计量经济学中的不可能推理：理论与应用

2022-5-30 22:46:40

计量经济学中的不可能推理：理论与应用Marinho BertanhaaMarcelo J.Moreirab本期：2019年9月24日第一版：2016年10月11日摘要本文研究假设检验具有平凡力量的模型，即力量小于规模的模型。当任何备选方案无法与空值区分时，就会出现这种测试不可能性或不可能性类型A。我们还研究了不可能为感兴趣的参数设置几乎肯定有界的置信集的情况。第二类不可能（B类）发生在弱于a类不可能的条件下：感兴趣的参数必须几乎不可识别。我们的理论框架将依赖不同拓扑概念的许多现有不可能推理出版物连接起来，以显示模型不可区分或几乎不可识别。我们还推导了这两种类型的不可能使用分布收敛引起的弱拓扑。弱拓扑中的不可能性通常更容易证明，它适用于许多广泛使用的测试，也适用于稳健假设测试。最后，我们展示了不连续模型和时间序列模型在多个经济应用中的不可能推理。关键词：假设检验、置信区间、弱识别、回归间断JEL分类：C12、C14、C31圣母大学经济系。地址：3060 Jenkins Nanovic Halls，Notre Dame，IN46556，USA。电子邮件：mbertanha@nd.edu.网址：www.nd。埃杜/~姆贝坦。B相应的作者。FGV EPGE。地址：巴西里约热内卢RJ 22250-040 11楼190号波塔福戈广场。电子邮件：mjmoreira@fgv.br.网站：epge。fgv。br/en/教授/马塞洛·莫雷拉。1引言大多数实证研究的目标是使用随机样本数据估计人口统计模型的参数。

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2022-5-30 22:46:43

估计值和总体参数之间的差异是不确定的，因为样本数据没有关于总体的所有信息。StatisticalReference提供了量化这种不确定性的方法。典型的方法包括假设和置信集。在假设检验中，研究人员将所有可能的人口模型分为两组模型。空集包括研究人员怀疑为错误的模型。备选方案集包括所有其他可能的模型。需要控制测试的大小，即当空集包含真实模型时，拒绝空集的错误概率。当真实模型在空集之外时，强大的测试有很小的错误概率无法拒绝空集。另一种方法是使用数据建立真实模型参数未知值的置信集。研究人员需要控制置信集排除真实值的错误概率。错误概率必须在整个可能的模型集上进行统一控制。本文研究了不可能控制假设检验和置信集的错误概率的必要条件和充分条件。之前的工作表明，在特定环境下，无法控制测试和置信集的错误概率。在文献中基本上有两种类型的不可能。第一类不可能性表示，任何假设检验都受到大小的限制。也就是说，不可能找到控制大小的强大测试。我们称之为A型不可能。第二类不可能性表明，几乎可以肯定（a.s.）有界的任何置信集的错误概率都任意等于1（即零置信水平）。

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2022-5-30 22:46:46

换句话说，有限边界不可能包含高概率参数的真实值。我们把这种不可能性称为B型。尽管这两种不可能性相互关联，但在现有文献中，这两种类型的不可能性往往是相互关联的。本文的第一个贡献是连接关于不可能推理的文献，并研究A型和B型不可能之间的关系。本简介末尾的图1总结了文献以及本文中得出的新关系。据我们所知，不可能类型A可以追溯到20世纪50年代。在一篇经典论文中，Bahadurand Savage（1956）在人口平均数的情况下展示了这两种类型的不可能性。任何将零均值与非零均值分布区分开来的测试都受到大小的限制；总体平均值的任何a.s.有界置信区间的错误概率都等于1。Bahadurand Savage（1956）采用总变化（TV）度量来测量任意两个分布之间的距离。我们将这种距离的概念称为强距离。他们表明，具有一定均值的分布的零集相对于具有所有可能均值的分布集中的TV度量是稠密的。这种不可能性通常是由于所有可能模型类别中的模型丰富而产生的。如果我们将类限制为仅一个模型，则不可能发生，这与逐点推理相同。对更大类别的模型进行统一推断很重要，因为研究人员通常不知道手头模型的所有方面。例如，工具可能很弱，如果我们错误地认为它们总是很强，那么点式推理的结论就会产生误导。事实上，不可能类型A与TV度量下所有可能模型集中零集凸包的密度密切相关。

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2022-5-30 22:46:50

Kraft（1955）针对任何两组分布的测试问题，对Bahadurand Savage（1956）的理论进行了重要的推广。Kraft定理5给出了最小功率严格大于其大小的测试存在的必要和充分条件。当且仅当零集和备选集的凸包之间的最小TV距离远离零时，才存在这种测试。Kraft将该定理归于Le Cam，他的定理的类似版本出现在Ingster和Suslina（2003）的Eorem 2.1中。Romano（2004）证明，在所有可能的模型集合中，零集密集于TV度量是不可能的有效条件。我们推导出了Kraft定理5的推论，该定理指出，在所有可能模型的集合中，零集的凸包是稠密的，而TV度量是不可能类型a的一个必要且有效的条件。零集稠密意味着零集的凸包是稠密的。我们的推论将关于不可能类型A的文献与TV度量联系起来。计量经济学文献的一个不同分支关注给定兴趣参数（如平均值或回归斜率）的不可能B类密度集。在人口平均数的情况下，Bahadur和Savage（1956）通过证明以下事实得出了不可能类型B。对于任何均值m，均值等于m的分布集在TV度量的所有似然模型集中是稠密的。这比Gleser和Hwang（1987）提出的不可能类型的有效条件更强。Gleser和Hwang（1987）考虑了欧几里德空间中由参数索引的模型类。

