这与测试无条件分位数的问题形成了对比，无条件分位数不支持不可能的推断。参见Lehmann和D\'Abrera（2006），Tibshirani和Wasserman（1988），以及Coudin和Dufour（2009）。备注8。在模糊RDD情况下，处理效果等于Xi=c时e【Yi | Xi】的不连续性除以Xi=c时e【Di | Xi】的不连续性。推论3适用于这两个条件均值函数，在模糊RDD情况下也会导致不可能的推理。Feir等人（2016）研究了模糊RDD中的弱识别，并提出了一种稳健的测试程序。与Kamat（2018）和本文相比，他们弱识别的来源来自于Xi=c时E【Di | Xi】中的小不连续性。目前在RDD应用研究中使用的最常见的推理程序依赖于瓦尔德检验，该检验在数据中是a.s.连续的，并产生有限预期长度的置信区间。有关最常用的推理程序，请参见Imbens和Kalyanaraman（2012）以及Calonico等人（2014）。推论3表明，不可能控制这些测试的规模和这些置信区间的覆盖率。我们的论文并不是第一篇在RDD案例中显示不可能推理的论文。Kamat（2018）证明，具有不连续性的模型与TVmetric中没有不连续性的模型相似。他应用了Romano（2004）的测试不可能性，并发现测试受大小的限制。利用图3的图形直观性，我们提供了一个简单的samefacts证明，用弱距离代替TV度量。此外，我们还补充道，Wald测试产生的置信区间为零。值得强调的是，统计学家Low（1997年）和Cai and Low（2004年）关于非参数函数的线性泛函上的密度区间不可能存在适应性增益的工作。

这些作者在一类模型P上采用正确覆盖率的置信区间，并推导出给定模型P下任何置信区间的预期长度的下界∈ P、 随着样本量的增加，这些边界收缩到零的速率并不依赖于P。换言之，任何置信区间的预期长度为P∈ P收缩到零的速度快于下限必须对P具有不正确的覆盖率。Armstrong和Koles\'ar（2018）得出了对P具有正确覆盖率的任何置信集的预期长度的下限。随着P变得更普遍，下限增加到不一致，这是我们不可能的类型B。从积极的方面来看，如果我们限制模型P的类别，这两种类型的不可能性就会消失。如果我们假设G中的函数具有绝对斜率，则用于证明推论3的近似是失败的，该斜率由截断两边的有限常数C限定。Kamat（2018）表明，如果g（x）的前三个导数以及条件矩在P上一致有界，则Wald Tests渐近地具有正确的大小。Armstrong和Koles\'ar（2018）推导出了覆盖计量经济学中使用的最光滑或形状假设的凸函数类g的最小-最大最优长度置信区间。在RDD的情况下，他们考虑函数g（x），使得pth阶泰勒近似残差以Cxpon为界，Cxpon为截函数的任一侧。综上所述，应用研究者应记住，阈值不连续性值的测试和置信集的有效性在很大程度上取决于限制强迫变量X的平均结果变化。例如，考虑Jacob和Leffren（2004）对芝加哥暑期学校项目的分析。

强制变量X是一个标准化的阅读分数，决定了该项目的资格，Y是一个标准化的数学考试分数或项目结束后的阅读分数。看看他们的图6和图7，似乎可以合理地假设给定X的Y的条件平均值的斜率小于1。换句话说，今天的阅读成绩提高1分，明天的平均成绩提高不到1分。限制模型P的类别并不是在RDD中构造有效测试的唯一方法。解决该问题的另一种方法是考虑与推论3不同的空集Pdi，其中重点是阈值处的跳跃不连续性。一个例子是无效假设，即一个人的结果只受他所接受的治疗的影响，而不受治疗对相邻个体的影响。在暑期学校申请中，暑期上课的学生人数远远少于学年。参加暑期项目的学生之间可能会有更多的互动，从而导致治疗的溢出效应。一位希望检验无溢出的研究人员提出了Yi和Yj条件对X的依赖性的零假设。在一致有界矩条件下，Shahand Peters（2019）提出了对这种零假设的检验，这种零假设控制了大样本的大小并具有非平凡的力量。另一个对不可能检验免疫的无效假设的例子是，治疗效果的缺失相当于一个平滑的条件平均函数。我们可以定义零假设，即g是Lipschitz连续且具有常数C，以及替代假设，即g是方程式（4.2）中的任何其他函数。当治疗变量是强制变量X的函数，且该函数在已知切面处发生变化时，就会出现类似的设置。

这是Card等人（2015）（CLPW15）研究的奥地利失业福利案例。对于以前收入X低于临界值c的未就业个人，失业福利会随着收入的增长而增长；否则，如果他们以前的收入超过c，他们只会从收入中获得固定收益。CLPW15发现，对于福利固定在福利金右边的人，失业持续时间不取决于过去的收入（见图3）。道德风险会导致失业持续时间延长，随着福利的增加，收入越高，失业持续时间越长。因此，研究者可以指定平滑条件平均的无效假设来检验是否存在道德风险。拒绝可能是因为坡度的突然变化或阈值处的跳跃不连续性，这两种情况都表明求职行为发生了变化。然而，请注意，在CLPW15研究的所谓回归扭结设计（RKD）中，Lipschitz g的零假设不同于完全假设。RKDnull指出，g的一阶导数在阈值处是连续的，该零支持测试不可能性。RKD最近在经济学中越来越受欢迎。除CLPW15外，见Dong（2016）、Nielsen et al.（2010）和Simonsen et al.（2016）。该设置与RDD案例中的设置相同，只是兴趣的因果影响是阈值条件平均结果斜率的变化。一阶导数的连续性xE【Yi（1）| Xi=x】和阈值x=c处的xE【Yi（0）| Xi=x】保证了平均效应的确定。感兴趣的参数m=u（P）是Zi=（Xi，Yi）分布的函数：u（P）=xE[易（1）- Yi（0）| Xi=x]=limx↓cxE[易| Xi=x]- 林克斯↑cxE【Yi | Xi=x】。

