具有f期望的最优停车：不规则情况

2022-5-30 21:41:14

在[S，T]和EfS中，τ（·）表示当终端时间为τ时，在时间S处的条件f-期望/评估。在布朗过滤和连续财务头寸/支付过程ξ的情况下，上述非线性问题已在【14】中引入，并应用于美式期权的（非线性）定价。然后，它吸引了相当大的兴趣，尤其是关键词和短语：反向随机微分方程、最优停止、f-期望、非线性期望、聚合、动态风险度量、美式期权、强Ef超鞅、Snellenvelope、反射反向随机微分方程、比较定理、Tanaka型公式、，general filtration2 M.GRIGOROVA ET AL.由于其与动态风险度量的联系（参见，例如，[3]）。在金融头寸/支付过程ξ的情况下，仅假设是右连续的，在[39]（布朗-泊松过滤的情况）和[1]中研究了这一非线性最优停止问题，其中非线性期望假设是凸的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-30 21:41:17

据我们所知，[17]是第一篇在非右连续过程ξ（具有布朗泊松滤波）的情况下解决s topping问题（1.1）的论文；在[17]中，先前文献中ξ的右连续性假设被较弱的右上半连续性假设（r.u.s.c.）所取代。在本论文中，我们研究了一般过滤情况下的问题（1.1），没有对ξ进行任何规律性假设，这使得建模具有f或更大的灵活性（相比于更规则的支付和/或特定过滤的情况）。解决经典最优停止问题的常用方法（即案例f≡ 0in（1.1））是一种直接方法，基于对价值族（V（S））的直接研究∈T0，T。该方法中的一个重要步骤是通过optionalprocess聚合价值族。文献中用于解决非线性情况（其中f不一定等于0）的方法是RBSDE方法，基于对相关反射BSDE的研究，并将反射BSDE的解与值族（V（S），S）直接联系起来∈ T0，T）（从而特别避免了更多的技术聚合问题）。这种方法（参见，例如，[17]、[39]）至少需要报酬过程ξ的上半连续性，而我们在这里没有（参见，也有Remark10.1）。这两种方法都不适用于本文件的总体框架，我们采用了一种结合了这两种方法某些方面的新方法。我们的组合方法如下：首先，借助过程一般理论的一些结果，我们证明了价值家族（V（S），S∈ T0，T）可以通过唯一的右上半连续可选过程（Vt）T聚合∈[0，T]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:41:20

我们描述了价值过程（Vt）t∈[0，T]作为ξ的Ef-Snell包络，即大于或等于ξ的最小强Efsupermartingale。然后，我们转向建立价值过程（Vt）的内部特征∈[0，T]就反射BSDE而言，其中（1.1）中的扩散过程ξ起到了较低障碍的作用。我们强调，我们的方法中的RBSDE部分远远没有模仿r.u.s.c.案例；由于过程ξ的完全不规则性，我们不得不依赖非常不同的论点。让我们回顾一下，El Karoui等人在最后的论文【13】中，在布朗过滤和连续障碍的情况下引入了反射BSDE，然后在【21】、【5】、【22】、【15】、【23】、【39】中，将其推广到右连续障碍和/或比布朗基础更大的随机基础的情况。在[17]中，我们提出了在障碍物仅为右上半连续（但可能不是右连续）且过滤为布朗泊松过滤具有f-期望最优停止的情况下的反射BSDE的概念：不规则情况3显示解的存在性和唯一性。在本文中，我们证明了在完全不规则障碍和一般过滤的情况下，从[17]得到的存在性和唯一性结果仍然成立。在最近的预印本【27】中，通过使用不同的方法，即惩罚方法，证明了解决方案（在布朗框架中）的存在性和唯一性。我们还建立了具有不规则障碍和一般过滤的RBSDE的比较结果。由于障碍物完全不规则且存在跳跃，我们采用了一种不同于RBSDE比较文献中现有方法的方法（参见R emark9.2）；特别是，我们首先证明了Gal\'chouk-Lenglart公式的推广（参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:41:24

[16] 和[32]），然后我们巧妙地将其应用到我们的框架中，以建立比较定理。我们还展示了强Ef超鞅的Ef-Mertens分解，它概括了文献中提供的框架（参见[17]或[4]）。该结果与我们的比较定理一起，有助于研究非线性算子Reff，该算子将给定（完全不规则）障碍映射到具有驱动力f的RBSDE的解。通过利用算子Reff的性质，我们证明了Reff[ξ]，即具有不规则障碍ξ和驱动力f的反射BSDE的解的（第一个组成部分），等于ξ的Ef-Snell包络，由此我们得出它与valueprocess（Vt）t一致∈问题（1.1）的[0，T]。最后，我们给出了在不完善市场模型下，不规则支付的美式期权定价问题的一个金融应用。特别是，我们证明了具有不规则支付函数ξ的美式期权的s超hedgingPrice是关联RBSDE的解（其中ξ是较低的障碍）。数字美国选项的一些例子作为特例给出。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们给出了一些初步定义和一些符号。在第3节中，我们重新讨论了具有不规则支付过程ξ和一般过滤的经典最优停止问题。我们首先给出了一些一般结果，如聚合、价值过程的Mertens分解、相关非递减过程满足的Skorokhod条件；然后，我们将经典问题的值过程描述为与一般过滤、完全不规则障碍和不依赖于解的驱动因素f相关的反射BSDE的解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-30 21:41:27

在第4节中，我们证明了一般Lipschitz驱动f、不规则障碍ξ和一般滤波解的存在唯一性。在第5节中，我们给出了非线性最优停止问题（1.1）的公式。在第6节中，我们提供了Payoffξ为右上半连续（r.u.s.c）的特殊情况下的一些结果，由此，我们在一般过滤的（一般）框架中导出了Ef强超鞅的Ef Mertens分解（参见第7节）。然后，我们转向M.GRIGOROVA等人对ξ完全不规则情况的研究。第8节专门讨论我们解决这个问题的方法的直接部分；特别地，我们给出了聚合结果和Snell特征。第9节致力于确定具有完全不规则障碍的反射BSD的一些属性，这将用于确定完全不规则情况下问题（1.1）的价值过程的基本特征；更准确地说，我们首先提供了一个比较定理（第9.2小节）；然后，利用这一结果和Ef Mertens分解，我们建立了非线性算子Reff的有用性质（第9.3小节）。在第10节中，利用前面几节中所示的结果，我们根据第4节中我们的一般RBSDE的解，推导出了具有完全不规则payoffξ的非线性最优停止问题（1.1）值的最小特征。在第11节中，我们给出了在一个有跳跃的不完美市场模型中，不规则支付的美式期权定价的财务应用；我们还提供了一个有用的微元特征推论，即具有不规则障碍物和一般过滤的RBSDE通用常数的先验估计。2、前期工作。设T>0为固定的正实数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:41:32