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2022-5-30 22:46:53

只要存在一个分布P，它们就得到不可能类型B*这样，对于每个感兴趣的参数值，P*与TV度量的相关参数值的分布近似相等。与不可能类型A一样，如果Gleser和Hwang（1987）的条件适用于约束分布空间，则不可能类型B也适用，这是一个较弱的有效条件。Donoho（1988）还为满足TV度量中稠密图条件的分布函数的相关参数提供了B类不可能性。这种函数的一个例子是概率密度函数（PDF）的导数。虽然不可能获得a.s.有界密度集，但Donoho（1988）表明，在某些情况下，可以建立有效的单侧下限密度区间。类似地，Low（1997）证明了非参数函数的线性泛函上置信区间长度的适应收益是不可能的。随着可能模型类别的增加，Low在置信区间预期长度上的下限逐渐增加至一致。Dufour（1997）将Gleser和Hwang（1987）的工作推广到一般度量空间中由参数表示的模型类。Dufour（1997）还指出，不可能类型B意味着从a.s.有界置信集构建的测试无法控制大小。与所有作者不同的是，Gleser和Hwang（1987）将其分析局限于具有相同sigma有限测度的参数密度函数的分布。如果两个分布的密度函数在数据中大致相同，则无法区分这两个分布。在其设置中，密度函数中的逐点近似与TV度量中的近似相同。然而，密度函数的逐点逼近仍然比无分布收敛性强。

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2022-5-30 22:46:56

见命题2.29和推论2.30，范德法特（2000）。到目前为止，Dufour（1997）提到的距离概念比TV度量弱得多，TV度量是弱收敛或分布收敛背后的距离概念。只要存在一个分布P，他就得到了B型可能性*这样，对于感兴趣的参数的每个值，都存在一系列分布，其中感兴趣的参数的值在分布中收敛到P*. 较弱的距离概念限制了对边界概率为零的置信集的分析*. 已知的L'evy-Prokhorov（LP）度量体度量弱收敛。我们把这种距离的概念称为弱距离。我们证明了杜福尔的不可能类型B在对流分布空间后也成立。当分布在LP度量和TV度量中不可区分时，我们重新讨论了不可能类型A。我们发现，不可能类型A适用于替代分布下A.s.连续的所有测试。一个有效的条件是，在LP度量下的所有可能模型集中，全集的凸包都是稠密的。一方面，LPmetric不会为每个测试函数生成不可能类型A。另一方面，A类。s、连续测试包括实证研究中使用的绝大多数测试。TV度量中的收敛总是意味着LP度量中的收敛。反之则不然，除非在更严格的设置中。

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2022-5-30 22:46:59

例如，如果分布中的收敛意味着概率密度函数（PDF）的一致收敛，那么Scheffe定理意味着TV度量中的收敛（Van der Vaart（2000）的推论2.30）。本文的第二个贡献是注意到距离的一个较弱的概念，如theLP度量，为不可能推理问题带来了进一步的见解。首先，用弱距离证明模型的收敛性通常比用强距离证明模型的收敛性更容易。在依赖不连续性的一类重要经济学模型中，应用类似于Portmanteau定理的论点，可以立即得到不可能推理的LP版本。其次，LP度量的使用帮助研究人员寻找具有非平凡能力的测试。如果模型对于LP度量是不可区分的，但是对于TV度量是可区分的，那么我们表明，Ausuve测试必然是a.s.不连续的。第三，LP度量可以是一种明智的距离选择，用于研究对小模型偏差具有鲁棒性的假设检验。例如，考虑连续分布的空集与支持有理数的离散分布的备选集。可以通过LP度量中的连续分布序列来近似任何此类离散分布。因此，不可能用a.s.连续测试来有力地测试这些集合。另一方面，如果观测值取合理值，则null和alternative之间的TV距离为正值，则会导致一个完美的测试拒绝null。稳健性使我们不禁要问，观察有理数是否确实是反对零假设的证据，或者仅仅是四舍五入或测量误差的问题。

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kedemingshi

2022-5-30 22:47:03

同样的问题也可能出现在导出的形式或结构计量经济模型中，即使是在误判程度很小的情况下。根据手头的问题，我们可能希望寻找将每个Hhypothesis wrt的闭包与LP度量分离的测试。本文的第三个贡献是指出基于时间序列不连续性和宏观经济计量模型的微观经济计量模型中的不可能推理。许多微观经济分析通过依赖变量分布中的自然不连续性来确定感兴趣的参数。这就是回归不连续设计（RDD）的情况，RDD是经济学中非常流行的一种识别策略。在RDD中，在年龄或考试分数等变量的临界点处，个人分配到项目中的情况会不连续地发生变化，如Hahn et al.（2001）和Imbens and Lemieux（2008）。例如，Schmieder等人（2012年）研究了失业保险持续时间随年龄增长而增加的个人。Jacob和Lefgren（2004）分析了学生参加暑期学校的影响，这种影响会不连续地改变wrt考试成绩。假设所有其他特征在课程结束时变化平稳，那么暑期学校对未来表现的影响可以通过课程结束时平均表现的不连续变化来体现。确定的一个基本假设是，在控制了暑期学校后，成绩会随着考试成绩的变化而平稳变化。具有连续效应的模型很好地近似于具有不连续效应的模型。Kamat（2018）使用TV指标表明，RDD中当前的测试实践支持不可能性类型A。我们使用LP指标重新审视了他的结果，并说明不可能性类型B也适用于RDD。蒙特卡罗实验表明，Calonico et al。