（4.3）Zi的所有可能分布族的定义方式与方程式（4.2）略有不同：P={P：（Xi，Yi）~ Pg级∈ G s.t。xE【Yi | Xi=x】=g（x）}。（4.4）u的弱识别源于这样一个事实，即在x=c处具有不连续一阶导数的任何条件平均函数E【Yi | Xi=x】都很好地近似于一系列连续可微的条件平均函数。利用这一观点可以很容易地验证假设1。推论4。假设1满足P0，mm级∈ R、 定理2和3适用于RKD。即，（i）扭结不连续m值的a.s.连续试验φm（Z）的功率受尺寸限制；（ii）扭结不连续m值和有限预期长度的置信度集的置信度为零。推论4的证明遵循推论3的证明。只需使用P和u（P）的新定义，并构建序列PkwithxEPk[易| Xi=x]=gk（x）。4.2束流存在性检验第二个例子将定理2应用于检验标量随机变量束流存在性的问题。当X的分布在已知点X表现出非零概率，但在X的邻域内是连续的时，就会发生聚束。在许多实证研究中，单变量分布中的聚束是人们感兴趣的对象。例如，Saez（2010）和Kleven和Waseem（2013）依赖于税级边界上“报告收入”的聚集，以确定报告收入与税率的弹性；Goncalvesand Mello（2018年）在“交通罚单收费速度”上使用聚束来区分宽大和不宽大的警察，并识别种族歧视；RDD分析中的一个标准做法是检查强制变量的分布是否在切割处有聚束，这将被视为反对设计的证据。假设X是一个标量随机变量。

在没有聚束的情况下，假设Xis的CDF持续不同。聚束测试相当于测试X在X处是否具有正概率质量。让Pbe用连续不同的CDF来测试X的分布集。该集合是所有混合连续离散分布，其中一个质量点位于x，但其他情况下连续可微分CDF。备选方案下的任何分布Q在LP度量中由零下的分布序列pk很好地近似。因此，安雅。s、 连续测试的功率受大小限制。推论5。假设1在测试是否存在聚束的问题上得到了满足。因此，在受尺寸限制的PHA功率下，a.s.连续的任何试验φ（Z）。这个示例有一个有趣的特性，上一节的RDD和RKDexamples没有共享。在本例中，无法在近似于Q的整数下找到序列PK∈ Pusing电视指标。事件X=X在null下的概率为零，但在备选方案下的概率为正。因此，dT V（P，Q）>0本节中不需要假设CDF是连续可微的。我们之所以采用这种假设，是因为典型的非参数密度估计器假设密度是连续的。无论CDF是连续可区分的，还是仅仅连续的，本节的测试都是不可能的。对于每个P∈ P、 Q∈ P.定理1表明存在一个最大功率大于大小的测试，但我们的定理2说，该测试在P下不能是a.s.连续的。使用LP度量，而不是TV度量，导致我们搜索在P下不连续的测试。对于具有n iid观测值Xi的样本，测试φ（X，…，Xn）=InPni=1I{Xi=x}>0在P下不连续。

此测试的大小等于零，功率等于1- （1）- δ） n，其中δ=P[Xi=x]。4.3基于聚束的外生性检验第三个例子来自Caetano（2015），他使用聚束在给定X的Y条件分布中的思想来构建一个不需要工具变量的外生性检验。它适用于回归模型，其中未观察到的因素的分布被假定为不连续的wrt解释变量。有趣的是，在控制协变量W后，标量解释变量X对结果变量Y的影响。例如，假设我们在控制了母亲观察到的特征W后，对每天平均吸烟量X对出生体重Y的影响感兴趣。在（X，W）的条件下，当我们将不吸烟的母亲与吸烟很少的母亲进行比较时，如果零吸烟的母亲的未观察到的特征U的分布发生了剧烈的变化，那么可以说，在零吸烟的情况下，母亲的未观察到的特征U的分布是聚集的。如果出现聚集现象，那么变量X是内生的，因为我们无法将吸烟对出生体重的影响与未观察到的特征对出生体重的影响分开。确定Y的人口模型写为Y=h（X，W）+U，其中U总结了影响Y的未观察到的混杂因素。我们无法推断U上的聚束，除非h在（X，W）上是连续的。U wrt X的聚束是X atX=0的局部内生性的证据。0处的聚束意味着E[U | X=0，W]的不连续性-E[U | X=X，W]为X↓ h的连续性使聚束等效于E的不连续性[Y | X=0，W=W]- E[Y | X=X，W=W]asx↓ 每w.Caetano（2015）建议测试0w limx↓0E[Y | X=0，W=W]- E[Y | X=X，W=W]=0（4.5），作为测试X=0时X的局部外生性的方法。

