结构信用风险模型中的公司证券价格

2022-5-31 01:30:46

信息不完全的结构性信用风险模型中的公司证券价格：维也纳经济和商业大学统计与数学研究所Dan LuInstitute R¨udiger FreyLars R¨osler，2017年5月3日摘要本文研究了结构信用风险模型中的衍生资产分析，其中企业的资产价值无法完全观察到。研究表明，为了确定交易证券的价格动态，需要解决资产价值的随机过滤问题。我们将此问题转化为停止扩散过程的过滤问题，并将过滤文献的结果应用于此问题。通过这种方式，我们获得了过滤器密度的anSPDE特征。此外，我们还刻画了不完全信息下的违约强度，并确定了交易证券的价格动态。有了这些结果，我们在我们的设置中研究了衍生资产分析：我们解释了如何将该模型应用于交易资产期权的定价，并讨论了动态建模和模型校准。本文以一个小型的模拟研究作为结束。关键词。结构信用风险模型、不完全信息、随机过滤、公司证券衍生资产分析1简介结构信用风险模型，如Black和Cox（1976）或Leland（1994）提出的首次通过时间模型，广泛用于可违约公司证券的分析。在这些模型中，如果代表公司资产价值的随机过程V达到通常与公司负债价值相关的某个阈值K，则公司会违约。首次通过时间模型对违约事件提供了直观的经济解释。

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2022-5-31 01:30:48

然而，在这些模型的实际应用中，出现了一些困难：首先，二级市场的投资者可能难以准确评估企业资产的价值。此外，出于可处理性的原因，V通常被建模为一个扩散过程。在这种情况下，defaulttimeτ是一个可预测的停止时间，这导致短期信贷利差的值过低。出于这些原因，Du ffe和Lando（2001）提出了一个模型，其中二级市场只有关于资产价值V的不完整信息。更准确地说，他们考虑了市场在离散时间点获得的情况，即格式为Zn=ln Vtn+εn的嘈杂会计报告；此外，可以观察到公司的违约历史。本文的一个简短版本将发表在《数学金融》杂志上。通讯作者，维也纳经济和商业大学统计和数学研究所，Welthandelsplatz 1，A-1020 Vienna。电子邮件：ruediger。frey@wu.ac.at.Institute维也纳经济和商业大学统计和数学系。roesler@web.de.dan.lu@数学。莱比锡大学。deand Lando表明，在此设置中，默认时间τ允许强度与默认阈值K下资产价值条件密度的导数成比例。这一众所周知的结果提供了结构模型和简化模型之间有趣的联系。此外，结果表明，通过引入不完全信息，可以构建短期信用利差取合理值的结构模型。Frey和Schmidt（2009）随后的研究讨论了资产价值不可观测的结构模型中的公司股权定价。

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2022-5-31 01:30:52

此外研究表明，企业权益和债务的估值会导致一个随机过滤问题：需要确定当前资产价值的条件分布。鉴于σ-field fmtre在t.Frey和Schmidt（2009）提出的可用信息，在Du fie和Lando的设置中考虑这个问题，其中关于资产价值的新信息仅在离散时间点。利用V的阿马尔科夫链近似，通过初等贝叶斯更新，推导出近似马尔可夫链条件分布的递归更新规则；信息到达的离散性对于他们的论点至关重要。杜菲和兰多（2001）以及弗雷和施密特（2009）都没有研究不完全信息下交易证券的价格动态。因此，在这些文件中，不可能分析衍生证券的定价和对冲，例如公司债券或股票期权。因此，本文的主要目标是为不完全信息下的结构性信用风险模型建立一个适当的衍生资产分析理论。更准确地说，我们作出以下贡献。首先，为了获得交易证券的真实价格动力学，我们通过一个形式为Zt=Rta（Vs）ds+wt的连续时间过程对资产价值的噪声观测进行建模，该过程适用于与V无关的布朗运动。我们表明，这导致了具有非零瞬时波动性的价格过程，其中杜菲和兰多或弗雷和施密特考虑的离散信息到达产生了资产价格，这些资产价格在新闻到达日期之间具有决定性的演变。此外，对Zas a连续时间过程建模符合随机过滤的标准文献，如Bain和Crisan（2009）。

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nandehutu2022

2022-5-31 01:30:55

其次，为了推导交易证券的价格动力学，我们确定了给定FMt的条件分布动力学。这是一个挑战性的快速过滤问题，因为在完全观测条件下，默认时间τ是可预测的，因此点过程观测的标准过滤技术（参见Br'emaud（1981））不适用。因此，我们将原来的问题转化为一个新的过滤问题，其中观测值仅包括过程Z；另一方面，这个新问题中的信号过程是在偿付能力区域（K，∞). 利用Pardoux（1978）关于停止扩散过程过滤的结果，我们导出了给定FMt条件密度的随机偏微分方程（SPDE），表示为π（t，·），并通过伽辽金近似讨论了该SPDE的数值解。将Du ffe和Lando（2001）的工作扩展到我们更一般的信息结构，我们证明τ允许强度过程（λt）t≥0使得时间t的强度与v=K时π（t，v）的空间导数成比例。借助这些结果，我们最终在我们的设置中研究了导数集分析：我们确定了交易证券的价格动态；我们考虑交易资产期权的定价；我们推导了这些索赔的风险最小化动态对冲策略，并讨论了模型校准。本文最后用一个小的模拟研究来说明理论结果。以前在信用风险分析中使用过不完整信息和过滤方法。Kusuoka（1999年）、Du ffe和Lando（2001年）、Jarrow和Protter（2004年）、Coculescu、Geman和Jeanblanc（2008年）、Frey和Schmidt（2009年）以及Cetin（2012年）等人考虑了信息不完整的结构模型。