设E=Rn \\{0}，E=B（Rn \\{0}），我们为其配备σ-有限正测度ν。让(Ohm, F、 P）是具有右连续完全过滤的概率空间，如果{Ft:t∈ [0，T]}。设W为一维IF-Brownian运动W，N（dt，de）为带补偿器dt的IF-Poisson随机测度 ν（de），支持独立于W。我们用N（dt，de）表示补偿过程，即N（dt，de）：=N（dt，de）- dt公司 ν（de）。我们用p（resp.O）表示上的可预测（resp.optional）σ-代数Ohm ×[0，T]。符号L（FT）表示FT可测且s平方可积的随机变量空间。对于t∈ [0，T]，我们用Tt，T表示停止时间τ的集合，使得P（T≤ τ≤ T）=1。更一般地，对于给定的停止时间S∈ T0，T，我们用TS，T表示停止时间τ的集合，使得P（S≤ τ≤ T）=1。我们还使用以下符号：oLν是（E，B（R））-可测函数集l : E→ R使得klkν：=RE|l（e） |ν（de）<∞. 对于l ∈ Lν，k∈ Lν，我们定义hl, k iν：=REl（e） k（e）ν（de）。oih是kφkIH的R值可预测过程集φ：=EhRT |φt | dti<∞.o IHν是R值过程l的集合：（ω，t，e）∈ (Ohm ×[0，T]×E）7→ lt（ω，e）是可预测的，也就是（PE，B（R））-可测量，且klkIHν：=EhRTkltkνdti<∞.o 如[17]中所述，我们用R值可选（不一定是cadlag）过程φ的向量空间表示，使得| | | |φ| | S：=E[ess supτ∈T |φτ|]<∞. 根据[17]中的命题2.1，映射| | | |·| | | | | | |是S上的一个范数，与此范数一起发送的是一个Banach空间设Mbe为平方可积鞅集M=（Mt）t∈[0，T]，M=0。具有f-期望的最优停止：不规则情况5这是一个具有s标度积（M，M′）M的希尔伯特空间：=E[MTM′T]（=E[hM，M′）=E（[M，M′）T）），对于M，M′∈ M（参见，例如，【37】IV.3）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:41:36

每M∈ M、我们设置kMkM：=E（MT）。o让M2，⊥是鞅h的子空间∈ M满足hh，W i·=0，并且对于所有可预测的过程l∈ IHν，（2.1）hh，Z·ZEls（e）~N（dsde）it=0，0≤ t型≤ T a.s.备注2。1注意，条件（2.1）等效于方括号过程[h，R·REls（e）~N（dsde）]是鞅的事实（参见附录中的附加注释条件（2.1））。还记得，条件hh，W i·=0 i相当于h（在标量积（·，·）M的意义上）对于形式r·zsdWs的所有随机积分的正交性，其中z∈ IH（参见[37]IV.3引理2）。类似地，条件（2.1）等价于h关于形式r·REls（e）~N（dsde）的所有s-tochastic积分的正交性，其中l∈ IHν（参见附录中的引理12.1）。我们回顾了M中鞅的以下正交分解性质（参见[25]中的Lemmaii.4.24）。引理2。每米1个∈ M、存在唯一的三重态（Z、l、h）∈ IH×IHν×M2，⊥使（2.2）Mt=ZtZsdWs+ZtZElt（e）~N（dt，de）+ht， t型∈ [0，T]a.s.definition 2.1（Dr i ver，Lipschitz driver）如果函数f：Ohm ×[0，T]×R×Lν→ R（ω，t，y，z，k）7→ f（ω，t，y，z，k）是P B（R） B（Lν）- 可测量，oE【RTf（t，0，0，0）dt】<+∞.如果存在常数K，则称驱动程序f i为Lipschitz驱动程序≥ 0，这样dp dt-a.e。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-30 21:41:40

，对于每个（y、z、k）∈ R×Lν，（y，z，k）∈ R×Lν，| f（ω，t，y，z，k）- f（ω，t，y，z，k）|≤ K（| y- y |+| z- z |+kk- kkν）。定义2.2（BSD E，条件f-期望）我们有（参见附录中的Remark12.1）如果f是Lipschitz驱动，如果ξ在L（FT）中，则存在唯一解（X，π，L，h）∈ S×IH×IHν×M2，⊥至以下BSDE：-dXt=f（t，Xt，πt，lt）dt- πtdWt-RElt（e）~N（dt，de）- dht；XT=ξ。对于t∈ [0，T]，（非线性）算子Eft，T（·）：L（FT）→ L（Ft），映射给定的6 M.GRIGOROVA ET AL.终端条件ξ∈ L（FT）到上述BSDE解的第一个分量的位置Xt（在时间t处）被称为条件f-时间t处的期望。通常，这个概念可以扩展到（确定性）终止时间t被（更一般的）停止时间τ代替的情况∈ T0，T，T被停止时间S代替，使得S≤ τa.s.，算子的域L（FT）被L（Fτ）代替。现在我们来谈谈反射式BSDE的概念。设T>0为固定终端时间。让fbe成为一名司机。设ξ=（ξt）t∈[0，T]是S中的一个过程。我们定义了过程（ξT）T∈]0，T]byξT：=直线上升↑t、 s<tξs，对于所有t∈]0，T]。我们重申ξ是一个可预测的过程（参见[7，Thm.90，第225页]）。过程ξ是左上半连续的，称为ξ的左上半连续包络。定义2.3（反映BSD E）过程（Y、Z、k、h、A、C）被称为参数（f、ξ）反映BSD的解决方案，其中f是驱动因素，ξ是S中的过程，如果（Y、Z、k、h、A、C）∈ S×IH×IHν×M2，⊥×S×S，- dYt=f（t，Yt，Zt，kt）dt+dAt+dCt-- ZtdWt公司-ZEkt（e）~N（dt，de）- dht，0≤ t型≤ T、（2.3）YT=ξTa。s、，年至今≥ ξt对于所有t∈ [0，T]，a.s.，a是一个非减量右连续可预测过程，a=0，因此zt{Yt->ξt}dAct=0 a.s。和（Yτ-- ξτ）（Adτ- Adτ-) = 0 a.s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:41:43