我们认为h在X上可能有很高的斜率，甚至在X上是不连续的，这使得外源性不稳定。观测数据Z=（Z，…，Zn），Zi=（Xi，Wi，Yi）为iid，概率为P。（Xi，Wi）的支撑表示为X×W。假设（X，W）上的Y分布是连续的。X的分布在X=0时具有非零概率，但在其他情况下是连续的。假定δ>0，使得[0，δ） 十、 设G表示所有函数的空间G:X×W→ 有界且在{x \\{0}}×W上连续可微的R。x=0处的不连续大小可以取R中的任何值。所有可能分布的族表示为asP={P:Zi~ Pg级∈ G s.t.EP【Yi | Xi=x，Wi=w】=G（x，w）}。（4.6）在X的局部外生性下，函数τP（w）=EP[Yi | Xi=0，Wi=w]- 林克斯↓0EP[Yi | Xi=x，Wi=w]必须等于0w∈ W、 在实践中，对τP（W）与W的聚合进行推断是很方便的∈ 而不是在整个函数τP（W）上。聚合的示例包括|τP（W）|的平均值、τP（W）平均值的平方根或|τP（W）|对W的上确界∈ W、 为了简洁起见，我们选择第二个选项。对于分配P∈ P、 定义u（P）=EP公司τP（W）1/2。局部外生性对应于u（P）=0与u（P）6=0的测试。参数u（P）在模型P类中是弱识别的。与RDD情况一样，任何在x=0处不连续的条件平均函数E[Yi | Xi=x，Wi=w]都可以很好地近似于连续条件平均函数序列E[Yi | Xi=x，Wi=w]。假设1使用与RDD案例中相同的参数进行验证。推论6。假设1满足P0，mm级∈ R、 定理2和3适用于局部外生性检验的情况。即，（i）a.s。

聚合连续性m值的连续测试φm（Z）的功率受大小限制；（ii）aggregatediscontinuity m值和有限预期长度的置信集的置信度为零。Caetano（2015）提出的推理程序依赖于非参数局部多项式估计方法。与RDD案例一样，这些程序产生的测试在数据和确定预期长度的置信区间中是a.s.连续的。推论6意味着缺乏规模控制和零置信水平。4.4时间序列模型第四个例子说明了针对LP指标的稳健假设检验，它对宏观经济学家具有实际意义。宏观计量经济学通常使用线性时间序列过程。Wold表示定理证明了这一点，它断言每个协方差平稳过程xt都可以写成MA过程加上一些确定性项：xt=B（L）εt，其中L是滞后算子，B（L）=Pqi=0bili，ε是一个不相关的误差序列。需要注意的是，q阶数必须太大，才能对许多应用程序有用。ARMA模型SA（L）xt=B（L）εt很好地捕捉到了具有有限滞后顺序的MAP过程的特征，其中A（L）和B（L）的阶数很小，其中A（L）=Ppi=0aili。具有有限阶（p，q）的平稳ARMA（p，q）模型集的闭包不一定只包含平稳模型。最简单的例子发生在A（l）=1时-al和B（l）=1。当| a |<1时，过程是平稳的，但当a=1时，过程是非平稳的。这一观察结果导致了ARIMA模型，该模型能够更好地捕捉时间序列的持续性。从20世纪90年代开始，应用研究人员开始意识到ARIMA模型本身有局限性。

这导致了其他随机过程的发展，包括错误持续时间模型、马尔可夫切换模型、阈值模型、结构突变和分数积分过程等。这是一部庞大的文献，其中包括汉密尔顿（1989）、帕克（1999）和白和佩伦（1998）的论文，仅举几个例子。许多作者指出，这些不同的模型扩展可能彼此距离不太远。例如，Perron（1989）表明，具有漂移的综合过程和具有破碎趋势的平稳模型很容易混淆；Parke（1999）指出，误差持续时间模型封装了分数积分序列；Granger和Hyung（1999）以及Diebold和Inoue（2001）发现，带中断的线性过程可能被误解为长记忆模型。在这些论文中，以及在大多数相关计量经济学文献中，重点是斯托克斯过程的自方差。我们在第3节中对稳健假设检验的讨论建议我们考虑ARMAProcess的闭包，以区分这些模型。例如，假设一个过程是协方差平稳的，而不是一个错误持续时间模型或复合泊松模型。具有非平凡能力的测试的存在要求我们寻找这些进程集之间的TV距离。然而，在TV距离内近似这些过程的能力通常基于非常严格的假设。例如，有关复合泊松过程的TV近似，请参见Barbour和Utev（1999）。如果我们专注于LP度量，那么搜索协方差平稳与误差持续时间或复合泊松的测试问题就会变得容易得多。

为了解决这个问题，我们依赖Bickel和B¨uhlmann（1996），他们的工作在计量经济学文献中基本上被忽视。他们用TV和Mallows度量（也称为Wasserstein度量）来描述AR和MA过程的闭合。TV指标强于Mallows指标，而inturn指标强于LP指标。事实上，Mallows度量下的收敛意味着弱收敛和二阶矩收敛；参见Bickel和Freedman（1981）和Bickel和B¨uhlmann（1996）。因此，随机过程的闭包wrt-LP度量大于闭包wrt-Mallows度量。结果表明，错误持续时间和复合泊松模型在LP度量的闭包中。换言之，LP度量中的鲁棒空集wrt包含替代集，这些集之间的最小TV距离为零。因此，所有针对鲁棒空值的测试的幂都不大于大小。鉴于有限阶ARMA过程的封闭性非常丰富，我们可能想知道哪些假设是可测试的。Bahadur和Savage（1956）以及Romano（2004）指出，即使在iid的情况下，如果没有进一步的力矩约束，测试人口平均数也是毫无希望的。我们能试着测试分位数吗？Peskir（2000）和Shorack and Wellner（2009）为时间依赖下经验过程的一致收敛提供了充分条件。量化投资的自然选择是风险价值（VaR），这在金融文献中常用。建立VaR假设可测试的经验过程类别是很有意思的。我们将此示例留给将来的工作。5模拟在本节中，我们提供蒙特卡罗模拟来说明在RDD环境下进行测试的不可能性。我们发现，在完全假设下，Wald检验无法统一控制尺寸。