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2022-5-30 22:47:06

（2014年），其规模可能高于预期的显著水平，甚至低于合理的模型限制。我们所依赖的数据生成过程与Lee（2008）的实例一致。此外，模拟结果表明，即使在人工控制尺寸后，Wald检验的威力也很小。条件平均函数的斜率限制不能纠正典型Wald检验的有限样本失效。在其他应用中，研究人员假设在给定的点上，个体未观察到的特征会发生不连续的变化。这就是集群的概念，在经济学中被广泛利用。由于激励机制的不连续变化或变量的自然限制，会出现束聚现象。例如，正如Saez（2010）所指出的，报告收入的分布可能在所得税率变化点显示出非零概率；或者，每天平均吸烟量的分布在零吸烟时具有非零质量。我们表明，对于a.s.连续测试，测试标量变量是否存在插入的问题是a型不可能的，但对于非连续测试，则不可能。Caetano（2015）使用了有聚束的变量条件分布，并提出了无工具变量的非均质性检验。关键的见解是，给定治疗变量的结果变量的分布集中构成内生性的证据。例如，考虑确定吸烟对出生体重影响的问题。一个重要的假设是，在控制所有其他因素的情况下，出生体重随吸烟而平稳变化。在此假设下，聚束相当于观察到的平均出生体重在零吸烟时不连续。外生性检验寻找这种不连续性作为内生性的证据。

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2022-5-30 22:47:09

我们的观点是，基于吸烟的出生体重高度倾斜甚至不连续的模型与平滑模型无法区分。因此，我们发现外源性测试的能力受到大小的限制。目前对不连续性大小的测试实施导致有界密度集，因此也无法控制大小。除了这些具有不连续性的应用之外，我们还验证了数据连续分布的宏观计量经济学示例中不可能推理的存在性。我们首先表明，弱距离与强距离的选择与Peter J.Huberon稳健统计的工作有关，并引导我们研究LP度量下协方差平稳时间序列过程集的闭包。该闭包包含错误持续时间模型和复合泊松模型。我们的理论表明，即使使用不连续的测试，也不可能将这些模型与协方差平稳模型区分开来。我们使用这些应用程序的目的并不是说永远不可能进行有效的推理。相反，我们指出从业者需要限制正在考虑的模型类别或正在测试的完整假设。在RDD的情况下，如果我们限制截断两边条件平均函数的变化，则不可能消失。Kamat（2018）证明了Wald检验在条件平均函数导数的一致界下的渐近有效性。Armstrong和Koles\'ar（2018）推导了条件均值函数凸类情况下的极大极小最优长度置信区间，该区间涵盖了计量经济学中使用的大多数光滑性或形状假设。或者，研究人员可以考虑限制模型其他方面的无效假设，而不是限制整个类别的模型，而不仅仅是限制阈值的影响。

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kedemingshi

2022-5-30 22:47:12

例如，零影响的平滑模型的空值，或无处理溢出的空值，并不支持A类不可能。我们在第4.1节中用RDD中的经验示例扩展了这一讨论。本文的其余部分分为以下几部分。第2节建立了测试和建立信任集的统计框架。它为一般非参数设置中的不可能推断提供了必要和充分的条件。第3节将LP度量与稳健假设检验联系起来。第4节给出了两种不可能出现的多种经济应用。第5节介绍了RDD经验应用的蒙特卡罗模拟。第6节结束。Anapendix包含所有形式证明。图1（下一页）总结了关于不可能推理的文献，以及本文的含义。2不可能的推论研究者有一个n个观测值的样本Z=（Z，…，Zn），取Z中的值，是欧几里德空间Rn×l的子集。数据Z遵循分布P，研究者考虑的所有可能分布的集合是P。每个概率分布P∈ P用Borel-sigma代数B定义在相同的样本空间Z上。假设P区域中的所有分布绝对连续wrt相同的sigma有限测度。我们对检验零假设H:P感兴趣∈ Pversus替代假设H:P∈ P对于分区P，Pof P。我们通过数据φ：Z的函数来描述假设检验→ [0，1]。如果φ只取连续分布的Lebesgue测度；离散分布的计数测度；混合连续离散分布的Lebesgue和计数测度之和。值0和1，则该测试称为非随机测试，但在其他情况下为随机测试。

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2022-5-30 22:47:17

给定一个样本Z，我们拒绝函数φ（Z）等于1的空Hif，但我们无法拒绝Hifφ（Z）=0。如果函数φ（Z）在0到1之间，我们以概率φ（Z）为条件拒绝零假设。在分布P下拒绝零假设的无条件概率∈ P表示dep[φ]。试验尺寸φ为supP∈PEP[φ]。分布Q下的测试功率∈ Pis由等式[φ]给出。我们说，当supQ∈PEQ[φ]≤ 支持∈PEP[φ]。定义co（P）为任意子集P的凸包 P、即co（P）=（P*: P*=NXi=1αiPi，对于某些N∈ N、 Pi∈ Pi、 αi∈ [0，1]i、 NXi=1αi=1）。（2.1）Pand中模型之间的小距离决定了测试不可能。存在各种距离概念来衡量两个分布P和Q之间的差异。文献中关于测试不可能性的常见选择是总变化（TV）度量dT V（P，Q）：dT V（P，Q）=supB∈B | P（B）- Q（B）|。（2.2）Kraft（1955）的定理5指出，当且仅当存在ε>0，使得dT V（P，Q）为≥ ε每P∈ co（P）和Q∈ co（P）。为了方便起见，我们在下面重述他的定理。定理1。（Kraft（1955））固定ε>0。以下陈述是等效的：（a）φ：infQ∈PEQφ≥ ε+供应∈PEPφ和（b）P∈ co（P），Q∈ co（P），dT V（P，Q）≥ ε。定理1对于不可能推理的一个重要含义是，它给出了一个必要且充分的条件，即零集的凸包在TV度量的所有可能模型集中是稠密的。换句话说，凸包co（P）与TV度量下的所有可能模型集（或n）是不可区分的，如果，对于任何Q∈ P、存在序列{Pk}∞k=1 in co（P），使得dT V（Pk，Q）→ 我们在下面的推论中证明了这一事实。推论1。