对于所有可预测τ∈ T0，T，（2.4）C是一个具有C0的非减量右连续自适应纯间断过程-= 0且（Yτ- ξτ）（Cτ- Cτ-) = 所有τ均为0 a.s∈ T0，T.（2.5）此处Ac表示过程A的连续部分和施工支洞的不连续部分。方程式（2.4）和（2.5）被称为最小条件或斯科罗霍德条件。对于实值随机变量X和Xn，n∈ 在中，符号“Xn↑ X“代表”序列（Xn）是非减量的且收敛到X a.s.。对于拉德拉格过程φ，我们用φt+和φt表示-φatAs的左右极限通常为公式（2.3），表示a.s.，对于所有t∈ [0，T]，我们有：Yt=Yt+ZTtf（s，Ys，Zs，ks）ds-ZTtZsdWs-ZTtZEks（e）~N（ds，de）- hT+hT+AT- At+CT-- Ct-.具有f-期望的最佳停车：不规则情况7t。我们表示为+φt：=φt+-φt在t处φ的右跳跃的大小，以及φt：=φt-φt-t处φ左跳跃的大小。备注2。2在ξ有左极限的特殊情况下，我们可以用左极限过程（ξt）代替过程（ξt-) 在S korokhod条件下（2.4）。备注2。3如果（Y、Z、k、h、A、C）是上述RBSDE的解决方案，则由（2.3）得出Ct=Yt- Yt+，这意味着Yt≥ Yt+，对于所有t∈ [0，T）。因此，Y是r.u.s.c。此外，从cτ- Cτ-= -（Yτ）+- Yτ），结合Skorokhod条件（2.5），我们得出（Yτ- ξτ）（Yτ+- Yτ）=0，对于所有τ∈ T0，T.这与Yτ一起≥ ξτandYτ≥ Yτ+a.s.，导致Yτ=Yτ+∨ ξτa.s.所有τ∈ T0，T.定义2.4 Letτ∈ T、如果对于所有停止时间τ，则称可选过程（φT）沿停止时间为右上半连续（分别为左上半连续）∈ tand对于停止时间（τn）的所有非递增（或非递减）序列，使得τn↓ τ（分别为τn↑ τ）a.s.，φτ≥ 林尚→∞φτna。s3、经典的最优停车问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-30 21:41:47

在本节中，我们将重新讨论具有不规则支付过程和一般过滤的经典（线性）最优停止问题。3.1。重新讨论了经典线性最优排序问题。Let（ξt）t∈[0，T]是属于S的流程，称为奖励流程或支付流程。对于每个S∈ T0，T，we确定时间S处的值v（S）by v（S）：=ess supτ∈TS，TE[ξτ| FS]。（3.1）引理3。1（i）存在ladlag可选流程（vt）t∈[0，T]集合了族（v（S））S∈T0，T（即vS=v（S）a.S.对于所有S∈ T0，T）。此外，过程（vt）t∈[0，T]是大于或等于（ξT）T的最小强上鞅∈[0，T]。（ii）我们有vS=ξS∨ vS+a.s.适用于所有s∈ T0，T.（iii）对于每个S∈ T0，每个λ的Tand∈]0，1[，进程（vt）t∈[0，T]是[S，τλS]上的鞅，其中τλS：=inf{T≥ S，λvt（ω）≤ ξt}。的Pro。这些结果是由于最优停止理论的经典结果。对于前两个断言的证明，读者可以参考命题证明。注意，在不一定是非负支付过程ξ的情况下，该结果可以通过鞅XS进行转换：=E[ess supτ∈T0，Tξ-τ| FS]（参见[30]中的附录A）。更准确地说，该性质适用于▄v：=v+X和▄ξ=ξ+X.8 M.GRIGOROVA等人A.5，见附录【17】（其仍然适用于一般过程ξ∈ S）。最后一个断言对应于最优停止理论的结果（参见[33]、[12]或引理2.7in[28]）。其证明基于Maingueneau（1978）引入的惩罚方法（用于凸分析）（参见[33]中定理2的证明），该方法不需要对奖励过程ξ进行任何正则性分析。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:41:50

备注3。1从上述引理的（ii）中可以得出：+vS=1{vS=ξS}+vSa。s、备注3。2让我们注意到，为了进一步参考，Maingueneau的惩罚方法显示了[s，τλs]上的鞅性质（上述引理中的性质（iii）），严重依赖于问题的凸性。引理3。2（i）Lemma3.1的值过程V属于Sand，允许以下（Mertens）装饰位置：（3.2）vt=V+Mt- 在- Ct-, 对于所有t∈ [0，T]a.s.，其中M∈ M、 A是一个非减量右连续可预测过程，使得A=0，E（AT）<∞, C是一个非减量右连续自适应纯不连续过程，使得C0-= 0，E（CT）<∞.（ii）对于每个τ∈ T0，T，我们有Cτ=1{vτ=ξτ}Cτa.s.（iii）对于每个可预测τ∈ T0，T，我们有Aτ=1{vτ-=ξτ}的AτA.s.Pro。根据引理3.1（i），过程（vt）t∈[0，T]是一个强超鞅。此外，利用鞅不等式，可以证明E[ess-supS∈T0，T | VS |]≤ c | | |ξ| | | S。因此，过程（vt）t∈[0，T]在S中（更确切地说，属于（D）类）。对类（D）的强超鞅应用梅腾斯分解（参见，例如，[8，附录1，Thm.20，等式（20.2）]）给出了分解（3.2），其中M是一个cadlag一致可积鞅，a是一个非递增右连续可预测过程，使得a=0，e（AT）<∞, C是一个非减量右连续适应的纯间断过程，使得C0-= 0，E（CT）<∞. 基于Dellacherie Meyer[8]的一些结果（参见[17]中的定理A.2和推论A.1），我们得出∈ 砂C∈ S、这给出了断言（i）。Letτ∈ T0，T。通过Remark3.1和Mertens分解（3.2），我们得到Cτ=-+vτa.s.如下所示Cτ=1{vτ=ξτ}Cτa.s.，对应于（ii）。断言（iii）（关于A的跳跃）是由于El-Karoui（[12，命题2.34]）注意，El-Karoui[12]中的证明是针对非负p ay-o ffξ给出的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-30 21:41:54

