无延迟ymsft INTC yhoosjuκθuκθuκθa+1 0.31 2.89 0.27 0.15 2.36 0.15 0.13 1.87 0.23b+1 0.33 3.31 0.40 0.19 2.46 0.17 0.16 2.07 0.26a-1 0.34 3.22 0.41 0.18 2.49 0.18 0.14 2.02 0.27b-1 0.34 2.87 0.27 0.19 2.36 0.15 1.83 0.18表4。1ms延迟的泊松参数估计6.1.2。价格变动后的数量分布。单位体积中的体积通过Slup将份额中的体积除以四舍五入到最接近的整数来近似。图1比较了YHOO在价格变动后即刻和一毫秒后的体积分布。我们观察到：o在价格上涨（下跌）后，最低价（分别为ask）价格下的交易量很小，但在一毫秒后会大幅增加；o从价格上涨（或下跌）开始，在排队比赛的前几毫秒内，以最佳询价（或出价）价格的交易量保持分布几乎不变。6.2。数值格式。动态规划技术通常借助于“维数诅咒”【40】，通过（5.4）中的迭代算子A计算值函数。附录D中提出的下一个建议允许我们减少问题的规模，从而加速实施。提案6.1。给定e：=（j、vb、va、p、z、y）∈ E、 E：=（j、vb、va、p、z、y）∈ E和λ∈ T、 我们有*（e，λ）=V*（e，λ）+ρ（p- p） （y+z）+ρ（z- z） （p- j） 。此外，值函数V*就成熟时间而言是单调的。的确，让π*:= {φ*, φ*, . . . }T-最优并构造策略πδ：=φδ，φδ。

。, 对于固定δ∈ （0，T），作为φδ（e，λ）：=（φ*（e，λ- δ） ，如果δ≤ λ≤ T、 （0，0），如果0≤ λ<δ。定义3.10立即意味着Vπδ（e，λ）≤ 五、*（e，λ）对于任何（e，λ）∈ E×T和Vπδ（E，λ）=V*（e，λ-δ） 对于任何（e，λ）∈ E×[δ，T]。为了实现数值计算，我们通过假设f±1（vb，va）=0来引入截断，对于任何vb，va>25，因为不等式vb=1Pva=1f±1（vb，va）≥ 价格变动后，95%的价格保持不变，一毫秒后，YHOO的价格保持不变。大型股票一级限额订单簿中的最优清算191 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 20 21 22 23 24 ASK Volume（unit size）2524232221120191817161514141311110987654321bid Volume（unit size）f+1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 18 19 20 22 23 24 ASK Volume（unit size）252423221201918171615141311110987654321bid Volume（unit size）f-0.000.010.020.030.040.050.000.010.020.030.040.050ms Latency1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23 24 ASK Volume（单位尺寸）252423221918171615141311110987654321投标卷（单位尺寸）f+1 2 3 4 6 7 9 10 11 12 14 14 15 16 18 19 22 23 24 ASK Volume（单位尺寸）25242322191817161514141311110987654321投标卷（单位尺寸）f-0.0000.0020.0040.0060.0080.0000.0020.0040.0060.0080.0101ms延迟图1。YHOO：f+1（左）和f-1（右）无延迟（顶部）和1ms延迟（底部），由于δ是任意的，因此成熟时间单调。如[32，37]所示，我们可以利用值函数的单调性来获得更快的收敛速度。对于某些公差级别tol，实施程序如下：步骤1。（初始化）：设n=0，V（e，λ）=ρ（p- 1） y+λρy/T（e，λ）∈ E×T；第2步。（迭代）：选择一个随机对（en，λn）∈ E×T和computebVn：=AVn（en，λn）；第3步。

