uas的定义（参见（11.3）），我们得到了≥ Y、 从Y开始≥ u、 产生u=Y。现在，我们给出一些薪酬完全不规则的美国期权的例子。例11.1我们考虑一个形式为ξt：=h（St）的支付过程（ξt），对于t∈ [0，T]，其中h:R→ R是一个（可能是不规则的）Borel函数，因此过程（h（St））是等规的，d（h（St））是等规的∈ S、 一般来说，薪酬（ξt）是一个完全不规则的过程。根据命题11.1的前两个陈述，美式期权的超边际价格等于最优止损问题（11.4）的价值函数，并且也被描述为障碍ξt=h（St）的反射BSDE（2.3）的解。如果h是R上的上半连续函数，则过程（h（St））是可选的，因为美国函数可以写为连续函数（非递增）序列的极限。此外，过程（h（St））沿stoppingtimes为right-u.s.c.，也为left-u.s.c。（ξt）的右上半连续性源于过程是右连续的；沿（ξt）停止时间的左上半连续性来自于sjump仅在完全不可接近的停止时间发生的事实。

根据命题11.1，laststatement，在这种情况下，美式期权的最佳行使时间为payoffξt=h（St）。美式数字看涨期权给出了一个特殊的例子（当K>0时），其中h（x）：=1[K+∞[（x）.函数h是R上的u.s.c.对应的支付过程ξt：=1≥因此，在这种情况下，Kis r.u.s.c和left-u.s.c.沿着停车时间，这意味着存在最佳运动时间。在美国数字看跌期权（行使K>0）的情况下，相应的payoffξt：=1St<Kis不是r.u.s.c。我们注意到，美国数字看跌期权的支付效果通常既不受左限制，也不受右限制。34 M.GRIGOROVA等人，11.2。RBSDEs的应用程序。特征化（Theorem10.1）本身也适用于RBSDE理论：它允许我们获得具有完全不规则障碍物的R BSDE的泛常数先验估计。命题11.2（具有普适常数的先验估计）设ξ和ξ′是S中的两个过程。设f和f′是满足假设5.1的两个Lipschitz驱动，其中com mon Lipschitz constan t K>0。设（Y，Z，k）（分别（Y′，Z′，k′）为与驾驶员f（分别f′）和障碍物ξ（分别ξ′）相关的反射BSDE解的三个第一分量。LetY：=Y- Y′，ξ：=ξ- ξ′，δfs：=f′（s，Y′，Z′，k′）- f（s，Y′，Z′，k′）。设η，β>0，β≥η+2K和η≤K、 对于每个S∈ T0，T，我们有（11.5）YS≤ eβ（T-S） E[ess supτ∈TS，Tξτ| FS）+ηE[ZTSeβ（s-S） （δfs）ds | fs]a.S.Proof：证明分为两步。步骤1：对于每个τ∈ T0，T，let（Xτ，πτ，lτ）（resp.（X′τ，π′τ，l′τ））是与驱动器f（resp.f′）、终端时间τ和终端条件ξτ（resp.ξ′τ）相关的BSDE的解。SetXτ：=Xτ- X′τ。通过对BSDE的估计（参见。