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2022-5-30 22:47:21

以下语句是等效的：（a）对于每个Q∈ P、存在序列{Pk}k co（P）使得dT V（Pk，Q）→ 0和（b）对于每个φ和Q∈ P、公式φ≤ 支持∈PEPφ。这个推论的证明，以及论文的所有其他证明，都包含在附录中。定理1中所述的卡夫（1955）的显著结果使得Bahadur和Savage（1956）以及Romano（2004）发现的不可能类型A成为推论1的特例。特别是，Romano（2004）的Theorem1说，没有对流的推论1-（a）是推论1-（b）的有效条件。值得注意的是，Romano（2004）在检验人口平均数方面得出了积极的结果。Hedemonstrates证明，在具有非常弱的一致可积性条件的大样本中，t检验一致控制大小，并且t检验也是渐近极大极小最优的。Dufour（1997）使用与弱收敛相关的距离概念来推导不可能类型B。我们称之为序列{Pk}∞k=1每B的分布与Q、if一致∈ B这样的Q(B） =0，Pk（B）→ Q（B）。在这里B是Borel集B的边界，即B的闭合减去B的内部。我们用Pkd表示分布的收敛性→ Q、分布的收敛性等价于L'evy-Prokhorov（LP）度量的收敛性（Dudley（1976），定理8.3）：dLP（P，Q）=inf{ε>0:P（A）≤ Q（Aε）+ε表示A∈ B} （2.3）式中，Aε={x:kx- ak<ε表示a∈ A} ，k·k是Rn×l上的欧氏范数。TV度量中Pkto Q的收敛意味着分布的收敛。一般来说，反之亦然。为了使TV度量中的收敛意味着分布中的收敛，有必要限制分布的类别。例如，假设Pkd→ Q、这些发行版具有共同的支持[a、b]和PDF fPk、fQ。进一步假设Fpkconverge在[a，b]上一致。

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2022-5-30 22:47:24

然后，Fpkconverge一致于fQ（Rudin（1976）的定理7.17）。PDF的收敛意味着TV度量的收敛（Scheffe定理，见Van der Vaart（2000）的推论2.30）。对于这些条件不起作用的反例，考虑第4.2节的聚束示例。空值是具有连续可微分CDF的分布集。另一种方法是一组分布，其质量点在xB，但在其他情况下，CDF是连续可微的。对于备选方案中的任何CDF FQ，都存在一系列CDF FPkin null，它们逐点收敛到FQ，因此收敛不分布保持不变。TV中的收敛不成立，因为对于每k，xh在q下为正概率，而在pk下为零概率。必须是PDF fPkdo不一致收敛的情况。事实上，fqx在x处有一个跳跃不连续性，FPkat x的导数随着k的增长而增长→ ∞.一方面，零电视距离确实为测试不可能性提供了必要且有效的条件。另一方面，有一些具有非零tvdestance的模型的例子，其中似乎不应该存在强大的测试。下面的第3节正式说明了这个想法，但我们现在从一个简单的例子开始。考虑连续分布的零集。例如，随着试验次数的增加，标准化二项变量的分布收敛到标准正态分布，并且成功的概率是固定的。它不会在TV度量中收敛，因为这两个分布之间的距离始终等于一。事实上，考虑事件等于整个实线减去二项分布的支持度。该事件在正态分布下具有单位概率，但在二项分布下具有零概率。与在有理数中具有有限支持的离散分布的替代集相比。

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nandehutu2022

2022-5-30 22:47:27

可以通过LP度量中的连续分布序列来近似任何此类离散分布。我们认为空模型生成的数据在观测上等同于替代模型生成的数据。这促使我们重新审视在LP度量中无法区分分布的不可能类型A。假设1。对于每个Q∈ P、存在序列{Pk}∞k=1 in co（P），使得Pkd→ Q、换句话说，凸包co（P）与LP度量的所有似然模型集不可区分（或密集）。假设1是不可能类型a的充分条件，如定理2所述。定理2。如果假设1成立，则在任何Q下a.s.连续的任何假设检验φ（Z）∈ PHA功率受尺寸限制。备注1。正如Canay等人（2013）所指出的，LP度量所产生的拓扑不足以保证任何测试函数φ的积分收敛。然而，在任何Q下都是a.s.连续的测试类∈ Pcan可能非常大。例如，当检验统计量大于临界值时，以拒绝空值的检验为例：φ（Z）=I（ψ（Z）>c。如果函数ψ连续且Q∈ 在Lebesguemeasure中，Pis绝对连续。定理2仅要求备选方案P下的a.s.连续性，且空Pmaistill包含离散分布。备注2。我们不需要将定理2限制为P的每一种情况下的a.s.连续检验。例如，将P视为具有有限维参数θ的参数指数分布族的子集。然后，对于任何测试φ，φ的幂函数是连续的inθ，定理2适用于假设1（定理2.7.1，Lehmann和Romano（2005））。备注3。在许多情况下，假设1在两个方向都成立。