我们使用了基于经验示例的数据生成过程（DGP）。即使对于与数据一致的DGP，也会出现拉科夫大小控制。此外，模拟还表明，在人工控制尺寸后，Wald检验的功效很小。为简洁起见，我们将重点放在RDD案例上，我们预计RKD和外源性测试案例也会有类似的结果。我们的DGP基于Lee（2008）的在职数据。李在美国众议院研究在职优势。平均而言，一个政党的候选人几乎没有赢得选举的地区，与该政党的候选人几乎没有输掉选举的地区相当。强制变量X是民主党的得票率。目标参数是民主党人在时间t（在职）赢得选举对民主党人在时间t+1赢得选举的概率的影响。其他几位计量经济学家也将Lee的数据用于模拟研究，例如Imbens和Kalyanaraman（2012）、Calonico等人（2014）以及Armstrong和Koles\'ar（2018）。我们使用蒙特卡罗DGPof Imbens和Kalyanaraman（2012）以及Calonico等人（2014），如方程式（5.1）所述。Y型=0.48+1.27X+7.18X+20.21X+21.54X+7.33X+U如果X∈ (-0.99，0）0.52+0.84倍- 3倍+7.99倍-9.01X+3.56X+U如果X∈ [0，0.99]（5.1），其中X分布为β（2，4），U为零均值高斯分布，标准偏差为0.1295，且X与U无关。图2描述了方程（5.1）的条件平均函数。方程式（5.1）中的DGP属于Armstrong和Koles\'ar（2018）在RDD应用中研究的函数类。第658页上的函数集FRDP，p（C）包含方程（5.1），其中p=2，常数C=7.2。图2：基于Lee（2008）数据的条件平均函数注：方程（5.1）的条件平均函数。

强制变量X是民主党在时间t内的得票率。如果民主党在时间t+1内获胜，结果变量Y等于1，否则等于零。我们的模拟研究使用由两个参数控制的方程（5.1）的变化：τ∈ R和M∈ R+。Y型=0.48+τ∧（4MX/τ）+1.27X+7.18X+20.21X+21.54X+7.33X+U如果X∈ (-0.99，0）0.48+τ∧（4MX/τ）+0.84X- 3倍+7.99倍-9.01X+3.56X+U如果X∈ [0，0.99）（5.2），其中∧（·）是logistic CDF函数。方程（5.1）和（5.2）的条件平均函数在截面积的任一侧都是不同的。第一个在X=0时不连续，大小为0.04，而第二个在X=0时不连续。对于τ=0.04，方程（5.2）将方程（5.1）近似为M→ ∞. 参数M是τ∧（4MX/τ）wrt X在X=0时的导数。当斜率M变大时，方程（5.2）的连续条件平均函数近似于尺寸为τ的不连续函数。图3说明了这种近似，以及第4.1节中推论3的证明。例如，当限制操纵选票份额以赢得选举时，会出现一个类似于方程（5.2）的模型，该模型的M值较高。RDD文献中广泛研究了forcingvariable的操纵。例如，见McCrary（2008）和Gerard等人（2016）。假设以X为条件赢得选举的平均因果效应对于获胜率较小的地区很小，但在其他地区则很大。在没有操纵的情况下，E[Y | X]是连续的，并且在切面右侧非常平滑。低X地区的政党有操纵选举的动机，研究者观察到被操纵的胜利边缘X，而不是X。

假设操纵发生的概率取决于xin持续增加，但急剧增加到切割的右侧。在这种情况下，研究人员观察到一个传统的平均函数，该函数在切面处连续，但在切面右侧急剧增加。在实践中，人们可能仅仅因为操纵而错误地拒绝零效应的零点，图3：近似一个不连续的条件平均函数（τ=0.04）（a）M=0（b）M=0.5（c）M=2（c）M=8注：不连续的条件平均函数e[Y | X]（实线）由一系列连续的条件平均函数（虚线）近似。对于τ=0.04和M，实线是模型5.1的E[Y | X]，虚线是模型5.2的E[Y | X]∈ {0，0.5，2，8}。该图表明，模型5.2近似于DGP basedon Lee（2008），因为X=0的斜率变大。并不是因为实际的因果关系。我们在a部分中提供了该DGP的具体示例。附录中的6。感兴趣的参数是m，X=0时跳跃不连续的大小。零假设m=0，这是方程（5.2）中带τ的模型集∈ R和M∈ R+。交替假设为m 6=0，这是一组τ6=0且m=∞. 第4.1节表明，备选方案中的任何模型在LP度量中都可以通过空值下的模型很好地近似。a.s.连续测试的功率小于或等于大小。蒙特卡罗实验模拟了一个iid样本的10000次绘制，共有500次观测。实验中模型5.2的（τ，M）值范围与Lee\'sDGP的震级一致。图2中条件平均图的最大斜率为1.97，weset M∈ {0，2，…，10}。Lee的DGP的m值为0.04，我们在{0，0.01，0.04，0.08}中改变τ。我们进行了尺寸和功率分析。