为了从这一点转移到ξ也可能取负值的更一般的情况，我们应用El Karoui[12]的结果，其中ξ：=ξ+X（非负）和v：=v+X，其中过程X=（Xt）由Xt：=E[ess supτ]定义∈T0，Tξ-τ| Ft]。然后我们注意到，Mertens分解的Mertens过程（A，C）以f-期望最优停止：不规则情况9其证明基于等式AS=AτλSa。s、，对于每个s∈ T0，每个λ的Tand∈]0，1[（源自引理3.1（iii）和梅尔滕斯分解（3.2））。在“更规则”的情况下（例如，右上半连续的情况，参见[29]），连续部分的以下最小属性是众所周知的。在完全不规则ξ的情况下，此最小值属性不明确可用。直到最近，它才被布朗框架中的[27]（参见命题3.7）所证明。在这里，我们通过使用不同的分析论据将[27]的结果推广到一般过滤的情况。引理3。3 A的连续部分A满足等式T{vt->ξt}dAct=0 a.s.Pro of。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-30 21:41:59

至于A的不连续部分，证明基于Lemma3.1（iii），并且还使用了一些类似于Karatzasand Shreve（1998）（[26]）中定理D13证明中使用的分析参数。我们必须证明RT（vt-- ξt）dAct=0 a.s.Lemma3.1（iii）得出每个s∈ T0，每个λ的Tand∈]0，1[，我们有AS=AτλSa.s。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设对于每个ω，映射t 7→ Act（ω）是连续的，映射t 7→ vt（ω）是左极限的，对于所有λ∈]0，1[∩Q和t∈ [0，T[∩Q、我们有At（ω）=Aτλt（ω）。让我们用J（ω）表示非减量函数t 7的集合→ Act（ω）是“flat”：J（ω）：={t∈]0，T[，δ>0，有Act-δ（ω）=Act+δ（ω）}集合J（ω）是开放的，因此可以写成不相交数的可数并：J（ω）=∪i] αi（ω），βi（ω）[我们考虑（3.3）^J（ω）：=∪i] αi（ω），βi（ω）]={t∈]0，T]，δ>0，有Act-δ（ω）=Act（ω）}。我们有t^J（ω）dAct（ω）=Pi（Acβi（ω）（ω）- Acαi（ω）（ω））=0。因此，非减量函数t 7→ Act（ω）是^J（ω）上的“fl”。现在我们引入k（ω）：={t∈]0，T]s.T.vt-（ω） >ξt（ω）}我们接下来证明，对于几乎每个ω，K（ω）^J（ω），它清楚地提供了所需的结果。让t∈ K（ω）。让我们证明t∈^J（ω）。因此，通过（3.3），我们必须证明v的分解与v的Mertens分解的Mertens过程（A，~C）相同（实际上，只有两个d生态成分的可分割部分与X不同）。此外，我们看到集合{vτ-= ξτ}与v被▄v替换，ξ被▄ξ替换的集合相同（这是因为X是鞅，因此具有左极限；soXt=Xt-).10 M.GRIGOROVA ET AL.存在δ>0，因此Act-δ（ω）=Act（ω）。自t起∈ K（ω），我们有vt-（ω） >ξt（ω）。因此，存在δ>0和λ∈]0, 1[∩Q使t- δ∈ [0，T[∩Q和每个r∈[t- δ、 t[，λvr（ω）>ξr（ω）。通过定义τλt-δ（ω），可以得出τλt-δ（ω）≥ t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:42:03

现在，我们有acτλt-δ（ω）=Act-δ（ω）。从地图s 7开始→ Acs（ω）是非减量的，我们得到Act（ω）=Act-δ（ω），这意味着t∈^J（ω）。因此我们有K（ω）^J（ω），完成了证明。备注3。3我们注意到，引理3.1的断言（iii）中的鞅性质对于过程A的最小条件的证明（即，对于引理3.2的断言（iii）和引理3.3的证明）是至关重要的。3.2。具有附加瞬时报酬的经典线性最优停止问题。在本小节中，我们将前面的结果推广到这样的情况，即除了正向过程ξ之外，还有一个额外的运行（或瞬时）奖励过程f∈ IH。更精确地说，let（ξt）t∈[0，T]是属于S的流程，称为奖励流程或支付流程。设f=（ft）t∈[0，T]是一个可预测的过程，具有E[RTftdt]<+∞, 称为即时奖励过程。对于每个S∈ T0，T，我们确定时间S的值V（S）by V（S）：=ess supτ∈TS，TE[ξτ+ZτSfudu | FS]。（3.4）这相当于v（S）+ZSfudu：=ess supτ∈TS，TE[ξτ+Zτfudu | FS]。（3.5）因此，前一小节的结果可以用ξ·替换为ξ·R·fudua，用v（S）+RSfudu替换v（S）。这里是一个简短的总结。引理3。4（i）存在ladlag可选流程（Vt）t∈[0，T]集合了族（V（S））S∈T0，T（即VS=V（S）a.S.对于所有S∈ T0，T）。此外，工艺（Vt+Rtfudu）t∈[0，T]是大于或等于（ξT+Rtfudu）T的最小强超鞅∈[0，T]。（ii）我们有VS=ξS∨ VS+a.s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-30 21:42:07