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2022-5-30 22:47:30

也就是说，Pis与P无法区分，Pis与Pin无法区分弱距离。例如，Bahadurand Savage（1956）发现，任何平均值为m的分布都可以很好地近似于平均值为m6=m的分布，反之亦然。第4节发现具有不连续性的模型具有相同的双向性。如果假设1在两个方向上都成立，那么转换Pand-Pin定理2的角色表明功率等于大小。将测试不可能性的LP版本与Gleser和Hwang（1987）以及Dufour（1997）发现的置信集的控制错误概率的不可能性联系起来很有用。定义实值函数u：P→ R、例如，均值、方差、中值等。隐式选择分布集P，以确定μ。为了简单起见，我们考虑实值函数，更一般范围的u的结果很容易得到。u的范围为u（P）。假设当真实模型为P时，我们对u（P）的置信度集感兴趣∈ P、置信集采用函数C（Z）的形式。对于型号P∈ P、 C（Z）的覆盖概率由P【u（P）】给出∈ C（Z）]。置信区域C（Z）的置信水平为1- α（即错误概率α），如果C（Z）包含概率至少为1的u（P）- α： infP公司∈PP[u（P）∈ C（Z）]=1- α。（2.4）对于任何值m∈ u（P），我们定义子集P（m）byP（m）={P∈ P：u（P）=m}。（2.5）不可能类型B表示，在P中的某些分布下a.s.有界的置信集的置信水平为零。下一个假设根据LP度量给出了不可能类型B的充分条件。假设2。存在分布P*（不一定在P中）使得每m∈ u（P）存在一个序列{Pk}kin co（P（m）），使得Pkd→ P*.如果假设1成立，每m的P=P（m）∈ u（P），则假设2成立。

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nandehutu2022

2022-5-30 22:47:33

事实上，如果P（m）在P中的密度为每m，则P满足假设2*= Q表示任意Q∈ P、有些模型满足假设1，每m的P=P（m）∈ u（P）和两种不允许性的支持。这种情况的例子包括测试平均值的问题（Bahadur和Savage（1956）），或测试RDD中不连续的大小的问题（第4.1节）。然而，其他一些模型每m满足假设2，但不满足假设1。这些模型支持不可能类型B。示例包括回归参数比率问题（Gleserand Hwang（1987）），以及弱工具问题（Dufour（1997））。下一个定理概括了Gleser和Hwang（1987）以及Dufour（1997）发现的控制覆盖概率的不可能性。它与Gleser和Hwang（1987）不同，因为消费2使用LP距离。它与Dufour（1997）略有不同，因为假设2是根据P（m）的凸包而不是简单的P（m）来表述的。定理3。假设假设2与P保持一致*. 假设置信集C（Z）的置信度为1级- α、和P*({m∈ C（Z）}）=0，每m∈ u（P）。然后m级∈ u（P）：P*[米∈ C（Z）]≥ 1.- α。（2.6）对于a组 R、定义U[A]=sup{c:c∈ A} ，L[A]=inf{c:c∈ A} ，且D【A】=U【A】- L【A】。假设{U[C（Z）]≥ x} ，{L[C（Z）]≤ -x} ，和{D[C（Z）]≥ x} 是每个人都可以衡量的事件∈ [0，∞]. 如果D[u（P）]=∞, 然后*[D[C（Z）]=∞] ≥ 1.- α。（2.7）此外，如果P*[{D[C（Z）]=∞}] = 0，那么ε>0：支持∈Bε（P*)∩PP[D[C（Z）]=∞] ≥ 1.- α（2.8），其中Bε（P*) = {P:dLP（P，P*) < ε}.备注4。上述第（2.8）部分包含以下内容。如果1- α>0，则置信集C（Z）是无界的，对于某些P∈ P、或者，第（2.8）部分的反义词表示如下。任何属于a.s。

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2022-5-30 22:47:36

在P的一个高阶域中P的分布下有界*有1个- α=0置信水平。备注5。使用假设2，可以获得定理3的一个稍微更一般的版本，假设2是根据TV度量而不是LP度量表述的。在这种情况下，对于不一定满足P*({m∈ C（Z）}）=0和p*[{D[C（Z）]=∞}] = 获取置信集的一种常见方法是反转假设检验。函数C（Z）是通过以下方式反转测试来构造的。对于给定的m∈ u（P），定义P0，m=P（m）和P1，m=P\\P（m），其中A\\B表示在移除集合B与集合A的相交后集合A的剩余部分。如果φm（Z）是P0的非随机测试，则mvs P1，m，然后C（Z）={m∈ u（P）：φm（Z）=0}。（2.9）每m∈ u（P），测试φm（Z）的尺寸α（m）=supP∈P0，mEP[φm（Z）]。C（Z）的密度级等于1减去m上α（m）的上确界∈ u（P）。附录引理A.1中给出了这一论点的证明。定理3和引理A.1表明，转化为A.s.有界密度集的测试无法控制大小。推论2。假设假设2成立，且u（P）是无界的。根据测试φm（Z）构建置信集C（Z），如等式（2.9）所示。假设C（Z）具有1级置信度- α满足定理3的假设。如果C（Z）在P的高阶分布下是a.s.有界的*, 那么α=1。因此，对于每个ε>0，存在mε∈ u（P）以支持∈P0，mεEPφmε>1- ε。备注6。Moreira（2003）提供的数字证据表明，对于联立方程模型中无因果影响（m=0）的零，Wald检验可以具有较大的零拒绝概率。为了证明Wald测试的零拒绝概率任意接近1，零的假设值m也需要改变。

