大型股票一级限额订单的最优清算

2022-5-30 23:54:20

大型tickstocksantoinejacquier和HAO LIUAbstract的一级限额订单中的最优清算。我们提出了一个框架来研究价差等于一个tick的大型tickstock的限额订单中的最优清算策略。所有订单簿事件（市场订单、限价订单和取消）根据独立的泊松过程发生，参数取决于最近的价格变动方向。我们的目标是最大化需要在固定时间范围内清算头寸的代理人的预期最终财富。通过假设代理人仅在价格变动时进行交易（通过限价和市场指令），我们将其清算过程建模为半马尔可夫决策过程，并使用排队论语言中的拉普拉斯方法计算半马尔可夫核。然后用动态规划方法求解最优清算策略，并进行了数值说明。1、简介目前，全球大多数股票和衍生品交易所至少部分使用订单驱动交易机制：赫尔辛基、香港、深圳、瑞士、东京、多伦多、温哥华证券交易所、澳大利亚证券交易所、泛欧交易所是纯订单驱动市场，纽约、伦敦证券交易所、纳斯达克是混合市场【24】。与报价驱动型市场不同，在报价驱动型市场中，大型做市商集中购买和出售订单，并通过设置买卖报价向其他市场参与者提供流动性，订单驱动型市场更加灵活，允许所有市场参与者发送购买或出售订单，指定他们想要交易的价格和金额，形成限额订单簿（LOB）。

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2022-5-30 23:54:23

根据classicalterminology【24，第2.2节】，根据LOB\'strade-matching算法提交后立即执行的订单称为市场订单，而不会立即执行并因此存储在LOB中的订单称为限额订单。有效的限价指令可以根据特定的优先级规则由后续的对应市场指令执行，也可以被取消。因此，LOB可以理解为以不同价格水平存储的买入和卖出限额订单的集合，等待对方市场订单或取消执行。自动订单驱动市场的优势，加上近年来在定量建模和信息技术方面取得的重大突破，极大地促进了算法交易的出现和扩散。广义上讲，算法有不同的用途，并被分类为其他日期：2017年11月16日。2010年数学学科分类。91G60、91G99、60K15、60K20。关键词和短语。极限订货簿，最优清算，半马尔可夫决策过程，排队论，动态规划。作者要感谢Martin Gould和Fabrizio Lillo的有益讨论。AJ承认EPSRC第一批拨款EP/M008436/1的财务支持，HL承认壳牌的财务支持。优先级规则规定如何执行存储在LOB中的限额指令。到目前为止，最常见的优先规则是“价格-时间”（price-time）[24，第3.4节]，即，在接近中间价格的地方发布的限价订单将获得优先权，而在同一价格发布的限价订单遵循“先到先得”规则。2安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）和刘浩（HAO Liu）的所有权或代理权【28】。专有算法主要用于高频交易者，旨在从交易过程本身中获利【27、35、41】。

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2022-5-30 23:54:26

另一方面，买方机构投资者通常使用代理算法来实施长期头寸变动，目的是将执行成本和市场影响降至最低。在购买或出售大型父订单的过程中，代理算法基本上分解为三层：（1）如何在整个交易周期内分割父订单并安排子订单；（L2）在计划期限内执行每个子订单的价格、类型和时间；（L3）每个儿童订单应发送到哪个地点。Almgren和Chris【5】、Almgren【6】、Gatheral、Schied和Slynko【21】以及Lorenz和Almgren【33】通过仅考虑第一层来解决最佳执行问题，在这种情况下，交易者和LOB之间的直接交互被抽象掉。一些研究将前两个层面考虑在内，并制定了在单个LOB市场中执行大额头寸的最佳策略。例如，Obizhaeva和Wang【38】以及Alfonsi、Fruth和Schied【4】完全利用市场指令制定最优执行策略，假设流动性在采取后会随着时间的推移逐渐补充。Bayraktar和Ludkovski【8】、Gu’eant、Lehallean和Fernandez Tapia【26】设计了仅发布限制订单的最佳清算策略，将清算过程视为订单填充序列，并通过点过程对其进行建模。Cartea和Jaimungal[12]寻求利用市场订单和限价订单执行大型订单，并解决不同场景下的最优策略。

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2022-5-30 23:54:29

一些研究人员将重点放在第二层，研究如何优化执行独生子女订单，以便将LOB市场微观结构的信息纳入他们的交易策略，特别是分别针对市场订单导向、限制订单导向和混合优化策略的Stoikov和Waeber【43】、Donnellya和Gan【18】以及Gonzalez和Schervish【22】。最后，Cont和Kukanov【15】将最后两层结合在一起，提出了一种策略，可以在不同的订单类型和交易场所之间优化分配儿童订单。在本文中，我们从代理算法的第二层的角度来描述和解决一个典型的最优清算问题。具体而言，我们考虑一个代理人（或她的代理算法），该代理人希望在大型tick股票的LOB中，在固定（短期）交易窗口内出售预先指定（小）数量的冷订单，其中应用了价格-时间优先机制。该代理可用的信息包含以最佳价格计算的历史订单流量和LOB深度（“一级”数据）。特别是，我们最感兴趣的是不同的交易条件（LOB状态、库存头寸、到期时间）如何影响代理的决策。为了实现这一目标，我们首先建立了一个“一级”LOB模型，描述由一般市场参与者的订单流和外部信息驱动的交易环境。该LOB的现实化简化假设遵循[13，16]中的假设，包括单位订单规模、恒定的一个滴答价差、泊松订单流量、将价格向下移动一个滴答（或向上）的最佳出价（或问价）队列的耗尽以及价格移动后的最佳价格交易量被视为从联合分布中提取的平稳变量。