f或所有S∈ T0，T.备注3。4根据上述引理中的（ii）可知+VS=1{VS=ξS}+VSa。s、引理3。5（i）Lemma3.4的值过程V属于Sand，它承认以下（Mertens）装饰位置：（3.6）Vt=V-Ztfudu+Mt- 在- Ct-, 对于所有t∈ [0，T]a.s.，f-期望最优停车：不规则情况11m∈ M、 A是一个非减量右连续可预测过程，使得A=0，E（AT）<∞, C是一个非减量右连续自适应纯不连续过程，使得C0-= 0，E（CT）<∞.（ii）对于每个τ∈ T0，T，我们有Cτ=1{Vτ=ξτ}Cτa.s.（iii）对于每个可预测τ∈ T0，T，我们有Aτ=1{Vτ-=ξτ}AτA.s.引理3。6 A的连续部分A满足等式T{Vt->ξt}dAct=0 a.s。3.3。作为RBSDE解的值函数的特征。在本小节中，我们使用上述引理证明，经典最优停车问题（3.4）的值过程V通过参数驱动过程（ft）和障碍物（ξt）从定义2.3中求解RBSDE。我们还证明了该RBSDE解的唯一性。为此，我们首先在总体框架中提供RBSDE的先验估计。引理3。7（先验估计）Let（Y，Z，k，h，A，C）（分别为（Y，Z，k，h，A，C））∈ S×IH×IHν×M2，⊥×S×Sbe与驱动器f（ω，t）（分别为f（ω，t））和障碍物ξ相关的RBSDE的解。We s et▄Y：=Y- Y、 Z：=Z- Z、 A：=A- A、 C：=C- C、 k：=k- k、 h：=h- h、和▄f（ω，t）：=f（ω，t）- f（ω，t）。存在SC>0，因此对于所有ε>0，对于所有β≥εwe havekZkβ≤ εk▄fkβ，k▄kkν，β≤ εkfkβ和khkβ，M≤ εkfkβ。（3.7）| | | Y | | |β≤ 4ε（1+12c）kfkβ。（3.8）Pro of。附录中给出了证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-30 21:42:10

利用这些先验估计、前一小节中的引理和正交鞅分解（引理2.1），我们得出了值过程V的以下“细节特征”。定理3.1设V为最优停止问题（3.4）的值过程。设A和C是与V的Mertens分解（3.6）相关的非递减过程。存在唯一的三重态（Z，k，h）∈ IH×IHν×M2，⊥因此，过程（V，Z，k，h，A，C）是定义2.3中RBSDE的解，与驱动过程f（ω，t，y，Z，k）=ft（ω）和障碍物（ξt）相关。此外，这种RBSDE的解决方案是独特的。的Pro。根据引理3.4（ii），对应于最优停止问题（3.4）的值过程V满足VT=V（T）=ξTa。s、和Vt≥ ξt，0≤ t型≤ 根据引理3.5（ii），V（3.6）的Mertens分解过程C满足最小条件（2.5）。此外，根据引理3.5（iii）和引理3.6，该过程满足最小条件12 M.GRIGOROVA等人的条件（2.4）。根据引理2.1，存在唯一的三重态（Z，k，h）∈ IH×IHν×M2，⊥这样，dMt=ZtdWt+REkt（e）~N（dt，de）+dht。因此，过程（V、Z、k、h、A、C）是与驱动过程（ft）和障碍物ξ相关的RBSDE（2.3）的解决方案。它仍然需要显示解决方案的唯一性。使用引理3.7中的先验估计，以及经典参数（参见[17]中引理3.3证明的步骤5），我们得到了期望的结果。我们有兴趣将此结果推广到具有非线性f-期望（与非线性驱动因子f（ω，t，y，z，k）的最优停止问题（1.1）的情况。为此，在一般（非线性）Lipschitz驱动因子f（ω，t，y，z，k）的情况下，我们首先从定义2.3建立RBSDE的存在性和唯一性结果。4.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:42:14

在一般驾驶员的情况下，具有不规则障碍和一般扰动的RBSDE解的存在性和唯一性。在理论3.1中，我们已经证明，在驱动程序不依赖于y、z和k的情况下，定义2.3中的RBSDE允许一个唯一的解决方案。利用这个结果以及引理3.7中的上述先验估计，我们在一般Lipschitz驱动f（t，y，z，k）的情况下得出了以下存在性和唯一性结果。定理4.1（存在唯一性）设ξ为沙中的一个过程，设f为Lipschitz驱动。定义2.3中带有参数（f，ξ）的RBSDE允许唯一解（Y，Z，k，h，a，C）∈ S×IH×IHν×M2，⊥×S×S.Pro的。对于每个β>0，我们用Bβ表示Banach空间S×IH×IHν，该空间与由k（Y，Z，k）kBβ定义的范数k（·，·，·）kBβ相乘：=| | | Y | | |β+kZkβ+kkkν，β，表示（Y，Z，k）∈ S×IH×IHν。我们将Φ从Bβ到自身的映射定义如下：f或给定（y，z，l）∈ Bβ，我们设置Φ（y，z，l）：=（y，z，k），其中y，z，k是与驱动过程f（s）：=f（s，ys，zs，ls）和障碍ξ相关的RBSDE的解（y，z，k，h，A，C）的前三个分量。映射Φ由定理3.1很好地定义。利用引理3.7中的a先验估计以及与文献[17]中定理3.4的证明类似的计算，我们得出Φ是范数k·kBβ的收缩。根据Banach空间Bβ中的不动点定理，映射Φ因此允许一个唯一的不动点，该不动点对应于具有参数（f，ξ）的R BSDE的唯一解。备注4。1在[27]中，上述存在唯一性结果用惩罚方法在布朗框架中给出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-30 21:42:17

我们的方法提供了这个结果的另一种证明。带f-期望的最优停止：不规则情况13我们现在提供RBSDE解决方案的usef-ul属性，该属性将在续集中使用。引理4。1（Y的Ef鞅性质）设ξ为沙中的一个过程，设f为aLipschitz驱动。设（Y，Z，k，h，A，C）为反射BSDE的解，参数（f，ξ）如定义2.3所示。对于每个S∈ T0，Tand对于每个ε>0，我们设置（4.1）τεS：=inf{t≥ S，Yt≤ ξt+ε}。过程（Yt）是[s，τεs]上的Ef鞅。证明：一般过滤的证明与[17]中引理4.1（陈述（ii））的证明相同，此处给出的证明是为了方便读者。通过定义τεS，我们得到：对于a.e.ω∈ Ohm, 对于所有t∈ [S（ω），τεS（ω）[，Yt（ω）>ξt（ω）+ε。因此，根据A的Skorokhod条件，我们得到了A.e.ω的条件∈ Ohm, 功能t 7→ Act（ω）在[S（ω），τεS（ω）[上是常数；通过过程Ac的几乎每个轨迹的连续性，Ac·（ω）在闭合区间[S（ω），τεS（ω）]上是常数，对于a.e.ω。此外，（同样是A的Skotok hod条件），对于A.e.ω∈ Ohm, 功能t 7→ Adt（ω）在[S（ω），τεS（ω）[上是常数。此外，Y（τεS）- ≥ ξ（τεS）- + εa.s.，这意味着AdτεS=0 a.S.最后，对于a.e.ω∈ Ohm, 对于所有t∈ [S（ω），τεS（ω）[，Ct（ω）=Ct（ω）- Ct-（ω） =0；因此，对于a.e.ω∈ Ohm, 对于所有t∈ [S（ω），τεS（ω）[，+Ct-（ω） =Ct（ω）- Ct-（ω） =0，这意味着，对于a.e.ω∈ Ohm, 功能t 7→ Ct-（ω）在[S（ω），τεS（ω）[上是常数。通过过程的几乎每个轨迹的左连续性（Ct-), 我们得到了a.e.ω∈ Ohm, 功能T 7→ Ct-（ω）在闭区间[S（ω），τεS（ω）]上为常数。因此，对于a.e.ω∈ Ohm, mapt 7→ At（ω）+Ct-（ω）在[S（ω），τεS（ω）]上为常数。因此，Y是与驱动器f、终端时间τε和终端条件YτεS相关的BSDE的[S，τεS]上的解。结果如下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:42:21