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kedemingshi

2022-5-31 01:30:58

最后的贡献与本论文有关。Cetin在与我们类似的设置中工作，他使用概率参数来确定关于FM的默认强度的存在性，并推导出相应的滤波方程。他没有讨论条件密度π（t，·）的存在，金融应用仅以外围方式讨论。从纯数学的角度来看，我们的论文也与Krylov和Wang（2011）密切相关，他们处理的是过滤部分观察到的差异直到域的第一次退出时间。一旦介绍了我们的设置的数学细节，我们的结果与Krylov和Wang的结果之间的关系就得到了最好的解释，我们参考第4节备注4.5，以更深入地讨论两篇论文之间的相似性和差异。Duffee、Eckner、Horel和Saita（2009）、Frey和Runggaldier（2010）以及Frey和Schmidt（2012）等曾考虑过信息不完整的简化形式信用风险模型。本论文的建模理念受到Frey和Schmidt（2012）的启发，但数学分析存在实质性差异。特别是，inFrey和Schmidt（2012年）所考虑的公司的违约时间确实承认在充分信息下的强度。因此，信贷衍生品定价中出现的过滤问题可以通过直接将创新方法应用于在线过滤来解决。论文的其余部分组织如下。

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2022-5-31 01:31:01

第二节介绍了该模型；第3节讨论了交易证券和随机过滤之间的关系；第4节涉及资产价值的随机过滤；在第5节中，我们推导了公司证券的动力学；第6节涉及衍生资产分析；第7节给出了数值实验的结果。确认。感谢德国科学基金会（DFG）和维也纳科学技术基金会（WWTF）MA14-031项目的财政支持。此外，我们感谢安德烈亚斯·彼得塞尔（AndreasPeterseil）提供的非常有能力的研究协助，以及几位匿名推荐人提供的有用意见。2模型我们首先介绍模型的数学结构。我们研究的是过滤概率空间(Ohm, G、 G=（Gt）t≥0，Q），我们假设下面介绍的所有流程都适用。由于我们主要对衍生证券的定价感兴趣，我们假设Q是风险中性的定价指标。我们考虑一家资产价值非负的公司，过程V=（Vt）t≥0、公司存在违约风险，违约时间被建模为首次通过时间，即τ=inf{t≥ 0：Vt≤ K} （2.1）对于某些默认阈值K>0。在实践中，K可能代表监管机构提出的偿付能力资本要求（见示例2.3），也可能对应于Duffee和Lando（2001）中的内生违约阈值（见示例2.4）。由Yt=1{τ≤t} 我们表示该公司在时间t的违约状态，即当且仅当该公司在时间t前违约时，Yt=1；关联的默认指标流程由Y=（Yt）t表示≥假设2.1（股息和资产价值过程）。1）无风险利率不变，等于r≥ 0.2）公司在等距确定时间点t、t、。（例如，半年度股息支付）。

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nandehutu2022

2022-5-31 01:31:04

股息日期集由TD表示。TN处的分割付款是盈余的随机百分比（Vtn-- K） +（资产价值的一部分，可以分配给股东而不会导致公司立即违约）。用dn表示tn的股息支付，它认为dn=δn（Vtn- K） +；（2.2）此处（δn）n=1,2，。。。是噪声变量的iid序列，独立于V，取（0，1）中的值，并具有密度函数Дδ。我们假设Дδ是有界的，并且在Дδ（1）=0的情况下，在[0，1]上可连续二次微分。对于Vtn-> K鉴于资产价值过程的历史记录，数据的条件分布为形式Д（y，Vtn-)dy式中，Д（y，v）=（v- K） Дδy（v- K）{v>K}。（2.3）设Dt=P{n：tn≤t} 因此D=（Dt）t≥0是累计分红流程。在后遗症中，我们用uD（dy，dt）表示与序列（tn，dn）n相关的随机度量∈N、 3）资产价值过程V=（Vt）t≥0具有以下动态vt=V+ZtrVsds+ZtσVsdBs- k Dt（2.4）对于常数波动率σ>0、标准Q-布朗运动B和随机变量V。参数k取{0，1}中的值。对于κ=1（最相关的情况），在股息日，资产价值减去分配给股东的dn；κ=0对应于这样一种情况，即我们仅将数据视为资产价值的噪声信号，而不是向股东支付的款项（参见示例2.4）。我们假设对于连续可微分函数π：[K，∞) → R+，π（K）=0，使得Vhas有限的二阶矩。第二个假设反映了一个事实，即在现实中，资产价值与股息规模之间存在着积极但嘈杂的关系。

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2022-5-31 01:31:06

注意，从（2.3）可以看出，dn<（Vtn-- K） +。这种对股息规模的限制可以被视为对债务持有人的隐性保护，因为它可以确保公司不会因股息过大而在股息日违约。加上我们对Дδ的假设，（2.3）意味着对于给定的d>0，对于所有v，Д（d，v）为零，因此d/（v- K）≥ 1，即v≤ 此外，它认为≥KИ（d，v）≤dmaxδ∈[0,1]Дδ（δ）。（2.5）请注意，股息政策（2.2）不是正式优化过程的结果。事实上，如Jeanblanc和Shiriayev（1995）所示，如果Vtnis规模较大，支付更多可用盈余可能是最佳选择。虽然第4.3节中的过滤结果可以扩展到这样的设置，但前提是分割大小的条件密度Д（·，v）满足一定的规律性条件，公司股票的定价将变得更加复杂。此外，实践中采用的股息政策在很大程度上受市场惯例和经验法则的指导。出于这些原因，我们坚持简单规则（2.2）。随机测度ud的G补偿器与序列（tn，dn）n相关∈Nis由γD（dy，dt）=P给出∞n=1Д（y，Vtn-)dyδ{tn}（dt）。注意，对于g：[0，∞) ×[0，∞) → R+I表示∞Z∞g（t，y）γD（dy，dt）=∞Xn=1Z∞g（tn，y）Д（y，Vtn-)dy。在Leland（1994）或Du fieand Lando（2001）等结构性信贷风险模型的文献中，经常假设股息之间的资产价值是几何布朗运动。关于资产价格动态的几何布朗运动模型假设的实证支持，我们参考Sun、Munves和Hamilton（2012）。请注意，V遵循几何布朗运动的假设并不意味着股票价格遵循几何布朗运动。