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2022-5-30 23:54:33

我们进一步发展了该模型，允许订单流量的泊松率和联合分布决定价格变动后最佳价格的深度取决于最接近的价格变动方向。在这些假设下，该LOB的演变可以建模为[20]中所述的马尔可夫更新过程，其过渡机制直观地描述为各卷之间以最佳价格排队的竞争。然后，我们假设代理人是风险中性的，试图最大限度地提高其预期，参见【9，第4节】，了解大型股票的定义和选择标准。通过在该LOB的固定（有限）时间范围内出售固定金额的子订单，对大型股票3终端财富的一级限额订单进行最佳清算。为了对价格-时间-优先级规则进行建模并捕获代理的限价指令的执行情况，我们假设代理速度较慢，并且仅在价格变动后立即使用限价和市场指令作出反应：在每个价格变动时间，代理商可以选择以最短的时间优先权以最佳的要价发布限价订单和/或以最佳的出价提交永远不会消耗整个交易量的市场订单。通过将LOB的假设与清算策略相结合，代理人的交易程序通过有限期限内的（平稳的）半马尔可夫决策过程（30），在一定类别的期限相关马尔可夫确定性政策中制定。

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2022-5-30 23:54:35

一般来说，在每个价格变化时间，最优政策是一个确定性函数，它告诉代理人市场规模和基于当前LOB状态（价格变动方向、最优价格下的交易量）、代理人的库存头寸和到期时间的限制交易订单，以实现终端财富最大化。我们将注意力限制在大型勾号股票的最佳执行策略上，主要是因为大型勾号股票的价差几乎总是等于一个勾号[17]，因此在大多数情况下，交易者不能通过在价差内提交限价指令来相互削价，因此必须排队等待执行。此功能可以大大简化LOB建模。更重要的是，大型股票的市场条件和交易策略被认为与小型股票不同【39】。因此，应分别研究这两类股票的交易策略。本文的组织结构如下。在第2节中，我们为LOB模型设定了基本假设，阐明了“一级”LOB的演化动力学，并确定了目标以及为代理人设定的可接受交易策略。在第3节中，引入了一个半马尔可夫决策过程和一个与地平线相关的马尔可夫确定性策略来模拟代理的交易过程，并定义了一个最优策略。在第4节中，我们提供了半马尔可夫核的表达式，它作为半马尔可夫决策过程的转换机制。第5节证明了平稳最优策略的存在性，第6节的实证研究显示了我们的数值结果。符号：我们将使用以下符号：N：={0，1，2，…}，N+：={1，2，…}，R+：=（0，∞), R+：=R+∪{0}，R-:= R\\R+，C代表一组虚数。

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能者818

2022-5-30 23:54:40

在本文中，T>0是一个固定的时间，我们表示T：=[0，T]和T-:= R-∪ T、对于连续时间过程（Ls）≥0，表示τLits firstpassage time到原点，fL（resp.fL）表示τLand的密度（resp.cumulative distribution function），平均fL：=1- FL.2。限制订单簿和交易策略2.1。”一级限额订单簿模型。我们考虑一个以两个处置参数为特征的限额指令簿，如【24，第2.1节】：勾号大小ε>0表示价格水平之间的最小间隔（假设常数），批量大小σ>0表示可交易的资产的最小金额。因此，对于某些k，k，所有买卖订单都必须达到价格kε和大小kσ∈ N+。在本文中，我们将使用以下限额订单簿建模假设：假设2.1（订单簿设置）。（a）一般市场参与者的订单为单位规模，由σ实际规模确定；（b）限额指令簿的排列等于刻度大小ε。4 ANTOINE JACQUIER和HAO Liu LOB模型是基于“一级”数据制定的，即最佳出价和最低价的订单流量和深度。如【13，第2.1节】所示，这种简化形式的建模方法的动机是经验发现：（a）大量订单流出现在大型股票的最佳价格水平上【23】，（b）订单流与最佳价格之间的不平衡被证明是订单簿动态的良好预测因素【11，14】，（c）最好价格的数据比“二级”市场数据更容易获得。在下文中，我们对LOB的演变进行了假设：假设2.2（限额订单簿的演变）。（a）每当以最低价（即最低价）的订单耗尽时，最低价和最低价（即最低价）都会下降。

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2022-5-30 23:54:43

增加）一勾；（b）在每次价格上涨（分别下跌）后，最高价和最低价的交易量被视为随机变量，联合分布为f+1（分别为f-1）：（N+）→ [0，1]；对于任意x，x∈ N+，f+1（x，x）（分别为f-1（x，x））表示价格上涨（分别下跌）后，最佳出价和询问队列包含x和xunit limitorders（实际大小xσ和xσ）的概率。备注2.3。假设2.2假设限价指令簿不包含接近中间价的空水平，因此价格变化仅限于一个刻度，并且价格变化完全是由外部信息引起的，在这种情况下，市场参与者迅速将其订单流量调整为新的最佳价格，就好像从其不变分布中得出了限价指令簿的新状态一样【29】。换言之，我们排除了这样一种可能性：在耗尽最佳出价（resp.ask）队列之后，在价差内插入买入（resp.sell）限价指令，保持最佳出价和卖出价格不变。一般市场参与者的订单流建模基于“零情报”方法【13、16、42】。假设2.4（泊松顺序流）。来自一般市场参与者的所有订单簿事件（市场订单、限价订单和取消）根据独立的泊松过程发生，参数取决于最近的价格变动方向。更具体地说，以最佳要价的订单流为例，在价格上涨（或下跌）和下一次价格变动之间的任何时期，都会发生以下相互独立的事件：（a）买入市场订单到达独立的指数时间，速率ua+1>0（或ua-1> 0）；（b）卖出限价订单到达独立的指数时间，速率κa+1>0（分别为κa-1> 0）；（c）限制订单的取消发生在独立的指数时间，速率θa+1>0（分别为。

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能者818

2022-5-30 23:54:47

θa-1> 0）乘以未完成销售限额订单的金额（单位大小）。我们假设一个最佳投标价格的类似框架，参数为ub+1，ub-1，κb+1，κb-1，θb+1，θb-1> 0。备注2.5.o尽管“零智能”模型与经验观察结果不完全一致【47】，但它仍然保留了限额订单簿的主要统计特征，同时在计算上仍然可以管理。通过“零智能”假设，代理人可以轻松地从历史数据中描述限额指令簿的动态特性，而无需为其他市场参与者假设行为假设，也无需借助辅助假设来量化不可观察的参数假设2.4（c）意味着，如果有v个限价订单处于最佳询价（分别出价）价格，则每个限价订单都可以在指数时间内以θa（分别θb）的速率独立取消，总体取消率为θav（分别θbv）。大型股票一级限额指令簿中的最优清算52.2。客观和可接受的交易策略。在第2.1节介绍的限额订单簿模型中，我们假设代理人是风险中性的，她的目标是通过出售χ的子订单获得的预期财富最大化∈ N+有限层位T内的单位尺寸（χσ实际尺寸）。