备注4。2注意，在ξ为非负的情况下，上述结果也适用于随机区间[S，τλS]，其中λ∈ （0，1）和τλS：=inf{t≥ S：λYt≤ ξt}。注意，在非负障碍的情况下，我们还有Y≥ 0（作为Y≥ ξ≥ 0）；因此，λYT≤ YT=ξTa。s、和τλSis fin ite a.s.5。具有非线性f-期望的最优停止：问题的形式。Let（ξt）t∈[0，T]是S中的一个进程。让f是Lipschitz驱动程序。对于每个S∈ T0，T，weWe注意到，[17]中引理4.1（陈述（ii））的p屋顶不需要ξ的r.u.s.c.假设。14 M.GRIGOROVA等人用（5.1）V（S）定义时间S的值：=ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）。我们对驱动程序进行以下评估（参见，例如，【38】中的定理4.2）。假设5.1假设dP 每个（y、z、k、k）的dt-a.e∈ R×（Lν），f（t，y，z，k）- f（t，y，z，k）≥ hθy，z，k，kt，k- kiν，其中θ：[0，T]×Ohm ×R×（Lν）→ Lν；（ω，t，y，z，k，k）7→ θy，z，k，kt（ω，·）是P B（R）B（（Lν））-可测映射，满足kθy，z，k，kt（·）kν≤ C f或全部（y、z、k、k）∈ R×（Lν），dP dt-a.e.，其中C是一个正常数，θy，z，k，kt（e）≥ -1，适用于所有（y、z、k、k）∈ R×（Lν），dP dt公司 dν（e）- a、 e.例如，如果f是关于k的CW类，则满足上述假设kf有界（在Lν中），且kf公司≥ -1（参见[9]中的命题A.2）。我们记得，在驱动器f上的假设5.1下，函数EfSτ（·）是不递减的（参见[38，Thm.4.2]和R emark 12.1）。如引言中所述，上述最优停车问题已被大量研究：【14】和【3】中，在连续支付过程ξ的情况下；在【39】和【1】中，如果是权利连续支付；最近在【17】中，关于RightUpper半连续支付过程ξ。在本节中，我们不对ξ（cf。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:42:24

另请注意2.2）。如果我们将ξ理解为一个财务头寸过程-Ef（·）作为一种动态风险度量（参见[36]、[40]），那么（直到负号）V（S）可以被视为最小风险时间。正如引言中所述，缺乏规律性允许建模更加灵活。例如，如果我们考虑一种情况，其中泊松随机度量模型的跳跃时间为违约时间（完全无法访问，无法预见），那么，完全缺乏规律性允许考虑违约发生后对ξ的中间非平稳、正或负影响。如果我们将ξ解释为支付过程，将Ef（·）解释为非线性定价规则，那么最优停止问题（5.1）与具有支付ξ的美式期权的（非线性）定价问题有关。由于缺乏规律性，我们可以处理支付不规则的美式期权的情况，例如美式数字期权（详情参见第11.1节）。另一方面，过滤不一定是与W和N相关的自然过滤，这一事实允许在建模中加入一些额外的信息（例如，违约风险或其他经济因素）。我们首先讨论了一个更简单的情况，即假设美国的支付是正确的。c、这一带有f-期望的最佳停止：不规则案例15对正确的美国加州案例的初步研究将允许我们建立关于一般过滤的强Ef超鞅的Ef Mertens分解（扩展文献中的现有结果；参见[4]和[17]）。这将是在完全不规则支付情况下处理非线性最优停止问题的一个重要结果。无n-线性f-期望的最优停止：正确的u.s.c.情况。Letf是满足假设5.1的Lipschitz驱动程序。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:42:29

以下结果在很大程度上依赖于ξ的右上半连续性假设。引理6。1设ξ为S中的一个过程，假设为正确的u.S.c。设（Y，Z，k，h，a，c）为反射BSDE的解，参数为（f，ξ），如定义2.3所示。让我们∈ T0，Tandletε>0。设τεSbe为（4.1）定义的停止时间，即τεS:=inf{t≥ S，Yt≤ ξt+ε}。我们有（6.1）YτεS≤ ξτεS+εa.S.证明：在一般过滤的情况下，该结果的证明与[17，引理4.1（i）]在布朗泊松过滤的情况下的证明相同。我们再次给出论证，以强调右上半连续假设对ξ的重要作用。通过矛盾的方式，我们假设P（YτεS>ξτεS+ε）>0。根据C的Skorokhod条件，我们有CτεS=CτεS- C（τεS）-= 集合{YτεS>ξτεS+ε}上的0。另一方面，由于R emark2.3，CτεS=YτεS- Y（τεS）+。因此，在集合{YτεS>ξτεS+ε}上，YτεS=Y（τεS）+。因此，在集合{YτεS>ξτεS+ε}上，（6.2）λY（τεS）+>ξτε。我们将得出与这一说法相矛盾的结论。让我们xω∈ Ohm. 通过定义τεS（ω），存在一个非递增序列（tn）=（tn（ω））↓ τεS（ω），使得Ytn（ω）≤ ξtn（ω）+ε，对于所有n∈ 在中。因此，lim s upn→∞Ytn（ω）≤ 林尚→∞ξtn（ω）+ε。由于ξ的过程是右上半连续的，因此我们有lim supn→∞ξtn（ω）≤ ξτεS（ω）。另一方面，as（tn（ω））↓ τεS（ω），我们有lim supn→∞Ytn（ω）=Y（τεS）+（ω）。因此，Y（τεS）+（ω）≤ ξτεS（ω）+ε，与（6.2）相矛盾。我们得出结论，YτεS≤ ξτεS+εa.S。借助前面的引理和引理4.1，我们得到以下结果。定理6.1（r.u.s.c.情况下的特征化定理）Let（ξt）t∈[0，T]是S中的一个过程，应该是正确的u.S.c.让（Y，Z，k，h，a，c）是反射BSDE的解，参数（f，ξ）如定义2.3.16 M所示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-30 21:42:32