（校正）：带bun：=γbVn+（1- γ） γ的Vn（en，λn）∈ （0，1），将单调性投影定义为：Vn+1（e，λ）=bUn，如果e=en，λ=λn，bUn∨ Vn（e，λ），如果e=en，λ>λn，bUn∧ Vn（e，λ），如果e=en，λ<λn，Vn（e，λ），如果e 6=en；第4步。（精度控制）：如果kVn+1-Vnk公司≤ tol，结束方案；否则，请转至步骤2，将n增加到n+1.6.3。最佳策略。在本节中，我们提供了（5.1）中计算的最优决策规则的结果，其中值函数通过第6.2节中的数值格式进行近似。首先，由于我们正在处理子订单的最优清算问题，我们将子订单的大小设置为χ=220 ANTOINE JACQUIER和HAO Liu，成熟度T=10（在本节中，订单大小以单位大小的数量衡量，时间以秒衡量），两者都相对较小。此外，我们将第6.1节中估计的StylesedLimit订单模型参数与市场参数ρ=1和v=9（定义见（3.2）和（3.4））以及公差水平tol=0.001一起应用于数值方案。事实上，命题6.1与（5.1）一起表明，最优决策规则取决于价格变动方向j、最佳价格Vb和va下的交易量、剩余库存y和到期时间λ，并且与前一轮排队比赛z中的询价价格和执行的限价订单量无关。

此外，表3和4中的参数估计结果以及图1中的结果表明，代理的延迟（由lat表示）也会影响其最佳交易策略。图2通过y=2和λ=10显示了作为vb、va、j和lat函数的最优策略，其中代理的可接受交易策略由（3.1）给出，如：（m，l）∈（{（2，0），（1，0），（1，1），（0，0），（0，1），（0，2）}，如果vb>1，{（0，0），（0，1），（0，2）}，如果vb=1。通过横向和纵向比较子图，我们观察到以下情况：o通过限制指令（m，l）=（0，1）或通过市场指令（m，l）=（1，0）执行部分子指令的交易策略，或者不执行任何操作（m，l）=（0，0），在所有情况下都不是最优的。一般而言，在最佳询价量较低而最佳出价量较高的情况下（对应于子图的左上部分），预计价格将很快上涨，代理商将选择等待或部分交易作为其最佳选择。然而，由于交易区间很短，且传入市场订单的强度率相对较低，因此代理人似乎更愿意发布限额订单，以增加执行概率，而不是等待更好的机会。最重要的是，该模型没有考虑逆向选择的风险，因此提出限额订单基本上没有额外成本最佳价格的排队不平衡，定义为I：=（vb-va）/（vb+va），被视为短期价格变动的有力且有效的预测因素【9，46】，并被纳入最佳营销策略【11】。然而，在所有场景中，我们都没有观察到队列不平衡与最优策略选择之间的明确关系，这可能意味着队列不平衡不应该是构建最优执行策略的唯一考虑因素。

这一结果的原因可能来自假设2.6（d），即代理坚持“不取消”规则，因此最佳出价和询问队列遵循不同的动态。相反，在最优策略的选择中，以最佳询价价格的交易量发挥着最决定性的作用：最佳询价量越大，代理将采用的阅读策略越积极。特别是当最好的问量va≤ 6，最优策略始终为（m，l）=（0，2），表示限制订单的队列位置值[36]。此外，最佳投标价格下的交易量也有助于确定最佳策略，尤其是当最佳询价量较高而最佳投标量较低时（对应于子图的右下部分）。在这种情况下，最优决策规则通常选择通过市场订单获得所有可用的流动性，以防价格很快对代理人不利。然而，当最佳投标量vb≥ 10，最优策略的模式在所有场景中都是不变的。大型股票一级限额订单中的最优清算21o价格下跌后的最优策略并不比价格上涨后的策略更激进。这主要是因为在价格上涨后，在最佳询价时取消率较低，这增加了代理行限额指令的执行风险，因此代理行在这种情况下更倾向于使用市场指令当代理的延迟不超过一毫秒时，最佳策略不会更具攻击性。一方面，在没有延迟的情况下，在最佳询问价格下取消率更高，这增加了代理限制订单的执行概率。