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nandehutu2022

2022-5-31 01:31:10

事实上，我们在第5节中的分析表明，在我们的设置中，股价动态可能比几何布朗运动更“疯狂”。注：最后，V不是交易资产，因此其在Q下的漂移原则上可能不同于无风险利率r。然而，将V的漂移设置为r允许我们将V解释为该公司所有未来股息支付的价值（直到t=∞), 参见下面的引理3.2。信息结构和定价。在我们的设定中，资产价值V无法直接观察到。相反，我们假设公司证券的价格被确定为与某些过滤FM=（FMt）t相关的条件预期≥0这是由违约历史、公司股息支付和V函数的观察加上高斯噪声产生的：假设2.2。它认为FM=FY∨ FD公司∨ FZ，其中Fy表示由默认指标过程Y生成的过滤，其中Fd表示由D生成的过滤，其中过滤Fzi是由l维过程Z生成的，Zt=Zta（Vs）ds+Wt。（2.6）这里W是独立于B的l维G-布朗运动，a=（a，…，al）是丰富的，并且在a（K）=0的情况下从R+到RL连续可微分的函数。请注意，假设a（K）=0不是实际限制，因为函数a可以替换为- a（K）不改变FM的信息内容。在续集中，FMis被称为建模过滤，因为它代表了在构建模型时使用的信息的真实流动。特别是，我们不会将过程Z与公开可见的经济数据相关联；它只是一个数学工具，在资产价格动态中产生不同的组成部分。

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2022-5-31 01:31:13

如下一节所述，对于模型的应用，即衍生证券的定价和对冲，应充分观察交易资产的价格过程和公司的违约历史。这一点很重要，因为定价公式和对冲策略需要根据公开信息进行计算。我们使用鞅模型来构建交易证券的价格过程，并使用调频适应现金流（Ht）0确定一般交易证券的除息价格≤t型≤到期日T∈ （0，∞] 通过∏Ht=等式中兴通讯-r（s）-t） dHs | FMt, t型≤ T、（2.7）当然前提是贴现现金流是Q可积的。使用风险中性定价公式（2.7）可确保每个交易证券的交易贴现收益为鞅，这有助于排除套利机会。第6.2节介绍了鞅建模范式中的对冲论点。最后，我们描述了可以嵌入到我们的框架中的两种经济环境。示例2.3。我们的第一个例子是受金融监管的金融机构。我们假设该机构已向外部股东发行股票。它由一个了解资产价值的管理团队管理。管理层被禁止主动交易该机构的股份，例如因为内幕交易监管。另一方面，外部股票和债券投资者无法从公开信息中辨别出确切的资产价值。公司的股息政策采用（2.2）格式。在这个例子中，我们让k=1，这样股息支付确实会降低企业的资产价值。

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2022-5-31 01:31:16

我们假设该机构受巴塞尔协议III或偿付能力II等资本充足率规则的约束。粗略地说，这些规则要求公司股本与总资产价值的比率必须大于给定的阈值γ∈ （0，1）。如果我们用K表示公司负债的价值，这将转化为以下条件（Vt-K）/Vt>γ，因此Vt>K：=K/（1）- γ）。（2.8）我们假设监管机构积极监控公司状态是否符合资本充足率规则（2.8），管理层是否向他们提供了有关资产价值的正确信息。如果V低于K，监管机构就会关闭金融机构，出现故障。因此，默认时间是第一次通过时间，默认阈值K在（2.8）中给出。请注意，在此设置中，默认值由具有信息访问权限的监管机构强制执行。示例2.4。Duffee和Lando（2001）的著名模型也可以嵌入到我们的设置中。Du fie和Lando考虑由风险中性股权所有者运营的公司，这些所有者拥有V的完整信息。该公司以合并债券的形式发行一些债务，以从债务的税收盾中获利，但没有交易股份，也没有向外部投资者支付股息。《内幕交易条例》禁止股东在债券市场进行交易。在这种情况下，公司所有者可以选择停止为公司债务提供服务，在这种情况下，公司会违约。继Leland和Toft（1996）之后，Duffie;andLando证明（股权所有人）的最佳违约时间是首次通过时间，但现在是内生确定的违约阈值K。请注意，在本例中，随机变量Dn可以被视为到达离散时间点的V的附加信息，如盈利公告。