【38】中的命题A.4，我们有（XτS）≤ eβ（T-S） E[ξ| FS]+ηE[ZTSeβ（S-S） [（f- f′（s，X′τs，π′τs，l′τs）]ds | FS]a.s.我们从中得出（11.6）（Xτs）≤ eβ（T-S） E[ess supτ∈TS，Tξτ| FS）+ηE[ZTSeβ（s-S） （fs）ds | fs]a.S.，其中fs：=supy，z，k | f（S，y，z，k）- f′（s，y，z，k）|。现在，根据定理10.1，我们有ys=ess supτ∈TS，TXτSand Y′S=ess supτ∈TS，TX′τS。因此得到| YS |≤ ess supτ∈TS，T | XτS |。通过（11.6），我们导出了用fs代替δfs的不等式（11.5）。步骤2：注意，（Y′，Z′，k′）是与障碍物ξ′和驱动器f（t，Y，Z，k）+δft相关的RBSDE的解。通过将步骤1的结果应用于驱动器f（t，Y，Z，k）和驱动器f（t，Y，Z，k）+δft（而不是f′），我们得到了期望的结果。12、附录。设M，M′∈ M、 回想一下，MM′- [M，M′]是鞅，而hM，M′i被定义为可积有限变分过程[M，M′]的补偿器。利用这些性质，我们推导出以下等效陈述（例如，【37】IV.3关于f-期望的最优停止：不规则情况35细节）：hM，M′it=0，0≤ t型≤ T a.s。<=> 是鞅<=> M′是鞅。为方便读者，我们声明了以下等效项，据我们所知，这些等效项在文献中并未明确规定。引理1 2。每小时1个∈ M、 下列性质是等价的：（i）对于所有可预测过程l∈ IHν，我们有h h，R·ls（e）~N（dsde），它=0，0≤ t型≤ T a.s.（ii）适用于所有可预测过程l∈ IHν，我们有（h，R·REls（e）~N（dsde））M=0。（iii）MPN(h·| P）=0，其中MPN（.| P）是给定的条件期望| P：=P Eunder the Doleans’s measures Mpn与概率P和随机测度N相关。证明：让我们证明（i）<=> （二）。通过对标量积（·，·）M的定义，我们得到了（h，R·REls（e）~N（dsde））M=e[h，R·REls（e）~N（dsde）iT]。因此，（i）=> （二）。让我们展示一下（ii）=> （i） 。

如果所有l∈ IHν，E【h h，R·ls（E）~N（dsde）iT】=0，然后，对于每个b边界可预测过程∈ IH，我们有e[ZTИtdh h，Z·ZEls（e）~N（dsde）it]=e[h h，Z·ZEИsls（e）~N（dsde）it]=0。自，每M∈ M、 ^1·hh，Mi=hh，^1。Mi（使用[8]或[24]的符号）。根据[8]（第6 II章第64页第141页），这意味着可积变化可预测过程a·：=h h，R·ls（e）~N（dsde）i·等于0，从而得出（II）=> （i） 。因此（i）<=> （二）。有待证明的是（ii）<=> （iii）。首先注意，（h，R·REls（e）~N（dsde））M=e（[h，R·REls（e）~N（dsde）]T）=e（R[0，T]×ehsls（e）N（dsde））=MPN(h·l·）。因此，属性（ii）可以写为MPN(h·l·）=0表示所有l·∈ IHν，这意味着MPN(h·| P）=0。因此，（ii）<=> （iii）。引理3.7的证明：设β>0和ε>0为β≥ε。我们注意到▄YT=ξT-ξT=0；此外，我们有-d▄Yt=▄f（t）dt+d▄At+d▄Ct--ZtdWt-REkt（e）N（dt，de）-dht。因此，我们可以看到，在[16]的词汇表中，Y是一个可选的强半鞅，分解为Y=~Y+M+A+B，其中Mt：=RtZsdWs+RtREks（e）~N（ds，de）+ht，在：=-Rtf（s）ds-Atand Bt：=-Ct-. 将Gal\'chouk-Lenglart公式（在[17]中更精确地使用了Corollary A.2）应用于eβtYt，并使用该Yt=0，以及性质hhc，W i=0，在这种情况下，使用[37]IV.3中的术语，可以说鞅M和M′是强正交的。还要注意，如果M，M′∈ M、 使用[37]IV.3中的术语，如果（M，M′）M=0，即E[MTM′T]=0，则鞅M和M′被称为弱正交。有关MPNand MPN（.|P）的定义，请参见[24]中的第III.1（3.10）和（3.25）章。36米。