另一方面，假设清算过程进入下一轮排队竞争，其中价格最优的交易量在前一毫秒内发生显著变化，零延迟的代理可以充分利用速度在新的排队竞争中占据良好的队列位置。相比之下，延迟一毫秒的代理在新队列中获得高时间优先级的可能性较小，因此更倾向于做出更积极的反应，以便尽快终止交易。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ASK Volume（unit size）252423221201918171615141312110987654321投标卷（unit size）（0 2）（0 1）（0 0 0）（1 1）（1 0）（2 0）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 18 20 22 24 ASK Volume（unit size）2524232212019181716151414141311110987654321投标卷（unit size）（0 2）（0 1）（0）（1 1 1）（1 0）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 ask Volume（unit size）25242322211201918171615141311110987654321bid Volume（unit size）（0 2）（0 1）（0 0）（1 1）（1 0）（2 0）1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 14 16 18 20 21 22 24 ask Volume（unit size）252423221918171615141311110987654321bid Volume（unit size）（0 2）（0 1）（0 1）（1 1 1 1）（1 0）（2 0）图2。最佳策略作为最佳询问量（x轴：va=1，…，25）、最佳投标量（y轴：vb=1，…）的函数。

，25），延迟（顶部：lat=0ms；底部：lat=1ms）和价格移动方向（左侧：j=-1.右图：j=1）当盘存y=2，到期时间λ=10.22时，ANTOINE JACQUIER和HAO Liu图3通过y=1和lat=1ms，将最优决策规则显示为vb、va、j和λ（以3和10秒为单位）的函数，其中代理人的可接受交易策略由（3.1）给出，如下：（m，l）∈（{（1，0），（0，0），（0，1）}，如果vb>1，{（0，0），（0，1）}，如果vb=1。除了之前的结果外，我们发现，当到期时间较短时，代理更具侵略性。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 25询问卷（单位大小）252423221201918171615141312110987654321投标卷（单位大小）（0 1）（0 0）（1 0）1 2 4 5 6 7 8 9 11 12 14 15 16 18 20 22 24询问卷（单位大小）25242322191816151414131109876154321投标卷（单位大小）（0 1）（0）（1 0）1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11 14 16 19 21 22 23 24 25问卷（单位尺寸）2524232221201918171615141311110987654321投标卷（单位尺寸）（0 1）（0 0）（1 0）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 20 21 22 24 25问卷（单位尺寸）2524222120191817161514141312110987654321投标卷（单位尺寸）（0 1）（0）图3。最佳策略是最佳询价量（x轴：va=1，…，25）、最佳投标量（y轴：vb=1，…，25）、到期时间（顶部：λ=3；底部：λ=10）和价格变动方向（左侧：j=-1.右：j=1）当筛选库存y=1且延迟lat=1ms时。大型股票一级限额指令簿中的最优清算23附录A.命题4.5的证明在场景【S1】中，代理人以最佳询价（l）发布限额指令≥ 1） ，并且最佳询问队列在最佳出价队列之前耗尽（▄j=+1）。

因此，o最佳询问队列的执行时间小于最佳出价队列的执行时间；o代理发布的限价单必须在排队竞争中完全执行；o排队竞争的持续时间是最佳ask队列的耗尽时间。因此，我们可以写出qj，v，αt、 ~j，~z= PXn+1≤ t、 Jn+1=+1Jn=j，（Vbn，Van）=（vb，va），An=αP锌+1=~zJn+1=+1，Ln=l= P（τBb>τAl，τAl≤ t） 1{z=l}=FAl（t）-ZtfAl（u）FBb（u）du{z=l}。在场景【S2】中，代理不会以最佳询价（l=0）发布限价订单。然后，最佳ask队列的动态可以用过程Ba来描述，与最佳出价队列的动态无关。证明类似于场景【S1】中的证明。在场景【S3】中，代理以最佳要价（l）发布限额订单≥ 0），并且最佳出价队列在最佳询问队列之前耗尽（▄j=-1） ，而代理的限制指令没有执行（▄z=0）。因此，o最佳出价队列的执行时间小于代理行限额订单的一个单位大小以及以最佳询价价格具有更高时间优先级的限额订单的执行时间，因此小于整个最佳询价队列的执行时间；o排队竞争的持续时间是最佳出价队列的耗尽时间。然后是qj，v，αt、 ~j，~z= PXn+1≤ t、 锌+1=0Jn=j，（Vbn，Van）=（vb，va），An=αP（Jn+1=-1 | Ln=l，Zn+1=0）=P（τC>τBb，τBb≤ t） =FBb（t）-ZtfBb（u）FC（u）du。在场景【S4】中，代理以最佳询价（l=1）发布一个单位大小的限制订单，最佳出价队列在最佳询价队列之前耗尽（~j=-1） 然后执行代理的限额指令（▄z=1）。