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kedemingshi

2022-5-31 01:31:19

该解释对应于（2.4）中参数κ的值κ=0。此外，rvs DN不必为特殊形式（2.2）；它支持固定映射v 7→ ν（d，v）是平滑且有界的。3交易证券价格与随机过滤在本节中，我们解释了交易证券价格与随机过滤之间的关系，并讨论了几个示例。交易证券。交易证券包括所谓的基本债务证券和公司股票。我们现在更详细地描述这些证券的支付流。首先，如果一项资产的现金流可以表示为以下两个组成部分的线性组合，那么我们将其称为基本债务证券。i）一项生存权，具有一般到期日T。如果τ>T，该索赔在T支付一个计算单位。ii）一般到期日为T的违约付款索赔。该索赔直接按τ支付一个单位，前提是τ≤ T众所周知，企业发行的债券和企业信用违约掉期可以表示为这些构件的线性组合，参见Lando（1998）。接下来，我们将讨论公司股票的建模。公司股东收到公司在股息日支付的股息tn<τ。因此，截至时间t，股东收到的累计现金流等于Hstockt=Dt∧τ。因此，风险中性定价公式（2.7）意味着公司股票的价值由t=等式X{n:tn>t}{τ>tn}e-（tn-t） dn | FMt. （3.1）请注意，基本债务证券和股票的现金流是根据财政年度调整的∨ FD，因此也适用于建模过滤FM。与随机过滤的关系。现在考虑现金流（Ht）为0的交易证券≤t型≤Tand除息价格∏Ht=等式RTte公司-r（s）-t） dHs | FMt.

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2022-5-31 01:31:22

在续集中，我们主要考虑由1{τ>t}∏Ht（τ的定价）给出的证券的违约前价值≤ t与回收率的建模有很大关系，我们在此不关心）。使用迭代条件期望，我们得到{τ>t}∏Ht=等式均衡器{τ>t}ZTte-r（s）-t） dHs | Gt| FMt公司. （3.2）请注意，严格地说，ST给出了公司在t时的市值，即全部流通股的价值。由于我们假设流通股的数量是恒定的，因此我们也使用符号S表示单个股票的价格过程。根据V的马尔可夫性质，对于基本债务证券和股票，内部条件预期可以表示为时间和当前资产价值Vt的函数，即isEQ{τ>t}ZTte-r（s）-t） dHs | Gt= 1{τ>t}h（t，Vt）。（3.3）函数h称为证券的完整信息值。在第4节中，我们证明了在FMt可测集{τ>t}上，给定FMtadmits的条件分布为密度π（t，·）：[K，∞) → 我们得到了这个密度的SPDE。将（3.3）代入（3.2），给出{τ>t}∏Ht=1{τ>t}等式h（t，Vt）| FMt）=1{τ>t}Z∞Kh（t，v）π（t，v）dv。（3.4）关系（3.4）提供了交易证券价格与随机过滤之间的重要关系，这种关系有两种使用方式。首先，在任何给定的时间点，从时间t的交易证券价格中减去π（t）的tan估计值，因此π（t）可以被视为观察价格的函数（第6.3节描述了必要的校准方法）。此外，在第6.1节中，我们展示了交易资产期权的价格是π（t）的函数。因此，期权价格可以使用可观察数量（交易证券的价格）作为输入进行评估。

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2022-5-31 01:31:25

其次，为了推导风险中性度量Q下交易证券的价格动态，我们使用过滤方法确定π（t）的动态；使用（3.4），这给出了交易证券的违约前值1{τ>t}∏hto的动态。这种方法类似于在期限结构建模中使用因子模型，其中交易证券的价格用于估计因子过程的现值，债券价格动态源自因子过程的动态。事实上，我们的模型可以被视为具有有限维因子过程π（t）的因子模型。备注3.1。我们的建模策略导致Q下的过滤问题，与统计推断中随机过滤的“经典”应用不同。后一种情况下的一个典型问题如下：过程Z由一组特定的经济数据确定，其中包含V的噪声信息，并使用滤波技术估计历史测度P下VT的条件分布，给定Z的观测轨迹，D和Y到时间t。这种方法可用于估计公司的实际世界违约概率，类似于著名的上市公司EDF模型Sun et al.（2012）。值得一提的是，第4节和第5节中得出的数学结果也涵盖了此类应用。交易证券的完整信息价值。接下来，我们讨论基本债务证券和股票的全信息值h的计算。我们将重点放在κ=1的情况下，因此在分红日V会向下跳跃；对于κ=0，资产价值是几何布朗运动，随后的计算相当标准。我们从Payoffht=1{τ>T}和相关完整信息值surv（T，Vt）的生存索赔开始。

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可人4

2022-5-31 01:31:29

自e起-rthsurv（t，Vt）是一个G-鞅，我们得到了它的以下PDE特征：首先，在分红日期之间，hsurv解决了边界条件为hsurv（t，K）=0的边值问题DthSurv+Lhsurv=RhsSurv≤ t型≤ T，我们让f∈ C（0，∞)Lf（v）=rvdf（v）dv+σvdf（v）dv；（3.5）第二，在股息日tn≤ T它认为HSURV（tn-, v） =零电压-Khsurv（tn，v- y） ^1（y，v）dy；（3.6）最后，当v>K时，有一个终端条件hsurv（T，v）=1。这些条件可用于通过股息日期的反向归纳计算hsurv；详见instanceVellekoop和Nieuwenhuis（2006）。此外，我们需要HSURVT的PDE特征来推导第5.2节不完全信息下生存索赔的价格动态。回想一下，到期日为T的违约付款索赔直接按τ支付一个单位，前提是τ≤ TPDE特征类似于生存索赔的情况；然而，现在的边界条件是hdef（t，K）=1，0≤ t型≤ T和终值ishdef（T，v）=0，v>K。通过定义，所有基本债务证券的完整信息值可以从hsurvand hdef计算得出。接下来，我们考虑公司的库存。从（3.1）可以看出，公司股票的全部信息值由股票（t，v）=等式Xn:tn>t{τ>tn}e-r（tn-t） dn | Vt=v（3.7）附录B中给出的下一个引理表明，VT可以解释为所有未来股息支付的价值（截至T=∞).引理3.2。在假设2.1下，它认为Ptn公司≥te公司-r（tn-t） dn | Vt= Vt.请注意，引理3.2意味着股票（t，v）<v。因此，股票价格也是有限的（这不是先验的，因为它是有限支付流的预期值）。