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2022-5-30 23:54:52

以下假设描述了一组可接受的交易策略：假设2.6（可接受的交易策略）。（a）代理商只能在价格变动后立即进行交易；让τndenote记录她的第n个决策期，即第n个价格变化的时间；τ=0，到期之前或到期时的最后一个决策期为τn，其中n：=sup{n∈ N：τN≤ T}；（b）到期日T时，代理人需要通过市场指令出售所有未执行的股票；（c）在每个决策期τn，代理观察出价和询问队列，其体积为vb和vaunit大小；然后，她可以以最好的要价发布l个单位大小的卖出限制订单，并以最好的出价提交市政债券大小的卖出市场订单；我们假设代理从未耗尽最佳出价队列，并且代理速度较慢，这意味着她的限价单（l个单位大小）在提交时的时间优先级低于其他市场参与者的限价单（V个单位大小）；（d）代理人遵循“不取消”规则：除非价格下降，否则她不会取消限价订单；（e）不允许卖空。限制代理行在价格变动时的交易行为（假设2.6（a））听起来可能相对较强，但对于捕捉时间优先规则和代理行限额指令的执行是必要的。我们将在第3.3节研究如何确定最佳政策，使到期时的预期财富最大化。3、由半马尔可夫决策过程建模的交易过程半马尔可夫决策模型【45，第7章】是一个动态系统，其状态在随机的时间段观察，每个时间段都是在采取行动时观察到的，并且由于行动而产生的回报（在该时间段一次性支付或在下一个时间段之前持续支付）。

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2022-5-30 23:54:55

它满足以下两个马尔可夫性质：（M1）给定给定时代的当前状态和动作，直到下一个时代和下一个状态的时间仅取决于当前状态和动作；（M2）任何时期产生的报酬仅取决于该时期的国家和行动。半马尔可夫决策模型很好地描述了我们风格化的限额订单中代理人的清算问题：代理人参与的限额订单是一个动态系统，代理人在每个决策时期的销售行为可能会导致支付。事实上，假设2.6（a）使我们能够仅在决策时期跟踪该系统的状态，假设2.2、2.4和2.6（c）确保系统的过渡机制是稳定的，并且满足（M1）-（M2）。此外，根据假设3.3，代理行匹配的限额订单中的每个付款都分配到最近的传入决策期，以便一次性付款。在第3.1节中，我们定义了一个（平稳）半马尔可夫决策模型，该模型具有代理清算程序的一次性付款。在第3.2节中，我们定义了一个与地平线相关的马尔可夫确定性策略，并说明了半马尔可夫决策过程的演变。在第3.3节中，我们给出了代理人清算问题的预期报酬函数、价值函数和最优策略的定义。3.1。半马尔可夫决策模型。具有一次性付款和固定水平约束的半马尔可夫决策模型定义为六元组{E，（a（E））E∈E、 Q（·，···）、P（···）、r（·，·）、w（·，·）}，其中每个元素定义如下。6安托万·贾奎尔和刘浩3.1.1。状态空间。修复N∈ N+足够大。状态空间E：={-1，+1}×{1，…，N}×{0，…，N}是在每个决策期观察到的系统的所有预决策条件集（即代理人参与的限额指令簿）。

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2022-5-30 23:54:59

具体而言，系统处于e状态：=（j、vb、va、p、z、y）∈ E表示：o询价/投标价格变化等于j勾号；obest bid（resp.ask）队列包含vb（resp.va）单位订单；oask价格等于pε；o代理人在前一决策期发布的限额指令的执行部分为z单位大小；o代理的剩余库存头寸为y单位大小。3.1.2。动作空间。动作空间A：={0，…，m}×{0，…，l}，带m，l∈ N+，表示交易策略集，即代理选择以最佳出价和要价分别提交和发布的市场和限制订单的金额（单位大小）。常数m（对应l）表示代理允许交易的单个市场（对应限额）订单的最大金额（单位大小）。根据假设2.6（c）（e），代理人在状态e下的容许行动空间∈ E由（3.1）A（E）定义：=（米，升）∈ A：m<vb，m+l≤ y,这样代理就永远不会耗尽整个最佳出价队列，也不会卖空。所有可行状态动作对的集合用K表示：={（e，α）| e∈ E、 α∈ A（e）}。3.1.3。半马尔可夫核。在介绍下一个概念之前，请回顾以下定义。定义3.1（亚/半马尔可夫核）。让(Ohm, F）以及(Ohm, F）成为真正可测量的空间。A映射p（···）：F×Ohm→ [0，1]被称为Ohm鉴于Ohm如果：o对于任何ω∈ Ohm, p（·|ω）是(Ohm, F）带p(Ohm|ω）≤ 1、 o对于任何F∈ F、 p（F |·）是一个Borel可测函数。特别是，如果p(Ohm|ω） =1表示所有ω∈ Ohm, 那么p（····）是Ohm鉴于Ohm.

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大多数88

2022-5-30 23:55:03

此外，amap q（·，···）:R+×F×Ohm→ [0，1]是R+×上的半马尔可夫核Ohm鉴于Ohm如果：o对于（F，ω）∈ F×Ohm, q（·，F |ω）为非递减右连续q（0，F |ω）=0；o对于t≥ 0，q（t，····）是Ohm鉴于Ohm;o 极限限制↑∞q（t，····）是Ohm鉴于Ohm.在我们的模型中，假设Q（·，····）是给定K的R+×E上的半马尔可夫核，确定半马尔可夫决策过程的（平稳）传递机制：对于任何≥ 0和▄e∈ E、给定状态作用对（E，α）∈ 在某个决策期，数量q（t，~e |（e，α））表示直到下一个决策期的时间小于或等于t且下一个系统状态为~e的（联合）概率。详细计算见第4节。样式化的限价订单模型不会对股价实施正向限制。但我们假设股票价格在开始时远高于零，清算期T很短，因此股票价格永远不会为负。通过滥用语言，我们把Q（t，{e}|（e，α））写成Q（t，{e |（e，α））。大型股票一级限额指令簿中的最优清算73.1.4。终端内核。终端核P（·|·）是N上给定K×T的次马尔可夫核-, 并描述最后一个决策期和成熟期之间的执行动态：对于任何z∈ N、给定状态actionpair（e，α）∈ K和到期时间λ∈ T-在某个决策期，quantityP（z |（e，α），λ）表示（联合）概率，即直到下一个决策期的时间严格大于λ，并且直到到期的限制指令的执行部分为z单位大小。第4节给出了详细的计算。备注3.2。