GRIGOROVA等人几乎可以肯定地说∈ [0，T]，（12.1）eβTYt+Z]T，T]eβsZsds+Z]T，T]eβsdhhcis=-Z] t，t]βeβs（▄Ys）ds+2Z]t，t]eβs▄Ys▄f（s）ds+2Z]t，t]eβs▄-dAs- （公吨）-公吨）-Xt<s≤Teβs(Ys）+2Z[t，t[eβsYsdCs-Xt公司≤s<Teβs（▄Ys+-Ys）。式中（12.2）~Mt：=2Z]0，t]eβsYs-ZsdWs+2Z]0，t]eβsZE▄Ys-~ks（e）~N（ds，de）+2Z]0，t]eβs ~Ys-dhs。根据与[17]中相同的论点（详见[17]中引理3.2的证明），自β≥ε、 我们对等式r.h.s（12.1）的第一项和第二项之和进行了以下估计：-R] t，t]βeβs（▄Ys）ds+2R]t，t]eβs▄Ys▄f（s）ds≤ εR]t，t]eβsf（s）ds。我们还有r[t，t[eβsYsdCs≤ 0 andR]t，t]eβsYs-dAs≤ 我们给出了第二个不等式的详细参数（第一个不等式的参数相似）。我们有r]t，t]eβs~Ys-d▄As=R]t，t]eβs▄Ys-dAs公司-R] t，t]eβsYs-dAs。对于第一学期，我们编写了]t，t]eβsYs-dAs=R]t，t]eβs（Ys--Ys公司-)dAs=R]t，t]eβs（Ys--ξs）dAs+R]t，t]eβs（ξs-Ys公司-)dAs。第二个和与Ys一样是非正的-≥ξs（由Ys引起≥ ξs，对于所有s）。由于A的Skorokhod条件，FirstCommand等于0。因此，R]t，t]eβs▄Ys-dAs公司≤ 通过类似的论证，我们可以看到-R] t，t]eβsYs-dAs公司≤ 因此，R]t，t]eβsYs-dAs≤ 上述观察结果以及方程式（12.1）得出，对于所有t∈ [0，T]，（12.3）eβTYt+Z]T，T]eβsZsds+Z]T，T]eβsdhhcis≤ εZ]t，t]eβsf（s）ds- （公吨）-公吨）-Xt<s≤Teβs(Ys），我们从中得出kZkβ，kkkν，β，khkβ，M的估计值，然后得出| | | Y | | |β的估计值。估算k▄Zkβ、k▄kkν、β和k▄hkβ、M。首先注意，我们有：Xt<s≤Teβs(hs）+Z]t，t]eβs | | ks | |νds-Xt<s≤Teβs(Ys）=-Xt<s≤Teβs(As）-Z] t，t]eβsZE~ks（e）~N（ds，de）- 2Xt<s≤TeβsAshs- 2Xt<s≤Teβsks（ps）hs，其中，我们使用了过程A和N（·，de）“没有公共跳跃”，因为A（resp.N（·，de））只在可预测（resp。

完全无法访问）停止时间。具有f-期望的最优停止：不规则情况37，通过添加termR]t，t]eβs | | ks |νds+Pt<s≤Teβs(在不等式（12.3）的两侧，通过使用上述计算和众所周知的等式[~h]t=h▄hcit+P(~h）s，weget（12.4）eβt~Yt+Z]t，t]eβs~Zsds+Z]t，t]eβs | | | ks | |νds+Z]t，t]eβsd[~h]s≤ εZ]t，t]eβsf（s）ds- （M′T- M′t）- 2Xt<s≤TeβsAshs- 2ZTtd【】h，Z·ZEeβs▄ks（e）▄N（ds，de）】s，其中M′t=▄Mt+R]t，t]eβsRE▄ks（e）▄N（ds，de）（其中▄M由（12.2）给出）。通过使用Burkholder-Davis-Gundy不等式的经典变元，我们可以证明局部鞅M′是鞅。此外，由于▄h∈ M2，⊥, 通过Remark2.1，我们证明上述不等式（12.4）最后一项的期望值等于0。此外，由于▄h是鞅，对于每个可预测的停止时间τ，我们有[hτ/Fτ-] = 0（参见，例如，第一章，引理（1.21）（见[24]）。除此之外，由于▄A是可预测的，Aτ是Fτ--可测量（参见[24]中的第一章（1.40）-（1.42），这意味着[~Aτhτ/Fτ-] = AτE[hτ/Fτ-] = 因此，我们得到E[P0<s≤TeβsAshs]=0。通过应用t=0的（12.4），并在结果不等式的两侧取期望值，我们得到了▄Y+k▄Zkβ+k▄kkν，β+k▄hkβ，M≤ εkfkβ。我们推断kZkβ≤εk▄fkβ，k▄kkν，β≤ εkfkβ和khkβ，M≤ εkfkβ，这是期望的估计值（3.7）。| | | | | Y | | |β的估计值。从不等式（12.3）我们得出，对于所有τ∈ T0，T，a.s.，eβτYτ≤ εR]τ，T]eβsf（s）ds- （公吨）-Mτ），其中▄M由（12.2）给出。使用第一个Chasles关系f或s到Hastinc积分，然后取本质上的上确界τ∈ T0，与ab-ove不等式两边的期望值相比，我们得到（12.5）E[ess supτ∈T0，TeβτИYτ]≤ εkfkβ+2E[ess supτ∈T0，T | ZτeβsYs-ZsdWs |]+2E[ess supτ∈T0，T | ZτeβsYs-d▄hs |]+2E[ess supτ∈T0，T | Z]0，τ]eβsZE▄Ys-ks（e）~N（ds，de）|]。让我们考虑一下r.h.s.的第三项。