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2022-5-31 01:31:32

利用e-rthstock（t，Vt）+Rt{τ>s}e-rsdds是一个Q鞅，我们得到了hstock的以下偏微分方程特征：在分红日期之间，hstocks解pdeddthsstock+Lhstock=rhstock，边界条件hstock（t，K）=0；在股息日，TNHStocksaties the relationhstock（tn-, v） =零电压-Khs库存（tn，v- y） +y^1（y，v）dy。（3.8）由于我们假设等距股息日，因此认为hstock（t，v）=hstock（t+t、 v）对于t=tn- 田纳西州-1因此，计算0的hstock（t，v）就足够了≤ t型≤ t、 hstockis的明确公式不可用；主要问题是，V在某一日期的向下跳跃结合了算术和几何表达式。基本上有两种方法可以用数值计算HSTOCk。一方面，人们可以依赖蒙特卡罗方法。为了加快对hstockin显式定价公式的模拟，可以使用具有连续红利流的Black-Scholes模型作为控制变量。或者，可以使用PDE方法来计算hstock。我们省略了细节，因为期权价格的数值计算不是我们分析的核心。4资产价值的随机筛选确定一些期限日期T，例如与公司相关的所有未偿付衍生证券的最大到期日。回顾上一节，为了推导交易证券的价格动力学，我们需要确定条件密度π（t）的动力学，0≤ t<τ∧ T本节将研究这个问题。4.1准备工作按照随机滤波的常用方法，我们从描述给定FMt（滤波器分布）弱形式的VT的条件分布开始。更准确地说，给定[K]上的函数h，∞) 使E|h（Vt）|< ∞ 对于所有t≤ 我们想推导条件期望{τ>T}的动力学方程h（Vt）| FMt, t型≤ T

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2022-5-31 01:31:35

（4.1）这对于我们的目的来说是足够的，因为我们只对违约前的过滤器分布动态感兴趣。问题（4.1）是一个具有挑战性的过滤问题，因为默认时间τ不允许在完全信息下出现强度。因此，Br’emaud（1981）中的点过程观测标准过滤技术不适用。这个问题在以下命题中得到解决，粗略地说，（4.1）被转化为关于背景过滤FZ的过滤问题∨ FD。提案4.1。用Vτ=（Vt）表示∧τ） t型≥0资产价值过程在默认边界处停止，通过在加性高斯噪声中观察到的Vτ和通过Dt=P{n:tn≤t} δn（Vτtn-- K） +对应于Vτ的累积股息过程。那么我们有h:[K，∞) → R使得EQ|h（Vt）|< ∞ 对于所有t≤ T{τ>T}EQ（h（Vt）|FMt）=1{τ>T}EQh（Vτt）1{Vτt>K}| FZt∨ FDtQVτt>K | FZt∨ FDt. （4.2）证明。为了符号的简单性，我们忽略了证明中的红利观察，因此FM=FZ∨ 财政年度。第一步是证明h（Vt）1{τ>t}| FMt= 均衡器h（Vτt）1{τ>t}| F▄Zt∨ FYt公司, （4.3）如果过滤Fzi是由停止的资产价值过程的噪声观测产生的；附录B中给出了该恒等式的证明。其次，使用Dellacherie公式（例如，见Elliott、Jeanblanc和andYor（2000）中的引理3.1）和关系{τ>t}={Vτt>K}，我们得到h（Vτt）1{τ>t}| F▄Zt∨ FYt公司= 1{τ>t}等式h（Vτt）1{τ>t}| F▄ZtQτ>t | FZt= 1{τ>t}等式h（Vτt）1{Vτt>K}| FZtQVτt>K | FZt,如所述。用符号f（v）：=h（v）1{v>K}，命题4.1表明，为了计算（4.2）的右侧，需要计算泛型f:[K，∞) → R使得EQ|f（Vτt）|< ∞对于所有0≤ t型≤ T formEQ的条件期望f（Vτt）| fZt∨ FDt.

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2022-5-31 01:31:39

（4.4）这是一个随机滤波问题，信号过程由Vτ给出（资产价值过程在半空间（K，∞)). 在续集中，我们使用Pardoux（1978）关于在某些有界域的第一个退出时间停止的差异过滤的结果来研究这个问题，第一个用于无股息的情况，第4.3节用于一般情况。为了应用Pardoux（1978）的结果，我们定义了一些大的数字N，并替换了无界半空间（K，∞) 具有有界域（K，N）。为此，我们定义了停止时间σN=inf{t≥ 0：Vt≥ N}我们用停止的进程VN替换原始资产价值进程vw：=（Vt∧σN）t≥将命题4.1应用于过程VN会导致信号过程X的滤波问题：=（VN）τ。更准确地说，我们必须计算formEQ的条件期望f（Xt）| FZNt∨ FDNt公司（4.5）其中，稍微滥用符号，Zt=Rta（Xs）ds+WT，Dt=Ptn≤tδn（Xtn-- K） +。注意τ∧ σ是V从域（K，N）的第一次退出时间。此外，它认为Xt=Vt∧τ∧σN，即X等于在有界域（K，N）的边界处停止的资产价值过程V。因此，X的状态空间由SX给出：=[K，N]，Pardoux（1978）的分析适用于问题（4.5）。在下一个命题中，我们表明，如果N足够大，则缩减到有界域（K，N），即使用停止过程VNas基础资产价值过程而不是原始过程V，不会影响分析的财务影响。