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能者818

2022-5-30 22:47:39

他还建议用数据的临界值函数替换临界值。该临界值函数取决于假设值M。我们的理论表明，如果我们自由改变m，这个临界值函数是无界的。3弱收敛性和鲁棒性本节介绍了使用LP度量研究不可能推理的进一步动机。如果测试φm（Z）是随机的，则使用φm（Z）=I{U≤ φm（Z）}，其中U在[0，1]中均匀分布，与Z无关。它将LP度量引起的弱拓扑与稳健统计领域最杰出的研究者Peter J.Huber提出的理论联系起来。我们请读者参考Huber Andrnchetti（2009）了解更多详细信息。本节首先讨论稳健的统计过程。时间序列模型中不可能的稳健假设检验示例见第4.4节。一些统计程序容易受到模型偏差的影响。这种看法促使研究人员提出了对正常消费的分解不太敏感的替代程序。Huber研究了定义一组模型偏差Pε的不同方法。一种可能性是假设数据的实际分布是P中的分布与更一般的一组模型M中的分布的混合。换句话说，P可能被概率ε污染：Pε={H∈ MF∈ P和G∈ MH=（1- ε） F+εG}，（3.1），其中M大于原始P。如果估计量或测试在模型偏差Pε集上具有极小性质，则称其为稳健的。为了强调稳健程序的重要性，我们简要讨论了两个示例。稳健程序的第一个示例涉及点估计。研究人员有一个n iid观察样本Zi∈ Rl，i=1，n

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2022-5-30 22:47:43

联合概率分布集P由一个参数θ表示，并允许边际密度P（Zi；θ）具有相同的支配度量（例如Lebesgue）。然后，最大似然估计量（MLE）最小化Xni=1- lnp（Zi；θ）。此估计器bθsolvesXni=1-pZi；bθθ。pZi；bθ= 在通常的正则条件下，bθ是一致的，渐近正态的，并且在正则估计类中是有效的。M的一个常见选择是具有对称厚尾密度的分布集。众所周知，如果观察到异常值的概率ε（从M中提取的样本）存在，则在高斯分布（从P中提取的样本）下得出的优化程序将失效。Huber（1964）提出了M估计。为了给出稳健M估计的具体示例，考虑回归模型Yi=Xiθ+Ui，其中我们观察到Zi=（Yi，Xi），但没有观察到零平均正态误差Ui。MLEbθ最小化Xni=1易- Xiθ,满意度xni=1Xi易- Xibθ= 更一般地，M-估计量bθ最小化xni=1ρ易- Xiθ,满足度xni=1Xiψ易- Xibθ= 0用于选择函数ρ和ψ。在上述极大似然估计的情况下，ρ（u）=u，ψ（u）=u。如果M-估计量bθ最小化Pε中分布的最大渐近方差，则称其为一类估计量中的渐近极大极小最优。与函数ρk（u）=（u/2 if | u |相关的M-估计量≤ kk | u |- 如果| u |>kandψk（u）=max，则为u/2{-k、对于模型污染，min（k，u）}（3.2）是渐近极大极小最优的。常数k取决于（3.1）中的偏差ε。Asε→ 0，截断参数k→ ∞. 由于模型偏差较小，M估计量接近MLE估计量。如果ε→ 1，参数k→ 由于约束任意大，M估计量接近最小绝对偏差（LAD）估计量。稳健程序的第二个例子是假设检验。

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2022-5-30 22:47:47

考虑在一个简单的备选方案P上测试一个简单的空页的问题。假设两个参数的密度和pwrt都是Lebesgue测度。对于样本X=（X，…，Xn），当且仅当ni=1p（Xi）p（Xi）>cα时，似然比（LR）测试拒绝空值，其中cα是1- 零位下左侧分布的α分位数。NeymanPearson引理断言LR测试是最优的，因为它在大小正确的测试类α内最大化了功率。与上述点估计示例中的模型偏差类似，我们考虑了零假设和替代假设错误的可能性。ε-污染零假设和替代假设，ε={H∈ MF∈ 计划G∈ MH=（1- ε） F+εG}，（3.3）对于i=0，1。新的集合P0，ε和P1，ε允许M中任意分布的局部偏差。在P0，ε上具有正确大小的测试类别中，极大极小最优假设检验使P1，ε上的最小幂最大化。Huber（1965）表明，当且仅当ni=1πk时，对这些模型偏差的极大极小检验拒绝了空值p（x）p（x）> cα，其中πk（w）=max{k，min（k，w）}，常数k=（k，k）取决于偏离ε的大小。Asε→ 0，常数kapproaches为零，K变为单位。因此，随着偏离的减少，鲁棒测试将接近通常的LR测试。在上述两个稳健程序示例中，任意小的模型偏差（ε→0）不要影响极大极小问题的解决方案。也就是说，当ε接近零时，robustestimator收敛到MLE，鲁棒测试收敛到LR测试。即使我们忽略模型偏差（ε=0），这些极限解仍保持不变。这些推理过程以一个参数为目标，该参数是基础分布P的函数∈ Pε。这些函数随ε平滑变化→ 0