不平等（12.5）。通过Burkholder-DavisGundy不等式，我们得到了E[ess supτ∈T0，T | RτeβsYs-d▄hs▄]≤ cE【qRTe2βsYs-d【】h【】s】。这个不等式和平凡不等式ab≤a+blead to 2e[ess supτ∈T0，T | ZτeβsYs-d▄hs▄]≤ Esess s向上τ∈T0，TeβτИYτs8cZTeβsd[￠h]s≤|||~Y | | |β+4ck | hkβ，M.38 M.GRIGOROVA等。通过使用类似的参数，我们得到2E[ess supτ∈T0，TRτeβsYs-ZsdWs]≤|||Y | |β+4ckZkβ，以及（12.5）中最后一项的类似估计值f。通过（12.5），我们得到了| | | | Y | | |β≤εk▄fkβ+4c（k▄Zkβ+k▄kkν，β+k▄hkβ，M）。利用kZkβ，kkkν，β和khkβ，M的估计值（参见（3.7）），我们得到了| | | | Y | | |β≤ 4ε（1+12c）kfkβ，这是期望的结果。备注1 2。1我们注意到，该证明表明（3.7）和（3.8）的估计值也适用于无反射BSDE的简单情况。从这个结果，再加上引理2.1，并使用与定理4.1证明中相同的参数，我们很容易推导出无反射BSDE解的存在性和唯一性，并从定义2.2进行一般过滤。同样，我们可以在假设5.1下显示无反射BSDE与一般过滤的比较结果。引理1 2。2设f是满足假设5.1的Lipschitz驱动。设A为A=0时的非减量右连续可预测过程，C为C0时的非减量右连续适应纯非连续过程-= 0、Let（Y，Z，k，h）∈ S×H×Hν×M2，⊥满足-dYt=f（t，Yt，Zt，kt）dt+dAt+dCt-- ZtdWt公司-ZEkt（e）~N（dt，de）- dht，0≤ t型≤ T、 那么这个过程（Yt）就是一个强Ef超鞅。由于在过滤与W和N相关的特殊情况下，该证明依赖于与[17]中所示相同结果证明中使用的参数相同的参数，因此省略了该证明（参见。

【17】中的命题A.5，以及一些特定论点，由于一般过滤，这与之前引理的证明中使用的相似。补充：严格值。在这一节中，我们对一个密切相关的（非线性）最优停止问题给出了一些补充。设S为T0，T中的停止时间。我们用TS+停止时间τ的集合表示∈ T0，Twithτ>S a.S.，在{S<T}上，τ=T a.S.，在{S=T}上。非线性最优停止问题的严格值V+（S）（在时间S）由V+（S）：=ess supτ定义∈TS+EfS，τ（ξτ）。（13.1）我们注意到V+（S）=ξTa。s、 在{s=T}上。使用与值族（V（S））相同的参数∈T0，T，我们证明命题13.1严格值族（V+（S））S∈T0，这是一个强大的Ef Supermartingalfamily。存在一个唯一的右上半连续可选过程，用（V+t）t表示∈[0，T]，它聚集了族（V+（S））S∈T0，T.过程（V+T）T∈[0，T]是一个强Ef超鞅。带f-期望的最优停止：不规则情况39以下定理连接了Above严格值过程（V+t）t∈[0，T]带右极限处理（Vt+）T∈[0，T]，其中（Vt）与前面一样表示非线性问题（5.1）的值过程。定理13.1（i）严格值过程（V+t）是右连续的。（ii）对于所有S∈ T0，T，V+S=VS+a.S.（iii）对于所有S∈ T0，T，VS=V+S∨ ξSa。s、 定理的证明使用了以下初步结果，即严格值过程（V+t）在Ef条件期望中沿停止时间是右连续的。引理1 3。