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2022-5-31 01:31:42

为了说明结果，我们需要明确模型量对N的依赖关系：设ZNt=Rta（VNs）ds+Wt，Dt=P{N:tn≤t} δn（VNtn--K） +和τN=inf{t≥ 0：VNt≤ K} ，并用FM表示，模型中的建模过滤为资产价值VN，即由ZN、Dn和默认指标1{τN生成的过滤≤t} 。提案4.2。1、确定某个地平线日期T>0，并将F设为G的任意细分。然后 > 0，它保持着thatQsup0≤t型≤TQ（σN≤ t（英尺）>≤Q（σN）≤ T）→ 0作为N→ ∞.2、资产价值过程为V的模型中交易证券的价格过程在ucp（概率一致紧）中收敛到资产价值为V的模型中的价格过程。更准确地说，考虑一个函数h:[0，T]×[K，∞) → R使得| h（t，v）|≤ c+cv。那么对于N→ ∞,sup0≤t型≤T{τN>t}等式h（t，VNt）| FM，Nt- 1{τ>t}等式h（t，Vt）| FMtQ-→ 0。（4.6）附录B给出了命题的证明。我们继续发表一些评论。用σN=inf{t表示≥ 0：(R)Vt>N}从（0，N）开始的累计股息资产价值过程的第一个退出时间。很明显，’σN≤ σNas Vt≤\'\'V和Q（σN≤ T）≤ Q（(R)σN≤ T）。因此，对于G的所有次过滤F，V达到上边界N的条件概率由年龄计量布朗运动的第一次退出时间（0，N）统一控制；这可用于在实现模型时选择N。第二句话中的ucp收敛确保了基于VNand的模型中交易证券价格与原始模型中交易证券价格之间的差异可以在∈ [0，T]强于固定T.4.2的概率收敛。在没有除数的情况下，在本节中，我们考虑了没有除数信息的过滤问题（4.5）；分区将包含在第4.3节中。参考概率法和Zakai方程。

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2022-5-31 01:31:45

正如Pardoux（1978）所述，我们采用参考概率方法来解决问题（4.5）。在这种方法下，我们考虑所谓参考概率测度Q下的模型*Q<<Q时*这样Z和x在Q下是独立的*一种是通过改变度量来恢复原始的动态。在产品空间上对这对（X，Z）进行建模将很方便(Ohm, G、 G，Q*). 表示为(Ohm, G、 G，Q）支持l维维纳过程z=（Zt（ω））t的一些滤波概率空间≥0、给定一定的概率空间(Ohm, G、 G，Q）支持流程X weletOhm = Ohm×Ohm, G=G G、 G=G 甘地Q*= Q Q、我们以显而易见的方式将所有流程扩展到产品空间。注意，这种构造意味着在Q*,Z是一个独立于X的l维布朗运动。考虑一个形式为Lt=（dQ/dQ）的Girsanov型度量变换*)|FtwithLt=Lt（ω，ω）=expZta公司Xs（ω）>dZs（ω）-Zt | aXs（ω）|ds公司. （4.7）由于a有界，根据Novikov准则，L是真鞅。因此，关于布朗运动的Girsanov定理暗示，在Q下，对（X，Z）具有正确的联合定律。使用抽象Bayes公式，对于f∈ L∞（SX）thatEQf（Xt）| FZt=均衡器*f（Xt）Lt | FZt均衡器*Lt | FZt）。（4.8）我们专注于分子。利用潜在概率空间的乘积结构，我们得到*f（Xt）Lt | FZt（ω） =相等f（Xt）Lt（·，ω）=: ∑tf（ω）。（4.9）在Pardoux（1978）的定理1.3和1.4中，导出了∑tis的以下特征。提案4.3。用（Tt）t表示≥0马尔可夫过程X的转移半群，即f的转移半群∈ L∞（SX）和x∈ SX，Ttf（x）=EQx（f（Xt））。然后保持以下状态1。）（4.9）中定义的∑tf满足方程∑tf=∑（Ttf）+lXi=1Zt∑s（aiTt-sf）dZs，i（4.10）2）设∑为FZAAdapted过程，取SX上有界和正测度集中的值。

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2022-5-31 01:31:49

假设f∈ L∞（SX）~∑tf：=RSXf（x）~∑t（dx）满足方程（4.10），而且∑=~∑。然后对于所有0≤ t型≤ T，∑T=∑ta。s、密度为∑t的SPDE。接下来，我们推导出Zakai方程（4.10）的解∑tof的密度u=u（t，·）的SPDE。我们从必要的符号开始。首先，介绍Sobolev spacesHk（SX）=u∈ L（SX）：dαudxα∈ L（SX）表示α≤ k,假设导数存在于弱意义下。此外，我们让H（SX）={u∈H（SX）：边界上的u=0SX}。有关Sobolevspace的精确定义和更多详细信息，请参阅Adams和Fournier（2003）。L（SX）中的标量积用（·，·）SX表示。考虑f∈ H（SX）微分算子L*withL公司*f（x）=ddxσxf（十）-ddx公司rxf型（x）。（4.11）L*在以下意义上与L伴随：一个人有f、 Lg公司SX公司=L*f、 g级Sxf，g∈H（SX）∩ H（SX）。接下来，我们定义了-L*到整个空间H（SX）。对于这个wedenote，H（SX）是H（SX）的对偶空间，H·，i是H（SX）和H（SX）之间的对偶对。然后我们可以定义一个有界线性算子a*从H（SX）到H（SX）byhA*f、 gi公司=σxdfdx，dgdxSX公司+（σ- r） xf、dgdxSX。（4.12）部分积分表明，对于f∈ H（SX）∩ H（SX）和g∈ H（SX）一个有hA*f、 gi公司=-L*f、 g级SX，因此*实际上是-L*.我们将表明，∑tca的密度可以用SPDEdu（t）=-A.*u（t）dt+a>u（t）dZt，u（0）=π，（4.13）该方程应理解为对偶空间H（SX）中的方程，即每个yv∈ H（SX）1与u（t），vSX=（u（0），vSX公司-ZthA公司*u（s），vids+lXi=1Ztaiu，vSXdZs，i.（4.14）在续集中，我们将主要表示关于向量过程ZbyRt的随机积分a> u（s），vSXDZ。定理4.4。假设假设2.1和2.2成立，且初始密度π小于H（SX）。然后，以下内容成立。1.