GRIGOROVA等人o每次停车时间S∈ T、我们有（6.3）YS=ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）a.s.o此外，由（4.1）定义的停止时间τεs，即τεs=in f{t≥ S、年初至今≤ ξt+ε}，满足（6.4）YS≤ EfS，τεS（ξτεS）+Lεa.S.，其中L是一个仅依赖于t和f的Lipschitz常数K的常数。换句话说，τε是问题（6.3）的Lε-最优停止时间。证明：这些参数是类ical。让我们展示一下不等式（6.4）。由于引理4.1中的过程（Yt）是[S，τεS]上的Ef鞅，我们得到YS=EfS，τεS（YτεS）a.S。因为ξ是右u。s、我们可以应用Lemma6.1。利用这一点、条件期望的单调性和BSDE的先验估计（参考文献[38]，在我们的一般过滤情况下，它仍然有效），我们推导出YS=EfS，τεs（Yτεs）≤ EfS，τεS（ξτεS+ε）≤ EfS，τεS（ξτεS）+Lεa.S.，其中L是一个正常数，仅取决于T和驱动器f的Lipschitz常数K；这就得到了所需的不等式（6.4）。此外，由于ε是一个任意的非负数，我们得到了YS≤ ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）a.s。它仍然显示逆不等式。Letτ∈ 根据Lemma12.2，在附录中，过程（Yt）是一个强大的Ef超级鞅。因此，对于每个τ∈ TS，T，我们有YS≥EfS，τ（Yτ）≥ EfS，τ（ξτ）a.s.，其中第二个不等式来自不等式Y≥ ξ和Ef（·）的单调性（关于终端条件）。通过取τ上的supremum∈ TS，T，我们有YS≥ ess supτ∈TS，TEfS，τ（ξτ）a.s.因此，我们导出了desiredequality（6.3），从而完成了证明。我们现在研究最优停止问题（6.3）的最优停止时间的存在性问题。我们首先提供一个最优性标准。引理6。2（最优性准则）Let（ξt，0≤ t型≤ T）成为一个过程，让fbe成为一个可预测的Lipschitz驱动程序，满足假设5.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:42:36

让我们∈ T0，Tandτ*∈ 换句话说，过程（Yt）聚合了价值族（V（S），S∈ T）由（5.1）定义，即YS=所有S的V（S）a.S∈ T0，T。让我们强调，在没有过程ξ的右上角连续性假设的情况下，这个最优性标准是成立的。具有f-期望的最优停止：不规则情形17If Y是[S，τ]上的强Ef鞅*] 带Yτ*= ξτ*a、 s.，则停止时间τ*时间S的等时性（即YS=EfS，τ*（ξτ）*) a、（美国）。如果假设5.1中的不等式是严格的（即θy，z，k，kt>- 1）。证明：在布朗泊松滤波的情况下，这个结果的证明可以在[17，命题4.1]中找到。一般过滤的证明是相同的，因此省略。我们现在证明，如果ξ沿停止时间被假定为r.u.s.c.和l.u.s.c.，则存在一个最佳停止时间。让我们∈ T、让我们回顾一下τεS之前的定义：τεS：=inf{T≥ S，Yt≤ ξt+ε}。我们注意到τε在ε中没有增加。设（εn）为收敛于0的非递增正序列。我们设置^τS：=limn→∞↑ τεnS。随机时间^τ是TS中的停止时间。我们还设置τS：=inf{t≥ S，Yt=ξt}。我们注意到τεnS≤ τSa。s、对于所有n。因此，通过传递到极限，我们得到^τs≤ τSa。s、在下面的定理中，我们证明了，在附加假设ξ沿停止时间为l.u.s.c.的情况下，s顶部时间^τ是时间s的最佳停止时间。我们还表明停止时间^τ和τs包括。定理6.2（最优停止时间的存在性）Let（ξt，0≤ t型≤ T）成为沙中的r.u.s.c.过程，让f成为满足假设5.1的可预测Lipschitz驱动因素。此外，我们假设（ξt）是沿停车时间的l.u.s.c。然后，停止时间^τS S-最优，即达到（6.3）中的最大值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:42:40

此外，^τS=τSa。s、证明：由于（ξt）是l.u.s.c.沿停止时间，我们有（6.5）lim supn→∞ξτεnS≤ ξ^τSa。s、通过对（无反射的）BSDE应用Fatou引理（参见[11]中的引理A.5），我们得到（6.6）lim supn→∞EfS，τεnSξτεnS≤ EfS，^τS林尚→∞ξτεnS≤ EfS，^τSξ^τSa、请注意，在布朗泊松过滤的情况下，图[11]所示的（无反射的）BSDE的Fatou引理在我们的一般过滤框架中仍然成立。18 M.GRIGOROVA等人，其中最后一个不等式来自（6.5）和EfS的单调性，^τS（·）。另一方面，根据定理6.1中的等式（6.4），我们得到了YS≤ 林尚→∞EfS，τεnSξτεnSa、从这个，再加上（6.6），我们得到了YS≤ EfS，^τSξ^τSa、这表明^τ是一个最佳停止时间。现在我们来证明等式^τS=τSa。s、我们已经注意到^τs≤ τSa。s、它可以显示逆不等式。请注意，对于每个S∈ T0，T，YSis等于与支付过程（ξT）和瞬时奖励过程（ft）相关的线性最优停止问题在时间s的值，由ft（ω，T）定义：=f（ω，T，Yt-（ω），Zt（ω），kt（ω）），即ys=ess supτ∈TS，TE[ξτ+ZτS'fudu'FS]a.S。。（6.7）不难看出^τ对于该线性最优停止问题也是最优的。现在，根据线性最优停止的经典结果，τ是问题的最小最优停止时间（6.7）；因此，我们有^τS≥ τSa。s、，这就完成了证明。命题6.1 Let（ξt，0≤ t型≤ T）成为沙中的r.u.s.c.流程，让f成为可预测的Lipschitz驱动因素。此外，我们假设（ξt）沿停车时间为l.u.s.c。设（Y，Z，k，h，A，C）为反射BSDE的解，参数（f，ξ）如定义2.3所示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-30 21:42:43