在尺寸分析中，我们模拟了每个（τ，M）-模型下Wald检验的拒绝概率。m和标准误差的估计值由Calonico等人（2014）的稳健偏差校正方法获得，并使用Statpackage rdrobust实现。对于每个模型（τ，M），测试的临界值来自模型（τ，0）下统计的模拟分布。这确保了在null（M=0）下，平滑模型中测试的精确大小。表1中Wald试验的标称尺寸为5%，模拟拒收概率表1：零尺寸下的拒收概率5%τM=0 M=2 M=4 M=6 M=8 M=10.01 0.0500 0.0540 0.0557 0.0592 0.0585 0.0580.02 0.0500 0.0665 0.0678 0.0649 0.0694 0.0685.03 0.0500 0.0910 0.0942 0.0938 0.0941 0.1016.04 0.0500 0.1005 0.1067 0.1071 0.1121 0.1139.05 0.0500 0.1114 0.1264 0.1334 0.1464 0.1434.06 0.0500 0.1292 0.1632 0.1680 0.18190.1819.07 0.0500 0.1258 0.1617 0.1832 0.1906 0.2026.08 0.0500 0.1320 0.1888 0.2142 0.2266 0.2427注：表格显示了模型5.2中（τ，M）各种选择下Wald试验的模拟拒绝概率。测试的临界值因行而异，但在列之间是恒定的。对于每个（τ，M）-模型，测试的临界值来自模型（τ，0）下统计的模拟分布。Wald检验的M和标准误差估计值由Calonico等人（2014）的稳健偏差校正方法获得，并使用STATA软件包“rdrobust”实现。随τ和M增加。对于从方程（5.1）中的模型观察到的最大斜率M=2，测试的大小在5.4%和13.2%之间变化，这取决于在空值下选择的模型。

M的真实值未知，坡度M=10上更保守的上限会使测试的大小失真达24%。在功率分析中，我们研究了M=∞ 和τ∈{0，0.01，…，0.08}。这些模型属于备选方案，因为当m=∞. Foreach（τ，∞)-模型，我们希望测试在最不利的空模型下具有正确的大小。表1表明，空值下最不利的模型是斜率最大的模型。图3显示，零模型可以近似任何备选方案（τ，∞)-建模任意好。如果我们将X=0处的斜率限制为最大M，则对于备选值（τ，∞)-模型为（τ，M）-模型。评估a（τ，∞)模型，检验的临界值来自（τ，M）-模型下统计数据的模拟分布，用于（τ，M）的各种选择。这样，在所有最不利（τ，m）模型的可能性下，当m=0时，测试具有正确的大小。表2：备选方案下的拒收概率-尺寸5%τM=0 M=2 M=4 M=6 M=8 M=10.01 0.0610 0.0508 0.0504 0.0501 0.0504 0.0500.02 0.0763 0.0527 0.0524 0.0505 5 0.0513 0.0501.03 0.1020 0 0.0574 0.0532 0.0525 0.0526 0.0527.04 0.1204 0.0646 0.0571 0.0556 0.0536 0.0524 0.05 0.1583 0.0770 0.0670 18 0.0597 0.0573 0.0544.06 0.2013 0.0899 0.0682 0.0638 0.0605 0.0569.07 0.2192 0.1023 0.07320.0677 0.0642 0.0590.08 0.2781 0.1179 0.0839 0.0707 0.0654 0.0631注：表中的条目显示了模型5.2下Wald试验的模拟拒收概率，其中τ和M=∞, 因此，不连续的尺寸为m=τ。测试的临界值因行和列而异。对于每个（τ，M）-条目，临界值来自于零（τ，M）-模型下统计的模拟分布。

Wald检验的m和标准误差估计值由Calonico et al.（2014）的稳健偏差校正方法获得，并使用STATA软件包“rdrobust”实现。表2中试验的威力随着不连续性τ的大小而增加，但在零位条件下，随着最不利模型的斜率M而减小。直观地说，M越高，harderit就越能区分（τ，M）-模型和（τ，∞)-模型对于τ=0.04和M=2的经验相关值，我们看到测试的功效为6.5%，略高于其大小。空值下模型斜率上更保守的上界本质上使幂相等。附录中的A.9节包含标称水平1%和10%的这些表格的版本，以及使用的模拟临界值。6结论当对计量经济模型中的参数进行推断时，一些作者提供了检验具有微不足道的功效的条件（不可能类型a）。其他人则检查信任区域的错误概率是否等于1（不可能类型B）。这些负面结果背后的动机是，模型中的兴趣参数可能几乎是不确定的。不可能推理依赖于模型与距离的某些概念不可区分。一些作者使用总变化（TV）度量来区分模型，而其他人则依赖于L'evy-Prokhorov（LP）度量，这是一个较弱的距离概念。在TVmetric中区分模型的能力是存在具有非平凡幂的测试的必要和有效条件。根据较弱的距离概念进行的不可能推理通常更容易证明，它适用于广泛使用的几乎可以肯定的连续测试类，并且对于稳健的假设测试很有用。不可能类型A比类型B强。

Dufour（1997）关注的模型是，基于有界置信区域的测试无法控制大小，但它们仍然具有非平凡的能力。当辅助变量可能任意弱时，采用联立方程模型。Moreira（2002、2003）和Kleibergen（2005）提出了在B型不可能的模型中具有正确尺寸的测试。此外，当识别能力强时，这些测试具有良好的能力，在通常的渐近条件下有效。它们的威力并不是微不足道的，正是因为备选方案下的每个模型都不是由空值下的模型来近似的。LP与TV指标的选择将我们的工作与Peter J.Huberon稳健统计的工作联系起来。这使我们看到LP指标下模型偏离的结束。特别是，稳健假设检验要求在LP度量下，零集和备选集的闭合之间存在非零TV距离。例如，不可能找到一个稳健的测试来有力区分协方差平稳模型与误差持续时间和复合泊松模型，因为前者的闭包包含后者。这个结论非常丰富，我们想知道什么样的假设是可测试的。无法测试总体平均值，因此一种可能性可能是风险值（VaR）等分位数。Peskir（2000）和Shorack and Wellner（2009）为依赖下的经验过程的收敛提供了充分的条件。在这些条件的基础上建立能够进行分位数测试的过程类别，这将是一项有趣的未来工作。7致谢我们感谢蒂姆·阿姆斯特朗、莱安德罗·戈尔诺和匿名裁判提供的有益意见和建议。Bertanha感谢圣母岛和CORE UcLouvain的支持。Moreira感谢CNPq和FAPERJ的研究支持。