1（Ef条件期望中沿停止时间的右连续性）严格值过程（V+t）沿Ef期望中的停止时间是右连续的，即对于每个θ∈ T0、T和每个停止时间序列（θn）n∈Nbelongingto T0，Tsch thatθn↓ θ、 我们有（13.2）limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）=V+θa.s.为了证明，我们回顾了下面的阶级声明：备注1 3。1让(Ohm, F、 P）为概率s速度。让A∈ F、 设（Xn）为实值随机变量序列。假设（Xn）将a上的a.s.收敛到一个随机变量x。然后，对于每个ε>0，limn→+∞P（{| X- Xn |<ε}∩ A） =P（A）。从这个性质可以看出，对于每个ε>0，都存在n∈ N因此，对于所有N≥ n、 P（{| X- Xn |<ε}∩ （A）≥P（A）。引理13.1的证明：Let n∈ N、 根据Ef的一致性性质，我们得到（13.3）Efθ，θN（V+θN）=Efθ，θN+1Efθn+1，θn（V+θn）a、 现在，由于过程（V+t）是一个强Ef-上鞅，我们有Efθn+1，θn（V+θn）≤ V+θn+1a。s、 使用这个不等式，再加上等式（13.3）和Efθ，θn+1，weobtaineefθ，θn（V+θn）的单调性≤ Efθ，θn+1（V+θn+1）a.s.因为这个不等式适用于每个n∈ N、 我们推导出随机变量序列Efθ，θn（V+θn）n∈Nis不减损。此外，由于过程（V+t）是一个强Ef-上鞅，我们有Efθ，θn（V+θn）≤ 每n的V+θa.s∈ N、 将极限取为N+∞, 我们就这样得到了→∞↑ Efθ，θn（V+θn）≤ V+θa.s.40 M.GRIGOROVA等。它仍然显示了逆不等式：（13.4）limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）≥ V+θa.s.通过矛盾的方式补充了这个不等式不成立的事实。然后，存在一个常数α>0，使得事件A由A定义：={limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）≤ V+θ- α} 满意度P（A）>0。根据A的定义，我们有（13.5）个极限→∞↑ Efθ，θn（V+θn）+α≤ V+θa.s。

对于值函数，存在一个优化序列（τp）p∈对于严格的值函数V+θ，也就是说，对于每个p∈ N、 τp∈ Tθ+，并且V+θ=跛行→∞↑ Efθ，τp（ξτp）a.s.通过Remark13.1（应用ε=α），我们得出存在p∈ N使得事件B由B定义：={V+θ≤ Efθ，τp（ξτp）+α}∩ Asatis fies P（B）≥P（A）。表示τpbyθ′，我们有v+θ≤ Efθ，θ′（ξθ′）+αa.s.通过不等式（13.5），我们得出（13.6）limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）+α≤ Efθ，θ′（ξθ′）a.s.关于B.让我们首先考虑一个更简单的情况，其中θ<T a.s.在这种情况下，由于θ′∈ Tθ+，我们有θ′>θa.s。因此，我们有Ohm = ∪n∈N↑ {θ′>θn}a.s.确定停止时间θn：=θ′{θ′>θn}+T 1{θ′≤θn}。我们注意到θn∈ Tθ+对于每个n∈ N、 此外，limn→∞θn=θ′a.s.和limn→∞ξθn=ξθ′a.s.根据ef关于终端条件和终端时间的连续性，我们得到了limn→∞Efθ，θn（ξθn）=Efθ，θ′（ξθ′）a.s。通过Remark13.1，我们推导出存在n∈ N使得事件C由C定义：={| Efθ，θ′（ξθ′）- Efθ，θn（ξθn）|≤α}∩ b具有f-期望的最佳停止：不规则情况41满足P（C）>0。通过不等式（13.6），我们得出（13.7）limn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）+α≤ Efθ，θn（ξθn）a.s.在C上。现在，通过Ef的一致性，我们得到Efθ，θn（ξθn）=Efθ，θnEfθn，θn（ξθn）≤ Efθ，θn（V+θn）a.s.，其中最后一个不等式来自θn∈ Tθ+与，根据v+θn的定义。通过（13.7），我们由此导出thatlimn→∞↑ Efθ，θn（V+θn）+α≤ Efθ，θn（V+θn）a.s.在C上，这给出了一个矛盾。因此，理想的不等式（13.4）成立。现在让我们考虑一个广义θ∈ 在集合{θ=T}上，对于所有n，我们有θn=θa.s。因此，在{θ=T}上，我们有limn→∞Efθ，θn（V+θn）=集合{θ<T}上的V+θa.s，使用与上述相同的参数，θn=θ′{θ′>θn}∩{T>θ}+T 1{θ′≤θn}∪{T=θ}，我们给出了不等式（13.4）。证据是完整的。