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2022-5-30 23:55:06

根据我们的建模框架，终端核满足以下性质：oP（0 |（e，α），λ）=1当λ≤ 0；oPz公司≥0P（z |（e，α），λ）=1- 当λ>0时，Q（λ，E |（E，α））当z>l时，P（z |（e，α），λ）=0；对于任何（e，α）∈ K、 3.1.5。定期奖励功能。周期报酬函数r:K→ R+定义为（3.2）R（e，α）：=ρ[m（p- 1） +z（p- j） ]，对于所有（e，α）∈ K、式中，ρ：=εσ，表示与给定状态动作对（e，α）的决策期相关的一次性付款。具体而言，定义（3.2）基于以下假设给出，即将代理行限额指令匹配部分的支付分配到最近的传入决策期。假设3.3（定期奖励函数）。对于n∈ N+，区间内匹配限额订单的支付[τN-1，τn）分配到τn。假设系统处于状态e∈ E和代理采取行动α∈ A（e）在某个决策时期。然后她立即获得价值m（p- 1） ρ以最低价提交m个单位的市场订单（p- 1） ε。最重要的是，在之前的最佳要价（p- j） ε意味着支付价值z（p- j） ρ，根据假设3.3.3.1.6在当前决策期分配。终端奖励功能。终端奖励函数w:K×N→ R+定义为（3.3）w（e，α，z）：=ρ[（p- 1）（y）- m） +z]- g（y- m级- z），对于所有（e，α）∈ K和z∈ N、其中，市场影响函数g:N→ R+的形式为（3.4）g（x）：=ρxv，对于常数v∈ N+。对于任何（e，α）∈ K和z∈ N、数量w（e，α，z）表示与到期日T相关的一次性付款，给定最后一个决策期的状态动作对（e，α），以及最后一个决策期和到期日之间代理限制订单的匹配部分为z单位大小。

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2022-5-30 23:55:11

具体而言，身份（3.3）基于以下假设给出：假设3.4（终端奖励函数）。（a）在区间【τn，T】内获得的匹配限额指令的支付分配在T；（b）当描述到期时市场指令带来的市场影响时，我们假设影响是线性的，v代表平均深度（单位大小）在限额订单簿的投标侧；到期时间λ<0的决策期意味着它发生在到期后的一段时间|λ|。通过滥用语言，我们把P（{z}|）（（e，α，λ））写成P（z |（e，α，λ））。8 ANTOINE JACQUIER和HAO LIU（c）到期时未执行的股票无法扫过限额指令簿出价方的所有流动性，因此终端奖励函数是R+-值的。假设3.4（b）得出（3.4）中的市场影响函数g（·）。此外，根据假设3.4（a）（b），最终报酬w（e，α，z）由匹配限额指令（金额ρpz）和到期市场指令（金额ρpz）的支付组成- 1）（y）- m级- z），扣除相应的市场影响（ofamount g（y- m级- z））。3.2。有限时域半马尔可夫决策过程的动力学。假设代理应用下面定义的与ahorizon相关的Markov确定性策略，根据当前状态和成熟时间为其在每个项目的行动指定决策规则。定义3.5。决策规则是一个可测函数φ：E×T-3（e，λ）7→ α∈ A（e），使得φ（e，λ）=（0，0）对于任何（e，λ）∈ E×R-. 让Φ表示决策规则集。与地平线相关的马尔可夫确定性策略是一系列决策规则π：={φ，φ，φ，…}，带φn∈ 任意n的Φ∈ N、我们用∏表示与地平线相关的马尔可夫确定性策略集。Apolicyπ∈ 如果存在φ，则称∏为静止∈ Φ，使得任意n的φn=φ∈ 我们写π={φ，φ，…}：=πφ。

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2022-5-30 23:55:14

我们将∏表示一组与平稳时间相关的马尔可夫确定性策略。备注3.6。在第n个决策期，系统状态为，成熟时间为λn：=T- τn，anaction an=φn（en，λn）由决策规则φnw给出，当策略π∈ 应用∏。特别是，代理人在任何决策期τnw停止交易，其中n>n（即λn<0），根据定义3.5，αn=（0，0），完全符合假设2.6（b）。表1总结了实施策略π时半马尔可夫决策模型的演变∈ ∏。假设系统处于eat初始状态τ，且代理具有计划交易期限λ。根据策略π，她选择动作α=φ（e，λ）。然后需要一段时间才能达到下一个决策期τ=τ+t，此时系统状态变为EAN，代理的成熟时间变为λ=λ- t、然后选择动作α=φ（e，λ），依此类推。在第n个决策期，将产生金额为r（en，αn）的定期支付。在到期日T时，将获得最终收益w（en，αn，z）。特别是，根据备注3.6，代理人在T之后没有采取任何行动，相应地，也没有支付任何报酬。接下来，我们基于Ionescutucea定理在概率空间中构造了半马尔可夫决策过程。定义3.7。让(Ohm, F）是由样本空间组成的可测空间Ohm, 定义人Ohm :=nn型∈ N、 z∈ N{tn，en，λn，αn}∈ R+×E×T-×A（en）n∈否，以及相应的Borelσ-代数F。