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2022-5-30 22:47:51

稳健性与函数的平滑度相关，但这种平滑度在其他设置中可能并不总是出现。我们在不可能推理和不同度量方面的工作与Huber在稳健性方面的工作相联系，当我们看到以下模型偏离的定义时。对于度量空间（M，d），模型偏差集定义为P的ε邻域：Pε={H∈ MF∈ P s.t.d（F，H）≤ ε} 。集合Pε闭合。setTε>0Pε也是闭合的，并且与P（P的闭合）一致。因此，集P是包含P的Huber型模型偏差Pε的最小集。模型偏差的最小集至关重要地取决于度量d的选择。从L'evy Prokhorov（LP）和总变差（TV）度量中，概率度量空间有许多度量的选择：Kolmogorov，Hellinger和Wasserstein等。Gibbs和Su（2002）进行了回顾。我们应该选择哪个指标？模型M空间上度量的选择导致该空间上的拓扑V。感兴趣的参数是函数u：（M，V）→ （R，U），其中U是R空间上的拓扑。稳健性是关于函数u的连续性，这在很大程度上取决于拓扑V和U的选择。对于实线，使用涉及形式（a，b）的所有开集的最小拓扑似乎是合理的。然而，度量值M集有许多拓扑选择。随着拓扑在u域上变得更紧密，连续函数集u增长更大。让我们考虑一个简单的例子来说明这一点。取两个拓扑空间，（R，V）和（R，U），一个函数ψ（x）=x。这个简单函数的连续性需要ψ-1（U）∈ V前开集合U∈ U、取U=（0，1），然后取ψ-1（U）=（0，1）。如果我们选择最粗糙的地形yv={, R} ，那么即使这个简单的函数也不是连续的。

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2022-5-30 22:47:54

要求allIn-fact取任意收敛序列Hn似乎是合理的→ H、这样Hn∈ Pεn、显示H∈ Pε，拾取任意F∈ P、 d（Hn，F）是真的≤ εn、因此，d（F，H）≤ d（F，Hn）+d（Hn，H）≤ ε+d（Hn，H）。取极限为n→ ∞ 给出d（F，H）≤ ε。线性函数是连续的。如果拓扑V由形式（a，b）的所有开集生成，则所有线性函数都是连续的。当然，其他非线性函数也可能是连续的；e、 g.，ψ（x）=x。这个例子表明，连续性在很大程度上取决于与函数域相关的拓扑V。如果函数对于拓扑V是连续的，那么对于内部拓扑也是连续的。这与函数u的鲁棒性和连续性的讨论有关。如果我们选择一个明确的拓扑，那么许多统计程序将被视为稳健的，因为许多函数都是连续的。如果我们选择一个粗略的拓扑，那么更少的统计过程将是稳健的。然而，如果统计过程在粗略拓扑中是稳健的，那么在精细拓扑中也是稳健的。在测度空间中常用的距离概念中，弱收敛或分布收敛背后的距离概念导致了最粗糙的拓扑。LP度量是度量弱收敛的距离概念（Dudley（1976），定理8.3）。保守地说，如果我们选择一个度量，我们会选择一个度量弱收敛的度量。毕竟，如果一个泛函对于LP度量所诱导的拓扑是连续的，那么它对于Kolmogorov或TVmetrics所诱导的更强拓扑也是连续的。另一个问题是，我们是否应该对鲁棒性更加严格，并寻找比LP度量所诱导的弱拓扑更弱的拓扑。

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2022-5-30 22:47:58

与实线示例非常相似，弱拓扑是最粗糙的拓扑，它保证了所有函数的连续性，对于g有界和连续，形式为u（P）=Zg dP，（3.4）。毕竟，当μ是有界连续函数时，要求μ是连续的似乎是合理的。如果我们选择一个较弱的拓扑，那么这种形式的u也不会是连续的。在假设检验中，对一组最小模型偏差的稳健性激励着检验Pagainst Pinst而不是检验Pagainst P。考虑到稳健性假设，并有可能保护我们免受数值近似误差、错误指定模型、测量和优化摩擦，以及我们正在测试的模型集的其他偏差。与（3.4）一样简单的u推理过程的稳健性要求拓扑不比LP度量所诱导的拓扑更弱。因此，我们使用LP度量来确定稳健假设检验集合的完备性。我们给出了两个简单的例子来证明为什么LP度量可能是一个明智的选择。使用LP度量进行稳健假设检验的第一个示例比较了零假设和替代假设下极其简单的混凝土分布。取X为伯努利随机变量，取Xn=X+1/（1+n）表示n∈ N、设px表示X的分布。P之间的最小tv距离=PXN编号∈ N和P=PX等于1。根据Kraft（1955）的Theorem5，存在具有非平凡功率的Pvs P测试。例如，定义一个测试，如果我们观察到值0或1，它将拒绝null，否则将无法拒绝null。此测试的大小等于零，幂等于一。

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2022-5-30 22:48:02

我们是否应该将值0和1作为反对null的证据？或者，我们是否应该认为空值可能会导致所有实际目的的相同值？在这个例子中，我们注意到PP、如果根据LP指标定义了闭包。因此，Pand PI之间的最小TV距离等于零。在我们证明空集为P后，就不可能找到任何幂大于size的测试（推论1）。然而，如果我们定义Pwrt的闭合TV指标，例如PT V，PT和PI之间的最小TV距离为非零，这意味着仍然可以有力地区分这些集合。使用LP度量的稳健假设检验的第二个示例使用连续分布的多项式近似。以多项分布的集合为例，每个支持都是有理数的有限子集。设Pbe为连续分布集。Pand和Pis之间的最小电视距离为1，可以对这些电视机进行强大的区分。稳健性让我们不禁要问，观察有理数是否与零假设无关，或者仅仅是四舍五入或测量误差的问题。closurePwrt LP度量包含连续分布，以及Pand Pis之间的最小TV距离为零。在我们将空集鲁棒化为P之后，就不可能有力地检验这些假设了。在伯努利和多项式的例子中，很明显，全集的LP闭包证明了测试过程的鲁棒性。下一步是检查经过验证的零集和备选集之间的电视距离，以此作为搜索具有非平凡功率的稳健测试的一种方法。