根据标记4.2，我们有Qj，v，αt、 j，{0，1}= Qj，v，αt、 j，0+ Qj，v，αt、 j，1, 所以qj，v，α（t，-1，1）=PXn+1≤ t、 Jn+1=-1.Jn=j，（Vbn，Van）=（vb，va），An=（m，1）- Qj，v，α（t，-1，0）=P（τA>τBb，τBb≤ t）- Qj，v，α（t，-1，0）=FBb（t）-ZtfBb（u）FA（u）du-FBb（t）-ZtfBb（u）FC（u）du=ZtfBb（u）[FC（u）- FA（u）]du。在场景【S5】中，最佳出价队列在最佳询问队列之前耗尽（￠j=-1） ，而▄z∈ {1，…，l- 1} 当此排队竞争终止时，将执行超过1个单位大小的代理限制订单。因此，最佳出价队列的执行时间在区间[τCz，τCz+), 哪里 是一个单位大小的代理的限制指令在队列顶部时的执行时间，该时间由参数uaj以指数形式分布，与τCz无关排队竞争的持续时间是最佳出价队列的耗尽时间。24 ANTOINE JACQUIER和HAO LIUWe然后有qj，v，αt、 ~j，~z= PXn+1≤ t、 锌+1=~zJn=j，（Vbn，Van）=（vb，va），An=αP（Jn+1=-1 | Lan=l，Zn+1=~z）=PτCz≤ τBb<τC~z+, τBb≤ t型=Z∞Z∞P（τBb∈ [u，u+ν），τBb≤ t） fCz（u）P( ∈ dν）dudν=ZtZt-u【FBb（u+ν）- FBb（u）]fCz（u）P( ∈ dν）dνdu+ZtZ∞t型-u【FBb（t）】- FBb（u）]fCz（u）P( ∈ dν）dνdu=uajZteuajufC▄z（u）Ztue公司-uajFBb公司()ddu+e-uajtFBb（t）中兴uajufCz（u）du-ZtFBb（u）fCz（u）du=uajZtF*Bb型()Zf*Cz（u）哑弹 +Zt[F*Bb型()]Zf*Czdud=Ztf公司*Bb型()Zf*C~z（u）du d其中f*Cz（ξ）：=euajξfCz（ξ），f*Bb（ξ）：=e-uajξfBb（ξ）和F*Bb（ξ）：=e-uajξFBb（ξ）对于任何ξ≥ 0和z∈ N+。最后，根据备注4.2，在场景【S6】中j、 vb、va、α∈ k这样l>1，我们有qj，v，α（t，-1，{0，1，…，l}）=Qj，v，α（t，-1，0）+l-1Xz=1Qj，v，α（t，-1，z）+Qj，v，α（t，-1，l），使用[S3]和[S5]得出结果。附录B。