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2022-5-30 23:55:17

定义随机变量N、Z、Xn、En、∧N、Anon(Ohm, F） as：N（ω）=N，Z（ω）=Z，Xn（ω）=tn，En（ω）：=Jn、Vbn、Van、Pn、Zn、Yn（ω） =en，∧n（ω）=λn，An（ω）：=（Mn，Ln）（ω）=αn，大型股票一级限额指令簿中的最佳清算9指数时间状态到期时间行动支付初始τeλ≥ 0α=φ（e，λ）r（e，α）stτ=τ+teλ=λ- t型≥ 0α=φ（e，λ）r（e，α）ndτ=τ+teλ=λ- t型≥ 0α=φ（e，λ）r（e，α）。。。。。。。。。。。。。。。。。。（n）- 1） -thτn-1=τn-2+tn-1en-1λn-1=λn-2.- 田纳西州-1.≥ 0αn-1=φn-1（英语-1，λn-1） r（en-1，αn-1） n-thτn=τn-1+tnenλn=λn-1.- 田纳西州≥ 0αn=φn（en，λn）r（en，αn）端子T w（en，αn，z）（n+1）-thτn+1=τn+tn+1en+1λn+1=λn- tn+1<0αn+1=（0，0）0。。。。。。。。。。。。。。。。。。表1：。策略π下半马尔可夫决策过程的演化∈ 对于任意ω∏∈ Ohm 和n∈ N、其中oxn是（N- 1） -第个和第n个决策纪元（X=0几乎可以肯定）；oEn，∧n，an表示系统状态、成熟时间和第n个决策期的代理行为；oN是最后一个决策期的索引；oZ是代理行在第N个决策期和到期日之间执行的限额指令的金额（单位大小）。备注3.8。基于此建模框架，以下特性几乎肯定适用于n∈ NoλN+1=λN- Xn+1：成熟时间的演变；oPn+1=Pn+Jn+1：询价价格的演变（以刻度大小为单位）；oYn+1=Yn- 明尼苏达州- Zn+1：库存状况的演变（单位规模）；o锌+1≤ Ln：匹配的限制订单数量不能超过代理在每个排队比赛中发布的限制订单数量；oN=sup{N∈ N：∧N≥ 0}：最后一个决策纪元的索引；oZ≤ ZN+1：在最后一个决策期和到期日之间匹配的限额指令的金额不能超过在没有最终期限限制时执行的限额指令的金额。定理3.9。

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2022-5-30 23:55:21

[Tulcea定理[7，第2.7.2节]]适用于任何（e，λ）∈ E×T和π∈ π上存在唯一的概率测度Pπ（e，λ）(Ohm, F）因此，对于任何t≥ 0，~e∈ E、 α∈ A、 z∈ N和N∈ N、 Pπ（e，λ）（X=0，e=e，λ=λ）=1，Pπ（e，λ）（An=α| Hn=Hn）=1{φN（en，λN）=α}，Pπ（e，λ）（Xn+1≤ t、 En+1=～e | Hn=Hn，An=αn）=Q（t，～e |（En，αn）），Pπ（e，λ）（Xn+1>λn，Z=Z | Hn=Hn，An=αn）=P（Z |（En，αn），λn），其中Hn：=（{X，e，λ}），如果n=0，{Xi，Ei，∧i，Ai}i=0，。。。，n-1，{Xn，En，∧n}, 如果n∈ N+，是描述第N个决策时代之前历史的随机变量序列（随机变量（或随机变量序列）的实现由相应的小写字母表示）。10 ANTOINE JACQUIER和HAO LIU3.3。价值函数与最优策略。考虑具有第2.2节所述目标和交易策略的代理人，介绍以下定义。定义3.10。定义政策π下的有限期预期回报函数∈ πby（3.5）Vπ（e，λ）：=eπ（e，λ）NXn=0r（En，An）+w（En，An，Z）！，对于任何（e，λ）∈ E×T，以及值函数（3.6）V*（e，λ）：=sup{Vπ（e，λ），π∈ π}。政策π*∈ 如果等式（3.7）Vπ*（e，λ）=V*（e，λ）适用于所有（e，λ）∈ E×T.备注3.11。对于任何（e，λ）∈ E×T，我们可以将量Vπ（E，λ）改写为（3.5）asVπ（E，λ）=Eπ（E，λ）∞Xn=0r（En，An）1{N≥n}+ w（En，An，Z）1{N=N}！=Eπ（E，λ）∞Xn=0r（En，An）1{∧n≥0}+w（En，An，Z）1{0≤∧n<Xn+1}!=∞Xn=0Eπ（e，λ）r（En，An）1{∧n≥0}+w（En，An，Z）1{0≤∧n<Xn+1},其中第二个等式后面写{N≥ n} ={∧≥ 0，∧n≥ 0}={∧n≥ 0}，{N=N}={∧≥ 0，∧n≥ 0，∧n+1<0}={∧n≥ 0，∧n+1<0}={0≤ ∧n<Xn+1}，因为序列{n}n∈Nis是非递增的，第三个等式是由于周期/终端奖励函数的非负性和单调收敛定理。4.

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2022-5-30 23:55:26

半马尔可夫核我们现在使用排队论语言提供半马尔可夫核Q（·，······）和终端核P（······）定义的第3.1类的表达式。我们首先（第4.1节）将代理参与的最佳队列的动力学建模为广义生灭过程，并根据广义生灭过程的首个消息时间为零的分布，推导出所有可能情况下半马尔可夫核和终端核的闭式表达式。然后（第4.2节）使用拉普拉斯方法计算这些分布。4.1。闭合形式表达式。为了便于说明，我们将把e×T中的元素（e，λ）与确定性平稳策略π固定在一起∈ 在本节中，用P表示Pπ（e，λ）。大型股票一级限额指令簿中的最优清算114.1.1。半马尔可夫核。根据定理3.9和马尔可夫性质（M1），我们可以将半马尔可夫核表示为给定初始条件和代理行为的排队竞赛的持续时间和结果的（平稳）分布：（4.1）Q（t，| e |（e，α））=P（Xn+1≤ t、 En+1=| e | En=e，An=α），对于任何t≥ 0，~e∈ E、（E，α）∈ K、 n个∈ N、为了简化进一步的计算，我们现在将（4.1）中的条件概率分解。提案4.1。对于任何￠e：=~j、~vb、~va、~p、~z、~y∈ E和e：=（j，vb，va，p，z，y），α：=（m，l）∈ K、我们有（4.2）Q（t，~e |（e，α））=Qj，v，αt、 ~j，~zfjvb，▄va{p=p+~j}{y=y-m级-~z}，对于所有t≥ 0，其中任意n∈ N、 Qj，v，αt、 ~j，~z:= PXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~zJn=j，（Vbn，Van）=（vb，va），An=α.证据