本研究部分由巴西高级财政委员会（CAPES）财务代码001协调会资助。ReferencesAngrist、Joshua和Victor Lavy（1999），“使用Maimonides规则估计班级规模对学业成绩的影响”，《经济学季刊》，第114卷，第2期，第533-575页。Armstrong、Timothy和Michal Koles\'ar（2018）“一类回归模型中的最优推断”，《计量经济学》，第86卷，第2期，第655-683页。Bahadur、Raghu和Leonard Savage（1956）“某些非参数统计过程的不存在”，《数理统计年鉴》，第27卷，第4期，第1115-1122页。Bai、Jushan和Pierre Perron（1998）“估计和测试具有多重结构变化的线性模型”，《计量经济学》，第66卷，第1期，第47-78页。Barbour、Andrew和Sergey Utev（1999）“总变差中的复合泊松近似”，随机过程及其应用，第82卷，第1期，第89-125页。Marinho Bertanha（2019）“具有多阈值的回归不连续设计”，《经济计量学杂志》，即将出版。Bertanha、Marinho和Guido Imbens（2019）“模糊回归不连续设计的外部有效性”，《商业和经济统计杂志》，即将出版。Bickel、Peter和Peter B¨uhlmann（1996）“什么是线性过程？”《国家科学院院刊》，第93卷，第22号，第12128-12131页。Bickel、Peter和David Freedman（1981）“Bootstrap的一些渐近理论”，《统计年鉴》，第9卷，第6期，第1196-1217页。帕特里克·比林斯利（2008）《概率与度量：约翰·威利父子》，纽约。Black，Sandra（1999）“更好的学校重要吗？家长对基础教育的评估”，《经济学季刊》，第114卷，第2期，第577-599页。卡罗莱纳州卡埃塔诺（2015年），《计量经济学》，第83卷，第1期，“集群模型中无工具变量的外生性检验”。

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对于εk=dT V（pk，q）→ 0，存在单调子序列εkj=dT V（pkj，q）↓ 创建新序列epj=pkjand eεj=εkj/2，以便dT V（epj，q）<eεj。第1部分，证明，（a）<= （a） ：简单明了。第2部分：（a）<=> （b） 其中（a）：q∈ p{pk}k co（p）和{εk}k↓ 0，使得dT V（pk，q）<εkk（b）：q∈ p{εk}k↓ 0，以便φZφq du<εk+供应∈pZφp dukPart 2，证明，（a）=> （b） ：Fix q，（a’）表示存在序列{pk}k co（p）和{εk}k↓ 0，使得dT V（pk，q）<εkk、 修正k。使用定理1和{p}={q}。（a） 暗示φRφq du<εk+供应∈pRφp du。对于收敛到零的序列εk中的每一个k，给定任意q，这是正确的。第2部分，证明，（a）<= （b） ：Fix q，getεk。Fix k。使用定理1和{p}={q}。（b） 表示存在pk∈ co（p），使得dtv（pk，q）<εk。每k重复一次，得到序列{pk}k co（p）使得dt V（pk，q）<εkk、 第3部分：（b）<=> （b） 其中（b）：q∈ p{εk}k↓ 0，以便φZφq du<εk+供应∈pZφp duk（b）：φ和q∈ p、 Zφq du≤ 支持∈pZφp du第3部分，证明（b）=> （b） ：Fix q，getεk。Fixφ。Rφq du<εk+supp∈pRφp du。在两侧取限制值，Rφq du≤ 支持∈pRφp du。对于每个q和每个φ都是这样。第3部分，证明（b）<= （b） ：简单，因为对于任意φ，q和{εk}k↓ 0Rφq du≤ 支持∈pRφp du表示rφq du<εk+supp∈pRφp du。A、 2定理2的证明定理2的证明与Romano（2004）对定理1的证明遵循相同的路线，但我们的假设1是根据LP度量和P的凸包来陈述的∈ P、 存在一系列分布{Pk}∞k=1 co（P）使PKD→ Q、 分布的收敛性等价于EPk[g]→ 公式[g]，对于Q下不连续点集概率为零的每个有界实值函数g（定理25.8，Billingsley（2008））。特别是，对于任意φ，即a.s，g=φ时也是如此。