命题4.6的证明o如果l=0且z=0，则P（z |（e，α），λ）=P（τBb∧ τBa>λ）=P（τBb>λ）P（τBa>λ）=FBb（λ）FBa（λ）。o如果l≥ 1，z=0，则P（z |（e，α），λ）=P（τBb∧ τAl>λ，τC>λ）=P（τBb>λ）P（τC>λ）=FBb（λ）FC（λ）。o如果l>1和z∈ {1，…，l- 1} ，thenP（z |（e，α），λ）=P（τBb∧ τAl>λ，τCz+Ξ>λ≥ τCz）=P（τBb>λ）P（τCz+Ξ>λ≥ τCz）=P（τBb>λ）P1.- P（τCz>λ）- P（τCz+Ξ≤ λ）= FBb（λ）[FCz（λ）- （FCz* FΞ）（λ）].o如果l≥ 1且z=l，则P（z |（e，α），λ）=P（τBb∧ τAl>λ，τCl≤ λ） =P（τBb>λ）P（τAl>λ≥ τCl）=P（τBb>λ）1.- P（τCl>λ）- P（τAl≤ λ）= FBb（λ）[FCl（λ）- FAl（λ）].o根据备注3.2，终端内核在所有其他场景中均为零值。附录C.命题证明5.3为了证明命题的（a）部分，我们可以写出不等式ktφuk≤ sup（e，λ）∈E×T | r（E，φ（E，λ））|+sup（E，λ）∈E×Tz∈{0，…，\'l}| w（e，φ（e，λ），z）|+sup（e，λ）∈E×TXe∈EZλu（~e，λ- t） Qdt，~e |（e，φ（e，λ））,任意φ的大型股票25的一级限额订单中的最优清算∈ Φ和u∈ U、 前两项是有界的，因为状态空间E和动作空间A是有限的。关于最后一项，应用引理5.2 yieldssup（e，λ）∈E×TXe∈EZλu（~e，λ- t） Qdt，~e |（e，φ（e，λ））≤ kuk sup（e，λ）∈E×TXe∈EZλQdt，~e |（e，φ（e，λ））= kuk sup（e，λ）∈E×TQλ、 E |（E，φ（E，λ））≤ kuk supλ∈T（1- e-2ιλ）=kuk（1- e-2ιT）<∞.因此，Tφ的辅域是U。收缩特性直接来自（5.2），因为kTφU- Tφvk≤（1）- e-2ιT）ku- vk适用于所有u、v∈ U、 单调性来源于半马尔可夫核的性质。为了证明这个命题的（b）部分，我们可以写出，对于任何（e，λ）∈ E×T和π：={φ，φ，φ。

}∈ π，Vπ（e，λ）=∞Xn=0Eπ（e，λ）r（En，An）1{∧n≥0}+w（En，An，Z）1{0≤∧n<Xn+1}= Eπ（E，λ）r（E，A）1{∧≥0}+w（E，A，Z）1{0≤∧<X}+∞Xn=1Eπ（e，λ）r（En，An）1{∧n≥0}+w（En，An，Z）1{0≤∧n<Xn+1}= Eπ（E，λ）“Eπ（E，λ）”r（E，A）1{∧≥0}+∞Xz=0w（E，A，z）1{0≤∧<X，Z=Z}H类##+∞Xn=1Eπ（e，λ）hEπ（e，λ）hr（En，An）1{∧n≥0}+w（En，An，Z）1{0≤∧n<Xn+1}H、 ii=r（e，φ（e，λ））+∞Xz=0w（e，φ（e，λ），z）P（z |（e，φ（e，λ）），λ）+∞Xn=1Eπ（e，λ）hEπ-（E，∧）r（En-1，An-1） 1{∧n-1.≥0}+w（En-1，An-1，Z）1{0≤∧n-1<Xn}i=r（e，φ（e，λ））+∞Xz=0w（e，φ（e，λ），z）P（z |（e，φ（e，λ）），λ）+eπ（e，λ）[Vπ-（E，∧）]= r（e，φ（e，λ））+∞Xz=0w（e，φ（e，λ），z）P（z |（e，φ（e，λ）），λ）+Xe∈EZλVπ-（￠e，λ）- t） Qdt，~e |（e，φ（e，λ））,根据备注3.11和定理3.9，得出证明结论。附录D.命题证明6.1集合i：=（0，0，0，1，0，0）和k：=（0，0，0，0，1，0），因此e=e+pi+zk，其中p=p-p和z： =z- z、 进一步定义^e：=e+zk。根据命题5.3和[19，定理3]，我们可以写出（D.1）V*（^e，λ）=AV*（^e，λ）=V*（e，λ）+ρz（p- j） 。使用辅助函数u（e，λ）：=V*（e）- π，λ）+ρp（y+z）（e，λ）∈ E×T，简单计算yieldAu（E，λ）=u（E，λ），对于任何（E，λ）∈ E×T，定理5.1意味着*（e，λ）=V*（^e，λ）+ρp（y+z）。将此与（D.1）相结合得出结论。26 ANTOINE JACQUIER和HAO Liu附录E.泊松参数的最大似然估计Fix s∈ {a，b}，j∈ {+1，-1} 并分别表示泊松参数usj、κsj、θsjbyu、κ、θ。引入辅助参数u：=uSl/sm和θ：=θSl/Sc。假设我们在第i次排队比赛中观察到s侧的限价订单到达时间、市场订单到达时间和取消时间，其中开始时间为τi，持续时间为dian，时间t时s价格的单位体积体积为Voli（t），对于∈ {1，…，#Qj}。然后将似然函数构造为：Lu：m，m#Qj，d。