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2022-5-30 23:55:29

根据假设2.2和备注3.8，我们可以写出eq（t，e |（e，α））=PXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~z | En=e，An=α×P（Vbn+1，Van+1）=（▄vb，▄va），Pn+1=▄p，Yn+1=▄yXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~z，En=e，An=α= Qj，v，αt、 ~j，~zP（Vbn+1，Van+1）=（▄vb，▄va）▄Jn+1=▄j×PPn+1=| p | Jn+1=| j，Pn=pP（Yn+1=| y | Yn=y，Mn=m，Zn+1=| z）=Qj，v，αt、 ~j，~zfjvb，▄va{p=p+~j}{y=y-m级-~z}。备注4.2。函数Q是R+×Egiven K上的半马尔可夫核，其中E：={-1，+1}×{0，1，…，N}；K：=（j，vb，va，α）：j∈ {+1，-1} ，（vb，va）∈ {1，…，N}，α∈ A、 m<vb.实际上，对于任何（j，vb，va，α）∈ K、概率Qj，v，α（t，{+1，-1} 对于大t，{0，…，l}）收敛到1，表示匹配的限制订单的数量不能超过代理发布的限制订单的数量。根据假设2.2、2.4和2.6，半马尔可夫核Q描述了处于最佳买卖价格的交易量之间排队竞争的动力学机制。直觉上，fixj、 vb、va、α∈ K、并考虑一个排队竞赛，从vb和vaunits限制订单（来自一般市场参与者）开始，在某个决策时期以最佳的出价和要价。代理人随后提交了一份m单位大小的销售市场订单，从而将最佳投标量减少到（vb- m）单位大小，并发布l unitsize的卖出限价订单，该订单的时间优先级低于先前存在的vaunits限价订单，以最佳询价。在代理的操作之后，相互独立的订单事件以指数形式发生，价格取决于价格移动方向j，因此会改变最佳出价和询价队列的数量。每当最佳出价或询问队列的数量达到零时，queueingrace就会终止，我们将排队竞争的结果表示为+1（分别为）。-1）如果首先耗尽了最佳询问（响应出价）队列。

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2022-5-30 23:55:33

对于（t，～j，～z）∈ R+×E，数量Qj，v，α（t，~j，~z）是竞争持续时间小于或等于t的概率，结果是执行代理的限制指令的~j和~z单位大小。在下文中，我们对P（本节中Pπ（e，λ）的缩写）的动力学进行建模，P是定理3.9中引入的概率度量，我们使用了简写符号PXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~z，· · ·= PXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~z，Vbn+1∈ N+，Van+1∈ N+，Pn+1∈ N+，Yn+1∈ N· · ·12 ANTOINE JACQUIER和HAO Liu将最优买卖价格作为广义生灭过程，因此在半马尔可夫核和排队论之间建立了联系。定义4.3。让(Ohm, F、 P）是一个新的过滤概率空间。对于v∈ N+，l∈ N和κ，u，θ，η>0，定义了该空间上的以下过程：o（B[v，κ，u，θ]s）s≥0是一个生灭过程，给定初始状态v，状态空间为N，吸收状态为0；κ是出生率，u+iθ是处于状态i时的死亡率∈ N+；o（C[v，l，u，θ]s）s≥0是一个纯死亡过程，给定初始状态l+v，状态空间为N，吸收状态为0；死亡率等于u+max（0，i- l） θ处于状态i时∈ N+；o（G[κ，u，θ，η]s）s≥0是一个状态空间为N且初始状态为0的进程。严格地说，在时间η之前，它是一个出生和死亡过程，当处于状态i时，出生率κ和死亡率iθ∈ N、在η之后，当处于状态i时，该过程的生成和脱笼转变为κ和u+iθ∈ N+和0成为吸收态（A[v，l，κ，u，θ]s）s≥0是一个状态空间由a[v，l，κ，u，θ]s定义的过程：=C【v，l，u，θ】s，G【κ，u，θ，τC【v，l，u，θ】]s, 对于s≥ 引理4.4。[16，引理2]修正j、 vb、va、α∈ K、假设在第n个决策期，排队竞争开始于vband vaunits在价格移动j tick后以最佳出价和要价限制订单，代理采取行动α=（m，l）。

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大多数88

2022-5-30 23:55:36

在[τn，τn+1]上，定义以下过程：oeB：以最佳投标价格下的订单规模；oeC：代理行限价订单的规模以及以最佳要价下时间优先级较高的订单规模；oeG：以最佳要价下时间优先级低于代理行限价订单的订单规模。然后存在两个独立的过程B[vb- m、 κbj，ubj，θbj]和A[va，l，κaj，uaj，θaj]，使得b[vb- m、 κbj，ubj，θbj]s=eBs+τnand A[va，l，κaj，uaj，θaj]s=（eCs+τn，eGs+τn），对于所有s∈ [0，τn+1- τn）。根据引理4.4，我们现在提供了Q的表达式，并将其证明推迟到附录A。我们再次说明，对于连续时间过程L，函数在第2节之前的符号部分中定义。提案4.5。固定（j、vb、va、α）∈ K、介绍简写符号：Bb：=B[vb- m、 κbj，ubj，θbj]，Ba：=B【va，κaj，uaj，θaj】，Al：=A【va，l，κaj，uaj，θaj】，Cl：=C【va，l，uaj，θaj】，以及场景：S1 S2±S3 S4 S5 S6l≥ 1升=0升≥ 1 l=1 l>1 l>1▄j=+1▄j=±1▄j=-1j=-1j=-1j=-1▄z=0▄z=1▄z∈ {1，…，l- 1} ~z=大型股票13的一级限额订单中的短期清算，然后对任何（t，~j，~z）持有以下情况∈ R+×E:Qj，v，αt、 ~j，~z=FAl（t）-ZtfAl（u）FBb（u）du{z=l}，[S1]，FBa（t）-ZtfBa（u）FBb（u）du{z=0}，[S2+]，FBb（t）-ZtfBb（u）FBa（u）du{z=0}，[S2-],FBb（t）-ZtfBb（u）FC（u）du，[S3]，ZtfBb（u）[FC（u）- FA（u）]du，[S4]，Ztf*Bb型()Zf*C~z（u）du d, [S5]，ZtfBb（u）[FC（u）- FAl（u）]du-l-1Xz=1xTF*Bb型()Zf*Cz（u）du d, [S6]，否则为0，其中f*Cz（ξ）：=euajξfCz（ξ）和f*Bb（ξ）：=e-uajξfBb（ξ）对于任何ξ≥ 0和z∈ N+。4.1.2。终端内核。根据定理3.9和马尔可夫性质（M1），对于任意（e，α），我们可以将终端核表示为（4.3）P（z |（e，α），λ）=P（Xn+1>λ，z=z | En=e，An=α）∈ K、 λ∈ R、 z∈ N