Q下连续。取任意序列εn→ 0，并从序列{Pk}ksuch中选取一个子序列{Pkn}nf- εn≤ 公式φ- EPknφ≤ εn.（A.2）因此，公式φ≤ EPknφ+εn≤ 支持∈co（P）EPφ+εn.（A.3）给定εn→ 0，因此，对于Q∈ P、 公式φ≤ 支持∈co（P）EPφ。（A.4）因此，supQ∈PEQφ≤ 支持∈co（P）EPφ。（A.5）很明显∈co（P）EPφ≥ 支持∈PEPφ。这仍然需要证明这些是平等的。假设支持∈co（P）EPφ>supP∈PEPφ。选择足够小的ε>0，以支持∈co（P）EPφ-ε>支持∈PEPφ。存在Pε∈ co（P）这样支持∈co（P）EPφ≥ EPεφ>supP∈co（P）EPφ- ε>支持∈PEPφ。（A.6）根据定义，Pε=PNi=1αIpin∈ N、 Pi∈ Pi、 αi∈ [0，1]i、 和Pni=1αi=1。那么，EPεφ=PNi=1αiEPiφ≤ 支持∈PEPφ，矛盾。因此，支持∈co（P）EPφ=供应∈PEPφ和SUPQ∈PEQφ≤ 支持∈PEPφ。（A.7）A、 3定理3的证明该证明是Dufour（1997）和Gleser and Hwang（1987）的证明的组合。第（2.6）部分：固定m∈ u（P）。定义φm=I{m 6∈ C（Z）}，注意∈P（m）EPφm=支持∈co（P（m））EPφm（见定理2的证明）。因此，1- α≤ infP公司∈P（m）P【m】∈ C（Z）]=infP∈co（P（m））P[m∈ C（Z）]。因此P∈ co（P（m）），P[u（P）∈ C（Z）]≥ 1.- α。根据假设2，co（P（m））中存在{Pk}，使得Pkd→ P*. 然后，1- α≤ Pk[u（Pk）∈ C（Z）]=峰值[米∈ C（Z）]→ P*[米∈ C（Z）]（A.8），其中收敛遵循Portmanteau定理，因为P*({m∈ C（Z）}）=0（Billingsley（2008）的定理29.1）。这证明了（2.6）。第（2.7）部分：选择序列mn∈ u（P），使得Mn是无界的。假设不丧失一般性↑ ∞. 我们有这个1- α≤ P*[mn∈ C（Z）]≤ P*[mn≤ U[C（Z）]]。（A.9）取限值为n→ ∞,1.- α≤ P*[U[C（Z）]=∞] （A.10）≤ P*【U【C（Z）】- L[C（Z）]=∞] = P*[D[C（Z）]=∞] . （A.11）第（2.8）部分：假设2给出了一个序列{Pk}kin co（P），该序列在分布上收敛于P*. 根据假设，P*[{D[C（Z）]=∞]}] = 所以Portmanteau定理给出了Pk[D[C（Z）]=∞]] →P*[D[C（Z）]=∞]] ≥ 1.-α。

存在一个序列δk↓ 0，使得Pk[D[C（Z）]=∞]] ≥ 1.-α-δk.Fixε>0。集合Bε（P*) ∩ co（P）包含上述序列中的许多PK。对于这些Pks，1- α- δk≤ Pk[D[C（Z）]=∞]] （A.12）≤ 支持∈Bε（P*)∩co（P）P[D[C（Z）]=∞]] （A.13）=支持∈Bε（P*)∩PP[D[C（Z）]=∞]] （A.14）最后一个等式后面是上文（2.6）证明中的相同论点。以极限值为k→ ∞ 给出（2.8）。A、 4置信区间覆盖率-引理A.1引理A.1。设C（Z）按式（2.9）构造。然后，infP∈PP[u（P）∈ C（Z）]=1- 卸荷点法∈u（P）α（m）。（A.15）引理证明A.1。假设SUPM∈u（P）供应∈P0，mP（φm（Z）=1）=α。（A.16）现在，选择ε>0。然后，存在mε，使得α- ε/2≤ 支持∈P0，mεP（φmε（Z）=1）≤ α。（A.17）也存在Pε∈ P0，mε，使得α- ε≤ Pε（φmε（Z）=1）≤ α。（A.18）重新排列上述表达式，我们得到1- α+ε≥ Pε（u（Pε）∈ C（Z））≥ 1.- α。（A.19）因此，我们发现∈PP[u（P）∈ C（Z）]=1- α、 （A.20）正如我们想证明的那样。A、 5推论3Fix m的证明∈ R、 选择任意Q∈ P1，m，设m=u（Q）6=m。定义g（x）=等式【Yi | Xi=x】。构造函数序列gk:R→ R、 k=1，2。如下所示：gk（x）=g（x）+（m- m）∧k（x- c）- I{x≥ c}（A.21）其中∧（·）是物流分布的累积分布函数（CDF）。函数gk在X{c}上连续可微，因此gk∈ Gk、 和limx↓cgk（x）-林克斯↑cgk（x）=m。此外，作为k→ ∞, gk（x）→ g（x）每x 6=c。定义pk为（Xi，Yi）的分布- g（Xi）+gk（Xi））当（Xi，Yi）~ Q、 因此u（Pk）=m和Pk∈ P0，mk、 还有待证明Pkd→ Q、 或等效地，表明（Xi，Yi- g（Xi）+gk（Xi））d→ （Xi，Yi）（A.22）作为k→ ∞ 其中（Xi，易）~ Q、 注意（Xi，Yi-g（Xi）+gk（Xi））=（Xi，Yi）+（0，gk（Xi）-g（Xi）），因此必须显示gk（Xi）- g（Xi）p→ 0作为k→ ∞.定义Ak={c- k-1<Xi<c+k-1} ，并设Ack为Ak的补码。