我们现在准备证明这个定理。定理证明13.1：（i）的证明基于之前的引理13.1和过程一般理论的结果。让我们∈ T0，Tand让（Sn）是TS+中具有lim的停止时间的非递增序列↓ Sn=S a.S。通过应用引理13.1和Ef期望关于终端条件和终端时间的连续性，我们得到v+S=limn→∞EfS，Sn（V+Sn）=EfS，S（limn→∞V+Sn）=limn→∞V+Sn，我们使用limn的地方→∞V+S存在，因为（V+t）是一个强Ef超鞅，因此有正确的极限。上述等式表明，过程（V+t）沿停止时间是正确的连续过程。通过[6]中的命题2，我们得出结论，（V+t）是右连续的。我们现在展示（ii）。让我们∈ T0，T。设（Sn）为带lim的TS+中停止时间的非递增序列↓ Sn=S a.S.我们知道Vτ≥ V+τa.s.，对于所有τ∈ T0，T。因此，VSn≥ V+Sna。s、 ，对于所有n，我们推导出limn→∞VSn公司≥ 画→∞V+Sna。s、 利用这一点和（i）中建立的V+的右连续性，得出+≥ V+Sa。s、 为了展示逆向质量，我们首先展示了（13.8）EfS、Sn（VSn）≤ V+Sa。s、 对于所有n.42 M.GRIGOROVA等人，我们计算n并取（τp）∈ TSnan针对VSn值问题优化序列f，即VSn=跛行→∞EfSn，τp（ξτp）。我们有（13.9）EfS，Sn（VSn）=EfS，Sn（limp→∞EfSn，τp（ξτp））=跛行→∞EfS，Sn（EfSn，τp（ξτp））a.s.，其中我们使用了EfS，Sn（·）关于终端条件的连续性特性（回忆一下，这里n是固定的）。利用Ef期望的一致性性质，我们得到EfS，Sn（EfSn，τp（ξτp））=EfS，τp（ξτp）≤ V+Sa。s、 （对于不等式，我们使用了τp∈ TS+。由此，结合方程式（13.9），我们推导出所需的不等式（13.8）。

从不等式（13.8），再加上Ef期望相对于终点时间和终点条件的连续性，我们推导出V+S≥ 画→∞EfS，Sn（VSn）=EfS，S（VS+）=VS+a.S。因此，V+S≥ VS+a.s.，它与前面显示的逆不等式一起证明了等式VS+=V+Sa。s、 陈述（iii）是第（ii）部分（我们刚刚展示）与Remark2.3和定理10.1的直接结果。备注1 3。2通过与上述定理13.1中陈述（i）的证明相同的论点，可以显示以下一般陈述：如果强Ef超鞅在Ef条件期望中沿停止时间右连续，则它是右连续的。14、A确认。作者非常感谢Klébert Kentia的有益评论。作者还感谢Sigurd As sing的有益评论，感谢Marek Rutkowski和Tianyang Nie的有益讨论。参考文献[1]Bayraktar E.和S.Yao（2011）：非线性期望的最优停止，随机过程及其应用121（2），185-211和212-264。[2] Barles G.、R.Buckdahn和E.Pardoux（1997）：反向随机微分方程和积分偏微分方程，随机和随机报告，60，57-83。[3] Bayraktar E.、I.Karatzas和S.Yao（2010）：动态凸风险度量的最优停止，伊利诺伊州数学杂志，54（3），1025-1067。[4] Bouchard B.、D.Possama"i和X.Tan（2016）：超级马丁格尔系统的一般Doob-Meyer-Mertens分解，电子概率杂志21，第36号论文，21页。[5] Crépey S.和A.Matoussi（2008）：《带跳跃的反射和双重反射BSD Es：先验估计和比较》，《应用概率年鉴》，18（5），2041-2069。[6] Dellacherie C.和E。

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