然后，过程A是连续的。证明：给出带参数（f，ξ）的反射BSDE的解（Y，Z，k，h，A，C），我们用f（ω，t）：=f（ω，t，Yt）定义过程f-（ω），Zt（ω），kt（ω））。流程f在IH中是一个可预测的流程。从“f”的定义和定义2.3中，我们可以看出（Y、Z、k、h、A、C）是RBSDE的解决方案，其中驱动过程“f”和障碍ξ。根据定理3.1（在具有给定驱动程序过程和线性最优停止的RBSDEs上），对于所有∈ T、 YS=ess supτ∈TS，TE[ξτ+ZτS'fudu'FS]a.S.，（6.8），相当于YS+RS'fudu=ess supτ∈TS，TE[ξτ+Rτ'fudu | FS]a.s.根据经典线性期望最优停止的结果，我们推断a是连续的，因为（ξt）是R.u.s.c.和l.u.s.c.沿停止时间的（参见，例如，命题B.10带有f-期望的非最佳停止：不规则情况19[28]）。7、Ef Mertens分解强Ef Super-Marting ales与一般过滤。通过使用上述以r.u.s.c.障碍作为非线性最优停止问题（5.1）值函数的RBSDE解的特征（参见定理6.1），我们导出了强Efsupermartingales的EFMertens分解，它将[17]中提供的分解（参见[17]中的定理5.2]）推广到了一般过滤的情况。如前所述，这是目前工作中的一个重要性质，它将允许我们解决完全不规则情况下的非线性最优停止问题（参见第9.3节，更准确地说是命题9.1的证明，以及定理10.1）。定理7.1（Ef Mertens d ecocomposition）设（Yt）为S中的一个过程。设f为满足假设5.1的有效chitz驱动程序。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-30 21:42:47

该过程（Yt）是一个强Ef超马氏过程，且仅当SwithA=0中存在一个非减量右连续可预测过程a，Swith C0中存在一个非减量右连续自适应纯间断过程C-= 0，以及三个进程Z∈ IH，k∈ Hν和H∈ M2，⊥, 这样a.s.forall t∈ [0，T]，（7.1）-dYt=f（t，Yt，Zt，kt）dt+dAt+dCt--ZtdWt公司-ZEkt（e）~N（dt，de）-dht，0≤ t型≤ T、这种分解是独特的。此外，强Ef超鞅必然是r.u.s.c.证明：假设（Yt）是强Ef超鞅。通过与[17]中相同的参数（参见[17]中的引理5.1），可以证明过程（Yt）是r.u.s.c.让s∈ T、由于（Yt）是一个强Ef超鞅，我们推导出所有τ∈ TS，我们有YS≥ EfS，τ（Yτ）a.s.我们得到YS≥ ess supτ∈TSEfS，τ（Yτ）a.s.现在，通过定义本质上确界YS≤ ess supτ∈TSEfS，τ（Yτ）a.s.因为s∈ 因此，YS=ess supτ∈TSEfS，τ（Yτ）a.s.根据定理6.1，过程（Yt）与与（r.u.s.c.）障碍物（Yt）相关的反射BSDE的解一致，因此允许分解（7.1）。相反的则来自于附录中的引理12.2。8、完全不规则情况下具有非线性f-期望的最优停车：进近的直接部分。我们现在转向非线性的研究，注意到[28]中的命题B.10也适用于奖励过程不一定是非负相关的情况。对于不依赖于k的driverf（t，y，z），通过使用不同的方法，Ef-Mertens分解也显示在【4】（与【17】中相同）。20 M.GRIGOROVA ET AL.在（ξt）完全不规则的更困难的情况下的最优停车问题（5.1）。由于过程（ξt）不是r.u.s.c.，不等式Yτεs≤ ξτεS+ε（即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-30 21:42:50

不等式（6.1））不一定成立（即使在线性期望的最简单情况下也不成立；参见，例如，[12]）。这妨碍了我们在此采用r.u.s.c.案例中使用的方法，以证明非线性最优停止问题的值在RBSDE解方面的最小特征。因此，当ξ完全不规则时，我们必须进行不同的处理。我们使用一种组合方法，包括直接部分和anRBSDE部分。本节专门讨论我们对非线性动力停止问题（5.1）的方法的直接部分。8.1。关于值族的初步结果。让我们首先介绍通过T0，T（或Dellacherie和Lenglart[6]词汇表中的T0，T系统）中的停止时间索引的容许随机变量族的定义。定义8.1我们说族U=（U（τ），τ∈ T0，T）如果满足以下条件1，则可接受。对于所有τ∈ T0，T，U（τ）i是实值Fτ-可测随机变量。2、对于所有τ，τ′∈ T0，T，U（τ）=U（τ′）a.s。关于{τ=τ′}。此外，我们还说，对于所有τ，可容许f族U是平方可积的∈ T0，T，U（τ）是平方可积的。引理8。1（家族的可受理性V）家族V=（V（S），S∈ T0，T）definedin（5.1）是一个平方可积容许族。证明：该证明使用了与linearexpectations（参见，例如，[31]）“经典”案例中使用的参数类似的参数，并结合了f期望的一些属性。对于每个S∈ T0，T，V（S）是一个FS可测平方可积随机变量，这是由于条件f期望和本质上确界的定义（参见[34]）。让我们证明可采性定义的属性2。设S和S′是T0，T中的两个停止时间。我们设置A：={S=S′}，并且我们证明了对于每个τ，V（S）=V（S′），P-A.S.在A上∈ 我们设置τA：=τ1A+T 1Ac。我们有τA≥ S’a.S。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