固定ε>0。Q[| gk（Xi）- g（Xi）|>ε]（A.23）=Q[| gk（Xi）- g（Xi）|>ε| Ak]Q[Ak]（A.24）+Q[| gk（Xi）- g（Xi）|>ε| Ack]Q[Ack]。（A.25）部分（A.24）消失为k→ ∞ 根据概率测度的连续性，因为Ak↓ {c} 假设Q[{c}]=0。对于第（A.25）部分，请注意| gk（x）- g（x）|≤ |m级-m |∧(-k） 对于任何x∈ AckCause∧k（x- c）在x上严格增加，并且在x=c左右对称，所以| gk（x）- g（x）|在x=c时达到最大值- k-1和x=c+k-因此，（A.25）≤ 我|m级- m |∧(-k） >εQ[确认]→ 0（A.26），因为∧(-k）→ 0作为k→ ∞.因此，假设1满足每m∈ R、 定理2适用，推论2适用于u（P）=R。A、 6具有操纵的RDD模型示例在本节中，我们提供了一个具有操纵的DGP示例，该示例产生了一个类似于蒙特卡罗实验中等式（5.2）的模型。输掉选举的潜在结果被归一化为零（Yi（0）=0），赢得选举的潜在结果为Yi（1）。假设在紧张的选举中获胜的预期潜在收益很小，但在其他情况下很大；也就是说，让E[Yi（1）- Yi（0）| Xi=x]=E[Yi（1）| Xi=x]=x，其中Xi是给定政党在第一区的胜利边缘。假设Xi的分布是均匀的[-1，1]。每个地区都是从给定分布中抽取的iid（Yi（1），Xi，εi），其中εidenotes districti在可能操纵的世界中影响选举结果的潜力。在一个没有操纵的世界里，研究者观察到（Yi，Di，Xi），其中Di=I{Xi≥ 0}是胜利指标，Yi=DiYi（1）+（1- Di）Yi（0）=DiYi（1）是结果。因此e[Yi | Xi=x]=Xi{x≥ 0}。

切向效应没有间断性，因果效应为零，DGP处于切向效应为零的无效假设下（图4（a））。图4：有操纵的RDD示例（a）无操纵的条件平均数（b）有操纵的条件平均数注：图（a）中没有操纵，研究人员观察了（Yi，Xi）的样本。实线表示观察结果的条件平均值，给出胜利边缘E【Yi | Xi】。胜利情况下潜在结果的条件平均值E【Yi（1）| Xi】为虚线，失败情况下的潜在结果标准化为零Yi（0）=0。在图（b）中，存在操纵，研究人员观察到一个样本（▄Yi，▄Xi）。实线为E[| Yi | | Xi]，虚线为E[Yi | Xi]。操纵增加了cuto ff处conditionalmean函数的斜率。在一个充满操纵的世界里，如果这样做的预期潜在收益是积极的，那么第一区的特定政党决定影响选举。换言之，如果不受操纵的胜利率XI导致选举失败，那么赢得选举的预期潜在收益E[Yi（1）- 易（0）| Xi]是绝对积极的，然后党决定操纵。因此，如果Xi<0，并且胜利边缘从Xitoεi>0变化，则会发生操纵。尽管该党尽可能少地操纵选票以赢得选举，但它并没有完全控制自己的选票份额。假设εi=5χ（3），即五次具有三个自由度的卡方分布。在零处计算的pdf fε等于零，但它高度倾斜到零的右侧。设▄Xibe操纵胜利边缘定义为▄Xi=I{Xi<0}εI+I{Xi≥ 0}Xi。研究者观察（▄Yi，▄Di，▄Xi），其中▄Yi=▄DiYi（1）+（1-Di）Yi（0）=▄DiYi（1），且▄Di=I{▄Xi≥ 0}是胜利指示器。

操纵下的条件平均函数是由【】Yi |▄Xi=x】=I{x给出的≥ 0}E[Yi（1）|Xi=x]=I{x≥ 0}EhYi（1）{εi=x，Xi<0}或{Xi=x，Xi≥ 0}i=i{x≥ 0}nθ（x）E[Yi（1）|εi=x，Xi<0]+（1- θ（x））E[Yi（1）| Xi=x，Xi≥ 0]o=I{x≥ 0}nθ（x）E[Yi（1）| Xi<0]+（1- θ（x））E[Yi（1）| Xi=x]o=I{x≥ 0}nθ（x）（1/3）+（1- θ（x））xo，其中权重θ（x）=fε（x）P（Xi<0）fε（x）P（Xi<0）+fX（x）I{x≥ 0}=fε（x）0.5fε（x）0.5+0.5I{x≥ 0}是θ（x）∈ [0，1]，θ（0）=0，θ（x）在x中是连续的，并且在x=0附近是正的和高度倾斜的。条件平均函数E【~ Yi ~ ~ Xi=x】在截止效应处急剧增加（图4（b）），因为因果效应低和高的地区操纵其截止效应的XitoXi=ε。切割处没有间断，DGP仍处于零影响的零假设下。然而，操纵使得在临界点很难区分零效应和正效应。A、 7推论5Fix Q的证明∈ P带CDF FQ（x）。CDF FQ（x）在x=x时有一个大小δ>0的跳跃不连续性。称FQat x 6=x的导数为FQat x 6=x，它是x的一个连续函数，每x 6=x。R上fqf的积分等于1- δ。fQat x、fQ（x+）和fQ（x）的侧限-), 可能会有所不同。选择序列εk↓ 0、构造一个连续的“帽状”函数k（x）：[x-εk；x+εk]→ R使得：（i）gk（x-εk）=fQ（x-εk）；（ii）gk（x+εk）=fQ（x+εk）；（iii）gk（x）对于x具有恒定的正斜率≤ x、 x的常数和负斜率≥ x；（iv）gk（x）≥ fQ（x）；和（v）R（gk（x）- fQ（x））dx=δ。对于足够小的εk，总是可以构造这样的函数。定义fPk（x）=fQ（x）+I{x- εk≤ x个≤ x+εk}（gk（x）- fQ（x））。这是一个连续的PDF函数，让它定义分布Pk。然后CDF FPK收敛到FQas k→ ∞ 在FQ的每个连续性点，以便Pkd→ QA、 8推论6Fix m的证明∈ R