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2022-5-31 01:31:52

有一个独特的适应FZ的解决方案u∈ LOhm ×[0，T]，Q* dt；H（SX）共（4.13）。2、解u具有额外的正则性：它认为u（t）∈ H（SX）a.s.和u的区域属于C[0，T]，H（SX）, 具有上确界范数的H（SX）值连续函数的空间。此外，u（t，·）≥ 0季度*a、 s.3。过程u（t）描述了测度值Zakai方程（4.10）在以下意义上的解：对于f∈ L∞（SX）一个有∑tf=u（t），fSX+νK（t）f（K）+νN（t）f（N），其中（4.15）0≤ νK（t）=ZtσKdudx（s，K）ds，（4.16）0≤ νN（t）=-ZtσNdudx（s，N）ds+Zta>（N）νN（s）dZs。（4.17）评论。因为u（t）属于H（SX）∩ H（SX），（4.14）可以写成u（t），vSX=（u（0），vSX+ZtL*u（s），vSXds+Zta> u（s），vSXDZ；（4.18）此外，近似参数表明（4.18）适用于v∈ L（SX）（且不仅适用于V∈ H（SX））。陈述3表明，测度∑thas是sx内部的Lebesgue密度，以及边界点K和N上的apoint mass。根据命题4.2，点质量νN（t）在很大程度上是无关的；另一方面，点质量νK（t）在第5节的默认强度分析中很重要。在证明语句2时，需要Sx是有界域的假设；考虑到方程（4.13）存在一个充分正则的非负解，陈述3的证明也适用于无界域。证据语句1和2直接来自Pardoux（1978）的定理2.1、2.3和2.6。我们给出了第三项索赔的证明简图，因为这解释了为什么（4.13）是需要考虑的适当理由；此外，我们的论点证明了νKandνN的形式。Sobolev嵌入定理（参见Adams和Fournier（2003），定理4.12，第二部分和第三部分）指出，对于任何k，空间Hm（SX）：=Hm，2（SX）可以嵌入到H¨olderspace Ck，α（SX）中∈ N、 0<α<1，使得m- 1/2≥ k+α。

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2022-5-31 01:31:55

结果表明，当0<α<1/2时，H（SX）可以嵌入到C1，α（SX）中；这尤其确保了在sx的边界点上存在u的导数。此外，作为u（t，x）≥ 在SX上为0，我们有dudx（t，K）≥ 0因此νK（t）≥ 0、类似地，asdudx（t，N）≤ 0我们从SDE的标准比较理论中得出，νN（t）大于SDE的解|ν|νt=Rta>（N）|νSDZ。现在ν明显等于零，所以νN（t）≥ 也为0。用∑t表示（4.15）右侧定义的度量值过程。为了证明∑t解温和形式的Zakai方程（4.10），fix一些连续函数f:SX→ R和一些t≤ 并用“u（s，x）”表示终端和边值问题的解“us+L”u=0，（s，x）∈ （0，t）×（K，N），终端条件'u（t，x）=f（x），x∈ SX和边界条件u（s，K）=f（K），u（s，N）=f（N），s≤ t、众所周知，u描述了X的转移半群，即u（s，X）=Tt-sf（x），0≤ s≤ t、当u（t）=f时，我们从∑的定义和νK（t）和νN（t）的动力学中得出∑tf=u（t），\'u（t）SX+ZtσKdudx（s，K）f（K）ds-ZtσNdudx（s，N）f（N）ds+Zta>（N）νN（s）f（N）dZs。接下来，我们计算u（t），\'u（t）SX。我们使用Ito乘积公式（4.18）和关系式d'u（s）=-L u（s）ds，即u（t），\'u（t）SX=（u（0），\'u（0）SX+ZtL*u（s），u（s）SXds+Zta> u（s），u（s）SXdZs+Zt美国，-L u（s）SXds。使用“u，Zt”满足的边界条件，部分积分给出美国，-L u（s）SXds=-Zt公司L*u（s），u（s）SXds+Zthσxdudx（s，x）f（x）iNKds。因此我们得到∑tf=u（0），\'u（0）SX+Zta> u（s），u（s）SX+a>（N）νN（s）f（N）dZs。现在请注意，对于x∈ [K，N]，\'u（s）（x）=Tt-sf（x）。通过假设2.2，利用a（K）=0，我们得到关于Z的随机积分可以写成ztna> 美国，Tt-旧金山SX+a>（K）（νK（s）Tt-sf（K））+a>（N）（νN（s）Tt-sf（N））ODZ。因此，它认为∑tf=∑（Ttf）+Rt∑s（a>Tt-sf）dZs。