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2022-5-30 23:55:39

备注3.2意味着只有λ>0且z∈ {0，…，l}需要考虑。根据引理4.4，我们现在提供Q的表达式，在附录B命题4.6中得到证明。对于任意λ>0，（e，γ）∈ K（对应的（j、vb、va、m、l）∈ K）），介绍命题4.5中的过程Bb、Ba、Al、Clas。那么以下等式成立：P（z |（e，γ），λ）=FBb（λ）FBa（λ），如果l=0且z=0，FBb（λ）FC（λ），如果l≥ 1且z=0，FBb（λ）[FCz（λ）- （FCz* FΞ）（λ）]，如果l>1且z∈ {1，…，l- 1} ，FBb（λ）[FCl（λ）- FAl（λ）]，如果l≥ 1和z=l，0，否则，其中Ξ是具有参数uaj的指数分布随机变量，以及* 是卷积运算符。4.2。拉普拉斯方法。毫不奇怪，定义4.3中广义出生死亡过程A、B、C的首次通过时间分布不允许封闭式表达。为了计算它们，我们首先确定它们的拉普拉斯变换，然后用数值将其反转。我们在这里保留命题4.5的符号。定义4.7。让f：R+→ 对于任何ω>0的函数，R是在[0，ω]上绝对可积的函数。其（单侧）拉普拉斯变换定义为^f（s）：=limω↑∞Zωe-stf（t）dt，适用于所有s∈ 使右侧收敛。拉普拉斯变换的标准（尽管简化）反演公式是Bromwich轮廓积分或Mellin反演【1，第1章】：对于绝对可积连续函数f，恒等式f（t）=2πiRx+i∞x个-我∞ets^f（s）ds适用于任何x>0，并且通过对称参数，可以简化为（4.4）f（t）=2extπZ∞<h^f（x+iu）icos（ut）du，对于所有t>0.14的ANTOINE JACQUIER和HAO Liu，我们然后应用Euler算法【3，第1节】，该算法利用了（4.4）中被积函数的特殊结构。我们现在考虑初始状态为b的生灭过程xB的一般情况∈ N+，出生率λN≥ 0和死亡率un>0（状态n）∈ N+。

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2022-5-30 23:55:43

根据阿巴特·惠特方法【2，第4节】，在【16，方程式（14）】中导出的下列引理表示了τXb的密度和累积分布函数的拉普拉斯变换。引理4.8。等式^FXb（s）=s-1^fXb（s）保留{s∈ C：<（s）>0}，且（4.5）^fXb（s）=bYn=1“-λn-1Φk≥0-λk+n-1uk+nλk+n+uk+n+s#, 对于所有s∈ C使得<（s）>0，其中Φk≥0akbk：=limk↑∞t型o t型o · · · o tk（0）和tk（u）：=akbk+u或u≥ 0、提案4.9。修复v∈ N+，l∈ N和κ，u，θ>0，分别用A、B和C表示过程A[v，l，κ，u，θ]、B[v，κ，u，θ]、C[v，l，u，θ]（如定义4.3所示）。特别是，对于任何j，我们用bj表示过程B[j，κ，u，θ]∈ N+。假设fA、Fb和Fc在R+上是连续的。然后^fB（s）=(-κ） vvYn=1Φk≥0-κu- κ（k+n）θκ+u+（k+n）θ+s, 和^fC（s）=u+sll+vYn=l+1u+（n- l） θu+（n- l） θ+s，对于<（s）>0。此外，给定Rj（u）：=j！经验值-κθ1.- e-θuhκθ1.- e-θuijfor大学≥ 0和j∈ N、我们有（4.6）fA（t）=fC（t）R（t）+Zt∞Xj=1bbj（t- u） fC（u）Rj（u）du，适用于所有t≥ 0.证明。^fB和^fC的公式直接来自引理4.8，因此我们关注（4.6）。Letτ:= τA- τC。在时间τC之前，过程（Gu）：=（G[κ，u，θ，τC]u）可被视为初始空M/M/∞ 具有到达率κ和服务率θ的队列。设Rj（u）表示Gu处于状态j的概率∈ N当u<τC时，通过[44，p.160]，我们得到rj（u）=pGu=jτC=u=jexpn公司-κθ1.- e-θuohκθ1.- e-θuij。给定τC=u，Gu=j∈ N+，τ的概率密度函数是fBj。实际上，在τC=uan和Gu=GτC=j的情况下，消耗代理订单和具有更高时间优先级的订单所花费的时间为uan，此时队列中剩余的体积为j单位大小。剩余队列可以用过程Bj和耗尽时间τ来描述因此为τBj（具有密度fBj）。给定τC=u，Gu=0，我们得到 = 0几乎可以肯定。