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2022-5-30 22:48:06

第二步中TV度量的使用由Kraft（1955）定理5的推论证明。推论1证明了非平凡幂检验存在的一个必要且充分的条件是，在TV度量的所有分布集中，零集不是稠密的。4应用在本节中，我们将我们的理论应用于多个经济实例。前三个例子是具有不连续性的模型：RDD、标量变量中的聚束和基于聚束的外生性测试。在这些情况下，不可能推理的LP版本的证明遵循类似于Portmanteau定理的论证。也就是说，指示器函数与使用弱距离的陡峭连续函数大致相同。测试是否存在插入标量变量的问题与其他具有不连续性的应用不同，因为存在一个不连续的强大测试。第四个例子是时间序列；它将不可能推理的LP版本与Huber关于稳健统计的工作联系起来。这种联系导致的结论是，不可能从协方差平稳模型中有力地区分错误持续时间或复合泊松模型。事实上，Fn（x）=P（Xn≤ x） =P（x≤ x个- 1/n），Fn（x）→ P（X<X）=Fx个-, F（x-) 6=F（x）<=> x个∈ {0，1}其中{0，1}是F的唯一不连续点，因此px是P.4.1回归不连续和扭结设计的极限点。第一个例子是回归不连续设计（RDD），由Hahn et al.（2001）（HTV01）首次正式化。RDD对经济学各个领域的应用研究产生了巨大影响。RDD的应用在20世纪90年代开始在经济学中普及。

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2022-5-30 22:48:09

影响深远的论文包括Black（1999）的论文，他研究了学区质量对房价的影响，其中质量在学区边界上不断变化；Angrist和Lavy（1999年），他们测量班级规模对学业成绩的影响，其中班级规模随入学率不连续变化；以及Lee（2008），他分析了美国众议院的选举和在职情况，其中选举胜利在投票份额上是不连续的。最近的理论贡献包括Porter（2003）对RDD估计器的速率最优性的研究，以及Imbens和Kalyanaraman（2012）和Calonico等人（2014）对数据驱动的最优带宽规则的研究。RDD确定了局部切割效应值的因果效应；有几位作者提出了条件，以推断出离切割效应更远的局部效应。其中包括Dong（2016年）和Dong and Lewbel（2015年）在cuto ff对治疗效果衍生品的估计；Bertanha和Imbens（2019）对模糊RDD治疗效果的同质性进行的测试；Bertanha（2019年）估计RDD的平均治疗效果和cuto ff值的变化。所有这些理论贡献都依赖于点识别和推理，并且它们受制于两种类型的不可能性。测试和构建置信区间的当前实践依赖于Wald检验统计（t（Z）- m） /s（Z），其中t（Z）和s（Z）是a.s.连续的，并且在数据中有界。对于临界值z的选择，假设检验φ（z）=I{|（t（z）- m）当数据连续分布时，/s（Z）|>Z}是a.s.连续的。置信区间C（Z）={t（Z）-s（Z）Z≤m级≤ t（Z）+s（Z）Z}有a.s.有界长度2s（Z）Z。RDD的设置遵循潜在结果框架。对于每个i=1，n、定义四个原始随机变量Di、Xi、Yi（0）、Yi（1）。这些变量是独立的，且呈独立分布。

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2022-5-30 22:48:12

变量在{0，1}中抖动值，并指示治疗状态。实际值变量Yi（0）和Yi（1）分别表示未治疗和治疗的潜在结果。最后，强制变量XI代表个体的实值特征，不受治疗的影响。强制变量有一个连续的PDF f（x），其间隔支持等于x。计量经济学家观察到Xi，Di，并且每个个体只有两个潜在结果中的一个：Yi=DiYi（1）+（1- Di）Yi（0）。为了简单起见，我们考虑了夏普RDD情况，但很容易将我们的结果推广到模糊情况。在尖锐的情况下，当且仅当强制变量大于或等于支撑X内部的固定政策切割时，代理才会接受治疗。因此，Di=I{Xi≥ c} ，其中I{·}表示指示符函数。我们关注平均治疗效果。在RDD设置中，通常仅在假定平均潜在结果的连续性后，以强制变量为条件，在cuto ff值处获得平均效应的识别。换言之，我们假设E[Yi（0）| Xi=x]和E[Yi（1）| Xi=x]是x的有界连续函数。HTV01表明这会导致识别感兴趣的参数：m=E[Yi（1）- Yi（0）| Xi=c]=limx↓cE[易| Xi=x]- 林克斯↑cE[易| Xi=x]。（4.1）设G表示所有函数的空间G:X→ R是有界的，并且在每个x上连续可微分的无数次∈ X \\{c}。符号X \\{c}表示除c以外的X的每一点的集合。函数在G函数中的连续性表示该部分中不可能的推理。然而，不连续m大小的非参数估计通常认为g中的函数是一阶或二阶连续可微的。

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