，d#Qj:=#QjYi=1（udi）米米！e-udi，Lκ：l，l#Qj，d，d#Qj:=#QjYi=1（κdi）莉莉！e-κdi，Lθ： c，c#Qj，Θ（d），Θ（d#Qj）:=#QjYi=1Θ（di）cici！e-Θ（di），其中Θ（di）：=θRτi+diτiVoli（t）dt。取对数，并取消导数，得到N$s的最优值（6.1），j=#QjXi=1$i，对于$∈ {m，l，c}Ds，j=#QjXi=1di，Vs，j=#QjXi=1Zτi+diτiVoli（t）dt。参考文献【1】J.Abate、G.L.Choudhury和W.Whitt。介绍了数值变换反演及其在概率模型中的应用。计算概率，W.Grassman（ed.），Kluwer，Boston：257-3231999。[2] J.Abate和W.Ward。通过连分式计算数值反演的拉普拉斯变换。通知Journal onComputing，11（4）：394-4051999。[3] J.阿巴特和W.惠特。概率分布拉普拉斯变换的数值反演。ORSA计算杂志，7（1）：36-431995年。[4] A.Alfonsi、A.Fruth和A.Schied。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。QuantitativeFinance，10（2）：143-1572010。[5] R.F.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3（2）：5-392001年。[6] R.F.阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。《应用数学金融》，10（1）：1-182003年。[7] R.B.灰分。真实分析和概率。学术出版社，2014年。[8] E.Bayraktar和M.Ludkovski。在控制强度的限额订单簿中进行清算。数学鳍24（4）：627-650，2014年。[9] J.Bonart和M.Gould。在限额订单簿中，队列不平衡作为提前一个勾选价格预测值。《市场微观结构与流动性》，2（2），2016年。[10] J.Bonart和M.Gould。限额订单簿中的延迟和流动性准备金。《定量金融》，17（10）：1601-16162017。[11] \'A.Cartea、R.F.Donnelly和S.Jaimungal。通过订单簿信号加强交易策略。

SSRN:26682772015。[12] \'A.Cartea和S.Jaimungal。限制和市场订单的最优执行。定量金融，15（8）：1279-12912015。[13] R.Cont和A.De Larrard。马尔可夫限价订单市场中的价格动态。《暹罗金融数学杂志》，4（1）：1-252013年。[14] R.Cont、A.Kukanov和S.Stoikov。订单簿事件的价格影响。财务杂志。计量经济学，12（1）：47-882014。[15] R.Cont，A.Kukanov。限价订单市场中的最优订单安排。《定量金融》，17（1）：21-392017年。[16] R.Cont、S.Stoikov和R.Talreja。订单动态的随机模型。运筹学，58（3）：549-5632010。[17] K.Dayri和M.Rosenbaum。大刻度资产：隐式排列和最佳刻度大小。《市场微观结构与流动性》，1（1），2015年。大型股票一级限额指令簿中的最优清算27【18】R.Donnellya和L.Gan。时间优先队列中的最优决策。SSRN:29115402017。[19] E.V.Denardo。动态规划理论中的收缩映射。《暹罗评论》，9（2）：165-1771967年。[20] P.Fodra和H.Pham。市场微观结构的半马尔可夫模型。《应用数学金融》，22（3）：261-2952015。【21】J.Gatheral、A.Schied和A.Slynko。瞬态线性价格影响和Fredholm积分方程。《数学金融》，22（3）：445-4742012。[22]F.Gonzalez和M.Schervish。极限订单书中的瞬时订单冲击和高频策略优化。arXiv:1707.011672017。【23】A.Gareche、G.Disdier、J.Kockelkoren和J.P.Bouchaud Fokker-planck对大型股票排队动力学的描述。《物理评论》E，88（3）：0328092013。【24】M.Gould、M.Porter、S.Williams、M.McDonald、D.Fenn和S.Howison。限制订单簿。《定量金融》，13（11）：1709-17422013。【25】A.Granas和J.Dugundji。不动点理论。