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2022-5-30 23:55:46

因此，混合物密度δ（·）R（u）+P∞j=1fBj（·）Rj（u），δ（·）是狄拉克质量，提供τ的密度给定τC=u。此外，函数δ（·）- u） R（u）+P∞j=1fBj（·）- u） Rj（u）（u）是τA=τ的密度+ τCgivenτC=u。因此，我们得到（4.6）。最优策略的存在性我们现在说明我们的主要结果，即值函数的存在性和唯一性，以及平稳最优策略的存在性。大型股票一级限额指令簿中的最优清算15定理5.1。值函数V*在（3.6）中存在且唯一，并且存在一个平稳的T-最优策略πφ*:= {φ*, φ*, . . . } ∈ πSin（3.7），带，对于任何（e，λ）∈ E×T，（5.1）φ*（e，λ）=arg maxα∈A（e）（r（e，α）+∞Xz=0w（e，α，z）P（z |（e，α），λ）+Xe∈EZλV*（￠e，λ）- t） Q（dt，e |（e，α）））。定理5.1的证明依赖于几个要素。首先，为了使有限期半马尔可夫决策模型变得合理，在成熟之前必须（几乎可以肯定）有一定数量的决策期。在我们的设置中，这等价于下面的引理。引理5.2。对于任何（e，λ）∈ E×T，π∈ π，极限极限↑∞Pπ（e，λ）（N<N）=1适用于定义3.7中的N。证据根据[30，命题2.1]，有必要证明存在ζ，ν>0，使得（5.2）Q（ζ，E |（E，α））≤ 1.- υ、对于任何（e，α）∈ K、根据（4.1）和引理4.4，我们可以写出，对于任何ζ>0和（e，α）∈ K、 Q（ζ，E |（E，α））=Pπ（E，λ）（Xn+1≤ ζ| En=e，An=α）=P（τBb∧ τAl≤ ζ） =1- P（τBb>ζ）P（τAl>ζ）。根据假设2.6（c），代理商从未通过提交市场订单以最佳出价消耗掉所有数量，因此在代理商作出决定后，至少有一个单位大小的订单以最佳出价和要价剩余。

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2022-5-30 23:55:49

然后，根据生灭过程的随机排序【31，第3节】，不等式p（τBb>ζ）≥ PτB[1,0，ubj，θbj]>ζ≥ e-ιζ和p（τAl>ζ）≥ P（τCl>ζ）≥ PτC[1,0，uaj，θaj]>ζ≥ e-ιζ，保持ι：=最大值usj+θsj：（s，j）∈ {a，b}×{+1，-1}, 因此，（5.2）对于ζ>0和Д=e保持不变-2ιζ。接下来，让U表示E×T上非负值函数的Banach空间，具有有限上确界范数：U：=（U:E×T→ R+kuk：=sup（e，λ）∈E×T | u（E，λ）|<∞).对于任何决策规则φ∈ Φ，引入作用于U asTφU（e，λ）的动态

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2022-5-30 23:55:53

然后，巴拿赫不动点定理[25]确保Vu=u有唯一的解，用u表示*. 根据【34，第1节】，固定点u*允许amaximiserφ*这样，u*= Tφ*u*, 带，对于任何（e，λ）∈ E×T，（5.5）φ*（e，λ）：=arg maxα∈A（e）（r（e，α）+∞Xz=0w（e，α，z）P（z |（e，α），λ）+Xe∈EZλu*（￠e，λ）- t） Q（dt，e |（e，α）））。假设一个策略π*:= {φ*, φ*, φ*, . . . } ∈ 在（3.7）中∏是T-最优的。命题5.3和（5.3）收益率（5.6）V*= Vπ*= Tφ*Vπ*-≤ Tφ*Vπ*≤ 画↑∞Tφ*nVπ*= Vπφ*.结合Vπφ*≤ 五、*定义3.10表明固定策略πφ*:= {φ*, φ*, . . . } ∈ ∏Sis也是T-最优的。自u起*= Tφ*u*≥ Tφ*u*, 应用命题5.3和（5.3），我们得到v*= Vπφ*= 画↑∞Tφ*如新大学*≤ Tφ*u*≤ u*= Tφ*u*= 画↑∞Tφ*如新大学*= Vπφ*≤ 五、*,定理5.1如下。6、实证研究我们的实证计算基于三只大型tick股票的“一级”龙虾数据：微软（Microsoft）、英特尔（Intel）和雅虎（Yahoo），这三只股票于2016年4月11日至2016年4月15日在纳斯达克平台上交易，记录了上午9:30至下午4点之间的所有市场订单到达、限价订单到达和取消。选择这三只大型股票是出于价格、交易量和市场份额的考虑【10，第4节】。为了避免开盘后或收盘前不久的异常交易行为造成的影响，我们排除了每个交易日第一和最后二十分钟的市场活动。我们还排除了所有执行占整个交易量12%左右的隐藏订单。在下文中，我们首先（第6.1节）说明了假设2.4中泊松参数的估计方法，以及假设2.2（b）中价格变化后最佳容量的联合分布。然后（第6.2节）给出了一个数值格式，该格式近似于（3.6）中的值函数。

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2022-5-30 23:55:55

最后，我们（第6.3节）将（5.1）中关于在不同交易条件下清算YHOO股票的最佳决策规则可视化。6.1。参数估计。大型股票一级限额指令簿中的最优清算176.1.1。泊松参数。如假设2.1（a）所述，一般市场参与者的订单为单位规模。我们首先计算以最佳价格（分别用Sl、Sm和Sc表示）的限价订单、市场订单和取消订单的平均规模，并选择单位规模为Sl。估计结果见表2。MSFT INTC YHOOSl176 317 209Sm332 565 334Sc163 309 201表2。平均订单规模（以股份为单位）我们然后估计泊松参数，如下所示。根据历史数据，我们制定了集合Q+1（分别为Q-1）由于排队比赛在价格上涨（或下跌）后立即发生：如果当前价差为1分，则排队比赛q+1∈ Q+1（分别为Q-1.∈ Q-1）当最佳出价（响应出价）队列耗尽后，最佳出价（响应出价）价格增加（响应降低）一个刻度时开始，当新的最佳出价或出价队列耗尽时结束。通过最大似然估计（见附录E），我们得到了（6.1）usj=Nms，jDjSmSl，κsj=Nls，jDj，θsj=Ncs，jVs，jScSl∈ {a，b}和j∈ {+1，-1} ，其中oNms、j、Nls、jand Ncs、JR代表集合Qj中排队比赛的市场订单、限价订单和取消订单总数；odj表示Qj中排队比赛的长度之和；oVs，j：=#QjXi=1ZTiVolsi（t）dt，其中Volsi（t）（分别为Ti）表示时间t（分别为。

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