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2022-5-31 01:31:58

此外，∑f=π、 f级一个近似参数表明，这些性质也适用于f∈ L∞（SX），参见Pardoux（1978），因此∑t=∑tby命题4.3。备注4.5。将我们的结果与Krylov和Wang（2011）的相关论文进行比较很有趣。Krylov和Wang认为信号过程X是X上的非退化微分。用τSX表示X从SX的首次退出时间（在我们的符号中τSX=τ∧ σN），观察过滤由FZand通过指标1{τSX生成的过滤给出≤t} 。Krylov和Wang然后推导出给定Fzt的条件密度的SPDE和信息{τSX>t}，并表明Q（XτSX=K |τ=t）=νK（t）νN（t）+νK（t），Q（XτSX=N |τ=t）=νN（t）νN（t）+νK（t），其中νKandνnar由定理4.4中的类似表达式给出。然而，它们不计算条件概率Q（τ）的动力学≤ t | FZt），一个对计算默认强度至关重要的表达式（见定理5.1）。4.3关于Fm的条件分布在本小节中，我们计算X关于filtrationFm=FZ的条件分布∨FD公司∨财政年度。关键部分是在分析中包括股息信息FD和股息日资产价值过程的跳跃。我们还记得一些符号：分隔日期用tn，n表示≥ 1.dn表示在tn支付的股息和给定dnxtn的条件密度-= x是Д（y，x）1{x>K}。在续集中，为了便于注释，我们将t设为0。此外，我们让Д（y，K）=Д*（y）对于R+上的一些光滑且严格正的参考密度，我们通过改变度量来构建模型。请注意，选择Д（y，K）没有经济影响，因为我们只关心违约前资产价值的分配。我们使用了第4.1节中参考概率参数的扩展。

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2022-5-31 01:32:01

考虑产品空间Ohm = Ohm×Ohm, G=G G、 G=G 甘地Q*= Q Qso那个Ohm支持a Q-布朗运动B。假设(Ohm, G、 G，Q）支持布朗运动Z和独立随机测度uD（dy，dt），补偿测度等于γD，*（dy，dt）=∞Xn=1х*（y） dyδ{tn}（dt）。设Dt：=RtRR+yuD（dy，Dt），t≥ 用V=Vt（ω，ω）表示SDEdVt=1{Vt>0}rVtdt+1{Vt>0}σVtdBt的解- κdd并通过Xt=Vt定义状态过程X∧τ∧σN.VTI动态中的指示器功能包括在Q下*由于在股息日向下跳跃，资产价值V可能变为负值。注意，在我们构造的下一个这样的跳跃的测度qt下，概率为零。为了恢复到原始模型动力学，我们引入了密度鞅L=（LtLt）0≤t型≤t其中LTI如（4.7）所示，其中Lt=Lt（ω，ω）满足Lt=1+ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.（uD- γD，*)（dy，ds），0≤ t型≤ T、（4.19）由于Д（·，x）和Д是概率密度，我们得到Zr+^1（y，x）Д*（y）- 1.^1*（y） dy=ZR+（Д（y，x）- ^1*（y））dy=1- 1=0。（4.20）HenceRtRR+^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.γD，*（dy，ds）≡ 0，我们得到lt=1+ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.uD（dy，ds）=Ytn≤T^1（dn，Xtn-)^1*（dn）。（4.21）由于Land Lare是正交的，我们得到的是dlt=Lt-a（Xt）>dZt+ZR+Lt-^1（y，Xt-)^1*（y）- 1.（uD- γD，*)（dy，dt）。下一个引理（其证明见附录B）表明，L实际上是要考虑的适当密度鞅（T是第4节开头确定的地平线日期）。引理4.6。它认为*（LT）=1。通过（dQ/dQ）定义度量Q*)|GT=LT。

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2022-5-31 01:32:05

然后在Q下，随机测量uDhas G-补偿器γD（dy，dt）=P∞n=1Д（y，Xtn-)dyδ{tn}（dt）。此外，三元组（X，Z，D）具有假设2.1中假设的联合定律。与（4.8）中类似，我们从广义贝叶斯规则（Jacod和Shiryaev（2003），命题III.3.8）中得出：f（Xt）| FZt∨ FDt公司（ω） =∑tf（ω）∑t1（ω），（4.22），其中∑tf（ω）=等式f（Xt（·，ω）Lt（·，ω）.非标准化密度的动力学。Ltin（4.21）的形式表明非标准化密度u（t，·）的以下动态：在股息日之间，即（tn-1，tn），n≥ 1，u（t）用初始值u（tn）求解SPDE（4.13-1）；在tn时，密度u（tn-) 被设置为u（tn，x）=u（tn-, x） ^1（dn，x）Д*（dn），（4.23）第二，对于κ=1，有一个转移来解释资产价值的向下跳跃，即isu（tn，x）=u（tn，x+κdn），（4.24），其中z>N时，我们让u（tn，z）=0。在下面的定理4.7中，我们证明这实际上是正确的。作为第一步，我们通过SPDE描述u的动力学。表示y>0和V∈ 函数Syv（x）=v（x+y），其中，对于z>N，我们让v（z）=0。考虑SPDEdu（t）=-A.*u（t）dt+a>u（t）dZt+ZR+nSκyu（t-)^1（y，·）Д*（y）- u（t-)ouD（dy，dt），（4.25），初始条件u（0）=π。（4.25）的解释类似于前一节：对于v∈ 它认为u（t），vSX=（u（0），vSX公司-ZthA公司*u（s），vids+Zta> u（s），vSXdZs+ZtZR+Sκy美国-)^1（y，·）Д*（y）- 美国-) , vSXuD（dy，ds）。（4.26）下一个结果将定理4.4推广到有股息的情况。定理4.7。1、存在唯一的正解u∈ H（SX）∩SPDE的H（SX）（4.25）。定义νK（t）=RtσKdudx（s，K）ds和νN（t）=-ZtσNdudx（s，N）ds+Zta>（N）νN（s）dZs+ZtZR+νN（s-)^1（y，N）Д*（y）- 1.uD（dy，ds）。那么它认为∑tf=u（t），fSX+νK（t）f（K）+νN（t）f（N）。附录B中给出了证明。关于FM的过滤。

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