Springer Science&Business Media，2013年。[26]O.Gu\'eant、C.A.Lehalle和J.Fernandez Tapia。具有限制订单的最优投资组合清算。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：740-7642012。【27】B.Hagstr¨omer和L.Norden。高频交易者的多样性。《金融市场杂志》，16（4）：741-770，2013年。【28】J.Hasbrouck和G.Saar。低延迟交易。《金融市场杂志》，16（4）：646-6792013。[29]W.Huang，C.-A.Lehalle和M.Rosenbaum。模拟和分析订单数据：队列反应模型。《美国统计协会杂志》，110（509）：107-1222015。[30]Y.Huang和X.Guo。有限时域半马尔可夫决策过程及其在维修系统中的应用。《欧洲运筹学杂志》，212（1）：131-1402011。【31】艾尔。连续时间过程的随机排序。《应用概率杂志》，40（2）：361-375，2003年。[32]江泽民和鲍威尔。单调值函数的近似动态规划算法。运营研究，63（6）：1489-15112015。【33】J.Lorenz和R.F.Almgren。均值方差最优自适应执行。《应用数学金融》，18（5）：395-4222011。【34】J.W.Mamer。有限期半马尔可夫决策过程的逐次逼近及其在资产清算中的应用。运筹学，34（4）：638-6441986。【35】A.J.Menkveld。高频交易经济学：盘点。财务年度审查。经济。，8： 2016年1月1日至24日。【36】C.C.Moallemi和K.Yuan。限额订单簿中队列位置估值的模型。SSRN:2996221016。【37】J·M·纳西门托和W·B·鲍威尔。滞后资产收购问题的最优近似动态规划算法。运筹学数学，34（1）：210-2372009。【38】A.A.Obizhaeva和J.Wang。最佳交易策略和供需动态。日记帐财务。

《市场》，16（1）：1-32，2013年。【39】M.O\'Hara、G.Sarr和Z.Zhong。相对刻度大小和交易环境。SSRN:24633602015年。【40】W·B·鲍威尔。近似动态规划：解决维数灾难。John Wiley&Sons，2007年。【41】美国证券交易委员会。股票市场结构文献综述第二部分：高频交易。2014年，贸易和市场部办公室。[42]E.Smith、J.D.Farmer、L.s.Gillemot和s.Krishnamurthy。连续双重拍卖的统计理论。定量金融，3（6）：481-5142003。【43】S.Stoikov和R.Waeber。使用限额订单簿信息优化资产清算。SSRN:21138272012。【44】L.Tak\'acs。队列理论简介。牛津大学出版社，查普曼和霍尔出版社，1959年。【45】H.C.Tijms。随机模型的第一门课程。约翰·威利父子出版社，2003年。[46]T.W.Yang和L.Zhu。一级限额订单簿的简化模型。《市场微观结构与流动性》，2（2），2016年。[47]L.赵。一个极限订单簿动态模型和一致性估计过程。卡内基梅隆大学博士论文，2010年。帝国理工学院数学系LondonE邮箱：a。jacquier@imperial.ac.ukDepartment帝国理工学院数学系LondonE邮箱：hao。liu112@imperial.ac.uk